De Broglie's principle Questions in Hindi

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 66 \ g = 66 \times 10^{-3} \ kg = 6.6 \times 10^{-2} \ kg$
$v = 10 \ m/s$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-2} \times 10} \ m$
$\lambda \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-1}} \ m$
$\lambda \approx 1.004 \times 10^{-33} \ m$
अतः,मान लगभग $10^{-33} \ m$ है।

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
चूंकि वेग $v$ सभी कणों के लिए समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{m}$.
कणों के द्रव्यमान का क्रम $m_{\text{electron}} < m_{\text{hydrogen}} < m_{\text{helium}} < m_{\text{neon}}$ है।
अतः,उनकी तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_{\text{electron}} > \lambda_{\text{hydrogen}} > \lambda_{\text{helium}} > \lambda_{\text{neon}}$ होगा।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 60 \, g = 60 \times 10^{-3} \, kg = 0.06 \, kg$.
वेग $v = 10 \, m/s$.
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.06 \times 10} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.6} \approx 1.1 \times 10^{-33} \, m$.
अतः,इसका मान लगभग $10^{-33} \, m$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$
$m = 0.66 \ kg$
$v = 100 \ m/s$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.66 \times 100} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{66} = 0.1 \times 10^{-34} = 1.0 \times 10^{-35} \ m$

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$
दिया गया है:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$
$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$
$v = 1.0 \times 10^3 \ m \ s^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 1.0 \times 10^3} \ m$
$\lambda = \frac{6.63}{1.67} \times 10^{-34 + 27 - 3} \ m$
$\lambda \approx 3.97 \times 10^{-10} \ m$
चूंकि $1 \ nm = 10^{-9} \ m$,इसलिए:
$\lambda \approx 0.397 \times 10^{-9} \ m \approx 0.40 \ nm$

(B) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E. = eV = \frac{1}{2}mu^2$ है, जहाँ $u$ इलेक्ट्रॉन का वेग है।
वेग के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $u = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$.
डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mu}$ है, जिसका अर्थ है $\frac{h}{\lambda} = mu$.
$\frac{h}{\lambda}$ के समीकरण में $u$ का मान रखने पर:
$\frac{h}{\lambda} = m \times \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{m^2 \times \frac{2eV}{m}} = \sqrt{2meV}$.

(A) किसी दिए गए कक्षक के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है। $m = +2$ दिए जाने पर,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ कम से कम $2$ होनी चाहिए।
कोश की सबसे बाहरी कक्षा के लिए $l = n - 1$ होता है,इसलिए न्यूनतम मुख्य क्वांटम संख्या $n = l + 1 = 2 + 1 = 3$ है।
बोर-डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज है: $2\pi r = n\lambda$।
$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r = 0.529 \times n^2 \,\mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
संबंध में $r$ का मान रखने पर: $\lambda = \frac{2\pi r}{n} = \frac{2\pi \times 0.529 \times n^2}{n} = 2\pi \times 0.529 \times n$।
$n = 3$ के लिए,$\lambda = 2 \times 3.1416 \times 0.529 \times 3 \approx 9.97 \,\mathring{A}$।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\lambda = \left(\frac{h}{\sqrt{2mq}}\right) V^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ बनाम $V^{-1/2}$ ग्राफ का ढाल $\tan \theta = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ है।
दिया गया है $\tan \theta = 0.5$,$h = 6.0 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$।
$0.5 = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times m \times 1.6 \times 10^{-19}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $0.25 = \frac{36 \times 10^{-68}}{2 \times m \times 1.6 \times 10^{-19}}$।
$m = \frac{36 \times 10^{-68}}{0.25 \times 3.2 \times 10^{-19}} = \frac{36 \times 10^{-68}}{0.8 \times 10^{-19}} = 45 \times 10^{-49} \ kg$।

(A) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है --- $(1)$
डी-ब्रोग्ली संबंध से,संवेग $p = mv = \frac{h}{\lambda}$ है --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से $mv$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{h}{\lambda} \times r_n = \frac{nh}{2\pi}$
$\lambda = \frac{2\pi r_n}{n}$
दूसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ है। $n = 3$ के लिए,$r_3 = 3^2 a_0 = 9 a_0$।
इन मानों को $\lambda$ के व्यंजक में रखने पर:
$\lambda = \frac{2\pi \times 9 a_0}{3} = 6\pi a_0$.

(B) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,वेग $v, \frac{Z}{n}$ के समानुपाती होता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
अतः,$\lambda \propto \frac{n}{Z}$।
दिए गए परमाणु के लिए ($Z$ स्थिर है),$\lambda \propto n$।
$L, M, N$ ऊर्जा स्तर क्रमशः $n = 2, 3, 4$ मुख्य क्वांटम संख्या के अनुरूप हैं।
चूंकि $n_L < n_M < n_N$,इसलिए तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda _L < \lambda _M < \lambda _N$ है।
प्रश्न में घटता हुआ क्रम पूछा गया है,जो $\lambda _N > \lambda _M > \lambda _L$ होगा।

(C) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,एक गतिशील कण की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ इस प्रकार दी जाती है: $\lambda = \frac{h}{mv}$
यहाँ,$h$ प्लैंक स्थिरांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और $v$ इसका वेग है।
चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{v}$,तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन के वेग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन का वेग $(v)$ बढ़ता है,उसकी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ घटती है।

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
एक सेकंड में इलेक्ट्रॉन द्वारा तय की गई दूरी उसके वेग $v$ के बराबर है (क्योंकि $d = v \times t$ और $t = 1 \ s$)।
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य एक सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर है,इसलिए $\lambda = v$।
इस मान को डी ब्रोग्ली समीकरण में रखने पर: $v = \frac{h}{mv}$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v^2 = \frac{h}{m}$।
अतः,वेग $v = \sqrt{\frac{h}{m}}$ है।

(A) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = h / p = h / (mv)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है,$m$ द्रव्यमान है,और $v$ वेग है।
चूंकि गति $v$ सभी कणों के लिए समान है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कण के द्रव्यमान $m$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(\lambda \propto 1/m)$।
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} \approx m_{\text{neutron}} < m_{\alpha \text{-particle}}$।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी तरंगदैर्ध्य सबसे लंबी होगी।

(C) दिया गया है,
गेंद का द्रव्यमान $m = 60 \ g = 60 \times 10^{-3} \ kg$
वेग $v = 10 \ m/s$
प्लांक स्थिरांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$
हम जानते हैं कि,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{60 \times 10^{-3} \times 10}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.6}$
$\lambda \approx 1.1 \times 10^{-33} \ m$
अतः,तरंगदैर्ध्य लगभग $10^{-33} \ m$ है।

(A) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,एक इलेक्ट्रॉन के स्थिर कक्षा में रहने के लिए,कक्षा की परिधि उसकी तरंग दैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होनी चाहिए।
गणितीय रूप से,इसे $2\pi r = n\lambda$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, ...)$,$r$ कक्षा की त्रिज्या है और $\lambda$ इलेक्ट्रॉन तरंग की तरंग दैर्ध्य है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,मानक रूप $n\lambda = 2\pi r$ है।

(D) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की परिधि इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य के $n$ गुना के बराबर होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$.
तीसरी कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
अतः,परिधि $2 \pi r_3 = 3 \lambda$ है।
इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन तीसरी कक्षा में एक चक्कर में $3$ पूर्ण तरंगें बनाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और त्वरित विभव $V$ के बीच संबंध: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_p e V}}$.
$V$ के लिए सूत्र: $V = \frac{h^2}{2m_p e \lambda^2}$.
मान रखने पर: $V = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2 \times 1.672 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} \times (5 \times 10^{-12})^2} \approx 3.28 \times 10^4 \ V$. दिए गए विकल्पों में से निकटतम विकल्प $D$ है।

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है: इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,वेग $v = c = 3 \times 10^8 \ m/s$,प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{27.33 \times 10^{-23}} \approx 0.2424 \times 10^{-11} \ m = 2.424 \times 10^{-12} \ m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,सही उत्तर लगभग $2.43 \times 10^{-12} \ m$ है।

(A) दिया गया है: $K.E. = 4.55 \times 10^{-25} \,J$,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$,प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \,J \cdot s$।
संबंध $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके,वेग $v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 4.55 \times 10^{-25}}{9.1 \times 10^{-31}}} = 1000 \,m/s$ प्राप्त होता है।
डी ब्रोग्ली समीकरण $\lambda = \frac{h}{mv}$ का उपयोग करने पर,$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 1000} = 7.28 \times 10^{-7} \,m$ प्राप्त होता है।

(D) तरंगदैर्ध्य की गणना डी-ब्रोग्ली समीकरण: $\lambda = \frac{h}{m \times u}$ का उपयोग करके की जाती है।
सबसे पहले,एक $CO_2$ अणु का द्रव्यमान ज्ञात करें: $m = \frac{44 \ g/mol}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} = 7.306 \times 10^{-23} \ g = 7.306 \times 10^{-26} \ kg$.
अब,मानों को समीकरण में रखने पर: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(7.306 \times 10^{-26} \ kg) \times (440 \ m/s)} = 2.06 \times 10^{-11} \ m$.
अतः,$CO_2$ अणु की तरंगदैर्ध्य $2.06 \times 10^{-11} \ m$ है।

(A) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,हम समीकरण में यह मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $2\pi r = n\lambda$,या $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$।
$2^{nd}$ बोहर कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r_1$ प्रथम बोहर कक्षा की त्रिज्या है।
$n = 2$ के लिए,$r_2 = 2^2 r_1 = 4r_1$ है।
तरंगदैर्ध्य के सूत्र में इन मानों को रखने पर: $\lambda = \frac{2\pi (4r_1)}{2} = 4\pi r_1$।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{\lambda (nm)} = \frac{1240}{124} = 10 \ eV$.
कार्य फलन $\Phi = 4 \ eV$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E._{max} = E - \Phi = 10 \ eV - 4 \ eV = 6 \ eV$.
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \sqrt{\frac{150}{K.E. (eV)}} \ \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = \sqrt{\frac{150}{6}} \ \mathring{A} = \sqrt{25} \ \mathring{A} = 5 \ \mathring{A}$.
चूंकि $1 \ nm = 10 \ \mathring{A}$,इसलिए $\lambda = 0.5 \ nm$।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक,$m$ द्रव्यमान और $E$ गतिज ऊर्जा है।
$\lambda$ समान होने के कारण,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
अतः $E \propto \frac{1}{m}$।
कणों के द्रव्यमान: $m_p = m$,$m_d = 2m$,और $m_{\alpha} = 4m$ हैं।
इसलिए,गतिज ऊर्जा $E_p = \frac{k}{m}$,$E_d = \frac{k}{2m}$,और $E_{\alpha} = \frac{k}{4m}$ होगी (जहाँ $k = \frac{h^2}{2\lambda^2}$)।
अतः,$E_{\alpha} < E_d < E_p$ सही क्रम है।

(A) एक पूर्ण परिक्रमण में इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न तरंगों की संख्या कक्षा की परिधि और इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के अनुपात के बराबर होती है।
तरंगों की संख्या $= \frac{\text{परिधि}}{\lambda} = \frac{2 \pi r}{\lambda}$
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: तरंगों की संख्या $= \frac{2 \pi r}{(h / mv)} = \frac{2 \pi mvr}{h}$.
बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$.
अतः,$mvr$ का मान रखने पर: तरंगों की संख्या $= \frac{2 \pi}{h} \times \frac{nh}{2 \pi} = n$.
इस प्रकार,तरंगों की संख्या मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के बराबर होती है।

(B) $H$ परमाणु की पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या $r = 0.529 \ \mathring{A}$ है।
बोहर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटीकृत है।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $mvr = \frac{h}{2\pi}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $2\pi r = \frac{h}{mv}$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$।
इसलिए,$\lambda = 2\pi r$।
$r$ का मान रखने पर,हमें $\lambda = 2\pi \times 0.529 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(D) किसी कण की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} KT = \frac{1}{2} mv^2$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{3KT}{m}}$.
डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{m \sqrt{\frac{3KT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{3KTm}}$ है।
यह दर्शाता है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
चूंकि फोटॉन का द्रव्यमान नगण्य होता है,इसलिए इसकी तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है।
कणों की तुलना करने पर,$m_{\text{electron}} < m_{\text{neutron}} < m_{\text{proton}}$.
इसलिए,$\lambda_{\text{electron}} > \lambda_{\text{neutron}} > \lambda_{\text{proton}}$.
फोटॉन को शामिल करते हुए,सही क्रम $\lambda_{\text{photon}} > \lambda_{\text{electron}} > \lambda_{\text{neutron}}$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 6.63 \ g = 6.63 \times 10^{-3} \ kg$
वेग $v = 100 \ ms^{-1}$
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(6.63 \times 10^{-3} \ kg) \times (100 \ ms^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.63 \times 10^{-1}} \ m$
$\lambda = 10^{-33} \ m$

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1000 \ kg = 10^3 \ kg$.
वेग $v = 36 \ km/hr = \frac{36 \times 1000 \ m}{3600 \ s} = 10 \ m/s$.
प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10^3 \times 10} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10^4} = 6.626 \times 10^{-38} \ m$.

(C) $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए, त्रिज्या $r = a_0 \times (3)^2 = 9 a_0$ है।
बोर के अभिधारणा के अनुसार, कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है।
मान रखने पर, $mv = \frac{nh}{2\pi r} = \frac{3h}{2\pi \times 9 a_0} = \frac{h}{6\pi a_0}$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
$mv$ का मान रखने पर, $\lambda = \frac{h}{h / (6\pi a_0)} = 6\pi a_0$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{KE}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_2 = 4 \times KE_1$ है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है।
तब,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{KE_1}{KE_2}} = \sqrt{\frac{KE_1}{4 \times KE_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,नई तरंगदैर्ध्य मूल तरंगदैर्ध्य की आधी हो जाएगी।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ फोटोइलेक्ट्रॉन का वेग है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$hv = hv_0 + KE$
$hv - hv_0 = \frac{1}{2}mv^2$
$2h(v - v_0) = mv^2$
इससे,वेग $v$,$(v - v_0)^{\frac{1}{2}}$ के समानुपाती है:
$v = \sqrt{\frac{2h(v - v_0)}{m}} \propto (v - v_0)^{\frac{1}{2}}$
इसे डी ब्रोग्ली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{h}{mv} \propto \frac{1}{(v - v_0)^{\frac{1}{2}}}$
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{(v - v_0)^{\frac{1}{2}}}$।

(D) बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की परिधि $2 \pi r_n = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ रखने पर:
$2 \pi \left( a_0 \frac{n^2}{Z} \right) = n \lambda$
$\lambda = \frac{2 \pi a_0 n^2}{n Z} = 2 \pi a_0 \frac{n}{Z}$
दिया गया है कि $\lambda = 1.5 \pi a_0$,इसलिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2 \pi a_0 \frac{n}{Z} = 1.5 \pi a_0$
$\frac{n}{Z} = \frac{1.5 \pi a_0}{2 \pi a_0} = \frac{1.5}{2} = 0.75$

(B) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध से,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $2\pi r = n\lambda$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
अतः,$\lambda = \frac{2\pi r}{2} = \pi r$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए, $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था के लिए, मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ है (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है, पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$, दूसरी $n=3$ और तीसरी $n=4$ है)।
चौथी कक्षा की त्रिज्या $r_4 = 4^2 a_0 = 16 a_0$ है।
बोहर के अभिधारणा के अनुसार, कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज है: $2\pi r_n = n \lambda$।
$n=4$ के लिए मान रखने पर: $2\pi (16 a_0) = 4 \lambda$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{32\pi a_0}{4} = 8\pi a_0$।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच का संबंध है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K_1$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है।
अतः,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{4K_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5$.
इसलिए,नई तरंगदैर्ध्य प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य की $0.5$ गुना हो जाएगी।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
माना कण $A$ का द्रव्यमान $m_A = m$ और वेग $v_A = 8v$ है।
तो कण $B$ का द्रव्यमान $m_B = 4m$ और वेग $v_B = v$ होगा।
कण $A$ की तरंगदैर्ध्य $\lambda_A = \frac{h}{m_A v_A} = \frac{h}{m \times 8v} = \frac{h}{8mv}$ है।
कण $B$ की तरंगदैर्ध्य $\lambda_B = \frac{h}{m_B v_B} = \frac{h}{4m \times v} = \frac{h}{4mv}$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{h / 8mv}{h / 4mv} = \frac{4mv}{8mv} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1 : 2$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = h / p = h / \sqrt{2mE_k}$ है।
विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित आवेशित कण के लिए,गतिज ऊर्जा $E_k = qV$ होती है।
अतः,$\lambda = h / \sqrt{2mqV}$।
प्रोटॉन के लिए,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ और $q = 1.602 \times 10^{-19} \ C$।
इन मानों को रखने पर: $\lambda = 6.626 \times 10^{-34} / \sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}$।
$\lambda \approx 0.286 / \sqrt{V} \ \mathring{A}$।

(A) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = h/mv$ है।
$v$ वेग से गतिमान कण के लिए,संबंधित डी-ब्रोग्ली तरंग का चरण वेग (या तरंग वेग) $u = E/p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ कुल ऊर्जा है और $p$ संवेग है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा संबंध $E = mc^2$ और संवेग $p = mv$ का उपयोग करने पर,हमें $u = (mc^2)/(mv) = c^2/v$ प्राप्त होता है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंग का वेग $c^2/v$ है।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $2\pi r = n\lambda$ या $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times 10^{-8} \times n^2 \ cm$ होती है।
$\lambda$ के व्यंजक में $r_n$ का मान रखने पर: $\lambda = \frac{2 \times 3.1416 \times 0.529 \times 10^{-8} \times n^2}{n} = 3.32 \times 10^{-8} \times n \ cm$।
चूंकि दिए गए विकल्प अनुमानित हैं,इसलिए सबसे निकटतम विकल्प $3.14 \times 10^{-8} \times n \ cm$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $120 \ g = 0.120 \ kg$
वेग $(v)$ = $44.7 \ m \ s^{-1}$
प्लांक नियतांक $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.120 \times 44.7} \ m$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{5.364} \ m$
$\lambda \approx 1.24 \times 10^{-34} \ m$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $(m)$ = $200 \ g = 0.2 \ kg$।
वेग $(v)$ = $5 \ m/hr = 5 / 3600 \ m/s = 1.389 \times 10^{-3} \ m/s$।
प्लांक नियतांक $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$।
डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार: $\lambda = h / (mv)$।
$\lambda = (6.626 \times 10^{-34}) / (0.2 \times 1.389 \times 10^{-3})$।
$\lambda = (6.626 \times 10^{-34}) / (2.778 \times 10^{-4})$।
$\lambda \approx 2.385 \times 10^{-30} \ m$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $2.37 \times 10^{-30} \ m$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
सबसे पहले,एक $CO_2$ अणु का द्रव्यमान $kg$ में ज्ञात करें:
$\text{आणविक }\, \text{द्रव्यमान }= 44 \, g/mol = 0.044 \, kg/mol$.
$\text{एक }\, \text{अणु }\, \text{का }\, \text{द्रव्यमान }\, (m) = \frac{0.044 \, kg/mol}{6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}} \approx 7.306 \times 10^{-26} \, kg$.
अब,मानों को डी-ब्रोग्ली समीकरण में रखें:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(7.306 \times 10^{-26} \, kg) \times (440 \, m/s)}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.2146 \times 10^{-23}} \, m$.
$\lambda \approx 2.061 \times 10^{-11} \, m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,सही उत्तर $2.063 \times 10^{-11} \, m$ है।

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 9.109 \times 10^{-31} \ kg$.
वेग $v = 1.20 \times 10^5 \ m/s$.
प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.109 \times 10^{-31}) \times (1.20 \times 10^5)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10.9308 \times 10^{-26}}$
$\lambda \approx 6.062 \times 10^{-9} \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $6.044 \times 10^{-9}$ है।

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गैस के अणु की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2}kT$ होती है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ और अंतिम तापमान $T_2 = 2T$ है।
अतः,$\lambda_1 = \frac{k'}{\sqrt{T}}$ और $\lambda_2 = \frac{k'}{\sqrt{2T}} = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 \right) \times 100$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ का उपयोग करने पर,परिवर्तन $(0.707 - 1) \times 100 = -29.3 \%$ है।
अतः,प्रतिशत अंतर का अनुमानित परिमाण $30 \%$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए $E_n = -3.4 \text{ eV}$ के लिए,$-\frac{13.6}{n^2} = -3.4$,जिससे $n^2 = 4$ और $n = 2$ प्राप्त होता है।
बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{2\pi r}{n}$ है।
हाइड्रोजन के लिए,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times n^2 \text{ Å}$ है। $n = 2$ के लिए,$r_2 = 0.529 \times 2^2 = 2.116 \text{ Å}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\lambda = \frac{2 \times \pi \times 2.116}{2} = 6.64 \text{ Å} = 6.64 \times 10^{-10} \text{ m}$।

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m KE}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{B}} = \sqrt{\frac{m_{B} KE_{B}}{m_{A} KE_{A}}}$ है।
दिया गया है $\lambda_{A} = 1 \ nm$,$\lambda_{B} = 5 \ nm$,और $m_{A} = 4 m_{B}$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{5} = \sqrt{\frac{m_{B}}{4 m_{B}} \times \frac{KE_{B}}{KE_{A}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{25} = \frac{1}{4} \times \frac{KE_{B}}{KE_{A}}$।
इसलिए,$\frac{KE_{A}}{KE_{B}} = \frac{25}{4}$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $E_n = -3.4 \ eV$,तो $-3.4 = -13.6 / n^2$,जिससे $n^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $n = 2$ है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times n^2 \ \mathring{A} = 0.529 \times 4 \times 10^{-8} \ cm = 2.116 \times 10^{-8} \ cm$ है।
बोर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के एक पूर्णांक गुणज के बराबर होती है: $2\pi r = n\lambda$।
अतः,$\lambda = (2 \times 3.1416 \times 2.116 \times 10^{-8}) / 2 \ cm$।
$\lambda = 3.1416 \times 2.116 \times 10^{-8} \ cm \approx 6.64 \times 10^{-8} \ cm$।

(B) उत्तेजित अवस्था में पृथक्करण ऊर्जा $E_n = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV = 3.4 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
इससे,$\frac{Z^2}{n^2} = \frac{3.4}{13.6} = \frac{1}{4}$,अतः $\frac{n}{Z} = 2$।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.53 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,कक्षा की परिधि $2 \pi r_n = n \lambda$ है।
$r_n$ का मान रखने पर: $2 \pi \times 0.53 \times \frac{n^2}{Z} = n \lambda$।
$\lambda$ के लिए सरल करने पर: $\lambda = 2 \pi \times 0.53 \times \frac{n}{Z}$।
$\frac{n}{Z} = 2$ रखने पर: $\lambda = 2 \times 3.14159 \times 0.53 \times 2 \approx 6.66 \ \mathring{A}$।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इसे डी-ब्रोग्ली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
यहाँ $m = 1 \, kg$,$E = 0.5 \, J$,और $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ है:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1 \times 0.5}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{1}} = 6.626 \times 10^{-34} \, m$.

(B) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $n \lambda = 2 \pi r_n$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \times n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0 = 52.9 \; pm$ और $Z = 1$ है।
दूसरी कक्षा के लिए $n = 2$ प्रतिस्थापित करने पर: $r_2 = a_0 \times (2)^2 = 4 a_0$.
अब,इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \lambda = 2 \pi (4 a_0)$.
अतः,$\lambda = 4 \pi a_0$.
मान की गणना करने पर: $\lambda = 4 \times \pi \times 52.9 \; pm = 211.6 \pi \; pm$.