Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(C) રૂથરફોર્ડના પરમાણુ નમૂનામાં ધનવીજભાર અને દળ કેન્દ્રમાં હોવાનું અને ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર પથમાં ફરતા હોવાનું સૂચવવામાં આવ્યું હતું. રૂથરફોર્ડે ન્યુટ્રોનની હાજરી વિશે કોઈ ઉલ્લેખ કર્યો ન હતો,કારણ કે ન્યુટ્રોનની શોધ જેમ્સ ચેડવિક દ્વારા $1932$ માં કરવામાં આવી હતી,જે રૂથરફોર્ડના $1911$ ના નમૂના પછીની ઘટના છે.

(C) નીલ્સ બોહરે તેમનું પરમાણુ મોડેલ $1913$ માં રજૂ કર્યું હતું. તેમણે સૌર પ્રણાલી અને કેન્દ્રિય પરમાણુ વચ્ચેની સામ્યતાના અભ્યાસ દ્વારા પરમાણુના બંધારણ વિશે વિસ્તૃત માહિતી મેળવી હતી,જેમાં ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ નિશ્ચિત કક્ષામાં ફરે છે,જે સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહો જેવું જ છે.

(B) બોહરનો પરમાણુ નમૂનો ખાસ કરીને $H$ પરમાણુ અને અન્ય હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ (જેમ કે $He^+$,$Li^{2+}$ વગેરે,જેમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે) ના રેખીય વર્ણપટને સમજાવવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યો હતો.
તે એક કરતા વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓના વર્ણપટને સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા-અવસ્થા $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ $n > 1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ત્રીજી કક્ષા $(n = 3)$ માટે,ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n - 1) = 3 - 1 = 2$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
તેથી,ત્રીજી કક્ષા એ $2^{nd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા દર્શાવે છે.

(D) બોહરનો પરમાણુ નમૂનો ફક્ત હાઈડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝને લાગુ પડે છે,જેમાં માત્ર એક જ ઈલેક્ટ્રોન હોય છે.
$He^+$ માં $2-1 = 1$ ઈલેક્ટ્રોન છે.
$Li^{2+}$ માં $3-2 = 1$ ઈલેક્ટ્રોન છે.
$Be^{3+}$ માં $4-3 = 1$ ઈલેક્ટ્રોન છે.
આમ,આપેલી તમામ સ્પીસીઝ ($He^+$,$Li^{2+}$,$Be^{3+}$) માં માત્ર એક જ ઈલેક્ટ્રોન હોવાથી,બોહરનો નમૂનો તે બધાને લાગુ પડે છે.

(D) બોહરના અભિધારણા મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ નીચે મુજબ છે: $L = \frac{nh}{2\pi}$.
$7$ મી કક્ષા માટે,$n = 7$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \frac{7h}{2\pi} = 3.5 \times \frac{h}{\pi}$.

(D) $H$ પરમાણુ માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$H$ પરમાણુ માટે $Z = 1$,તેથી $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$.
આપેલ છે કે $E_n = -3.4 \ eV$,તેથી $-3.4 = -13.6 / n^2$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 4$,એટલે કે $n = 2$.
કોણીય વેગમાન $L$ બોહરના અધિતર્ક મુજબ $L = \frac{nh}{2\pi}$ થાય.
$n = 2$ અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ મૂકતા:
$L = \frac{2 \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} \approx 2.1 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$.
અહીં $L = 3.164 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$ અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ આપેલ છે.
$n = \frac{L \times 2\pi}{h} = \frac{3.164 \times 10^{-34} \times 2 \times 3.1416}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 3$.
$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$H$ પરમાણુ માટે,$Z = 1$ અને $n = 3$.
$E_3 = -13.6 \times \frac{1^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{1}{9} \approx -1.51 \ eV$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,$n_1 = 1$,અને $n_2 = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta E = 13.6 \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) \ eV$.
$\Delta E = 13.6 \times (1 - \frac{1}{9}) \ eV$.
$\Delta E = 13.6 \times \frac{8}{9} \ eV$.
$\Delta E = 12.088 \approx 12.1 \ eV$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે આયનીકરણ ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = 13.6 \times Z^2 \text{ eV/atom}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી $E_H = 13.6 \times 1^2 = E$.
$Li^{2+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
તેથી,$Li^{2+}$ માટે આયનીકરણ ઊર્જા $E_{Li^{2+}} = 13.6 \times 3^2 = 13.6 \times 9 = 9E$ થશે.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{1}{2} \frac{kZe^2}{r}$ છે.
કુલંબ અચળાંક $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ અને $Be^{3+}$ માટે પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \times \frac{4e^2}{r}$.
સાદુરૂપ આપતા:
$KE = \frac{4e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} = \frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 r}$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની $n$ મી કક્ષામાં ઊર્જા $E_n = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કક્ષાઓ $n_1$ અને $n_2$ વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત $\Delta E = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
પ્રથમ અને બીજી કક્ષા માટે $(n_1=1, n_2=2)$: $\Delta E_1 = R_H \times Z^2 \times (1 - \frac{1}{4}) = R_H \times Z^2 \times \frac{3}{4} = \frac{3B}{4}$.
પ્રથમ અને ત્રીજી કક્ષા માટે $(n_1=1, n_2=3)$: $\Delta E_2 = R_H \times Z^2 \times (1 - \frac{1}{9}) = R_H \times Z^2 \times \frac{8}{9}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\Delta E_2}{\Delta E_1} = \frac{8/9}{3/4} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$.
તેથી,$\Delta E_2 = \frac{32}{27} \times \Delta E_1 = \frac{32}{27} \times \frac{3B}{4}$.

(B) ઇલેક્ટ્રોન માટે ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ થી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = n)$ માં સંક્રમણ માટે ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta E = E_n - E_1 = Rhc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$n_1 = 1$ અને $n_2 = n$ મૂકતા:
$\Delta E = Rhc \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$
$\Delta E = Rhc (1 - n^{-2})$

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે ઊર્જાનો ફેરફાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
અહીં,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે.
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2})$
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9})$
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times (\frac{9-4}{36})$
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times \frac{5}{36}$
$\Delta E = 0.3027 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$
$\Delta E = 3.03 \times 10^{-19} \ J \ atom^{-1}$.

(B) આપેલ છે: $\lambda = 242 \, nm = 242 \times 10^{-9} \, m$.
આયનીકરણ ઊર્જા $(IE)$ શોધવાનું સૂત્ર: $IE = \frac{N_A hc}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m \cdot s^{-1}$.
$IE = \frac{6.022 \times 10^{23} \times 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{242 \times 10^{-9}} \, J \cdot mol^{-1}$.
$IE \approx 4.945 \times 10^5 \, J \cdot mol^{-1}$.
$kJ \cdot mol^{-1}$ માં ફેરવતા: $IE = 494.5 \, kJ \cdot mol^{-1}$.

(C) બામર શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $n_1 = 2$.
પ્રથમ રેખા માટે,$n_2 = 3$: $\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{5}{36} \right)$.
બીજી રેખા માટે,$n_2 = 4$: $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{3}{16} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5/36}{3/16} = \frac{20}{27}$.
તેથી,$\lambda_2 = 656.1 \times \frac{20}{27} = 486 \ nm$.

(B) તરંગલંબાઇ માટેનું રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
$He^{+}$ આયન $(Z = 2)$ માટે,સંક્રમણ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = R (4) (\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = R (4) (\frac{3}{16}) = R (\frac{3}{4})$.
$H$ પરમાણુ $(Z = 1)$ માટે,આપણે સમાન તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે $n_2$ થી $n_1$ સંક્રમણ શોધીએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda} = R (1)^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) = R (\frac{3}{4})$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) = \frac{3}{4} = (1 - \frac{1}{4}) = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2})$.
આમ,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ છે.

(A) લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ધરાવસ્થિતિમાં થાય છે,તેથી $n_1 = 1$. ઇલેક્ટ્રોન $4^{th}$ કક્ષામાંથી સંક્રમણ પામે છે,તેથી $n_2 = 4$.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$
હાઇડ્રોજન માટે $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ અને $Z = 1$ આપેલ છે:
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2})$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times (1 - \frac{1}{16})$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{15}{16} \ m^{-1}$
$\lambda = \frac{16}{1.097 \times 10^7 \times 15} \ m$
$\lambda \approx 9.7 \times 10^{-8} \ m$

(B) તરંગલંબાઇ માટેનું રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
$H$ પરમાણુમાં સૌથી ઊંચી ઊર્જા ધરાવતા સંક્રમણ $(n_1=1, n_2=\infty)$ માટે,$\lambda_H = 91.2 \ nm$.
$He^{+}$ માટે,$Z=2$. સંક્રમણ સમાન ઊર્જા સ્તરો $(n_1=1, n_2=\infty)$ માટે છે.
તેથી,$\lambda_{He^+} = \frac{\lambda_H}{Z^2} = \frac{91.2}{2^2} = \frac{91.2}{4} = 22.8 \ nm$.

(B) તરંગલંબાઇ માટેનું રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણીની સીમાંત રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = R Z^2$.
ધારો કે હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z_H = 1)$ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda_H$ છે અને $X$ આયન $(Z_X = Z)$ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda_X$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_H = 16 \lambda_X$,તેથી $\frac{1}{\lambda_H} = \frac{1}{16} \frac{1}{\lambda_X}$.
રીડબર્ગ સૂત્ર મૂકતા: $R(1)^2 = \frac{1}{16} R(Z)^2$.
$1 = \frac{Z^2}{16} \implies Z^2 = 16 \implies Z = 4$.
પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ ધરાવતો આયન $Be^{3+}$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\nu = R_H \times c \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,$n_1 = 1$ (ધરા અવસ્થા),અને $n_2 = 3$.
આવૃત્તિના સંદર્ભમાં રીડબર્ગ અચળાંક $R_H \times c \approx 3.29 \times 10^{15} \ s^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) \times 1^2$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (1 - \frac{1}{9}) = 3.29 \times 10^{15} \times \frac{8}{9}$.
$\nu = 2.924 \times 10^{15} \ s^{-1}$.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટનો પારરક્ત વિસ્તાર પાશ્વન શ્રેણી,બ્રેકેટ શ્રેણી અને ફંડ શ્રેણીને અનુરૂપ છે. પારરક્ત વિસ્તારની પ્રથમ ઉત્સર્જિત રેખા એ પાશ્વન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા છે.
પાશ્વન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$ અને પ્રથમ રેખા માટે,$n_2 = 4$ છે.
રિડબર્ગ સૂત્ર: $\bar{\nu} = R \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
હાઇડ્રોજન માટે,$Z = 1$,તેથી $\bar{\nu} = R \times (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2})$.
$\bar{\nu} = R \times (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = R \times (\frac{16 - 9}{144}) = \frac{7R}{144} \ cm^{-1}$.

(A) બામર શ્રેણીમાં મહત્તમ ઊર્જા માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ પર થાય છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \times Z^2$.
હાઇડ્રોજન $(Z = 1)$ માટે કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) \times 1^2$.
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r = r_0 \times \frac{n^2}{Z}$.
$H$ ની બીજી કક્ષા માટે $(n_1 = 2, Z_1 = 1)$: $r_1 = r_0 \times \frac{2^2}{1} = 4r_0$.
$He^{+}$ ની ત્રીજી કક્ષા માટે $(n_2 = 3, Z_2 = 2)$: $r_2 = r_0 \times \frac{3^2}{2} = 4.5r_0$.
ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{4r_0}{4.5r_0} = \frac{4}{4.5} = \frac{8}{9}$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,સ્થિર વિદ્યુતીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{r} = \frac{kZe^2}{r^2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $mv^2 = \frac{kZe^2}{r}$.
તેથી,$v^2 = \frac{kZe^2}{mr}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે $v = \sqrt{\frac{kZe^2}{mr}}$.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન નીચે મુજબ છે:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
$n$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$n = \frac{2\pi rmv}{h}$

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = r_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$.
$H$ $(Z=1)$,$He^{+}$ $(Z=2)$,અને $Li^{2+}$ $(Z=3)$ માટે:
$r_H : r_{He^+} : r_{Li^{2+}} = \frac{2^2}{1} : \frac{2^2}{2} : \frac{2^2}{3}$
$= 4 : 2 : \frac{4}{3}$
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $12 : 6 : 4$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6 : 3 : 2$ થાય છે.

(B) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{2\pi Z e^2}{nh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી સમીકરણ $v = \frac{2\pi e^2}{nh}$ બને છે.
$n$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$n = \frac{2\pi e^2}{vh}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ શોધવાનું સૂત્ર: $v = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \, m \, s^{-1}$ છે.
આપેલ વેગ $v = 0.0109 \times 10^{10} \, cm \, s^{-1}$.
તેને $m \, s^{-1}$ માં ફેરવતા: $v = 0.0109 \times 10^{10} \times 10^{-2} \, m \, s^{-1} = 1.09 \times 10^6 \, m \, s^{-1}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $1.09 \times 10^6 = 2.18 \times 10^6 \times \frac{1}{n}$.
તેથી,$n = \frac{2.18 \times 10^6}{1.09 \times 10^6} = 2$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \ m/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન $(H)$ ની ધરાઅવસ્થા માટે: $Z_1 = 1$,$n_1 = 1$.
$He^{+}$ ની દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે: $Z_2 = 2$,$n_2 = 3$.
ગુણોત્તર $\frac{v_H}{v_{He^{+}}} = \frac{Z_1 / n_1}{Z_2 / n_2} = \frac{1 / 1}{2 / 3} = \frac{3}{2} = 1.5$ થશે.

(B) બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માટે: $n_1 = 2$,$Z_1 = 1$. તેથી,$T_H \propto \frac{2^3}{1^2} = 8$.
$He^{+}$ આયન માટે: $n_2 = 3$,$Z_2 = 2$. તેથી,$T_{He^+} \propto \frac{3^3}{2^2} = \frac{27}{4}$.
ગુણોત્તર $\frac{T_H}{T_{He^+}} = \frac{8}{27/4} = \frac{8 \times 4}{27} = \frac{32}{27}$.

(B) આપેલ છે: $n_2 = 8$ અને $n_1 = 1$.
ઇલેક્ટ્રોનનું $n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{(8 - 1)(8 - 1 + 1)}{2} = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2$ કક્ષામાંથી $n_1$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે ત્યારે મળતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યાનું સૂત્ર: $\text{રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$.
અહીં $n_1 = 2$ અને રેખાઓની સંખ્યા $= 15$ આપેલ છે,તેથી:
$15 = \frac{(n - 2)(n - 2 + 1)}{2}$.
$30 = (n - 2)(n - 1)$.
$30 = n^2 - 3n + 2$.
$n^2 - 3n - 28 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 7)(n + 4) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 7$.

(C) ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ થી નીચલી અવસ્થા $n_1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\text{રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$.
અહીં $n_2 = 7$ અને $n_1 = 2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{(7 - 2)(7 - 2 + 1)}{2} = \frac{5 \times 6}{2} = 15$.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇના પૂર્ણાંક ગુણાંક જેટલો હોય છે: $2\pi r = n\lambda$
વધુમાં,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા બનતા તરંગોની સંખ્યા એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ જેટલી હોય છે.
$5^{th}$ કક્ષા માટે,$n = 5$
તેથી,બનતા તરંગોની સંખ્યા $5$ થશે.

(B) $H$ પરમાણુ જેવી એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે,કક્ષકની ઊર્જા માત્ર મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
સમાન $n$ મૂલ્ય ધરાવતી તમામ કક્ષકો સમાન ઊર્જા ધરાવે છે,જેને સમશક્તિમાન (degenerate) કક્ષકો કહેવાય છે.
$n = 3$ માટે,$3s, 3p, 3d$ કક્ષકો સમાન ઊર્જા ધરાવે છે.
$n = 4$ માટે,$4s, 4p, 4d, 4f$ કક્ષકો સમાન ઊર્જા ધરાવે છે.
$n = 3 < n = 4$ હોવાથી,$n = 3$ ની તમામ કક્ષકોની ઊર્જા $n = 4$ ની તમામ કક્ષકોની ઊર્જા કરતા ઓછી હોય છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $3s = 3p = 3d < 4s = 4p = 4d = 4f$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$H^{-}$ આયન માટે,બીજી ક્વોન્ટમ અવસ્થા $(n=2)$ માં: $E_{H^-} = -k \times \frac{1^2}{2^2} = -\frac{k}{4} = -E_2$,તેથી $k = 4E_2$.
$He^{+}$ આયન $(Z=2)$ માટે ત્રીજી ક્વોન્ટમ અવસ્થા $(n=3)$ માં: $E_{He^+} = -k \times \frac{2^2}{3^2} = -k \times \frac{4}{9}$.
$k = 4E_2$ મૂકતા: $E_{He^+} = -(4E_2) \times \frac{4}{9} = -\frac{16}{9} E_2$.

(D) બોહરના મોડેલમાં,પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T$ એ $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_{1,2}$ માટે,$n = 1$ અને $Z = 2$,તેથી $T_{1,2} \propto \frac{1^3}{2^2} = \frac{1}{4}$.
$T_{2,1}$ માટે,$n = 2$ અને $Z = 1$,તેથી $T_{2,1} \propto \frac{2^3}{1^2} = \frac{8}{1} = 8$.
તેથી,ગુણોત્તર $T_{1,2} : T_{2,1} = \frac{1}{4} : 8 = 1 : 32$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $1 / \lambda = R Z^{2} [ 1 / n_{1}^{2} - 1 / n_{2}^{2} ]$ છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_{1} = 3$ પર સમાપ્ત થાય છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ $n_{2} = \infty$ થી શરૂ થાય છે.
$Li^{2+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1 / \lambda = R \times 3^{2} [ 1 / 3^{2} - 1 / \infty^{2} ]$
$1 / \lambda = R \times 9 [ 1 / 9 - 0 ]$
$1 / \lambda = R \times 9 \times (1 / 9) = R$
તેથી,$\lambda = 1 / R$.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટની વર્ણપટ રેખાઓને નીચલા ઉર્જા સ્તર $(n_1)$ ના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ કરે છે:
$n_1 = 1$: લાયમન શ્રેણી
$n_1 = 2$: બામર શ્રેણી
$n_1 = 3$: પાશ્ચન શ્રેણી
$n_1 = 4$: બ્રેકેટ શ્રેણી
$n_1 = 5$: ફંડ શ્રેણી
$n_1 = 6$: હમ્ફ્રી શ્રેણી
હમ્ફ્રી શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 6$ પર પૂર્ણ થવું જોઈએ. તેથી,$n_2 = 10 \to n_1 = 6$ સંક્રમણ સાચું છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં સંક્રમણની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \ Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંક્રમણ $n_2 \to n_1$ માટે,ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $\infty \to 1$: $\Delta E \propto 1$
$(B)$ $2 \to 1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(C)$ $3 \to 2$: $\Delta E \propto 0.139$
$(D)$ $n \to (n - 1)$ જ્યાં $n \geq 4$: જેમ $n$ વધે છે,તેમ ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ઘટે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$n=4$ માટે,$4 \to 3$ માં $\Delta E \propto 0.0485$ મળે છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ ક્રમિક ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો તફાવત ઘટતો જાય છે,તેથી મોટા $n$ માટે $n \to (n - 1)$ સંક્રમણ ન્યૂનતમ ઉર્જા ઉત્સર્જિત કરે છે.

(C) Bohr ના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ Bohr ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
આપેલ પરમાણુ માટે,$Z$ અચળ છે,તેથી $r_n \propto n^2$.
$3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ અને $1^{st}$ કક્ષા $(n=1)$ માટે:
$\frac{r_3}{r_1} = \frac{3^2}{1^2} = \frac{9}{1}$.
તેથી,$r_3 = 9 r_1$.

(C) $5^{th}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 6$ ને અનુરૂપ છે (કારણ કે ધરાવસ્થા $n = 1$ છે).
માત્ર એક હાઇડ્રોજન પરમાણુ ધરાવતા નમૂના માટે,ઇલેક્ટ્રોન $n = 6$ થી $n = 1$ સુધીની સંક્રમણ કરી શકે છે.
એક પરમાણુ માટે,ઇલેક્ટ્રોન એક સમયે એક જ ઉર્જા સ્તરમાં રહી શકે છે અને દરેક સંક્રમણ દરમિયાન એક ફોટોન ઉત્સર્જિત કરી શકે છે. તેથી,$n = 6$ થી $n = 1$ સુધીના સંક્રમણ માટે મહત્તમ વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $n - 1 = 6 - 1 = 5$ થશે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. $Li^{2+}$ માટે,$Z = 3$.
પ્રથમ રેખા ($n_1 = 1$ થી $n_2 = 2$): $\frac{1}{\lambda_1} = 9R (\frac{3}{4}) = \frac{27R}{4} \Rightarrow \lambda_1 = \frac{4}{27R}$.
દ્વિતીય રેખા ($n_1 = 1$ થી $n_2 = 3$): $\frac{1}{\lambda_2} = 9R (\frac{8}{9}) = 8R \Rightarrow \lambda_2 = \frac{1}{8R}$.
$R \approx 1.097 \times 10^{-2} \ \mathring{A}^{-1}$ લેતા,
$\lambda_1 \approx 135.05 \ \mathring{A}$ અને $\lambda_2 \approx 113.95 \ \mathring{A}$.
તફાવત $\Delta \lambda = 135.05 - 113.95 = 21.1 \ \mathring{A}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,ગતિ ઊર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PE = -2 \times KE$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $KE_{1} = x$,તેથી $PE_{1} = -2x$.
અંતિમ સ્થિતિ: $KE_{2} = \frac{x}{4}$,તેથી $PE_{2} = -2 \times (\frac{x}{4}) = -\frac{x}{2}$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta PE = PE_{2} - PE_{1}$ છે.
$\Delta PE = -\frac{x}{2} - (-2x) = -\frac{x}{2} + 2x = +\frac{3x}{2}$.

(B) $H$ પરમાણુ માટે,$Z = 1$. રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \times (1)^2 \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = 4$ છે,અને $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ છે.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \left( \frac{3}{16} \right) = 2.0568 \times 10^6 \ m^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{2.0568 \times 10^6} \approx 4.86 \times 10^{-7} \ m = 486 \ nm$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$n = 1$ અને $Z = 1$ ધરાવતા હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ત્રિજ્યા $r_H = a_0 \times \frac{1^2}{1} = a_0$ થાય.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$Be^{3+}$ માટે,$n = 2$ અને $Z = 4$,તેથી $r = a_0 \times \frac{2^2}{4} = a_0 \times \frac{4}{4} = a_0$.
આમ,$n = 2$ ધરાવતા $Be^{3+}$ ની ત્રિજ્યા $n = 1$ ધરાવતા હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યા જેટલી જ છે.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{Z^2 R_H}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $E_n \propto -\frac{1}{n^2}$.
આપેલ છે કે $3^{rd}$ કક્ષામાં ઉર્જા $E_3 = -E$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_n = \frac{k}{n^2}$ જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
$n=3$ માટે,$E_3 = \frac{k}{3^2} = \frac{k}{9} = -E$,તેથી $k = -9E$.
$1^{st}$ કક્ષા $(n=1)$ માટે,$E_1 = \frac{k}{1^2} = k$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E_1 = -9E$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$He^{+}$ $(Z=2)$ માટે,તરંગ આંક $y = R_H (2)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 4 R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) ......(i)$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ માટે,તરંગ આંક $\bar{\nu}' = R_H (3)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 9 R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) ......(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\bar{\nu}'}{y} = \frac{9 R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)}{4 R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)} = \frac{9}{4}$.
તેથી,$\bar{\nu}' = \frac{9y}{4} \ cm^{-1}$.