Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
यहाँ,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1} \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right]$
चूँकि $\frac{1}{\infty} = 0$,इसलिए: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \ m \approx 9.115 \times 10^{-8} \ m$
नैनोमीटर $(nm)$ में बदलने पर: $\lambda = 9.115 \times 10^{-8} \times 10^9 \ nm = 91.15 \ nm \approx 91 \ nm$.

(D) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ संबंध द्वारा दी जाती है।
$1^{st}$ कक्षा $(n=1)$ के लिए,त्रिज्या $\gamma$ दी गई है।
$3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ के लिए,त्रिज्या $r_3$ का मान $3^2 = 9$ के समानुपाती होगा।
अतः,$r_3 = 9 \times r_1 = 9\gamma$.

(B) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र इस प्रकार है:
$r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m k Z e^2}$
इस व्यंजक में,$h$,$\pi$,$m$,$k$,$Z$,और $e$ दिए गए परमाणु के लिए स्थिरांक हैं।
अतः,त्रिज्या मुख्य क्वांटम संख्या के वर्ग के समानुपाती होती है:
$r_n \propto n^2$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$ है।
$n = 2$ ऊर्जा स्तर के लिए:
$E_2 = \frac{-13.6}{(2)^2} \ eV$
$E_2 = \frac{-13.6}{4} \ eV$
$E_2 = -3.4 \ eV$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$।
दिया गया है कि मूल अवस्था की ऊर्जा $(n=1)$ $-13.6 \ eV$ है।
क्वांटम संख्या $n = 5$ के अनुरूप ऊर्जा स्तर के लिए:
$E_5 = \frac{-13.6}{5^2} \ eV$
$E_5 = \frac{-13.6}{25} \ eV$
$E_5 = -0.544 \ eV \approx -0.54 \ eV$।

(A) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ ऊर्जा अंतर $(\Delta E)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य के लिए,ऊर्जा अंतर अधिकतम होना चाहिए।
दिए गए संक्रमणों में,$n_4 \to n_1$ संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर सबसे अधिक है,इसलिए इसकी तरंगदैर्ध्य न्यूनतम होगी।

(C) सही युग्म $(C)$ है।
उत्सर्जन स्पेक्ट्रा में विशिष्ट तरंग दैर्ध्य पर अलग-अलग रेखाएं होती हैं,जो परमाणु के भीतर ऊर्जा स्तरों के क्वांटाइजेशन का सीधा प्रमाण प्रदान करती हैं।
$X$-ray स्पेक्ट्रा परमाणु क्रमांक $(Z)$ से संबंधित है,$\alpha$-कण प्रकीर्णन एक छोटे,सघन और धनावेशित नाभिक के अस्तित्व को प्रदर्शित करता है,और प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रकाश की कण प्रकृति (फोटॉन) को प्रदर्शित करता है।

(D) नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण के परिणामस्वरूप,जब एक इलेक्ट्रॉन को अनंत से किसी कक्षक में लाया जाता है तो ऊर्जा मुक्त होती है। इसलिए,नाभिक से अनंत दूरी पर किसी इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $0$ मानी जाती है। जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन नाभिक के करीब आता है,वह ऊर्जा खो देता है,जिससे किसी भी बद्ध अवस्था में उसकी ऊर्जा ऋणात्मक हो जाती है। अतः,इलेक्ट्रॉन की अधिकतम ऊर्जा नाभिक से अनंत दूरी पर होती है।

(B) दिए गए कथन समान ऊर्जा वाले कक्षकों को भरने की शर्तों का वर्णन करते हैं।
कथन $i$ युग्मन से पहले एकल अधिभोग (single occupancy) की प्राथमिकता को संदर्भित करता है।
कथन $ii$ समान ऊर्जा वाले कक्षकों में समानांतर चक्रण होने से प्राप्त स्थिरता को संदर्भित करता है।
ये $Hund$ के अधिकतम बहुलता के नियम के मूलभूत सिद्धांत हैं।

(D) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $E \propto \frac{1}{\lambda}$।
अतः,ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ होगा।
यहाँ $\lambda_1 = 2000 \ \mathring{A}$ और $\lambda_2 = 4000 \ \mathring{A}$ दिया गया है।
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{4000}{2000} = 2$।

(B) बोहर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{2.179 \times 10^{-11}}{n^2} \ erg$ द्वारा दी जाती है।
$n_1 = 1$ से $n_2 = 3$ के संक्रमण के लिए ऊर्जा परिवर्तन $\Delta E = E_3 - E_1$ है।
$\Delta E = -\frac{2.179 \times 10^{-11}}{3^2} - (-\frac{2.179 \times 10^{-11}}{1^2})$.
$\Delta E = 2.179 \times 10^{-11} \times (1 - \frac{1}{9}) = 2.179 \times 10^{-11} \times \frac{8}{9}$.
$\Delta E = 1.9368 \times 10^{-11} \ erg = 0.19368 \times 10^{-10} \ erg$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सबसे निकटतम मान $0.1911 \times 10^{-10} \ erg$ (विकल्प $B$) है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन निम्न ऊर्जा स्तर से उच्च ऊर्जा स्तर में जाता है,इसलिए ऊर्जा अवशोषित होती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$,इसलिए $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
उत्तेजित अवस्थाएँ $n > 1$ (अर्थात $n = 2, 3, 4, \dots$) के अनुरूप होती हैं।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$:
$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ है।
अतः,$-3.4 \ eV$ उत्तेजित अवस्था के लिए एक संभावित ऊर्जा मान है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n \propto Z^2$ है।
पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए,$E_1 \propto Z^2$।
$He^{+}$ $(Z=2)$ के लिए दिया गया है: $E_{1, He^{+}} = -871.6 \times 10^{-20} \ J$।
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए: $E_{1, H} = E_{1, He^{+}} \times \frac{Z_H^2}{Z_{He^{+}}^2}$।
$E_{1, H} = -871.6 \times 10^{-20} \times \frac{1^2}{2^2} = -871.6 \times 10^{-20} \times \frac{1}{4} = -217.9 \times 10^{-20} \ J$।

(D) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = r_0 \times n^2$ है,जहाँ $r_0 = 0.530 \ \mathring{A}$ मूल अवस्था $(n = 1)$ की त्रिज्या है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$ है।
मान रखने पर: $r_2 = 0.530 \ \mathring{A} \times (2)^2$.
$r_2 = 0.530 \ \mathring{A} \times 4 = 2.12 \ \mathring{A}$.

(C) किसी भी स्पेक्ट्रल श्रेणी की अंतिम रेखा को श्रेणी सीमा कहा जाता है।
बामर श्रेणी के लिए श्रेणी सीमा $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण द्वारा प्राप्त होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) = \frac{R_H}{4}$.
अतः,$\lambda = \frac{4}{R_H} = 3646 \ \mathring{A}$।

(B) $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$।
उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने के लिए,हम $1.602 \times 10^{-19} \ J/eV$ से गुणा करते हैं:
$\Delta E = 10.2 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx 1.634 \times 10^{-18} \ J$।

(D) $H^-$ आयन में $1s$ कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन होते हैं।
इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण के कारण,$H^-$ में इलेक्ट्रॉन उदासीन $H$ परमाणु की तुलना में कम मजबूती से बंधे होते हैं।
$H^-$ की प्रथम आयनन ऊर्जा $H$ परमाणु की आयनन ऊर्जा $(13.6 \ eV)$ से काफी कम होती है।
चूंकि प्रश्न में 'उत्तेजित' $H^-$ आयन का उल्लेख है,इसलिए इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर में होता है।
अतः,आवश्यक ऊर्जा $\le 3.4 \ eV$ होगी।

(B) बामर श्रेणी उन इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों के अनुरूप है जहाँ अंतिम कक्षा ${n_1} = 2$ होती है।
श्रेणी में रेखाएं प्रारंभिक कक्षा ${n_2}$ द्वारा परिभाषित होती हैं:
- पहली रेखा: ${n_2} = 3 \to {n_1} = 2$
- दूसरी रेखा: ${n_2} = 4 \to {n_1} = 2$
- तीसरी रेखा: ${n_2} = 5 \to {n_1} = 2$
अतः,तीसरी रेखा $n = 5$ से $n = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है।

(C) पाश्चन श्रेणी के लिए,निचला ऊर्जा स्तर $n_1 = 3$ है।
आवृत्ति $\nu$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\nu = R_H \times c \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
दिए गए मानों के अनुसार,पाश्चन श्रेणी की पहली रेखा $n_2 = 4$ के लिए प्राप्त होती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$.
$(A)$ $n = 1 \to n = 2$: $\Delta E = 13.6 \times (1 - 1/4) = 10.2 \text{ eV}$.
$(B)$ $n = 2 \to n = 3$: $\Delta E = 13.6 \times (1/4 - 1/9) \approx 1.89 \text{ eV}$.
$(C)$ $n = 1 \to n = \infty$: $\Delta E = 13.6 \times (1/1 - 1/\infty) = 13.6 \text{ eV}$.
$(D)$ $n = 3 \to n = 5$: $\Delta E = 13.6 \times (1/9 - 1/25) \approx 0.97 \text{ eV}$.
इन मानों की तुलना करने पर,$n = 1$ से $n = \infty$ के संक्रमण के लिए सबसे अधिक ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

(B) बामर श्रेणी $n = 2$ ऊर्जा स्तर पर समाप्त होने वाले इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों के अनुरूप है।
श्रेणी में रेखाएं लाल सिरे से शुरू होकर बढ़ती ऊर्जा और घटती तरंग दैर्ध्य के क्रम में होती हैं।
पहली रेखा (लाल सिरा) $n = 3 \to n = 2$ संक्रमण के अनुरूप है।
दूसरी रेखा $n = 4 \to n = 2$ संक्रमण के अनुरूप है।
तीसरी रेखा $n = 5 \to n = 2$ संक्रमण के अनुरूप है।

(D) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$,प्रकाश के वेग $(c)$ और आवृत्ति $(\nu)$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{c}{\nu}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{3.0 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{8 \times 10^{15} \ s^{-1}} = 0.375 \times 10^{-7} \ m = 3.75 \times 10^{-8} \ m$.
तरंगदैर्ध्य को नैनोमीटर $(nm)$ में बदलने के लिए,हम $10^9 \ nm/m$ से गुणा करते हैं: $\lambda = 3.75 \times 10^{-8} \ m \times 10^9 \ nm/m = 37.5 \ nm$.
$37.5 \ nm$ के सबसे निकट का मान $4 \times 10^1 \ nm$ है।

(A) परमाणु में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = -\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$ है।
जैसे-जैसे नाभिक से दूरी $(r)$ बढ़ती है,ऋणात्मक पद का मान परिमाण में छोटा होता जाता है,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है (कम ऋणात्मक हो जाती है)।
अतः,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर जाता है,उसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।

(A) कंपन ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा (परमाणुओं के उनके संतुलन स्थितियों से विस्थापन के कारण) और गतिज ऊर्जा (परमाणुओं की गति के कारण) का योग है। इसलिए,यह आंशिक रूप से स्थितिज ऊर्जा और आंशिक रूप से गतिज ऊर्जा होती है।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$H$ परमाणु के लिए: $n = 1, Z = 1$,इसलिए $r_H = a_0 \times \frac{1^2}{1} = a_0$.
$He^{+}$ आयन के लिए: $n = 1, Z = 2$,इसलिए $r_{He^{+}} = a_0 \times \frac{1^2}{2} = 0.5 \times a_0$.
अनुपात $\frac{r_{He^{+}}}{r_H} = \frac{0.5 \times a_0}{a_0} = 0.5$.

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ है।
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
प्रथम कक्षा $(n = 1)$ के लिए: $E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \, eV$.
दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए: $E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{4}{4} = -13.6 \, eV$.

(A) $Li$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 \, 2s^1$ है,इसलिए $Li^{2+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^1$ होता है।
बोर का मॉडल और परिणामी स्पेक्ट्रम हाइड्रोजन-समान प्रजातियों पर लागू होते हैं,जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है।
चूंकि $Li^{2+}$ में केवल एक इलेक्ट्रॉन है,इसलिए इसका स्पेक्ट्रम हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ के समान है,जिसका विन्यास भी $1s^1$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \ eV$.
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$.
इस संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए आयनीकरण ऊर्जा का सूत्र: $E_n = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ और $n = 1$,इसलिए $E = 13.6 \ eV$।
$He^+$ आयन के लिए,$Z = 2$ और $n = 1$।
अतः,$E = 13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = 13.6 \times 4 = 54.4 \ eV$।

(A) परमाणु का नाभिकीय मॉडल $1911$ में $Ernest \ Rutherford$ द्वारा उनके प्रसिद्ध $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग के आधार पर प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि परमाणु का धनात्मक आवेश और अधिकांश द्रव्यमान एक बहुत छोटे क्षेत्र में केंद्रित होता है जिसे नाभिक कहा जाता है।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है और मूल अवस्था के लिए $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \ eV$।
इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा (आयनन ऊर्जा) मूल अवस्था ऊर्जा का ऋणात्मक मान होती है: $IE = -E_1 = -(-54.4) = +54.4 \ eV$।

(C) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज में संक्रमण की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \ Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$H$ $(Z=1)$ में प्रथम लाइमन संक्रमण के लिए: $\Delta E = 13.6 \times 1^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} = 10.2 \ eV$.
द्वितीय बामर संक्रमण के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 4$ (क्योंकि पहला $2 \to 3$ है और दूसरा $2 \to 4$ है)।
ऊर्जा को समान रखने पर: $10.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)$.
$10.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
$10.2 = 2.55 \times Z^2$.
$Z^2 = \frac{10.2}{2.55} = 4$,अतः $Z = 2$.
परमाणु क्रमांक $Z = 2$ वाली स्पीशीज $He^+$ है,जो एक हाइड्रोजन जैसा आयन है।

(D) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली अवस्था $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या का सूत्र है:
$N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
यहाँ $n_2 = 7$ और $n_1 = 1$ दिया गया है:
$N = \frac{(7 - 1)(7 - 1 + 1)}{2}$
$N = \frac{6 \times 7}{2} = \frac{42}{2} = 21$
अतः,स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या $21$ है.

(B) बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक होता है।
आवृत्ति $\nu$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\nu = R_\infty \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
हाइड्रोजन के लिए,$Z = 1$,$n_1 = 2$,और $n_2 = \infty$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) \, s^{-1}$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times \frac{1}{4} \, s^{-1}$.
$\nu = 0.8225 \times 10^{15} \, s^{-1} = 8.225 \times 10^{14} \, s^{-1}$.

(B) अपनी मूल अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा $13.6 \, eV$ होती है।
जब $14 \, eV$ ऊर्जा वाला फोटॉन हाइड्रोजन परमाणु के साथ परस्पर क्रिया करता है,तो यह आयनीकरण ऊर्जा से अधिक ऊर्जा प्रदान करता है।
अतिरिक्त ऊर्जा उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ = $E_{photon} - E_{ionization} = 14 \, eV - 13.6 \, eV = 0.4 \, eV$।
अतः,परमाणु का आयनीकरण होता है और इलेक्ट्रॉन $0.4 \, eV$ की गतिज ऊर्जा रखता है।

(B) इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \,J \times \frac{1}{n^2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 1$ के लिए,$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \,J$.
$n = 4$ के लिए,$E_4 = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{4^2} = -0.13625 \times 10^{-18} \,J$.
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_4 - E_1 = (-0.13625 \times 10^{-18}) - (-2.18 \times 10^{-18}) = 2.04375 \times 10^{-18} \,J$.
$\Delta E = h \nu$ सूत्र का उपयोग करते हुए,आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{2.04375 \times 10^{-18} \,J}{6.625 \times 10^{-34} \,J \cdot s} \approx 3.08 \times 10^{15} \,s^{-1}$.

(A) हाइड्रोजन-समान प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
मूल अवस्था के लिए,$n = 1$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,इसलिए $r_H = 0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \ \mathring{A} \approx 0.53 \ \mathring{A}$ है।
$Li^{2+}$ आयन के लिए,$Z = 3$,इसलिए $r_{Li^{2+}} = 0.529 \times \frac{1^2}{3} = \frac{0.529}{3} \ \mathring{A} \approx 0.176 \ \mathring{A}$ है।

(B) हाइड्रोजन उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में रिडबर्ग सूत्र में $n_1$ के मान के आधार पर विभिन्न श्रेणियाँ होती हैं।
पाश्चन श्रेणी के लिए,इलेक्ट्रॉन तीसरे ऊर्जा स्तर में संक्रमण करता है,जिसका अर्थ है कि $n_1 = 3$ है।
$n_2$ के लिए संबंधित मान $n_2 = 4, 5, 6, \dots$ हैं।
इसलिए,पाश्चन श्रेणी के लिए सही स्थिति $n_1 = 3$ और $n_2 = 4, 5, 6, \dots$ है।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से निचली अवस्था $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या का सूत्र है: $\text{रेखाओं की संख्या} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$।
यहाँ $n_2 = 6$ और $n_1 = 2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{रेखाओं की संख्या} = \frac{(6 - 2)(6 - 2 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ द्वारा दी जाती है। अधिकतम आवृत्ति के लिए,हमें ऊर्जा स्तरों के बीच ऊर्जा अंतर $\Delta E$ को अधिकतम करना होगा।
लाइमन श्रेणी में $n_1 = 1$ पर संक्रमण होता है। लाइमन श्रेणी की पहली रेखा $n_2 = 2 \to n_1 = 1$ है।
इसके लिए ऊर्जा अंतर $\Delta E = 13.6 \times (1 - \frac{1}{4}) = 10.2 \ \text{eV}$ है।
अन्य श्रेणियों की तुलना में यह ऊर्जा अंतर सबसे अधिक है,इसलिए लाइमन श्रेणी की पहली रेखा की आवृत्ति अधिकतम होती है।

(C) $Balmer$ श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ और अंतिम रेखा के लिए,$n_2 = \infty$ होता है।
आवृत्ति के लिए रिडबर्ग सूत्र $\nu = R_\infty \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
$Z = 1$,$n_1 = 2$,और $n_2 = \infty$ रखने पर:
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) \text{ s}^{-1}$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times \frac{1}{4} \text{ s}^{-1} = 8.225 \times 10^{14} \text{ s}^{-1}$.

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$Z = 5$ के लिए,$4^{th}$ और $3^{rd}$ कक्षा के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_4 - E_3$ है।
$\Delta E = -13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{3^2} \right) = -13.6 \times 25 \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{9} \right)$.
$\Delta E = -13.6 \times 25 \left( \frac{9 - 16}{144} \right) = -13.6 \times 25 \left( \frac{-7}{144} \right)$.
$\Delta E = 13.6 \times 25 \times \frac{7}{144} \approx 16.53 \ eV$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए,$r_2 = 2^2 a_0 = 4 a_0$।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{nh}{2\pi m r_n}$ है।
$r_n = n^2 a_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_n = \frac{nh}{2\pi m (n^2 a_0)} = \frac{h}{2\pi m n a_0}$ प्राप्त होता है।
$n = 2$ के लिए,$v_2 = \frac{h}{2\pi m (2) a_0} = \frac{h}{4\pi m a_0}$।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m v_2^2$ द्वारा दी जाती है।
$KE = \frac{1}{2} m \left( \frac{h}{4\pi m a_0} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{h^2}{16\pi^2 m^2 a_0^2} \right) = \frac{h^2}{32\pi^2 m a_0^2}$।

(A) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ के लिए,$Z = 1$,इसलिए $E_n(H) = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} = E_n$.
एक आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ के लिए,$Z = 2$,इसलिए $E_n(He^+) = -13.6 \times \frac{2^2}{n^2} = -13.6 \times \frac{4}{n^2}$.
$He^+$ के व्यंजक में $E_n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_n(He^+) = 4 \times (-13.6 \times \frac{1^2}{n^2}) = 4E_n$ प्राप्त होता है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \, eV$ है।
उत्तेजित अवस्थाओं के लिए,$n \geq 2$ होता है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \, eV$ होता है।
आयनन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को उसकी वर्तमान अवस्था से $n = \infty$ (जहाँ $E = 0$) तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
$n=2$ के लिए,आयनन ऊर्जा $0 - (-3.4) = 3.4 \, eV$ है।
उच्च उत्तेजित अवस्थाओं $(n > 2)$ के लिए,ऊर्जा $E_n$ शून्य के करीब होती है,इसलिए आयनन ऊर्जा $(0 - E_n)$ $3.4 \, eV$ से कम होगी।
अतः,एक उत्तेजित हाइड्रोजन परमाणु के लिए आयनन ऊर्जा $3.4 \, eV$ या उससे कम होगी।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है,और द्वितीय उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था में ऊर्जा $(E_1)$ = $-13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \text{ eV}$।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था में ऊर्जा $(E_2)$ = $-13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \text{ eV}$।
प्रथम और द्वितीय उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{-13.6 \times (4/4)}{-13.6 \times (4/9)} = \frac{1}{4/9} = \frac{9}{4}$ है।
अतः,अनुपात $9 : 4$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ के लिए,ऊर्जा $E_1 = -13.6 \, eV$ है।
जब परमाणु $12.75 \, eV$ ऊर्जा वाले फोटॉन को अवशोषित करता है,तो नई ऊर्जा $E_n$ इस प्रकार होगी:
$E_n = E_1 + 12.75 \, eV = -13.6 + 12.75 = -0.85 \, eV$.
सूत्र $E_n = -13.6 / n^2$ का उपयोग करने पर:
$-0.85 = -13.6 / n^2$
$n^2 = 13.6 / 0.85 = 16$
$n = 4$.
अतः,उत्तेजित अवस्था की मुख्य क्वांटम संख्या $4$ है।

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा ऊर्जा संक्रमण से संबंधित है: $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
अधिकतम तरंगदैर्ध्य के लिए,ऊर्जा का अंतर न्यूनतम होना चाहिए,जो श्रेणी की पहली रेखा के अनुरूप है।
लायमन श्रेणी के लिए $(n_1 = 1, n_2 = 2)$: $\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
बामर श्रेणी के लिए $(n_1 = 2, n_2 = 3)$: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{1/\lambda_B}{1/\lambda_L} = \frac{5R/36}{3R/4} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{27}$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ स्थिर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times n^2$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
अतः,स्थिर कक्षा की त्रिज्या मुख्य क्वांटम संख्या के वर्ग,यानी $n^2$ के समानुपाती होती है।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में अवरक्त क्षेत्र में पाशन,ब्रैकेट और फुंड श्रेणी शामिल हैं।
$n_2 = 6$ से $n_1 = 3$ तक के संक्रमण के लिए:
$1$. पाशन श्रेणी $(n_1 = 3)$: $n_2 = 6, 5, 4$ से $n_1 = 3$ तक संक्रमण। रेखाओं की संख्या = $6 - 3 = 3$.
$2$. ब्रैकेट श्रेणी $(n_1 = 4)$: $n_2 = 6, 5$ से $n_1 = 4$ तक संक्रमण। रेखाओं की संख्या = $6 - 4 = 2$.
$3$. फुंड श्रेणी $(n_1 = 5)$: $n_2 = 6$ से $n_1 = 5$ तक संक्रमण। रेखाओं की संख्या = $6 - 5 = 1$.
अवरक्त क्षेत्र में रेखाओं की कुल संख्या = $3 + 2 + 1 = 6$.