Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(N/A) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. તરંગલંબાઇ એ ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,આપણે ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણોની જરૂર છે,જે $n_1$ ની ઉપર $n_2$ ના સૌથી નાના મૂલ્યોને અનુરૂપ છે.
$n_2 = 2$ માટે,$\frac{1}{\lambda_1} = R_H (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4} R_H$,જે $\lambda_1 \approx 121.6 \ nm$ આપે છે.
$n_2 = 3$ માટે,$\frac{1}{\lambda_2} = R_H (1 - \frac{1}{9}) = \frac{8}{9} R_H$,જે $\lambda_2 \approx 102.6 \ nm$ આપે છે.
આમ,બે મહત્તમ તરંગલંબાઇઓ $n_2 = 2$ અને $n_2 = 3$ થી $n_1 = 1$ માં થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.

(N/A) આયનીકરણ એન્થાલ્પી એટલે ઇલેક્ટ્રોનને ધરા-સ્થિતિમાંથી અનંત અંતરે દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા.
ધરા-સ્થિતિમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $= -2.18 \times 10^{-18} \ J$
અનંત અંતરે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $= 0 \ J$
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $= 0 - (-2.18 \times 10^{-18} \ J) = 2.18 \times 10^{-18} \ J$
$1 \ mol$ હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંથી $1 \ mol$ ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા
$= 2.18 \times 10^{-18} \ J \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
$= 13.12796 \times 10^{5} \ J \ mol^{-1}$
$\approx 13.13 \times 10^{5} \ J \ mol^{-1}$

(N/A) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ સૂત્ર $K.E. = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે $K.E. = 5.65 \times 10^{-25} \ J$.
તેથી,$\nu = \frac{K.E.}{h} = \frac{5.65 \times 10^{-25} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}$.
$\nu \approx 8.53 \times 10^8 \ Hz$.

(B) ન્યુટોનિયન મિકેનિક્સ મેક્રોસ્કોપિક કણો (દા.ત.,ગબડતો દડો,પડતો પથ્થર,ભ્રમણકક્ષામાં ગ્રહોની ગતિ,વગેરે) માટે લાગુ પડે છે.
તે પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન વગેરે જેવા સબ-એટોમિક કણો માટે લાગુ પડતું નથી,જેનું દળ ખૂબ ઓછું હોય છે,જ્યાં તરંગ-કણ દ્વૈતતા અને અનિશ્ચિતતા નોંધપાત્ર હોય છે.

(N/A) તરંગ આંક $\bar{v}$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{v} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] \ cm^{-1}$.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2$ થી $n_1 = 2$ તરફ થાય છે.
આપેલ છે કે $n_2 = 4$ અને $R_H = 109677 \ cm^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{v} = 109677 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) \ cm^{-1}$.
$\bar{v} = 109677 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) \ cm^{-1}$.
$\bar{v} = 109677 \left( \frac{4-1}{16} \right) \ cm^{-1} = 109677 \times \frac{3}{16} \ cm^{-1}$.
$\bar{v} = 20564.44 \ cm^{-1}$.

(N/A) કોઈપણ તત્વના રેખીય વર્ણપટમાં ચોક્કસ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ રેખાઓ હોય છે. આ રેખાઓ પરમાણુની અંદરના નિશ્ચિત ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણને કારણે મળે છે. ઉત્સર્જિત અથવા શોષાયેલ ફોટોનની ઉર્જા આ સ્તરો વચ્ચેના તફાવતને અનુરૂપ હોવાથી,તે સાબિત કરે છે કે પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનિક ઉર્જા ક્વોન્ટાઇઝ્ડ છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે,$h v = h v_0 + KE$ અથવા
$h v_0 = h v - KE = (6.626 \times 10^{-34} \ J s \times 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1}) - 1.988 \times 10^{-19} \ J$
$h v_0 = 6.626 \times 10^{-19} \ J - 1.988 \times 10^{-19} \ J = 4.638 \times 10^{-19} \ J$
$v_0 = \frac{4.638 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J s} = 7.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$
જ્યારે,$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$,ત્યારે આપાત ફોટોનની આવૃત્તિ:
$v = \frac{c}{\lambda} = \frac{3.0 \times 10^8 \ m s^{-1}}{600 \times 10^{-9} \ m} = 5.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$
આમ,આપાત આવૃત્તિ $v = 5.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0 = 7.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$ કરતા ઓછી હોવાથી,કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં.

(A) બોહરના મોડેલના બે મહત્વના મુદ્દાઓ જેનો ઉપયોગ આ સૂત્ર તારવવા માટે થાય છે:
$(i)$ ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રની આસપાસ નિશ્ચિત ત્રિજ્યા અને ઊર્જા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગમાં ફરે છે. આ માર્ગોને કક્ષા,સ્થાયી અવસ્થાઓ અથવા અનુમતિપાત્ર ઊર્જા અવસ્થાઓ કહેવામાં આવે છે.
$(ii)$ જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ સ્થાયી અવસ્થામાંથી નિમ્ન સ્થાયી અવસ્થામાં અથવા નિમ્ન સ્થાયી અવસ્થામાંથી ઉચ્ચ સ્થાયી અવસ્થામાં જાય છે ત્યારે ઊર્જાનું ઉત્સર્જન અથવા શોષણ થાય છે.
તારવણી:
$n$-મી સ્થાયી અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા: $E_{n} = -R_{H} \left( \frac{1}{n^{2}} \right)$,જ્યાં $R_{H}$ એ રિડબર્ગ અચળાંક $(2.18 \times 10^{-18} \ J)$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પ્રારંભિક કક્ષા $(n_{i})$ થી અંતિમ કક્ષા $(n_{f})$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઊર્જામાં ફેરફાર $(\Delta E)$:
$\Delta E = E_{f} - E_{i} = R_{H} \left[ \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right]$
$\Delta E = h\nu$ હોવાથી,આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ થાય.
તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu} = \frac{\nu}{c} = \frac{\Delta E}{hc}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_{H}}{hc} \approx 109677 \ cm^{-1}$ મળે છે,જે તરંગ સંખ્યા માટેનો રિડબર્ગ અચળાંક છે.
આમ,$\bar{\nu} = 109677 \left[ \frac{1}{n_{i}^{2}} - \frac{1}{n_{f}^{2}} \right] \ cm^{-1}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ માટે ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_{1} = 2$ અને $n_{2} = 3$ માટે:
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \ J \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{5}{36} \right) = 3.03 \times 10^{-19} \ J$.
આવૃત્તિ $\nu$ ની ગણતરી $\Delta E = h\nu$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
$\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3.03 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} = 4.57 \times 10^{14} \ Hz$.

(A) થોમસનનો પરમાણુ નમૂનો સામાન્ય રીતે $Plum \ pudding$,$Raisin \ pudding$ અથવા $Watermelon$ (તડબૂચ) મોડેલ તરીકે ઓળખાય છે.

(N/A) $1$. પરમાણ્વીય વર્ણપટનો ઉપયોગ તત્ત્વોની લાક્ષણિક વર્ણપટ રેખાઓ મેળવવા માટે થાય છે.
$2$. મળેલા વર્ણપટને જાણીતી વર્ણપટ રેખાઓ સાથે સરખાવીને અજ્ઞાત તત્ત્વોને ઓળખી શકાય છે.
$3$. આમ,પરમાણ્વીય વર્ણપટ (રેખાવર્ણપટ) નો ઉપયોગ મુખ્યત્વે તત્ત્વોની ઓળખ માટે થાય છે.

(N/A) પરમાણુમાં ઘણા ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરો હોય છે. જ્યારે ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રોન ધરા-સ્થિતિમાં પાછો ફરે છે,ત્યારે તે વિવિધ મધ્યવર્તી ઊર્જા સ્તરોમાંથી પસાર થઈ શકે છે. આ સંક્રમણો માટે ઘણી શક્યતાઓ હોવાથી,એક જ ઇલેક્ટ્રોનનો ઉત્સર્જન વર્ણપટ પણ ઘણી વર્ણપટ રેખાઓ દર્શાવે છે.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં,$n = 2$ પર પૂર્ણ થતા સંક્રમણો બામર શ્રેણીમાં આવે છે.
બામર શ્રેણી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવે છે.
તેથી,$n = 5$ થી $n = 2$ નું સંક્રમણ દ્રશ્યમાન વિભાગમાં બામર શ્રેણીને અનુરૂપ છે.

(A) વાયુમય પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન ચોક્કસ,અસતત ઊર્જા સ્તરોમાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરથી નીચા ઊર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે તે ઊર્જાના તફાવત $(E = h\nu)$ ને અનુરૂપ ચોક્કસ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોન સ્વરૂપે ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે.
આ ઊર્જા સ્તરો ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોવાથી,ઉત્સર્જિત વિકિરણ ચોક્કસ,અસતત તરંગલંબાઇ ધરાવે છે,જેના પરિણામે સતત વર્ણપટને બદલે રેખીય વર્ણપટ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 Z^2 (\frac{1}{n_{lower}^2} - \frac{1}{n_{higher}^2}) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ ક્રમિક કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત ઘટે છે.
તેથી,સંક્રમણો માટે ઊર્જાનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$E_1 (n=2 \to n=1) > E_2 (n=3 \to n=2) > E_3 (n=4 \to n=3) > E_4 (n=5 \to n=4)$.
આમ,ઊર્જાનો ચઢતો ક્રમ $E_4 < E_3 < E_2 < E_1$ છે.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય છે.
તેનું સૂત્ર: $mvr = \frac{n h}{2 \pi}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક અથવા કક્ષાનો ક્રમ દર્શાવે છે.

(N/A) સ્થિર કક્ષાઓની ત્રિજ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $r_{n} = \frac{n^{2} a_{0}}{Z} = \frac{(52.9) n^{2}}{Z} \, pm$ ($1$-ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમ માટે).
જ્યાં:
$n = \text{મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક} = \text{કક્ષાનો ક્રમાંક} = \text{ઊર્જા સ્તર} = 1, 2, 3, \dots$
$Z = \text{પરમાણુ ક્રમાંક}$
$a_{0} = 52.9 \, pm = 0.0529 \, nm = 5.29 \times 10^{-11} \, m$ (બોહર ત્રિજ્યા).

(N/A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુના કેન્દ્રથી અનંત અંતરે હોય,એટલે કે તે કેન્દ્રના પ્રભાવથી મુક્ત હોય,ત્યારે તેની ઊર્જા શૂન્ય ગણવામાં આવે છે. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = \infty$ હોય.

(A) $1$ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસિઝની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા બોહરના મોડેલ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{Z^2}{n^2} \right) \ J$
જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.

(N/A) કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{Z}{n}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક (કેન્દ્રીય ધનભાર) છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$1$. જેમ કેન્દ્રીય ધનભાર $(Z)$ વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ વધે છે.
$2$. જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઘટે છે.

(N/A) $Zeeman$ અસર એટલે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં વર્ણપટ રેખાઓનું વિભાજન.
$Stark$ અસર એટલે બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્રની હાજરીમાં વર્ણપટ રેખાઓનું વિભાજન.
આ અસરો દર્શાવે છે કે વર્ણપટ રેખાઓ એકલ રેખાઓ નથી પરંતુ નજીકથી ગોઠવાયેલા ઘટકોની બનેલી છે,જે ઉર્જા સ્તરોના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટે પુરાવા પૂરા પાડે છે.

(B) $Photon$ એ ખાસ કરીને વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ (પ્રકાશ) સાથે સંકળાયેલ ઊર્જાનો અસતત જથ્થો છે.
$Quantum$ એ ઊર્જાના કોઈપણ અસતત જથ્થા માટે વપરાતો સામાન્ય શબ્દ છે,પછી ભલે તેનો સ્ત્રોત ગમે તે હોય (દા.ત.,$E = h\nu$).
તેથી,બધા ફોટોન એ ક્વોન્ટા છે,પરંતુ બધા ક્વોન્ટા ફોટોન નથી.

(A) $(i)$ ખરું: કુલંબિક અને ગુરુત્વાકર્ષણ બંને બળો વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ $F \propto \frac{1}{r^2}$ નું પાલન કરે છે.
$(ii)$ ખરું: રુથરફોર્ડે અવલોકન કર્યું કે ખૂબ ઓછા $\alpha$-કણો (આશરે $20000$ માંથી $1$) પાછા ફરે છે,જે પરમાણુકેન્દ્રનું નાનું કદ દર્શાવે છે.
$(iii)$ ખરું: $\alpha$-કણોના પ્રકીર્ણનને શોધવા માટે $ZnS$ પડદાનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તે અથડામણ વખતે પ્રકાશના ઝબકારા (scintillations) ઉત્પન્ન કરે છે.
$(iv)$ ખરું: પ્રકીર્ણન ભાત રુથરફોર્ડને પરમાણુકેન્દ્રનું કદ આશરે $10^{-15} \ m$ હોવાનું અનુમાન કરવામાં મદદરૂપ થઈ.

(N/A) $(i)$ ખરું: $Bohr$ નો નમૂનો માત્ર એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે મર્યાદિત છે અને તે આણ્વિક બંધન સમજાવી શકતો નથી.
$(ii)$ ખરું: $Bohr$ ના નમૂનાને પરમાણુના ગ્રહીય નમૂના તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$(iii)$ ખોટું: ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર કક્ષામાં ગતિ કરતી વખતે ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કે શોષણ કરતા નથી; તેઓ માત્ર કક્ષાઓ વચ્ચે સંક્રમણ દરમિયાન જ ઊર્જાની આપ-લે કરે છે.
$(iv)$ ખોટું: $Brackett$ શ્રેણીની રેખાઓ પારરક્ત (infrared) વિસ્તારમાં જોવા મળે છે,પારજાંબલી વિસ્તારમાં નહીં.

(A) $(i)$ ખરું. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=4)$ માંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં પાછો ફરે છે,ત્યારે શક્ય સંક્રમણો $4$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow 1, 3$ $\rightarrow 2, 3$ $\rightarrow 1, 2$ $\rightarrow 1$ છે. આ લાયમેન,બામર અને પાશ્વન શ્રેણીને અનુરૂપ છે.
$(ii)$ ખોટું. ફંડ શ્રેણી $n_f=5$ પરના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. ઇલેક્ટ્રોન $n=4$ થી પાછો ફરતો હોવાથી,તે ફંડ શ્રેણીમાં વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરી શકતો નથી.

(B) સાચી જોડ આ મુજબ છે:
$(1)$ પૌલીનો નિષેધનો નિયમ: $(E)$
$(2)$ હુન્ડનો મહત્તમ ગુણકતાનો નિયમ: $(A)$
$(3)$ હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો નિયમ: $(B)$
$(4)$ પ્લાન્કનો ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત: $(D)$
તેથી,સાચો ક્રમ $(1-E), (2-A), (3-B), (4-D)$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ શ્રેણીઓ નીચી ઊર્જા સ્તર $(n_1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$1$. લાયમેન શ્રેણી: $n_1 = 1$
$2$. બામર શ્રેણી: $n_1 = 2$
$3$. પાશ્વન શ્રેણી: $n_1 = 3$
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: $n_1 = 4$
આપેલ સંક્રમણોને જોડતા:
$(A) n = 5 \to n = 4$ એ બ્રેકેટ શ્રેણી છે.
$(B) n = 3 \to n = 2$ એ બામર શ્રેણી છે.
$(D) n = 4 \to n = 3$ એ પાશ્વન શ્રેણી છે.
સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = W + K.E._{max}$
$K.E._{max} = E - W$
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{300 \times 10^{-9}} = 6.63 \times 10^{-19} \ J$
આપેલ કાર્ય વિધેય $W = 4.41 \times 10^{-19} \ J$
$K.E._{max} = 6.63 \times 10^{-19} - 4.41 \times 10^{-19} = 2.22 \times 10^{-19} \ J$
$10^{-21} \ J$ માં રૂપાંતર કરતા: $2.22 \times 10^{-19} \ J = 222 \times 10^{-21} \ J$
આમ,સાચો જવાબ $222$ છે.

(A) પરમાણુઓનો ક્વોન્ટમ સ્વભાવ એવી ઘટનાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં ઉર્જા ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે,જેમ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર,પરમાણુ વર્ણપટ અને કૃષ્ણ પદાર્થનું વિકિરણ.
$1$. ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર (વિકલ્પ $B$) દર્શાવે છે કે પ્રકાશ ઉર્જાના અલગ પેકેટો (ફોટોન) તરીકે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે.
$2$. પરમાણુ વર્ણપટ (વિકલ્પ $C$) દર્શાવે છે કે પરમાણુઓમાં ઈલેક્ટ્રોન અલગ ઉર્જા સ્તરોમાં હોય છે.
$3$. કૃષ્ણ પદાર્થનું વિકિરણ (વિકલ્પ $D$) દર્શાવે છે કે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
જો કે,$Ar$ જેવા વાયુની આંતરિક ઉર્જા (વિકલ્પ $A$) તાપમાન સાથે શાસ્ત્રીય ગતિજ સિદ્ધાંત મુજબ સતત વધે છે,જે એક શાસ્ત્રીય ઘટના છે,ક્વોન્ટમ ઘટના નથી. તેથી,$Ar$ ની આંતરિક ઉર્જા વિરુદ્ધ તાપમાન દર્શાવતી આકૃતિ પરમાણુઓના ક્વોન્ટમ સ્વભાવની સીધી અભિવ્યક્તિ નથી.

(C) Rydberg સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_{H} Z^{2} \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ છે.
Lyman શ્રેણીમાં $H$ પરમાણુ માટે સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $(n_{1} = 1)$,સંક્રમણ $n_{2} = \infty$ થી $n_{1} = 1$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{1}} = R_{H} (1)^{2} \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = R_{H}$ $\Rightarrow \lambda_{1} = \frac{1}{R_{H}}$.
$He^{+}$ આયન માટે Balmer શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $(n_{1} = 2)$,સંક્રમણ $n_{2} = 3$ થી $n_{1} = 2$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{2}} = R_{H} (2)^{2} \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}} \right) = R_{H} \times 4 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
$\frac{1}{\lambda_{2}} = 4 R_{H} \left( \frac{9-4}{36} \right) = 4 R_{H} \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5 R_{H}}{9}$.
$\lambda_{2} = \frac{9}{5 R_{H}}$.
$\frac{1}{R_{H}} = \lambda_{1}$ મૂકતા,આપણને $\lambda_{2} = \frac{9 \lambda_{1}}{5}$ મળે છે.

(D) કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_{n} = a_{0} \times \frac{n^{2}}{Z}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_{0}$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ કક્ષાનો ક્રમ છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$Li^{2+}$ માટે,$Z = 3$. તેથી,$\Delta R_{1} = r_{4} - r_{3} = a_{0} \times \frac{4^{2} - 3^{2}}{3} = a_{0} \times \frac{16 - 9}{3} = \frac{7}{3} a_{0}$.
$He^{+}$ માટે,$Z = 2$. તેથી,$\Delta R_{2} = r_{4} - r_{3} = a_{0} \times \frac{4^{2} - 3^{2}}{2} = a_{0} \times \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} a_{0}$.
ગુણોત્તર $\Delta R_{1} : \Delta R_{2} = \frac{7/3}{7/2} = \frac{2}{3}$.

(C) ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\Phi = 4.2 \, eV = 4.2 \times 1.602 \times 10^{-19} \, J \approx 6.73 \times 10^{-19} \, J$.
આપાત વિકિરણની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2000 \times 10^{-10}} \, J = 9.939 \times 10^{-19} \, J$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = E - \Phi$.
$K_{max} = (9.939 - 6.73) \times 10^{-19} \, J = 3.209 \times 10^{-19} \, J$.
આમ,ગતિઊર્જા આશરે $3.2 \times 10^{-19} \, J$ છે.

(A) $He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z=2$ અને મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=2$ છે.
કક્ષાનો પરિઘ $2 \pi r = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = 0.529 \frac{n^{2}}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
પરિઘના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$2 \pi \times (0.529 \frac{n^{2}}{Z}) = n \lambda$
$\lambda = \frac{2 \pi \times 0.529 \times n}{Z}$
$n=2$ અને $Z=2$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{2 \times 3.1416 \times 0.529 \times 2}{2} \ \mathring{A}$
$\lambda = 2 \times 3.1416 \times 0.529 \ \mathring{A} \approx 3.33 \ \mathring{A}$.

(B) બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $n_{2} = 3, 4, 5, 6, \ldots$ થી ઉર્જા સ્તર $n_{1} = 2$ પર થાય છે.
બામર શ્રેણીમાં,ચાર વર્ણપટ રેખાઓ દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવે છે.
આ રેખાઓ $n_{2} = 3 \rightarrow n_{1} = 2$ $(H_{\alpha})$,$n_{2} = 4 \rightarrow n_{1} = 2$ $(H_{\beta})$,$n_{2} = 5 \rightarrow n_{1} = 2$ $(H_{\gamma})$,અને $n_{2} = 6 \rightarrow n_{1} = 2$ $(H_{\delta})$ સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.
આ વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઇ આશરે $400 \ nm$ અને $700 \ nm$ ની વચ્ચે હોય છે.

(D) એક ફોટોનની ઊર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ ઊર્જા $E = n \times E_{photon} = \frac{nhc}{\lambda}$,જ્યાં $n$ એ ફોટોનની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
$E = 3 \times 10^{-18} \, J$
$\lambda = 660 \, nm = 660 \times 10^{-9} \, m$
$h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$c = 3 \times 10^{8} \, m/s$
$n$ માટે સૂત્ર:
$n = \frac{E \times \lambda}{h \times c}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{3 \times 10^{-18} \times 660 \times 10^{-9}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}$
$n = 10$
આમ,ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $10$ છે.

(A) $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H$ પરમાણુ માટે,$Z = 1$ અને $n = 1$,તેથી $r_H = 0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \ \mathring{A}$.
$Be^{3+}$ આયન માટે,$Z = 4$. ધારો કે કક્ષાનો નંબર $n$ છે.
આપેલ છે કે $r_H = r_{Be^{3+}}$,તેથી $0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \times \frac{n^2}{4}$.
$1 = \frac{n^2}{4} \implies n^2 = 4 \implies n = 2$.
કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Be^{3+}$ માટે,$Z = 4$ અને $n = 2$,તેથી $E = -13.6 \times \frac{4^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{16}{4} = -13.6 \times 4 = -54.4 \ \text{eV}$.

(B) વિધાન $-I$ ખોટું છે કારણ કે બોહરનો સિદ્ધાંત ફક્ત એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ (જેમ કે $H$,$He^{+}$,$Li^{2+}$) માટે લાગુ પડે છે. $Li^{+}$ માં $2$ ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,બોહરનો સિદ્ધાંત તેનો વર્ણપટ સમજાવી શકતો નથી.
વિધાન $-II$ સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્ણપટ રેખાઓનું વિભાજન 'ઝીમેન અસર' તરીકે ઓળખાય છે,જે બોહરનો સિદ્ધાંત સમજાવી શક્યો ન હતો.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ :
$A$. $KE = 13.6 \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ eV/atom \Rightarrow KE \propto \frac{Z^{2}}{n^{2}}$ (સાચું)
$B$. $e^{-}$ ની ઝડપ $\propto \frac{Z}{n} \Rightarrow v \times n \propto Z$ (ખોટું)
$C$. $e^{-}$ ની પરિભ્રમણ આવૃત્તિ = $\frac{v}{2 \pi r}$. $v \propto \frac{Z}{n}$ અને $r \propto \frac{n^{2}}{Z}$ હોવાથી,આવૃત્તિ $\propto \frac{Z^{2}}{n^{3}}$ (ખોટું)
$D$. $F = \frac{kZe^{2}}{r^{2}}$. $r \propto \frac{n^{2}}{Z}$ હોવાથી,$F \propto \frac{Z}{(n^{2}/Z)^{2}} = \frac{Z^{3}}{n^{4}}$ (સાચું)
આમ,વિધાનો $A$ અને $D$ સાચા છે.

(C) બોહરના પરમાણુ મોડેલમાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $V \propto \frac{Z}{n}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે (કેન્દ્ર પરના ધન વીજભારનું મૂલ્ય દર્શાવે છે) અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
વિધાન $I$ જણાવે છે કે ધન વીજભાર $(Z)$ ઘટવાથી વેગ વધે છે. જોકે,$V \propto Z$ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનો ધન વીજભાર ઘટતા વેગ ઘટે છે. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ જણાવે છે કે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ ઘટવાથી વેગ વધે છે. $V \propto \frac{1}{n}$ હોવાથી,$n$ ઘટતા વેગ વધે છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) $v$: મહત્તમ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઈલેક્ટ્રોનની ઝડપ.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$E = \phi + K.E._{\max}$
$\frac{hc}{\lambda} = h \nu_{0} + \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$
$\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{500 \times 10^{-9}} = 6.63 \times 10^{-34} \times 4.3 \times 10^{14} + \frac{1}{2} \times 9.0 \times 10^{-31} \times v^{2}$
$3.978 \times 10^{-19} = 2.8509 \times 10^{-19} + 4.5 \times 10^{-31} \times v^{2}$
$1.1271 \times 10^{-19} = 4.5 \times 10^{-31} \times v^{2}$
$v^{2} = \frac{1.1271 \times 10^{-19}}{4.5 \times 10^{-31}} \approx 0.2504 \times 10^{12} = 25.04 \times 10^{10}$
$v \approx 5.004 \times 10^{5} \ ms^{-1}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,કિંમત $5$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = n^{2}a_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે,$r = 2^{2}a_{0} = 4a_{0}$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2}mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના અભિધારણા મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,તેથી $v = \frac{nh}{2\pi mr}$.
$K.E.$ સમીકરણમાં $v$ મૂકતા: $K.E. = \frac{n^{2}h^{2}}{8\pi^{2}mr^{2}}$.
$n=2$ અને $r=4a_{0}$ મૂકતા: $K.E. = \frac{2^{2}h^{2}}{8\pi^{2}m(4a_{0})^{2}} = \frac{4h^{2}}{8\pi^{2}m(16a_{0}^{2})} = \frac{h^{2}}{32\pi^{2}ma_{0}^{2}}$.
આને $\frac{h^{2}}{xma_{0}^{2}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 32\pi^{2}$ મળે છે.
આપેલ છે $\pi = 3.14$,$\pi^{2} = (3.14)^{2} = 9.8596$.
$x = 32 \times 9.8596 = 315.5072$.
$10x = 3155.072$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$10x = 3155$.

(A) $0.1 \, s$ માં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E = P \times t = 10^{-3} \, W \times 0.1 \, s = 10^{-4} \, J$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \, J \, s \times 3.00 \times 10^{8} \, m \, s^{-1}}{1000 \times 10^{-9} \, m} = 1.989 \times 10^{-19} \, J$ છે.
ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{E}{E_{photon}} = \frac{10^{-4} \, J}{1.989 \times 10^{-19} \, J} \approx 5.027 \times 10^{14}$ છે.
આને $x \times 10^{13}$ તરીકે દર્શાવતા,$n = 50.27 \times 10^{13}$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x = 50$.

(C) બલ્બનો પાવર $P = 50 \, W = 50 \, J \cdot s^{-1}$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s \times 3.0 \times 10^{8} \, m \cdot s^{-1}}{795 \times 10^{-9} \, m} = 2.5018 \times 10^{-19} \, J$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $(n)$ $n = \frac{P}{E}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{50}{2.5018 \times 10^{-19}} \approx 1.998 \times 10^{20}$.
આપેલ છે કે $n = x \times 10^{20}$,તેથી $x \approx 2$.

(A) સ્ત્રોત દ્વારા દર સેકન્ડે આપવામાં આવતી કુલ ઊર્જા $= \frac{1000 \, J}{10 \, s} = 100 \, J/s$.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, Js \times 3 \times 10^8 \, m/s}{400 \times 10^{-9} \, m} = 4.9695 \times 10^{-19} \, J$.
દર સેકન્ડે આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $= \frac{\text{દર સેકન્ડે કુલ ઊર્જા}}{\text{એક ફોટોનની ઊર્જા}} = \frac{100}{4.9695 \times 10^{-19}} \approx 2.012 \times 10^{20}$.
એક ફોટોન એક ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરતું હોવાથી,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2.012 \times 10^{20}$ છે.
આને $x \times 10^{20}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x \approx 2$ મળે છે.

(A) થોમસન મોડેલમાં,ધન વીજભાર પરમાણુમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલો માનવામાં આવે છે.
ધન વીજભાર નાના કેન્દ્રીય ન્યુક્લિયસમાં કેન્દ્રિત ન હોવાથી,$\alpha$-કણો દ્વારા અનુભવાતું સ્થિર વિદ્યુત અપાકર્ષણ ખૂબ જ નબળું હશે.
પરિણામે,$\alpha$-કણો ધન વીજભારના સમાન વિતરણને કારણે ખૂબ જ નાના વિચલનો અને ઝડપમાં થોડો ઘટાડો અનુભવીને સોનાના વરખમાંથી પસાર થશે.

(D) બોહરના પરમાણુ મોડેલ મુજબ, ત્રિજ્યા $r$ એ $r \propto \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Li^{2+}$ ની $3^{rd}$ કક્ષા માટે, $n_1 = 3$ અને $Z_1 = 3$.
$He^{+}$ ની $2^{nd}$ કક્ષા માટે, $n_2 = 2$ અને $Z_2 = 2$.
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{(r_3)_{Li^{2+}}}{(r_2)_{He^{+}}} = \frac{n_1^2}{n_2^2} \times \frac{Z_2}{Z_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(r_3)_{Li^{2+}}}{105.8 \, pm} = \frac{3^2}{2^2} \times \frac{2}{3} = \frac{9}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3}{2} = 1.5$.
તેથી, $(r_3)_{Li^{2+}} = 105.8 \, pm \times 1.5 = 158.7 \, pm$.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જાને કાર્ય વિધેય $(W)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
કાર્ય વિધેયનું સૂત્ર $W = h \nu_0$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \, s$
$\nu_0 = 1.3 \times 10^{15} \, s^{-1}$
ગણતરી:
$W = (6.6 \times 10^{-34} \, J \, s) \times (1.3 \times 10^{15} \, s^{-1})$
$W = 8.58 \times 10^{-19} \, J$
આમ,લઘુત્તમ ઉર્જા $8.58 \times 10^{-19} \, J$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની આયનીકરણ ઉર્જા $E_n = -E_H \times Z^2 / n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Li$ $(Z=3)$ માટે ભૂમિ અવસ્થામાં $(n=1)$,ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E = 0 - (-2.2 \times 10^{-18} \times 3^2 / 1^2) = 19.8 \times 10^{-18} \, J$ છે.
ફોટોનની ઉર્જા $E = hc / \lambda$ છે,તેથી $\lambda = hc / E$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = (6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) / (19.8 \times 10^{-18}) \approx 1.0045 \times 10^{-8} \, m$.
આને $x \times 10^{-8} \, m$ સાથે સરખાવતા,$x \approx 1$ મળે છે.

(B) બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_{n} = a_{0} \times \frac{n^{2}}{Z}$ છે,જ્યાં $n$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે $Z = 1$ હોવાથી,$r_{n} \propto n^{2}$ થાય.
$3^{\text{rd}}$ કક્ષા માટે,$r_{3} \propto 3^{2} = 9$.
$4^{\text{th}}$ કક્ષા માટે,$r_{4} \propto 4^{2} = 16$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{r_{4}}{r_{3}} = \frac{16}{9}$.
તેથી,$r_{4} = \frac{16}{9} r_{3}$.