Partial fractions Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{32x^2+186x}{(x^2+1)(x+5)}=\frac{37x+1}{x^2+1}+\frac{\lambda}{x+5}$
दाहिनी ओर के पदों को जोड़ने पर:
$\frac{32x^2+186x}{(x^2+1)(x+5)}=\frac{(37x+1)(x+5)+\lambda(x^2+1)}{(x^2+1)(x+5)}$
अंशों की तुलना करने पर:
$32x^2+186x = (37x^2 + 185x + x + 5) + \lambda x^2 + \lambda$
$32x^2+186x = (37+\lambda)x^2 + 186x + (5+\lambda)$
$x^2$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$37+\lambda = 32 \implies \lambda = -5$
$5+\lambda = 0 \implies \lambda = -5$
अतः,$\frac{\lambda}{2} = \frac{-5}{2}$.

(B) दिया गया है,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
हम जानते हैं कि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
अंशों की तुलना करने पर:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C = 0, B-A+C+D = 0, A-B+C+D = 0, B+D = 1$.
हल करने पर हमें $A=\frac{1}{2}, B=\frac{1}{2}, C=-\frac{1}{2}, D=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C+D = 1$.
इसलिए,$\cos^{-1}(A+B+C+D) = \cos^{-1}(1) = 0$.

(C) दिया गया है $\frac{1}{(x^2-3)^2} = \frac{A_1}{x-\sqrt{3}} + \frac{A_2}{(x-\sqrt{3})^2} + \frac{A_3}{x+\sqrt{3}} + \frac{A_4}{(x+\sqrt{3})^2}$.
$(x^2-3)^2$ से गुणा करने पर,$1 = A_1(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})^2 + A_2(x+\sqrt{3})^2 + A_3(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})^2 + A_4(x-\sqrt{3})^2$ प्राप्त होता है।
$x = \sqrt{3}$ रखने पर,$1 = A_2(2\sqrt{3})^2 = 12A_2 \implies A_2 = \frac{1}{12}$.
$x = -\sqrt{3}$ रखने पर,$1 = A_4(-2\sqrt{3})^2 = 12A_4 \implies A_4 = \frac{1}{12}$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A_1 + A_3 = 0 \implies A_3 = -A_1$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $\sqrt{3}(A_1 - A_3) + A_2 + A_4 = 0$.
चूंकि $A_3 = -A_1$,हमारे पास $2\sqrt{3}A_1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = 0 \implies 2\sqrt{3}A_1 = -\frac{1}{6} \implies A_1 = -\frac{1}{12\sqrt{3}}$.
अतः,$A_3 = \frac{1}{12\sqrt{3}}$.
मान $A_1 = -\frac{1}{12\sqrt{3}}, A_2 = \frac{1}{12}, A_3 = \frac{1}{12\sqrt{3}}, A_4 = \frac{1}{12}$ हैं।
$(i)$ $A_i$ भिन्न नहीं हैं (सत्य,$A_2=A_4$)।
(ii) $A_p^2 = A_q^2$ के लिए $p=2, q=4$ (सत्य)।
(iii) $\sum A_i = \frac{1}{6}$ (सत्य)।
(iv) $\sum A_i = 1$ (असत्य)।
अतः,केवल कथन (iv) गलत है।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{27x^2+32x+16}{(3x+2)^2(1-x)} = \frac{A}{3x+2} + \frac{B}{(3x+2)^2} + \frac{C}{1-x}$ है।
दोनों पक्षों को $(3x+2)^2(1-x)$ से गुणा करने पर:
$27x^2+32x+16 = A(3x+2)(1-x) + B(1-x) + C(3x+2)^2$.
$x = 1$ रखने पर: $27(1)^2 + 32(1) + 16 = C(3(1)+2)^2$ $\Rightarrow 75 = 25C$ $\Rightarrow C = 3$.
$x = -2/3$ रखने पर: $27(-2/3)^2 + 32(-2/3) + 16 = B(1 - (-2/3))$ $\Rightarrow 12 - 64/3 + 16 = B(5/3)$ $\Rightarrow 20/3 = 5B/3$ $\Rightarrow B = 4$.
$x = 0$ रखने पर: $16 = A(2)(1) + B(1) + C(2)^2$ $\Rightarrow 16 = 2A + 4 + 4(3)$ $\Rightarrow 16 = 2A + 16$ $\Rightarrow A = 0$.
अंत में,$AB + BC + CA = (0)(4) + (4)(3) + (3)(0) = 0 + 12 + 0 = 12$.

(D) दी गई आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3 x^4+5 x^2+2}{\left(x^2+1\right)^2\left(x^2+2\right)}=\frac{A x+B}{x^2+2}+\frac{C x+D}{x^2+1}+\frac{E x+F}{\left(x^2+1\right)^2}$.
दोनों पक्षों को हर से गुणा करने पर: $3 x^4+5 x^2+2 = (A x+B)(x^2+1)^2 + (C x+D)(x^2+1)(x^2+2) + (E x+F)(x^2+2)$.
चूंकि व्यंजक में केवल $x$ की सम घातें हैं,इसलिए $x$ की विषम घातों के गुणांक शून्य होंगे। अतः,$A=0, C=0, E=0$.
समीकरण सरल होकर बनता है: $3 x^4+5 x^2+2 = B(x^2+1)^2 + D(x^2+1)(x^2+2) + F(x^2+2)$.
माना $y = x^2$. तो $3y^2+5y+2 = B(y+1)^2 + D(y+1)(y+2) + F(y+2)$.
$y = -1$ के लिए: $3-5+2 = F(1) \Rightarrow F=0$.
$y = -2$ के लिए: $3(4)-5(2)+2 = B(-1)^2$ $\Rightarrow 12-10+2 = B$ $\Rightarrow B=4$.
$y^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $3 = B+D$ $\Rightarrow 3 = 4+D$ $\Rightarrow D=-1$.
हमें $A+2 B+D+4 E = 0 + 2(4) + (-1) + 4(0) = 8-1 = 7$ ज्ञात करना है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हमारे पास है,$x^4+x^2+1 = x^4+2x^2+1-x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
मान लीजिए $F_1 = x^2+x+1$ और $F_2 = x^2-x+1$.
तब,$\frac{x^3-2x^2+3x-4}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
दोनों पक्षों को $x^4+x^2+1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3-2x^2+3x-4 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$x^3-2x^2+3x-4 = (A+C)x^3 + (B-A+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C = 1$
$2) B-A+C+D = -2$
$3) A-B+C+D = 3$
$4) B+D = -4$
हमें $A+B+C+D$ ज्ञात करना है। समीकरण $(1)$ से,$A+C=1$. समीकरण $(4)$ से,$B+D=-4$.
अतः,$A+B+C+D = (A+C) + (B+D) = 1 + (-4) = -3$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x-2}{(x+1)^2(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+3}$
दोनों पक्षों को $(x+1)^2(x+3)$ से गुणा करने पर: $3x-2 = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^2$
$x = -1$ रखने पर: $3(-1)-2 = B(-1+3)$ $\Rightarrow -5 = 2B$ $\Rightarrow B = -\frac{5}{2}$
$x = -3$ रखने पर: $3(-3)-2 = C(-3+1)^2$ $\Rightarrow -11 = 4C$ $\Rightarrow C = -\frac{11}{4}$
दोनों पक्षों में $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \Rightarrow A = -C = \frac{11}{4}$
अतः,$A+B+C = \frac{11}{4} - \frac{5}{2} - \frac{11}{4} = -\frac{5}{2}$

(B) माना $x-1 = t$,इसलिए $x = t+1$। अंश में यह मान रखने पर: $3(t+1)^2 + (t+1) + 1 = 3(t^2+2t+1) + t + 2 = 3t^2 + 7t + 5$।
व्यंजक $\frac{3t^2+7t+5}{t^4} = \frac{3}{t^2} + \frac{7}{t^3} + \frac{5}{t^4}$ बन जाता है।
इसकी तुलना $\frac{a}{t} + \frac{b}{t^2} + \frac{c}{t^3} + \frac{d}{t^4}$ से करने पर,हमें $a=0, b=3, c=7, d=5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}$।

(A) $3x^5-6x^4+2x^3+4x^2-5x+8$ का $x^2-2x+3$ से बहुपद विभाजन करने पर:
$1$. $3x^5$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $3x^3$ प्राप्त होता है। $3x^3(x^2-2x+3) = 3x^5-6x^4+9x^3$। घटाने पर $-7x^3+4x^2-5x+8$ प्राप्त होता है।
$2$. $-7x^3$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $-7x$ प्राप्त होता है। $-7x(x^2-2x+3) = -7x^3+14x^2-21x$। घटाने पर $-10x^2+16x+8$ प्राप्त होता है।
$3$. $-10x^2$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $-10$ प्राप्त होता है। $-10(x^2-2x+3) = -10x^2+20x-30$। घटाने पर $-4x+38$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $3x^3+0x^2-7x-10$ है और शेषफल $-4x+38$ है।
$ax^3+bx^2+cx+d$ और $px+q$ से तुलना करने पर,$a=3, b=0, c=-7, d=-10$ और $p=-4, q=38$ प्राप्त होते हैं।
तब $ab+cd = (3)(0) + (-7)(-10) = 0 + 70 = 70$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{x^2+1}{(x+2)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$ है।
दोनों पक्षों को $(x+2)(x^2+x+1)$ से गुणा करने पर,$x^2+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x+2)$ प्राप्त होता है।
$x = -2$ रखने पर: $5 = 3A \Rightarrow A = \frac{5}{3}$।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = A + B \Rightarrow B = -\frac{2}{3}$।
अचर पदों की तुलना करने पर: $1 = A + 2C \Rightarrow C = -\frac{1}{3}$।
अतः,$A - B + C = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 2$।

(D) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{2 x+7}{\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)\left(x^2+16\right)}=\frac{A x+1}{x^2+4}+\frac{B x+m}{x^2+9}+\frac{C x+n}{x^2+16}$
दोनों पक्षों को $\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)\left(x^2+16\right)$ से गुणा करने पर:
$2 x+7 = (A x+1)(x^2+9)(x^2+16) + (B x+m)(x^2+4)(x^2+16) + (C x+n)(x^2+4)(x^2+9)$
$x^2 = -4$ रखने पर:
$2x + 7 = (Ax + 1)(5)(12) = 60Ax + 60$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $60A = 2 \Rightarrow A = \frac{1}{30}$
$x^2 = -9$ रखने पर:
$2x + 7 = (Bx + m)(-5)(7) = -35Bx - 35m$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-35B = 2 \Rightarrow B = -\frac{2}{35}$
$x^2 = -16$ रखने पर:
$2x + 7 = (Cx + n)(-12)(-7) = 84Cx + 84n$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $84C = 2 \Rightarrow C = \frac{1}{42}$
अब,$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}$ की गणना करने पर:
$\frac{1}{A} = 30$,$\frac{1}{B} = -\frac{35}{2}$,$\frac{1}{C} = 42$
$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = 30 - \frac{35}{2} + 42 = 72 - 17.5 = 54.5 = \frac{109}{2}$

(C) बहुपद का भाग करने पर: $\frac{x^4+x^3+2x^2-2x+1}{x^3+x^2} = x + \frac{2x^2-2x+1}{x^2(x+1)}$.
इसे $P(x) + \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P(x) = x$ और $\frac{2x^2-2x+1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ प्राप्त होता है।
$x^2(x+1)$ से गुणा करने पर,$2x^2-2x+1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$ मिलता है।
$x = 0$ रखने पर,$1 = B(1) \Rightarrow B = 1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,$2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = C(-1)^2$ $\Rightarrow 2+2+1 = C$ $\Rightarrow C = 5$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2 = A + C$ $\Rightarrow 2 = A + 5$ $\Rightarrow A = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C = -3 + 1 + 5 = 3$।

(C) माना $f(x) = \frac{1-2x}{(2x+1)(2-x)}$. आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{1-2x}{(2x+1)(2-x)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{2-x}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर: $1-2x = A(2-x) + B(2x+1)$.
$x = 2$ के लिए,$B = -\frac{3}{5}$.
$x = -\frac{1}{2}$ के लिए,$A = \frac{4}{5}$.
अतः,$f(x) = \frac{4}{5}(1+2x)^{-1} - \frac{3}{10}(1-\frac{x}{2})^{-1}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^{-1} = 1-u+u^2-u^3+\dots$ का उपयोग करते हुए:
$f(x) = \frac{4}{5}(1 - 2x + 4x^2 - 8x^3) - \frac{3}{10}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8})$.
$x^3$ का गुणांक $\frac{4}{5}(-8) - \frac{3}{10}(\frac{1}{8}) = -\frac{32}{5} - \frac{3}{80} = -\frac{512+3}{80} = -\frac{515}{80} = -\frac{103}{16}$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{1}{(x-3)(x-2)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{(x-3)(x-2)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x}$.
अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखें: $\frac{1}{2(1-\frac{x}{2})} - \frac{1}{3(1-\frac{x}{3})}$.
$|y| < 1$ के लिए द्विपद विस्तार $(1-y)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n - \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{3})^n$.
$x^n$ का गुणांक $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^n - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^n = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}}$ है।

(C) माना $f(x) = \frac{2x^3+8x^2-2x-2}{(1-x)(1+x)(1-2x)}$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए:
$f(x) = 1 - \frac{2}{1-2x} - \frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x}$.
द्विपद श्रेणी विस्तार के अनुसार:
$x^{10}$ का गुणांक $l = -2(2^{10}) - 3 + 1 = -2^{11} - 2$.
अचर पद $m = 1 - 2 - 3 + 1 = -3$.
अतः,$lm = (-2^{11}-2)(-3) = 6(2^{10}+1)$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{x^4+24x^2+28}{(x^2+1)^3} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{(x^2+1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)^3}$
दोनों पक्षों को $(x^2+1)^3$ से गुणा करने पर:
$x^4+24x^2+28 = A(x^2+1)^2 + B(x^2+1) + C$
$x^4+24x^2+28 = A(x^4+2x^2+1) + B(x^2+1) + C$
$x^4+24x^2+28 = Ax^4 + (2A+B)x^2 + (A+B+C)$
$x^4$,$x^2$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1 = A$
$24 = 2A+B$ $\Rightarrow 24 = 2(1)+B$ $\Rightarrow B = 22$
$28 = A+B+C$ $\Rightarrow 28 = 1+22+C$ $\Rightarrow C = 5$
अंत में,$B-2A+C$ की गणना करने पर:
$B-2A+C = 22 - 2(1) + 5 = 22 - 2 + 5 = 25$

(A) सबसे पहले,आंशिक भिन्नों का उपयोग करके भिन्न को व्यक्त करें: $\frac{x-4}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x-3}$.
द्विपद विस्तार की सुविधा के लिए पदों को फिर से लिखें: $2(x-2)^{-1} - (x-3)^{-1} = 2(-2)^{-1}(1-\frac{x}{2})^{-1} - (-3)^{-1}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $-(1-\frac{x}{2})^{-1} + \frac{1}{3}(1-\frac{x}{3})^{-1}$.
$(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + \dots$ विस्तार का उपयोग करते हुए:
$-(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots) + \frac{1}{3}(1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \frac{x^3}{27} + \dots)$.
$x^3$ का गुणांक $-\frac{1}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{27} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{81}$ है।
योग करने पर: $\frac{-81 + 8}{648} = -\frac{73}{648}$.

(A) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x+2}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$
अंशों की तुलना करने पर: $3x+2 = A(2x^2+3) + (x+1)(Bx+C)$
$3x+2 = 2Ax^2 + 3A + Bx^2 + Cx + Bx + C$
$3x+2 = (2A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+C)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$2A+B = 0$ $(i)$
$B+C = 3$ (ii)
$3A+C = 2$ (iii)
$(i)$ से,$B = -2A$.
(ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $-2A+C = 3$ (iv)
(iii) में से (iv) घटाने पर: $(3A+C) - (-2A+C) = 2 - 3 \implies 5A = -1 \implies A = -\frac{1}{5}$
तब $B = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$
और $C = 3 - B = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$
अंत में,$A-B+C = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5} + \frac{13}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(C) हम भिन्न को इस प्रकार व्यक्त करते हैं: $\frac{3x+1}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$
दोनों पक्षों को $(x+2)(x-1)^2$ से गुणा करने पर:
$3x+1 = A(x-1)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x+2)$
पदों का विस्तार करने पर:
$3x+1 = (A+B)x^2 + (-2A + B + C)x + (A - 2B + 2C)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A+B = 0 \Rightarrow A = -B$
$2$) $-2A + B + C = 3$
$3$) $A - 2B + 2C = 1$
$A = -B$ को $(2)$ और $(3)$ में रखने पर:
$2$) $3B + C = 3$
$3$) $-3B + 2C = 1$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $3C = 4 \Rightarrow C = \frac{4}{3}$
$C = \frac{4}{3}$ को $3B + C = 3$ में रखने पर:
$3B = \frac{5}{3} \Rightarrow B = \frac{5}{9}$
अतः $A = -\frac{5}{9}$
इस प्रकार,अपघटन $\frac{-5}{9(x+2)} + \frac{5}{9(x-1)} + \frac{4}{3(x-1)^2}$ है।

(A) $A_r$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों को $(x+r)$ से गुणा करते हैं और $x \rightarrow -r$ पर सीमा (limit) लेते हैं।
$A_r = \lim_{x \rightarrow -r} \frac{x+r}{x(x+1)(x+2) \ldots(x+n)}$
$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1) \ldots (-1) \cdot (1) \cdot (2) \ldots (n-r)}$
हर (denominator) में $-r$ से $-1$ तक के पदों का गुणनफल $(-1)^r \cdot r!$ है और $1$ से $n-r$ तक के पदों का गुणनफल $(n-r)!$ है।
अतः,$A_r = \frac{1}{(-1)^r \cdot r! \cdot (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}$.

(C) दिया गया है $\frac{3x+5}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)(2x^2+3)$ से गुणा करने पर,$3x+5 = A(2x^2+3) + (Bx+C)(x+1)$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर: $3(-1)+5 = A(2(-1)^2+3) + 0 \implies 2 = 5A \implies A = \frac{2}{5}$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = 2A + B \implies B = -2A = -2(\frac{2}{5}) = -\frac{4}{5}$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $5 = 3A + C \implies C = 5 - 3(\frac{2}{5}) = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$.
अतः,$f(x) = \frac{2}{5}x^3 - \frac{4}{5}x^2 + 7x + \frac{19}{5}$.
$f'(x) = \frac{6}{5}x^2 - \frac{8}{5}x + 7$.
$f'(-2) = \frac{6}{5}(4) - \frac{8}{5}(-2) + 7 = \frac{24}{5} + \frac{16}{5} + 7 = \frac{40}{5} + 7 = 8 + 7 = 15$.
अंत में,$5C - f'(-2) = 5(\frac{19}{5}) - 15 = 19 - 15 = 4$.

(A) दिया गया है,$\frac{42-13x}{x^2+x-6} = \frac{A}{lx+m} + \frac{B}{px+q}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$.
अतः,$\frac{42-13x}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $42-13x = A(x-2) + B(x+3)$.
$x=2$ के लिए: $42-26 = 5B \implies 16 = 5B \implies B = \frac{16}{5}$.
$x=-3$ के लिए: $42+39 = -5A \implies 81 = -5A \implies A = -\frac{81}{5}$.
$\frac{A}{lx+m} + \frac{B}{px+q}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $l=1, m=3, p=1, q=-2$ प्राप्त होता है (जो $lm=3>0$ और $pq=-2 < 0$ को संतुष्ट करता है)।
अतः,$\frac{Alp}{Bmq} = \frac{(-\frac{81}{5}) \times 1 \times 1}{(\frac{16}{5}) \times 3 \times (-2)} = \frac{-81/5}{-96/5} = \frac{81}{96} = \frac{27}{32}$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2+5}{(x^2+1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x-2)$ से गुणा करने पर: $x^2+5 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2)$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^2+5 = Ax^2 + A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$ प्राप्त होता है।
$x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2+5 = (A+B)x^2 + (C-2B)x + (A-2C)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A+B = 1$
$2$) $C-2B = 0 \Rightarrow C = 2B$
$3$) $A-2C = 5$
समीकरण $(3)$ में $C=2B$ प्रतिस्थापित करने पर: $A - 2(2B) = 5 \Rightarrow A - 4B = 5$ प्राप्त होता है।
अब समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर:
$A+B = 1$
$A-4B = 5$
पहले में से दूसरा घटाने पर: $5B = -4 \Rightarrow B = -\frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
तब $A = 1 - B = 1 - (-4/5) = 9/5$ है।
और $C = 2B = 2(-4/5) = -8/5$ है।
अंत में,$A+B+C = \frac{9}{5} - \frac{4}{5} - \frac{8}{5} = \frac{9-4-8}{5} = -\frac{3}{5}$ है।

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{x+1}{x^4(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x^4}+\frac{E}{x+2}$
दोनों पक्षों को $x^4(x+2)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x+1 = Ax^3(x+2) + Bx^2(x+2) + Cx(x+2) + D(x+2) + Ex^4$
$B+D+E$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x = -1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$-1+1 = A(-1)^3(-1+2) + B(-1)^2(-1+2) + C(-1)(-1+2) + D(-1+2) + E(-1)^4$
$0 = A(-1)(1) + B(1)(1) + C(-1)(1) + D(1) + E(1)$
$0 = -A + B - C + D + E$
$B+D+E$ को अलग करने पर:
$B+D+E = A+C$

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{H(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}=f(x)+\frac{g(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x+1)(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$H(x)=(x-1)(x+1)(x-2)f(x)+g(x)$
अब,$x=-1, 2, 1$ पर $H(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x=-1$ के लिए: $H(-1)=( -1-1)( -1+1)( -1-2)f(-1)+g(-1) = 0+g(-1) = g(-1)$
$x=2$ के लिए: $H(2)=(2-1)(2+1)(2-2)f(2)+g(2) = 0+g(2) = g(2)$
$x=1$ के लिए: $H(1)=(1-1)(1+1)(1-2)f(1)+g(1) = 0+g(1) = g(1)$
इन मानों को $H(-1)+2H(2)-3H(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$H(-1)+2H(2)-3H(1) = g(-1)+2g(2)-3g(1)$

(A) आंशिक भिन्न अपघटन दिया गया है: $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} + \frac{c}{1-3x}$.
दोनों पक्षों को $(1-x)(1-2x)(1-3x)$ से गुणा करने पर:
$1 = a(1-2x)(1-3x) + b(1-x)(1-3x) + c(1-x)(1-2x)$.
$a$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखें: $1 = a(1-2)(1-3) = a(-1)(-2) = 2a \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$b$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{1}{2}$ रखें: $1 = b(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2}) = b(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}b \Rightarrow b = -4$.
$c$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{1}{3}$ रखें: $1 = c(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3}) = c(\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}c \Rightarrow c = \frac{9}{2}$.
अब,$\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5} = \frac{1/2}{1} + \frac{-4}{3} + \frac{9/2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{9}{10}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $30$ लेने पर: $\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{27}{30} = \frac{15 - 40 + 27}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

(A) बहुपद का भाग करने पर: $\frac{6 x^4+13 x^3+2 x^2-x+3}{2 x^2+3 x-2} = 3 x^2+2 x+1 + \frac{5}{2 x^2+3 x-2}$
हर का गुणनखंड करने पर: $2 x^2+3 x-2 = (2 x-1)(x+2)$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{5}{(2 x-1)(x+2)} = \frac{A}{2 x-1} + \frac{B}{x+2}$
$5 = A(x+2) + B(2 x-1)$
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर: $A = 2$.
$x = -2$ रखने पर: $B = -1$.
तुलना करने पर: $f(x) = 3 x^2+2 x+1$,$a = 2$,$b = 2$,$A = 2$,$B = -1$.
$f(1)+a \cdot B+b \cdot A = 6 + 2(-1) + 2(2) = 8$.

(A) $\frac{x^5-5}{x^3+x^2}$ का बहुपद विभाजन करने पर:
$\frac{x^5-5}{x^3+x^2} = x^2 - x + 1 + \frac{-x^2-5}{x^3+x^2}$
अतः,$f(x) = x^2 - x + 1$ और $\frac{-x^2-5}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$.
$x^2(x+1)$ से गुणा करने पर:
$-x^2-5 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$
$-x^2-5 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$B = -5$,$A+B = 0 \Rightarrow A = 5$,$A+C = -1 \Rightarrow C = -6$.
दिया है $f(K) + A + B + C = 1$:
$(K^2 - K + 1) + 5 - 5 - 6 = 1$
$K^2 - K - 6 = 0$
$(K-3)(K+2) = 0$
$K = 3$ या $K = -2$.
$K$ का बड़ा मान $3$ है।

(C) दिया गया है $g(x) = 3x^2 + 4x + 7$. $x=2$ के परितः टेलर विस्तार द्वारा,हमारे पास $g(x) = g(2) + g^{\prime}(2)(x-2) + \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!}(x-2)^2$ है।
समीकरण $\frac{3x^2+4x+7}{(x-2)^3} = \frac{A}{(x-2)^3} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{C}{(x-2)}$ का अर्थ है $3x^2+4x+7 = A + B(x-2) + C(x-2)^2$.
इसकी तुलना टेलर विस्तार से करने पर,हमें $A = g(2)$,$B = g^{\prime}(2)$,और $C = \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!}$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: $g(2) = 3(4)+4(2)+7 = 27$,$g^{\prime}(x) = 6x+4 \Rightarrow g^{\prime}(2) = 16$,$g^{\prime \prime}(x) = 6 \Rightarrow \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!} = \frac{6}{2} = 3$.
अतः,$A=27, B=16, C=3$.
$A+B+C = 27+16+3 = 46$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $g(2)+g^{\prime}(2)+\frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!} = 27+16+3 = 46$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना $x-2 = t$,इसलिए $x = t+2$। इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3(t+2)^4 - 2(t+2)^2 + 1}{t^4} = A + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^2} + \frac{D}{t^3} + \frac{E}{t^4}$
अंश का विस्तार करने पर:
$3(t^4 + 8t^3 + 24t^2 + 32t + 16) - 2(t^2 + 4t + 4) + 1 = 3t^4 + 24t^3 + 72t^2 + 96t + 48 - 2t^2 - 8t - 8 + 1 = 3t^4 + 24t^3 + 70t^2 + 88t + 41$
$t^4$ से विभाजित करने पर:
$3 + \frac{24}{t} + \frac{70}{t^2} + \frac{88}{t^3} + \frac{41}{t^4} = A + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^2} + \frac{D}{t^3} + \frac{E}{t^4}$
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $A=3, B=24, C=70, D=88, E=41$ प्राप्त होता है।
अब,$2A + 3B - C - D + E = 2(3) + 3(24) - 70 - 88 + 41 = 6 + 72 - 70 - 88 + 41 = -39$।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2}{2 x^4+7 x^2+6}=\frac{A x+B}{x^2+a}+\frac{C x+D}{a x^2+3}$ है।
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $2 x^4+7 x^2+6 = (x^2+2)(2 x^2+3)$।
इसे दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हम $a=2$ प्राप्त करते हैं।
अब,भिन्न को इस प्रकार व्यक्त करें: $\frac{x^2}{(x^2+2)(2 x^2+3)} = \frac{P}{x^2+2} + \frac{Q}{2 x^2+3}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $x^2 = P(2 x^2+3) + Q(x^2+2)$।
$x^2 = -2$ के लिए: $-2 = P(-4+3) \implies -2 = -P \implies P = 2$।
$x^2 = -3/2$ के लिए: $-3/2 = Q(-3/2+2) \implies -3/2 = Q(1/2) \implies Q = -3$।
अतः,$\frac{x^2}{2 x^4+7 x^2+6} = \frac{2}{x^2+2} - \frac{3}{2 x^2+3}$।
$\frac{A x+B}{x^2+2} + \frac{C x+D}{2 x^2+3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=0, B=2, C=0, D=-3$ प्राप्त होता है।
$A+B+C-2 D = 0+2+0-2(-3) = 2+6 = 8$ की गणना करने पर।
चूंकि $a=2$,$4a = 4(2) = 8$ है।
इसलिए,$A+B+C-2 D = 4 a$।

(A) दी गई व्यंजक $\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)}$ है।
बहुपद विभाजन करने पर: $x^4 = (x^2+1)(x^2-1) + 1$.
अतः,$\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{(x^2+1)(x^2-1)+1}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{x^2-1}{x-2} + \frac{1}{(x^2+1)(x-2)}$.
आगे,$\frac{x^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4+3}{x-2} = x+2 + \frac{3}{x-2}$.
अब,$\frac{1}{(x^2+1)(x-2)}$ को आंशिक भिन्नों में विभाजित करने पर:
$\frac{1}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{x+2}{x^2+1} \right) = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)}$.
इन्हें जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)} = x+2 + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)} = x+2 + \frac{16}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)}$.
$f(x) + \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = x+2$,$A = -\frac{1}{5}$,$B = -\frac{2}{5}$,$C = \frac{16}{5}$.
$f(14) + 2A - B = (14+2) + 2(-\frac{1}{5}) - (-\frac{2}{5}) = 16 - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 16$.
चूंकि $5C = 5 \times \frac{16}{5} = 16$,इसलिए उत्तर $5C$ है।

(B) हम जानते हैं कि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$। इसकी तुलना $(x^2+ax+1)(x^2-ax+1) = x^4+(2-a^2)x^2+1$ से करने पर,हमें $2-a^2=1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2=1$। अतः,$a=1$।
दिया गया है $\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+ax+1} + \frac{Cx+D}{x^2-ax+1}$।
दोनों पक्षों को $(x^2+ax+1)(x^2-ax+1)$ से गुणा करने पर,हमें $1 = (Ax+B)(x^2-ax+1) + (Cx+D)(x^2+ax+1)$ प्राप्त होता है।
$RHS$ का विस्तार करने पर: $1 = (A+C)x^3 + (-aA+B+aC+D)x^2 + (A-aB+C+aD)x + (B+D)$।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A+C=0 \Rightarrow C=-A$
$2$) $B+D=1$
$3$) $-aA+B+aC+D = 0 \Rightarrow -aA+B-aA+D = 0 \Rightarrow -2aA + (B+D) = 0 \Rightarrow -2aA+1=0 \Rightarrow A = \frac{1}{2a}$। अतः $C = -\frac{1}{2a}$।
$4$) $A-aB+C+aD = 0 \Rightarrow (A+C) - a(B-D) = 0 \Rightarrow 0 - a(B-D) = 0 \Rightarrow B=D$।
चूंकि $B+D=1$ और $B=D$,हमें $B=D=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$A+B-C+D = \frac{1}{2a} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2a}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{a} + 1$।
चूंकि $a=1$,$A+B-C+D = 1+1 = 2 = 2a$।

(D) दिया गया है $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}=p(x)+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
बहुपद विभाजन करने पर: $x^4 = (x^3-6x^2+11x-6)(x+6) + (18x^2-42x+36)$.
अतः,$p(x) = x+6$.
शेष भाग के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{18x^2-42x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
$x=1$ के लिए: $12 = 2A \Rightarrow A=6$.
$x=2$ के लिए: $24 = -B \Rightarrow B=-24$.
$x=3$ के लिए: $72 = 2C \Rightarrow C=36$.
अब,$p\left(\frac{3}{2}\right) + C = \left(\frac{3}{2} + 6\right) + 36 = \frac{15}{2} + 36 = 43.5$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $48$ है।

(B) दी गई आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x+1}{\left(x^2+1\right)(x-1)^2}=\frac{A x+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x-1)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x+1 = (Ax+B)(x-1)^2 + C(x-1)(x^2+1) + D(x^2+1)$.
$x=1$ रखने पर: $1+1 = D(1^2+1) \Rightarrow 2 = 2D \Rightarrow D=1$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x+1 = (Ax+B)(x^2-2x+1) + C(x^3-x^2+x-1) + D(x^2+1)$
$x+1 = (A+C)x^3 + (-2A+B-C+D)x^2 + (A-2B+C)x + (B-C+D)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A+C = 0 \Rightarrow C = -A$
$2$) $-2A+B-C+D = 0 \Rightarrow -2A+B-(-A)+1 = 0 \Rightarrow -A+B+1 = 0 \Rightarrow B = A-1$
$3$) $A-2B+C = 1 \Rightarrow A-2(A-1)+(-A) = 1 \Rightarrow A-2A+2-A = 1 \Rightarrow -2A = -1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
अतः $C = -\frac{1}{2}$ और $B = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$ है।
अंत में,$A+B+C+D = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2+3}{(x^2+1)(x^2+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x^2+2)$ से गुणा करने पर: $x^2+3=(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)$ प्राप्त होता है।
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2+3=Ax^3+2Ax+Bx^2+2B+Cx^3+Cx+Dx^2+D$ प्राप्त होता है।
$x$ की घातों के अनुसार पदों को समूहित करने पर: $x^2+3=(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+(2B+D)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C=0$ ($x^3$ का गुणांक)
$B+D=1$ ($x^2$ का गुणांक)
$2A+C=0$ ($x$ का गुणांक)
$2B+D=3$ (अचर पद)
$A+C=0$ और $2A+C=0$ से,समीकरणों को घटाने पर $A=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $C=0$ है।
$B+D=1$ और $2B+D=3$ से,समीकरणों को घटाने पर $B=2$ प्राप्त होता है। $B=2$ को $B+D=1$ में रखने पर $D=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A=0, B=2, C=0, D=-1$ है।
इसलिए,$A+B+C+D=0+2+0+(-1)=1$ है।

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2-3x+2}{(x-4)(x-3)^2} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^2}$.
दोनों पक्षों को $(x-4)(x-3)^2$ से गुणा करने पर: $x^2-3x+2 = A(x-3)^2 + B(x-3)(x-4) + C(x-4)$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=4$ रखने पर: $4^2 - 3(4) + 2 = A(4-3)^2 \Rightarrow 16 - 12 + 2 = A(1)^2 \Rightarrow A = 6$.
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=3$ रखने पर: $3^2 - 3(3) + 2 = C(3-4) \Rightarrow 9 - 9 + 2 = C(-1) \Rightarrow 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों में $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = A + B$. चूंकि $A=6$,इसलिए $1 = 6 + B \Rightarrow B = -5$.
अंत में,$A+B+C = 6 + (-5) + (-2) = 6 - 7 = -1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
$(x-1)(x-2)(x-3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $1=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)$.
$x=1$ के लिए,$1=A(1-2)(1-3) \Rightarrow A=\frac{1}{2}$.
$x=2$ के लिए,$1=B(2-1)(2-3) \Rightarrow B=-1$.
$x=3$ के लिए,$1=C(3-1)(3-2) \Rightarrow C=\frac{1}{2}$.
अतः,$A+2B+3C = \frac{1}{2} + 2(-1) + 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$.
अब,$\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{P}{x-1}+\frac{Q}{x-2}+\frac{R}{x-3}$ के लिए,हमारे पास है $x=P(x-2)(x-3)+Q(x-1)(x-3)+R(x-1)(x-2)$.
$x=1$ के लिए,$1=P(1-2)(1-3) \Rightarrow P=\frac{1}{2}$.
$x=2$ के लिए,$2=Q(2-1)(2-3) \Rightarrow Q=-2$.
$x=3$ के लिए,$3=R(3-1)(3-2) \Rightarrow R=\frac{3}{2}$.
$P+Q+R = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$ की गणना करने पर.
चूंकि दोनों व्यंजक $0$ के बराबर हैं,इसलिए $A+2B+3C = P+Q+R$.

(D) $\frac{px+q}{(x+a)(x^2+b^2)}$ के लिए आंशिक भिन्न का रूप $\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+b^2}$ होता है।
$\frac{9x-7}{(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ रखें।
दोनों पक्षों को $(x+3)(x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें $9x-7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+3)$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $9x-7 = Ax^2 + A + Bx^2 + 3Bx + Cx + 3C = (A+B)x^2 + (3B+C)x + (A+3C)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B = 0 \implies B = -A$
$3B+C = 9$
$A+3C = -7$
दूसरे समीकरण में $B = -A$ रखने पर: $3(-A) + C = 9 \implies -3A + C = 9 \implies C = 9 + 3A$.
तीसरे समीकरण में $C$ का मान रखने पर: $A + 3(9 + 3A) = -7 \implies A + 27 + 9A = -7 \implies 10A = -34 \implies A = -\frac{34}{10} = -\frac{17}{5}$.
अतः $B = -A = \frac{17}{5}$ और $C = 9 + 3(-\frac{17}{5}) = \frac{45-51}{5} = -\frac{6}{5}$.
इन मानों को वापस रखने पर,हमें $\frac{-17}{5(x+3)} + \frac{\frac{17}{5}x - \frac{6}{5}}{x^2+1} = \frac{-17}{5(x+3)} + \frac{17x-6}{5(x^2+1)}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^4+3 x+1}{(x+1)^2(x-1)}=A x+B+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{x-1}$.
सबसे पहले,$x^4+3x+1$ को $(x+1)^2(x-1) = x^3+x^2-x-1$ से विभाजित करने पर,भागफल $(x-1)$ और शेषफल $3x^2+3x$ प्राप्त होता है। अतः,$Ax+B = x-1$,जिसका अर्थ है $A=1$ और $B=-1$.
अब,$\frac{3x^2+3x}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2} + \frac{E}{x-1}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)^2(x-1)$ से गुणा करने पर: $3x^2+3x = C(x+1)(x-1) + D(x-1) + E(x+1)^2$.
$x=1$ रखने पर: $3(1)^2+3(1) = E(1+1)^2 \Rightarrow 6 = 4E \Rightarrow E = 3/2$.
$x=-1$ रखने पर: $3(-1)^2+3(-1) = D(-1-1) \Rightarrow 0 = -2D \Rightarrow D = 0$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $3 = C + E \Rightarrow 3 = C + 3/2 \Rightarrow C = 3/2$.
इस प्रकार,$A=1, B=-1, C=3/2, D=0, E=3/2$.
अतः,$A+B+C+D+E = 1 - 1 + 3/2 + 0 + 3/2 = 6/2 = 3$.

(A) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{5x^4+4x^2+7}{(x^2+1)(x^4+x^2+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx^3+Dx^2+Ex+F}{x^4+x^2+1}$
दोनों पक्षों को हर $(x^2+1)(x^4+x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5x^4+4x^2+7 = (Ax+B)(x^4+x^2+1) + (Cx^3+Dx^2+Ex+F)(x^2+1)$
दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$5x^4+4x^2+7 = Ax^5+Ax^3+Ax + Bx^4+Bx^2+B + Cx^5+Cx^3+Dx^4+Dx^2+Ex^3+Ex+Fx^2+F$
$x$ की समान घातों के गुणांकों को समूहित करने पर:
$5x^4+4x^2+7 = (A+C)x^5 + (B+D)x^4 + (A+C+E)x^3 + (B+D+F)x^2 + (A+E)x + (B+F)$
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C = 0$
$2) B+D = 5$
$3) A+C+E = 0$
$4) B+D+F = 4$
$5) A+E = 0$
$6) B+F = 7$
$(1)$ और $(3)$ से,चूंकि $A+C=0$,हमें $E=0$ प्राप्त होता है।
$(5)$ से,$A+E=0 \implies A=0$,जिसका अर्थ है कि $C=0$।
$(2)$ से,$B+D=5$। $(4)$ से,$(B+D)+F=4 \implies 5+F=4 \implies F=-1$।
$(6)$ से,$B+F=7 \implies B-1=7 \implies B=8$।
अतः $D = 5-B = 5-8 = -3$।
इस प्रकार,$A=0, B=8, C=0, D=-3, E=0, F=-1$।
व्यंजक की गणना करने पर:
$B+2(D+F+E)-C \cdot A = 8 + 2(-3-1+0) - 0 \cdot 0 = 8 + 2(-4) - 0 = 8-8 = 0$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2x+1}{(x-1)^2(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+1)$ से गुणा करने पर:
$2x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$2x+1 = A(x^3-x^2+x-1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-2x+1)$.
$2x+1 = x^3(A+C) + x^2(-A+B-2C+D) + x(A+C-2D) + (-A+B+D)$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C = 0$
$2) -A+B-2C+D = 0$
$3) A+C-2D = 2$
$4) -A+B+D = 1$
$(1)$ से,$C = -A$. $(3)$ में रखने पर: $A-A-2D = 2 \Rightarrow -2D = 2 \Rightarrow D = -1$.
$D = -1$ को $(4)$ में रखने पर: $-A+B-1 = 1 \Rightarrow -A+B = 2 \Rightarrow B = A+2$.
$C = -A, D = -1, B = A+2$ को $(2)$ में रखने पर: $-A+(A+2)-2(-A)+(-1) = 0 \Rightarrow 2A+1 = 0 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$.
अतः $B = -\frac{1}{2}+2 = \frac{3}{2}$ और $C = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$A+B+C+D = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2-2}{(x^2+1)(x^2+3)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$ है।
माना $y = x^2$ है। व्यंजक $\frac{y-2}{(y+1)(y+3)} = \frac{B}{y+1} + \frac{D}{y+3}$ हो जाता है (क्योंकि $Ax$ और $Cx$ पद $0$ होने चाहिए)।
$D$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $(y+3)$ से गुणा करके $y = -3$ रखने पर:
$D = \left[ \frac{y-2}{y+1} \right]_{y=-3} = \frac{-3-2}{-3+1} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$.

(C) माना $y = \frac{2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ है। आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,हम लिखते हैं: $\frac{2x+1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}$.
अचरों के लिए हल करने पर: $2x+1 = a(x+1)^2 + b(x+1)(x-2) + c(x-2)$.
$x=2$ के लिए: $5 = a(3)^2 \Rightarrow a = \frac{5}{9}$.
$x=-1$ के लिए: $-1 = c(-3) \Rightarrow c = \frac{1}{3}$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = a + b \Rightarrow b = -a = -\frac{5}{9}$.
अतः,$y = \frac{5/9}{x-2} - \frac{5/9}{x+1} + \frac{1/3}{(x+1)^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{5/9}{(x-2)^2} + \frac{5/9}{(x+1)^2} - \frac{2/3}{(x+1)^3}$.
इसकी तुलना $\frac{A}{(x-2)^2} + \frac{B}{(x+1)^3} + \frac{C}{(x+1)^2}$ से करने पर,हमें $A = -\frac{5}{9}$,$B = -\frac{2}{3}$,और $C = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A+B+C = -\frac{5}{9} - \frac{2}{3} + \frac{5}{9} = -\frac{2}{3}$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3 x^2+ax+3}{(2 x+3)(x^2+2)}=\frac{3}{2 x+3}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$
हर को समान करके अंशों की तुलना करने पर:
$3 x^2+ax+3 = 3(x^2+2) + (Bx+C)(2x+3)$
$3 x^2+ax+3 = 3x^2 + 6 + 2Bx^2 + 3Bx + 2Cx + 3C$
$3 x^2+ax+3 = (3+2B)x^2 + (3B+2C)x + (6+3C)$
$x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \ 3+2B = 3 \implies 2B = 0 \implies B = 0$
$2) \ 3B+2C = a \implies 3(0)+2C = a \implies 2C = a \implies C = \frac{a}{2}$
$3) \ 6+3C = 3 \implies 3C = -3 \implies C = -1$
$C = -1$ को $C = \frac{a}{2}$ में रखने पर:
$-1 = \frac{a}{2} \implies a = -2$
अंत में,$a(B+C)$ की गणना करने पर:
$a(B+C) = -2(0 + (-1)) = -2(-1) = 2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $\frac{2x^2-3x+5}{(x-7)^3}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{(x-7)^2}+\frac{C}{(x-7)^3}$।
दोनों पक्षों को $(x-7)^3$ से गुणा करने पर:
$2x^2-3x+5 = A(x-7)^2 + B(x-7) + C$
$2x^2-3x+5 = A(x^2-14x+49) + Bx - 7B + C$
$2x^2-3x+5 = Ax^2 + (B-14A)x + (49A-7B+C)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 2$
$B-14A = -3$ $\Rightarrow B-14(2) = -3$ $\Rightarrow B-28 = -3$ $\Rightarrow B = 25$
$49A-7B+C = 5$ $\Rightarrow 49(2)-7(25)+C = 5$ $\Rightarrow 98-175+C = 5$ $\Rightarrow C-77 = 5$ $\Rightarrow C = 82$
अब,$2A-3B+C$ का मान ज्ञात करने पर:
$2(2)-3(25)+82 = 4-75+82 = 11$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।