Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(C) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ का सूत्र: $\bar{\nu} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ और पहली रेखा के लिए,$n_2 = 3$ है।
हाइड्रोजन $(H)$ के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\bar{\nu}_H = R(1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 15200 \, cm^{-1}$ है।
$Li^{2+}$ आयन के लिए,$Z = 3$ है। बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}_{Li^{2+}} = R(3)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$ होगी।
हाइड्रोजन समीकरण से $R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$ का मान रखने पर:
$\bar{\nu}_{Li^{2+}} = 3^2 \times \bar{\nu}_H = 9 \times 15200 = 136800 \, cm^{-1}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_2 = 4$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_1 = 2$ है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = -13.6 \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)$ है।
मान रखने पर: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$.
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{4-1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{3}{16} = 2.55 \ eV$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta E = 13.6 \ eV \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
विकल्प $A$ ($n=1$ से $n=2$) के लिए: $\Delta E = 13.6 \times (1 - 0.25) = 10.2 \ eV$.
विकल्प $B$ ($n=2$ से $n=3$) के लिए: $\Delta E = 13.6 \times (0.25 - 0.111) \approx 1.89 \ eV$.
विकल्प $C$ ($n=2$ से $n=1$) के लिए: यह उत्सर्जन प्रक्रिया है (ऊर्जा मुक्त होती है),अवशोषण नहीं।
विकल्प $D$ ($n=3$ से $n=5$) के लिए: $\Delta E = 13.6 \times (0.111 - 0.04) \approx 0.96 \ eV$.
अवशोषण के लिए आवश्यक ऊर्जा के परिमाण की तुलना करने पर,$n=1$ से $n=2$ का संक्रमण सबसे अधिक ऊर्जा की मांग करता है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E = \frac{hc}{\lambda}$
दिया गया है:
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5.89 \times 10^{-5} \ cm$
मान रखने पर:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^{10}}{5.89 \times 10^{-5}}$
$E = \frac{19.878 \times 10^{-17}}{5.89 \times 10^{-5}}$
$E \approx 3.37 \times 10^{-12} \ erg$

(A) इलेक्ट्रॉन के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ से उत्तेजित अवस्था $(n=4)$ में संक्रमण के लिए अवशोषण रेखाओं की संख्या $n-1$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अंतिम ऊर्जा स्तर है।
यहाँ,$n=4$ है।
अतः,अवशोषण रेखाओं की संख्या $= 4 - 1 = 3$।

(A) फंड (Pfund) श्रेणी के लिए,निचला ऊर्जा स्तर $n_1 = 5$ है।
आवृत्ति $\nu = R_H c [\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}]$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n_2 = 6$ लेने पर,$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (\frac{1}{25} - \frac{1}{36}) \approx 2.340 \times 10^{14} \ Hz$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2 = 6$।

(C) हाइड्रोजन-समान स्पीशीज के $n$ वें कक्ष में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ है,जहाँ $E_1$ मूल अवस्था की ऊर्जा है।
दिया गया है कि आयनन ऊर्जा $(I.P.)$ $960 \ eV$ है,इसलिए मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -960 \ eV$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $-60 \ eV = \frac{-960 \ eV}{n^2}$।
$n^2$ के लिए हल करने पर: $n^2 = \frac{960}{60} = 16$।
अतः,$n = \sqrt{16} = 4$।

(D) आवृत्ति $(\nu)$,प्रकाश का वेग $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
तरंगदैर्ध्य के लिए सूत्र: $\lambda = \frac{c}{\nu}$.
दिया गया है: $c = 3.0 \times 10^8 \, m \cdot s^{-1}$ और $\nu = 8 \times 10^{15} \, s^{-1}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3.0 \times 10^8}{8 \times 10^{15}} = 0.375 \times 10^{-7} \, m = 3.75 \times 10^{-8} \, m$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए $n = 1$ है,इसलिए $E_1 = -13.6 \ eV$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए $n = 2$ होता है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$।
अतः,उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन के लिए संभावित ऊर्जा $-3.4 \ eV$ है।

(A) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग ने दिखाया कि अधिकांश $\alpha$-कण सोने की पन्नी से बिना विक्षेपित हुए निकल गए,जबकि बहुत छोटा अंश बड़े कोणों पर विक्षेपित हुआ।
इससे यह निष्कर्ष निकला कि परमाणु का संपूर्ण धनावेश और अधिकांश द्रव्यमान केंद्र में एक बहुत छोटे आयतन में केंद्रित होता है,जिसे उन्होंने नाभिक कहा।
अतः,विकल्प $A$ सही कथन है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 / 1^2 = -13.6 \, eV$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -13.6 / 2^2 = -13.6 / 4 = -3.4 \, eV$ है।
उत्तेजन के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, eV$ है।

(A) $H$-जैसी स्पीशीज के लिए,$n$ कक्षा की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा अंतर की गणना करने पर:
$(E_2 - E_1) = -13.6 Z^2 (\frac{1}{4} - 1) = 13.6 Z^2 (\frac{3}{4}) = 10.2 Z^2$.
$(E_3 - E_2) = -13.6 Z^2 (\frac{1}{9} - \frac{1}{4}) = 13.6 Z^2 (\frac{5}{36}) \approx 1.89 Z^2$.
$(E_4 - E_3) = -13.6 Z^2 (\frac{1}{16} - \frac{1}{9}) = 13.6 Z^2 (\frac{7}{144}) \approx 0.66 Z^2$.
इन मानों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $(E_2 - E_1) > (E_3 - E_2) > (E_4 - E_3)$।

(A) प्लांक के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
यह संबंध समीकरण $E = h \nu$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन संक्रमण के लिए ऊर्जा परिवर्तन $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्प $A$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \text{ eV}$.
विकल्प $B$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \approx 1.89 \text{ eV}$.
विकल्प $C$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \left( 1 - 0.25 \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
विकल्प $D$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = 13.6 \left( \frac{16}{225} \right) \approx 0.97 \text{ eV}$.
मानों की तुलना करने पर,$n = \infty$ से $n = 1$ के संक्रमण में सबसे अधिक ऊर्जा परिवर्तन होता है।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(mvr)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
यहाँ कक्षा संख्या $n = 5$ दी गई है,इसलिए मान रखने पर:
$mvr = \frac{5h}{2\pi} = 2.5 \frac{h}{\pi}$.

(C) रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
यहाँ,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$
चूँकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \ m \approx 0.9116 \times 10^{-7} \ m = 91.16 \ nm$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $91 \ nm$ है।

(B) लाइमन श्रेणी के लिए,लघुतम तरंगदैर्ध्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के लिए होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{x} = R \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
$H$ परमाणु के लिए $(Z=1)$: $\frac{1}{x} = R \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}) = R$.
अतः,$R = \frac{1}{x}$.
$H$ परमाणु की प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ है।
कुल ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ के लिए,$E_2 = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -3.4 \text{ eV}$.

(B) बोर मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{2.179 \times 10^{-11}}{n^2} \ erg$ द्वारा दी जाती है।
$n_1 = 1$ से $n_2 = 3$ में संक्रमण के लिए ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_3 - E_1$ है।
$\Delta E = -2.179 \times 10^{-11} \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{1^2} \right) \ erg$.
$\Delta E = -2.179 \times 10^{-11} \left( \frac{1}{9} - 1 \right) \ erg$.
$\Delta E = -2.179 \times 10^{-11} \left( -\frac{8}{9} \right) \ erg$.
$\Delta E = 2.179 \times 10^{-11} \times 0.8888 \ erg \approx 1.936 \times 10^{-11} \ erg$.
दिए गए प्रारूप में परिवर्तित करने पर: $1.936 \times 10^{-11} \ erg = 0.1936 \times 10^{-10} \ erg$.
दिए गए विकल्पों में से,$0.1911 \times 10^{-10} \ erg$ सबसे निकटतम मान है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ है।
पहली कक्षा $(n = 1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 / 1^2 = -13.6 \, eV$ होता है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप होती है।
अतः,पहली उत्तेजित अवस्था में ऊर्जा $E_2 = -13.6 / 2^2 = -13.6 / 4 = -3.4 \, eV$ होगी।

(A) हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$।
$Li^{2+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था का अर्थ है तीसरी कक्षा,इसलिए $n = 3$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} \ eV = -13.6 \ eV$।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए बोहर मॉडल के अनुसार,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E = -K.E.$
$P.E. = 2 \times E$
स्थितिज ऊर्जा के समीकरण में $E = -K.E.$ रखने पर:
$P.E. = 2 \times (-K.E.)$
$P.E. = -2 \times K.E.$
अतः,$K.E. = -\frac{1}{2} P.E.$
परिमाण के संदर्भ में,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा की आधी होती है।

(A) कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
$He^+$ के लिए,परमाणु संख्या $Z = 2$ है।
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए: $r_3 = 0.529 \times \frac{3^2}{2} = 0.529 \times \frac{9}{2} \ \mathring{A}$।
पांचवीं कक्षा $(n = 5)$ के लिए: $r_5 = 0.529 \times \frac{5^2}{2} = 0.529 \times \frac{25}{2} \ \mathring{A}$।
अनुपात $\frac{r_3}{r_5} = \frac{0.529 \times \frac{9}{2}}{0.529 \times \frac{25}{2}} = \frac{9}{25}$।
अतः,अनुपात $9 : 25$ है।

(A) बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(n_1 = 2, n_2 = 3)$:
$\frac{1}{\lambda_B} = Z^2 R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Z^2 R_H \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_B = \frac{36}{5 Z^2 R_H}$
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(n_1 = 1, n_2 = 2)$:
$\frac{1}{\lambda_L} = Z^2 R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = Z^2 R_H \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_L = \frac{4}{3 Z^2 R_H}$
दिया गया अंतर $\lambda_B - \lambda_L = 59.3 \ nm = 59.3 \times 10^{-7} \ cm$:
$\frac{36}{5 Z^2 R_H} - \frac{4}{3 Z^2 R_H} = 59.3 \times 10^{-7}$
$\frac{88}{15 Z^2 R_H} = 59.3 \times 10^{-7}$
$Z^2 = \frac{88}{15 \times 109678 \times 59.3 \times 10^{-7}} \approx 9$
$Z = 3$. अतः,आयन $Li^{2+}$ है।

(D) आवृत्ति की गणना:
$\lambda = 4000 \ \mathring{A} = 4000 \times 10^{-10} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$
$\because \nu = \frac{c}{\lambda}$
$\therefore \nu = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{4 \times 10^{-7} \ m} = 0.75 \times 10^{15} \ s^{-1} = 7.5 \times 10^{14} \ s^{-1}$
ऊर्जा की गणना:
$E = h\nu = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 7.5 \times 10^{14} \ s^{-1} = 4.96 \times 10^{-19} \ J$

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{1.312 \times 10^6}{n^2} \, J \, mol^{-1}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 1$ के लिए,$E_1 = -1.312 \times 10^6 \, J \, mol^{-1}$.
$n = 2$ के लिए,$E_2 = -\frac{1.312 \times 10^6}{4} = -0.328 \times 10^6 \, J \, mol^{-1}$.
उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$.
$\Delta E = (-0.328 \times 10^6) - (-1.312 \times 10^6) = 0.984 \times 10^6 \, J \, mol^{-1} = 9.84 \times 10^5 \, J \, mol^{-1}$.

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,इसलिए $E_n(H) = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} = -13.6 \times \frac{1}{n^2}$।
$A^{(+z-1)}$ प्रजाति के लिए,परमाणु क्रमांक $Z$ है। अतः,$E_n(A^{(+z-1)}) = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2}$।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $E_n(A^{(+z-1)}) = Z^2 \times E_n(H)$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ और कुल ऊर्जा $(T.E.)$ का संबंध $P.E. = 2 \times T.E.$ होता है।
दिया गया है $P.E. = -3.02 \ eV$,इसलिए $T.E. = \frac{-3.02}{2} = -1.51 \ eV$।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$-13.6 / n^2 = -1.51$ रखने पर,$n^2 = 13.6 / 1.51 \approx 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $n = 3$।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $n = 3$ कक्षा में है,यह $2^{nd}$ उत्तेजित अवस्था के अनुरूप है (क्योंकि $n=1$ मूल अवस्था है,$n=2$ $1^{st}$ उत्तेजित अवस्था है,और $n=3$ $2^{nd}$ उत्तेजित अवस्था है)।

(C) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग में,कुछ $\alpha$-कणों का बड़े कोण पर विक्षेपित होना यह दर्शाता है कि परमाणु का धनावेश और द्रव्यमान एक बहुत छोटे आयतन में केंद्रित होता है जिसे नाभिक कहा जाता है। बड़े कोण का विक्षेपण धनावेशित $\alpha$-कण और धनावेशित,सघन और भारी नाभिक के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण के कारण होता है। इसलिए,नाभिक की भारी प्रकृति और उसका छोटा आकार दोनों ही इस अवलोकन के लिए जिम्मेदार हैं। अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) थॉमसन ने प्रस्तावित किया कि एक परमाणु एक धनावेशित गोले से बना होता है जिसमें इलेक्ट्रॉन धंसे होते हैं,जो तरबूज के बीज या पुडिंग में प्लम के समान होते हैं।
इसलिए,कथन $A$ सही है क्योंकि इसे ऐतिहासिक रूप से 'प्लम पुडिंग' मॉडल कहा जाता है।
कथन $R$ इस मॉडल की संरचना का सही वर्णन करता है,जो कथन $A$ में दिए गए नाम का आधार है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सही हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) ब्रैकेट श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 4$ पर होता है।
तीसरी रेखा के लिए,इलेक्ट्रॉन $n_2 = 4 + 3 = 7$ से कूदता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
हाइड्रोजन के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{7^2} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{16} - \frac{1}{49} \right] = R \left[ \frac{49 - 16}{16 \times 49} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{33}{784} \right]$.
अतः,$\lambda = \frac{784}{33R}$.

(A) बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda = \frac{36}{5R_H}$.
दिया गया है $R_H \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1} = 1.097 \times 10^{-2} \ nm^{-1}$.
$\lambda = \frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{-2} \ nm^{-1}} \approx 656.3 \ nm = 6563 \ \mathring{A}$.
दिए गए विकल्पों में से निकटतम मान लेने पर,सही उत्तर $6566 \ \mathring{A}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$।
दूसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 3$।
सूत्र में $n = 3$ रखने पर:
$E_3 = -13.6 / (3)^2 \, eV$
$E_3 = -13.6 / 9 \, eV$
$E_3 \approx -1.51 \, eV$।

(C) $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = -27.2 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ है।
$He^+$ के लिए $Z = 2$ और $n = 2$ रखने पर,$PE = -27.2 \times \frac{2^2}{2^2} = -27.2 \, eV$ प्राप्त होता है,जो दी गई जानकारी के अनुरूप है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z = 1)$ के लिए $n$-वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} \, eV$ होती है।
हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ को दर्शाती है। अतः,$E_2 = -13.6 \times \frac{1}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} = -3.4 \, eV$ है।
प्रश्न के अनुसार इस ऊर्जा का दोगुना मान: $2 \times (-3.4 \, eV) = -6.8 \, eV$ होगा।

(B) $Li$ $(Z=3)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^1$ है। तीसरा इलेक्ट्रॉन $2s$ कक्षक में प्रवेश करता है,इसलिए $n = 2$.
कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है। $n=2$ के लिए,कोणीय संवेग = $\frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$.
हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-2\pi^2 m e^4 Z^2}{n^2 h^2}$ द्वारा दी जाती है।
$Z=3$ और $n=2$ रखने पर: $E = \frac{-2\pi^2 m e^4 (3)^2}{(2)^2 h^2} = \frac{-2\pi^2 m e^4 (9)}{4 h^2} = \frac{-9\pi^2 m e^4}{2h^2}$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ द्वारा दिए जाते हैं।
$n=1$ के लिए,$E_1 = -13.6 \, eV$।
$n=2$ के लिए,$E_2 = -3.4 \, eV$।
इलेक्ट्रॉन को $n=1$ से $n=2$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, eV$ है।
चूंकि दी गई ऊर्जा $9 \, eV$ है,जो $10.2 \, eV$ की उत्तेजन ऊर्जा से कम है,इसलिए इलेक्ट्रॉन किसी भी उच्च ऊर्जा स्तर में उत्तेजित नहीं हो पाएगा।
अतः,कोई भी स्पेक्ट्रमी रेखा उत्सर्जित नहीं होगी।
सही विकल्प $A$ है।

(A) $U.V.$ क्षेत्र (लाइमन श्रेणी) $n = 1$ ऊर्जा स्तर पर समाप्त होने वाले इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों के अनुरूप होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $6^{th}$ कक्षा से $3^{rd}$ कक्षा में संक्रमण कर रहा है,इसलिए सभी संभावित संक्रमण $n = 6$ और $n = 3$ के बीच होते हैं।
इनमें से कोई भी संक्रमण $n = 1$ स्तर तक नहीं पहुँचता है।
अतः,$U.V.$ क्षेत्र में वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या $0$ होगी।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$ है।
जब परमाणु $8.4 \ eV$ द्वारा उत्तेजित होता है,तो नई ऊर्जा $E_{new} = -13.6 + 8.4 = -5.2 \ eV$ होती है।
चूंकि $-5.2 \ eV$ हाइड्रोजन परमाणु के किसी भी अनुमत ऊर्जा स्तर (जैसे $E_2 = -3.4 \ eV$,$E_3 = -1.51 \ eV$) के अनुरूप नहीं है,इसलिए परमाणु इस ऊर्जा द्वारा उच्च अवस्था में उत्तेजित नहीं हो सकता है।
अतः,कोई संक्रमण नहीं होता है और उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या $0$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$He^+$ के लिए,$Z = 2$ और मूल अवस्था के लिए,$n = 1$ है।
अतः,$E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -54.4 \ eV$।
आयनन ऊर्जा $(IE)$ वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक है,जो $-E_1 = 54.4 \ eV$ है।
बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी कुल ऊर्जा के परिमाण $(|E_n|)$ के बराबर होती है।
इसलिए,$IE = |E_1| = KE_1$।

(C) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली अवस्था $n_1$ में संक्रमण करता है,तो वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या $\frac{n(n-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ऊर्जा स्तरों की संख्या है।
$x$ ऊर्जा स्तरों के लिए,संक्रमण $x$ स्तर से सभी निचले स्तरों $(x-1, x-2, \dots, 1)$ तक होता है।
रेखाओं की कुल संख्या पहले $(x-1)$ पूर्णांकों का योग है: $1 + 2 + 3 + \dots + (x - 1)$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Li^{2+}$ के लिए,$Z = 3$ है।
$n = 2$ और $n = 5$ के लिए त्रिज्याओं का अनुपात:
$\frac{r_2}{r_5} = \frac{n_2^2 / Z}{n_5^2 / Z} = \frac{n_2^2}{n_5^2} = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.
अतः,$r_2 : r_5$ का अनुपात $4 : 25$ है।

(D) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इसलिए,$A_n \propto (n^2)^2 = n^4$.
दूसरी कक्षा $(n_2 = 2)$ और पहली कक्षा $(n_1 = 1)$ के लिए:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{2^4}{1^4} = \frac{16}{1} = 16:1$.

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n \propto Z^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$He^{+}$ के लिए,$Z = 2$ और $n = 1$ है।
$E_{He^+} = k \times (2)^2 = 4k = -871.6 \times 10^{-20} \ J$।
$H$ के लिए,$Z = 1$ और $n = 1$ है।
$E_H = k \times (1)^2 = k$।
अतः,$E_H = \frac{E_{He^+}}{4} = \frac{-871.6 \times 10^{-20}}{4} \ J = -217.9 \times 10^{-20} \ J$।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजाति के $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$3^{rd}$ और $2^{nd}$ कक्षा के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_3 - E_2 = -13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^2})$ है।
$\Delta E = -13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{9} - \frac{1}{4}) = -13.6 \times Z^2 \times (\frac{4-9}{36}) = -13.6 \times Z^2 \times (-\frac{5}{36})$
$\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times \frac{5}{36} = 1.888 \times Z^2 \approx 1.89 \times Z^2$
दिया गया है $\Delta E = 47.2 \ eV$,इसलिए $47.2 = 1.89 \times Z^2$
$Z^2 = \frac{47.2}{1.89} \approx 25$
अतः,$Z = 5$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,रीडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
यहाँ,$n_1 = 1$,$n_2 = \infty$,$Z = 1$ और $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2})$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times (1 - 0) = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \approx 9.116 \times 10^{-8} \ m = 91.16 \ nm$.
अतः,तरंगदैर्ध्य लगभग $91 \ nm$ है।

(C) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{3}{4} \right)$।
हाइड्रोजन $(Z = 1)$ के लिए,$\lambda_H = 1216 \ \mathring{A} = \frac{4}{3R}$।
$10$ बार आयनित सोडियम $(Na^{10+})$ के लिए,$Z = 11$। तरंगदैर्ध्य $\lambda_{Na}$ इस प्रकार दी गई है: $\frac{1}{\lambda_{Na}} = R (11)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{Na}}{\lambda_H} = \frac{R(1)^2(3/4)}{R(11)^2(3/4)} = \frac{1}{121}$।
अतः,$\lambda_{Na} = \frac{1216}{121} \approx 10 \ \mathring{A}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_1 = 2$ है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था के लिए,$n_2 = 3$ है।
ऊर्जा का अनुपात $E_1 / E_2 = (1 / n_1^2) / (1 / n_2^2) = n_2^2 / n_1^2$ होगा।
मान रखने पर: $E_1 / E_2 = 3^2 / 2^2 = 9 / 4$।

(A) तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र $\bar{\nu} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
प्रथम उत्सर्जन रेखा $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ में संक्रमण के अनुरूप है।
$H$ परमाणु के लिए $(Z = 1)$ मान रखने पर:
$\bar{\nu} = R(1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
$\bar{\nu} = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \ cm^{-1}$।

(D) बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times n^2$ है,जहाँ $a_0 = 0.529 \, \mathring{A}$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$ है।
अतः,$r_2 = 0.529 \times (2)^2 = 0.529 \times 4 = 2.116 \, \mathring{A}$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.12 \, \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E$ उसके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से समीकरण $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा संबंधित है।
दिए गए मान हैं: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$,और $\lambda = 45 \ nm = 45 \times 10^{-9} \ m$.
समीकरण में इन मानों को रखने पर:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \ s) \times (3 \times 10^8 \ m \ s^{-1})}{45 \times 10^{-9} \ m}$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{45 \times 10^{-9}} \ J$
$E = 0.442 \times 10^{-17} \ J = 4.42 \times 10^{-18} \ J$.

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = - 2.178 \times 10^{-18} \ J \left( \frac{Z^2}{n^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,ऊर्जा कम ऋणात्मक (शून्य के करीब) हो जाती है।
$n = 1$ के लिए,ऊर्जा $-2.178 \times 10^{-18} \ J$ है,और $n = 6$ के लिए,यह $-2.178 \times 10^{-18} \ J \times (1/36)$ है,जो एक छोटा ऋणात्मक मान है।
अधिक ऋणात्मक ऊर्जा का अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से अधिक मजबूती से बंधा हुआ है।
इसलिए,विकल्प $B$ में दिया गया कथन गलत है क्योंकि यह दावा करता है कि इलेक्ट्रॉन सबसे छोटी कक्षा $(n=1)$ में अधिक ढीले ढंग से बंधा हुआ है,जबकि वास्तव में यह अधिक मजबूती से बंधा होता है।