Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Gujarati

(D) બોઇલના નિયમ મુજબ,$PV = K$,જ્યાં $K$ એ અચળ તાપમાને અચળાંક છે.
$P$ ને કર્તા બનાવતા,$P = K \cdot V^{-1}$ મળે છે.
અચળ તાપમાન $T$ પર $V$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નું વિકલન કરતા:
$(dP / dV)_T = d(K \cdot V^{-1}) / dV$.
ઘાતનો નિયમ વાપરતા,$(dP / dV)_T = K \cdot (-1) \cdot V^{-2} = -K / V^2$.

(D) ગરમ હવાના બલૂન એ સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે કે અચળ દબાણે વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જેને $Charles's \ Law$ ($V \propto T$ અચળ $P$ પર) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જેમ બલૂનની અંદરની હવા ગરમ થાય છે,તેમ તેનું કદ વધે છે,જેનાથી હવા આસપાસની હવા કરતા ઓછી ઘનતાવાળી બને છે,જે બલૂનને ઉપર તરફ લઈ જાય છે.

(A) બોઇલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને,નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુનું દબાણ તેના કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto 1/V)$.
ઘનતા $(d)$ એ દળ $(m)$ અને કદ $(V)$ નો ગુણોત્તર હોવાથી,અને નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુ માટે દળ અચળ હોવાથી,$V = m/d$ થાય.
આ કિંમત બોઇલના નિયમમાં મૂકતા,આપણને $P \propto d$ મળે છે.
તેથી,દરિયાની સપાટી પર દબાણ વધારે હોવાથી,ઊંચાઈવાળા વિસ્તારોની સરખામણીમાં ત્યાં હવાની ઘનતા વધારે હોય છે.

(A) અચળ દબાણે,ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
આપેલ છે: $V_1 = 1000 \ mL$,$T_1 = 25 + 273 = 298 \ K$,$T_2 = 35 + 273 = 308 \ K$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1000}{298} = \frac{V_2}{308}$
$V_2 = \frac{1000 \times 308}{298} \approx 1033.56 \ mL$
બહાર નીકળતી હવાનું કદ = $V_2 - V_1 = 1033.56 - 1000 = 33.56 \ mL \approx 33 \ mL$

(D) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુઓના મિશ્રણ માટે પરિણામી દબાણ $P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_1 + V_2}$
આપેલ છે:
$P_1 = 100 \, kPa, V_1 = 1 \, L$
$P_2 = 320 \, kPa, V_2 = 3 \, L$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{(100 \times 1) + (320 \times 3)}{1 + 3}$
$P = \frac{100 + 960}{4}$
$P = \frac{1060}{4}$
$P = 265 \, kPa$

(A) આપેલ છે:
$T_1 = 75^{\circ}C = 348 \, K$
$V_1 = V$
$V_2 = V - 0.15V = 0.85V$
$P_1 = P$
$P_2 = 2P$
સંયુક્ત વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P \times V}{348} = \frac{2P \times 0.85V}{T_2}$
$\frac{1}{348} = \frac{1.7}{T_2}$
$T_2 = 348 \times 1.7 = 591.6 \, K$
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T_2(^{\circ}C) = 591.6 - 273.15 = 318.45^{\circ}C \approx 319^{\circ}C$

(B) ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$P \propto T$ અથવા $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $P_1 = 12 \ atm$,$T_1 = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$.
સિલિન્ડર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ દબાણ,$P_2 = 15 \ atm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{300} = \frac{15}{T_2}$.
$T_2 = \frac{15 \times 300}{12} = 375 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2( ^oC) = 375 - 273 = 102 \ ^oC$.
આમ,સિલિન્ડર $102 \ ^oC$ સુધી ફાટશે નહીં.

(B) આપેલ છે:
$P_1 = 1\, atm$,$V_1 = 100\, cc$,$T_1 = 0\,^{\circ}C = 273\, K$
$P_2 = 1.5\, atm$
$T_2 = T_1 + \frac{T_1}{3} = 273 + \frac{273}{3} = 273 \times \frac{4}{3} = 364\, K$
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
$V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1} = \frac{1 \times 100 \times (273 \times \frac{4}{3})}{1.5 \times 273}$
$V_2 = \frac{100 \times 4}{1.5 \times 3} = \frac{400}{4.5} = 88.88\, cc \approx 88.9\, cc$

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$
આપેલ છે: $P = 10 \ atm$,$V = 0.082 \ L$,$T = 400 \ K$,$R = 0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{10 \times 0.082}{0.082 \times 400} = \frac{10}{400} = 0.025 \ mol$
અણુઓની સંખ્યા = $n \times N_A = 0.025 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.5 \times 10^{22}$ અણુઓ.

(A) આપેલ છે: $V = 1 \, dm^3 = 1 \, L$,$T = -23 \, ^\circ C = 250 \, K$,$P = 7.6 \times 10^{-5} \, torr = \frac{7.6 \times 10^{-5}}{760} \, atm = 10^{-7} \, atm$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,મોલની સંખ્યા $n$ મળે છે:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{10^{-7} \times 1}{0.0821 \times 250} \approx 4.87 \times 10^{-9} \, mol$.
અણુઓની સંખ્યા $N = n \times N_A$:
$N = 4.87 \times 10^{-9} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.93 \times 10^{15}$ અણુઓ.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
અહીં $V_1 = V_2 = x \ L$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ થશે.
પ્રારંભિક કિંમતો મૂકતા,$\frac{y}{z} = \frac{P_2}{T_2}$ મળે.
કદ $x \ L$ જળવાઈ રહે તે માટે દબાણ અને તાપમાનનો ગુણોત્તર સમાન રહેવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{P_2}{T_2} = \frac{y}{z}$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\frac{2y}{2z} = \frac{y}{z}$.
આમ,$2y \ atm$ અને $2z \ K$ તાપમાને કદ $x \ L$ રહેશે.

(D) આપેલ છે: $P_1 = P, V_1 = V, T_1 = 27 + 273 = 300 \ K, n_1 = n$
$P_2 = P, T_2 = -173 + 273 = 100 \ K, n_2 = 2n$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $P$ અચળ છે:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{n_1 T_1}{n_2 T_2}$
$\frac{V}{V_2} = \frac{n \times 300}{2n \times 100}$
$\frac{V}{V_2} = \frac{300}{200} = \frac{3}{2}$
$V_2 = \frac{2V}{3} \ L$

(C) મોલર કદ $V_m$ ની ગણતરી આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
$n = 1 \, mol$,$P = 1 \, atm$,$T = 27 + 273 = 300 \, K$,અને $R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ લેતા.
$V_m = \frac{nRT}{P} = \frac{1 \times 0.0821 \times 300}{1} = 24.63 \, L$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $24.6 \, L$ છે.

(D) વિઘટનની પ્રક્રિયા: $CH_3OH_{(g)} \to CO_{(g)} + 2H_{2(g)}$
શરૂઆતના મોલ: $CH_3OH = 0.01 \, mol$,$CO = 0$,$H_2 = 0$
સંતુલન સમયે (સંપૂર્ણ વિઘટન): $CH_3OH = 0 \, mol$,$CO = 0.01 \, mol$,$H_2 = 0.02 \, mol$
વાયુના કુલ મોલ $n = 0.01 + 0.02 = 0.03 \, mol$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{nRT}{V}$
અહીં $R = 0.082 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$,$T = 600 \, K$,$V = 0.082 \, L$
$P = \frac{0.03 \times 0.082 \times 600}{0.082}$
$P = 0.03 \times 600 = 18 \, atm$

(C) આપેલ છે: $P = 1 \ atm$,$T = 273 \ K$,$V = 1 \ L$,$w = 1.786 \ g$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ: $M = (wRT) / (PV) = (1.786 \times 0.0821 \times 273) / (1 \times 1) \approx 40 \ g/mol$.
$STP$ પર $1 \ mol$ વાયુનું કદ $22.4 \ L$ હોય છે.
તેથી,$M = (1.786 \ g / 1 \ L) \times 22.4 \ L/mol \approx 40 \ g/mol$.
આણ્વીય દળ: $\text{પ્રોપિન} (C_3H_6) = 42 \ g/mol$ જે $40 \ g/mol$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = (\frac{W}{M})RT$.
અહીં $P, V, T$ સમાન હોવાથી,$n_1 = n_2$,એટલે કે $\frac{W_1}{M_1} = \frac{W_2}{M_2}$.
આપેલ છે કે $W_1 = 0.6 \ g$ ($N_2$ માટે $M_1 = 28 \ g \ mol^{-1}$) અને $W_2 = 0.73 \ g$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.6}{28} = \frac{0.73}{M_2}$.
$M_2 = \frac{0.73 \times 28}{0.6} = \frac{20.44}{0.6} \approx 34.06 \ g \ mol^{-1}$.
$PH_3$ નું આણ્વીય દળ $31 + 3(1) = 34 \ g \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,તે વાયુ $PH_3$ છે.

(C) ખુલ્લા ફ્લાસ્ક માટે,દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,અચળ $P$ અને $V$ માટે $n \propto \frac{1}{T}$ થાય.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$.
ધારો કે શરૂઆતના મોલની સંખ્યા $n_1 = n$ છે.
ગરમ કર્યા પછી,ત્રીજા ભાગની હવા દૂર થાય છે,તેથી બાકી રહેલા મોલ $n_2 = n - \frac{n}{3} = \frac{2n}{3}$ થાય.
સંબંધ $\frac{n_1}{n_2} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n}{2n/3} = \frac{T_2}{300}$
$\frac{3}{2} = \frac{T_2}{300}$
$T_2 = \frac{3}{2} \times 300 = 450 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 450 - 273 = 177^{\circ}C$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,મોલની સંખ્યા $n = \frac{PV}{RT}$ દ્વારા મળે છે.
પાત્ર $A$ માટે: $P_A = 2P$,$V_A = 2V$,$T_A = 2T$. તેથી,$n_A = \frac{(2P)(2V)}{R(2T)} = 2 \frac{PV}{RT}$.
પાત્ર $B$ માટે: $P_B = P$,$V_B = V$,$T_B = T$. તેથી,$n_B = \frac{PV}{RT}$.
અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર (જે મોલની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે) $\frac{n_A}{n_B} = \frac{2(PV/RT)}{(PV/RT)} = 2 : 1$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: $W_1 = 3.7 \ g$,$T_1 = 25 + 273 = 298 \ K$,$W_2 = 0.184 \ g$,$M_2 = 2 \ g/mol$ $(H_2)$,$T_2 = 17 + 273 = 290 \ K$.
દબાણ $P$ અને કદ $V$ સમાન હોવાથી,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$n_1 T_1 = n_2 T_2$ મળે.
$n = \frac{W}{M}$ મૂકતા,$\frac{W_1}{M_1} T_1 = \frac{W_2}{M_2} T_2$.
$\frac{3.7}{M_1} \times 298 = \frac{0.184}{2} \times 290$.
$M_1 = \frac{3.7 \times 298 \times 2}{0.184 \times 290}$.
$M_1 = \frac{2205.2}{53.36} \approx 41.3 \ g/mol$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
આ કિંમત મૂકતા,$PV = \frac{m}{M} RT$.
ઘનતા $(d = \frac{m}{V})$ માટે ગોઠવતા,આપણને $d = \frac{PM}{RT}$ મળે છે.
આપેલ વાયુ માટે,$M$ અચળ છે,તેથી $d \propto \frac{P}{T}$.
ઘનતા $(d)$ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે દબાણ $(P)$ મહત્તમ અને તાપમાન $(T)$ ન્યૂનતમ રાખવું પડે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $\frac{P}{T} = \frac{1}{100} = 0.01$
$(B)$ $\frac{P}{T} = \frac{2}{100} = 0.02$
$(C)$ $\frac{P}{T} = \frac{1}{200} = 0.005$
$(D)$ $\frac{P}{T} = \frac{3}{200} = 0.015$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(B)$ માં $\frac{P}{T}$ નો ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PM = dRT$ પરથી,અચળ તાપમાન $T$ માટે $P \propto \frac{d}{M}$ મળે.
આપેલ છે:
$G_1$ માટે: $M_1 = M$,$d_1 = 2d$
$G_2$ માટે: $M_2 = 3M$,$d_2 = d$
દબાણનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{M_1} \times \frac{M_2}{d_2} = \frac{2d}{M} \times \frac{3M}{d} = 6$
તેથી,$G_2$ અને $G_1$ ના દબાણનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{1}{6}$

(C) આપેલ છે: $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$,$d_1 = d$,$d_2 = 0.75d = \frac{3}{4}d$,$P_1 = P_2 = P$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = (\frac{m}{M})RT$,જે $PM = dRT$ તરીકે લખી શકાય છે (જ્યાં $d = \frac{m}{V}$).
અહીં $P$,$M$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$d_1 T_1 = d_2 T_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $d \times 300 = 0.75d \times T_2$.
$T_2 = \frac{300}{0.75} = \frac{300}{3/4} = 300 \times \frac{4}{3} = 400\,K$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PM = dRT$ છે,જ્યાં $P$ દબાણ છે,$M$ મોલર દળ છે,$d$ ઘનતા છે,$R$ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન છે.
આપેલ છે: $P = 2.0\, atm$,$T = 27 + 273 = 300\, K$,$M$ ($CH_4$ માટે) $= 16\, g\, mol^{-1}$,અને $R = 0.0821\, L\, atm\, K^{-1}\, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{PM}{RT} = \frac{2.0 \times 16}{0.0821 \times 300}$.
$d = \frac{32}{24.63} \approx 1.30\, g\, L^{-1}$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PM = dRT$ પરથી,$d = \frac{PM}{RT}$ મળે છે.
તેથી,$d \propto \frac{P}{T}$.
આથી,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{P_2 / T_2}{P_1 / T_1} = \frac{P_2 T_1}{P_1 T_2}$.
પરિણામે,$d_2 = d_1 [T_1 P_2 / T_2 P_1]$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$PV = (m/M)RT$,જ્યાં $m$ એ દળ અને $M$ એ આણ્વિય દળ છે.
ઘનતા $d = m/V$ માટે ગોઠવતા,$d = PM/RT$ મળે.
તેથી,$P = dRT/M$.
આપેલ છે કે $d_x = 2d_y$ અને $M_y = 3M_x$.
દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_x}{P_y} = \frac{d_x R T / M_x}{d_y R T / M_y} = \frac{d_x}{d_y} \times \frac{M_y}{M_x}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_x}{P_y} = (2) \times (3) = 6$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,$PV = \frac{m}{M}RT$ મળે છે.
ઘનતા $(d = \frac{m}{V})$ માટે ગોઠવતા,$P = \frac{dRT}{M}$ મળે છે.
આણ્વિય દળ $(M)$ સમાન હોવાથી,સંબંધ $P \propto d \times T$ થાય છે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ અને તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$ આપેલ છે.
દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{1}$ થાય છે.
તેથી,તેમના દબાણનો ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(A) વાયુની ઘનતા $(d)$ આદર્શ વાયુ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \frac{PM}{RT}$.
અહીં,$P = 3\, atm$,$M$ ($NH_3$ નું આણ્વીય દળ) = $17\, g\, mol^{-1}$,$R = 0.0821\, L\, atm\, K^{-1}\, mol^{-1}$,અને $T = 27 + 273 = 300\, K$.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{3 \times 17}{0.0821 \times 300} = \frac{51}{24.63} \approx 2.07\, g\, L^{-1}$.

(A) $1$. દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યા ગણો:
$n(O_2) = \frac{4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.125 \ mol$
$n(H_2) = \frac{2 \ g}{2 \ g/mol} = 1.0 \ mol$
$2$. કુલ મોલ $(n_{total})$ = $0.125 + 1.0 = 1.125 \ mol$
$3$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરો:
$P = \frac{n_{total} \times R \times T}{V}$
$P = \frac{1.125 \ mol \times 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \times 273 \ K}{1 \ L}$
$P = 1.125 \times 22.4133 = 25.215 \ atm$

(B) આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} nRT$ છે.
અહીં $He$ ની ગતિઊર્જા અને $Ar$ ની ગતિઊર્જા સમાન છે:
$KE_{He} = KE_{Ar}$
$\frac{3}{2} n_{He} R T_{He} = \frac{3}{2} n_{Ar} R T_{Ar}$
$n_{He} \times T_{He} = n_{Ar} \times T_{Ar}$
કિંમતો મૂકતા:
$0.3 \times T_{He} = 0.4 \times 400$
$0.3 \times T_{He} = 160$
$T_{He} = \frac{160}{0.3} = 533.33 \ K$.

(B) દબનીય અવયવ $Z$ એ સમાન તાપમાન અને દબાણે વાસ્તવિક વાયુના મોલર કદ $(V_{real})$ અને આદર્શ વાયુના મોલર કદ $(V_{ideal})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Z = \frac{PV}{nRT}$
આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
તેથી,આદર્શ વાયુ માટે,$Z = \frac{nRT}{nRT} = 1$.
આમ,આદર્શ વાયુ માટે દબનીય અવયવનું મૂલ્ય $1$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટેનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે. $STP$ એ $P = 1 \ atm$ અને $T = 273.15 \ K$ હોય છે. $STP$ એ $2 \ mol$ આદર્શ વાયુનું કદ $V = n \times 22.4 \ L/mol = 2 \times 22.4 = 44.8 \ L$ થાય. અહીં આપેલ કદ $50 \ L$ છે,જે $44.8 \ L$ કરતા વધારે છે. આ પરિસ્થિતિઓમાં (ઓછું દબાણ અને વધુ કદ),વાયુ આદર્શ વાયુ જેવી વર્તણૂંક દર્શાવે છે.

(D) દબનીય અવયવ $Z$ ને $Z = \frac{PV}{nRT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ખૂબ નીચા દબાણે,વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વાયુઓ જેવું વર્તન કરે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,દબનીય અવયવ $Z$ નું મૂલ્ય $1$ હોય છે.
તેથી,ખૂબ નીચા દબાણે $CO_2$ વાયુનો દબનીય અવયવ $1$ ની નજીક પહોંચે છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $P = \frac{dRT}{M}$,જ્યાં $d$ એ ઘનતા છે અને $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
આપેલ છે: $d_A = 2d_B$ અને $M_B = 2M_A$,સમાન તાપમાન $T$ પર.
દબાણનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{d_A}{M_A} \times \frac{M_B}{d_B}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{2d_B}{M_A} \times \frac{2M_A}{d_B} = 2 \times 2 = 4$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_A}{P_B} = 4:1$ થશે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ અને $d = \frac{m}{V}$.
તેથી,$P = \frac{dRT}{M}$.
સમાન તાપમાન $T$ પર વાયુઓ $A$ અને $B$ માટે,દબાણનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{d_A}{d_B} \times \frac{M_B}{M_A}$.
આપેલ છે: $d_A = 4 d_B$ અને $M_A = 0.5 M_B$ (અથવા $M_B = 2 M_A$).
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{4 d_B}{d_B} \times \frac{2 M_A}{M_A} = 4 \times 2 = 8$.

(A) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
તળાવના તળિયે,કુલ દબાણ $P_1 = P_{atm} + P_{water} = \rho g \ell + \rho g h = \rho g(h + \ell)$ છે.
પરપોટાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સપાટી પર,દબાણ $P_2 = P_{atm} = \rho g \ell$ છે.
ત્રિજ્યા $3r$ થાય છે,તેથી કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (3r)^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\rho g(h + \ell) \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g \ell \times 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
સાદુરૂપ આપતા,$h + \ell = 27 \ell$ મળે.
તેથી,$h = 26 \ell$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
$1 \text{ mole}$ વાયુ માટે,$P = RT/V$.
અચળ તાપમાન $T$ પર $V$ ની સાપેક્ષે $P$ નું વિકલન કરતા:
$[\partial P/\partial V]_T = \partial(RT/V)/\partial V = RT \times (\partial(V^{-1})/\partial V) = RT \times (-V^{-2}) = -RT/V^2$.

(B) સંયુક્ત વાયુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
આપેલ છે:
$P_1 = 620 \, mm$,$V_1 = 300 \, cc$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$
$P_2 = 640 \, mm$,$T_2 = 47 + 273 = 320 \, K$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{620 \times 300}{300} = \frac{640 \times V_2}{320}$
$620 = 2 \times V_2$
$V_2 = \frac{620}{2} = 310 \, cc$

(C) સંકોચનીયતા અવયવ $(Z)$ એ વાસ્તવિક વાયુઓનું આદર્શ વાયુથી વિચલન દર્શાવવા માટેની એક અનુકૂળ પદ્ધતિ છે.
$Z = \frac{PV}{nRT}$
આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$ થાય છે.
તેથી,$Z = \frac{nRT}{nRT} = 1$
આમ,આદર્શ વાયુ માટે સંકોચનીયતા અવયવ $1$ હોય છે.

(B) ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,વાયુના નિશ્ચિત કદ માટે,$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $P_1 = 12 \text{ atm}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$P_2 = 14.9 \text{ atm}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{300} = \frac{14.9}{T_2}$.
$T_2 = \frac{14.9 \times 300}{12} = 372.5 \text{ K}$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 372.5 - 273 = 99.5 \,^oC$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = (m/M)RT$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = (m/V) \times (RT/M)$ મળે છે.
ઘનતા $\rho = m/V$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ: $P = \rho \times (RT/M)$.
અચળ તાપમાન $T$ પર,$R$ અને $M$ અચળ છે,તેથી $P \propto \rho$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,તેને $V = (\frac{nR}{P})T$ તરીકે લખી શકાય.
આ $y = mx$ પ્રકારનું રેખીય સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{nR}{P}$ છે.
ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(m \propto \frac{1}{P})$,સૌથી ઓછો ઢાળ ધરાવતી રેખા સૌથી વધુ દબાણ દર્શાવે છે.
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $p_1$ રેખાનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે,ત્યારબાદ $p_3$ અને પછી $p_2$ આવે છે.
તેથી,દબાણનો સાચો ક્રમ $p_1 > p_3 > p_2$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
આપેલ છે:
$P = 2 \, atm$
$V = 100 \, L$
$T = 20 + 273 = 293 \, K$
$R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$
$M$ ($H_2S$ નું આણ્વીય દળ) $= 2(1) + 32 = 34 \, g/mol$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{MPV}{RT} = \frac{34 \times 2 \times 100}{0.0821 \times 293} \approx 282.68 \, g$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$
પ્રથમ,પાણીની વરાળના મોલ $(n)$ ની ગણતરી કરો:
$n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{1.8 \; g}{18 \; g \; mol^{-1}} = 0.1 \; mol$
તાપમાન $(T)$ ને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T = 374 + 273 = 647 \; K$
આપેલ દબાણ $(P)$ $1 \; bar$ છે અને વાયુ અચળાંક $(R)$ $0.083 \; bar \; L \; K^{-1} \; mol^{-1}$ છે.
હવે,કદ $(V)$ ની ગણતરી કરો:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{0.1 \; mol \times 0.083 \; bar \; L \; K^{-1} \; mol^{-1} \times 647 \; K}{1 \; bar} = 5.37 \; L$

(11.35 L) બોઈલના નિયમ મુજબ,$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$.
આપેલ છે: $p_{1} = 1 \ bar$,$V_{1} = 2.27 \ L$,અને $p_{2} = 0.2 \ bar$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$V_{2} = \frac{p_{1} V_{1}}{p_{2}}$
$V_{2} = \frac{1 \ bar \times 2.27 \ L}{0.2 \ bar} = 11.35 \ L$.
કારણ કે જો દબાણ $0.2 \ bar$ થી વધી જાય તો ફુગ્ગો ફૂટી જાય છે,તેથી ફુગ્ગાનું કદ $11.35 \ L$ સુધી વિસ્તારી શકાય છે.

(A) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે,વાયુના નિશ્ચિત જથ્થાનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$.
આપેલ છે:
$V_{1} = 2 \ L$
$T_{1} = 23.4 + 273.15 = 296.55 \ K$
$T_{2} = 26.1 + 273.15 = 299.25 \ K$
$V_{2}$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા:
$V_{2} = \frac{V_{1} \times T_{2}}{T_{1}}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{2} = \frac{2 \ L \times 299.25 \ K}{296.55 \ K}$
$V_{2} \approx 2.018 \ L$

(A) આપેલ છે:
$p_{1} = 760 \,mm \,Hg$,$V_{1} = 600 \,mL$,$T_{1} = 25 + 273 = 298 \,K$
$V_{2} = 640 \,mL$,$T_{2} = 10 + 273 = 283 \,K$
સંયુક્ત વાયુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}$
$p_{2}$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$p_{2} = \frac{p_{1} V_{1} T_{2}}{T_{1} V_{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$p_{2} = \frac{760 \times 600 \times 283}{298 \times 640}$
$p_{2} = \frac{129048000}{190720} \approx 676.6 \,mm \,Hg$

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ,$p_{1} = 1 \, bar$
પ્રારંભિક કદ,$V_{1} = 500 \, dm^{3}$
અંતિમ કદ,$V_{2} = 200 \, dm^{3}$
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ દબાણ $(p_{2})$ ગણી શકાય.
બોઈલના નિયમ મુજબ,
$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$
$\Rightarrow p_{2} = \frac{p_{1} V_{1}}{V_{2}}$
$= \frac{1 \times 500}{200} \, bar$
$= 2.5 \, bar$
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ દબાણ $2.5 \, bar$ છે.

(0.8 BAR) આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ,$p_{1} = 1.2 \, bar$
પ્રારંભિક કદ,$V_{1} = 120 \, mL$
અંતિમ કદ,$V_{2} = 180 \, mL$
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ દબાણ $(p_{2})$ ગણી શકાય છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$.
$p_{2} = \frac{p_{1} V_{1}}{V_{2}}$
$p_{2} = \frac{1.2 \times 120}{180} \, bar$
$p_{2} = 0.8 \, bar$
તેથી,વાયુનું અંતિમ દબાણ $0.8 \, bar$ હશે.

(N/A) સ્થિતિનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે,
$pV = nRT$ .......... $(i)$
જ્યાં,
$p \rightarrow$ વાયુનું દબાણ
$V \rightarrow$ વાયુનું કદ
$n \rightarrow$ વાયુના મોલની સંખ્યા
$R \rightarrow$ વાયુ અચળાંક
$T \rightarrow$ વાયુનું તાપમાન
સમીકરણ $(i)$ પરથી,
$\frac{n}{V} = \frac{p}{RT}$
$n$ ને $\frac{m}{M}$ વડે બદલતા,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,
$\frac{m}{MV} = \frac{p}{RT}$ .......... $(ii)$
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,સમીકરણ $(ii)$ માં કિંમત મૂકતા,
$\frac{d}{M} = \frac{p}{RT}$
$\Rightarrow d = \left(\frac{M}{RT}\right) p$
મોલર દળ $M$ અને વાયુ અચળાંક $R$ અચળ હોવાથી,અચળ તાપમાને $T$,પદ $\left(\frac{M}{RT}\right)$ અચળ રહે છે.
તેથી,$d = (\text{અચળાંક}) \times p$
$\Rightarrow d \propto p$
આમ,આપેલ તાપમાને વાયુની ઘનતા $d$ તેના દબાણ $p$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.