Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(A) હાઇડ્રોજનની આયનીકરણ ઉર્જા $(IE)_{H} = 13.6 \ eV = X$ છે.
હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV = -X \times \frac{Z^2}{n^2}$ છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
$2^{nd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n_1 = 3$ અને $5^{th}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n_2 = 6$.
ઉત્તેજન માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = X \times 3^2 \times (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{6^2}) = 9X \times (\frac{1}{9} - \frac{1}{36}) = \frac{3X}{4}$.

(A) હાઈડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = v_0 \times \frac{Z}{n}$,જ્યાં $v_0$ એ $H$ પરમાણુની $1^{st}$ કક્ષામાં વેગ છે $(Z=1, n=1)$.
$H$ પરમાણુ માટે આપેલ છે: $v_1 = V = v_0 \times \frac{1}{1} = v_0$.
$Be^{3+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ અને કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 4$ છે.
તેથી,વેગ $v_2 = v_0 \times \frac{Z}{n} = V \times \frac{4}{4} = V$.
આમ,$Be^{3+}$ ની $4^{th}$ કક્ષામાં વેગ $V$ છે.

(A) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $n_1 = n$ અને $n_2 = n+1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = R Z^2 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$.
શરત $n >> 1$ આપેલ હોવાથી,આપણે $2n+1 \approx 2n$ અને $(n+1)^2 \approx n^2$ લઈ શકીએ.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} \approx R Z^2 \left( \frac{2n}{n^2 \cdot n^2} \right) = \frac{2R Z^2}{n^3}$.
$v = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,$v = \frac{2cR Z^2}{n^3}$ મળે છે.

(C) $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $(E_n)$ નું સૂત્ર $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ છે,જ્યાં $E_1$ એ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ ની ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $E_4 = -25 \, a.u.$,તેથી $-25 = \frac{E_1}{4^2}$.
આથી,$E_1 = -25 \times 16 = -400 \, a.u.$
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ અને કુલ ઉર્જા $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PE = 2 \times E$ છે.
તેથી,ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$PE_1 = 2 \times E_1 = 2 \times (-400) = -800 \, a.u.$

(B) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો સમયગાળો $(T)$ એ $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ ($H$-atom) માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે,તેથી $T \propto n^3$.
પ્રથમ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માટે,$T_1 \propto (1)^3 = 1$.
ત્રીજી કક્ષા $(n_2 = 3)$ માટે,$T_2 \propto (3)^3 = 27$.
તેથી,સમયગાળાનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{27}$ એટલે કે $1 : 27$ થશે.

(A) પરમાણુમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા (આયનીકરણ ઊર્જા) $13.6 \ eV$ છે.
આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન આ ઊર્જા કરતાં $2$ ગણી ઊર્જાનું શોષણ કરે છે,તેથી કુલ શોષાયેલી ઊર્જા $2 \times 13.6 \ eV = 27.2 \ eV$ છે.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $\text{ગતિ ઊર્જા} = \text{કુલ શોષાયેલી ઊર્જા} - \text{આયનીકરણ ઊર્જા}$.
$\text{ગતિ ઊર્જા} = 27.2 \ eV - 13.6 \ eV = 13.6 \ eV$.

(C) આપેલ છે કે $P.E. = -20 \ eV/atom$.
$T.E. = \frac{P.E.}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \ eV/atom$.
$I.P.$ (આયનીકરણ પોટેન્શિયલ) એ $T.E.$ નું વિરોધી મૂલ્ય છે,એટલે કે $I.P. = -T.E. = -(-10) = 10 \ eV/atom$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $n^{th}$ કક્ષામાં $V \propto \frac{Z}{n}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$He^{+}$ માટે,$Z = 2$ અને $n = 2$. તેથી,$V_1 \propto \frac{2}{2} = 1$.
$B^{4+}$ માટે,$Z = 5$ અને $n = 3$. તેથી,$V_2 \propto \frac{5}{3}$.
ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}$ થાય.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E = h \nu$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ ઊર્જા છે,$h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,અને $\nu$ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે $E = 5.0 \times 10^{-5} \ erg$ અને $h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \ sec$ ($CGS$ એકમમાં).
આવૃત્તિ માટે સૂત્ર: $\nu = \frac{E}{h}$.
$\nu = \frac{5.0 \times 10^{-5} \ erg}{6.626 \times 10^{-27} \ erg \ sec} \approx 7.54 \times 10^{21} \ sec^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) શ્રેણી મર્યાદા એ શ્રેણીની છેલ્લી રેખા છે,એટલે કે $n_2 = \infty$.
તરંગ સંખ્યા માટેનું સૂત્ર $\bar{v} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
શ્રેણી મર્યાદા માટે,$n_2 = \infty$,તેથી $\bar{v} = \frac{R}{n_1^2}$.
આપેલ છે કે $\bar{v} = 12186.3 \ cm^{-1}$ અને $R = 109677.76 \ cm^{-1}$,તેથી:
$12186.3 = \frac{109677.76}{n_1^2}$
$n_1^2 = \frac{109677.76}{12186.3} \approx 9$
$n_1 = 3$.
તેથી,આ રેખા પાશ્ચન શ્રેણીની છે.

(C) ન્યુક્લિયસથી અનંત અંતરે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા શૂન્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની નજીક આવે છે,તેમ સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણ વધે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા ઘટે છે અને ઋણ બને છે.
તેથી,જેમ $n$ નું મૂલ્ય ઘટે છે (એટલે કે કક્ષા ન્યુક્લિયસની નજીક હોય છે),તેમ ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા વધુ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે તે વધુ મજબૂતીથી બંધાયેલ છે,છૂટથી નહીં.
આમ,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે કારણ કે તે કહે છે કે ઇલેક્ટ્રોન સૌથી નાની કક્ષામાં વધુ છૂટથી બંધાયેલ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$He^{+}$ $(Z = 2)$ માટે,$n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણ માટે $\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 4R \left( \frac{3}{16} \right) = \frac{3R}{4}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z = 1)$ માટે,આપણે $n_1$ અને $n_2$ શોધવાની જરૂર છે જેથી $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{3R}{4}$ થાય.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
આ સમીકરણ $n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ માટે સંતોષાય છે કારણ કે $\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન વર્ણપટના દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવતી રેખાઓ બામર શ્રેણી બનાવે છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન $n_1 = 2$ કક્ષામાં કૂદકો મારે છે.
રેખાઓ તરંગલંબાઇના ક્રમમાં હોય છે,જેમાં લાલ છેડો સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ (સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતું સંક્રમણ) દર્શાવે છે.
પ્રથમ રેખા $3 \to 2$ છે,બીજી રેખા $4 \to 2$ છે,અને ત્રીજી રેખા $5 \to 2$ છે.
તેથી,લાલ છેડાથી ત્રીજી રેખા $5 \to 2$ સંક્રમણને અનુરૂપ છે.

(C) બામર શ્રેણી એવા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે જ્યાં $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3, 4, 5, ...$ હોય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
સૌથી વધુ તરંગલંબાઈ માટે,સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ અને $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ હોવાથી,બામર શ્રેણી માટે ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે કારણ કે સૌથી વધુ તરંગલંબાઈ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,$n = 4$ અને $6$ ને નહીં.

(B) વિધાન જણાવે છે કે કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે બોહરના પરમાણુ મોડેલનું મૂળભૂત પૂર્વધારણા છે. આ વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક,$n$,કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂલ્ય $(n = 1, 2, 3, \dots)$ ધરાવી શકે છે. મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકની વ્યાખ્યાના સંદર્ભમાં આ પણ એક સાચું વિધાન છે.
જો કે,$n$ કોઈપણ પૂર્ણાંક મૂલ્ય લઈ શકે છે તે કારણ નથી કે કોણીય વેગમાન $\frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઇઝ્ડ છે. કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન એ ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ પરથી મેળવેલી અલગ પૂર્વધારણા છે. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \ \mathring{A} \times \frac{n^2}{Z}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા,$r_1 = 0.529 \ \mathring{A} \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \ \mathring{A}$.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાન મેળવવા માટે વપરાતું સાચું સૂત્ર આપે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટમાં,$Balmer$ શ્રેણીની વર્ણપટ રેખાઓ દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવે છે.
$Lyman$ શ્રેણી પારજાંબલી વિભાગમાં આવે છે,જ્યારે $Paschen$,$Brackett$ અને $Pfund$ શ્રેણી ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં આવે છે.

(D) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_{n} = \frac{n^{2} \times a_{0}}{Z}$ છે.
$Li^{2+}$ ની $2^{nd}$ બોહર કક્ષા માટે:
$n = 2$
$Z = 3$ (લિથિયમનો પરમાણુ ક્રમાંક)
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_{2} = \frac{2^{2} \times a_{0}}{3} = \frac{4 a_{0}}{3}$.

(B) બામર શ્રેણી માટે,$n_{1}=2$ અને $n_{2}=3, 4, 5, \dots, \infty$.
$(I)$ જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટે છે,તેમ તરંગ આંક $\bar{v}$ વધે છે,અને રેખાઓ શ્રેણીની મર્યાદા તરફ એકબીજાની નજીક આવે છે,તેથી આ સાચું છે.
$(II)$ બામર શ્રેણીની વ્યાખ્યા મુજબ,$n_{1}=2$,તેથી આ સાચું છે.
$(III)$ જ્યારે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda$ સૌથી લાંબી હોય છે,જે $n_{2}=3$ થી $n_{1}=2$ ના સંક્રમણ માટે થાય છે. તેથી,આ સાચું છે.
$(IV)$ આયનીકરણ ઉર્જા $n=1$ થી $n=\infty$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. બામર શ્રેણીની રેખાઓ $R_{H}$ આપે છે,પરંતુ આયનીકરણ ઉર્જાની ગણતરી ખાસ કરીને રિડબર્ગ અચળાંક $R_{H}$ અને ભૂમિ અવસ્થાની ઉર્જાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,માત્ર બામર રેખાઓના તરંગ આંક પરથી નહીં. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $(I)$,$(II)$,અને $(III)$ સાચા છે.

બલ્બનો પાવર $P = 100 \, W = 100 \, J \, s^{-1}$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \, s \times 3 \times 10^{8} \, m \, s^{-1}}{400 \times 10^{-9} \, m} = 4.9695 \times 10^{-19} \, J$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E}$.
$n = \frac{100 \, J \, s^{-1}}{4.9695 \times 10^{-19} \, J} \approx 2.012 \times 10^{20} \, s^{-1}$.

$300 \, nm$ ફોટોનની ઊર્જા $(E) = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $= \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \, s \times 3.0 \times 10^{8} \, m \, s^{-1}}{300 \times 10^{-9} \, m} = 6.626 \times 10^{-19} \, J$.
એક મોલ ફોટોનની ઊર્જા $= 6.626 \times 10^{-19} \, J \times 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1} = 3.99 \times 10^{5} \, J \, mol^{-1}$.
સોડિયમમાંથી એક મોલ ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા (કાર્ય વિધેય,$\Phi$) $= (3.99 - 1.68) \times 10^{5} \, J \, mol^{-1} = 2.31 \times 10^{5} \, J \, mol^{-1}$.
એક ઇલેક્ટ્રોન માટે લઘુત્તમ ઊર્જા $= \frac{2.31 \times 10^{5} \, J \, mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}} = 3.84 \times 10^{-19} \, J$.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{max}) = \frac{hc}{E} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \, s \times 3.0 \times 10^{8} \, m \, s^{-1}}{3.84 \times 10^{-19} \, J} = 517 \, nm$.

આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
ગતિઊર્જા $(K.E.) = h(v - v_{0})$
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \,J \cdot s$
$v = 1.0 \times 10^{15} \,s^{-1} = 10.0 \times 10^{14} \,s^{-1}$
$v_{0} = 7.0 \times 10^{14} \,s^{-1}$
$K.E. = (6.626 \times 10^{-34} \,J \cdot s) \times (10.0 \times 10^{14} \,s^{-1} - 7.0 \times 10^{14} \,s^{-1})$
$K.E. = (6.626 \times 10^{-34} \,J \cdot s) \times (3.0 \times 10^{14} \,s^{-1})$
$K.E. = 1.9878 \times 10^{-19} \,J \approx 1.99 \times 10^{-19} \,J$

હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n_{i}=5$ થી $n_{f}=2$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો ફેરફાર રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \, J \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \, J \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{5^{2}} \right) = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{21}{100} \right) = 4.578 \times 10^{-19} \, J$
આવૃત્તિ $\nu$ ની ગણતરી $\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{4.578 \times 10^{-19} \, J}{6.626 \times 10^{-34} \, J \, s} = 6.91 \times 10^{14} \, Hz$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3.0 \times 10^{8} \, m \, s^{-1}}{6.91 \times 10^{14} \, Hz} = 4.34 \times 10^{-7} \, m = 434 \, nm$ તરીકે કરવામાં આવે છે.

(N/A) $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_{n} = -\frac{(2.18 \times 10^{-18} \, J) Z^{2}}{n^{2}}$ છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ અને પ્રથમ કક્ષા માટે $n = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $E_{1} = -\frac{(2.18 \times 10^{-18} \, J) (2^{2})}{1^{2}} = -8.72 \times 10^{-18} \, J$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_{n} = \frac{(0.0529 \, nm) n^{2}}{Z}$ છે.
$n = 1$ અને $Z = 2$ મૂકતા: $r_{1} = \frac{(0.0529 \, nm) (1^{2})}{2} = 0.02645 \, nm$.

$(i)$ ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = h \nu$
જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $\nu = 3 \times 10^{15} \, Hz$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = (6.626 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^{15}) = 1.988 \times 10^{-18} \, J$.
$(ii)$ તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ધરાવતા ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{hc}{\lambda}$
જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^{8} \, m/s$,અને $\lambda = 0.50 \, \mathring{A} = 0.50 \times 10^{-10} \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(6.626 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^{8})}{0.50 \times 10^{-10}} = 3.976 \times 10^{-15} \, J \approx 3.98 \times 10^{-15} \, J$.

(N/A) એક ફોટોનની ઉર્જા $(E) = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ ફોટોન માટે, કુલ ઉર્જા $(E_n) = \frac{n \times hc}{\lambda}$ થાય.
$n$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $n = \frac{E_n \times \lambda}{hc}$ મળે.
આપેલ કિંમતો:
$E_n = 1 \ J$
$\lambda = 4000 \ pm = 4 \times 10^{-9} \ m$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{1 \times 4 \times 10^{-9}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n \approx 2.012 \times 10^{16}$.
આમ, ફોટોનની સંખ્યા $2.012 \times 10^{16}$ છે.

$(i)$ ફોટોનની ઉર્જા $(E) = \frac{hc}{\lambda}$
$E = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, Js)(3 \times 10^{8} \, ms^{-1})}{4 \times 10^{-7} \, m} = 4.9695 \times 10^{-19} \, J$
$eV$ માં રૂપાંતર: $E = \frac{4.9695 \times 10^{-19} \, J}{1.6020 \times 10^{-19} \, J/eV} = 3.1020 \, eV$
$(ii)$ ગતિજ ઉર્જા $(E_k) = E - \Phi = 3.1020 \, eV - 2.13 \, eV = 0.9720 \, eV$
$(iii)$ વેગ $(v) = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.9720 \times 1.6020 \times 10^{-19} \, J}{9.10939 \times 10^{-31} \, kg}}$
$v = \sqrt{0.3418 \times 10^{12} \, m^2s^{-2}} = 5.846 \times 10^{5} \, ms^{-1}$

બલ્બનો પાવર,$P = 25 \ W = 25 \ J \ s^{-1}$.
એક ફોટોનની ઉર્જા,$E = \frac{hc}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$,$\lambda = 0.57 \times 10^{-6} \ m$.
$E = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)(3 \times 10^8 \ m \ s^{-1})}{0.57 \times 10^{-6} \ m} = 3.487 \times 10^{-19} \ J$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ક્વોન્ટાનો દર = $\frac{P}{E} = \frac{25 \ J \ s^{-1}}{3.487 \times 10^{-19} \ J} = 7.17 \times 10^{19} \ s^{-1}$.

(A) $n_{i}=4$ થી $n_{f}=2$ નું સંક્રમણ બામર શ્રેણીમાં જોવા મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$
જ્યાં $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$,$n_f = 2$,અને $n_i = 4$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{3}{16} = 2.056875 \times 10^6 \ m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{2.056875 \times 10^6} \approx 4.863 \times 10^{-7} \ m = 486 \ nm$.

(N/A) $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E_{n} = \frac{-2.18 \times 10^{-18} \times Z^{2}}{n^{2}} \ J$
$H$ પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી $E_{n} = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{n^{2}} \ J$.
$n=5$ થી $n=\infty$ સુધીના આયનીકરણ માટે:
$\Delta E = E_{\infty} - E_{5} = 0 - \left( \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{5^{2}} \right) \ J$
$\Delta E = \frac{2.18 \times 10^{-18}}{25} \ J = 8.72 \times 10^{-20} \ J$.
$n=1$ થી $n=\infty$ સુધીના આયનીકરણ માટે (આયનીકરણ એન્થાલ્પી):
$\Delta E' = E_{\infty} - E_{1} = 0 - \left( \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{1^{2}} \right) \ J$
$\Delta E' = 2.18 \times 10^{-18} \ J$.
નિષ્કર્ષ: $n=5$ કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $(8.72 \times 10^{-20} \ J)$ એ $H$ પરમાણુની આયનીકરણ એન્થાલ્પી $(2.18 \times 10^{-18} \ J)$ કરતા ઘણી ઓછી છે.

(B) જ્યારે $H$ પરમાણુમાં $n=6$ માં રહેલો ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રોન ધરા-સ્થિતિમાં આવે છે,ત્યારે શક્ય સંક્રમણો $n=6$ થી $n=5, 4, 3, 2, 1$; $n=5$ થી $n=4, 3, 2, 1$ વગેરે છે.
જ્યારે $n$ માં સ્તરનો ઇલેક્ટ્રોન ધરા-સ્થિતિમાં આવે ત્યારે ઉત્પન્ન થતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{n(n-1)}{2}$
અહીં $n=6$ આપેલ છે:
$\text{વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$
આમ,ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં કુલ $15$ રેખાઓ પ્રાપ્ત થશે.

$(i)$ હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષા સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા $E_n = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{n^2} \, J \, atom^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમી કક્ષા માટે $(n = 5)$:
$E_5 = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{5^2} = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{25} = -8.72 \times 10^{-20} \, J \, atom^{-1}$.
$(ii)$ હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = (0.0529 \, nm) \times n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમી કક્ષા માટે $(n = 5)$:
$r_5 = 0.0529 \, nm \times 5^2 = 0.0529 \times 25 \, nm = 1.3225 \, nm$.

(N/A) બામર શ્રેણી માટે,નીચલી ઉર્જા સ્તર $n_{1} = 2$ છે. તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\bar{\nu} = R_{H} \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$
જ્યાં $R_{H} = 1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}$ છે.
તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ એ તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી નાની તરંગ સંખ્યાને અનુરૂપ છે.
બામર શ્રેણી માટે,સૌથી નાની તરંગ સંખ્યા ધરાવતું સંક્રમણ નજીકના ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર એટલે કે $n_{2} = 3$ થી $n_{1} = 2$ વચ્ચે થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\bar{\nu} = (1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}) \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right)$
$\bar{\nu} = (1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}) \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$\bar{\nu} = (1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}) \left( \frac{9 - 4}{36} \right)$
$\bar{\nu} = (1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}) \left( \frac{5}{36} \right)$
$\bar{\nu} \approx 1.5236 \times 10^{6} \ m^{-1}$

પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ બોહર કક્ષાની ઉર્જા $(E)$ નીચે મુજબ છે:
$E_{n} = \frac{-(2.18 \times 10^{-18} \ J) Z^{2}}{n^{2}}$
આપેલ છે,ધરા અવસ્થાની ઉર્જા $= -2.18 \times 10^{-11} \ erg = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=5$ માં લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા:
$\Delta E = E_{5} - E_{1} = -2.18 \times 10^{-18} [\frac{1}{5^{2}} - \frac{1}{1^{2}}]$
$\Delta E = -2.18 \times 10^{-18} [\frac{1}{25} - 1] = -2.18 \times 10^{-18} [-\frac{24}{25}]$
$\Delta E = 2.0928 \times 10^{-18} \ J$.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ધરા અવસ્થામાં પાછો ફરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત ઉર્જા શોષાયેલી ઉર્જા જેટલી જ હોય છે,$\Delta E = 2.0928 \times 10^{-18} \ J$.
ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s) (3 \times 10^{8} \ m/s)}{2.0928 \times 10^{-18} \ J}$
$\lambda = 9.498 \times 10^{-8} \ m$.

(A) આપેલ છે,$E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{n^2} \ J$.
$n = 2$ માંથી આયનીકરણ માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_{\infty} - E_2$ છે.
$E_{\infty} = 0$ હોવાથી,$\Delta E = 0 - (\frac{-2.18 \times 10^{-18}}{2^2}) = \frac{2.18 \times 10^{-18}}{4} = 5.45 \times 10^{-19} \ J$.
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$:
$\lambda = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^8 \ m/s)}{5.45 \times 10^{-19} \ J} = 3.647 \times 10^{-7} \ m$.
$cm$ માં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 3.647 \times 10^{-7} \ m \times 100 \ cm/m = 3.647 \times 10^{-5} \ cm$.

(A) $He^{+}$ આયન માટે,$n_2=4$ થી $n_1=2$ સંક્રમણ સાથે સંકળાયેલ તરંગ સંખ્યા $(\bar{v})$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\bar{v} = \frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$He^{+}$ માટે,$Z=2$,$n_1=2$,અને $n_2=4$:
$\frac{1}{\lambda} = R(2)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 4R \left( \frac{3}{16} \right) = \frac{3R}{4}$
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z=1$. ધારો કે સંક્રમણ $n_2$ થી $n_1$ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R(1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = \frac{3R}{4}$
$\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} = \frac{3}{4}$
આને લાયમન શ્રેણીના સૂત્ર સાથે સરખાવતા જ્યાં $n_1=1$:
$\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
આમ,હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં $n=2$ થી $n=1$ નું સંક્રમણ સમાન તરંગલંબાઈ ધરાવે છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_{n} = -2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{Z^{2}}{n^{2}} \right) \, J \, atom^{-1}$ છે.
$He_{(g)}^{+} \rightarrow He_{(g)}^{2+} + e^{-}$ પ્રક્રિયા માટે,ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n = 1)$ થી અનંત $(n = \infty)$ સુધી દૂર કરવામાં આવે છે.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_{\infty} - E_{1}$ છે.
$E_{\infty} = 0$ હોવાથી,$\Delta E = -E_{1}$ થાય.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે. સૂત્રમાં $Z = 2$ અને $n = 1$ મૂકતા:
$E_{1} = -2.18 \times 10^{-18} \times \left( \frac{2^{2}}{1^{2}} \right) \, J = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 \, J = -8.72 \times 10^{-18} \, J$.
તેથી,$\Delta E = 0 - (-8.72 \times 10^{-18} \, J) = 8.72 \times 10^{-18} \, J$.

(B) રધરફોર્ડના પ્રયોગમાં,$\alpha$-કણોનું વિચલન ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ અને $\alpha$-કણો વચ્ચેના સ્થિર વિદ્યુતીય અપાકર્ષણને કારણે થાય છે.
ભારે પરમાણુઓ (જેમ કે સોનું,$Z = 79$) હલકા પરમાણુઓ (જેમ કે એલ્યુમિનિયમ,$Z = 13$) ની તુલનામાં ઉચ્ચ ન્યુક્લિયર વીજભાર ધરાવે છે.
અપાકર્ષણ બળ એ ન્યુક્લિયર વીજભારના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(F \propto Z_1 Z_2)$,હલકા પરમાણુઓની વરખનો ઉપયોગ કરવાથી અપાકર્ષણ બળ નોંધપાત્ર રીતે નબળું પડે છે.
તેથી,ભારે ધાતુની વરખ સાથે મેળવેલા પરિણામોની તુલનામાં $\alpha$-કણોનું વિચલન ઘણું ઓછું હશે.

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $(\lambda) = 616 \, nm = 616 \times 10^{-9} \, m$ (આપેલ છે).
$(a)$ ઉત્સર્જનની આવૃત્તિ $(v) = \frac{c}{\lambda} = \frac{3.0 \times 10^{8} \, m/s}{616 \times 10^{-9} \, m} = 4.87 \times 10^{14} \, s^{-1}$.
$(b)$ $30 \, s$ માં વિકિરણ દ્વારા કાપેલું અંતર $= \text{વેગ} \times \text{સમય} = (3.0 \times 10^{8} \, m/s) \times (30 \, s) = 9.0 \times 10^{9} \, m$.
$(c)$ એક ક્વોન્ટમની ઊર્જા $(E) = hv = (6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s) \times (4.87 \times 10^{14} \, s^{-1}) = 3.227 \times 10^{-19} \, J$.
$(d)$ $2 \, J$ ઊર્જામાં ક્વોન્ટાની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ ઊર્જા}}{\text{એક ક્વોન્ટમની ઊર્જા}} = \frac{2 \, J}{3.227 \times 10^{-19} \, J} = 6.197 \times 10^{18} \approx 6.2 \times 10^{18}$ ક્વોન્ટા.

(N/A) એક ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{hc}{\lambda}$
જ્યાં:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ (પ્લાન્કનો અચળાંક)
$c = 3 \times 10^{8} \, m \cdot s^{-1}$ (પ્રકાશની ગતિ)
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \, m$ (તરંગલંબાઇ)
એક ફોટોનની ઊર્જાની ગણતરી:
$E = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s)(3 \times 10^{8} \, m \cdot s^{-1})}{600 \times 10^{-9} \, m} = 3.313 \times 10^{-19} \, J$
ફોટોનની કુલ સંખ્યા $(n)$ એ કુલ ઊર્જાને એક ફોટોનની ઊર્જા વડે ભાગતા મળે છે:
$n = \frac{\text{Total Energy}}{E} = \frac{3.15 \times 10^{-18} \, J}{3.313 \times 10^{-19} \, J} \approx 9.5$
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,ડિટેક્ટર આશરે $10$ ફોટોન પ્રાપ્ત કરે છે.

ફોટોનની ઉર્જા $E_{photon} = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં આવૃત્તિ $\nu$ એ પલ્સના સમયગાળા $\Delta t$ સાથે $\nu = \frac{1}{\Delta t}$ તરીકે સંબંધિત છે.
આપેલ છે:
સમયગાળો $\Delta t = 2 \, ns = 2.0 \times 10^{-9} \, s$
ફોટોનની સંખ્યા $N = 2.5 \times 10^{15}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
આવૃત્તિ $\nu = \frac{1}{2.0 \times 10^{-9} \, s} = 5.0 \times 10^{8} \, s^{-1}$
કુલ ઉર્જા $E = N \times h \times \nu$
$E = (2.5 \times 10^{15}) \times (6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s) \times (5.0 \times 10^{8} \, s^{-1})$
$E = 8.2825 \times 10^{-10} \, J$
આમ,સ્ત્રોતની ઉર્જા $8.2825 \times 10^{-10} \, J$ છે.

(N/A) $(i)$ આપેલ છે,
પ્રથમ સંક્રમણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ,$\lambda_{1} = 589 \, nm = 589 \times 10^{-9} \, m$
બીજા સંક્રમણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ,$\lambda_{2} = 589.6 \, nm = 589.6 \times 10^{-9} \, m$
પ્રથમ તરંગલંબાઈની આવૃત્તિ $\nu_{1} = \frac{c}{\lambda_{1}} = \frac{3 \times 10^{8} \, m s^{-1}}{589 \times 10^{-9} \, m} = 5.093 \times 10^{14} \, s^{-1}$
બીજી તરંગલંબાઈની આવૃત્તિ $\nu_{2} = \frac{c}{\lambda_{2}} = \frac{3 \times 10^{8} \, m s^{-1}}{589.6 \times 10^{-9} \, m} = 5.088 \times 10^{14} \, s^{-1}$
$(ii)$ બે ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત:
$\Delta E = h(\nu_{1} - \nu_{2})$
$\Delta E = 6.626 \times 10^{-34} \, J s \times (5.093 \times 10^{14} - 5.088 \times 10^{14}) \, s^{-1}$
$\Delta E = 3.313 \times 10^{-22} \, J$

સીઝિયમ પરમાણુ માટે વર્ક ફંક્શન $(W_{0}) = 1.9 \, eV$ આપેલ છે.
$(a)$ $W_{0} = \frac{hc}{\lambda_{0}}$ સૂત્ર પરથી:
$\lambda_{0} = \frac{hc}{W_{0}} = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, Js)(3.0 \times 10^{8} \, ms^{-1})}{1.9 \times 1.602 \times 10^{-19} \, J} = 6.53 \times 10^{-7} \, m = 653 \, nm$.
$(b)$ $W_{0} = hv_{0}$ સૂત્ર પરથી:
$v_{0} = \frac{W_{0}}{h} = \frac{1.9 \times 1.602 \times 10^{-19} \, J}{6.626 \times 10^{-34} \, Js} = 4.593 \times 10^{14} \, s^{-1}$.
$(c)$ $\lambda = 500 \, nm$ માટે:
ગતિ ઊર્જા $(K.E.) = \frac{hc}{\lambda} - W_{0} = 9.315 \times 10^{-20} \, J$.
$K.E. = \frac{1}{2} mv^{2}$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2 \times K.E.}{m}} = 4.52 \times 10^{5} \, ms^{-1}$.

(A) ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h\nu - h\nu_{0} = \frac{1}{2}mv^{2}$,જેને $hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}) = \frac{1}{2}mv^{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને $\lambda = 500 \ nm$ $(v = 2.55 \times 10^{3} \ m/s)$ અને $\lambda = 400 \ nm$ $(v = 5.35 \times 10^{3} \ m/s)$ માટે:
$hc(\frac{1}{500 \times 10^{-9}} - \frac{1}{\lambda_{0}}) = \frac{1}{2}m(2.55 \times 10^{3})^{2}$ $(I)$
$hc(\frac{1}{400 \times 10^{-9}} - \frac{1}{\lambda_{0}}) = \frac{1}{2}m(5.35 \times 10^{3})^{2}$ $(II)$
$(II)$ ને $(I)$ વડે ભાગતા અને $\lambda_{0}$ માટે ઉકેલતા $\lambda_{0} \approx 540 \ nm$ મળે છે.
$\lambda_{0}$ ની કિંમત સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ મળે છે.

(N/A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(E) = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$E = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, Js)(3.0 \times 10^{8} \, ms^{-1})}{150 \times 10^{-12} \, m} = 1.3252 \times 10^{-15} \, J = 13.252 \times 10^{-16} \, J$.
બહાર ફેંકાયેલા ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(K.E) = \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$ છે.
$K.E = \frac{1}{2} (9.109 \times 10^{-31} \, kg)(1.5 \times 10^{7} \, ms^{-1})^{2} = 1.0248 \times 10^{-16} \, J$.
બંધન ઉર્જા $(B.E)$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા અને ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$B.E = E - K.E = 13.252 \times 10^{-16} \, J - 1.0248 \times 10^{-16} \, J = 12.2272 \times 10^{-16} \, J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા:
$B.E = \frac{12.2272 \times 10^{-16} \, J}{1.602 \times 10^{-19} \, J/eV} \approx 7632 \, eV \approx 7.63 \times 10^{3} \, eV$.

(A) આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = 1285 \, nm = 1285 \times 10^{-9} \, m$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3.0 \times 10^8 \, m/s}{1285 \times 10^{-9} \, m} \approx 2.334 \times 10^{14} \, Hz$.
સૂત્ર $\nu = 3.29 \times 10^{15} \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{n^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2.334 \times 10^{14} = 3.29 \times 10^{15} \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{n^2}\right)$.
$\frac{2.334 \times 10^{14}}{3.29 \times 10^{15}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{n^2}$.
$0.07094 = 0.1111 - \frac{1}{n^2}$.
$\frac{1}{n^2} = 0.1111 - 0.07094 = 0.04016$.
$n^2 = \frac{1}{0.04016} \approx 24.9$.
$n = \sqrt{24.9} \approx 5$.
Paschen શ્રેણી $n=3$ પર સમાપ્ત થતા સંક્રમણો સાથે સંબંધિત છે,અને $1285 \, nm$ તરંગલંબાઇ ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં છે,તેથી આ સંક્રમણ $n=5$ થી $n=3$ છે અને તે ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવે છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = 0.0529 \times \frac{n^2}{Z} \, nm = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \, pm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક કક્ષા માટે $(r_1 = 1.3225 \, nm = 1322.5 \, pm)$:
$n_1^2 = \frac{1322.5 \times Z}{52.9} = 25Z$.
અંતિમ કક્ષા માટે $(r_2 = 211.6 \, pm)$:
$n_2^2 = \frac{211.6 \times Z}{52.9} = 4Z$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{25Z}{4Z} = 6.25$.
$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$.
આમ, $n_1 = 5$ અને $n_2 = 2$.
આ સંક્રમણ $n = 5$ થી $n = 2$ વચ્ચેનું છે, જે $\text{Balmer}$ શ્રેણીમાં આવે છે અને તે દ્રશ્યમાન (visible) વિસ્તારમાં છે.
તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ માટે રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) = 1.097 \times 10^7 \, m^{-1} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 2.3037 \times 10^6 \, m^{-1}$.
તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ = $\frac{1}{\bar{\nu}} = 434 \, nm$.

(N/A) પરમાણ્વીય કણોની શોધ પછી વૈજ્ઞાનિકો સમક્ષ મુખ્ય સમસ્યાઓ નીચે મુજબ હતી:
$1$. પરમાણુની સ્થિરતા સમજાવવી.
$2$. ભૌતિક અને રાસાયણિક ગુણધર્મોના સંદર્ભમાં એક તત્વના વર્તનની બીજા તત્વ સાથે સરખામણી કરવી.
$3$. વિવિધ પરમાણુઓના સંયોજનથી બનતા વિવિધ પ્રકારના અણુઓના નિર્માણને સમજાવવું.
$4$. પરમાણુઓ દ્વારા શોષાયેલા અથવા ઉત્સર્જિત થતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોના લક્ષણોનું મૂળ અને સ્વભાવ સમજવો.