De Broglie's principle Questions in Hindi

(C) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
चूंकि वेग $(v)$ और प्लांक नियतांक $(h)$ सभी कणों के लिए समान हैं,इसलिए तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ द्रव्यमान $(m)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
अतः,जिस कण का द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होगी।
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg$ है,जो प्रोटॉन और अन्य अणुओं की तुलना में बहुत कम है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान न्यूनतम है,इसलिए इसकी डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होगी।

(C) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
वेग के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$v = \frac{h}{m \lambda}$.
दिए गए मान: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $\lambda = 58 \ nm = 58 \times 10^{-9} \ m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (58 \times 10^{-9})}$
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{527.8 \times 10^{-40}}$
$v = 1.256 \times 10^4 \ ms^{-1}$.
अतः,सही उत्तर $1.26 \times 10^4 \ ms^{-1}$ है।

(B) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{p}$.
अतः,संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$.
यहाँ,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $\lambda = 6.0 \ \mathring{A} = 6.0 \times 10^{-10} \ m$.
मान रखने पर,$p = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \ s}{6.0 \times 10^{-10} \ m} = 1.105 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1} \approx 1.1 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 6.64 \times 10^{-27} \ kg$,और $v = 3 \times 10^3 \ ms^{-1}$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.64 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^3} \ m$.
$\lambda = \frac{6.63}{19.92} \times 10^{-34 - (-27) - 3} \ m$.
$\lambda \approx 0.333 \times 10^{-10} \ m = 0.0333 \times 10^{-9} \ m$.
चूंकि $1 \ nm = 10^{-9} \ m$,इसलिए $\lambda = 0.0333 \ nm$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
चूँकि $p = mv$ और गतिज ऊर्जा $E_K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mE_K}$ होता है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_K}}$।
हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{v_0 Z}{n}$ होता है।
चूँकि $p = mv$ है,इसलिए संवेग $p_n$,$\frac{1}{n}$ के समानुपाती होता है।
इसलिए,$\lambda_n = \frac{h}{p_n} \propto n$।
जब इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n = 4)$ से मूल अवस्था $(n = 1)$ में जाता है,तो तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{n=1}}{\lambda_{n=4}} = \frac{1}{4}$ होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mqV}$ है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
इलेक्ट्रॉन के लिए: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mVq}}$.
$M$ द्रव्यमान वाले प्रोटॉन के लिए जिसे $9 \ V$ द्वारा त्वरित किया जाता है: $\lambda_{p} = \frac{h}{\sqrt{2M(9 \ V)q}} = \frac{h}{3\sqrt{2MVq}}$.
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर: $\frac{\lambda}{\lambda_{p}} = \frac{\sqrt{2M(9 \ V)q}}{\sqrt{2mVq}} = 3 \sqrt{\frac{M}{m}}$.
इसलिए,$\lambda_{p} = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(D) दिया गया है,फोटॉन की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 2.2 \times 10^{-11} \ m$।
प्लांक नियतांक,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$।
डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{p}$।
अतः,संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$।
मान रखने पर: $p = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ J \ s}{2.2 \times 10^{-11} \ m} = 3 \times 10^{-23} \ kg \ m \ s^{-1}$।

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = h / p$,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$h$ प्लैंक स्थिरांक है,और $p$ संवेग है।
दिया गया है $\lambda_{A} = 5 \times 10^{-8} \ m$ और $p_{B} = 0.5 \ p_{A}$।
चूंकि $\lambda \propto 1 / p$,इसलिए $\lambda_{B} / \lambda_{A} = p_{A} / p_{B}$ होगा।
$p_{B} = 0.5 \ p_{A}$ रखने पर,$\lambda_{B} / \lambda_{A} = p_{A} / (0.5 \ p_{A}) = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_{B} = 2 \times \lambda_{A} = 2 \times 5 \times 10^{-8} \ m = 10^{-7} \ m$।
$\mathring{A}$ में बदलने पर: $1 \ m = 10^{10} \ \mathring{A}$,इसलिए $10^{-7} \ m = 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 1000 \ \mathring{A}$।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$m = \frac{h}{\lambda v}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $h = 6.62 \times 10^{-34} \text{ } Js$,$\lambda = 6.62 \times 10^{-35} \text{ } m$,और $v = 100 \text{ } ms^{-1}$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$m = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{6.62 \times 10^{-35} \times 100}$.
$m = \frac{10^{-34}}{10^{-35} \times 10^2} = \frac{10^{-34}}{10^{-33}} = 10^{-1} = 0.1 \text{ } kg$.
अतः,$x = 0.1 \text{ } kg$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ mg = 10 \times 10^{-6} \ kg = 10^{-5} \ kg$.
वेग $v = 100 \ ms^{-1} = 10^2 \ ms^{-1}$.
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र का उपयोग करने पर: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-5} \times 10^2} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-3}} = 6.63 \times 10^{-31} \ m$.

(B) डी-ब्रोग्ली के समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$।
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$
$m = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$
$v = 2.2 \times 10^6 \ ms^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.0 \times 10^{-31} \times 2.2 \times 10^6}$
$\lambda = \frac{6.6}{19.8} \times 10^{-34+31-6} \ m$
$\lambda = 0.333 \times 10^{-9} \ m$
चूंकि $1 \ nm = 10^{-9} \ m$,इसलिए तरंगदैर्ध्य $0.33 \ nm$ है।

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन के लिए,वेग $v$,$\frac{Z}{n}$ के समानुपाती होता है।
चूंकि कक्षा की परिधि $2 \pi r = n \lambda$ है और $r \propto \frac{n^2}{Z}$,इसलिए $\lambda = \frac{2 \pi r}{n} \propto \frac{n^2/Z}{n} = \frac{n}{Z}$ होता है।
$H$-परमाणु $(Z=1)$ के लिए मूल अवस्था में $(n=1)$: $\lambda_1 \propto \frac{1}{1} = 1$। दिया गया है $\lambda_1 = y$।
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए चौथी कक्षा में $(n=4)$: $\lambda_2 \propto \frac{4}{2} = 2$।
अतः,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2}{1} = 2$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_2 = 2 y$।

(C) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{m_e v}$ है।
दिए गए मान $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m_e = 9 \times 10^{-31} \ kg$,और $v = x \times 10^6 \ m \ s^{-1}$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9 \times 10^{-31} \times x \times 10^6} \ m$
$\lambda = \frac{6.6}{9} \times 10^{-34 + 31 - 6} \times \frac{1}{x} \ m$
$\lambda = 0.733 \times 10^{-9} \times \frac{1}{x} \ m$
चूंकि $1 \ m = 10^9 \ nm$ है,इसलिए:
$\lambda = 0.733 \times 10^{-9} \times \frac{1}{x} \times 10^9 \ nm$
$\lambda = \frac{0.733}{x} \ nm \approx \frac{0.73}{x} \ nm$.

(A) इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित ऊर्जा $= 1.5 \times 2.18 \times 10^{-18} \ J = 3.27 \times 10^{-18} \ J$.
बाहर निकलने के लिए आवश्यक ऊर्जा $= 2.18 \times 10^{-18} \ J$.
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $= 3.27 \times 10^{-18} - 2.18 \times 10^{-18} = 1.09 \times 10^{-18} \ J$.
डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e KE}}$.
मान रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.09 \times 10^{-18}}}$.
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{19.62 \times 10^{-49}}} = \frac{h \times 10^{24}}{\sqrt{1.962}} \ m$.

(C) बोहर के क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके $2\pi r = n\lambda$ या $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ प्राप्त कर सकते हैं।
$H$-परमाणु के लिए, $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 \times a_0$ है, जहाँ $a_0 = 52.9 \ pm$ है।
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए, $r_3 = 3^2 \times 52.9 \ pm = 9 \times 52.9 \ pm$।
$n = 3$ और $r_3$ को तरंगदैर्ध्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{2\pi \times (9 \times 52.9 \ pm)}{3} = 6\pi \times 52.9 \ pm$।

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है,$m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$,जिसका अर्थ है $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
दिया गया है $\lambda_X = 1 \ nm$,$\lambda_Y = 3 \ nm$,और $m_X = 9m_Y$।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_X}{K_Y} = \frac{h^2}{2m_X\lambda_X^2} \times \frac{2m_Y\lambda_Y^2}{h^2} = \frac{m_Y}{m_X} \times \left(\frac{\lambda_Y}{\lambda_X}\right)^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{K_X}{K_Y} = \frac{m_Y}{9m_Y} \times \left(\frac{3}{1}\right)^2 = \frac{1}{9} \times 9 = 1$।
अतः,अनुपात $1: 1$ है।

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m) = 1 \ mg = 1 \times 10^{-6} \ kg$
वेग $(v) = 10 \ m \ s^{-1}$
प्लांक नियतांक $(h) = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$
मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \ s}{(1 \times 10^{-6} \ kg) \times (10 \ m \ s^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-5}} \ m$
$\lambda = 6.63 \times 10^{-29} \ m$

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
चूंकि गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}}$.
तरंगदैर्ध्य समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m \times KE}}$.
प्रकाश वैद्युत प्रभाव समीकरण से,$KE = hv - hv_0 = h(v - v_0)$.
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mh(v - v_0)}} = \sqrt{\frac{h}{2m(v - v_0)}}$.
इसलिए,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{v - v_0}}$।

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot KE}}$ है।
दिया गया है $KE = 2.5 \ eV = 2.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4 \times 10^{-19} \ J$.
दिया गया है $m_{e} = 9 \times 10^{-31} \ kg$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{72 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{72} \times 10^{-25}}$
$\lambda = \frac{h \times 10^{25}}{\sqrt{72}}$.

(B) प्रकाश का वेग $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ है।
इलेक्ट्रॉन का वेग $v = 20 \% \text{ of } c = \frac{20}{100} \times 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1} = 6 \times 10^7 \ m \ s^{-1}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{m_{e} v}$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{(9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (6 \times 10^7 \ m \ s^{-1})}$।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{54.6 \times 10^{-24}} \ m \approx 1.213 \times 10^{-11} \ m$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
दिया गया है: $\lambda = 1000 \ nm = 1000 \times 10^{-9} \ m = 1.0 \times 10^{-6} \ m$ और $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
संवेग के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $p = \frac{h}{\lambda}$.
मान रखने पर: $p = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ J \ s}{1.0 \times 10^{-6} \ m} = 6.6 \times 10^{-28} \ kg \ m \ s^{-1}$.

(C) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार:
$p = \frac{h}{\lambda}$ या $v = \frac{h}{m \lambda}$
गतिज ऊर्जा ($K$.$E$.) $= \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{h}{m \lambda}\right)^2 = \frac{h^2}{2m \lambda^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K$.$E$. $= \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.0 \times 10^{-31} \times (3.3 \times 10^{-10})^2}$
$K$.$E$. $= \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18.0 \times 10^{-31} \times 10.89 \times 10^{-20}}$
$K$.$E$. $= \frac{43.56 \times 10^{-68}}{196.02 \times 10^{-51}} \approx 0.222 \times 10^{-17} \ J$
$K$.$E$. $= 2.22 \times 10^{-18} \ J$

(B) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों कणों का वेग समान है $(v_A = v_B = v)$,इसलिए तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है: $\lambda \propto \frac{1}{m}$.
हमें $\lambda_A = 2\lambda_B$ दिया गया है।
संबंध को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{h}{m_A v} = 2 \times \frac{h}{m_B v}$.
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{m_A} = \frac{2}{m_B}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m_B = 2m_A$ या $m_A = \frac{1}{2}m_B$.
अतः,कण $A$ का द्रव्यमान कण $B$ के द्रव्यमान का आधा है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होने के कारण,$p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $h$ और $E$ स्थिर हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
$m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ के लिए,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}} = \frac{\sqrt{2m}}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ होगा।
अतः,अनुपात $\sqrt{2}: 1$ है।

(A) फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,संवेग $p = mv$ है।
दोनों को बराबर करने पर,$mv = \frac{h}{\lambda}$,जिसका अर्थ है $v = \frac{h}{m \lambda}$।
दिया गया है:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$\lambda = 663 \ nm = 663 \times 10^{-9} \ m = 6.63 \times 10^{-7} \ m$
मान रखने पर:
$v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (6.63 \times 10^{-7})}$
$v = \frac{10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 10^{-7}} = \frac{10^{-34}}{9.1 \times 10^{-38}}$
$v = \frac{10^4}{9.1} \approx 1098.9 \ m/s$.
अतः,वेग लगभग $1098 \ m/s$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
कण $A$ के लिए,$\lambda_A = \frac{h}{m_A v_A}$.
कण $B$ के लिए,$\lambda_B = \frac{h}{m_B v_B}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{2}{1}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{m_B v_B}{m_A v_A} = 2$.
$v_A = 0.05 \ ms^{-1}$ और $v_B = 0.02 \ ms^{-1}$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{m_B \times 0.02}{m_A \times 0.05} = 2$.
$\frac{m_B}{m_A} \times \frac{2}{5} = 2$.
$\frac{m_B}{m_A} = 2 \times \frac{5}{2} = 5$.
अतः,$\frac{m_A}{m_B} = \frac{1}{5}$,जो कि $1: 5$ है।

(B) स्थिर कक्षा के लिए डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,कक्षा की परिधि तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है:
$n \lambda = 2 \pi r$
$\lambda = \frac{2 \pi r}{n}$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$वीं कक्षा की त्रिज्या $r = a_0 \times n^2$ द्वारा दी जाती है।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{2 \pi (a_0 \times n^2)}{n} = 2 \pi a_0 n$
यहाँ $n = 2$ और $a_0 = 0.529 \ \mathring{A}$ दिया गया है:
$\lambda = 2 \times \pi \times 0.529 \times 2 \ \mathring{A}$
$\lambda = 2.116 \pi \ \mathring{A}$

(B) डी-ब्रोग्ली तरंग समीकरण $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $60 \ g = 0.06 \ kg$.
वेग $(v)$ = $10 \ ms^{-1}$.
प्लांक नियतांक $(h)$ = $6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.06 \times 10} = 1.105 \times 10^{-33} \ m$.
अतः,तरंगदैर्ध्य लगभग $1.1 \times 10^{-33} \ m$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
द्रव्यमान के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$m = \frac{h}{\lambda v}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$,$\lambda = 0.35 \ nm = 0.35 \times 10^{-9} \ m$,और $v = c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$।
मान रखने पर: $m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.35 \times 10^{-9} \times 3 \times 10^8} \ kg$।
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.05 \times 10^{-1}} \ kg = 6.31 \times 10^{-33} \ kg$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है,कण का द्रव्यमान $(m) = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = 182 \ nm = 182 \times 10^{-9} \ m$.
डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$,इसलिए वेग $v = \frac{h}{m \lambda}$.
मान रखने पर: $v = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 182 \times 10^{-9}} \ m/s$.
$v = 4 \times 10^3 \ m/s$.
गतिज ऊर्जा $(KE) = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (4 \times 10^3)^2 \ J$.
$KE = 7.28 \times 10^{-24} \ J$.

(C) दिया गया है,\\ गतिज ऊर्जा $(KE) = 2.0 \times 10^{-25} \ J$ \\ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m) = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$ \\ प्लांक नियतांक $(h) = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$ \\ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र का उपयोग करते हुए: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ \\ मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.0 \times 10^{-31} \times 2.0 \times 10^{-25}}}$ \\ $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{36 \times 10^{-56}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.0 \times 10^{-28}}$ \\ $\lambda = 1.105 \times 10^{-6} \ m$ \\ $nm$ में बदलने पर: $\lambda = 1.105 \times 10^{-6} \times 10^9 \ nm = 1105 \ nm$ \\ निकटतम अनुमानित मान $1104.3 \ nm$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
यहाँ,$h$ प्लांक स्थिरांक $(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)$ है,$v$ कण की गति है,$m$ द्रव्यमान है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
द्रव्यमान के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $m = \frac{h}{\lambda \times v}$.
दिए गए मान:
$v = 2.0 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$
$\lambda = 3.313 \mathring{A} = 3.313 \times 10^{-10} \ m$
समीकरण में इन मानों को रखने पर:
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{(3.313 \times 10^{-10} \ m) \times (2.0 \times 10^8 \ m \ s^{-1})}$
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.626 \times 10^{-2}} \ kg = 1.0 \times 10^{-32} \ kg$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $p = \sqrt{2mK}$,जहां $m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{p_2}{p_1} = \sqrt{\frac{2m_2 K_2}{2m_1 K_1}}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ और $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} = 3$ और $\frac{K_2}{K_1} = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{3 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}:\sqrt{2}$।

(C) गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 8.0 \times 10^{-25}}{9.0 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{16}{9} \times 10^6} = \frac{4}{3} \times 10^3 \ m/s$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$,और $v = \frac{4}{3} \times 10^3 \ m/s$ रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.0 \times 10^{-31} \times (4/3) \times 10^3} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12 \times 10^{-28}} = 0.55216 \times 10^{-6} \ m$.
$nm$ में बदलने पर: $\lambda = 0.55216 \times 10^{-6} \times 10^9 \ nm = 552.16 \ nm \approx 552.2 \ nm$.

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m K E}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया द्रव्यमान अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ और गतिज ऊर्जा अनुपात $\frac{K E_1}{K E_2} = \frac{2}{1}$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2 \times K E_2}{m_1 \times K E_1}}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{3 \times 1}{1 \times 2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $v$ कण का वेग है।
$v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v = \frac{h}{m \lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \ J \ s}{(4.5 \times 10^{-31} \ kg) \times (1000 \times 10^{-9} \ m)} \approx 1.471 \times 10^{-6} \ m/s$.
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है।
मान रखने पर: $KE = 0.5 \times (4.5 \times 10^{-31} \ kg) \times (1.471 \times 10^{-6} \ m/s)^2 \approx 4.87 \times 10^{-43} \ J$.
नोट: दिए गए विकल्प गणना के साथ मेल नहीं खाते हैं,जो प्रश्न में इकाई की त्रुटि को दर्शाता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$K = 18.2 \times 10^{-25} \ J$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 18.2 \times 10^{-25}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{331.24 \times 10^{-56}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{18.2 \times 10^{-28}}$
$\lambda = 0.364 \times 10^{-6} \ m = 364 \times 10^{-9} \ m = 364 \ nm$.

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
$K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $\lambda = 728.14 \ nm = 728.14 \times 10^{-9} \ m$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$।
मान रखने पर:
$K = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (728.14 \times 10^{-9})^2}$
गणना करने पर $K \approx 4.55 \times 10^{-25} \ J$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $1.67 \times 10^{-27} \ kg$
वेग $(v)$ = $3.97 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$
प्लांक स्थिरांक $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 3.97 \times 10^6}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.63 \times 10^{-21}}$
$\lambda \approx 1 \times 10^{-13} \ m$.

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $K.E.$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ है।
इसका अर्थ है $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K.E.}}$
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा आधी हो जाती है,$(K.E.)_2 = \frac{(K.E.)_1}{2}$.
अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2}} = \sqrt{\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_1 / 2}} = \sqrt{2}$.
अतः,$\lambda_2 = \sqrt{2} \lambda_1$.

(C) बोहर की अभिधारणा के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटाइज्ड होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जिसका अर्थ है $mv = \frac{h}{\lambda}$।
कोणीय संवेग समीकरण में $mv$ का मान रखने पर: $r = \frac{n}{2\pi} \times \frac{h}{mv} = \frac{n\lambda}{2\pi}$।
कक्षा की परिधि $C = 2\pi r$ होती है।
$r$ के लिए समीकरण रखने पर: $C = 2\pi \times \frac{n\lambda}{2\pi} = n\lambda$।
चौथी कक्षा के लिए $n = 4$,इसलिए परिधि $4\lambda$ होगी।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच संबंध: $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
दिए गए मान: $h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $\lambda = 10^3 \ nm = 10^3 \times 10^{-9} \ m = 10^{-6} \ m$.
संवेग के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $p = \frac{h}{\lambda}$.
मान रखने पर: $p = \frac{6.625 \times 10^{-34} \ J \ s}{10^{-6} \ m} = 6.625 \times 10^{-28} \ kg \ m \ s^{-1}$.

(C) डी ब्रोग्ली परिकल्पना यह बताती है कि सभी पदार्थ तरंग जैसे गुण प्रदर्शित करते हैं और पदार्थ की तरंगदैर्ध्य को उसके संवेग से संबंधित करती है।
$\lambda = \frac{h}{mv}$,जहाँ $\lambda$ कण तरंग की तरंगदैर्ध्य है और $v$ कण का वेग है।
हम जानते हैं कि आवृत्ति $u = \frac{C}{\lambda}$,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{C}{u}$।
डी ब्रोग्ली समीकरण में $\lambda$ का मान रखने पर: $\frac{C}{u} = \frac{h}{mv}$।
वेग $v$ के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v = \frac{hu}{mC}$

(D) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ एक सेकंड में इलेक्ट्रॉन द्वारा तय की गई दूरी के बराबर है,इसलिए $\lambda = v \times 1 = v$.
डी-ब्रोग्ली समीकरण में $\lambda = v$ रखने पर: $v = \frac{h}{mv}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $v^2 = \frac{h}{m}$,जिससे $v = \sqrt{\frac{h}{m}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda = v$,इसलिए हमें $\lambda = \sqrt{\frac{h}{m}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $\lambda = \sqrt{\frac{h}{m}}$ है।

(C) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
यहाँ,$E = 1.65 \ eV = 1.65 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 2.6433 \times 10^{-19} \ J$.
प्रोटॉन का द्रव्यमान $m = 1.6726 \times 10^{-27} \ kg$.
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.6726 \times 10^{-27} \times 2.6433 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = 7.046 \times 10^{-12} \ m = 0.007046 \ nm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम उत्तर $0.022 \ nm$ है,अतः सही विकल्प $C$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m \times KE}}$.
चूंकि एक इलेक्ट्रॉन के लिए $h$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{KE}}$.
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{KE_2}{KE_1}}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{16}{9}$,इसलिए $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ या $3:4$।

(C) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 11.043 \times 10^{-26} \ kg$
$v = 6.0 \times 10^7 \ ms^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(11.043 \times 10^{-26}) \times (6.0 \times 10^7)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{66.258 \times 10^{-19}}$
$\lambda \approx 0.10006 \times 10^{-15} \ m = 1.0 \times 10^{-16} \ m$.

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}} = \frac{h}{\sqrt{2m}} \times \frac{1}{\sqrt{K.E.}}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \lambda$ और $x = \frac{1}{\sqrt{K.E.}}$,ढाल (slope) $\text{slope} = \frac{h}{\sqrt{2m}}$ प्राप्त होती है।
चूँकि ढाल द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है $(\text{slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}})$,इसलिए बड़ी ढाल कम द्रव्यमान को दर्शाती है।
आलेख से,रेखा $B$ की ढाल रेखा $A$ की ढाल से अधिक है $(\text{slope}_B > \text{slope}_A)$।
अतः,$m_B < m_A$ या $m_A > m_B$।

(C) परमाणु का क्वांटम यांत्रिक मॉडल $de \text{ } Broglie$ द्वारा प्रस्तावित पदार्थ की द्वैत प्रकृति (तरंग-कण द्वैतता) पर आधारित है।
यह मॉडल इलेक्ट्रॉन को कण और तरंग दोनों के रूप में मानता है,जिसका गणितीय विवरण $Schrodinger$ तरंग समीकरण द्वारा दिया जाता है।