Mix Examples - Statistics Questions in Hindi

(A) माध्यिका के सूत्र में,$cf$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता को दर्शाता है। यहाँ,$l$ माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा है,$n$ प्रेक्षणों की कुल संख्या है,$f$ माध्यिका वर्ग की बारंबारता है,और $c$ वर्ग माप (या वर्ग की लंबाई) है।

(B) माध्यक के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$f$ माध्यक वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।

(C) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्यक के सूत्र $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ में,पद $h$ माध्यक वर्ग की वर्ग माप या वर्ग की लंबाई को दर्शाता है। अतः,$h = \text{वर्ग की लंबाई}$।

(D) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Z - M = (3M - 2\bar{x}) - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
दिए गए समीकरण $Z - M = \ldots \ldots \ldots \quad (M - \bar{x})$ के साथ तुलना करने पर,लुप्त मान $2$ है।

(A) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
यहाँ दिए गए मान $Z = 16$ और $M = 18$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$16 = 3(18) - 2\bar{x}$
$16 = 54 - 2\bar{x}$
$2\bar{x} = 54 - 16$
$2\bar{x} = 38$
$\bar{x} = 19$
अतः,माध्य का मान $19$ है।

(B) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
दिया गया है: $Z = 95$ और $\bar{x} = 98$.
सूत्र में मान रखने पर:
$95 = 3M - 2(98)$
$95 = 3M - 196$
$3M = 95 + 196$
$3M = 291$
$M = \frac{291}{3} = 97$.
अतः,$M$ का मान $97$ है।

(C) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
दिया गया है:
$M = 62.5$
$\bar{x} = 64$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z = 3(62.5) - 2(64)$
$Z = 187.5 - 128$
$Z = 59.5$
अतः,$Z$ का मान $59.5$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$M + \bar{x} = 32$ --- $(1)$
$M - \bar{x} = 2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(M + \bar{x}) + (M - \bar{x}) = 32 + 2$
$2M = 34$
$M = 17$
$M = 17$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$17 + \bar{x} = 32$
$\bar{x} = 32 - 17 = 15$
माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करने पर:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$M$ और $\bar{x}$ के मान रखने पर:
$Z = 3(17) - 2(15)$
$Z = 51 - 30$
$Z = 21$
अतः,$Z$ का मान $21$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$Z + M = 108$ --- $(1)$
$Z - M = -6$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(Z + M) + (Z - M) = 108 - 6$
$2Z = 102$
$Z = 51$
$Z = 51$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$51 + M = 108$
$M = 108 - 51 = 57$
माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करने पर:
$\text{बहुलक }= 3 \times \text{माध्यिका }- 2 \times \text{माध्य}$
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$51 = 3(57) - 2\bar{x}$
$51 = 171 - 2\bar{x}$
$2\bar{x} = 171 - 51$
$2\bar{x} = 120$
$\bar{x} = 60$

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\bar{x} + Z = 37.5$
$(2)$ $\bar{x} - Z = 1.5$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2\bar{x} = 39 \implies \bar{x} = 19.5$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $2Z = 36 \implies Z = 18$
माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करने पर: $Z = 3M - 2\bar{x}$
$18 = 3M - 2(19.5)$
$18 = 3M - 39$
$3M = 18 + 39 = 57$
$M = 57 / 3 = 19$
अतः,माध्यिका $M = 19$ है।

(C) माध्य $(\bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
दिया गया है,$Z - M = 2$,जिसका अर्थ है $M = Z - 2$.
साथ ही,$\bar{x} = 33.5$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = 3(Z - 2) - 2(33.5)$
$Z = 3Z - 6 - 67$
$Z = 3Z - 73$
$73 = 3Z - Z$
$73 = 2Z$
$Z = 36.5$.

(D) माध्य $(\bar{x})$, माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
दिए गए मान $M = 15.4$ और $\bar{x} = 14.5$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = 3(15.4) - 2(14.5)$
$Z = 46.2 - 29.0$
$Z = 17.2$.
अतः, $Z$ का मान $17.2$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $M + \bar{x} = 165$
$(2)$ $M - \bar{x} = 1$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2M = 166 \implies M = 83$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$2\bar{x} = 164 \implies \bar{x} = 82$
माध्य,माध्यक और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करने पर:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$Z = 3(83) - 2(82)$
$Z = 249 - 164$
$Z = 85$

(B) माध्य $(\bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
दिया गया है कि $Z - M = 12$,जिसे हम $Z = M + 12$ लिख सकते हैं।
इस मान को आनुभविक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$M + 12 = 3M - 2\bar{x}$
$12 = 3M - M - 2\bar{x}$
$12 = 2M - 2\bar{x}$
$12 = 2(M - \bar{x})$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$M - \bar{x} = 6$।

(C) बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
दी गई तालिका से,बारंबारताएँ इस प्रकार हैं:
$0-10: 7$
$10-20: 16$
$20-30: 25$
$30-40: 32$
$40-50: 20$
अधिकतम बारंबारता $32$ है,जो वर्ग अंतराल $30-40$ के संगत है।
अतः,बहुलक वर्ग $30-40$ है।

(D) माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले दिए गए आंकड़ों के लिए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
$1$. वर्ग $0-10$: बारंबारता $12$,$cf = 12$
$2$. वर्ग $10-20$: बारंबारता $18$,$cf = 12 + 18 = 30$
$3$. वर्ग $20-30$: बारंबारता $20$,$cf = 30 + 20 = 50$
$4$. वर्ग $30-40$: बारंबारता $17$,$cf = 50 + 17 = 67$
$5$. वर्ग $40-50$: बारंबारता $13$,$cf = 67 + 13 = 80$
प्रेक्षणों की कुल संख्या $N = 80$ है।
हम $N/2 = 80/2 = 40$ ज्ञात करते हैं।
माध्यक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी संचयी बारंबारता $N/2 = 40$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
संचयी बारंबारताओं $(12, 30, 50, 67, 80)$ को देखने पर,$40$ से बड़ी पहली संख्या $50$ है।
अतः,संगत वर्ग अंतराल $20-30$ है।

(B) $n$ प्रेक्षणों $x_1, x_2, ..., x_n$ के समूह का माध्य (औसत) सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $\sum x_i$ सभी मानों का योग है और $n$ प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

(A) प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$,जहाँ $f_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल की बारंबारता है और $x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) है। योग $\sum f_{i}$ को अक्सर $N$ या $n$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो कुल प्रेक्षणों की संख्या को दर्शाता है।

(B) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य के लिए दिए गए सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{n}$ में:
$\bar{x}$ माध्य को दर्शाता है।
$f_{i}$ $i^{th}$ वर्ग की आवृत्ति को दर्शाता है।
$x_{i}$ $i^{th}$ वर्ग का वर्ग चिह्न (मध्यमान) दर्शाता है।
$n$ कुल आवृत्ति को दर्शाता है,जो $\Sigma f_{i}$ के बराबर है।
अतः,$f_{i}$ $i^{th}$ वर्ग की आवृत्ति को दर्शाता है।

(C) सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ का उपयोग वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
इस सूत्र में,$f_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल की आवृत्ति को दर्शाता है और $x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल के वर्ग चिह्न (मध्यमान) को दर्शाता है।
प्रतीक $\Sigma$ योग को दर्शाता है।
अतः,$\Sigma f_{i}$ सभी वर्गों की आवृत्तियों का योग दर्शाता है,जिसे अक्सर $N$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है।

(A) दिया गया सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) है।
इस सूत्र में,$A$ कल्पित माध्य को दर्शाता है।
$x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) है।
$d_{i}$ वर्ग चिह्न का कल्पित माध्य से विचलन है,जिसे $d_{i} = x_{i} - A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times c$ वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि (Step-Deviation Method) को दर्शाता है।
इस सूत्र में,$A$ कल्पित माध्य है,$c$ वर्ग माप (चौड़ाई) है,और $x_{i}$ वर्ग चिह्न है।
चर $u_{i}$ को कल्पित माध्य से वर्ग चिह्न के विचलन को वर्ग माप से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
अतः,$u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$।

(C) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य के सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ में:
$\bar{x}$ आंकड़ों का माध्य दर्शाता है।
$f_{i}$ $i$ वें वर्ग की बारंबारता दर्शाता है।
$x_{i}$ $i$ वें वर्ग का वर्ग-चिह्न या मध्य-मान दर्शाता है,जिसकी गणना $\frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निचली सीमा}}{2}$ द्वारा की जाती है।
अतः,$x_{i}$ $i$ वें वर्ग का मध्य-मान दर्शाता है।

(D) वर्ग अंतराल का मध्य-बिंदु (वर्ग चिह्न) ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{मध्य-बिंदु} = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$।
वर्ग अंतराल $15-30$ के लिए, निम्न सीमा $15$ है और ऊपरी सीमा $30$ है।
$\text{मध्य-बिंदु} = \frac{15 + 30}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$।

(B) अपवर्जी प्रकार के वर्ग अंतराल में,वर्ग-माप की गणना ऊपरी सीमा में से निचली सीमा को घटाकर की जाती है।
वर्ग $20-30$ के लिए,निचली सीमा $20$ है और ऊपरी सीमा $30$ है।
अतः,वर्ग-माप $= 30 - 20 = 10$ है।

(D) एक अपवर्जी वर्ग अंतराल (या सतत श्रेणी) में,निचली सीमा को वर्ग में शामिल किया जाता है,लेकिन ऊपरी सीमा को शामिल नहीं किया जाता है।
वर्ग अंतराल $30-45$ के लिए:
- निचली सीमा $30$ है,जिसे इस वर्ग में शामिल किया जाता है।
- ऊपरी सीमा $45$ है,जिसे इस वर्ग में शामिल नहीं किया जाता है और इसे अगले वर्ग अंतराल (जैसे,$45-60$) में शामिल किया जाता है।
इसलिए,मान $45$ वर्ग $30-45$ में शामिल नहीं है।

(C) संचयी बारंबारता वक्र,संचयी बारंबारता वितरण का एक ग्राफिकल निरूपण है।
इसे $x$-अक्ष पर वर्ग की ऊपरी सीमाओं और $y$-अक्ष पर संबंधित संचयी बारंबारताओं को लेकर खींचा जाता है।
इस वक्र को सामान्यतः $ogive$ (ओजाइव) कहा जाता है।

(B) बारंबारता बंटन के माध्य $\bar{x}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
यहाँ $\Sigma f_{i} x_{i} = 1790$ और $\Sigma f_{i} = 50$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\bar{x} = \frac{1790}{50} = 35.8$
अतः,माध्य $35.8$ है।

(C) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
दी गई मान:
$A = 62.5$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -13$,$\Sigma f_{i} = 100$,$c = 15$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = 62.5 + \left( \frac{-13}{100} \right) \times 15$
$\bar{x} = 62.5 + (-0.13) \times 15$
$\bar{x} = 62.5 - 1.95$
$\bar{x} = 60.55$

(D) कुल बारंबारता $\Sigma f_{i} = 48$ दी गई है।
यह भी दिया गया है कि $\Sigma f_{i} = 43 + f$ है।
कुल बारंबारता के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$43 + f = 48$
दोनों पक्षों से $43$ घटाने पर:
$f = 48 - 43$
$f = 5$
अतः,लुप्त बारंबारता $f$ का मान $5$ है।

(A) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ है।
दिए गए मान $A = 62.5$,$\Sigma f_{i} d_{i} = -50$,और $\Sigma f_{i} = 200$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = 62.5 + \frac{-50}{200}$
$\bar{x} = 62.5 - 0.25$
$\bar{x} = 62.25$.

(B) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ है।
दिए गए मान $A = 200$,$\Sigma f_{i} = 45$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -216$ और $c = 10$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = 200 + \left( \frac{-216}{45} \right) \times 10$
$\bar{x} = 200 + \left( \frac{-2160}{45} \right)$
$\bar{x} = 200 - 48$
$\bar{x} = 152$.

(C) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र है:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
दिए गए मान $A = 49.5$,$\Sigma f_{i} = 40$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -5$ और $c = 20$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = 49.5 + \left( \frac{-5}{40} \right) \times 20$
$\bar{x} = 49.5 + (-0.125) \times 20$
$\bar{x} = 49.5 - 2.5$
$\bar{x} = 47$

(A) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$A = 325, c = 50, \Sigma f_{i} u_{i} = 28, \Sigma f_{i} = 200$
$\bar{x} = 325 + \left( \frac{28}{200} \right) \times 50$
$\bar{x} = 325 + \left( \frac{28}{4} \right)$
$\bar{x} = 325 + 7$
$\bar{x} = 332$

(D) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$।
दिए गए मान $A = 25$,$\Sigma f_{i} d_{i} = 120$ और $\Sigma f_{i} = 140$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = 25 + \frac{120}{140}$
$\bar{x} = 25 + \frac{12}{14} = 25 + \frac{6}{7}$
$\bar{x} = 25 + 0.85714...$
$\bar{x} \approx 25.857$।

(B) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ है।
दिए गए मान $A = 450, c = 100, \Sigma f_{i} u_{i} = -20$ और $\Sigma f_{i} = 20$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = 450 + \left( \frac{-20}{20} \right) \times 100$
$\bar{x} = 450 + (-1) \times 100$
$\bar{x} = 450 - 100$
$\bar{x} = 350$.

(B) वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:
$Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
जहाँ:
$l$ = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
$h$ = वर्ग अंतराल की माप
$f_1$ = बहुलक वर्ग की बारंबारता
$f_0$ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
$f_2$ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता।

(B) वर्गीकृत आंकड़ों के बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,चरों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$l$: बहुलक वर्ग की निचली सीमा।
$f_{1}$: बहुलक वर्ग की बारंबारता।
$f_{0}$: बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता।
$f_{2}$: बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता।
$c$: वर्ग अंतराल की माप।
अतः,$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।

(A) बहुलक वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है।
सबसे पहले,प्रत्येक अवलोकन की आवृत्ति की गणना करते हैं:
$2$ एक बार आता है।
$3$ चार बार आता है।
$4$ दो बार आता है।
$5$ दो बार आता है।
$6$ एक बार आता है।
चूंकि अवलोकन $3$ की आवृत्ति सबसे अधिक $4$ है,इसलिए दिए गए डेटा का बहुलक $3$ है।

(B) वर्गीकृत आंकड़ों के बहुलक की गणना करने के सूत्र में,बहुलक वर्ग वह वर्ग होता है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है। इस अधिकतम बारंबारता को $f_1$ द्वारा दर्शाया जाता है। बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता को $f_0$ और बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता को $f_2$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) वर्गीकृत बारंबारता बंटन के लिए बहुलक ज्ञात करने के सूत्र में,$l$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा को दर्शाता है।
यहाँ दिया गया बहुलक वर्ग $70-85$ है।
इस वर्ग की निम्न सीमा $70$ है।
अतः,$l = 70$।

(B) बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल होता है जिसकी बारंबारता दिए गए बंटन में सबसे अधिक होती है।
दी गई तालिका का अवलोकन करने पर,हम बारंबारताओं की तुलना करते हैं:
$9, 8, 12, 7, 15, 1$.
यहाँ अधिकतम बारंबारता $15$ है।
बारंबारता $15$ के संगत वर्ग अंतराल $20-24$ है।
अतः,बहुलक वर्ग $20-24$ है।

(C) वर्गीकृत आंकड़ों के बहुलक की गणना करने के सूत्र में,$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।
बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल होता है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
दिए गए बारंबारता बंटन को देखने पर:
- बारंबारताएँ $12, 18, 27, 20, 17, 6$ हैं।
- अधिकतम बारंबारता $27$ है,जो वर्ग अंतराल $200-300$ के संगत है।
अतः,बहुलक वर्ग की बारंबारता $f_{1} = 27$ है।

(A) दिए गए बारंबारता बंटन में,अधिकतम बारंबारता $8$ है,जो वर्ग अंतराल $5-7$ के संगत है।
अतः,बहुलक वर्ग $5-7$ है।
बहुलक के सूत्र में,$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता है,$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता है,और $f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता है।
यहाँ,बहुलक वर्ग $5-7$ है,इसलिए इसकी बारंबारता $f_{1} = 8$ है।
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाला वर्ग $3-5$ है,और इसकी बारंबारता $f_{0} = 3$ है।
अतः,$f_{0} = 3$ है।

(A) बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
यहाँ दिया गया है कि बहुलक वर्ग $20-24$ है।
बहुलक की गणना के सूत्र में,$l$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा को दर्शाता है।
अतः,$l = 20$।

(D) वर्गीकृत बारंबारता वितरण के लिए बहुलक के सूत्र में,$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है,$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है,और $f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।
यहाँ दिया गया है कि बहुलक वर्ग $70-85$ है और इसकी बारंबारता $25$ है,इसलिए $f_{1} = 25$ होगा।
बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारंबारता $8$ है,इसलिए $f_{0} = 8$ होगा।
बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारंबारता $20$ है,इसलिए $f_{2} = 20$ होगा।
अतः,$f_{0}, f_{1}$ और $f_{2}$ के मान क्रमशः $8, 25$ और $20$ हैं।

(B) वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:
$M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
जहाँ:
$l$ = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
$n$ = प्रेक्षणों की कुल संख्या
$cf$ = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
$f$ = माध्यक वर्ग की बारंबारता
$h$ = वर्ग माप (वर्ग अंतराल की चौड़ाई)।

(C) किसी वर्ग की संचयी बारंबारता उस वर्ग तक के सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग होती है।
तृतीय वर्ग की संचयी बारंबारता = (प्रथम वर्ग की बारंबारता) + (द्वितीय वर्ग की बारंबारता) + (तृतीय वर्ग की बारंबारता)
तृतीय वर्ग की संचयी बारंबारता = $8 + 15 + 18 = 41$.

(D) किसी वर्ग की संचयी बारंबारता उस वर्ग तक की सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग होती है।
मान लीजिए कि $cf_n$ $n$-वें वर्ग की संचयी बारंबारता है और $f_n$ $n$-वें वर्ग की बारंबारता है।
हम जानते हैं कि $cf_n = cf_{n-1} + f_n$ होता है।
इसलिए,$cf_{n-1} = cf_n - f_n$ होगा।
यहाँ दिया गया है कि चौथे वर्ग की संचयी बारंबारता $(cf_4)$ $25$ है और चौथे वर्ग की बारंबारता $(f_4)$ $10$ है,इसलिए:
$cf_3 = cf_4 - f_4$
$cf_3 = 25 - 10 = 15$.
अतः,तीसरे वर्ग की संचयी बारंबारता $15$ है।

(A) सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए संचयी बारंबारता $(cf)$ ज्ञात करें:
- $20-25$: $cf = 2$
- $25-30$: $cf = 2 + 5 = 7$
- $30-35$: $cf = 7 + 8 = 15$
- $35-40$: $cf = 15 + 10 = 25$
- $40-45$: $cf = 25 + 7 = 32$
- $45-50$: $cf = 32 + 10 = 42$
- $50-55$: $cf = 42 + 3 = 45$
कुल बारंबारता $n = 45$ है।
हमें $\frac{n}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$ ज्ञात करना है।
माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता $22.5$ से ठीक बड़ी है।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर,$25$ वह पहला मान है जो $22.5$ से बड़ा है,जो वर्ग अंतराल $35-40$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $35-40$ है।