Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(B) लायमन श्रेणी के लिए,न्यूनतम तरंग दैर्ध्य तब प्राप्त होती है जब $n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ हो। सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
लायमन श्रेणी के लिए: $\frac{1}{\lambda_{L}} = R (\frac{1}{1^2} - 0) = R$,अतः $\lambda_{L} = \frac{1}{R}$।
बामर श्रेणी के लिए: $n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$। अतः,$\frac{1}{\lambda_{B}} = R (\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R}{4}$,अतः $\lambda_{B} = \frac{4}{R}$।
अनुपात $\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$।

(C) तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^{7} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
चूँकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}$.
अतः,$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^{7}} \ m = 0.9115 \times 10^{-7} \ m$.
नैनोमीटर में बदलने पर: $\lambda = 0.9115 \times 10^{-7} \times 10^{9} \ nm = 91.15 \ nm \approx 91 \ nm$.

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
$H$ $(Z=1)$ की द्वितीय उत्तेजित अवस्था के लिए,इलेक्ट्रॉन $n=3$ कक्षा में है:
$r_{H(n=3)} = 0.529 \times \frac{3^2}{1} = 0.529 \times 9 \ \mathring{A}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ की प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,इलेक्ट्रॉन $n=2$ कक्षा में है:
$r_{Li^{2+}(n=2)} = 0.529 \times \frac{2^2}{3} = 0.529 \times \frac{4}{3} \ \mathring{A}$.
$Li^{2+}$ की प्रथम उत्तेजित अवस्था और $H$ की द्वितीय उत्तेजित अवस्था की त्रिज्या का अनुपात:
$\frac{r_{Li^{2+}(n=2)}}{r_{H(n=3)}} = \frac{0.529 \times \frac{4}{3}}{0.529 \times 9} = \frac{4}{27}$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $27:4$ है।

(B) हाइड्रोजन की स्पेक्ट्रल रेखाओं के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ पर समाप्त होता है।
बामर श्रेणी में रेखाएं $n_2 = 3, 4, 5, \dots$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण द्वारा परिभाषित होती हैं।
- पहली रेखा $(H_\alpha)$ $n = 3 \to n = 2$ के अनुरूप है।
- दूसरी रेखा $(H_\beta)$ $n = 4 \to n = 2$ के अनुरूप है।
अतः,$n = 4$ से $n = 2$ का संक्रमण बामर श्रेणी की दूसरी रेखा को दर्शाता है।

(B) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$n = 1$ अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$r = a_0 \times \frac{1^2}{1} = a_0$ है।
हमें वह स्पीशीज ज्ञात करनी है जिसके लिए $\frac{n^2}{Z} = 1$ हो,जिसका अर्थ है $n^2 = Z$।
$Be^{3+}$ $(Z = 4)$ के लिए,$n^2 = 4$,इसलिए $n = 2$ है।
अतः,$n = 2$ वाले $Be^{3+}$ के लिए,त्रिज्या $a_0 \times \frac{2^2}{4} = a_0$ होती है।

(B) सत्य है क्योंकि,बोहर के मॉडल के अनुसार,इलेक्ट्रॉन निश्चित ऊर्जा वाली स्थिर कक्षाओं में घूमते हैं,जो उन्हें नाभिक में गिरने से रोकता है।
$R$ सत्य है क्योंकि इन स्थिर अवस्थाओं में मौजूद इलेक्ट्रॉनों को कक्षीय इलेक्ट्रॉन कहा जाता है।
हालाँकि,यह तथ्य कि वह एक कक्षीय इलेक्ट्रॉन है,इस बात की सीधी भौतिक व्याख्या नहीं है कि वह नाभिक में क्यों नहीं गिरता (इसका कारण कोणीय संवेग का क्वांटीकरण और स्थिर अवस्थाएँ हैं)।
इसलिए,दोनों सत्य हैं,लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) जब इलेक्ट्रॉन $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या का सूत्र: $N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ है।
यहाँ $n_2 = 6$ और $n_1 = 2$ दिया गया है,इसलिए कुल रेखाएँ $N = \frac{(6 - 2)(6 - 2 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$ होंगी।
चूंकि संक्रमण $n_1 = 2$ पर समाप्त होता है,इसलिए ये सभी रेखाएँ बामर श्रेणी के अंतर्गत आती हैं।
प्रश्न में बामर श्रेणी को छोड़कर रेखाओं की संख्या पूछी गई है,इसलिए बामर श्रेणी के बाहर रेखाओं की संख्या $10 - 10 = 0$ होगी।

(C) $n$ फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E = \frac{nhc}{\lambda}$.
$n$ के लिए सूत्र: $n = \frac{E \times \lambda}{hc}$.
दिया गया है: $E = 1 \, J$,$\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
मान रखने पर: $n = \frac{1 \times 5000 \times 10^{-10}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{5 \times 10^{-7}}{1.9878 \times 10^{-25}} \approx 2.515 \times 10^{18}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \ J \times \frac{Z^2}{n^2}$ है।
$He^+$ के लिए,$Z = 2$ और $n = 1$,इसलिए $E_{1, He^+} = E_{1, H} \times Z^2$ है।
दिया गया है $E_{1, He^+} = -871.6 \times 10^{-20} \ J$ है।
अतः,$-871.6 \times 10^{-20} = E_{1, H} \times (2)^2$ है।
$-871.6 \times 10^{-20} = E_{1, H} \times 4$ है।
$E_{1, H} = \frac{-871.6 \times 10^{-20}}{4} = -217.9 \times 10^{-20} \ J$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजाति की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $V_n = V_0 \times \frac{Z}{n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दी गई प्रजाति के लिए $V_0$ और $Z$ स्थिर हैं,इसलिए वेग मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(V \propto \frac{1}{n})$।
अतः,पहली,दूसरी और तीसरी कक्षाओं के लिए वेग का अनुपात $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$ होगा।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के $n$ वें कक्ष में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ में,$E_1 = -13.6 \ eV$ होता है।
बंधन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक है,जो $|E_1| = 13.6 \ eV$ है।
$He^+$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z=2$ है।
मूल अवस्था $(n=1)$ में,ऊर्जा $E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \ eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा (बंधन ऊर्जा) $|-54.4 \ eV| = 54.4 \ eV$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$E_n$ कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है $E_1 < E_2 < E_3$।
इसलिए,कथन $E_1 > E_2 > E_3$ गलत है।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$,$PE_n = -27.2 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है,इसलिए $PE_1 < PE_2 < PE_3$ सही है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$,$KE_n = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है,इसलिए $KE_1 > KE_2 > KE_3$ सही है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
$H$ $(Z=1, n=1)$ की मूल अवस्था के लिए: $E_1 = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$।
$He^+$ $(Z=2, n=2)$ की $n=2$ अवस्था के लिए: $E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \text{ eV}$।
$Li^{2+}$ $(Z=3, n=3)$ की $n=3$ अवस्था के लिए: $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6 \text{ eV}$।
$Be^{3+}$ $(Z=4, n=4)$ की $n=4$ अवस्था के लिए: $E_4 = -13.6 \times \frac{4^2}{4^2} = -13.6 \text{ eV}$।
अतः,$E_1(H) = E_2(He^+) = E_3(Li^{2+}) = E_4(Be^{3+})$।

(B) पराबैंगनी क्षेत्र लाइमैन श्रेणी $(n_1 = 1)$ के अनुरूप है।
$n_2$ से $n_1 = 1$ संक्रमण के लिए,स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $n_2 - n_1 = 5$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$n_2 - 1 = 5$,जिससे $n_2 = 6$ प्राप्त होता है।
अब,$n_2 = 6$ से अवरक्त क्षेत्र (पाश्चन,ब्रैकेट और फुंड श्रेणी) के लिए संक्रमण:
$1$. पाश्चन श्रेणी $(n_1 = 3)$: संक्रमण $6 \to 3, 5 \to 3, 4 \to 3$ ($3$ रेखाएं)।
$2$. ब्रैकेट श्रेणी $(n_1 = 4)$: संक्रमण $6 \to 4, 5 \to 4$ ($2$ रेखाएं)।
$3$. फुंड श्रेणी $(n_1 = 5)$: संक्रमण $6 \to 5$ ($1$ रेखा)।
अवरक्त क्षेत्र में रेखाओं की कुल संख्या = $3 + 2 + 1 = 6$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-1312}{n^2} \ kJ \ mol^{-1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,स्थिर मान $1312 \ kJ \ mol^{-1}$ उस ऊर्जा को दर्शाता है जो एक इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n=1)$ से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है,जिसे हाइड्रोजन परमाणु की आयनन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि समीकरण में स्थिरांक हाइड्रोजन परमाणु के लिए विशिष्ट है,इसलिए हाइड्रोजन परमाणु के लिए आयनन ऊर्जा स्थिर रहती है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \,\mathring{A}$ है।
हाइड्रोजन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है,इसलिए सूत्र $r_n = 0.529 \times n^2 \,\mathring{A}$ हो जाता है।
For $n = 1$: $r_1 = 0.529 \times 1^2 = 0.529 \,\mathring{A}$.
For $n = 2$: $r_2 = 0.529 \times 2^2 = 0.529 \times 4 = 2.116 \,\mathring{A}$.
For $n = 3$: $r_3 = 0.529 \times 3^2 = 0.529 \times 9 = 4.761 \,\mathring{A}$.
For $n = 4$: $r_4 = 0.529 \times 4^2 = 0.529 \times 16 = 8.464 \,\mathring{A}$.
अतः,त्रिज्याएँ $0.529 \,\mathring{A}, 2.116 \,\mathring{A}, 4.761 \,\mathring{A}, 8.464 \,\mathring{A}$ हैं।

(A) लाइमन श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए $n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
रिडबर्ग नियतांक $R \approx 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} = 1.097 \times 10^5 \, \text{cm}^{-1}$ है।
आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda} = c \times R$.
$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} = 3 \times 10^{10} \, \text{cm/s}$ का उपयोग करने पर:
$\nu = (3 \times 10^{10} \, \text{cm/s}) \times (1.097 \times 10^5 \, \text{cm}^{-1}) \approx 3.29 \times 10^{15} \, \text{sec}^{-1}$.

(D) बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$H$ परमाणु की $2^{nd}$ कक्षा के लिए $n = 2$,इसलिए $x = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ है।
$Li^{+2}$ की $1^{st}$ उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है (क्योंकि मूल अवस्था $n = 1$ है)।
इसलिए,$n = 2$ के लिए कोणीय संवेग $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi} = x$ है।
अतः,कोणीय संवेग $x$ ही रहेगा।

(B) बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 n^2$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 4 : 1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{4}{1}$,जिसका अर्थ है $\frac{n_1}{n_2} = \frac{2}{1}$।
अतः,$n_1 = 2$ और $n_2 = 1$।
$n=1$ वाली कक्षा को $K$ और $n=2$ वाली कक्षा को $L$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।
इसलिए,उनके पदनाम $L$ और $K$ हैं।

(C) अवशोषण स्पेक्ट्रम में,संक्रमण निम्नतम ऊर्जा स्तर (ground state) से उच्च ऊर्जा स्तरों की ओर होता है।
दी गई ऊर्जा स्तर आरेख को देखने पर,संक्रमण $1, 2, 3$ सबसे निचले ऊर्जा स्तर $A$ से क्रमशः उच्च स्तरों $X, B, C$ की ओर हो रहे हैं।
इसलिए,संक्रमण $1, 2, 3$ अवशोषण स्पेक्ट्रम में दिखाई दे सकते हैं।
संक्रमण $4, 5, 6$ उच्च ऊर्जा स्तरों से निम्न ऊर्जा स्तरों की ओर हो रहे हैं,जो उत्सर्जन को दर्शाते हैं,न कि अवशोषण को।
अतः,रेखाएं $4, 5, 6$ अवशोषण स्पेक्ट्रम में दिखाई नहीं देती हैं।

(A) परमाणु का पहला क्वांटम यांत्रिक मॉडल $Niels \ Bohr$ द्वारा $1913$ में प्रस्तावित किया गया था।
यह मॉडल विकिरण के क्वांटम सिद्धांत पर आधारित था,जो यह बताता है कि इलेक्ट्रॉन क्वांटाइज्ड ऊर्जा स्तरों के साथ निश्चित कक्षाओं में घूमते हैं।

(A) $H$ परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ द्वारा दी जाती है।
$n=3 \rightarrow n=2$ के लिए: $\Delta E = E_3 - E_2 = -13.6(1/9 - 1/4) = -13.6(-5/36) \approx 1.89 \, eV$.
$n=4 \rightarrow n=3$ के लिए: $\Delta E = E_4 - E_3 = -13.6(1/16 - 1/9) = -13.6(-7/144) \approx 0.66 \, eV$.
$n=5 \rightarrow n=4$ के लिए: $\Delta E = E_5 - E_4 = -13.6(1/25 - 1/16) = -13.6(-9/400) \approx 0.31 \, eV$.
मानों की तुलना करने पर,$n=3 \rightarrow n=2$ संक्रमण अधिकतम ऊर्जा मुक्त करता है।

(D) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ द्वारा दी जाती है।
उत्सर्जन तब होता है जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निचले ऊर्जा स्तर में कूदता है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E$,आवृत्ति $\nu$ के समानुपाती होता है।
उत्सर्जन के लिए,हम उच्च से निम्न स्तर के संक्रमणों को देखते हैं ($n=3 \to n=1$ या $n=5 \to n=2$)।
$n=5 \to n=2$ के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2}) = 2.856 \ eV$ है।
$n=3 \to n=1$ के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times (1 - \frac{1}{9}) = 12.08 \ eV$ है।
चूंकि $2.856 \ eV < 12.08 \ eV$,इसलिए $n=5 \to n=2$ संक्रमण में ऊर्जा का अंतर सबसे कम है और इसलिए इसकी आवृत्ति सबसे कम होगी।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \, eV$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \, eV$ है।
उत्तेजन के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -3.4 \, eV - (-13.6 \, eV) = 10.2 \, eV$।

(D) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$,प्रकाश की गति $(c)$ और आवृत्ति $(\nu)$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{c}{\nu}$ है।
दिया गया है: $c = 3.0 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ और $\nu = 8 \times 10^{15} \ s^{-1}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3.0 \times 10^8}{8 \times 10^{15}} = 0.375 \times 10^{-7} \ m = 3.75 \times 10^{-8} \ m$.
मीटर को नैनोमीटर $(nm)$ में बदलने के लिए $10^9$ से गुणा करें: $\lambda = 3.75 \times 10^{-8} \times 10^9 \ nm = 37.5 \ nm$.
अतः,निकटतम मान $4 \times 10^1 \ nm$ है।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली अवस्था $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की कुल संख्या का सूत्र है: $\frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$।
यहाँ,$n_2 = 6$ और $n_1 = 3$ है।
मान रखने पर: $\frac{(6 - 3)(6 - 3 + 1)}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = 6$।
अतः,वर्णक्रमीय रेखाओं की कुल संख्या $6$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के $n$ वें कक्ष में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J \ atom^{-1}$ है।
$He^+$ $(Z = 2)$ के लिए,आयनन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को $n = 1$ से $n = \infty$ तक ले जाने के लिए आवश्यक है,जो $-E_1$ के बराबर है। दिया गया $IE = 19.6 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$ है,इसलिए $E_1(He^+) = -19.6 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$ होगा।
सूत्र $E_n = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2}$ का उपयोग करके,हम इस इकाई प्रणाली के लिए स्थिरांक $R_H$ ज्ञात कर सकते हैं: $19.6 \times 10^{-18} = R_H \times \frac{2^2}{1^2} \implies R_H = 4.9 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$।
अब,$Li^{2+}$ $(Z = 3)$ के लिए,प्रथम स्थिर अवस्था $(n = 1)$ की ऊर्जा: $E_1(Li^{2+}) = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2} = -4.9 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{1^2} = -4.9 \times 10^{-18} \times 9 = -44.1 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1} = -4.41 \times 10^{-17} \ J \ atom^{-1}$।

(C) प्लांक के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \frac{nhc}{\lambda}$ है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है।
बल्ब की शक्ति $150 \ \text{W}$ है,और इसकी $8\%$ ऊर्जा प्रकाश के रूप में उत्सर्जित होती है:
$E = \frac{150 \times 8}{100} = 12 \ \text{J s}^{-1}$ (चूंकि $1 \ \text{W} = 1 \ \text{J s}^{-1}$)।
दिए गए मान:
$\lambda = 4500 \ \mathring{A} = 4500 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$c = 3 \times 10^8 \ \text{m s}^{-1}$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ \text{J s}$
समीकरण में मान रखने पर:
$12 = \frac{n \times (6.626 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{4500 \times 10^{-10}}$
$n$ के लिए हल करने पर:
$n = \frac{12 \times 4500 \times 10^{-10}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n \approx 2.72 \times 10^{19} \ \text{s}^{-1}$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए $n = 1$ है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$ है।
इस अवस्था से परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को $n = \infty$ तक ले जाने के लिए चाहिए,जो $E_{\infty} - E_3 = 0 - (-1.51) = 1.51 \ eV$ है।

(D) $Bohr$ के अभिधारणा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटाइज्ड होता है और यह $\frac{h}{2 \pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
गणितीय रूप से,इसे $L = mvr = \frac{n h}{2 \pi}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, .....$ मुख्य क्वांटम संख्या है,$h$ $Planck$ स्थिरांक है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।

(C) दिया गया सूत्र: $E_n = -313.6/n^2$
$E_n$ का मान रखने पर: $-34.84 = -313.6/n^2$
$n^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $n^2 = -313.6 / -34.84$
$n^2 = 9$
वर्गमूल लेने पर: $n = 3$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = 2.188 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \, m \cdot s^{-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$Be^{3+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n = 4$ (क्योंकि मूल अवस्था $n=1$ है,प्रथम उत्तेजित $n=2$,द्वितीय $n=3$,और तीसरी $n=4$ है)।
मान रखने पर: $v = 2.188 \times 10^6 \times \frac{4}{4} = 2.188 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$।
$km \cdot s^{-1}$ में बदलने के लिए $1000$ $(10^3)$ से भाग देने पर: $v = 2.188 \times 10^3 \, km \cdot s^{-1}$।

(D) दी गई ऊर्जा $E = 2 \ eV = 2 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 3.204 \times 10^{-19} \ J$.
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के लिए: $E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}}{3.204 \times 10^{-19} \ J} = 6.204 \times 10^{-7} \ m$.
आवृत्ति $(\nu)$ के लिए: $\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}}{6.204 \times 10^{-7} \ m} = 0.4835 \times 10^{15} \ s^{-1} \approx 4.8 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(A) $H$ परमाणु की आयनन ऊर्जा $(I.P.)$ $I.P. = E_{\infty} - E_1 = 0 - E_1 = -E_1$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन को पहली कक्षा $(n=1)$ से दूसरी कक्षा $(n=2)$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
चूंकि $E_n = E_1 / n^2$,इसलिए $E_2 = E_1 / 4$ होता है।
अतः,$\Delta E = (E_1 / 4) - E_1 = -3/4 E_1$।
$E_1 = -I.P.$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta E = 3/4 I.P.$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
हाइड्रोजन की दूसरी कक्षा के लिए $(n=2, Z=1)$: $(r_2)_H = 0.529 \times \frac{2^2}{1} = 0.529 \times 4 \ \mathring{A}$.
$Li^{+2}$ की तीसरी कक्षा के लिए $(n=3, Z=3)$: $(r_3)_{Li^{+2}} = 0.529 \times \frac{3^2}{3} = 0.529 \times 3 \ \mathring{A}$.
अनुपात $\frac{(r_2)_H}{(r_3)_{Li^{+2}}} = \frac{0.529 \times 4}{0.529 \times 3} = \frac{4}{3}$ है।
अतः,अनुपात $4 : 3$ है।

(C) उत्सर्जित फोटॉन की तरंग दैर्ध्य $(\lambda)$ दो ऊर्जा स्तरों के बीच ऊर्जा अंतर $(\Delta E)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सबसे कम तरंग दैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,ऊर्जा अंतर $(\Delta E)$ अधिकतम होना चाहिए।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \ \text{eV} / n^2$ द्वारा दी जाती है।
$n_2$ से $n_1$ संक्रमण के लिए ऊर्जा अंतर $\Delta E = 13.6 \ \text{eV} \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
दिए गए संक्रमणों की तुलना करने पर:
$(A)$ $n = 2 \rightarrow n = 1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(B)$ $n = 3 \rightarrow n = 1$: $\Delta E \propto 0.889$
$(C)$ $n = 4 \rightarrow n = 1$: $\Delta E \propto 0.9375$
$(D)$ $n = 4 \rightarrow n = 3$: $\Delta E \propto 0.0485$
अतः,$n = 4 \rightarrow n = 1$ संक्रमण में सबसे अधिक ऊर्जा अंतर है,और इसलिए यह सबसे कम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है।

(B) $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$।
उत्तेजन के लिए आवश्यक ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है।
प्रति परमाणु आवश्यक ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम आवोगाद्रो संख्या से विभाजित करते हैं:
आवश्यक ऊर्जा = $\frac{10.2 \ eV}{6.022 \times 10^{23}} \approx 1.69 \times 10^{-23} \ eV$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \, eV$ होती है।
उत्तेजित अवस्था की आयनन-ऊर्जा $+0.85 \, eV$ दी गई है,जिसका अर्थ है कि उस उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -0.85 \, eV$ है।
जब इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में वापस आता है,तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है:
$\Delta E = E_n - E_1 = -0.85 \, eV - (-13.6 \, eV) = 12.75 \, eV$.

(D) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n$ से निचले ऊर्जा स्तरों में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जन रेखाओं की कुल संख्या का सूत्र: $\frac{n(n - 1)}{2}$ होता है।
यहाँ चित्र में दिखाया गया उच्चतम ऊर्जा स्तर $n = 4$ है,इसलिए सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$\text{रेखाओं की संख्या} = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
अतः,उत्सर्जन रेखाओं की कुल संख्या $6$ होगी।

(B) क्वांटम सिद्धांत मैक्स प्लांक द्वारा दिया गया था। हालाँकि,नील्स बोर ही थे जिन्होंने सबसे पहले परमाणु की संरचना और हाइड्रोजन परमाणु की स्थिरता को समझाने के लिए क्वांटम सिद्धांत का उपयोग किया था। इसलिए,सही उत्तर $B$ है।

(B) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग में,नाभिक परमाणु के केंद्र में एक बहुत छोटा,सघन और धनावेशित क्षेत्र होता है।
परमाणु के आकार की तुलना में नाभिक का आकार अत्यंत छोटा होने के कारण,$\alpha$-कण नाभिक से होकर नहीं गुजरते हैं।
इसके बजाय,वे या तो धनावेश के इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रतिकर्षण के कारण विक्षेपित हो जाते हैं या नाभिक के चारों ओर के खाली स्थान से गुजर जाते हैं।
इसलिए,यह अवलोकन कि 'कुछ $\alpha$-कण नाभिक से होकर गुजरते हैं' गलत है।

(A) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,सबसे कम तरंगदैर्ध्य उस संक्रमण के अनुरूप होती है जिसमें ऊर्जा का अंतर $(\Delta E)$ सबसे अधिक होता है।
दिए गए संक्रमणों की तुलना करने पर:
$(A)$ $n_4 \to n_1$: सबसे बड़ा ऊर्जा अंतराल।
अतः,$n_4 \to n_1$ संक्रमण में अधिकतम ऊर्जा परिवर्तन होता है,जिसके परिणामस्वरूप सबसे कम तरंगदैर्ध्य प्राप्त होती है।

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली अवस्था $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की कुल संख्या का सूत्र है: $N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$।
यहाँ इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में संक्रमण करता है और रेखाओं की कुल संख्या $N = 10$ है,इसलिए:
$10 = \frac{(n_2 - 1)(n_2 - 1 + 1)}{2}$
$10 = \frac{(n_2 - 1)(n_2)}{2}$
$20 = n_2^2 - n_2$
$n_2^2 - n_2 - 20 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n_2 - 5)(n_2 + 4) = 0$।
चूंकि $n_2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n_2 = 5$।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m Z e^2 k}$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
चूँकि हाइड्रोजन और ड्यूटेरियम दोनों का परमाणु क्रमांक $(Z = 1)$ समान है और इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m)$ भी समान है,इसलिए प्रथम कक्षा की त्रिज्या नाभिक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,हाइड्रोजन $(r_H)$ और ड्यूटेरियम $(r_D)$ में प्रथम कक्षा की त्रिज्या समान है।
इसलिए,अनुपात $r_H : r_D$ का मान $1 : 1$ होगा।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) की ऊर्जा $-13.6 \,eV$ है। $n=1$ से $n=2$ अवस्था में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ है।
चूंकि आपतित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $10.8 \,eV$ है,इसलिए $H$ परमाणु उत्तेजित होने के लिए $10.2 \,eV$ ऊर्जा अवशोषित करेगा और शेष ऊर्जा $(10.8 \,eV - 10.2 \,eV = 0.6 \,eV)$ इलेक्ट्रॉन के पास गतिज ऊर्जा के रूप में रहेगी।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ ऊर्जा स्तर के अनुरूप है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
मान रखने पर: $r_3 = 0.529 \times \frac{3^2}{3} \mathring{A} = 0.529 \times 3 \mathring{A}= 1.587 \mathring{A}$।

(A) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में दृश्य क्षेत्र बामर श्रेणी के अनुरूप होता है,जहाँ संक्रमण $n = 2$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $6^{th}$ कक्षा से $3^{rd}$ कक्षा में संक्रमण कर रहा है,यह $n = 2$ स्तर तक नहीं पहुँचता है।
इसलिए,दृश्य क्षेत्र में स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $0$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$H$ परमाणु $(Z=1)$ के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) = 13.6 \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times \frac{3}{4} = 10.2 \ eV$ है।
$Be^{3+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है।
उसी संक्रमण ($n=1$ से $n=2$) के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E' = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ होगा।
$\Delta E' = 13.6 \times 4^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times 16 \times \frac{3}{4} = 13.6 \times 4 \times 3 = 163.2 \ eV$।

(C) आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम आवृत्ति के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ अधिकतम होनी चाहिए।
लायमन श्रेणी $(n_1 = 1)$ के लिए,अधिकतम तरंगदैर्ध्य $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के अनुरूप है: $\frac{1}{\lambda_{L, \text{max}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_{L, \text{max}} = \frac{4}{3R}$.
बामर श्रेणी $(n_1 = 2)$ के लिए,अधिकतम तरंगदैर्ध्य $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है: $\frac{1}{\lambda_{B, \text{max}}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{B, \text{max}} = \frac{36}{5R}$.
न्यूनतम आवृत्तियों का अनुपात $\frac{\nu_{L, \text{min}}}{\nu_{B, \text{min}}} = \frac{\lambda_{B, \text{max}}}{\lambda_{L, \text{max}}} = \frac{36 / 5R}{4 / 3R} = \frac{36}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{5} = 5.4$.

(D) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज की $n$ वीं बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$।
$He^{+}$ की पहली बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$ और परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} \ eV = -13.6 \times 4 \ eV = -54.4 \ eV$।