De Broglie's principle Questions in Hindi

(C) परमाणु का क्वांटम यांत्रिक मॉडल $de \text{ } Broglie$ द्वारा प्रस्तावित पदार्थ की द्वैत प्रकृति (तरंग-कण द्वैतता) पर आधारित है।
यह मॉडल इलेक्ट्रॉन को कण और तरंग दोनों के रूप में मानता है,जिसका गणितीय विवरण $Schrodinger$ तरंग समीकरण द्वारा दिया जाता है।

(A) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{m^2v^2}$.
गतिज ऊर्जा $(KE = \frac{1}{2}mv^2)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$mv^2 = \frac{h^2}{m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$KE = \frac{1}{2} \times \frac{h^2}{m\lambda^2}$.
इसका अर्थ है कि $KE \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{3}{5}$ दिया गया है,इसलिए गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$ होगा।
अतः,अनुपात $25: 9$ है।

(A) दिया गया है,कण $A$ का वेग $(v_A)$ = $0.05 \ ms^{-1}$.
कण $B$ का वेग $(v_B)$ = $0.02 \ ms^{-1}$.
माना कण $A$ का द्रव्यमान $(m_A)$ = $m$.
अतः,कण $B$ का द्रव्यमान $(m_B)$ = $5m$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
कण $A$ के लिए,$\lambda_A = \frac{h}{m \times 0.05}$.
कण $B$ के लिए,$\lambda_B = \frac{h}{5m \times 0.02} = \frac{h}{0.1m}$.
अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{h}{m \times 0.05} \times \frac{0.1m}{h} = \frac{0.1}{0.05} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $m_1 = 100 \ g$,$m_2 = 50 \ g$,और $v_2 = 1.5 \ v_1$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / (m_1 v_1)}{h / (m_2 v_2)} = \frac{m_2 v_2}{m_1 v_1}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{50 \times 1.5 \ v_1}{100 \times v_1} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
अतः,अनुपात $3 : 4$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
चूंकि गति $(v)$ सभी कणों के लिए समान है,इसलिए तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
कणों के द्रव्यमान का क्रम $m_\alpha > m_p > m_e$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_e > \lambda_p > \lambda_\alpha$ होगा।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$ द्वारा दी जाती है।
गैस के लिए,सबसे संभावित वेग $C_{mp} = \sqrt{\frac{2KT}{m}}$ है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{m \sqrt{\frac{2KT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{2mKT}}$.
यहाँ $T_{He} = -73 + 273 = 200 \ K$ और $T_{Ne} = 727 + 273 = 1000 \ K$ है।
$\lambda_{He} = M \times \lambda_{Ne}$ $\Rightarrow \frac{h}{\sqrt{2 \times 4 \times K \times 200}} = M \times \frac{h}{\sqrt{2 \times 20 \times K \times 1000}}$.
$\frac{1}{\sqrt{1600K}} = M \times \frac{1}{\sqrt{40000K}}$.
$\frac{1}{40\sqrt{K}} = M \times \frac{1}{200\sqrt{K}}$.
$M = \frac{200}{40} = 5$.

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है,द्रव्यमान $m = 100 \ g$ और वेग $v = 100 \ cm \ s^{-1}$.
$CGS$ इकाइयों में प्लांक स्थिरांक $h = 6.6 \times 10^{-27} \ erg \ s$ है।
मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-27}}{100 \times 100} = 6.6 \times 10^{-31} \ cm$.