De Broglie's principle Questions in Hindi

(C) डी-ब्रोग्ली समीकरण के प्रायोगिक सत्यापन के दौरान,डेविसन और जर्मर ने इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति की पुष्टि की थी।

(C) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ इसका वेग है।
किसी कण के लिए महत्वपूर्ण तरंग गति प्रदर्शित करने हेतु,इसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इतनी बड़ी होनी चाहिए कि उसे देखा जा सके।
चूंकि $\lambda$ द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य तभी महत्वपूर्ण हो जाती है जब कण का द्रव्यमान $m$ अत्यंत छोटा (नगण्य) हो,जैसे कि इलेक्ट्रॉन के मामले में।

(A) फोटॉन का संवेग $(p)$ डी ब्रोग्ली संबंध द्वारा दिया जाता है: $p = \frac{h}{\lambda}$.
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$
$\lambda = 2.2 \times 10^{-11} \ m$
मान रखने पर:
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 10^{-11}} = 3 \times 10^{-23} \ kg \ m \ s^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लैंक स्थिरांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और $v$ इसकी गति है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{v}$।
इसलिए,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन की गति $(v)$ बढ़ती है,उससे जुड़ी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ घटती जाती है।

(C) डी ब्रोग्ली संबंध $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ फोटॉन का द्रव्यमान है,$h$ प्लैंक स्थिरांक $(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)$ है,और $v$ फोटॉन का वेग है।
द्रव्यमान के लिए सूत्र: $m = \frac{h}{v \lambda}$.
फोटॉन का वेग $(v)$ $3 \times 10^{8} \ m \ s^{-1}$ है।
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ $1.54 \times 10^{-8} \ cm = 1.54 \times 10^{-10} \ m$ है।
मान रखने पर: $m = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{(3 \times 10^{8} \ m \ s^{-1}) \times (1.54 \times 10^{-10} \ m)}$.
$m = 1.434 \times 10^{-32} \ kg$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $1.4285 \times 10^{-32} \ kg$ है।

(C) डी ब्रोग्ली समीकरण $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$h$ प्लांक स्थिरांक है,$m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $p$ कण का संवेग है।
अतः,तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन के संवेग $(p = mv)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(A) लुई-विक्टर डी ब्रोग्ली ने इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति की खोज की थी। इस खोज के लिए उन्हें भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संवेग को $p = mv$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम समीकरण में $p$ को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इसलिए,$\lambda = \frac{h}{p}$।
इसे डी ब्रोग्ली संबंध के रूप में जाना जाता है।

(B) डी-ब्रोग्ली समीकरण,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$,तरंगदैर्ध्य (तरंग गुण) को गतिमान वस्तु (फोटॉन सहित) के संवेग (कण गुण) से जोड़ता है। यह समीकरण प्रकाश और द्रव्य की तरंग-कण द्वैतता के लिए गणितीय आधार प्रदान करता है।

(B) डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,किसी कण की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ उसके संवेग $(p = mv)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $\lambda = \frac{h}{mv}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।
अतः,सही व्यंजक $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली समीकरण किसी कण की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को उसके संवेग $(p = mv)$ से जोड़ता है।
यह सूत्र द्वारा दिया गया है: $\lambda = \frac{h}{mv}$,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,वेग $v = 100 \, m/sec$,और प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(10^{-3} \, kg) \times (100 \, m/sec)} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-1}} = 6.63 \times 10^{-33} \, m$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
समान वेग $v$ के लिए,तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m(\text{electron}) < m(\text{proton}) < m(CO_2) < m(SO_2)$।
चूंकि $SO_2$ अणु का आणविक द्रव्यमान सबसे अधिक $(64 \ g/mol)$ है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य न्यूनतम होगी।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ एक कण के संवेग $(p)$ से इस समीकरण द्वारा संबंधित है: $\lambda = \frac{h}{p}$,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि $\lambda$ संवेग $(p)$ के व्युत्क्रमानुपाती है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $KE = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mKE}$ होता है।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$.
यहाँ $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $KE = 2.8 \times 10^{-23} \ J$ है।
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.8 \times 10^{-23}}}$.
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{50.96 \times 10^{-54}}} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{7.138 \times 10^{-27}} \approx 9.28 \times 10^{-8} \ m$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$v = 1.2 \times 10^5 \ m \ s^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 1.2 \times 10^5}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10.92 \times 10^{-26}}$
$\lambda \approx 0.6068 \times 10^{-8} \ m = 6.068 \times 10^{-9} \ m$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $(m) = 10^{-6} \ kg$,वेग $(v) = 10 \ ms^{-1}$,और प्लांक नियतांक $(h) = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-6} \times 10} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-5}} = 6.63 \times 10^{-29} \ m$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ संबंध $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
बोर के अभिधारणा के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,जिसका अर्थ है $\frac{h}{mv} = \frac{2\pi r}{n}$।
अतः,$\lambda = \frac{2\pi r}{n}$।
हाइड्रोजन की $3^{rd}$ कक्षा के लिए,$n = 3$ और त्रिज्या $r = n^2 a_0 = 3^2 \times 0.529 \, \mathring{A} = 9 \times 0.529 \, \mathring{A}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{2\pi \times 9 \times 0.529}{3} = 6\pi \times 0.529 \, \mathring{A}$।
$\lambda \approx 6 \times 3.1416 \times 0.529 \, \mathring{A} \approx 9.97 \, \mathring{A}$।
चूंकि $1 \, \mathring{A} = 10^{-8} \, cm$,इसलिए $\lambda = 9.96 \times 10^{-8} \, cm$।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
$H_2$ अणु का द्रव्यमान $(m)$ = $\frac{2 \, g/mol}{6.023 \times 10^{23} \, mol^{-1}} \approx 3.32 \times 10^{-24} \, g$.
दिया गया वेग $(v)$ = $5 \times 10^4 \, cm \cdot sec^{-1}$.
प्लांक नियतांक $(h)$ = $6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot sec$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot sec}{(3.32 \times 10^{-24} \, g) \times (5 \times 10^4 \, cm \cdot sec^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{16.6 \times 10^{-20}} \, cm \approx 3.99 \times 10^{-8} \, cm$.
चूंकि $1 \, \mathring{A} = 10^{-8} \, cm$,इसलिए तरंगदैर्ध्य लगभग $4 \, \mathring{A}$ है।

(C) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है: $h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,और $v = 5 \ m/h = \frac{5}{3600} \ m/s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{0.2 \times (5 / 3600)} = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{1 / 3600} = 6.625 \times 10^{-34} \times 3600 \approx 2.385 \times 10^{-30} \ m$.
निकटतम मान के अनुसार,उत्तर $10^{-30} \ m$ है।

(C) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 0.5 \ kg$,और $v = 100 \ m/s$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.5 \times 100} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{50} = 1.325 \times 10^{-35} \ m$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) पदार्थ (कणों) की द्वैत प्रकृति $1924$ में लुई डी-ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित की गई थी।
उन्होंने सुझाव दिया कि सभी पदार्थ,विकिरण की तरह,तरंग और कण दोनों जैसे गुण प्रदर्शित करते हैं।
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और संवेग $(p = mv)$ के बीच का संबंध डी-ब्रोग्ली समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{mv}$

(B) प्रकाश की गति $c = 3.00 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ है।
प्रकाश की गति का एक प्रतिशत वेग $v = (\frac{1}{100}) \times (3.00 \times 10^8 \ m \ s^{-1}) = 3.00 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$ है।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $(p) = m \times v$.
$p = (9.11 \times 10^{-31} \ kg) \times (3.00 \times 10^6 \ m \ s^{-1}) = 2.733 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = \frac{h}{p}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{2.733 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}} = 2.424 \times 10^{-10} \ m$.

(A) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$p$ संवेग वाले कण से जुड़ी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का समीकरण $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
अतः,सही संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।

(D) डी ब्रोग्ली समीकरण $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को कण के संवेग $p = mv$ से जोड़ता है।
यह क्वांटम यांत्रिकी का एक मूलभूत सिद्धांत है जो गतिमान सभी भौतिक वस्तुओं पर लागू होता है,चाहे वे इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण हों या स्थूल वस्तुएं।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार, कक्षा की परिधि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$।
$n$ वीं कक्षा के लिए, त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए, त्रिज्या $r_3 = 3^2 a_0 = 9 a_0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2 \pi (9 a_0) = 3 \lambda$।
$18 \pi a_0 = 3 \lambda$।
$\lambda = 6 \pi a_0$।

(A) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गति करने वाले कण की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ होती है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,परिधि $2\pi r$ होती है।
बोर की क्वांटीकरण शर्त के अनुसार कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है,जिसे $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
$\lambda = \frac{h}{mv}$ का मान रखने पर,हमें $2\pi r = n\lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,एक स्थिर कक्षा के लिए कक्षा की परिधि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होनी चाहिए।

(A) गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $p$ संवेग है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
अतः,$p = \sqrt{2mE}$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
दिया गया है: $E = 2.5 \, eV = 2.5 \times 1.6 \times 10^{-12} \, erg$,$m = 9.1 \times 10^{-28} \, g$,और $h = 6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-28} \times 2.5 \times 1.6 \times 10^{-12}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{\sqrt{72.8 \times 10^{-40}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{8.53 \times 10^{-20}} \approx 7.7 \times 10^{-8} \, cm$.

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ के बीच संबंध है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$,यदि गतिज ऊर्जा $K$ बढ़कर $4K$ हो जाती है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ होगी: $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(4K)}} = \frac{1}{2} \times \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{1}{2} \lambda$.
अतः,तरंगदैर्ध्य अपने मूल मान की आधी हो जाएगी।

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$p = \frac{h}{\lambda}$.
दिया गया है: $\lambda = 1 \, \mathring{A} = 1 \times 10^{-8} \, \text{cm}$.
$h = 6.6252 \times 10^{-27} \, \text{erg} \cdot \text{s}$.
मान रखने पर: $p = \frac{6.6252 \times 10^{-27}}{1 \times 10^{-8}} \, \text{g} \cdot \text{cm/s}$.
$p = 6.6252 \times 10^{-19} \, \text{g} \cdot \text{cm/s}$.

(A) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है: $m = 25 \, g$,$v = 6.6 \times 10^4 \, cm/sec$,$h = 6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot sec$ ($CGS$ इकाइयों में)।
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot sec}{25 \, g \times 6.6 \times 10^4 \, cm/sec}$
$\lambda \approx \frac{6.6 \times 10^{-27}}{25 \times 6.6 \times 10^4} \, cm$
$\lambda \approx \frac{10^{-27}}{25 \times 10^4} \, cm$
$\lambda \approx 0.04 \times 10^{-31} \, cm = 4 \times 10^{-33} \, cm$.

(D) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \, J s}{(1.67 \times 10^{-27} \, kg) \times (1.0 \times 10^3 \, m s^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.63}{1.67} \times 10^{-34 + 27 - 3} \, m$
$\lambda \approx 3.97 \times 10^{-10} \, m$
मीटर को नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \, nm = 10^{-9} \, m)$:
$\lambda = 3.97 \times 10^{-10} \, m = 0.397 \times 10^{-9} \, m \approx 0.40 \, nm$.

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 60 \ g = 60 \times 10^{-3} \ kg = 0.06 \ kg$.
वेग $v = 10 \ m/s$.
प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.06 \times 10} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.6} \approx 1.1 \times 10^{-33} \ m$.
अतः,मान लगभग $10^{-33} \ m$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \, mg = 1 \times 10^{-3} \, g$,वेग $v = 4.5 \times 10^5 \, cm/s$,प्लांक नियतांक $h = 6.652 \times 10^{-27} \, erg \cdot s$.
डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.652 \times 10^{-27} \, erg \cdot s}{(1 \times 10^{-3} \, g) \times (4.5 \times 10^5 \, cm/s)}$.
$\lambda = \frac{6.652 \times 10^{-27}}{4.5 \times 10^2} \, cm$.
$\lambda = 1.4722 \times 10^{-29} \, cm$.

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$,और $v = 10^8 \, cm/s = 10^6 \, m/s$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(9.11 \times 10^{-31} \, kg) \times (10^6 \, m/s)}$
$\lambda \approx 0.727 \times 10^{-9} \, m = 7.27 \times 10^{-10} \, m$.
चूंकि $1 \, \mathop {\rm{A}}\limits^{\rm{o}} = 10^{-10} \, m$,इसलिए तरंगदैर्ध्य लगभग $7.27 \, \mathop {\rm{A}}\limits^{\rm{o}}$ है,जो $7.25 \, \mathop {\rm{A}}\limits^{\rm{o}}$ के सबसे निकट है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$
$v = 1.2 \times 10^5 \, ms^{-1}$
इन मानों को रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (1.2 \times 10^5)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10.92 \times 10^{-26}}$
$\lambda \approx 0.6068 \times 10^{-8} \, m = 6.068 \times 10^{-9} \, m$.

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
यदि वेग $v$ को समान माना जाए,तो $\lambda \propto \frac{1}{m}$ होता है।
$SO_2$ का आणविक द्रव्यमान $(64 \ g/mol)$ $e^-$,$p$ और $CO_2$ $(44 \ g/mol)$ के द्रव्यमान से अधिक है।
अतः,$SO_2$ का द्रव्यमान सबसे अधिक होने के कारण इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ सबसे कम होगी।

(A) डी ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$
$v = 10^3 \ m/s$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 10^3}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-24}}$
$\lambda \approx 3.967 \times 10^{-10} \ m$
मीटर को नैनोमीटर $(nm)$ में बदलने के लिए $10^9$ से गुणा करने पर:
$\lambda = 3.967 \times 10^{-10} \times 10^9 \ nm = 0.3967 \ nm$
अतः,$\lambda \approx 0.40 \ nm$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,वेग $v = \frac{1}{10} \times c = \frac{1}{10} \times 3 \times 10^8 \, m/s = 3 \times 10^7 \, m/s$,प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र का उपयोग करते हुए: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(9.1 \times 10^{-31} \, kg) \times (3 \times 10^7 \, m/s)}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{27.3 \times 10^{-24}} \, m$.
$\lambda \approx 0.2427 \times 10^{-10} \, m = 2.427 \times 10^{-11} \, m$.

(C) डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
मीथेन $(CH_4)$ के लिए,$\lambda_{CH_4} = \frac{h}{m_{CH_4} \times v_{CH_4}}$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$\lambda_{O_2} = \frac{h}{m_{O_2} \times v_{O_2}}$.
चूंकि तरंगदैर्ध्य समान हैं,$\lambda_{CH_4} = \lambda_{O_2}$.
इसलिए,$m_{CH_4} \times v_{CH_4} = m_{O_2} \times v_{O_2}$.
$\frac{v_{CH_4}}{v_{O_2}} = \frac{m_{O_2}}{m_{CH_4}} = \frac{32}{16} = 2$.
अतः,वेग का अनुपात $2 : 1$ है.

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटीकृत होता है।
डी ब्रोग्ली की परिकल्पना के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
बोर की अभिधारणा में $mv = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{h}{\lambda} \times r = \frac{nh}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
यह $2\pi r = n\lambda$ में सरल हो जाता है,जहाँ $2\pi r$ कक्षा की परिधि है।
अतः,एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन द्वारा बनने वाली तरंगों की संख्या मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के बराबर होती है।
$n = 3$ कक्षा के लिए,तरंगों की संख्या $3$ है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$,$m = 25 \ g$,$v = 6.6 \times 10^4 \ cm/sec$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-27}}{25 \times 6.6 \times 10^4} \ cm$
$\lambda = \frac{10^{-27}}{25 \times 10^4} \ cm$
$\lambda = 0.04 \times 10^{-31} \ cm = 4 \times 10^{-33} \ cm$.

(D) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ होता है।
चूंकि $p = m \times c$,इसलिए $m = \frac{h}{\lambda \times c}$ होगा।
दिया गया है: $h = 6.6252 \times 10^{-34} \, kg \cdot m^2/s$,$\lambda = 5894 \, \mathring{A} = 5894 \times 10^{-10} \, m$,और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$।
मान रखने पर:
$m = \frac{6.6252 \times 10^{-34}}{5894 \times 10^{-10} \times 3 \times 10^8}$
$m = \frac{6.6252 \times 10^{-34}}{17682 \times 10^{-2}}$
$m = 0.00037468 \times 10^{-32} \, kg$
$m = 3.746 \times 10^{-36} \, kg$.

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$E = 2.8 \times 10^{-23} \ J$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.8 \times 10^{-23}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{50.96 \times 10^{-54}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.138 \times 10^{-27}}$
$\lambda \approx 9.28 \times 10^{-8} \ m$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
कण $X$ के लिए: $\lambda_X = \frac{h}{m_X v_X} = 1 \ \mathring{A}$.
कण $Y$ के लिए: $m_Y = 0.25 m_X$ और $v_Y = 0.75 v_X$.
अतः,$\lambda_Y = \frac{h}{m_Y v_Y} = \frac{h}{(0.25 m_X)(0.75 v_X)} = \frac{h}{0.1875 m_X v_X}$.
$\lambda_X = \frac{h}{m_X v_X} = 1$ का मान रखने पर,हमें $\lambda_Y = \frac{1}{0.1875} = \frac{1}{3/16} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(D) डी ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,$p$ संवेग वाले कण से जुड़ी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को समीकरण $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है।
यह समीकरण दर्शाता है कि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कण के संवेग $p$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र के अनुसार,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
चूंकि वेग $(v)$ और प्लांक स्थिरांक $(h)$ समान हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{m}$.
अतः,$\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{H_2}} = \frac{m_{H_2}}{m_{He}}$.
$H_2$ का आणविक द्रव्यमान $2 \ g/mol$ और $He$ का आणविक द्रव्यमान $4 \ g/mol$ है।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{H_2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(A) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,किसी कण के संवेग $(P)$ और उससे जुड़ी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{h}{P}$ है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है।