De Broglie's principle Questions in Hindi

(A) बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार, कक्षा की परिधि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r = n \lambda$।
$n^{th}$ बोहर कक्षा के लिए, त्रिज्या $r = n^{2} a_{0}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_{0}$ बोहर त्रिज्या है।
$4^{th}$ कक्षा $(n = 4)$ के लिए, त्रिज्या $r = 4^{2} a_{0} = 16 a_{0}$ है।
इन मानों को क्वांटाइजेशन समीकरण में रखने पर: $2 \pi (16 a_{0}) = 4 \lambda$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{32 \pi a_{0}}{4} = 8 \pi a_{0}$।

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार: $\lambda = \frac{h}{mv}$
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \,J \,s$,$m = 0.1 \,kg$,$v = 10 \,m \,s^{-1}$
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \,J \,s}{(0.1 \,kg)(10 \,m \,s^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1} \,m = 6.626 \times 10^{-34} \,m$

गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$.
सबसे पहले,वेग $(v)$ की गणना करें:
$v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.0 \times 10^{-25} \ J}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}} \approx 812 \ m \ s^{-1}$.
अब,डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र का उपयोग करें: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{(9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (812 \ m \ s^{-1})}$.
$\lambda \approx 8.967 \times 10^{-7} \ m = 896.7 \ nm$.

दिया गया तरंगदैर्ध्य $\lambda = 3.6 \, \mathring{A} = 3.6 \times 10^{-10} \, \text{m}$ है।
फोटॉन का वेग $v$,प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, \text{m s}^{-1}$ के बराबर होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध $m = \frac{h}{\lambda v}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J s}$ है:
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, \text{J s}}{(3.6 \times 10^{-10} \, \text{m})(3 \times 10^8 \, \text{m s}^{-1})}$
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10.8 \times 10^{-2}} \, \text{kg}$
$m = 6.135 \times 10^{-33} \, \text{kg}$.

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \,J s$
$m = 9.109 \times 10^{-31} \,kg$
$v = 2.05 \times 10^{7} \,m s^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.109 \times 10^{-31})(2.05 \times 10^{7})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{18.673 \times 10^{-24}}$
$\lambda = 0.3548 \times 10^{-10} \,m = 3.548 \times 10^{-11} \,m$.

(N/A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.) = 3.0 \times 10^{-25} \ J$.
चूंकि $K.E. = \frac{1}{2} mv^{2}$,इसलिए वेग $(v) = \sqrt{\frac{2 K.E.}{m}}$.
$v = \sqrt{\frac{2(3.0 \times 10^{-25} \ J)}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}} = \sqrt{6.5934 \times 10^{5}} \approx 812 \ ms^{-1}$.
$\lambda$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ Js}{(9.1 \times 10^{-31} \ kg)(812 \ ms^{-1})} \approx 8.96 \times 10^{-7} \ m$.
अतः,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $8.96 \times 10^{-7} \ m$ है।

डी ब्रोग्ली के समीकरण से,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E) = 3.0 \times 10^{-25} \ J$.
चूंकि $K.E = \frac{1}{2} mv^2$,इसलिए वेग $(v) = \sqrt{\frac{2 K.E}{m}}$.
$v = \sqrt{\frac{2(3.0 \times 10^{-25} \ J)}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}} = \sqrt{6.5934 \times 10^5} \approx 812 \ ms^{-1}$.
$\lambda$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ Js}{(9.1 \times 10^{-31} \ kg)(812 \ ms^{-1})} \approx 8.96 \times 10^{-7} \ m$.
अतः,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $8.96 \times 10^{-7} \ m$ है।

(N/A) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग इस प्रकार है:
$mvr = n \frac{h}{2\pi}$ ........$(1)$
जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$mv = \frac{h}{\lambda}$ ........$(2)$
समीकरण $(2)$ से $mv$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$r \left( \frac{h}{\lambda} \right) = n \frac{h}{2\pi}$
दोनों पक्षों से $h$ को हटाने और पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2\pi r = n\lambda$ ........$(3)$
चूंकि $2\pi r$ बोहर कक्षा की परिधि को दर्शाता है,समीकरण $(3)$ यह सिद्ध करता है कि बोहर कक्षा की परिधि इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज है।

डी ब्रोग्ली के समीकरण के अनुसार, $\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \,Js$
$m = 9.109 \times 10^{-31} \,kg$
$v = 1.6 \times 10^{6} \,ms^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \,Js}{(9.109 \times 10^{-31} \,kg)(1.6 \times 10^{6} \,ms^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.4574 \times 10^{-24}} \,m$
$\lambda = 4.546 \times 10^{-10} \,m \approx 4.55 \times 10^{-10} \,m$
पिकोमीटर में बदलने पर:
$\lambda = 455 \,pm$.

डी ब्रोग्ली के समीकरण के अनुसार, $\lambda = \frac{h}{mv}$।
वेग के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $v = \frac{h}{m\lambda}$।
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$m = 1.67493 \times 10^{-27} \, kg$ (न्यूट्रॉन का द्रव्यमान)
$\lambda = 800 \, pm = 800 \times 10^{-12} \, m$
मान रखने पर:
$v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(1.67493 \times 10^{-27}) \times (800 \times 10^{-12})}$
$v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.339944 \times 10^{-36}}$
$v \approx 494.5 \, m \cdot s^{-1}$।
अतः, न्यूट्रॉन से जुड़ा अभिलक्षणिक वेग लगभग $494.5 \, m \cdot s^{-1}$ है।

डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार, $\lambda = \frac{h}{mv}$.
जहाँ:
$\lambda = \text{इलेक्ट्रॉन से जुड़ी तरंगदैर्ध्य}$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J s \text{ (प्लांक स्थिरांक)}$
$m = 9.109 \times 10^{-31} \, kg \text{ (इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान)}$
$v = 2.19 \times 10^{6} \, m s^{-1} \text{ (इलेक्ट्रॉन का वेग)}$
$\lambda$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J s}{(9.109 \times 10^{-31} \, kg)(2.19 \times 10^{6} \, m s^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.9948 \times 10^{-24}} \, m$
$\lambda \approx 3.32 \times 10^{-10} \, m$
चूंकि $1 \, pm = 10^{-12} \, m$, इसलिए:
$\lambda = 332 \times 10^{-12} \, m = 332 \, pm$.
अतः, इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $332 \, pm$ है।

डी ब्रोग्ली के समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$m = 0.1 \, kg$
$v = 4.37 \times 10^{5} \, ms^{-1}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(0.1 \, kg)(4.37 \times 10^{5} \, ms^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4.37 \times 10^{4}} \, m$
$\lambda = 1.516 \times 10^{-38} \, m$

(N/A) डी-ब्रोग्ली सिद्धांत: फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी,डी-ब्रोग्ली ने $1924$ में प्रस्तावित किया कि द्रव्य,विकिरण की तरह,द्वैत व्यवहार प्रदर्शित करना चाहिए,अर्थात कण और तरंग दोनों के गुण।
इसका अर्थ है कि जैसे फोटॉन में संवेग और तरंगदैर्ध्य होता है,वैसे ही इलेक्ट्रॉनों में भी संवेग और तरंगदैर्ध्य होना चाहिए।
डी-ब्रोग्ली सिद्धांत की सादृश्यता: द्रव्य कण की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और संवेग $(p)$ के बीच निम्नलिखित संबंध है:
$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p} \quad (Eq. -2.30)$
डी-ब्रोग्ली के द्वैत व्यवहार का प्रमाण: डी-ब्रोग्ली की भविष्यवाणी प्रयोगात्मक रूप से तब पुष्टि हुई जब यह पाया गया कि इलेक्ट्रॉन पुंज विवर्तन (diffraction) से गुजरता है,जो तरंगों की एक विशेषता है।
सीमा: डी-ब्रोग्ली के अनुसार,गति में प्रत्येक वस्तु का तरंग चरित्र होता है। सामान्य वस्तुओं से जुड़ी तरंगदैर्ध्य इतनी कम होती है (उनके बड़े द्रव्यमान के कारण) कि उनके तरंग गुणों का पता नहीं लगाया जा सकता है।
हालाँकि,इलेक्ट्रॉनों और अन्य उप-परमाणु कणों (बहुत कम द्रव्यमान वाले) से जुड़ी तरंगदैर्ध्य का प्रयोगात्मक रूप से पता लगाया जा सकता है।

(N/A) डी-ब्रोग्ली सिद्धांत: फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी डी-ब्रोग्ली ने $1924$ में प्रस्तावित किया कि पदार्थ,विकिरण की तरह,द्वैत व्यवहार प्रदर्शित करता है,अर्थात कण और तरंग दोनों के गुण। इसका अर्थ है कि जिस प्रकार फोटॉन में संवेग और तरंगदैर्ध्य दोनों होते हैं,उसी प्रकार इलेक्ट्रॉनों में भी संवेग और तरंगदैर्ध्य होने चाहिए।
गणितीय संबंध: पदार्थ कण के तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और संवेग $(p)$ के बीच निम्नलिखित संबंध है:
$\lambda = \frac{h}{m v} = \frac{h}{p} \quad$ (Eq. $- 2.30$)
डी-ब्रोग्ली के द्वैत व्यवहार का प्रमाण: डी-ब्रोग्ली की भविष्यवाणी प्रयोगात्मक रूप से तब सिद्ध हुई जब यह पाया गया कि इलेक्ट्रॉन पुंज विवर्तन (diffraction) प्रदर्शित करता है,जो तरंगों का एक विशिष्ट गुण है।
सीमा: डी-ब्रोग्ली के अनुसार,गति में प्रत्येक वस्तु तरंग चरित्र रखती है। सामान्य वस्तुओं से जुड़ी तरंगदैर्ध्य इतनी कम होती है (उनके बड़े द्रव्यमान के कारण) कि उनके तरंग गुणों का पता नहीं लगाया जा सकता है।
हालाँकि,इलेक्ट्रॉनों और अन्य उप-परमाणु कणों (बहुत कम द्रव्यमान वाले) से जुड़ी तरंगदैर्ध्य का प्रयोगात्मक रूप से पता लगाया जा सकता है।

(A) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,वेग $v = \frac{h}{m \lambda}$ होता है।
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,और $\lambda = 5200 \ \mathring{A} = 5.2 \times 10^{-7} \ m$।
मान रखने पर:
$v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (5.2 \times 10^{-7})}$
$v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{47.372 \times 10^{-38}}$
$v = 0.1398 \times 10^4 \ m/s \approx 1400 \ m/s$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$,$m$ प्रोटॉन का द्रव्यमान $(1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ और $K$ जूल में गतिज ऊर्जा है।
सबसे पहले,गतिज ऊर्जा को $eV$ से जूल में बदलें: $K = 500 \ eV \times 1.602 \times 10^{-19} \ J/eV = 8.01 \times 10^{-17} \ J$.
अब,मानों को सूत्र में रखें: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 8.01 \times 10^{-17}}}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2.675 \times 10^{-43}}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.635 \times 10^{-22}} \approx 4.05 \times 10^{-12} \ m$.

इलेक्ट्रॉन का वेग $v = (\frac{1}{100}) \times (3.00 \times 10^8 \ m \ s^{-1}) = 3.00 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$ है।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $p = m \times v$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ रखने पर:
$p = (9.11 \times 10^{-31} \ kg) \times (3.00 \times 10^6 \ m \ s^{-1}) = 2.733 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की गणना $\lambda = \frac{h}{p}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ है।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{2.733 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}} = 2.424 \times 10^{-10} \ m$।

दिया गया है: $KE = 4.55 \times 10^{-25} \ J$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
$1$. वेग $(v)$:
$KE = \frac{1}{2} mv^2$
$4.55 \times 10^{-25} = \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \times v^2$
$v^2 = \frac{2 \times 4.55 \times 10^{-25}}{9.1 \times 10^{-31}} = 10^6$
$v = 10^3 \ m \ s^{-1}$.
$2$. संवेग $(p)$:
$p = mv = 9.1 \times 10^{-31} \ kg \times 10^3 \ m \ s^{-1} = 9.1 \times 10^{-28} \ kg \ m \ s^{-1}$.
$3$. तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$:
डी-ब्रोग्ली समीकरण का उपयोग करते हुए,$\lambda = \frac{h}{p}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{9.1 \times 10^{-28} \ kg \ m \ s^{-1}} \approx 7.28 \times 10^{-7} \ m$.

(A) $1$. गतिज ऊर्जा $(KE)$: $KE = e \times V = (1.602 \times 10^{-19} \ C) \times (1.0 \times 10^4 \ V) = 1.602 \times 10^{-15} \ J$.
$2$. आवृत्ति $(\nu)$: $KE = h\nu$ का उपयोग करते हुए,$\nu = \frac{KE}{h} = \frac{1.602 \times 10^{-15} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} = 2.418 \times 10^{18} \ Hz$.
$3$. तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$: डी ब्रोग्ली समीकरण $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ का उपयोग करते हुए,$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-15}}} = 1.227 \times 10^{-11} \ m$.

(A) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ संवेग है।
संवेग के लिए सूत्र: $p = \frac{h}{\lambda}$.
दिया गया है: $\lambda = 1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$ और $h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$.
मान रखने पर: $p = \frac{6.625 \times 10^{-34} \ J \ s}{10^{-10} \ m} = 6.625 \times 10^{-24} \ kg \ m/s$.

(A) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
यह दिया गया है कि $1 \ s$ में तय की गई दूरी तरंगदैर्ध्य के बराबर है,इसलिए $d = v \times t = v \times 1 = v$.
अतः,$\lambda = v$.
इस मान को डी ब्रोग्ली समीकरण में रखने पर: $v = \frac{h}{mv}$,जिसका अर्थ है $v^2 = \frac{h}{m}$.
यहाँ,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$.
$v^2 = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 7.27 \times 10^{-4} \ m^2 \ s^{-2}$.
वर्गमूल लेने पर,$v = \sqrt{7.27 \times 10^{-4}} \approx 2.7 \times 10^{-2} \ m \ s^{-1}$.

(A) दिया गया है: गतिज ऊर्जा $(KE) = 4.55 \times 10^{-25} \ J$,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m) = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,प्लांक नियतांक $(h) = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
गतिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करने पर: $KE = \frac{1}{2} mv^2$.
$4.55 \times 10^{-25} = \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \times v^2$.
$v^2 = \frac{2 \times 4.55 \times 10^{-25}}{9.1 \times 10^{-31}} = 10^6$.
$v = 10^3 \ m \ s^{-1}$.
डी-ब्रोग्ली समीकरण लागू करने पर: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 10^3} = 7.28 \times 10^{-7} \ m$.

दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$.
वेग $v = 100 \ km/h = \frac{100 \times 1000 \ m}{3600 \ s} = 27.78 \ m/s$.
प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{0.1 \ kg \times 27.78 \ m/s} = 2.385 \times 10^{-34} \ m$.
परिकलित तरंगदैर्ध्य अत्यंत छोटी $(2.385 \times 10^{-34} \ m)$ है,जो किसी भी मापने योग्य सीमा से बहुत दूर है। इसलिए,क्रिकेट की गेंद जैसी स्थूल वस्तुओं की तरंग प्रकृति अवलोकनीय नहीं है।

(A) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ इसका वेग है।
चूंकि दोनों कणों के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ समान है,इसलिए $mv$ का गुणनफल स्थिर होना चाहिए $(mv = \frac{h}{\lambda} = \text{constant})$।
इसका अर्थ है कि $v \propto \frac{1}{m}$।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ से बहुत कम है,इसलिए समान तरंगदैर्ध्य बनाए रखने के लिए इलेक्ट्रॉन का वेग अधिक होना चाहिए।

(A) डी-ब्रोग्ली का सिद्धांत बताता है कि सभी पदार्थ,विशेष रूप से इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण,द्वैत व्यवहार प्रदर्शित करते हैं,अर्थात कण और तरंग दोनों के गुण।
यह संबंध समीकरण $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$h$ प्लांक स्थिरांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।

(B) विवर्तन की घटना तरंगों का एक अभिलक्षणिक गुण है। चूंकि इलेक्ट्रॉन पुंज विवर्तन प्रदर्शित करता है,यह दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉनों में तरंग जैसी प्रकृति होती है,जैसा कि $De \ Broglie$ परिकल्पना द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

(N/A) इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप द्वारा $150$ लाख गुना आवर्धन प्राप्त किया जा सकता है।
सिद्धांत: यह इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति पर आधारित है,जिसके अनुसार डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के तहत गतिशील इलेक्ट्रॉन बहुत कम तरंगदैर्ध्य वाली तरंगों के रूप में व्यवहार करते हैं।

(B) सामान्य वस्तुओं की तरंग प्रकृति का पता नहीं लगाया जा सकता है।
डी-ब्रोग्ली समीकरण $\lambda = \frac{h}{mv}$ के अनुसार,
चूंकि सामान्य वस्तुओं का द्रव्यमान $(m)$ बहुत अधिक होता है,इसलिए उनसे जुड़ी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ अत्यंत कम होती है।
यह तरंगदैर्ध्य इतनी कम होती है कि इसे किसी भी प्रायोगिक साधन द्वारा मापा या पता नहीं लगाया जा सकता है।

(A) डी-ब्रोग्ली समीकरण का उपयोग करते हुए: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 0.1 \ kg$,$v = 10 \ m/s$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.1 \times 10} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1} = 6.626 \times 10^{-34} \ m$.
यह मान अत्यंत छोटा है,जो दर्शाता है कि स्थूल वस्तुओं (macroscopic objects) की तरंग प्रकृति नगण्य है और इसे पता नहीं लगाया जा सकता है।

(N/A) इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य की गणना $de \, Broglie$ संबंध $\lambda = \frac{h}{mv}$ का उपयोग करके की जाती है।
यह तरंगदैर्ध्य पदार्थ की तरंगदैर्ध्य की तुलना में अपेक्षाकृत लंबी है और यह इंगित करती है कि इलेक्ट्रॉन तरंग-कण द्वैतता प्रदर्शित करता है,विशेष रूप से इसकी तरंग प्रकृति को दर्शाता है।

(B) आपतित ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^{8}}{248 \times 10^{-9}} \, J$
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^{8}}{248 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 5.0 \, eV$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर: $E = \phi + K.E.$
$5.0 \, eV = 3.0 \, eV + K.E. \implies K.E. = 2.0 \, eV$
$K.E. = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-19} \, J$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK.E.}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3.2 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{58.24 \times 10^{-50}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.63 \times 10^{-25}} \approx 0.868 \times 10^{-9} \, m$
$\lambda \approx 8.68 \times 10^{-10} \, m = 8.68 \, \mathring{A}$
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $9 \, \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
समान विभव $V$ द्वारा त्वरित प्रोटॉन $(P)$ और $Li^{3+}$ नाभिक के लिए:
$\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_{P}} = \sqrt{\frac{m_{P} \times q_{P}}{m_{Li} \times q_{Li}}} = \sqrt{\frac{m_{P} \times e}{8.3 m_{P} \times 3e}} = \sqrt{\frac{1}{8.3 \times 3}} = \sqrt{\frac{1}{24.9}} \approx 0.2004$.
दिया गया है कि $\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_{P}} = x \times 10^{-1}$,अतः $0.2004 = x \times 10^{-1}$,जिसका अर्थ है $x \approx 2.004$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,$x = 2$.

(D) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से त्वरित होता है,$KE = qV$.
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
शॉर्टकट विधि: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A} = \frac{12.27}{\sqrt{40000}} \, \mathring{A} = 0.06135 \, \mathring{A}$.
मीटर में परिवर्तन: $0.06135 \times 10^{-10} \, m = 6.135 \times 10^{-12} \, m$.
निकटतम पूर्णांक में,$X = 6$.

(B) दिया गया है कि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान हैं: $\lambda_{e} = \lambda_{N}$.
डी ब्रोग्ली संबंध $\lambda = \frac{h}{mv}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{h}{m_{e} v_{e}} = \frac{h}{m_{N} v_{N}}$.
यह $m_{e} v_{e} = m_{N} v_{N}$ या $v_{e} = \frac{m_{N}}{m_{e}} v_{N}$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है $v_{e} = x \ v_{N}$,इसलिए $x = \frac{m_{N}}{m_{e}}$.
मान रखने पर: $x = \frac{1.6 \times 10^{-27} \ kg}{9.1 \times 10^{-31} \ kg}$.
$x = \frac{1.6}{9.1} \times 10^{4} = 0.175824 \times 10^{4} = 1758.24$.
$x$ का निकटतम पूर्णांक मान $1758$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9}} = 3.01 \times 10^{-19} \, J$.
कार्य फलन $\Phi = 1.0 \, eV = 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $KE = E - \Phi = 3.01 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} = 1.41 \times 10^{-19} \, J$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m KE}}$ है।
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ और $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.41 \times 10^{-19}}} \approx 1.32 \times 10^{-9} \, m$.

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
सबसे पहले,एक $C_{60}$ अणु का द्रव्यमान $kg$ में ज्ञात करें:
$C_{60}$ का द्रव्यमान $= 60 \times 12 \ \text{amu} = 720 \ \text{amu}$.
चूंकि $1 \ \text{amu} = 1.66 \times 10^{-27} \ kg$,द्रव्यमान $m = 720 \times 1.66 \times 10^{-27} \ kg \approx 1.195 \times 10^{-24} \ kg$.
दिया गया है $\lambda = 11.0 \ \mathring{A} = 11.0 \times 10^{-10} \ m$ और $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
$v$ के लिए सूत्र: $v = \frac{h}{m \lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.195 \times 10^{-24} \times 11.0 \times 10^{-10}}$.
$v \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.3145 \times 10^{-33}} \approx 0.504 \ m \ s^{-1}$.
यह मान $0.5 \ m \ s^{-1}$ के निकटतम है,जो विकल्प $(A)$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \, g = 20 \times 10^{-3} \, kg = 0.02 \, kg$.
वेग $v = 100 \, ms^{-1}$.
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \, Js$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, Js}{0.02 \, kg \times 100 \, ms^{-1}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2} \, m$
$\lambda = 3.313 \times 10^{-34} \, m$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (9 \times 10^{-31} \ kg) \times (4.50 \times 10^{-29} \ J)}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{81 \times 10^{-60}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9 \times 10^{-30}}$
$\lambda = 0.733 \times 10^{-4} \ m = 7.33 \times 10^{-5} \ m$.
निकटतम पूर्णांक $7$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है।
$3^{rd}$ कक्षा $(n = 3)$ के लिए, त्रिज्या $r_3 = a_0 \times 3^2 = 9 a_0$ है।
बोर के अभिधारणा के अनुसार, कक्षा की परिधि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$।
$3^{rd}$ कक्षा के लिए मान रखने पर: $2 \pi (9 a_0) = 3 \lambda$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{18 \pi a_0}{3} = 6 \pi a_0$।

(A) डी-ब्रोग्ली के संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ संवेग $(p)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\lambda = \frac{h}{p}$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
इस समीकरण को $\lambda p = h$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $h$ एक नियतांक है,इसलिए $\lambda$ और $p$ का गुणनफल स्थिर रहता है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) का समीकरण है।
इसलिए,$\lambda$ बनाम $p$ का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय है।

(D) बोहर के क्वांटाइजेशन नियम के अनुसार:
$2 \pi r_n = n \lambda$
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या,$r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ और दिया गया $n = 4$ है।
$2 \pi \left(a_0 \frac{4^2}{1}\right) = 4 \lambda$
$2 \pi a_0 (16) = 4 \lambda$
$32 \pi a_0 = 4 \lambda$
$\lambda = 8 \pi a_0$
अतः,मान $8$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
आवृत्ति $\nu = \frac{v}{\lambda}$ है।
$\lambda = \frac{h}{mv}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\nu = \frac{v \cdot mv}{h} = \frac{mv^2}{h}$ प्राप्त होता है।
बोहर मॉडल के अनुसार,गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = 2.18 \times 10^{-18} \ J$ है।
अतः,$mv^2 = 2 \times 2.18 \times 10^{-18} = 4.36 \times 10^{-18} \ J$ है।
अब,आवृत्ति की गणना करने पर: $\nu = \frac{4.36 \times 10^{-18}}{6.6 \times 10^{-34}} \ Hz$।
$\nu = 0.6606 \times 10^{16} \ Hz = 660.6 \times 10^{13} \ Hz$।
निकटतम पूर्णांक में,यह $661 \times 10^{13} \ Hz$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ है।
चूंकि $KE = \frac{3}{2}kT$,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mT}}$ होता है।
$He$ के लिए $-73^{\circ} C$ $(200 \ K)$: $m_{He} = 4$,$T_{He} = 200 \ K$.
$Ne$ के लिए $727^{\circ} C$ $(1000 \ K)$: $m_{Ne} = 20$,$T_{Ne} = 1000 \ K$.
$\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{Ne}} = \sqrt{\frac{m_{Ne} T_{Ne}}{m_{He} T_{He}}} = \sqrt{\frac{20 \times 1000}{4 \times 200}} = \sqrt{\frac{20000}{800}} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$M = 5$.

(C) बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है:
$2 \pi r_n = n \lambda$
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है।
समीकरण में $r_n$ का मान रखने पर:
$2 \pi (n^2 a_0) = n \lambda$
$\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\lambda = \frac{2 \pi n^2 a_0}{n} = 2 \pi n a_0$

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK.E.}}$
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$K.E. = 1.25 \times 10^{-28} \ J$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.25 \times 10^{-28}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{22.5 \times 10^{-59}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{225 \times 10^{-60}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{15 \times 10^{-30}} = 0.44 \times 10^{-4} \ m = 4.4 \times 10^{-5} \ m$

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$
जहाँ:
$h$ (प्लांक स्थिरांक) = $6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m$ (द्रव्यमान) = $10^{-6} \ kg$
$v$ (वेग) = $10 \ ms^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-6} \times 10} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-5}} = 6.63 \times 10^{-29} \ m$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2 m_p q_p V}}$.
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4 m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2 q_p$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2 (4 m_p) (2 q_p) V}} = \frac{h}{\sqrt{16 m_p q_p V}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{m_p q_p V}}$.
$\lambda_p$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) पृथक्करण ऊर्जा $E_{\text{sep}} = \frac{13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है। हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ है। दिया गया है $E_{\text{sep}} = 3.4 \ eV$,अतः $3.4 = \frac{13.6}{n^2}$,जिससे $n^2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 2$ है।
बोर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = r_1 \times n^2$ है,जहाँ $r_1 = 0.53 \ \mathring{A}$ है।
मान रखने पर: $2 \pi \times (0.53 \times n^2) = n \lambda$।
$\lambda$ के लिए सरल करने पर: $\lambda = 2 \pi \times 0.53 \times n$।
चूंकि $n = 2$ है,$\lambda = 2 \times 3.14159 \times 0.53 \times 2 \approx 6.66 \ \mathring{A}$।

(B) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ पहली कक्षा की त्रिज्या है।
दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए, त्रिज्या $r_2 = a_0 \times (2)^2 = 4 a_0$ होगी।
बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार, कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $n \lambda = 2 \pi r_n$।
$n = 2$ के लिए, $2 \lambda = 2 \pi r_2$ होगा।
$r_2 = 4 a_0$ प्रतिस्थापित करने पर, $2 \lambda = 2 \pi (4 a_0)$ प्राप्त होता है।
अतः, $\lambda = 4 \pi a_0$।

(A) डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,संवेग $P$ का मान $P = \frac{h}{\lambda}$ होता है।
दिया गया है,$\lambda = 1 \ \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$ और $h = 6.6252 \times 10^{-27} \ erg \ s$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P = \frac{6.6252 \times 10^{-27} \ erg \ s}{10^{-8} \ cm}$.
$P = 6.6252 \times 10^{-19} \ g \ cm / s$ (चूंकि $1 \ erg = 1 \ g \ cm^2 / s^2$,इसलिए $1 \ erg \ s / cm = 1 \ g \ cm / s$)।