Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Gujarati

(B) આ આલેખ કદ $(V)$ અને સેલ્સિયસમાં તાપમાન $(t)$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.
ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,વાયુના નિશ્ચિત જથ્થાનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન ($T$ કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સંબંધ આ મુજબ છે: $V_t = V_0(1 + \frac{t}{273.15})$
જેને આ રીતે લખી શકાય: $V_t = V_0 + (\frac{V_0}{273.15})t$
આને રેખીય સમીકરણ $Y = mx + C$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = V_t$,$x = t$,$m = \frac{V_0}{273.15}$,અને $C = V_0$.
$V$ વિરુદ્ધ $t$ $(^{\circ}C)$ નો આ રેખીય આલેખ ચાર્લ્સના નિયમની લાક્ષણિકતા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $V_1 = 2 \ L$,$P_2 = 2P_1$,અને $T_2 = 2T_1$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_1 \times 2 \ L}{T_1} = \frac{(2P_1) \times V_2}{(2T_1)}$.
$V_2$ માટે ઉકેલતા:
$V_2 = \frac{P_1 \times 2 \ L \times 2T_1}{T_1 \times 2P_1} = 2 \ L$.
આમ,કદ $2 \ L$ રહેશે.

(D) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને $P_1V_1 = P_2V_2$ થાય.
ધારો કે દરેક પાત્રનું કદ $V$ છે. પાત્રોને જોડ્યા પછી કુલ કદ $2V$ થાય છે.
મોલના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,કુલ દબાણ $P_{mix}$ નીચે મુજબ મળે:
$P_{mix} = \frac{P_1V_1 + P_2V_2}{V_{total}}$
$P_{mix} = \frac{100 \times V + 400 \times V}{V + V} = \frac{500V}{2V} = 250 \ mm$.

(A) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$P_1V_1 = P_2V_2$.
આપેલ છે: $P_1 = 10^4 \ Pa$,$V_1 = 100 \ cc$,$P_2 = 10^5 \ Pa$.
કિંમતો મૂકતા: $10^4 \times 100 = 10^5 \times V_2$.
$V_2 = \frac{10^4 \times 100}{10^5} = \frac{10^6}{10^5} = 10 \ cc$.

(B) આદર્શ વાયુની ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{PM}{RT}$ છે,જ્યાં $P$ દબાણ છે,$M$ મોલર દળ છે,$R$ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
નિયોન માટે $M$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$d \propto \frac{P}{T}$ થાય.
ઘનતા મહત્તમ કરવા માટે,દબાણ $(P)$ સૌથી વધુ અને તાપમાન $(T)$ સૌથી ઓછું હોવું જોઈએ.
આમ,$0\,^{\circ}C$ અને $2 \ atm$ પર ઘનતા સૌથી વધુ હશે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
$n = \frac{W}{M}$ હોવાથી,$PV = \frac{W}{M} RT$ થાય.
ઘનતા $d = \frac{W}{V}$ માટે ગોઠવતા,$P = \frac{dRT}{M}$ અથવા $d = \frac{PM}{RT}$ મળે.
આપેલ છે: $P = 5.00\ atm$,$M(N_2) = 28\ g/mol$,$T = 227 + 273 = 500\ K$,અને $R = 0.082\ L\ atm\ K^{-1}\ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{5.00 \times 28}{0.082 \times 500} = \frac{140}{41} \approx 3.41\ g/L$.

(A) સંયુક્ત વાયુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$,આપણે કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1 T_2}{P_2 T_1}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T_1 = 15 + 273 = 288 \ K$ અને $P_1 = 1.5 \ bar$.
આપેલ અંતિમ સ્થિતિ: $T_2 = 25 + 273 = 298 \ K$ અને $P_2 = 1.0 \ bar$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1.5 \times 298}{1.0 \times 288} = \frac{447}{288} \approx 1.552$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,કદ $1.6$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(C) કદ,$V = 0.03 \ m^3$
તાપમાન,$T = 129 + 273 = 402 \ K$
મિથેનનું દળ,$w = 6.0 \ g$
મિથેનનું મોલર દળ,$M = 12.01 + 4 \times 1.01 = 16.05 \ g \ mol^{-1}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{w}{M}$
$p = \frac{wRT}{MV} = \frac{6.0 \times 8.314 \times 402}{16.05 \times 0.03}$
$p = \frac{20065.392}{0.4815} \approx 41672.67 \ Pa$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $41648 \ Pa$ છે.

(D) સંતુલન સમયે,પાણીની બાષ્પ તેના સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ જેટલું દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $P = 3170 \ Pa$,$V = 1.0 \ dm^3 = 1.0 \times 10^{-3} \ m^3$,$T = 300 \ K$,અને $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{3170 \times 1.0 \times 10^{-3}}{8.314 \times 300} \ mol$.
$n = \frac{3.17}{2494.2} \ mol \approx 1.27 \times 10^{-3} \ mol$.

(A) શરૂઆતમાં,દરેક બલ્બમાં વાયુના મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{P_i V}{R T_1}$ અને $n_2 = \frac{P_i V}{R T_1}$ છે.
બીજા બલ્બનું તાપમાન $T_2$ કરવામાં આવે ત્યારે બંને બલ્બમાં વાયુના મોલની સંખ્યા $n_1' = \frac{P_f V}{R T_1}$ અને $n_2' = \frac{P_f V}{R T_2}$ થાય છે.
કુલ મોલની સંખ્યા અચળ રહેતી હોવાથી:
$n_1 + n_2 = n_1' + n_2'$
$\frac{P_i V}{R T_1} + \frac{P_i V}{R T_1} = \frac{P_f V}{R T_1} + \frac{P_f V}{R T_2}$
$\frac{2 P_i V}{R T_1} = \frac{P_f V}{R} \left( \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} \right)$
$\frac{2 P_i}{T_1} = P_f \left( \frac{T_2 + T_1}{T_1 T_2} \right)$
$P_f = \frac{2 P_i T_2}{T_1 + T_2}$

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PM = dRT$
આપેલ છે: $P = 1 \ atm$,$T = 273 \ K$,$d = 10 \ mg/mL = 10 \ g/L$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $1 \times M = 10 \times 0.0821 \times 273$
$M = 224.133 \ g/mol \approx 224 \ g/mol$
સ્પીસીઝ દ્વિપરમાણ્વીય $(A_2)$ હોવાથી,મોલર દળ $M = 2 \times (A \text{નું પરમાણ્વીય દળ})$
$2 \times A = 224$
$A = 112 \ g/mol$

(C) આદર્શ વાયુ માટે,સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
$A$. $P$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{V}$ (અચળ $T$ અને $n$ પર): $P = (nRT) \times \frac{1}{V}$ હોવાથી,આ $y = mx$ પ્રકારનું રેખીય સમીકરણ છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તે એક સીધી રેખા છે.
$B$. $PV$ વિરુદ્ધ $V^2$ (અચળ $T$ અને $n$ પર): $PV = nRT$ (અચળ) હોવાથી,$PV$ વિરુદ્ધ $V^2$ નો આલેખ $V^2$ અક્ષને સમાંતર આડી રેખા છે. તે એક સીધી રેખા છે.
$C$. $P$ વિરુદ્ધ $T^2$ (અચળ $V$ અને $n$ પર): $P = (\frac{nR}{V})T$ પરથી,$P \propto T$ મળે છે. તેથી,$P$ વિરુદ્ધ $T^2$ એ પરવલયાકાર વક્ર છે,સીધી રેખા નથી.
$D$. $log\ P$ વિરુદ્ધ $log\ (V^2)$ (અચળ $T$ અને $n$ પર): $PV = k$ હોવાથી,$P = k V^{-1}$. બંને બાજુ લોગ લેતા,$log\ P = log\ k - log\ V$. $log\ (V^2) = 2 log\ V$ હોવાથી,$log\ P = log\ k - \frac{1}{2} log\ (V^2)$ મળે છે. આ $y = mx + c$ પ્રકારનું રેખીય સમીકરણ છે. તે એક સીધી રેખા છે.

(A) $STP$ પર,$P_1 = 750 \, torr$,$V_1 = 127.4 \, mL$,અને $T_1 = 273 \, K$.
જ્યારે પાણી પર એકત્રિત કરવામાં આવે,ત્યારે સૂકા વાયુનું દબાણ $(P_{dry})$ એ કુલ દબાણમાંથી પાણીનું બાષ્પ દબાણ બાદ કરતાં મળે છે: $P_2 = P_{total} - P_{H_2O} = 725 \, torr - 25 \, torr = 700 \, torr$.
તાપમાન $T_2 = 27 + 273 = 300 \, K$ છે.
સંયુક્ત વાયુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{750 \times 127.4}{273} = \frac{700 \times V_2}{300}$.
$V_2 = \frac{750 \times 127.4 \times 300}{273 \times 700} \approx 150 \, mL$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,તેને $V = (\frac{nR}{P})T$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ $y = mx$ પ્રકારનું સીધી રેખાનું સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{nR}{P}$ છે.
ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(m \propto \frac{1}{P})$,નાનો ઢાળ એ ઊંચા દબાણ સૂચવે છે.
આપેલા આલેખ પરથી,$P_1$ રેખાનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે,ત્યારબાદ $P_3$ અને પછી $P_2$ (જેનો ઢાળ સૌથી વધુ છે).
તેથી,દબાણનો સાચો ક્રમ $P_1 > P_3 > P_2$ છે.

(B) સંયુક્ત વાયુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
આપેલ છે:
$P_1 = P$
$V_1 = 100\, \text{cc}$
$T_1 = 0\, ^\circ C = 273\, \text{K}$
નવી શરતો:
$P_2 = 1.5 P = \frac{3}{2} P$
$T_2 = T_1 + \frac{1}{3} T_1 = \frac{4}{3} T_1 = \frac{4}{3} \times 273\, \text{K}$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1} = \frac{P \times 100 \times (\frac{4}{3} \times 273)}{(\frac{3}{2} P) \times 273}$
$V_2 = 100 \times \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{800}{9} \approx 88.88\, \text{cc}$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$V_2 = 88.9\, \text{cc}$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = \frac{w}{M}RT$,તેથી $P = \frac{dRT}{M}$,જ્યાં $d$ એ ઘનતા છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
સમાન વાયુ માટે,$M$ અચળ છે,તેથી $P \propto dT$.
તેથી,દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{T_1}{T_2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{1}$.
આમ,તેમના સંબંધિત દબાણનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{w}{M}$ છે.
આપેલ:
મિથેનનું દળ $(w)$ = $6.0 \ g$
મિથેન $(CH_4)$ નું મોલર દળ $(M)$ = $12.01 + 4 \times 1.01 = 16.05 \ g/mol$
કદ $(V)$ = $0.03 \ m^3$
તાપમાન $(T)$ = $129 + 273.15 = 402.15 \ K$
વાયુ અચળાંક $(R)$ = $8.314 \ J K^{-1} mol^{-1}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$P \times 0.03 = \frac{6.0}{16.05} \times 8.314 \times 402.15$
$P \times 0.03 = 1249.53$
$P = \frac{1249.53}{0.03} \approx 41651 \ Pa$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $41648 \ Pa$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = (\frac{m}{M})RT$ પરથી.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$P(\frac{m}{V}) = \frac{PRT}{M}$,જે $Pd = \frac{PM}{RT}$ આપે છે.
આપેલ તાપમાન $T$ માટે,$Pd$ વિરુદ્ધ $P$ ના આલેખનો ઢાળ $\frac{M}{RT}$ છે,જે વાયુના મોલર દળ $M$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે: $CO_2 = 44\,g/mol$,$N_2 = 28\,g/mol$,$He = 4\,g/mol$,$H_2 = 2\,g/mol$.
જેમ મોલર દળ વધે તેમ ઢાળ વધે છે,તેથી ઢાળનો ક્રમ $CO_2 > N_2 > He > H_2$ છે.
આલેખ જોતા,ઢાળનો ક્રમ $1 > 2 > 3 > 4$ છે.
તેથી,$1-CO_2, 2-N_2, 3-He, 4-H_2$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ એ $2-N_2, 3-He, 1-CO_2, 4-H_2$ છે.

(B) વાલ્વ ખોલવામાં આવે ત્યારે $H_2$ વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
$n_{total} = n_A + n_B$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{PV}{RT}$.
$n_A = \frac{4 \ atm \times 2 \ L}{R \times 400 \ K} = \frac{0.02}{R}$
$n_B = \frac{8 \ atm \times 4 \ L}{R \times 800 \ K} = \frac{0.04}{R}$
$n_{total} = \frac{0.06}{R}$
વાલ્વ ખોલ્યા પછી,વાયુ બંને કમ્પાર્ટમેન્ટમાં ફેલાય છે. પાત્રો થર્મલી ઇન્સ્યુલેટેડ હોવાથી,દરેક કમ્પાર્ટમેન્ટનું તાપમાન તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય ($400 \ K$ અને $800 \ K$) પર જ રહે છે.
$n_{total} = \frac{P_f V_A}{R T_A} + \frac{P_f V_B}{R T_B}$
$\frac{0.06}{R} = P_f \left[ \frac{2}{400R} + \frac{4}{800R} \right]$
$0.06 = P_f \times 0.01$
$P_f = 6 \ atm$

(A) પાત્ર $X$ માટે,પ્રારંભિક સ્થિતિ $P_1 V = n_1 RT$ છે. $\Delta P$ દબાણ ફેરફાર સાથે $2V$ સુધી વિસ્તરણ પછી,અંતિમ સ્થિતિ $(P_1 - \Delta P) 2V = n_1 RT$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $P_1 V = 2P_1 V - 2\Delta P V$,જે $P_1 V = 2\Delta P V$ આપે છે.
આમ,$n_1 = \frac{2\Delta P V}{RT}$.
પાત્ર $Y$ માટે,પ્રારંભિક સ્થિતિ $P_2 V = n_2 RT$ છે. $0.2 \Delta P$ દબાણ ફેરફાર સાથે $2V$ સુધી વિસ્તરણ પછી,અંતિમ સ્થિતિ $(P_2 - 0.2 \Delta P) 2V = n_2 RT$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $P_2 V = 2P_2 V - 0.4 \Delta P V$,જે $P_2 V = 0.4 \Delta P V$ આપે છે.
આમ,$n_2 = \frac{0.4 \Delta P V}{RT}$.
દળનો ગુણોત્તર એ મોલના ગુણોત્તર જેટલો છે: $\frac{w_X}{w_Y} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{2\Delta P V / RT}{0.4 \Delta P V / RT} = \frac{2}{0.4} = 5$.

(B) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે $V \propto T$. ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$d \propto \frac{1}{T}$,એટલે કે $d_1 T_1 = d_2 T_2$.
ધારો કે નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન $x\,^o C$ છે. તેથી $T_1 = (25 - x) \text{ K}$ અને $T_2 = (100 - x) \text{ K}$.
આપેલ છે કે $d_1 = 1.2\ gL^{-1}$ અને $d_2 = 0.9\ gL^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 \times (25 - x) = 0.9 \times (100 - x)$.
$30 - 1.2x = 90 - 0.9x$.
$30 - 90 = 1.2x - 0.9x$.
$-60 = 0.3x$.
$x = \frac{-60}{0.3} = -200\,^o C$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$.
બંને બાજુ $log$ લેતા: $log \, T + (\gamma-1) log \, V = \text{અચળ}$.
આ $y = mx + c$ જેવી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે, જ્યાં $y = log \, T$, $x = log \, V$, અને ઢાળ $m = -(\gamma-1)$ છે.
આલેખ પરથી, ઢાળ $m = \frac{1.40 - 1.60}{1.60 - 1.10} = \frac{-0.20}{0.50} = -0.4$.
ઢાળને સરખાવતા: $-(\gamma-1) = -0.4$, તેથી $\gamma-1 = 0.4$, જે $\gamma = 1.4$ આપે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, $\gamma = 1.4$ (દા.ત., $C_p/C_v = 7/5 = 1.4$).
આમ, વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય છે અને એડિબેટિક ફેરફાર અનુભવે છે.

(D) $1$. વાયુકોષ્ઠનું કદ $(V)$ શોધો: $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 5.236 \times 10^{-10} \ L$.
$2$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $(PV = nRT)$ નો ઉપયોગ કરીને હવાની કુલ મોલ સંખ્યા $(n_{air})$ શોધો: $n_{air} = 2.057 \times 10^{-11} \ mol$.
$3$. ઓક્સિજનના મોલ $(n_{O_2})$ શોધો: $n_{O_2} = 0.14 \times n_{air} = 2.88 \times 10^{-12} \ mol$.
$4$. ઓક્સિજનના અણુઓની સંખ્યા $(N)$ શોધો: $N = n_{O_2} \times N_A \approx 1.73 \times 10^{12}$ અણુઓ.

(C) વાયુના મોલની સંખ્યા અચળ રહેતી હોવાથી,આપણે સંયુક્ત વાયુ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{P_i V_i}{T_i} = \frac{P_f V_f}{T_f}$.
આપેલ છે:
$P_i = 3.21 \times 10^5 \ Pa$
$T_i = -5.0 \ ^\circ C = 268.15 \ K$
$T_f = 28 \ ^\circ C = 301.15 \ K$
$V_f = V_i + 0.03 V_i = 1.03 V_i$
$P_f$ માટે સૂત્ર:
$P_f = P_i \times \frac{V_i}{V_f} \times \frac{T_f}{T_i}$
કિંમતો મૂકતા:
$P_f = 3.21 \times 10^5 \ Pa \times \frac{1}{1.03} \times \frac{301.15}{268.15}$
$P_f \approx 3.50 \times 10^5 \ Pa$.

(C) વાયુઓના ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંત મુજબ,વાયુના અણુઓનું કદ કુલ કદની સરખામણીમાં અવગણ્ય છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ આકર્ષણ બળ નથી,તે ધારણાઓ આદર્શ વાયુ માટે સાચી છે.
આ શરતો વાસ્તવિક વાયુઓ માટે $high \ temperature$ (ઉચ્ચ તાપમાન) અને $low \ pressure$ (નીચા દબાણ) પર શ્રેષ્ઠ રીતે લાગુ પડે છે.
$high \ temperature$ પર,અણુઓની ગતિજ ઉર્જા વધારે હોય છે,જે આકર્ષણ બળોને દૂર કરે છે.
$low \ pressure$ પર,અણુઓ એકબીજાથી દૂર હોય છે,જેનાથી અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં અવગણ્ય બની જાય છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,તેને $P = (nRT) \cdot (1/V)$ તરીકે લખી શકાય.
વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે ($n$ અચળ છે),$PV$ નો ગુણાકાર તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$P$ વિરુદ્ધ $V$ ના આલેખમાં (સમતાપી),આપેલ કદ $V$ માટે,ઊંચા તાપમાન માટે દબાણ $P$ વધારે હોય છે.
આલેખ જોતા,કોઈપણ અચળ કદ $V$ પર,દબાણના મૂલ્યો $T_1, T_2, T_3$ ને અનુરૂપ વક્રો માટે $P_1 > P_2 > P_3$ ક્રમમાં છે.
તેથી,તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 > T_2 > T_3$ છે.

(A) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે,$V \propto T$ (જ્યાં $T$ કેલ્વિનમાં છે).
પ્રારંભિક શરતો: $V_1 = 0.4 \, L$,$T_1 = 0 + 273 = 273 \, K$.
અંતિમ શરતો: $V_2 = ?$,$T_2 = 273 + 273 = 546 \, K$.
સૂત્ર $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{0.4}{273} = \frac{V_2}{546}$
$V_2 = 0.4 \times \frac{546}{273} = 0.4 \times 2 = 0.8 \, L$.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે,$V \propto T$.
તેથી,$\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$.
આપેલ છે: $V_{1} = 200 \, cm^{3}$,$T_{1} = 17 + 273 = 290 \, K$,$T_{2} = 47 + 273 = 320 \, K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{200}{290} = \frac{V_{2}}{320}$.
$V_{2} = \frac{200 \times 320}{290} = 220.68 \, cm^{3} \approx 220.6 \, cm^{3}$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જેને $P = \frac{dRT}{M}$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $d$ એ ઘનતા છે અને $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
આપેલ છે: $d = 0.00356 \ g/mL = 3.56 \ g/L$,$P = 1 \ atm$,$R = 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$,અને $T = 273 \ K$.
$M$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{dRT}{P}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3.56 \times 0.0821 \times 273}{1} \approx 79.75 \approx 80 \ g/mol$.

(B) પગલું $1$: દરેક વાયુના મોલની ગણતરી કરો.
$N_2$ ના મોલ = $\frac{3.01 \times 10^{24}}{6.02 \times 10^{23}} = 5 \ mol$.
$O_2$ ના મોલ = $\frac{32 \ g}{32 \ g/mol} = 1 \ mol$.
કુલ મોલ $(n)$ = $5 + 1 = 6 \ mol$.
પગલું $2$: આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને મિશ્રણનું કુલ કદ શોધો.
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{6 \times (1/12) \times 860}{3}$.
$V = \frac{0.5 \times 860}{3} = \frac{430}{3} \approx 143.33 \ L$.
પગલું $3$: મિશ્રણનું કુલ દળ શોધો.
$N_2$ નું દળ = $5 \ mol \times 28 \ g/mol = 140 \ g$.
$O_2$ નું દળ = $32 \ g$.
કુલ દળ = $140 + 32 = 172 \ g$.
પગલું $4$: ઘનતા $(d = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}})$ ની ગણતરી કરો.
$d = \frac{172}{143.33} \approx 1.2 \ g/L$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = \frac{m}{M}RT$,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે અને $d = \frac{m}{V}$ એ ઘનતા છે.
મોલર દળ માટેનું સૂત્ર $M = \frac{dRT}{P}$ છે.
આપેલ છે: $d = 3.84 \ g/L$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$T = 210 + 273 = 483 \ K$,અને $P = 1 \ atm$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3.84 \times 0.0821 \times 483}{1} \approx 152.2 \ g/mol$.
વિકલ્પો માટે મોલર દળની ગણતરી કરતા:
$A: C_{10}H_{14}O = 150 \ g/mol$
$B: C_{10}H_{16}O = 152 \ g/mol$
$C: C_{10}H_{16}O_2 = 168 \ g/mol$
$D: C_{10}H_{18}O = 154 \ g/mol$
ગણતરી કરેલ મોલર દળ $152 \ g/mol$ હોવાથી,સાચું સૂત્ર $C_{10}H_{16}O$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી.
$n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,$PV = \frac{mRT}{M}$.
ઘનતા $(d = \frac{m}{V})$ માટે ગોઠવતા,$P = \frac{dRT}{M}$ મળે,જેનો અર્થ છે $d = \frac{PM}{RT}$.
અચળ તાપમાન અને દબાણે,$d \propto M$.
તેથી,ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_{NH_3}}{d_{HCl}} = \frac{M_{NH_3}}{M_{HCl}}$ થાય.
$NH_3$ નું આણ્વીય દળ $= 14 + 3(1) = 17 \ g/mol$.
$HCl$ નું આણ્વીય દળ $= 1 + 35.5 = 36.5 \ g/mol$.
ગુણોત્તર $= \frac{17}{36.5} \approx 0.46$.

(C) વાયુની ઘનતા $(\rho)$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{PM}{RT}$ છે,જ્યાં $P$ દબાણ,$M$ મોલર દળ,$R$ વાયુ અચળાંક અને $T$ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન છે.
$N_2$ વાયુ માટે: $\rho_{N_2} = \frac{P_{N_2} \times M_{N_2}}{RT} = \frac{4 \times 28}{RT}$.
અજ્ઞાત વાયુ માટે: $\rho_{gas} = \frac{P_{gas} \times M_{gas}}{RT} = \frac{2 \times M_{gas}}{RT}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\rho_{gas} = 2 \times \rho_{N_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times M_{gas}}{RT} = 2 \times \left( \frac{4 \times 28}{RT} \right)$.
બંને બાજુથી $RT$ દૂર કરતા: $2 \times M_{gas} = 8 \times 28$.
$M_{gas} = 4 \times 28 = 112\, g\, mol^{-1}$.

(A) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુ માટે,$P_1V_1 = P_2V_2$.
આપેલ છે: $V_1 = 750.0 \ mL$,$P_1 = 840.0 \ mm \ Hg$,$P_2 = 360.0 \ mm \ Hg$.
કિંમતો મૂકતા: $840.0 \ mm \ Hg \times 750.0 \ mL = 360.0 \ mm \ Hg \times V_2$.
$V_2 = \frac{840.0 \times 750.0}{360.0} \ mL = 1750 \ mL$.
લીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $1750 \ mL = 1.750 \ L$.

(B) બોઈલના નિયમ મુજબ,$PV = \text{અચળ}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log \ P + \log \ V = \log \ (\text{અચળ})$
$\log \ P = - \log \ V + \log \ (\text{અચળ})$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log \ P$,$x = \log \ V$,અને ઢાળ $m = -1$ છે.
તેથી,$\log \ P$ વિરુદ્ધ $\log \ V$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.

(C) ધારો કે પાત્રનું કદ $V$ છે. શરૂઆતમાં,$T_1 = 300 \ K$ તાપમાને હવાનું કદ $V$ છે.
$2/5$ હવા બહાર નીકળી જતી હોવાથી,$300 \ K$ તાપમાને બાકી રહેલી હવાનું કદ $V - (2/5)V = (3/5)V$ થાય.
જ્યારે પાત્રને નવા તાપમાન $T_2$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ બાકી રહેલી હવા પાત્રના સંપૂર્ણ કદ $V$ ને ભરી દે છે.
ખુલ્લા પાત્રમાં દબાણ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે ચાર્લ્સના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(3/5)V}{300} = \frac{V}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 300 \times \frac{5}{3} = 500 \ K$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$
આપેલ છે: $P = 200 \, Pa$,$V = 10 \, m^3$,$T = 1000 \, K$,$n = (0.5 + x) \, mol$.
કિંમતો મૂકતા: $200 \times 10 = (0.5 + x) \times R \times 1000$
$2000 = (0.5 + x) \times 1000R$
$2 = (0.5 + x)R$
$\frac{2}{R} = 0.5 + x$
$x = \frac{2}{R} - 0.5$
$x = \frac{2 - 0.5R}{R} = \frac{4 - R}{2R}$

(C) ખુલ્લા પાત્ર માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$,જે સૂચવે છે કે $n_1T_1 = n_2T_2$.
ધારો કે શરૂઆતના મોલની સંખ્યા $n_1 = n$ છે અને શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$ છે.
હવાનો બે-પંચમાંશ ભાગ બહાર નીકળી જાય છે,તેથી બાકી રહેલા મોલ $n_2 = n - \frac{2}{5}n = \frac{3}{5}n$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $n \times 300 = \frac{3}{5}n \times T_2$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 300 \times \frac{5}{3} = 500\,K$.

(A) વાયુની ઘનતા $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{PM}{RT}$ છે.
અહીં,$P = \frac{800}{760}\, atm$,$M = 44\, g/mol$ ($CO_2$ નું આણ્વીય દળ),$R = 0.0821\, L\, atm\, K^{-1} mol^{-1}$,અને $T = 100 + 273 = 373\, K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{(\frac{800}{760}) \times 44}{0.0821 \times 373} \approx 1.51\, g/L$.

(A) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = P \Delta V$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,અચળ દબાણે $P \Delta V = nR \Delta T$ થાય.
આપેલ છે:
$n = 1 \, mol$
$\Delta T = 2 \, ^oC = 2 \, K$ (કારણ કે તાપમાનનો તફાવત સેલ્સિયસ અને કેલ્વિન સ્કેલ પર સમાન હોય છે).
કિંમતો મૂકતા:
$W = nR \Delta T = 1 \, mol \times R \times 2 \, K = 2R$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{w}{M} RT$ છે.
ઘનતા,$\rho = \frac{w}{V} = \frac{PM}{RT}$.
આમ,આદર્શ વાયુની ઘનતા દબાણ $(P)$ ના સમપ્રમાણમાં અને તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ઘનતા મહત્તમ કરવા માટે,આપણે સૌથી વધુ દબાણ અને સૌથી ઓછું તાપમાન જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ સૌથી વધુ દબાણ $(2 \, atm)$ અને સૌથી ઓછું તાપમાન $(273 \, K)$ ધરાવે છે,તેથી તે મહત્તમ ઘનતા આપે છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,ઘનતા $d = \frac{PM_w}{RT}$,જ્યાં $P$ દબાણ છે,$M_w$ મોલર દળ છે,$R$ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન છે.
ધારો કે વાયુઓ સમાન મોલર દળ $(M_w)$ ધરાવે છે,તો સંબંધ $d \propto \frac{P}{T}$ અથવા $P \propto d \times T$ થાય.
આપેલ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ અને તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$ છે.
દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{T_1}{T_2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{1}$.
આમ,તેમના દબાણનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$d = \frac{PM}{RT}$.
અચળ દબાણે,$d \propto \frac{1}{T}$.
$T_1 = 27 + 273 = 300\, K$ અને $d_1 = d$.
$d_2 = 0.75\, d$ માટે,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{T_1}{T_2}$.
$\frac{0.75\, d}{d} = \frac{300}{T_2}$.
$T_2 = \frac{300}{0.75} = 400\, K$.

(D) વાયુની ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{PM_w}{RT}$ છે.
સમાન વાયુ માટે,બે અલગ-અલગ સ્થિતિમાં ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_2}{d_1} = \frac{P_2}{P_1} \times \frac{T_1}{T_2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $d_1 = 5.46\, g/L$,$P_1 = 2\, atm$,$T_1 = 27 + 273 = 300\, K$.
$STP$ પર: $P_2 = 1\, atm$,$T_2 = 273\, K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{d_2}{5.46} = \frac{1}{2} \times \frac{300}{273}$.
$d_2 = 5.46 \times 0.5 \times 1.0989 \approx 3\, g/L$.

(D) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે,$V \propto T$.
તેથી,$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ છે કે કદમાં $10 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $V_2 = 1.10 V_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1.10 V_1}{V_1} = 1.10$.
તાપમાનમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (\frac{T_2}{T_1} - 1) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
$= (1.10 - 1) \times 100 = 0.10 \times 100 = 10 \%$.

(A) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,$t\,^{\circ}C$ તાપમાને વાયુનું કદ $V_t$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V_t = V_0 + \frac{V_0}{273}t$
આ સમીકરણ સુરેખ રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = V_t$,$x = t$,$c = V_0$ અને ઢાળ $m = \frac{V_0}{273}$ છે.
તેથી,આલેખનો ઢાળ $\frac{V_0}{273}$ થશે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે,$V \propto T$ અથવા $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $T_1 = 0\,^\circ C = 273\, K$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{273} = \frac{2V}{T_2}$.
$T_2 = 273 \times 2 = 546\, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = 546 - 273 = 273\,^{\circ}C$.

(B) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ થાય.
આપેલ છે: $V_1 = 20 \ L$,$T_1 = 100 \ K$,$T_2 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{20}{100} = \frac{V_2}{300}$.
$V_2 = \frac{20 \times 300}{100} = 60 \ L$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 60 \ L - 20 \ L = 40 \ L$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \frac{W R T}{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $V, M$ અને $R$ સમાન પાત્ર અને સમાન વાયુ માટે અચળ છે:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{W_1 T_1}{W_2 T_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{10} = \frac{3.2 \times 200}{W_2 \times 500}$
$W_2 = \frac{3.2 \times 200 \times 10}{500}$
$W_2 = \frac{3.2 \times 20}{5} = 3.2 \times 4 = 12.8 \, g$

(D) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે નિશ્ચિત દળના વાયુ માટે,$V \propto T$,જેને $V = (nR/P)T$ તરીકે લખી શકાય.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V$ અને $x = T$,ઢાળ $m = nR/P$ મળે છે.
ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(m \propto 1/P)$,સૌથી નાનો ઢાળ ધરાવતી રેખા સૌથી વધુ દબાણ દર્શાવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$P_3$ માટે રેખાનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે,ત્યારબાદ $P_2$ અને $P_1$ નો ઢાળ સૌથી વધુ છે.
તેથી,દબાણ વચ્ચેનો સંબંધ $P_3 > P_2 > P_1$ છે.