Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(A) $n_1 = 1$ થી $n_2 = 2$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો ફેરફાર:
$\Delta E = - 2.0 \times 10^{-18} \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2} \right)$
$\Delta E = - 2.0 \times 10^{-18} \times \left( - \frac{3}{4} \right) = 1.5 \times 10^{-18} \, J$
સંબંધ $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,તરંગલંબાઇ $\lambda$:
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.5 \times 10^{-18}}$
$\lambda = 1.325 \times 10^{-7} \, m$

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $(E)$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ નો સરવાળો છે.
$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $P.E. = -\frac{e^2}{r}$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2} \frac{e^2}{r}$ છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા $E = K.E. + P.E. = \frac{e^2}{2r} - \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{2r}$ થાય.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E = h \nu$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પ્લાન્કનો અચળાંક,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
આવૃત્તિ,$\nu = 2.47 \times 10^{15} \ Hz$
કિંમતો મૂકતા:
$E = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (2.47 \times 10^{15} \ s^{-1})$
$E = 16.3761 \times 10^{-19} \ J$
$E = 1.63761 \times 10^{-18} \ J \approx 1.640 \times 10^{-18} \ J$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
પ્રથમ ઉત્સર્જન રેખા $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$H$ પરમાણુ માટે,$Z = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = R (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$.
$\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5}{36} R$.

(A) આવૃત્તિ $\nu$ શોધવાનું સૂત્ર $\nu = R_{\infty} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
Balmer શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3, 4, 5, \dots, \infty$ છે.
સીમાંત રેખા $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = 3.29 \times 10^{15} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times \frac{1}{4} = 8.225 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(C) ઉત્સર્જન રેખા માટે,$n_f < n_i$.
તરંગ સંખ્યા માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\bar{\nu} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ છે.
પરમાણ્વીય હાઇડ્રોજન માટે,$Z = 1$,$n_i = 8$,અને $n_f = n$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = R_H \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{8^2} \right] = R_H \left( \frac{1}{n^2} \right) - \frac{R_H}{64}$.
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \bar{\nu}$ અને $x = \frac{1}{n^2}$:
ઢાળ $m = R_H$ અને અંતઃખંડ $c = -\frac{R_H}{64}$ મળે છે.
આમ,આલેખ $R_H$ ઢાળ સાથે સુરેખ હશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ છે: $K.E. = h\nu - h\nu_0$,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $h\nu_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
$1$. $K.E.$ અને પ્રકાશની ઊર્જા $(h\nu)$ વચ્ચેનો સંબંધ એક સીધી રેખા છે જે ધન આંતરછેદ ધરાવે છે,જે આલેખ $(A)$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે,આવૃત્તિ પર નહીં (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિથી ઉપર),તેથી આલેખ $(B)$ સાચો છે.
$3$. $K.E.$ અને આવૃત્તિ $(
u)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K.E. = h\nu - h\nu_0$ છે. આ એક સીધી રેખા છે જે $K.E.$ અક્ષ પર ઋણ આંતરછેદ ધરાવે છે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. તેથી,આલેખ $(C)$ ખોટો છે.
$4$. $K.E.$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે,તેથી આલેખ $(D)$ સાચો છે.
આમ,જે આલેખ સંબંધ દર્શાવતો નથી તે $(C)$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n = 1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ છે,અને બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ છે.
સૂત્રમાં $Z = 2$ અને $n = 3$ મૂકતા:
$E_3 = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} \ eV$
$E_3 = -13.6 \times \frac{4}{9} \ eV$
$E_3 = -13.6 \times 0.4444 \ eV = -6.04 \ eV$.

(A) તરંગલંબાઇ $\lambda = 900 \ nm = 9 \times 10^{-7} \ m$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે $n_1 = 3$ છે. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{9 \times 10^{-7}} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આ ગણતરી દર્શાવે છે કે $900 \ nm$ એ ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવે છે,જે પાશ્ચન શ્રેણી $(n_1 = 3)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4000 \times 10^{-10}} = 4.9695 \times 10^{-19} \, J$.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-31} \times (6 \times 10^5)^2 = 1.62 \times 10^{-19} \, J$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = \phi + K.E.$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\phi = E - K.E. = 4.9695 \times 10^{-19} - 1.62 \times 10^{-19} = 3.3495 \times 10^{-19} \, J$.
વર્ક ફંક્શનને $eV$ માં ફેરવવા માટે,તેને ઈલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ વડે ભાગતા:
$\phi = \frac{3.3495 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 2.093 \, eV \approx 2.1 \, eV$.

(C) તરંગ સંખ્યાનું સૂત્ર $\bar{\nu} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
કોઈપણ શ્રેણી માટે,$\Delta \bar{\nu} = \bar{\nu}_{\max} - \bar{\nu}_{\min} = \frac{R_H}{(n_1+1)^2}$ થાય.
લાયમેન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$,તેથી $\Delta \bar{\nu}_{\text{Lyman}} = \frac{R_H}{4}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$,તેથી $\Delta \bar{\nu}_{\text{Balmer}} = \frac{R_H}{9}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\Delta \bar{\nu}_{\text{Lyman}}}{\Delta \bar{\nu}_{\text{Balmer}}} = \frac{9}{4}$ થાય.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,કક્ષકમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $(E)$ અચળ હોય છે અને તે માત્ર મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
$E = -K.E = \frac{P.E}{2}$,જે સૂચવે છે કે $|P.E| = 2 \times |K.E|$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$1s$ કક્ષક માટે સંભાવના ઘનતા $\psi^2 = \frac{1}{\pi a_0^3} e^{-2r/a_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ મૂલ્ય $r = 0$ (કેન્દ્ર) પર મહત્તમ છે,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રથી કોઈપણ અંતરે $r$ મળી શકે છે,જેમાં $2a_0$ નો પણ સમાવેશ થાય છે,જોકે સંભાવના ઘનતા અંતર સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
ચોક્કસ કક્ષકમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા અચળ હોય છે અને તે કેન્દ્રથી તેના ત્વરિત અંતર સાથે બદલાતી નથી. તેથી,એવું વિધાન કે કુલ ઊર્જા $a_0$ પર મહત્તમ હોય છે તે ખોટું છે.

(A) વર્ણપટ શ્રેણી માટે સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,$n_2 = \infty$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = \frac{R_H}{n_1^2}$.
આમ,$\lambda = \frac{n_1^2}{R_H}$.
બે શ્રેણીઓ કે જેમના નીચલા ઉર્જા સ્તરો $n_1$ અને $n_2$ છે,તેમની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{n_2^2}{n_1^2} = 9$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{n_2}{n_1} = 3$.
લાયમેન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_2 = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{3^2}{1^2} = 9$ છે. આ શ્રેણીઓ લાયમેન અને પાશ્ચન છે.

(A) ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ મળે છે.
અહીં $\Delta E$ ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ $(eV)$ માં છે,તેથી $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^{8} \ m/s$,અને $1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$ લેતા,
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\Delta E \times 1.602 \times 10^{-19}} \ m$.
$\lambda \approx \frac{12395}{\Delta E} \times 10^{-10} \ m$.

(A) $H$ પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $\nu = R_H c (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે $n_1 = 1$. ધારો કે સંક્રમણ $n_2 = n$ છે. તો $\nu = R_H c (1 - \frac{1}{n^2})$.
શરત $(i)$ મુજબ: $\nu(n \to 1) = \nu(n' \to 1) + \nu(n'' \to 2)$.
રીડબર્ગ સૂત્ર મૂકતા: $(1 - \frac{1}{n^2}) = (1 - \frac{1}{n'^2}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{n''^2})$.
$n=3$ માટે,$\nu(3 \to 1) = R_H c (1 - \frac{1}{9}) = \frac{8}{9} R_H c$.
$n=3$ માટે શરતો તપાસતા:
$(i)$ $\nu(3 \to 1) = \nu(2 \to 1) + \nu(3 \to 2) = R_H c (1 - \frac{1}{4}) + R_H c (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = R_H c (1 - \frac{1}{9}) = \frac{8}{9} R_H c$. આ સાચું છે.
આમ,આ સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$ ને અનુરૂપ છે.

(B) બ્રેકેટ શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n = 5$ થી $n = 4$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ રેખા ઉત્સર્જિત કરવા માટે,હાઇડ્રોજન પરમાણુને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n = 1)$ માંથી $n = 5$ સ્ટેટમાં ઉત્તેજિત કરવો પડે.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_5 - E_1$ છે.
$E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E_1 = -13.6 \ eV$
$E_5 = -13.6 / 25 = -0.544 \ eV$.
તેથી,$\Delta E = -0.544 - (-13.6) = 13.056 \ eV \approx 13.06 \ eV$.

(B) લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોથી $n_1 = 1$ પર થાય છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ માટે,ઉર્જાનો તફાવત ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ,જે $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \cdot Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$He^+$ આયન માટે,$Z = 2$,તેથી $Z^2 = 4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \times 4 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 4R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R$.
તેથી,$\lambda = \frac{1}{3R}$.

(C) $H$ પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે ઊર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ ઊર્જા તફાવત સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$.
તેથી,મોટી $\Delta E$ નાની $\lambda$ ને અનુરૂપ છે.
ઊર્જા તફાવતોની સરખામણી કરતા: $\Delta E_1 > \Delta E_2 > \Delta E_3 > \Delta E_4$.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ક્રમ: $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \lambda_4$ છે.

(C) બોહરના પરમાણુ મોડેલે સૂચવ્યું હતું કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ ચોક્કસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે. જો કે,હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત અને દ્રવ્યની તરંગ-કણ દ્વૈતતા દ્વારા આ ખોટું સાબિત થયું હતું,જે સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન નિશ્ચિત વર્તુળાકાર માર્ગોને બદલે ત્રિ-પરિમાણીય કક્ષકોમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,આ વિધાન કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે તે આધુનિક ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સંદર્ભમાં ખોટું માનવામાં આવે છે.

(C) કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_{2H}$ માટે,$n=2, Z=1 \implies r_{2H} = 0.529 \times 4 = 2.116 \ \mathring{A}$.
$r_{1He^{+}}$ માટે,$n=1, Z=2 \implies r_{1He^{+}} = 0.529 \times \frac{1}{2} = 0.2645 \ \mathring{A}$.
$r_{1H}$ માટે,$n=1, Z=1 \implies r_{1H} = 0.529 \ \mathring{A}$.
આમ,$r_{2H} > r_{1H} > r_{1He^{+}}$,તેથી વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
આયનીકરણ ઉર્જા $I.E. = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I.E._{H} (Z=1, n=1) = 13.6 \ \text{eV}$.
$I.E._{He^{+}} (Z=2, n=1) = 13.6 \times 4 = 54.4 \ \text{eV}$.
$I.E._{Li^{+2}} (Z=3, n=1) = 13.6 \times 9 = 122.4 \ \text{eV}$.
આમ,$I.E._{Li^{+2}} > I.E._{He^{+}} > I.E._{H}$,તેથી વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
કુલ ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ છે.
$E_{1H} = -13.6 \ \text{eV}$,$E_{2H} = -3.4 \ \text{eV}$,$E_{3H} = -1.51 \ \text{eV}$.
કારણ કે $-13.6 < -3.4 < -1.51$,તેથી $E_{1H} < E_{2H} < E_{3H}$ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે ઇલેક્ટ્રોન $n_1$ થી $n_2$ અવસ્થામાં $E = E_{n_2} - E_{n_1}$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનનું શોષણ કરીને ઉત્તેજિત થાય છે.
જ્યારે $n_2$ થી ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માં પાછા ફરે ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની કુલ સંખ્યા $\frac{n_2(n_2-1)}{2} = 10$ છે.
$n_2$ માટે ઉકેલતા: $n_2^2 - n_2 - 20 = 0 \implies (n_2-5)(n_2+4) = 0$. તેથી $n_2 = 5$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E_{incident} = E_5 - E_{n_1}$ છે.
$7$ સંક્રમણોની ઉર્જા આપાત ફોટોન કરતા વધારે છે. આ સંક્રમણો $n > n_1$ સ્તરોથી $n \le n_1$ સ્તરો સુધીના હોવા જોઈએ.
આપાત ફોટોન કરતા ઓછી અથવા સમાન ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનની સંખ્યા $10 - 7 = 3$ છે. આ સંક્રમણો $n \le n_1$ સ્તરોથી $n=1$ સુધીના છે.
આવા સંક્રમણોની સંખ્યા $\frac{n_1(n_1-1)}{2} = 3$ છે.
$n_1$ માટે ઉકેલતા: $n_1^2 - n_1 - 6 = 0 \implies (n_1-3)(n_1+2) = 0$. તેથી $n_1 = 3$.
$n_1 = 3$ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન શરૂઆતમાં $2^{nd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં હતો.

(D) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(mvr)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$.
$CGS$ એકમમાં પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ નું મૂલ્ય $6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $mvr = \frac{2 \times 6.626 \times 10^{-27}}{2 \times 3.14159}$.
$mvr = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{3.14159} \approx 2.109 \times 10^{-27} \ erg \ s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ ને અનુરૂપ છે (કારણ કે ભૂમિ અવસ્થા $n=1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત $n=2$,દ્વિતીય $n=3$ અને ત્રીજી $n=4$ છે).
$E_4 = -13.6 \times \frac{2^2}{4^2} = -13.6 \times \frac{4}{16} = -13.6 \times 0.25 = -3.4 \, eV$.
સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ એ કુલ ઊર્જા $(E)$ સાથે $P.E. = 2 \times E$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$P.E. = 2 \times (-3.4 \, eV) = -6.8 \, eV$.

(B) $He^{\oplus}$ $(Z=2)$ માં ત્રીજા બામર સંક્રમણની ઉર્જા $n=5$ થી $n=2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$\Delta E = 13.6 \times Z^{2} \times (\frac{1}{n_1^{2}} - \frac{1}{n_2^{2}}) = 13.6 \times 4 \times (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{5^{2}}) = 54.4 \times 0.21 = 11.424 \, eV$.
$(A)$ $He^{\oplus}$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત ઉર્જા ($n=1$ થી $n=2$): $\Delta E = 40.8 \, eV$.
$(B)$ $Li^{2+}$ $(Z=3)$ ની ત્રીજી વિભાજન ઉર્જા ($n=4$ થી $n=\infty$): $\Delta E = 13.6 \times 9 \times (\frac{1}{16}) = 7.65 \, eV$.
$(C)$ $H$ પરમાણુની ચોથી ઉત્તેજિત ઉર્જા ($n=1$ થી $n=5$): $\Delta E = 13.056 \, eV$.
$(D)$ $Be^{3+}$ $(Z=4)$ ની આયનીકરણ ઉર્જા: $\Delta E = 217.6 \, eV$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$7.65 \, eV < 11.424 \, eV$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) વર્ણપટની રેખાની આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર: $v = RC Z^{2} \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_{1} = 3$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે. પ્રથમ રેખા $n_{2} = 4$ થી $n_{1} = 3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$Be^{+3}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે. આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = RC \times (4)^{2} \times \left( \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} \right)$
$v = RC \times 16 \times \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)$
$v = 16 RC \times \left( \frac{16 - 9}{144} \right)$
$v = 16 RC \times \frac{7}{144}$
$v = \frac{7 RC}{9}$

(D) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$.
$He^{+}$ માટે ત્રીજી રેખા,$n_2 = 5$ અને $Z = 2$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_1} = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = \frac{21R}{25}$.
$Li^{2+}$ માટે પ્રથમ રેખા,$n_2 = 3$ અને $Z = 3$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_2} = 9R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{4}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{25}{21R} \times \frac{5R}{4} = \frac{125}{84}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ ઉર્જા સ્તરો એકબીજાની નજીક આવે છે.
બે ક્રમિક સ્તરો $n$ અને $n+1$ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})$ દ્વારા મળે છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ $(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})$ પદ ઘટે છે,જેના પરિણામે ઉર્જા તફાવત ઘટે છે.
તેથી,$n$ વધવાની સાથે ઉર્જા તફાવત ઘટે છે.

(B) હીલિયમ $(He)$ નો વર્ણપટ $Li^{+}$ જેવો સમાન દેખાય છે કારણ કે બંને $2$-ઈલેક્ટ્રોન ધરાવતી પ્રણાલીઓ છે. હીલિયમમાં $2$ ઈલેક્ટ્રોન હોય છે,અને લિથિયમ આયન $(Li^{+})$ માં પણ $3 - 1 = 2$ ઈલેક્ટ્રોન હોય છે. બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,સમાન સંખ્યામાં ઈલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે વર્ણપટ સમાન હોય છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $He^{+}$ માટે,$Z = 2$,તેથી $E_n = -13.6 \times \frac{4}{n^2} = -\frac{54.4}{n^2} \ eV$.
ઇલેક્ટ્રોનને આયનીકૃત કરવા માટે,પૂરી પાડવામાં આવતી ઉર્જા આયનીકરણ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ,જે $|E_n| = \frac{54.4}{n^2} \ eV$ છે.
આપેલ છે કે $2.5 \ eV$ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન સાથેની અથડામણ આયનીકરણનું કારણ બને છે,તેથી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $-2.5 \ eV$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આમ,$\frac{54.4}{n^2} \leq 2.5$.
$n^2 \geq \frac{54.4}{2.5} = 21.76$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\sqrt{21.76} \approx 4.66$ છે.
તેથી,$n$ માટે ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક મૂલ્ય $5$ છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનું $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ વેગ સાથેનું કોણીય વેગમાન $J = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
$v = \frac{J}{mr}$ ને $KE$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} m \left( \frac{J}{mr} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{J^2}{m^2r^2} \right) = \frac{J^2}{2mr^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) $H$-જેવા પરમાણુઓની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
$He^{+}$ $(Z=2)$ ની બામર શ્રેણીની ટૂંકી તરંગલંબાઈ $x$ માટે: $n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$.
$\frac{1}{x} = R(2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = 4R \left[ \frac{1}{4} \right] = R$
$\Rightarrow x = \frac{1}{R}$
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ ની પાશ્ચન શ્રેણીની લાંબી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે: $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$.
$\frac{1}{\lambda} = R(3)^2 \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = 9R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = 9R \left[ \frac{16-9}{144} \right] = 9R \left[ \frac{7}{144} \right] = \frac{7R}{16}$
$\Rightarrow \lambda = \frac{16}{7R} = \frac{16x}{7}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષા માટે કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto r^{3/2}$.
આપેલ અંતર $r_1 = r$ અને $r_2 = 4r$ માટે,તેમના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{T_1}{T_2} = (\frac{r_1}{r_2})^{3/2} = (\frac{r}{4r})^{3/2} = (\frac{1}{4})^{3/2} = \frac{1}{8}$.
તેથી,તેમના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $1:8$ છે.

(C) કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $r \propto n^2$ હોવાથી,$A \propto (n^2)^2 = n^4$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{1}$,તેથી $(\frac{n_1}{n_2})^4 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_1}{n_2} = (4)^{1/4} = \sqrt{2}$.
કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની આવૃત્તિ $f \propto \frac{1}{n^3}$ છે.
તેથી,$\frac{f_1}{f_2} = (\frac{n_2}{n_1})^3 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2\sqrt{2}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં ઇલેક્ટ્રોનના ઉર્જા સ્તરના સંક્રમણને આધારે રેખાઓની ઘણી શ્રેણીઓ હોય છે.
શ્રેણીઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. લાયમેન શ્રેણી: $n_1 = 1$ (અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગ)
$2$. બામર શ્રેણી: $n_1 = 2$ (દ્રશ્યમાન વિભાગ)
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: $n_1 = 3$ (ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ)
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: $n_1 = 4$ (ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ)
$5$. ફંડ શ્રેણી: $n_1 = 5$ (ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ)
તેથી,દ્રશ્યમાન વિભાગમાં જોવા મળતી શ્રેણી બામર શ્રેણી છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{v_0}{n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ એ અચળાંક છે.
આનો અર્થ એ છે કે વેગ એ કક્ષાના નંબર $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v \propto \frac{1}{n}$.
$1^{st}$,$2^{nd}$ અને $3^{rd}$ કક્ષા માટે,વેગનો ગુણોત્તર:
$v_1 : v_2 : v_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) Balmer શ્રેણી $(n_1 = 2)$ માટે Rydberg સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$H_{\alpha}$ રેખા માટે,$n_2 = 3$: $\frac{1}{X} = RZ^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = RZ^2 \left( \frac{5}{36} \right) \implies RZ^2 = \frac{36}{5X}$.
$H_{\beta}$ રેખા માટે,$n_2 = 4$: $\frac{1}{\lambda_{\beta}} = RZ^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = RZ^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
$RZ^2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{\lambda_{\beta}} = \left( \frac{36}{5X} \right) \left( \frac{3}{16} \right) = \frac{108}{80X}$.
તેથી,$\lambda_{\beta} = X \left( \frac{80}{108} \right) \ \mathring{A}$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $(I.P.)$ નું સૂત્ર $E_n = -13.6 \times Z^2 / n^2 \ eV$ છે. ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$I.P. = 13.6 \times Z^2 = 36 \ eV$.
કોઈપણ અવસ્થા $n$ માટે ઊર્જા $E_n = -36 / n^2 \ eV$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત ઊર્જા એ ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ થી ત્રીજા ઊર્જા સ્તર $(n=3)$ સુધીના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ત્રીજા સ્તરની ઊર્જા $E_3 = -36 / 3^2 = -36 / 9 = -4 \ eV$ છે.
ભૂમિ અવસ્થાની ઊર્જા $E_1 = -36 / 1^2 = -36 \ eV$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત ઊર્જા $\Delta E = E_3 - E_1 = -4 - (-36) = 32 \ eV$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે,કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=1, 2, 3, 4$ માટે,ઉર્જાના મૂલ્યો $E_1 = -13.6 Z^2, E_2 = -3.4 Z^2, E_3 = -1.51 Z^2, E_4 = -0.85 Z^2$ છે.
ઉર્જાના તફાવતોની ગણતરી કરતા:
$(E_2 - E_1) = 10.2 Z^2$
$(E_3 - E_2) = 1.89 Z^2$
$(E_4 - E_3) = 0.66 Z^2$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $(E_2 - E_1) > (E_3 - E_2) > (E_4 - E_3)$.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $x$ માંથી નીચલા ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા દરેક સ્તરથી શક્ય સંક્રમણોના સરવાળા દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
$x$ ઉર્જા સ્તરો ધરાવતા પરમાણુ માટે,સંક્રમણો $x$ થી $(x-1), (x-2), \dots, 1$ સુધીના હોય છે.
રેખાઓની સંખ્યા આ સરવાળા દ્વારા મળે છે: $(x-1) + (x-2) + (x-3) + \dots + 2 + 1$.
આ પ્રથમ $(x-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાને સમાન છે,જે $1 + 2 + 3 + \dots + (x - 1)$ છે.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી નીચલા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જન રેખાઓની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$n = 4$ થી નીચલા ઉર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ માટે,શક્ય ઉત્સર્જન રેખાઓની સંખ્યા:
$\text{રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
શક્ય સંક્રમણો છે:
$4 \to 3, 4 \to 2, 4 \to 1, 3 \to 2, 3 \to 1, 2 \to 1$.
આમ,કુલ $6$ શક્ય ઉત્સર્જન રેખાઓ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપનું સૂત્ર: $v_n = v_1 \times \frac{Z}{n}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
પ્રથમ કક્ષામાં $(n = 1)$,ઝડપ $v_1 = x$ છે.
ત્રીજી કક્ષામાં $(n = 3)$,ઝડપ $v_3 = v_1 \times \frac{1}{3} = \frac{x}{3}$ થશે.

(A) લાયમન શ્રેણી $n_1 = 1$ પર સમાપ્ત થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે. $1^{st}$ લાયમન રેખા $n_2 = 2 \rightarrow n_1 = 1$ છે. $3^{rd}$ લાયમન રેખા $n_2 = 4 \rightarrow n_1 = 1$ છે.
આપેલ સંક્રમણ $3^{rd}$ લાયમન રેખા $(n_2 = 4)$ થી $1^{st}$ લાયમન રેખા $(n_2 = 2)$ સુધીનું છે:
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
હાઇડ્રોજન માટે,$Z = 1$,$n_1 = 2$,અને $n_2 = 4$:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4-1}{16} \right] = R \left[ \frac{3}{16} \right]$
$\lambda = \frac{16}{3R}$

(C) એક મોલ ફોટોન માટે ઊર્જા તફાવત $\Delta E = \frac{N_A hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\lambda = 121.5 \ nm = 121.5 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ છે.
$\Delta E = \frac{6.022 \times 10^{23} \times 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{121.5 \times 10^{-9}} \ J/mol$.
ગણતરી કરતા,$\Delta E \approx 984,000 \ J/mol$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $982 \ kJ/mol$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h v = h v_0 + K.E.$
તેથી,$K.E. = h v - h v_0$.
આવૃત્તિ $v_1$ અને $v_2$ માટે ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:2$ આપેલ છે:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{h v_1 - h v_0}{h v_2 - h v_0} = \frac{1}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(h v_1 - h v_0) = 1(h v_2 - h v_0)$
$2h v_1 - 2h v_0 = h v_2 - h v_0$
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0$ માટે ગોઠવતા:
$2h v_1 - h v_2 = 2h v_0 - h v_0$
$v_0 = 2v_1 - v_2$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ: $hv = hv_0 + \frac{1}{2}mv^2$
અહીં $v = \frac{c}{\lambda}$ અને $v_0 = \frac{c}{\lambda_0}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)$
વેગ $v^2 = \frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)$
તેથી,$v = [\frac{2hc}{m} \{ \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \}]^{1/2}$

(B) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 4500 \ \mathring{A} = 4.5 \times 10^{-7} \ m$.
બલ્બનો પાવર $P = 150 \ W = 150 \ J/s$.
પ્રકાશ ઉત્સર્જનની કાર્યક્ષમતા = $8 \ \%$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત પ્રકાશ ઊર્જા $E = 150 \times \frac{8}{100} = 12 \ J/s$.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $n$ છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$.
કુલ ઊર્જા $E = n \times \frac{hc}{\lambda} \implies n = \frac{E \lambda}{hc}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{12 \times 4.5 \times 10^{-7}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 2.72 \times 10^{19}$.

(C) બલ્બનો પાવર $P = 200 \ W = 200 \ J \ s^{-1}$ છે.
પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 200 \ nm = 2 \times 10^{-7} \ m$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી કુલ ઉર્જા $P = n \times \frac{hc}{\lambda}$ થાય.
તેથી,$n = \frac{P \times \lambda}{h \times c} = \frac{200 \times 2 \times 10^{-7}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 2.012 \times 10^{20}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(D) આઇન્સ્ટાઇન ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર: $E = \frac{N_A hc}{\lambda}$.
આપેલ છે: $E = 1.995 \times 10^{12} \ erg \ mol^{-1} = 1.995 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$ (કારણ કે $1 \ J = 10^7 \ erg$).
$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ લેતા:
$\lambda = \frac{N_A hc}{E} = \frac{6.022 \times 10^{23} \times 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.995 \times 10^5}$.
$\lambda \approx 6 \times 10^{-7} \ m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $6 \times 10^{-7} \ m = 6000 \ \mathring{A}$.

(A) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = h \nu$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $E_1 = h \times (2 \times 10^{12}) = E$.
બીજા ફોટોન માટે,$E_2 = h \times (4 \times 10^{12})$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{h \times 4 \times 10^{12}}{h \times 2 \times 10^{12}} = 2$.
તેથી,$E_2 = 2E$.

(D) થોમસનના પરમાણ્વીય નમૂના મુજબ,પરમાણુ એ ધન વીજભારિત ગોળો છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન તરબૂચના બીજની જેમ અથવા પુડીંગમાં રહેલા પ્લમની જેમ ગોઠવાયેલા હોય છે. આ સામ્યતાઓને કારણે,તેને $Plum \ pudding$ મોડેલ,$Raisin \ pudding$ મોડેલ અથવા $Watermelon$ મોડેલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.