Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(N/A) પરમાણુના ચાર નમૂનાઓ છે:
$(1)$ થોમસનનો પરમાણુ નમૂનો.
$(2)$ રધરફોર્ડનો પરમાણુનો કેન્દ્રીય નમૂનો.
$(3)$ બોહરનો પરમાણુ નમૂનો (હાઇડ્રોજન માટે).
$(4)$ ક્વોન્ટમ યાંત્રિકી પરમાણુ નમૂનો.
$J. J. Thomson$ એ $1898$ માં પ્રસ્તાવ મૂક્યો કે:
- પરમાણુ ગોળાકાર આકાર ધરાવે છે (ત્રિજ્યા આશરે $10^{-10} \ m$) જેમાં ધન વીજભાર સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોય છે.
- ઇલેક્ટ્રોન તેમાં એવી રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે કે જેથી સૌથી સ્થાયી સ્થિર વિદ્યુત ગોઠવણી મળે.
- થોમસન અનુસાર,ધન વીજભાર સમગ્ર ગોળામાં વહેંચાયેલો હોય છે.
આ નમૂનાને ઘણા અલગ-અલગ નામ આપવામાં આવ્યા છે,ઉદાહરણ તરીકે: આ નમૂનાને ધન વીજભારના પુડિંગ અથવા તરબૂચ તરીકે કલ્પી શકાય છે જેમાં પ્લમ અથવા બીજ (ઇલેક્ટ્રોન) તેમાં જડેલા હોય છે.
આ નમૂનાની એક મહત્વની વિશેષતા એ છે કે પરમાણુનું દળ પરમાણુ પર સમાન રીતે વહેંચાયેલું માનવામાં આવે છે.
જોકે આ નમૂનો પરમાણુની એકંદર તટસ્થતા સમજાવવામાં સક્ષમ હતો,પરંતુ તે પછીના પ્રયોગોના પરિણામો સાથે સુસંગત ન હતો.
રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગ મુજબ,પરમાણુમાં મોટાભાગની જગ્યા ખાલી હોય છે,જે થોમસનના નમૂના દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી.

(N/A) રધરફોર્ડ અને તેમના વિદ્યાર્થીઓ (હેન્સ ગાઇગર અને અર્નેસ્ટ માર્સડેન) એ $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણનનો પ્રયોગ કર્યો હતો.
આ પ્રયોગમાં,તેઓએ ખૂબ જ પાતળા સોનાના વરખ પર $\alpha$-કણોનો મારો ચલાવ્યો હતો.
રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતમાંથી ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા $\alpha$-કણોને પાતળા સોનાના વરખ (જાડાઈ $\sim 100 \ nm$) પર નિર્દેશિત કરવામાં આવ્યા હતા.
પાતળા સોનાના વરખની આસપાસ ઝિંક સલ્ફાઇડનો ફ્લોરોસન્ટ પડદો રાખવામાં આવ્યો હતો. જ્યારે $\alpha$-કણો આ પડદા સાથે અથડાયા,ત્યારે તેઓએ ફ્લોરોસેન્સ અસર (પ્રકાશના ઝબકારા) ઉત્પન્ન કરી.
આના આધારે,રધરફોર્ડે તેમનું ન્યુક્લિયર મોડેલ પ્રસ્તાવિત કર્યું:
$1$. પરમાણુમાં મોટાભાગની જગ્યા ખાલી હોય છે.
$2$. પરમાણુનો તમામ ધન વીજભાર અને મોટાભાગનું દળ ખૂબ જ નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત હોય છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવાય છે.
$3$. ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર માર્ગોમાં ફરે છે જેને કક્ષા કહેવાય છે.

(N/A) અવલોકનો:
$(i)$ મોટાભાગના $\alpha$-કણો સોનાના વરખમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થઈ ગયા.
$(ii)$ $\alpha$-કણોનો એક નાનો અંશ નાના ખૂણે વિચલિત થયો હતો.
$(iii)$ ખૂબ જ ઓછા $\alpha$-કણો (આશરે $20,000$ માંથી $1$) પાછા ફેંકાયા,એટલે કે,લગભગ $180^{\circ}$ ના ખૂણે વિચલિત થયા.
$\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગના આધારે તારણો:
$(i)$ પરમાણુમાં મોટાભાગની જગ્યા ખાલી છે કારણ કે મોટાભાગના $\alpha$-કણો વરખમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થઈ ગયા.
$(ii)$ થોડા ધનભારિત $\alpha$-કણો વિચલિત થયા હતા. આ વિચલન પ્રચંડ અપાકર્ષણ બળને કારણે હોવું જોઈએ,જે દર્શાવે છે કે પરમાણુનો ધનભાર સમગ્ર પરમાણુમાં ફેલાયેલો નથી જેવું $Thomson$ એ ધાર્યું હતું. ધનભાર ખૂબ જ નાના કદમાં કેન્દ્રિત હોવો જોઈએ જેણે ધનભારિત $\alpha$-કણોને અપાકર્ષિત કરીને વિચલિત કર્યા.
$(iii)$ $Rutherford$ ની ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે પરમાણુના કુલ કદની સરખામણીમાં ન્યુક્લિયસ દ્વારા રોકાયેલું કદ નહિવત છે. પરમાણુની ત્રિજ્યા આશરે $10^{-10} \ m$ છે,જ્યારે ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $10^{-15} \ m$ છે. જો ક્રિકેટનો દડો ન્યુક્લિયસનું પ્રતિનિધિત્વ કરે,તો પરમાણુની ત્રિજ્યા આશરે $5 \ km$ જેટલી હોય,તે સમજીને આ કદના તફાવતને સમજી શકાય છે.

(N/A) તેના અવલોકનો અને તારણોના આધારે,રધરફોર્ડે પરમાણુનો કેન્દ્રીય નમૂનો રજૂ કર્યો. આ નમૂના મુજબ:
$(i)$ પરમાણુનો ધન વીજભાર અને મોટાભાગનું દળ અત્યંત નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત હોય છે,જેને રધરફોર્ડે ન્યુક્લિયસ (કેન્દ્ર) નામ આપ્યું.
$(ii)$ ન્યુક્લિયસની આસપાસ ઇલેક્ટ્રોન ખૂબ જ ઊંચી ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગોમાં ફરે છે,જેને કક્ષા (orbits) કહેવામાં આવે છે.
$(iii)$ રધરફોર્ડનો પરમાણુ નમૂનો સૂર્યમંડળ જેવો છે,જેમાં ન્યુક્લિયસ સૂર્યની ભૂમિકા ભજવે છે અને ઇલેક્ટ્રોન ગ્રહોની જેમ ફરે છે.
$(iv)$ ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસ સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણ બળો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે.

(N/A) રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગમાં,$\alpha$-કણોનું પ્રકીર્ણન લક્ષ્ય પરમાણુઓના પરમાણ્વીય ભાર અને કેન્દ્રીય વીજભાર પર આધાર રાખે છે.
સોનું $(Au)$ અથવા પ્લેટિનમ $(Pt)$ જેવા ભારે પરમાણુઓનો કેન્દ્રીય વીજભાર $(Z)$ અને દળ વધારે હોય છે,જેના પરિણામે મજબૂત સ્થિર વિદ્યુત અપાકર્ષણ થાય છે અને $\alpha$-કણોનું નોંધપાત્ર પ્રકીર્ણન થાય છે,જેમાં પાછા ફેંકાતા કણોનો પણ સમાવેશ થાય છે.
જો એલ્યુમિનિયમ $(Al)$ જેવા હળવા પરમાણુઓની પાતળી વરખનો ઉપયોગ કરવામાં આવે,તો ન્યુક્લિયસનો વીજભાર અને દળ ઓછું હોય છે. પરિણામે,$\alpha$-કણો અને ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું સ્થિર વિદ્યુત અપાકર્ષણ નબળું હોય છે. આનાથી મોટા ખૂણે વિચલિત થતા $\alpha$-કણોની સંખ્યામાં ઘટાડો થાય છે અને પાછા ફેંકાતા $\alpha$-કણોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.

(B) રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગમાં,પ્રકીર્ણન એ ધનભારિત ન્યુક્લિયસ અને $\alpha$-કણો વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણને કારણે થાય છે.
ભારે તત્વોમાં ન્યુક્લિયર વીજભાર $(Z)$ અને દળ વધારે હોવાથી,તેઓ વધુ મજબૂત અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે,જેના પરિણામે વધુ પ્રકીર્ણન અને પાછા ફેંકાવાની સંભાવના વધે છે.
જો હલકા પરમાણુઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે,તો ન્યુક્લિયર વીજભાર અને દળ ઓછા હોવાથી અપાકર્ષણ બળ નબળું પડે છે.
પરિણામે,મોટા ખૂણે વિચલિત થતા અથવા પાછા ફેંકાતા $\alpha$-કણોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.

(C) $(i)$ રધરફોર્ડનું મોડેલ પરમાણુની સ્થિરતા સમજાવી શક્યું નથી કારણ કે શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગુમાવે છે અને અંતે ન્યુક્લિયસમાં પડી જાય છે.
$(ii)$ તે પરમાણુની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના વિશે કોઈ માહિતી આપતું નથી,એટલે કે,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ કેવી રીતે વિતરિત થાય છે અને તેમની ઉર્જા શું છે.

(N/A) રધરફોર્ડનું પરમાણુનું ન્યુક્લિયર મોડેલ સૌરમંડળ જેવું છે,જેમાં ન્યુક્લિયસ સૂર્યની ભૂમિકા ભજવે છે અને ઇલેક્ટ્રોન ગ્રહો જેવા છે.
શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતો કોઈપણ વીજભારિત કણ તેના વેગની દિશામાં સતત ફેરફારને કારણે પ્રવેગિત થાય છે.
મેક્સવેલના વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગિત વીજભારિત કણ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોન વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેમ તે ઉર્જા ગુમાવે છે,જેના કારણે તેની કક્ષા સતત નાની થતી જાય છે.
ગણતરીઓ સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન લગભગ $10^{-8} \ s$ માં ન્યુક્લિયસમાં સમાઈ જવો જોઈએ.
જો કે,પરમાણુઓ સ્થિર હોય છે અને ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસમાં પડતા નથી.
તેથી,રધરફોર્ડનું મોડેલ પરમાણુની સ્થિરતા સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે.

(C) બોહરના પરમાણુ મોડેલના નિર્માણમાં બે મુખ્ય વિકાસે મહત્વની ભૂમિકા ભજવી હતી:
$(i)$ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું દ્વૈત સ્વરૂપ,જેનો અર્થ છે કે વિકિરણો તરંગ અને કણ બંને જેવા ગુણધર્મો ધરાવે છે.
$(ii)$ પરમાણ્વીય વર્ણપટ અંગેના પ્રાયોગિક પરિણામો,જે ફક્ત પરમાણુઓમાં ક્વોન્ટાઈઝ્ડ ઈલેક્ટ્રોનિક ઉર્જા સ્તરો ધારીને જ સમજાવી શકાય છે.
તેથી,બોહરના મોડેલ માટે બંને વિકાસ આવશ્યક હતા.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો સિદ્ધાંત નીચેની ઘટનાઓને સમજાવી શક્યો ન હતો:
$(i)$ \text{ગરમ પદાર્થોમાંથી વિકિરણના ઉત્સર્જનની પ્રકૃતિ (બ્લેક-બોડી રેડિયેશન)}.
$(ii)$ \text{ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર: જ્યારે યોગ્ય આવૃત્તિનું વિકિરણ ધાતુની સપાટી પર અથડાય છે ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન}.
$(iii)$ \text{તાપમાનના વિધેય તરીકે ઘન પદાર્થોની ઉષ્મા ધારિતામાં ફેરફાર}.
$(iv)$ \text{હાઇડ્રોજનના સંદર્ભમાં પરમાણુઓની રેખીય વર્ણપટ}.
તેથી,સૂચિબદ્ધ તમામ અવલોકનો શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવી શકાતા નથી.

(N/A) બ્લેક બોડી રેડિયેશનની ઘટના માટેની પ્રથમ સચોટ સમજૂતી $1900$ માં મેક્સ પ્લાન્કે આપી હતી.
જ્યારે ઘન પદાર્થોને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ તરંગલંબાઇના વિશાળ ગાળામાં વિકિરણોનું ઉત્સર્જન કરે છે.
ઉદાહરણ: જ્યારે લોખંડના સળિયાને ભઠ્ઠીમાં ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે પહેલાં ઝાંખો લાલ રંગ ધારણ કરે છે અને જેમ તાપમાન વધે છે તેમ તે ક્રમશઃ વધુ લાલ થતો જાય છે; રંગ અને આવૃત્તિ બદલાય છે.
બ્લેક બોડી: જે આદર્શ પદાર્થ બધી જ આવૃત્તિના વિકિરણોનું ઉત્સર્જન અને શોષણ કરે છે,તેને બ્લેક બોડી કહેવામાં આવે છે અને આવા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણને બ્લેક બોડી રેડિયેશન કહેવામાં આવે છે.
ઉત્સર્જિત વિકિરણનું ચોક્કસ આવૃત્તિ વિતરણ: આપેલા તાપમાને,ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તરંગલંબાઇ ઘટવાની સાથે વધે છે,એક ચોક્કસ તરંગલંબાઇએ મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને ત્યારબાદ તરંગલંબાઇમાં વધુ ઘટાડો થતાં તે ઘટવા લાગે છે (આકૃતિ જુઓ).
બ્લેક બોડી રેડિયેશનને શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવી શકાતું નથી,પરંતુ પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવી શકાય છે.

(N/A) પ્લાન્કનો ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત કૃષ્ણ પદાર્થનું વિકિરણ (black body radiation) અને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર જેવી ઘટનાઓ સમજાવવા માટે આપવામાં આવ્યો હતો,જે પ્રકાશના તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી ન હતી.
મુખ્ય મુદ્દાઓ:
$1$. અણુઓ અને પરમાણુઓ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કે શોષણ સતત રીતે કરવાને બદલે 'ક્વોન્ટા' નામના નાના જથ્થામાં કરે છે.
$2$. વિકિરણના એક ક્વોન્ટમની ઉર્જા $(E)$ તેની આવૃત્તિ $(v)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $E = hv$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવાય છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)$ છે.
$3$. પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કે શોષાયેલી કુલ ઉર્જા ક્વોન્ટમના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય છે,જે $E = nhv$ દ્વારા અપાય છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
મહત્વ:
પ્લાન્કનો સિદ્ધાંત વિવિધ તાપમાને કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતાનું આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઈ સાથેનું વિતરણ સમજાવવામાં સફળ રહ્યો હતો.

(N/A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર: જ્યારે અમુક ધાતુઓ (દા.ત. પોટેશિયમ,રૂબિડિયમ,સીઝિયમ વગેરે) પ્રકાશના કિરણોના સંપર્કમાં આવે છે,ત્યારે તેમાંથી ઈલેક્ટ્રોન (અથવા વિદ્યુત પ્રવાહ) ઉત્સર્જિત થાય છે. આ ઘટનાને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર કહેવામાં આવે છે.
ચોક્કસ આવૃત્તિ ધરાવતો પ્રકાશ શૂન્યાવકાશ ચેમ્બરની અંદર રહેલી શુદ્ધ ધાતુની સપાટી પર પડે છે. ધાતુમાંથી ઈલેક્ટ્રોન બહાર નીકળે છે અને તેને ડિટેક્ટર દ્વારા ગણવામાં આવે છે જે તેમની ગતિજ ઉર્જા માપે છે.
પ્રાયોગિક પરિણામો અને અવલોકનો:
$(i)$ પ્રકાશનું કિરણ સપાટી પર પડતાની સાથે જ ધાતુની સપાટીમાંથી ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે. પ્રકાશના કિરણના અથડાવા અને ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન વચ્ચે કોઈ સમયનો તફાવત હોતો નથી.
$(ii)$ ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પ્રકાશની તીવ્રતા અથવા તેજસ્વીતાના પ્રમાણમાં હોય છે. (ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $\propto$ પ્રકાશની તીવ્રતા).
$(iii)$ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ: એક લાક્ષણિક લઘુત્તમ આવૃત્તિ,$v_{0}$ હોય છે,જેની નીચે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર જોવા મળતી નથી. તેને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે.
$v > v_{0}$ આવૃત્તિ પર,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોન ચોક્કસ ગતિજ ઉર્જા સાથે બહાર આવે છે. આ ઈલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જા વપરાયેલા પ્રકાશની આવૃત્તિ વધવાની સાથે વધે છે.
ઉપરોક્ત તમામ પરિણામો શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમોના આધારે સમજાવી શકાયા ન હતા,પરંતુ આઈન્સ્ટાઈન $(1905)$ પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર સમજાવવામાં સફળ રહ્યા હતા.
$(\text{વપરાયેલા પ્રકાશની ઉર્જા}) \propto (\text{પ્રકાશની આવૃત્તિ}) \propto (\text{ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જા})$ અને $(\text{ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા}) \propto (\text{પ્રકાશની તીવ્રતા})$.

(N/A) આઈન્સ્ટાઈન $(1905)$ એ પ્લાન્કના વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર સમજાવી હતી.
ધાતુની સપાટી પર પ્રકાશના કિરણોનો મારો ચલાવવો એટલે ફોટોન નામના કણોનો મારો ચલાવવો. જ્યારે પૂરતી ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ધાતુના પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે તેની ઉર્જા તરત જ ઇલેક્ટ્રોનને સ્થાનાંતરિત કરે છે,જેનાથી ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ સમયના વિલંબ વિના બહાર ફેંકાય છે.
બહાર ફેંકાયેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જા આપાત વિકિરણની આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય છે અને તે પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતી નથી.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $= h\nu$
ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જાને વર્ક ફંક્શન $(W = h\nu_{0})$ કહેવાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,બહાર ફેંકાયેલા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$h\nu = W + \frac{1}{2} m_{e} V^{2}$
$W = h\nu_{0}$ મૂકતા:
$h\nu = h\nu_{0} + \frac{1}{2} m_{e} V^{2}$
$\frac{1}{2} m_{e} V^{2} = h(\nu - \nu_{0})$
જ્યાં $m_{e}$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$V$ એ બહાર ફેંકાયેલા ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે,અને $\nu > \nu_{0}$. પ્રકાશનો વધુ તીવ્ર કિરણપુંજ વધુ સંખ્યામાં ફોટોન ધરાવે છે,પરિણામે બહાર ફેંકાયેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પણ વધારે હોય છે.

(N/A) પ્રકાશ-વિદ્યુત અસર આઈન્સ્ટાઈનના સમીકરણ દ્વારા સમજાવી શકાય છે:
$E_{\text{photon}} = W + K.E._{\text{max}}$
$h\nu = W + \frac{1}{2}m_e v^2$
જ્યાં:
$h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે.
$W = h\nu_0$ એ કાર્ય વિધેય (work function) છે (ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા).
$\frac{1}{2}m_e v^2$ એ ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા છે.
મુખ્ય સંબંધો:
$1$. ફોટોનની ઊર્જા: $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$.
$2$. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા: $K.E. = h(\nu - \nu_0)$.
$3$. ફોટોનની સંખ્યા: પ્રકાશના કિરણપુંજની તીવ્રતા એ એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. વધુ તીવ્ર પ્રકાશના કિરણપુંજમાં ફોટોનની સંખ્યા વધુ હોય છે,પરિણામે ઉત્સર્જિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પણ વધુ હોય છે.

(A) એક ફોટોનની ઊર્જા $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1 \ mol$ ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = N_A \times h \times \nu$ છે.
આપેલ છે: $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $\nu = 4.0 \times 10^{14} \ Hz$.
$E = (6.022 \times 10^{23}) \times (6.626 \times 10^{-34}) \times (4.0 \times 10^{14}) \ J \ mol^{-1}$.
$E \approx 159529 \ J \ mol^{-1} \approx 159.5 \ kJ \ mol^{-1}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $159.0 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E = \frac{hc}{\lambda}$
આપેલ મૂલ્યો:
$h = 6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$
$c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$
$\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-8} \ cm = 6 \times 10^{-5} \ cm$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s) \times (3 \times 10^{10} \ cm/s)}{6 \times 10^{-5} \ cm}$
$E = \frac{19.86 \times 10^{-17}}{6 \times 10^{-5}} \ erg$
$E = 3.31 \times 10^{-12} \ erg$

(A) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ગતિ છે અને $\lambda$ તરંગલંબાઈ છે.
$h$ અને $c$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{\lambda}$.
આપેલ છે કે $E_1 = E$ અને $\lambda_1 = 6000 \ \mathring{A}$.
$E_2 = 2E$ માટે,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2E}{E} = \frac{6000 \ \mathring{A}}{\lambda_2}$.
$2 = \frac{6000 \ \mathring{A}}{\lambda_2}$.
$\lambda_2 = \frac{6000 \ \mathring{A}}{2} = 3000 \ \mathring{A}$.

(B) એક ફોટોનની ઊર્જા $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $\nu = 5 \times 10^{10} \ s^{-1}$.
એક ફોટોનની ઊર્જા $= (6.62 \times 10^{-34}) \times (5 \times 10^{10}) = 33.1 \times 10^{-24} \ J = 3.31 \times 10^{-23} \ J$.
$1$ મોલ ફોટોનની ઊર્જા $= N_A \times E = (6.022 \times 10^{23}) \times (3.31 \times 10^{-23} \ J) \approx 19.93 \ \text{J}$.
આમ,ઊર્જા આશરે $19.9 \ \text{J}$ છે.

આયનીકરણ ઉર્જા $E$ માટેનું સૂત્ર $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે $E = 8.2 \times 10^{-19} \ J$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{E}{h} = \frac{8.2 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 1.238 \times 10^{15} \ Hz$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{(6.626 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{8.2 \times 10^{-19}} \approx 2.42 \times 10^{-7} \ m = 242 \ nm$.

(N/A) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ: જ્યારે વાયુરૂપ હાઇડ્રોજનમાંથી વિદ્યુત વિભાર પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે $H_{2}$ અણુઓનું વિયોજન થાય છે અને ઉત્પન્ન થયેલા ઉર્જાસભર ઉત્તેજિત હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું ઉત્સર્જન કરે છે,જેને હાઇડ્રોજન વર્ણપટ કહેવામાં આવે છે.
લક્ષણો:
$1$. તે રેખીય ઉત્સર્જન વર્ણપટ છે.
$2$. તે અસતત (discontinuous) વર્ણપટ છે.
$3$. તેમાં તરંગલંબાઈના વિવિધ પ્રદેશોમાં મોટી સંખ્યામાં વર્ણપટ રેખાઓ જોવા મળે છે (જેમ કે લાયમન,બામર,પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણી).
$4$. દરેક શ્રેણીનું નામ તેના શોધકના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે.

(N/A) $1885$ માં,જોહાન બામરે પ્રાયોગિક અવલોકનો દ્વારા દર્શાવ્યું હતું કે હાઇડ્રોજન વર્ણપટની દ્રશ્યમાન વિભાગની વર્ણપટ રેખાઓને તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ ના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:
$\bar{\nu} = 109677 \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right) \text{ cm}^{-1}$
જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
વર્ણપટ રેખાઓની આ શ્રેણીને બામર શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં આ એકમાત્ર એવી શ્રેણી છે જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્યમાન વિભાગમાં જોવા મળે છે.

સ્વીડિશ સ્પેક્ટ્રોસ્કોપિસ્ટ,જોહાન્સ રિડબર્ગે નોંધ્યું હતું કે હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં રેખાઓની તમામ શ્રેણીઓને નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે: $\bar{v} = 109677 \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right) \ cm^{-1}$.
જ્યાં,$n_{1} = 1, 2, 3 \ldots$ અને $n_{2} = (n_{1} + 1), (n_{1} + 2), (n_{1} + 3) \ldots$.
હાઇડ્રોજન માટે રિડબર્ગ અચળાંક $R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$ છે.
હાઇડ્રોજન વર્ણપટની શ્રેણીઓ $n_{1}$ ના મૂલ્ય પરથી ઓળખાય છે:
$n_{1} = 1$: લાયમન શ્રેણી,$n_{2} = 2, 3, 4 \ldots$ (અલ્ટ્રાવાયોલેટ).
$n_{1} = 2$: બામર શ્રેણી,$n_{2} = 3, 4, 5 \ldots$ (દ્રશ્યમાન).
$n_{1} = 3$: પાશ્ચન શ્રેણી,$n_{2} = 4, 5, 6 \ldots$ (ઇન્ફ્રારેડ).
$n_{1} = 4$: બ્રેકેટ શ્રેણી,$n_{2} = 5, 6, 7 \ldots$ (ઇન્ફ્રારેડ).
$n_{1} = 5$: ફંડ શ્રેણી,$n_{2} = 6, 7, 8 \ldots$ (ઇન્ફ્રારેડ).
તમામ તત્વોમાં,હાઇડ્રોજન પરમાણુ સૌથી સરળ રેખીય વર્ણપટ ધરાવે છે,જે રેખીય ઉત્સર્જન વર્ણપટ છે.

(N/A) સ્વીડિશ સ્પેક્ટ્રોસ્કોપિસ્ટ,જોહાન્સ રિડબર્ગે નોંધ્યું હતું કે હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં રેખાઓની તમામ શ્રેણીઓને નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:
$\bar{v} = R_H \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right) \ cm^{-1}$
જ્યાં:
$\bar{v}$ એ તરંગ સંખ્યા છે.
$R_H$ એ હાઇડ્રોજન માટે રિડબર્ગ અચળાંક છે,જે $109677 \ cm^{-1}$ છે.
$n_1 = 1, 2, 3, \dots$
$n_2 = (n_1 + 1), (n_1 + 2), (n_1 + 3), \dots$
હાઇડ્રોજન વર્ણપટની શ્રેણીઓ $n_1$ ના મૂલ્ય દ્વારા ઓળખાય છે:
$n_1 = 1$: લાયમન શ્રેણી (અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તાર)
$n_1 = 2$: બામર શ્રેણી (દ્રશ્યમાન વિસ્તાર)
$n_1 = 3$: પાશ્ચન શ્રેણી (ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર)
$n_1 = 4$: બ્રેકેટ શ્રેણી (ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર)
$n_1 = 5$: ફંડ શ્રેણી (ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર)

(N/A) વાયુ અવસ્થામાં તમામ પરમાણુઓ રેખીય વર્ણપટ દર્શાવે છે.
દરેક પરમાણુ માટે રેખીય વર્ણપટ અનન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે અન્ય કોઈ પરમાણુ સાથે મળતો આવતો નથી.
તમામ પરમાણુઓમાં એક પ્રકારની નિયમિતતા જોવા મળે છે.
હાઇડ્રોજનનો વર્ણપટ સરળ છે,જ્યારે ભારે તત્વો અથવા પરમાણુઓ માટે તે વધુ જટિલ હોય છે.

(N/A) નીલ્સ બોહર $(1913)$ હાઇડ્રોજન પરમાણુના બંધારણ અને તેના વર્ણપટની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓને જથ્થાત્મક રીતે સમજાવનાર પ્રથમ વૈજ્ઞાનિક હતા.
મોડેલની અભિધારણાઓ:
$(i)$ હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રની આસપાસ નિશ્ચિત ત્રિજ્યા અને ઉર્જા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગમાં ફરી શકે છે. આ માર્ગોને કક્ષા,સ્થાયી અવસ્થાઓ અથવા માન્ય ઉર્જા અવસ્થાઓ કહેવામાં આવે છે. આ કક્ષાઓ કેન્દ્રની આસપાસ સમકેન્દ્રીય રીતે ગોઠવાયેલી હોય છે.
$(ii)$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા સમય સાથે બદલાતી નથી. જોકે,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા જરૂરી ઉર્જાનું શોષણ થાય ત્યારે તે નીચી સ્થાયી અવસ્થામાંથી ઉચ્ચ સ્થાયી અવસ્થામાં જાય છે,અથવા જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ સ્થાયી અવસ્થામાંથી નીચી સ્થાયી અવસ્થામાં આવે ત્યારે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન થાય છે. ઉર્જાનો ફેરફાર સતત રીતે થતો નથી.
$(iii)$ જ્યારે બે સ્થાયી અવસ્થાઓ વચ્ચે સંક્રમણ થાય છે જેની ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ હોય,ત્યારે શોષાયેલા અથવા ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = h \nu$ અને $\Delta E = (E_{2} - E_{1})$
તેથી,$\nu = \frac{\Delta E}{h}$ (બોહરનો આવૃત્તિનો નિયમ)
જ્યાં $E_{1}$ અને $E_{2}$ અનુક્રમે નીચી અને ઉચ્ચ માન્ય ઉર્જા અવસ્થાઓની ઉર્જા છે.
$(iv)$ આપેલી સ્થાયી અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:
$m_{e} v r = n \left( \frac{h}{2 \pi} \right)$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
આમ,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તે જ કક્ષાઓમાં ફરી શકે છે જેના માટે તેનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,તેથી જ માત્ર અમુક ચોક્કસ નિશ્ચિત કક્ષાઓ જ માન્ય છે.

(N/A) નીલ્સ બોહર $(1913)$ હાઇડ્રોજન પરમાણુની રચના અને તેના વર્ણપટની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓને જથ્થાત્મક રીતે સમજાવનાર પ્રથમ વૈજ્ઞાનિક હતા.
મોડેલની પૂર્વધારણાઓ:
$(i)$ હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રની આસપાસ નિશ્ચિત ત્રિજ્યા અને ઊર્જા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરી શકે છે. આ માર્ગોને કક્ષા,સ્થિર અવસ્થાઓ અથવા માન્ય ઊર્જા અવસ્થાઓ કહેવામાં આવે છે. આ કક્ષાઓ કેન્દ્રની આસપાસ કેન્દ્રિત રીતે ગોઠવાયેલી હોય છે.
$(ii)$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા સમય સાથે બદલાતી નથી. જોકે,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા જરૂરી ઊર્જાનું શોષણ થાય ત્યારે તે નીચી સ્થિર અવસ્થામાંથી ઊંચી સ્થિર અવસ્થામાં જાય છે,અથવા જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઊંચી સ્થિર અવસ્થામાંથી નીચી સ્થિર અવસ્થામાં આવે ત્યારે ઊર્જાનું ઉત્સર્જન થાય છે. ઊર્જાનો ફેરફાર સતત રીતે થતો નથી.
$(iii)$ જ્યારે બે સ્થિર અવસ્થાઓ વચ્ચે સંક્રમણ થાય છે જેની ઊર્જામાં તફાવત $\Delta E$ હોય,ત્યારે શોષાયેલ અથવા ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = h \nu$ અને $\Delta E = (E_{2} - E_{1})$
તેથી,$\nu = \frac{\Delta E}{h}$ (બોહરનો આવૃત્તિનો નિયમ)
જ્યાં $E_{1}$ અને $E_{2}$ અનુક્રમે નીચી અને ઊંચી માન્ય ઊર્જા અવસ્થાઓની ઊર્જા છે.
$(iv)$ આપેલી સ્થિર અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$m_{e} v r = n(\frac{h}{2 \pi})$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
આમ,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તે જ કક્ષાઓમાં ગતિ કરી શકે છે જેના માટે તેનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,તેથી જ માત્ર અમુક નિશ્ચિત કક્ષાઓ જ માન્ય છે.

(N/A) $(i)$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક: ઇલેક્ટ્રોન માટે સ્થાયી અવસ્થાઓને $n = 1, 2, 3, \dots$ તરીકે ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે. આ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓને મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે।
(ii) સ્થાયી કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$: સ્થાયી અવસ્થાઓની ત્રિજ્યા નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: $r_n = n^2 a_0$, જ્યાં $a_0 = 52.9 \text{ pm}$ છે.
- પ્રથમ સ્થાયી $(n = 1)$ અવસ્થાની ત્રિજ્યા, જેને બોહર કક્ષા કહેવાય છે, તે $52.9 \text{ pm}$ છે.
- સામાન્ય રીતે, હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન આ કક્ષામાં $(n = 1)$ જોવા મળે છે.
- જેમ $n$ વધે છે, તેમ $r$ નું મૂલ્ય વધે છે, જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રથી દૂર હાજર છે.
(iii) સ્થાયી અવસ્થાની ઉર્જા: સ્થાયી અવસ્થાની ઉર્જા નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = -R_H \left(\frac{1}{n^2}\right)$, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ અને $R_H$ (રિડબર્ગ અચળાંક) $= 2.18 \times 10^{-18} \text{ J}$ છે.
- ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ ની ઉર્જા $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \text{ J}$ છે.
- $n = 2$ માટે સ્થાયી અવસ્થાની ઉર્જા $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \text{ J} \times \left(\frac{1}{2^2}\right) = -0.545 \times 10^{-18} \text{ J}$ છે.
- જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રના પ્રભાવથી મુક્ત થાય છે, ત્યારે ઉર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે $(n = \infty)$, જે આયનીકૃત હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H^+)$ ને અનુરૂપ છે.

(N/A) $(i)$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક: ઇલેક્ટ્રોન માટેની સ્થિર અવસ્થાઓને $n = 1, 2, 3, \dots$ તરીકે ક્રમ આપવામાં આવે છે. આ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓને મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક કહેવામાં આવે છે.
$(ii)$ સ્થિર કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$: સ્થિર અવસ્થાઓની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0 = 52.9 \ pm$. પ્રથમ સ્થિર અવસ્થા $(n = 1)$ ની ત્રિજ્યા,જેને બોહર કક્ષા કહેવાય છે,તે $52.9 \ pm$ છે. જેમ $n$ વધે છે,તેમ $r$ નું મૂલ્ય વધે છે,એટલે કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસથી દૂર જાય છે.
$(iii)$ સ્થિર અવસ્થાની ઉર્જા: સ્થિર અવસ્થાની ઉર્જા $E_n = -R_H (1/n^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_H = 2.18 \times 10^{-18} \ J$. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n = 1)$ માટે,$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$. $n = 2$ માટે,$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \ J$. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસથી મુક્ત થાય છે $(n = \infty)$,ત્યારે ઉર્જા $0 \ J$ હોય છે,જે આયનીકૃત હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H^+)$ દર્શાવે છે.
$(iv)$ $H$ નો આઈસોઈલેક્ટ્રોનિક આયન: હાઇડ્રોજનમાં $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે. આઈસોઈલેક્ટ્રોનિક આયનમાં પણ $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોવો જોઈએ,જેમ કે $He^+$,$Li^{2+}$,અથવા $Be^{3+}$.
$(v)$ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ: સ્થિર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = v_0 (Z/n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં હાઇડ્રોજન માટે $v_0 = 2.188 \times 10^6 \ m/s$ છે.

(N/A) રેખીય વેગમાન: રેખીય વેગમાન એ દળ $(m)$ અને વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર છે.
રેખીય વેગમાન $= m \times v$
કોણીય વેગમાન: કોણીય વેગમાન એ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ નો ગુણાકાર છે.
કોણીય વેગમાન $= I \times \omega$
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે પરિભ્રમણ કરતા $m_e$ દળ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે:
કારણ કે $I = m_e r^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$,
આ કિંમતો કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
કોણીય વેગમાન $= (m_e r^2) \times (\frac{v}{r}) = m_e v r$.

હાઇડ્રોજન પરમાણુના કિસ્સામાં જોવા મળતા રેખીય વર્ણપટને બોહરના મોડેલનો ઉપયોગ કરીને જથ્થાત્મક રીતે સમજાવી શકાય છે.
વર્ણપટમાં ઉત્સર્જિત ઊર્જા $(\Delta E)$ : બોહરની ધારણા મુજબ,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન કક્ષા બદલે ત્યારે વિકિરણનું ઉત્સર્જન કે શોષણ થાય છે.
બે કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta E = E_{f} - E_{i}$
કારણ કે $E_{n} = -R_{H} \left( \frac{1}{n^{2}} \right)$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
$E_{n}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\Delta E = -\left( \frac{R_{H}}{n_{f}^{2}} \right) - \left( -\frac{R_{H}}{n_{i}^{2}} \right)$
$\therefore \Delta E = R_{H} \left( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right)$
$\therefore \Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \left( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right)$
રેખીય વર્ણપટની આવૃત્તિ $(\nu)$ :
$\Delta E = h\nu$ હોવાથી,$\nu = \frac{\Delta E}{h}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા:
$\nu = \frac{2.18 \times 10^{-18} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} \left( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right)$
$\therefore \nu = 3.29 \times 10^{15} \left( \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right) \ Hz$
આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ ગણી શકાય છે.

(A) ધારો કે ઉર્જા સ્તરો $n_1$ અને $n_2$ છે જ્યાં $n_2 > n_1$. આપેલ છે કે $n_1 + n_2 = 4$ અને $n_2 - n_1 = 2$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $n_2 = 3$ અને $n_1 = 1$ મળે છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રીડબર્ગનું સૂત્ર:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = 109678 \times 3^2 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 109678 \times 9 \times \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 109678 \times 9 \times \frac{8}{9} = 109678 \times 8 \ cm^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{109678 \times 8} \approx 1.14 \times 10^{-6} \ cm$.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R \left[\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right]$
$H$ પરમાણુમાં અનંત અવસ્થા $(n_2 = \infty)$ થી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n_1 = 1)$ માં સંક્રમણ માટે:
$R = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left[\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}\right] = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
તેથી,$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \approx 9.116 \times 10^{-8} \ m = 91.16 \ nm \approx 91 \ nm$.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
અહીં,સંક્રમણ $n_1 = 3$ થી $n_2 = 5$ માં થાય છે.
જેથી નીચલી ઉર્જા કક્ષા $n_1 = 3$ હોવાથી,આ સંક્રમણ પાશ્ચન શ્રેણીમાં આવે છે.
પાશ્ચન શ્રેણી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિભાગમાં આવે છે.

(A) બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ પર થવું જોઈએ.
તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર: $\bar{\nu} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
હાઇડ્રોજન માટે,$Z = 1$ અને $R_H = 109677 \ cm^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = 109677 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) = 109677 \times \frac{1}{4} = 27419.25 \ cm^{-1}$.
આમ,$\bar{\nu} \approx 2.7419 \times 10^{4} \ cm^{-1}$.

(A) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં,$R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$,$n_1 = 1$,અને $n_2 = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) \ m^{-1}$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \ m^{-1} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{8}{9} \ m^{-1}$.
$\frac{1}{\lambda} \approx 0.975 \times 10^7 \ m^{-1}$.
$\lambda \approx 1.026 \times 10^{-7} \ m$.

(A) $n = 2$ અવસ્થામાંથી અનંત સુધી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E = R_H \times h \times c \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$ મૂકતા,આપણને $E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \times (\frac{1}{2^2} - 0) = 5.45 \times 10^{-19} \ J$ મળે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{hc}{E}$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{5.45 \times 10^{-19} \ J} = 3.64 \times 10^{-7} \ m$.

(N/A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -\frac{R_H}{n^2} \, J \, \text{atom}^{-1}$.
આને $kJ \, mol^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ વડે ગુણીને $1000$ વડે ભાગતા:
$E_n (kJ \, mol^{-1}) = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \times 6.02 \times 10^{23}}{n^2 \times 1000} \approx -\frac{1312}{n^2} \, kJ \, mol^{-1}$.

કક્ષા $(n)$	ઉર્જા $(kJ \, mol^{-1})$
$1$	$-1312$
$2$	$-328$
$3$	$-145.8$
$4$	$-82$

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = a_0 \times n^2 / Z$ છે,જ્યાં $a_0 = 0.0529 \ nm$ અને હાઇડ્રોજન માટે $Z = 1$ છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે $(n=1)$: $r_1 = 0.0529 \times (1)^2 / 1 = 0.0529 \ nm$.
દ્વિતીય કક્ષા માટે $(n=2)$: $r_2 = 0.0529 \times (2)^2 / 1 = 0.0529 \times 4 = 0.2116 \ nm$.
તૃતીય કક્ષા માટે $(n=3)$: $r_3 = 0.0529 \times (3)^2 / 1 = 0.0529 \times 9 = 0.4761 \ nm$.

હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની આયનીકરણ ઉર્જા $(IE)$ નું સૂત્ર: $IE = 1312 \times Z^2 \, kJ \, mol^{-1}$ છે.
$H$ $(Z=1)$ માટે: $IE = 1312 \times (1)^2 = 1312 \, kJ \, mol^{-1}$.
$He^{+}$ $(Z=2)$ માટે: $IE = 1312 \times (2)^2 = 1312 \times 4 = 5248 \, kJ \, mol^{-1}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ માટે: $IE = 1312 \times (3)^2 = 1312 \times 9 = 11808 \, kJ \, mol^{-1}$.
આમ,મૂલ્યો અનુક્રમે $1312 \, kJ \, mol^{-1}$,$5248 \, kJ \, mol^{-1}$,અને $11808 \, kJ \, mol^{-1}$ છે.

(A) આપેલ છે: $\Delta E = 214.68 \ kJ \ mol^{-1} = 214.68 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}$.
પ્રતિ ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા શોધવા માટે,એવોગેડ્રો આંક $(N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ વડે ભાગો:
$\Delta E_{\text{per electron}} = \frac{214.68 \times 10^3}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.565 \times 10^{-19} \ J$.
સંબંધ $\Delta E = hv$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$:
$v = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3.565 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 5.38 \times 10^{14} \ Hz$.

હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે $n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{2.176 \times 10^{-18} \times Z^2}{n^2} \, J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે. $3^{rd}$ કક્ષા માટે,$n = 3$ છે.
$3^{rd}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા: $E_3 = -\frac{2.176 \times 10^{-18} \times 2^2}{3^2} = -\frac{2.176 \times 10^{-18} \times 4}{9} \, J \approx -9.67 \times 10^{-19} \, J$.
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા (આયનીકરણ ઉર્જા) $\Delta E = E_{\infty} - E_3 = 0 - (-9.67 \times 10^{-19} \, J) = 9.67 \times 10^{-19} \, J$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s \times 3 \times 10^8 \, m/s}{9.67 \times 10^{-19} \, J} \approx 2.055 \times 10^{-7} \, m$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2^{nd}$ કક્ષા માટે,$n_1 = 2$,તેથી $r_2 \propto 2^2 = 4$.
$3^{rd}$ કક્ષા માટે,$n_2 = 3$,તેથી $r_3 \propto 3^2 = 9$.
તેથી,$2^{nd}$ કક્ષા અને $3^{rd}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_3} = \frac{4}{9}$ અથવા $4:9$ છે.

(N/A) $(i)$ હાઇડ્રોજનની ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$ છે.
$J \ mol^{-1}$ માં,$E = (-2.18 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}) \times (6.022 \times 10^{23} \ atom \ mol^{-1}) = -1.312 \times 10^6 \ J \ mol^{-1} = -1312 \ kJ \ mol^{-1}$.
$(ii)$ પ્રથમ સંક્રમણ ($n=1$ થી $n=2$) માટે,$\Delta E = E_2 - E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2}) = 1.635 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$.
પ્રતિ મોલ,$\Delta E = 1.635 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23} = 9.846 \times 10^5 \ J \ mol^{-1} = 984.6 \ kJ \ mol^{-1}$.
$(iii)$ આયનીકરણ ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=\infty$ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે. $\Delta E = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-1312 \ kJ \ mol^{-1}) = 1312 \ kJ \ mol^{-1}$.

(N/A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
અહીં $n_1 = 2$,$n_2 = 3$,અને $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ છે.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36}$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.5236 \times 10^6 \ m^{-1}$.
$\lambda = 6.563 \times 10^{-7} \ m = 656.3 \ nm$.
આ તરંગલંબાઈ બામર શ્રેણીને અનુરૂપ છે,જે દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવે છે.

(N/A) બામર શ્રેણી માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $n_1 = 2$.
પ્રથમ રેખા માટે $(n_2 = 3)$: $\frac{1}{656} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{5}{36} \right)$.
બીજી રેખા માટે $(n_2 = 4)$: $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R_H \left( \frac{3}{16} \right)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\lambda_2}{656} = \frac{5/36}{3/16} = \frac{20}{27}$.
તેથી,$\lambda_2 = 656 \times \frac{20}{27} \approx 486 \ nm$.

(A) સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો ફેરફાર $\Delta E = E_3 - E_2 = 1.31 \times 10^6 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) \ J \ mol^{-1}$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta E = 1.31 \times 10^6 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = 1.31 \times 10^6 \times \frac{5}{36} \ J \ mol^{-1}$.
$\Delta E = 1.8194 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
પ્રતિ પરમાણુ ઉર્જા શોધવા માટે એવોગેડ્રો આંક વડે ભાગતા: $E_{atom} = \frac{1.8194 \times 10^5}{6.02 \times 10^{23}} \ J \approx 3.022 \times 10^{-19} \ J$.
સંબંધ $E = h\nu$ નો ઉપયોગ કરતા,આવૃત્તિ $\nu = \frac{E}{h} = \frac{3.022 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} \ Hz$.
$\nu \approx 4.58 \times 10^{14} \ Hz$.

(N/A) $(i)$ તે હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટની ઝીણવટભરી વિગતો (ડબલેટ,એટલે કે બે નજીકથી જોડાયેલી રેખાઓ) સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે,જે અત્યાધુનિક સ્પેક્ટ્રોસ્કોપિક તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને અવલોકન કરવામાં આવે છે.
આ મોડેલ હાઇડ્રોજન સિવાયના અન્ય પરમાણુઓના વર્ણપટને સમજાવવામાં પણ અસમર્થ છે (દા.ત.,હિલિયમ પરમાણુ અથવા આયન જેમાં એક કરતા વધુ ઇલેક્ટ્રોન હોય).
- ઝીમેન અસર: બોહરનો સિદ્ધાંત ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં $H$ વર્ણપટને સમજાવવામાં અસમર્થ હતો.
- સ્ટાર્ક અસર: બોહરનો સિદ્ધાંત વિદ્યુત ક્ષેત્રની હાજરીમાં $H$ વર્ણપટને સમજાવવામાં અસમર્થ હતો.
- બોહરનો સિદ્ધાંત વર્ણપટ રેખાઓના વિભાજનને સમજાવવામાં અસમર્થ હતો.
$(ii)$ તે રાસાયણિક બંધ દ્વારા અણુઓ બનાવવાની પરમાણુઓની ક્ષમતા સમજાવી શક્યું નથી.

(N/A) બોહર મોડેલ નીચેના કારણોસર નિષ્ફળ જાય છે:
$1$. તે ઇલેક્ટ્રોનને વીજભારિત કણ તરીકે ગણે છે અને ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવને અવગણે છે.
$2$. તે ધારે છે કે ઇલેક્ટ્રોન ચોક્કસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે. હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગ એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
$3$. આ મોડેલ દ્રવ્યના દ્વૈત સ્વભાવને અવગણે છે અને હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. પરિણામે,તેને બહુ-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓ માટે વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી.

(A) $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_1 = -13.12 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માટે,$E_1 = -13.12 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
બીજી કક્ષા $(n_2 = 2)$ માટે,$E_2 = \frac{-13.12 \times 10^5}{2^2} = \frac{-13.12 \times 10^5}{4} = -3.28 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
સંક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = (-3.28 \times 10^5) - (-13.12 \times 10^5) = 9.84 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.