Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(D) એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \ eV \ \mathring{A}}{6200 \ \mathring{A}} = 2 \ eV$.
$80 \%$ કાર્યક્ષમતા સાથે $20 \ s$ માં બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E_{total} = P \times t \times \text{efficiency} = 40 \ W \times 20 \ s \times 0.8 = 640 \ J$.
કુલ ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવતા: $E_{total} = \frac{640}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 4 \times 10^{21} \ eV$.
ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{E_{total}}{E_{photon}} = \frac{4 \times 10^{21} \ eV}{2 \ eV} = 2 \times 10^{21}$.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{2 \pi Z e^2}{n h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે વેગ $v$ એ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,દળ બમણું કરવાથી વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
જોકે,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m_e v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $KE \propto m_e$,જો ઇલેક્ટ્રોનનું દળ બમણું કરવામાં આવે,તો ગતિજ ઉર્જા પણ બમણી થશે,એટલે કે તે વધશે.

(B) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{n_1}}{r_{n_2}} = \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$.
કક્ષાઓ પ્રથમ ચાર $(n = 1, 2, 3, 4)$ માંથી હોવાથી,શક્ય જોડી $(n_1, n_2)$ એ $(1, 2)$ અથવા $(2, 4)$ છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
$(1, 2)$ જોડી માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{4} - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
$(2, 4)$ જોડી માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_4 - E_2 = -\frac{13.6}{16} - (-\frac{13.6}{4}) = 2.55 \ eV$ છે.

(D) કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = v_0 \times \frac{Z}{n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ અચળાંક છે,$Z$ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ:
$1$. $v \propto Z$ (અચળ $n$ પર),જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. $v \propto \frac{1}{n}$ (અચળ $Z$ પર),જે $\frac{1}{n}$ ની સામે આલેખિત કરવામાં આવે ત્યારે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$3$. $v \propto \frac{1}{n}$ (અચળ $Z$ પર),જે $n$ ની સામે આલેખિત કરવામાં આવે ત્યારે લંબચોરસ હાયપરબોલા દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$v$ વિરુદ્ધ $n$ નો આલેખ લંબચોરસ હાયપરબોલા હોવો જોઈએ,ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા નહીં. તેથી,$v$ વિરુદ્ધ $n$ નો રેખીય આલેખ ખોટો છે.

(A) બોહરના મોડેલ મુજબ,$Z$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતી હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે,ઉર્જા $E_n(H) = -13.6 \frac{1^2}{n^2} = -13.6 \frac{1}{n^2} \text{ eV}$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $E_n = Z^2 \times E_n(H)$ મળે છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto n^{2}$ અને ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ છે.
સમયગાળો $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણસરતાના સંબંધોને બદલતા,$T \propto \frac{n^{2}}{1/n} = n^{3}$ મળે છે.
કારણ કે $r \propto n^{2}$,આપણી પાસે $n \propto r^{1/2}$ છે,તેથી $T \propto (r^{1/2})^{3} = r^{3/2}$ થાય.
તેથી,સમયગાળાનો ગુણોત્તર $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3/2}$ છે.
આપેલ છે કે $R_{1} = R$ અને $R_{2} = 4R$,તેથી $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \left(\frac{R}{4R}\right)^{3/2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{3/2} = \frac{1}{8}$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{E_o}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_o = 13.6 \ eV$ છે.
$n = 2$ અને $n = 3$ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $E = E_3 - E_2 = -\frac{E_o}{3^2} - (-\frac{E_o}{2^2}) = E_o(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5E_o}{36}$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
તેથી,$E_o = \frac{36E}{5} = 7.2E$.
$H$ પરમાણુની આયનીકરણ પોટેન્શિયલ એ $n = 1$ થી $n = \infty$ સુધી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે $E' = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-\frac{E_o}{1^2}) = E_o$ છે.
$E_o$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E' = 7.2E$ મળે છે.

(NONE) સમીકરણ $E = -2.178 \times 10^{-18} \ J \ \frac{Z^2}{n^2}$ હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે જેમ $n$ વધે છે,ઉર્જા ઓછી ઋણ બને છે (શૂન્યની નજીક),જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોન ઓછો મજબૂતીથી બંધાયેલ છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે ઋણ ચિહ્ન અનંત પર શૂન્ય-ઉર્જા સ્થિતિની સાપેક્ષમાં સ્થિર બંધિત સ્થિતિ સૂચવે છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $r \propto n^2$.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે $\Delta E = E_f - E_i$ આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે.
આપેલા તમામ વિધાનો $A, B, C$ અને $D$ બોહર મોડેલ મુજબ વૈજ્ઞાનિક રીતે સાચા છે,તેથી વિકલ્પોમાં કોઈ ખોટું વિધાન આપેલ નથી.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટનો પારજાંબલી વિસ્તાર લાયમન શ્રેણીને અનુરૂપ છે,જ્યાં સંક્રમણ ધરાવસ્થા $(n_1 = 1)$ માં થાય છે.
પારજાંબલી વિસ્તારમાં ચાર રેખાઓનો અર્થ એ છે કે સંક્રમણ $n_2 = 2, 3, 4, 5$ થી $n_1 = 1$ સુધી થાય છે.
આ સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન શરૂઆતમાં $n = 5$ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં છે.
$n = 5$ થી નીચલા ઉર્જા સ્તરોમાં શક્ય સંક્રમણોની કુલ સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{5(5-1)}{2} = 10$ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં મળતી રેખાઓ પાશ્ચન શ્રેણી $(n_1 = 3)$ અને બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_1 = 4)$ ને અનુરૂપ છે.
$n = 5$ માટે,શક્ય સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$5 \rightarrow 4$ (બ્રેકેટ શ્રેણી,$IR$),
$5 \rightarrow 3$ (પાશ્ચન શ્રેણી,$IR$),
$4 \rightarrow 3$ (પાશ્ચન શ્રેણી,$IR$).
આમ,ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં $3$ રેખાઓ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $5^{th}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 6$ ને અનુરૂપ છે.
ધરા અવસ્થા $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
બામર શ્રેણીમાં એવી વર્ણપટ રેખાઓનો સમાવેશ થાય છે જે ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2 > 2)$ થી $n_1 = 2$ ઉર્જા સ્તર પર સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે.
આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન $n = 6$ થી $n = 1$ માં સંક્રમણ કરે છે,તેથી બામર શ્રેણીમાં પરિણમતા સંક્રમણો એ છે જે $n = 2$ પર સમાપ્ત થાય છે.
આ સંક્રમણો છે: $6 \to 2$,$5 \to 2$,$4 \to 2$,અને $3 \to 2$.
આમ,બામર શ્રેણીમાં વિવિધ વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto Z^2$. જો $Z$ બમણું કરવામાં આવે,તો $E$ મૂળ મૂલ્ય કરતા $4$ ગણું થાય છે.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $r \propto \frac{1}{Z}$. જો $Z$ બમણું કરવામાં આવે,તો $r$ મૂળ મૂલ્ય કરતા અડધું થાય છે.
કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \ \text{m/s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v \propto Z$. જો $Z$ બમણું કરવામાં આવે,તો $v$ મૂળ મૂલ્ય કરતા $2$ ગણું થાય છે.
તેથી,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ બમણો થાય છે તે વિધાન બોહરના સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત છે.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2$ થી $n_1$ માં કૂદકો મારે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_2 = 5$ અને $n_1 = 2$ માટે,કુલ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{(5 - 2)(5 - 2 + 1)}{2} = 6$ છે.
શક્ય સંક્રમણો: $5 \to 4, 5 \to 3, 5 \to 2, 4 \to 3, 4 \to 2, 3 \to 2$.
$1$. અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તાર (લાઇમન શ્રેણી,$n_1 = 1$): $0$ રેખાઓ.
$2$. દ્રશ્યમાન વિસ્તાર (બામર શ્રેણી,$n_1 = 2$): $5 \to 2, 4 \to 2, 3 \to 2$ એટલે કે $3$ રેખાઓ.
$3$. ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર (પાશ્ચન શ્રેણી,$n_1 = 3$): $5 \to 3, 4 \to 3$ એટલે કે $2$ રેખાઓ.
આપેલા વિકલ્પો પ્રશ્ન સાથે સુસંગત નથી.

(B) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે,$n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n=1$,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=3$).
કિંમતો મૂકતા: $E_3 = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \ eV$.
$E_3 = -6.044 \ eV$.
ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(KE)$ તેની કુલ ઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોય છે,એટલે કે $KE = |E_n|$.
તેથી,$KE = 6.044 \ eV \approx 6.04 \ eV$.

(A) રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_{H} Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
$H$ પરમાણુ $(Z=1)$ માટે લાયમન શ્રેણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ પર મળે છે.
$\frac{1}{x} = R_{H} (1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R_{H} \implies R_{H} = \frac{1}{x}$.
$He^{+}$ આયન $(Z=2)$ માટે બામર શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ પર મળે છે.
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R_{H} (2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right]$.
$R_{H} = \frac{1}{x}$ મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = \frac{1}{x} \times 4 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{4}{x} \left[ \frac{5}{36} \right] = \frac{5}{9x}$.
તેથી,$\lambda_{\max} = \frac{9x}{5}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = v_0 \times \frac{Z}{n}$,જ્યાં $v_0$ એ હાઇડ્રોજનની ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે $(2.18 \times 10^6 \ m/s)$,$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
હાઇડ્રોજન $(H)$ પરમાણુની ધરા અવસ્થા માટે: $Z_1 = 1$,$n_1 = 1$. તેથી,$v_1 = v_0 \times \frac{1}{1} = v_0$.
$He^{+}$ આયનની બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે: $Z_2 = 2$,અને બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n_2 = 3$. તેથી,$v_2 = v_0 \times \frac{2}{3}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_0}{v_0 \times (2/3)} = \frac{3}{2} = 1.5$ થાય છે.

(A) કુલ ઊર્જા $(E_n)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_n = \frac{1}{2} PE$ છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $E_n = \frac{-6.8 \ eV}{2} = -3.4 \ eV$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{-13.6}{n^2} = -3.4$,જે $n^2 = 4$ આપે છે,તેથી $n = 2$.
અવસ્થા $n = 1$ એ ધરા અવસ્થા છે,અને $n = 2$ એ પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા છે.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા-સ્થિતિ માટે,$n = 1$ અને $Z = 1$,તેથી $r_H = a_0 \frac{1^2}{1} = a_0$.
$Be^{+3}$ આયન માટે,$Z = 4$. આપણે એવી કક્ષા $n$ શોધવાની છે કે જેથી $r_{Be} = r_H$ થાય.
$a_0 \frac{n^2}{4} = a_0$.
$n^2 = 4$.
$n = 2$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -K \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ છે.
$He^{+}$ $(Z=2)$ માટે,આયનીકરણ ઉર્જા $IE = 4K = 8.68 \times 10^{-18} \ J$ છે.
તેથી,$K = 2.17 \times 10^{-18} \ J$.
હવે,$Be^{3+}$ $(Z=4)$ માટે બીજી કક્ષા $(n=2)$ માં:
$E_2 = -(2.17 \times 10^{-18}) \times \frac{4^2}{2^2} = -8.68 \times 10^{-18} \ J$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં સંક્રમણની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \ Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શોષણ માટે,ઇલેક્ટ્રોન નીચલા ઊર્જા સ્તર $(n_1)$ થી ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર $(n_2)$ માં જાય છે.
$1$ થી $2$ માટે: $\Delta E = 13.6 (1 - \frac{1}{4}) = 10.2 \ eV$.
$2$ થી $3$ માટે: $\Delta E = 13.6 (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) \approx 1.89 \ eV$.
$1$ થી $\infty$ માટે: $\Delta E = 13.6 (1 - 0) = 13.6 \ eV$.
$\infty$ થી $1$ એ ઉત્સર્જન દર્શાવે છે,શોષણ નહીં.
આમ,$1$ થી $\infty$ ના સંક્રમણમાં મહત્તમ ઊર્જાનું શોષણ થાય છે.

(B) દ્રશ્યમાન વિભાગ બામર શ્રેણી $(n_f = 2)$ ને અનુરૂપ છે.
બામર શ્રેણીમાં $4$ રેખાઓ મેળવવા માટે,ઇલેક્ટ્રોન $n_i = 6$ થી $n_f = 2$ પર કૂદકો મારવો જોઈએ (કારણ કે રેખાઓની સંખ્યા $= n_i - n_f = 6 - 2 = 4$).
ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિભાગમાં પાશ્ચન $(n_f = 3)$,બ્રેકેટ $(n_f = 4)$ અને ફંડ $(n_f = 5)$ શ્રેણીનો સમાવેશ થાય છે.
$n_i = 6$ થી નીચલા ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ માટે:
પાશ્ચન શ્રેણી $(n_f = 3)$: $6$ $\rightarrow 3, 5$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 3$ ($3$ રેખાઓ).
બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_f = 4)$: $6$ $\rightarrow 4, 5$ $\rightarrow 4$ ($2$ રેખાઓ).
ફંડ શ્રેણી $(n_f = 5)$: $6 \rightarrow 5$ ($1$ રેખા).
$IR$ વિભાગમાં કુલ રેખાઓ $= 3 + 2 + 1 = 6$.

(D) બોહરના અભિધારણા મુજબ,બે સ્થિર અવસ્થાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
આ ઉર્જા તફાવત શોષાયેલા અથવા ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા જેટલો હોય છે,જે $E = h v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $h v = E_2 - E_1$ મળે છે.
તેથી,આવૃત્તિ $v = \frac{E_2 - E_1}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
$3^{rd}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r_3)$ = $0.529 \times 9 = 4.761 \mathring{A}$.
$2^{nd}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r_2)$ = $0.529 \times 4 = 2.116 \mathring{A}$.
$3^{rd}$ અને $2^{nd}$ કક્ષાઓ વચ્ચેનું અંતર $r_3 - r_2 = 4.761 \mathring{A} - 2.116 \mathring{A} = 2.645 \mathring{A}$.
$1 \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$ હોવાથી,અંતર $2.645 \times 10^{-8} \ cm$ થાય.

(D) $H$ પરમાણુના પરમાણ્વીય વર્ણપટમાં લાયમન શ્રેણી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $(n_2 = 2, 3, 4, \dots, \infty)$ થી ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માં થતા ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
તરંગ આંક $(\bar{\nu})$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
કોઈપણ વર્ણપટ શ્રેણીની 'છેલ્લી રેખા' એ શક્ય ઉચ્ચતમ ઉર્જા સ્તર,એટલે કે $n_2 = \infty$ થી શ્રેણીની મર્યાદા સ્તર,એટલે કે $n_1 = 1$ સુધીના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
તેથી,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ વચ્ચેનો સંબંધ $P.E. = -2 \times K.E.$ છે.
શરૂઆતમાં,$K.E._1 = y$,તેથી $P.E._1 = -2y$.
અંતે,$K.E._2 = y/4$,તેથી $P.E._2 = -2 \times (y/4) = -y/2$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta P.E. = P.E._2 - P.E._1 = (-y/2) - (-2y) = (-y/2) + 2y = \frac{3}{2}y$ છે.

(C) તરંગલંબાઈ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R Z^{2} \left( \frac{1}{n_1^{2}} - \frac{1}{n_2^{2}} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. મહત્તમ તરંગલંબાઈ માટે,સંક્રમણ નજીકના ઉર્જા સ્તરથી હોવું જોઈએ,તેથી $n_2 = 2$.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R (2)^{2} \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right)$.
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \times 4 \times \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \times 4 \times \frac{3}{4} = 3R$.
તેથી,$\lambda_{\max} = \frac{1}{3R}$.

(C) $Bohr$ નો સિદ્ધાંત ફક્ત એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ (હાઇડ્રોજન જેવી અણુઓ) માટે જ લાગુ પડે છે.
$H$ પાસે $1$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Li^{2+}$ પાસે $3 - 2 = 1$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Be^{3+}$ પાસે $4 - 3 = 1$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$He^{2+}$ પાસે $2 - 2 = 0$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$He^{2+}$ પાસે કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ન હોવાથી,$Bohr$ નો સિદ્ધાંત તેને લાગુ પડતો નથી.

(A) બોહરના પરમાણુ મોડેલમાં,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $r \propto n^2$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n^2}$ છે,જે સૂચવે છે કે $E \propto -1/n^2$.
ઉર્જાના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,સંબંધ $r \propto n^2$ અને $E \propto 1/n^2$ છે.

(D) એક $He^{+}$ આયન માટે $n = 5$ અવસ્થામાં,ઉત્સર્જન રેખાઓની સંખ્યા $n - 1 = 4$ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$n = 5$ માટે આયનીકરણ ઉર્જા $I.E. = \frac{13.6 \times Z^2}{n^2} = \frac{13.6 \times 4}{25} = 2.176 \, eV$ છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછી ઉર્જાના સંક્રમણ $n = 5 \to n = 4$ ને અનુરૂપ છે. સૂત્ર મુજબ $\frac{1}{\lambda} = R \times 4 \times \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{25}\right) = \frac{9R}{100}$. તેથી $\lambda = \frac{100}{9R} \approx \frac{11.11}{R}$. $11.11/R > 10/R$ હોવાથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \, \mathring{A}$ છે. $n = 5$ અને $Z = 2$ માટે,$r_5 = 0.529 \times 12.5 = 6.6125 \, \mathring{A}$. $6.6125 \, \mathring{A} > 6 \, \mathring{A}$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) બલ્બનો પાવર $P = 150 \ W$ છે.
માત્ર $8 \%$ ઉર્જા પ્રકાશ તરીકે ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી પ્રકાશ તરીકે ઉત્સર્જિત પાવર $P_{light} = 150 \times \frac{8}{100} = 12 \ W$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $(n)$ $n = \frac{P_{light}}{E} = \frac{P_{light} \times \lambda}{hc}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{12 \times 6600 \times 10^{-10}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}} = 4 \times 10^{19}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(C) કોઈપણ કોષમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન શોધવાનું સૂત્ર: $L = n \frac{h}{2\pi}$ છે.
$M$-કોષ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $L = 3 \times \frac{6.626 \times 10^{-27}}{2 \times 3.14159}$.
$L = 3.162 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$.

(A) $H$ જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નજીકના સ્તરો $n$ અને $n+1$ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$ છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ $\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$ પદ ઝડપથી ઘટે છે.
આમ,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક વધવાની સાથે ઉર્જા તફાવત ઘટે છે.

(A) $n^{\text{મી}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \frac{n^2}{Z} \, \mathring{A}$ છે.
આપેલ પરમાણુ માટે $Z$ અચળ હોવાથી,$r_n \propto n^2$ થાય.
પ્રથમ ત્રણ કક્ષાઓ $(n = 1, 2, 3)$ માટે,ગુણોત્તર $r_1 : r_2 : r_3 = 1^2 : 2^2 : 3^2$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $1 : 4 : 9$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે.
આપેલ આયન માટે,$Z$ અચળ છે,તેથી $r_n \propto n^2$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_5} = \frac{(2)^2}{(5)^2} = \frac{4}{25}$ થશે.

(B) રીડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$.
$He^{+}$ $(Z=2)$ માટે બામર શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઇ: $n_1 = 2$,$n_2 = \infty$.
$\frac{1}{X} = R \times 2^2 \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}\right) = R$.
તેથી,$R = \frac{1}{X}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ માટે પાશ્ચન શ્રેણીની લાંબી તરંગલંબાઇ: $n_1 = 3$,$n_2 = 4$.
$\frac{1}{\lambda_{Li^{2+}}} = R \times 3^2 \left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2}\right) = R \times 9 \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{16}\right) = R \times \frac{7}{16}$.
$R = \frac{1}{X}$ મૂકતા:
$\lambda_{Li^{2+}} = \frac{16}{7} \ X$.

(C) બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે.
ડી બ્રોગ્લીની પૂર્વધારણા મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$,જેનો અર્થ છે કે $mv = \frac{h}{\lambda}$.
આને બોહરની પૂર્વધારણામાં મૂકતા: $(\frac{h}{\lambda})r = \frac{nh}{2\pi}$.
આનું સાદું રૂપ $2\pi r = n\lambda$ થાય છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$3^{rd}$ કક્ષા માટે,$n = 3$,તેથી તરંગોની સંખ્યા $3$ છે.

(A) હાઈડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $r_2 = x$,તેથી $r_n = k \cdot n^2$.
આમ,$x = k \cdot (2)^2 = 4k$,જેનો અર્થ છે કે $k = x/4$.
$4^{th}$ કક્ષા માટે,$r_4 = k \cdot (4)^2 = 16k = 16 \cdot (x/4) = 4x$.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,$mvr_n = n \frac{h}{2 \pi}$.
$4^{th}$ કક્ષા માટે,$mvr_4 = 4 \frac{h}{2 \pi}$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્વોન્ટાઈઝેશન શરતને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{h}{mv} = \frac{2 \pi r_4}{n}$.
$n = 4$ અને $r_4 = 4x$ મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{2 \pi (4x)}{4} = 2 \pi x$ મળે છે.

(C) બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=1$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
$n=2$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$.
$n=3$ માટે,$E_3 = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$.
$1^{st}$ અને $2^{nd}$ કક્ષા વચ્ચેનો તફાવત $\Delta E_{2-1} = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
$2^{nd}$ અને $3^{rd}$ કક્ષા વચ્ચેનો તફાવત $\Delta E_{3-2} = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.4) = 1.89 \ eV$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_{2-1}}{\Delta E_{3-2}} = \frac{10.2}{1.89} \approx 5.4$ થાય.

(D) $He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
તરંગ સંખ્યા માટેનું રીડબર્ગ સૂત્ર $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ધરાવતા સ્તર $n_1 = 1$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\max})$ માટે,ઉર્જાનો તફાવત ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ,જે $n_2 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda_{\max}} = R (2)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = 4R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R$.
તેથી,$\lambda_{\max} = \frac{1}{3R}$.

(B) રિડબર્ગ સૂત્ર $\bar{v} = \frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $n_2 > n_1$.
આપેલ છે કે ઉર્જા સ્તરોનો સરવાળો $n_2 + n_1 = 4$ અને તફાવત $n_2 - n_1 = 2$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $n_2 = 3$ અને $n_1 = 1$ મળે છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
રિડબર્ગ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\bar{v} = R \times (2)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$\bar{v} = 4R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{32R}{9}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$2n_2 + 3n_1 = 18$ $(I)$
$2n_2 - 3n_1 = 6$ $(II)$
સમીકરણ $(I)$ અને $(II)$ નો સરવાળો કરતા:
$4n_2 = 24 \implies n_2 = 6$ $(III)$
સમીકરણ $(III)$ ની કિંમત $(II)$ માં મૂકતા:
$2(6) - 3n_1 = 6 \implies 12 - 3n_1 = 6 \implies 3n_1 = 6 \implies n_1 = 2$
આમ,સંક્રમણ $6 \rightarrow 2$ કક્ષા વચ્ચે થાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{Total photons} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
$= \frac{(6 - 2)(6 - 2 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $Be^{3+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ માટે,$E_2 = -13.6 \times \frac{4^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{16}{4} = -13.6 \times 4 = -54.4 \ eV$.
વિભાજન ઉર્જા (અથવા ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી આયનીકરણ ઉર્જા) એ ઇલેક્ટ્રોનને $n = 2$ થી $n = \infty$ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
$E_{separation} = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-54.4 \ eV) = 54.4 \ eV$.

(B) $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો સમયગાળો $(T)$ સૂત્ર $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બે અલગ-અલગ સ્પીસીઝ માટે સમયગાળાનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{n_1^3}{Z_1^2} \times \frac{Z_2^2}{n_2^3}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની બીજી કક્ષા $(n_1 = 2, Z_1 = 1)$ અને $He^{+}$ આયનની ત્રીજી કક્ષા $(n_2 = 3, Z_2 = 2)$ માટે:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2^3}{1^2} \times \frac{2^2}{3^3} = \frac{8}{1} \times \frac{4}{27} = \frac{32}{27}$.
આમ,ગુણોત્તર $32/27$ છે.

(A) જરૂરી ઉર્જા એ $n=4$ અવસ્થા અને ધરા અવસ્થા $(n=1)$ વચ્ચેની ઉર્જાનો તફાવત છે.
ઉર્જા તફાવત માટેનું સૂત્ર: $E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$ છે.
$He^{+}$ માટે,$Z = 2$. ધરા અવસ્થા $n_1 = 1$ છે. બામર શ્રેણીની બીજી રેખા $n=4$ થી $n=2$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોનને $n=4$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવો પડે.
$E = 13.6 \times 2^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2}) \ eV$
$E = 13.6 \times 4 \times (1 - \frac{1}{16}) \ eV$
$E = 54.4 \times (\frac{15}{16}) \ eV$
$E = 51 \ eV$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$H$ પરમાણુ $(Z=1)$ માટે બીજી ક્વોન્ટમ અવસ્થા $(n=2)$: $E_2 = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \ eV$.
$He^{+}$ આયન $(Z=2)$ માટે ત્રીજી ક્વોન્ટમ અવસ્થા $(n=3)$: $E_3 = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \ eV$.
બંનેની સરખામણી કરતા: $E_3 = E_2 \times \frac{4/9}{1/4} = E_2 \times \frac{16}{9}$.
તેથી,સાચો જવાબ $-\frac{16}{9}E_2$ છે.

(C) આપાત વિકિરણની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc = 12400\, eV\, \mathring{A}$ અને $\lambda = 250\, nm = 2500\, \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{12400}{2500} = 4.96\, eV$ મળે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + K.E._{max}$,જ્યાં $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે અને $K.E._{max}$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0.5\, V$ છે,તેથી $K.E._{max} = 0.5\, eV$.
કિંમતો મૂકતા: $4.96 = W_0 + 0.5$.
તેથી,$W_0 = 4.96 - 0.5 = 4.46\, eV$,જે આશરે $4.5\, eV$ છે.

(D) વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે કારણ કે જેમ કૃષ્ણ પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,તેમ વિકિરણની તીવ્રતા વધે છે અને ઉત્સર્જન વક્રની ટોચ ટૂંકી તરંગલંબાઇ (ઊંચી આવૃત્તિ) તરફ ખસે છે.
વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન પણ ખોટું છે કારણ કે $Rydberg$ અચળાંક $(R_H)$ નો એકમ વ્યસ્ત લંબાઈ છે,એટલે કે $cm^{-1}$ અથવા $m^{-1}$.

(D) લાયમન શ્રેણી માટે,ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ પર મળે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે: $\frac{1}{A} = R(1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$,તેથી $R = \frac{1}{A}$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,લાંબી તરંગલંબાઇ પ્રથમ રેખા પર મળે છે,જ્યાં $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$.
$He^{+}$ $(Z=2)$ માટે: $\frac{1}{\lambda} = R(2)^2 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = 4R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = 4R \left( \frac{16-9}{144} \right) = 4R \left( \frac{7}{144} \right) = \frac{7R}{36}$.
$R = \frac{1}{A}$ મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = \frac{7}{36A}$.
તેથી,$\lambda = \frac{36A}{7}$.

$(B)$ હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $r = 211.6 \text{ pm} = 2.116 \mathring{A}$ અને હાઇડ્રોજન માટે $Z = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $2.116 = 0.529 \times n^2$.
$n^2 = \frac{2.116}{0.529} = 4$.
$n = 2$.
ઇલેક્ટ્રોન ઊંચી કક્ષામાંથી $n = 2$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરતું હોવાથી, આ બામર શ્રેણી છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$Li^{2+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_2 = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV$
$E_2 = -13.6 \times \frac{9}{4} \ eV$
$E_2 = -13.6 \times 2.25 \ eV = -30.6 \ eV$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = W + K.E.$
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + \frac{1}{2}mv^2$
ગતિઊર્જાના પદ માટે પુનઃગોઠવણ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2}mv^2 = hc \left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}\right) = hc \left(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}\right)$
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{2hc}{m} \left(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}\right)$
$v = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}\right)}$