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Mix Examples - Statistics Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Statistics · Mix Examples - Statistics
193+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 193 questions in Hindi
51
MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| बारंबारता | $2$ | $4$ | $10$ | $20$ | $18$ | $20$ | $16$ | $10$ |
A
$57.9$
B
$50.2$
C
$47.2$
D
$48.2$
Solution
(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x_i$ वर्ग चिह्न है।
$1$. वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात कीजिए: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75$.
$2$. $f_i x_i$ की गणना कीजिए:
$2 \times 5 = 10$
$4 \times 15 = 60$
$10 \times 25 = 250$
$20 \times 35 = 700$
$18 \times 45 = 810$
$20 \times 55 = 1100$
$16 \times 65 = 1040$
$10 \times 75 = 750$
$3$. बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$ = $2 + 4 + 10 + 20 + 18 + 20 + 16 + 10 = 100$.
$4$. $f_i x_i$ का योग $(\sum f_i x_i)$ = $10 + 60 + 250 + 700 + 810 + 1100 + 1040 + 750 = 4720$.
$5$. माध्य $\bar{x} = \frac{4720}{100} = 47.2$.
$1$. वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात कीजिए: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75$.
$2$. $f_i x_i$ की गणना कीजिए:
$2 \times 5 = 10$
$4 \times 15 = 60$
$10 \times 25 = 250$
$20 \times 35 = 700$
$18 \times 45 = 810$
$20 \times 55 = 1100$
$16 \times 65 = 1040$
$10 \times 75 = 750$
$3$. बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$ = $2 + 4 + 10 + 20 + 18 + 20 + 16 + 10 = 100$.
$4$. $f_i x_i$ का योग $(\sum f_i x_i)$ = $10 + 60 + 250 + 700 + 810 + 1100 + 1040 + 750 = 4720$.
$5$. माध्य $\bar{x} = \frac{4720}{100} = 47.2$.
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View Solution52
MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए:
($.55$ में)
| वर्ग | $80-90$ | $90-100$ | $100-110$ | $110-120$ | $120-130$ | $130-140$ | $140-150$ | $150-160$ | $160-170$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | $6$ | $18$ | $78$ | $80$ | $100$ | $72$ | $0$ | $40$ | $6$ |
A
$222$
B
$40$
C
$190$
D
$122$
Solution
(D) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $x_i$ वर्ग चिह्न है।
$1$. वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें: $85, 95, 105, 115, 125, 135, 145, 155, 165$.
$2$. $f_i x_i$ की गणना करें:
$6 \times 85 = 510$
$18 \times 95 = 1710$
$78 \times 105 = 8190$
$80 \times 115 = 9200$
$100 \times 125 = 12500$
$72 \times 135 = 9720$
$0 \times 145 = 0$
$40 \times 155 = 6200$
$6 \times 165 = 990$
$3$. बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 6 + 18 + 78 + 80 + 100 + 72 + 0 + 40 + 6 = 400$.
$4$. गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 510 + 1710 + 8190 + 9200 + 12500 + 9720 + 0 + 6200 + 990 = 49020$.
$5$. माध्य $\bar{x} = \frac{49020}{400} = 122.55$.
$1$. वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें: $85, 95, 105, 115, 125, 135, 145, 155, 165$.
$2$. $f_i x_i$ की गणना करें:
$6 \times 85 = 510$
$18 \times 95 = 1710$
$78 \times 105 = 8190$
$80 \times 115 = 9200$
$100 \times 125 = 12500$
$72 \times 135 = 9720$
$0 \times 145 = 0$
$40 \times 155 = 6200$
$6 \times 165 = 990$
$3$. बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 6 + 18 + 78 + 80 + 100 + 72 + 0 + 40 + 6 = 400$.
$4$. गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 510 + 1710 + 8190 + 9200 + 12500 + 9720 + 0 + 6200 + 990 = 49020$.
$5$. माध्य $\bar{x} = \frac{49020}{400} = 122.55$.
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View Solution53
MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ |
| बारंबारता | $12$ | $16$ | $8$ | $6$ | $8$ |
A
$31.4$
B
$35.5$
C
$37.4$
D
$38.8$
Solution
(A) माध्य की गणना करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करते हैं,जिसका सूत्र है: $x_i = \frac{\text{निम्न सीमा} + \text{ऊपरी सीमा}}{2}$.
$1$. $10-20$ के लिए: $x_1 = \frac{10+20}{2} = 15$
$2$. $20-30$ के लिए: $x_2 = \frac{20+30}{2} = 25$
$3$. $30-40$ के लिए: $x_3 = \frac{30+40}{2} = 35$
$4$. $40-50$ के लिए: $x_4 = \frac{40+50}{2} = 45$
$5$. $50-60$ के लिए: $x_5 = \frac{50+60}{2} = 55$
अब,प्रत्येक वर्ग के लिए $f_i x_i$ की गणना करें:
- $12 \times 15 = 180$
- $16 \times 25 = 400$
- $8 \times 35 = 280$
- $6 \times 45 = 270$
- $8 \times 55 = 440$
बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$: $12 + 16 + 8 + 6 + 8 = 50$.
गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$: $180 + 400 + 280 + 270 + 440 = 1570$.
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{1570}{50} = 31.4$.
$1$. $10-20$ के लिए: $x_1 = \frac{10+20}{2} = 15$
$2$. $20-30$ के लिए: $x_2 = \frac{20+30}{2} = 25$
$3$. $30-40$ के लिए: $x_3 = \frac{30+40}{2} = 35$
$4$. $40-50$ के लिए: $x_4 = \frac{40+50}{2} = 45$
$5$. $50-60$ के लिए: $x_5 = \frac{50+60}{2} = 55$
अब,प्रत्येक वर्ग के लिए $f_i x_i$ की गणना करें:
- $12 \times 15 = 180$
- $16 \times 25 = 400$
- $8 \times 35 = 280$
- $6 \times 45 = 270$
- $8 \times 55 = 440$
बारंबारताओं का योग $(\sum f_i)$: $12 + 16 + 8 + 6 + 8 = 50$.
गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$: $180 + 400 + 280 + 270 + 440 = 1570$.
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{1570}{50} = 31.4$.
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View Solution54
MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य $18$ है। अज्ञात बारंबारता $f$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $11-13$ | $13-15$ | $15-17$ | $17-19$ | $19-21$ | $21-23$ | $23-25$ |
| बारंबारता | $3$ | $6$ | $9$ | $13$ | $f$ | $5$ | $4$ |
A
$87$
B
$8$
C
$9$
D
$10$
Solution
(B) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं:
$11-13: x_1 = 12$
$13-15: x_2 = 14$
$15-17: x_3 = 16$
$17-19: x_4 = 18$
$19-21: x_5 = 20$
$21-23: x_6 = 22$
$23-25: x_7 = 24$
अब,$f_i x_i$ की गणना करते हैं:
$3 \times 12 = 36$
$6 \times 14 = 84$
$9 \times 16 = 144$
$13 \times 18 = 234$
$f \times 20 = 20f$
$5 \times 22 = 110$
$4 \times 24 = 96$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 3+6+9+13+f+5+4 = 40+f$
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 36+84+144+234+20f+110+96 = 704+20f$
दिया गया माध्य $\bar{x} = 18$ है,इसलिए हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं:
$18 = \frac{704+20f}{40+f}$
$18(40+f) = 704+20f$
$720+18f = 704+20f$
$720-704 = 20f-18f$
$16 = 2f$
$f = 8$
$11-13: x_1 = 12$
$13-15: x_2 = 14$
$15-17: x_3 = 16$
$17-19: x_4 = 18$
$19-21: x_5 = 20$
$21-23: x_6 = 22$
$23-25: x_7 = 24$
अब,$f_i x_i$ की गणना करते हैं:
$3 \times 12 = 36$
$6 \times 14 = 84$
$9 \times 16 = 144$
$13 \times 18 = 234$
$f \times 20 = 20f$
$5 \times 22 = 110$
$4 \times 24 = 96$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 3+6+9+13+f+5+4 = 40+f$
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 36+84+144+234+20f+110+96 = 704+20f$
दिया गया माध्य $\bar{x} = 18$ है,इसलिए हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं:
$18 = \frac{704+20f}{40+f}$
$18(40+f) = 704+20f$
$720+18f = 704+20f$
$720-704 = 20f-18f$
$16 = 2f$
$f = 8$
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता वितरण का माध्य $52$ है। लुप्त बारंबारता $f$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| बारंबारता | $5$ | $3$ | $4$ | $f$ | $2$ | $6$ | $13$ |
A
$9$
B
$8$
C
$7$
D
$10$
Solution
(C) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करते हैं:
$10-20: x_1 = 15$
$20-30: x_2 = 25$
$30-40: x_3 = 35$
$40-50: x_4 = 45$
$50-60: x_5 = 55$
$60-70: x_6 = 65$
$70-80: x_7 = 75$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 5 + 3 + 4 + f + 2 + 6 + 13 = 33 + f$.
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = (5 \times 15) + (3 \times 25) + (4 \times 35) + (f \times 45) + (2 \times 55) + (6 \times 65) + (13 \times 75)$
$= 75 + 75 + 140 + 45f + 110 + 390 + 975 = 1765 + 45f$.
दिया गया माध्य $\bar{x} = 52$ है,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं:
$52 = \frac{1765 + 45f}{33 + f}$
$52(33 + f) = 1765 + 45f$
$1716 + 52f = 1765 + 45f$
$52f - 45f = 1765 - 1716$
$7f = 49$
$f = 7$.
$10-20: x_1 = 15$
$20-30: x_2 = 25$
$30-40: x_3 = 35$
$40-50: x_4 = 45$
$50-60: x_5 = 55$
$60-70: x_6 = 65$
$70-80: x_7 = 75$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 5 + 3 + 4 + f + 2 + 6 + 13 = 33 + f$.
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = (5 \times 15) + (3 \times 25) + (4 \times 35) + (f \times 45) + (2 \times 55) + (6 \times 65) + (13 \times 75)$
$= 75 + 75 + 140 + 45f + 110 + 390 + 975 = 1765 + 45f$.
दिया गया माध्य $\bar{x} = 52$ है,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं:
$52 = \frac{1765 + 45f}{33 + f}$
$52(33 + f) = 1765 + 45f$
$1716 + 52f = 1765 + 45f$
$52f - 45f = 1765 - 1716$
$7f = 49$
$f = 7$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य $28.5$ है और कुल बारंबारता $60$ है। लुप्त बारंबारताएँ $f_{1}$ और $f_{2}$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ |
| बारंबारता | $6$ | $f_1$ | $20$ | $15$ | $f_2$ | $4$ |
A
$7, 8$
B
$8, 10$
C
$18, 25$
D
$8, 7$
Solution
(D) दी गई कुल बारंबारता $N = 60$ है।
बारंबारताओं का योग: $6 + f_1 + 20 + 15 + f_2 + 4 = 60$
$45 + f_1 + f_2 = 60 \implies f_1 + f_2 = 15$ ---(समीकरण $1$)
वर्ग चिह्न $(x_i)$ और $f_i x_i$ की गणना:
वर्ग $0-10$: $x_i = 5, f_i x_i = 30$
वर्ग $10-20$: $x_i = 15, f_i x_i = 15f_1$
वर्ग $20-30$: $x_i = 25, f_i x_i = 500$
वर्ग $30-40$: $x_i = 35, f_i x_i = 525$
वर्ग $40-50$: $x_i = 45, f_i x_i = 45f_2$
वर्ग $50-60$: $x_i = 55, f_i x_i = 220$
योग $\sum f_i x_i = 30 + 15f_1 + 500 + 525 + 45f_2 + 220 = 1275 + 15f_1 + 45f_2$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 28.5$
$\frac{1275 + 15f_1 + 45f_2}{60} = 28.5$
$1275 + 15f_1 + 45f_2 = 1710$
$15f_1 + 45f_2 = 435$
$15$ से भाग देने पर: $f_1 + 3f_2 = 29$ ---(समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर:
$(f_1 + 3f_2) - (f_1 + f_2) = 29 - 15$
$2f_2 = 14 \implies f_2 = 7$
समीकरण $1$ में $f_2 = 7$ रखने पर: $f_1 + 7 = 15 \implies f_1 = 8$.
अतः,$f_1 = 8$ और $f_2 = 7$ है।
बारंबारताओं का योग: $6 + f_1 + 20 + 15 + f_2 + 4 = 60$
$45 + f_1 + f_2 = 60 \implies f_1 + f_2 = 15$ ---(समीकरण $1$)
वर्ग चिह्न $(x_i)$ और $f_i x_i$ की गणना:
वर्ग $0-10$: $x_i = 5, f_i x_i = 30$
वर्ग $10-20$: $x_i = 15, f_i x_i = 15f_1$
वर्ग $20-30$: $x_i = 25, f_i x_i = 500$
वर्ग $30-40$: $x_i = 35, f_i x_i = 525$
वर्ग $40-50$: $x_i = 45, f_i x_i = 45f_2$
वर्ग $50-60$: $x_i = 55, f_i x_i = 220$
योग $\sum f_i x_i = 30 + 15f_1 + 500 + 525 + 45f_2 + 220 = 1275 + 15f_1 + 45f_2$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = 28.5$
$\frac{1275 + 15f_1 + 45f_2}{60} = 28.5$
$1275 + 15f_1 + 45f_2 = 1710$
$15f_1 + 45f_2 = 435$
$15$ से भाग देने पर: $f_1 + 3f_2 = 29$ ---(समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर:
$(f_1 + 3f_2) - (f_1 + f_2) = 29 - 15$
$2f_2 = 14 \implies f_2 = 7$
समीकरण $1$ में $f_2 = 7$ रखने पर: $f_1 + 7 = 15 \implies f_1 = 8$.
अतः,$f_1 = 8$ और $f_2 = 7$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता वितरण का माध्य $60$ है और कुल बारंबारता $120$ है। लुप्त बारंबारताएँ $f_{1}$ और $f_{2}$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $10-30$ | $30-50$ | $50-70$ | $70-90$ | $90-110$ |
| बारंबारता | $17$ | $f_{1}$ | $32$ | $f_{2}$ | $19$ |
A
$f_{1} = 28, f_{2} = 24$
B
$f_{1} = 20, f_{2} = 24$
C
$f_{1} = 28, f_{2} = 20$
D
$f_{1} = 38, f_{2} = 55$
Solution
(A) दी गई कुल बारंबारता $\sum f_i = 120$ है। अतः,$17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120 \implies f_1 + f_2 = 52$ (समीकरण $1$)।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $20, 40, 60, 80, 100$ हैं। योग $\sum f_i x_i = (17 \times 20) + (f_1 \times 40) + (32 \times 60) + (f_2 \times 80) + (19 \times 100) = 340 + 40f_1 + 1920 + 80f_2 + 1900 = 4160 + 40f_1 + 80f_2$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 60 \implies \frac{4160 + 40f_1 + 80f_2}{120} = 60$ है।
$4160 + 40f_1 + 80f_2 = 7200 \implies 40f_1 + 80f_2 = 3040 \implies f_1 + 2f_2 = 76$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(f_1 + 2f_2) - (f_1 + f_2) = 76 - 52 \implies f_2 = 24$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में $f_2 = 24$ रखने पर: $f_1 + 24 = 52 \implies f_1 = 28$। अतः,$f_1 = 28$ और $f_2 = 24$ है।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $20, 40, 60, 80, 100$ हैं। योग $\sum f_i x_i = (17 \times 20) + (f_1 \times 40) + (32 \times 60) + (f_2 \times 80) + (19 \times 100) = 340 + 40f_1 + 1920 + 80f_2 + 1900 = 4160 + 40f_1 + 80f_2$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 60 \implies \frac{4160 + 40f_1 + 80f_2}{120} = 60$ है।
$4160 + 40f_1 + 80f_2 = 7200 \implies 40f_1 + 80f_2 = 3040 \implies f_1 + 2f_2 = 76$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(f_1 + 2f_2) - (f_1 + f_2) = 76 - 52 \implies f_2 = 24$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ में $f_2 = 24$ रखने पर: $f_1 + 24 = 52 \implies f_1 = 28$। अतः,$f_1 = 28$ और $f_2 = 24$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-100$ | $100-200$ | $200-300$ | $300-400$ | $400-500$ | $500-600$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | $7$ | $21$ | $37$ | $13$ | $12$ | $10$ |
A
$120$
B
$240$
C
$560$
D
$340$
Solution
(B) बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है। यहाँ,सबसे अधिक बारंबारता $37$ है,जो वर्ग अंतराल $200-300$ के संगत है।
अतः,बहुलक वर्ग $200-300$ है।
बहुलक के लिए सूत्र: $Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
जहाँ:
$l$ (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा) $= 200$
$h$ (वर्ग माप) $= 100$
$f_1$ (बहुलक वर्ग की बारंबारता) $= 37$
$f_0$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता) $= 21$
$f_2$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता) $= 13$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z = 200 + \left( \frac{37 - 21}{2(37) - 21 - 13} \right) \times 100$
$Z = 200 + \left( \frac{16}{74 - 34} \right) \times 100$
$Z = 200 + \left( \frac{16}{40} \right) \times 100$
$Z = 200 + 0.4 \times 100$
$Z = 200 + 40 = 240$
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का बहुलक $240$ है।
अतः,बहुलक वर्ग $200-300$ है।
बहुलक के लिए सूत्र: $Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
जहाँ:
$l$ (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा) $= 200$
$h$ (वर्ग माप) $= 100$
$f_1$ (बहुलक वर्ग की बारंबारता) $= 37$
$f_0$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता) $= 21$
$f_2$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता) $= 13$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z = 200 + \left( \frac{37 - 21}{2(37) - 21 - 13} \right) \times 100$
$Z = 200 + \left( \frac{16}{74 - 34} \right) \times 100$
$Z = 200 + \left( \frac{16}{40} \right) \times 100$
$Z = 200 + 0.4 \times 100$
$Z = 200 + 40 = 240$
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का बहुलक $240$ है।
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निम्नलिखित डेटा का बहुलक $33 \frac{1}{3}$ है और कुल आवृत्ति $100$ है। लुप्त आवृत्तियाँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ |
| आवृत्ति | $7$ | $12$ | $x$ | $28$ | $y$ | $9$ |
Solution
(A) यहाँ,बहुलक $33 \frac{1}{3}$ वर्ग $30-40$ में स्थित है।
अतः,$30-40$ बहुलक वर्ग है।
अब,$c$ (वर्ग की लंबाई) $= 10$,$l$ (बहुलक वर्ग की निचली सीमा) $= 30$,$f_1$ (बहुलक वर्ग की आवृत्ति) $= 28$,$f_0$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की आवृत्ति) $= x$,और $f_2$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की आवृत्ति) $= y$ है।
बहुलक सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times c$ में मान रखने पर:
$33 \frac{1}{3} = 30 + \left( \frac{28 - x}{2(28) - x - y} \right) \times 10$
$3 \frac{1}{3} = \frac{28 - x}{56 - x - y} \times 10$
$\frac{10}{3} = \frac{28 - x}{56 - x - y} \times 10$
$\frac{1}{3} = \frac{28 - x}{56 - x - y}$
$56 - x - y = 84 - 3x$
$2x - y = 28$ ... $(1)$
इसके अलावा,कुल आवृत्ति $100$ है।
$7 + 12 + x + 28 + y + 9 = 100$
$56 + x + y = 100$
$x + y = 44$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$3x = 72 \implies x = 24$
समीकरण $(2)$ में $x = 24$ रखने पर:
$24 + y = 44 \implies y = 20$
अतः,लुप्त आवृत्तियाँ $x = 24$ और $y = 20$ हैं।
अतः,$30-40$ बहुलक वर्ग है।
अब,$c$ (वर्ग की लंबाई) $= 10$,$l$ (बहुलक वर्ग की निचली सीमा) $= 30$,$f_1$ (बहुलक वर्ग की आवृत्ति) $= 28$,$f_0$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की आवृत्ति) $= x$,और $f_2$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की आवृत्ति) $= y$ है।
बहुलक सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times c$ में मान रखने पर:
$33 \frac{1}{3} = 30 + \left( \frac{28 - x}{2(28) - x - y} \right) \times 10$
$3 \frac{1}{3} = \frac{28 - x}{56 - x - y} \times 10$
$\frac{10}{3} = \frac{28 - x}{56 - x - y} \times 10$
$\frac{1}{3} = \frac{28 - x}{56 - x - y}$
$56 - x - y = 84 - 3x$
$2x - y = 28$ ... $(1)$
इसके अलावा,कुल आवृत्ति $100$ है।
$7 + 12 + x + 28 + y + 9 = 100$
$56 + x + y = 100$
$x + y = 44$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$3x = 72 \implies x = 24$
समीकरण $(2)$ में $x = 24$ रखने पर:
$24 + y = 44 \implies y = 20$
अतः,लुप्त आवृत्तियाँ $x = 24$ और $y = 20$ हैं।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ | $80-90$ |
| बारंबारता | $8$ | $12$ | $27$ | $43$ | $55$ | $37$ | $18$ |
A
$640$
B
$62$
C
$63$
D
$64$
Solution
(D) वर्गीकृत बारंबारता बंटन के लिए बहुलक ज्ञात करने का सूत्र:
$Mode = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$1$. बहुलक वर्ग की पहचान करें (सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग)। यहाँ,सबसे अधिक बारंबारता $55$ है,जो वर्ग $60-70$ के संगत है।
$2$. बहुलक वर्ग से:
निम्न सीमा $(l)$ = $60$
बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_1)$ = $55$
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $(f_0)$ = $43$
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $(f_2)$ = $37$
वर्ग माप $(h)$ = $70 - 60 = 10$
$3$. सूत्र में मान रखने पर:
$Mode = 60 + \left( \frac{55 - 43}{2(55) - 43 - 37} \right) \times 10$
$Mode = 60 + \left( \frac{12}{110 - 80} \right) \times 10$
$Mode = 60 + \left( \frac{12}{30} \right) \times 10$
$Mode = 60 + \left( \frac{12}{3} \right)$
$Mode = 60 + 4 = 64$
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का बहुलक $64$ है।
$Mode = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$1$. बहुलक वर्ग की पहचान करें (सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग)। यहाँ,सबसे अधिक बारंबारता $55$ है,जो वर्ग $60-70$ के संगत है।
$2$. बहुलक वर्ग से:
निम्न सीमा $(l)$ = $60$
बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_1)$ = $55$
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $(f_0)$ = $43$
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $(f_2)$ = $37$
वर्ग माप $(h)$ = $70 - 60 = 10$
$3$. सूत्र में मान रखने पर:
$Mode = 60 + \left( \frac{55 - 43}{2(55) - 43 - 37} \right) \times 10$
$Mode = 60 + \left( \frac{12}{110 - 80} \right) \times 10$
$Mode = 60 + \left( \frac{12}{30} \right) \times 10$
$Mode = 60 + \left( \frac{12}{3} \right)$
$Mode = 60 + 4 = 64$
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का बहुलक $64$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-20$ | $20-40$ | $40-60$ | $60-80$ | $80-100$ | $100-120$ |
| बारंबारता | $8$ | $9$ | $26$ | $23$ | $20$ | $14$ |
A
$57$
B
$55$
C
$56$
D
$54$
Solution
(A) वर्गीकृत बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
$Mode = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$1$. बहुलक वर्ग की पहचान करें: सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग $40-60$ है (बारंबारता $26$)।
$2$. यहाँ,बहुलक वर्ग की निचली सीमा $l = 40$,वर्ग अंतराल की माप $h = 20$ है।
$3$. बहुलक वर्ग की बारंबारता $f_1 = 26$ है।
$4$. बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $f_0 = 9$ है।
$5$. बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $f_2 = 23$ है।
$6$. इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Mode = 40 + \left( \frac{26 - 9}{2(26) - 9 - 23} \right) \times 20$
$Mode = 40 + \left( \frac{17}{52 - 32} \right) \times 20$
$Mode = 40 + \left( \frac{17}{20} \right) \times 20$
$Mode = 40 + 17 = 57$
अतः,बहुलक $57$ है।
$Mode = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$1$. बहुलक वर्ग की पहचान करें: सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग $40-60$ है (बारंबारता $26$)।
$2$. यहाँ,बहुलक वर्ग की निचली सीमा $l = 40$,वर्ग अंतराल की माप $h = 20$ है।
$3$. बहुलक वर्ग की बारंबारता $f_1 = 26$ है।
$4$. बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $f_0 = 9$ है।
$5$. बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $f_2 = 23$ है।
$6$. इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Mode = 40 + \left( \frac{26 - 9}{2(26) - 9 - 23} \right) \times 20$
$Mode = 40 + \left( \frac{17}{52 - 32} \right) \times 20$
$Mode = 40 + \left( \frac{17}{20} \right) \times 20$
$Mode = 40 + 17 = 57$
अतः,बहुलक $57$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता वितरण का बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | $6$ | $8$ | $17$ | $24$ | $42$ | $30$ | $15$ | $8$ |
A
$45$
B
$46$
C
$47$
D
$48$
Solution
(B) वर्गीकृत बारंबारता वितरण के लिए बहुलक का सूत्र इस प्रकार है:
$Mode = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$1$. बहुलक वर्ग की पहचान करें: सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग $40-50$ है,अतः बहुलक वर्ग $40-50$ है।
$2$. मापदंडों की पहचान करें:
- बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $(l)$ = $40$
- बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_1)$ = $42$
- बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $(f_0)$ = $24$
- बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $(f_2)$ = $30$
- वर्ग अंतराल $(h)$ = $10$
$3$. सूत्र में मान रखने पर:
$Mode = 40 + \left( \frac{42 - 24}{2(42) - 24 - 30} \right) \times 10$
$Mode = 40 + \left( \frac{18}{84 - 54} \right) \times 10$
$Mode = 40 + \left( \frac{18}{30} \right) \times 10$
$Mode = 40 + \left( \frac{18}{3} \right) = 40 + 6 = 46$
अतः,बहुलक $46$ है।
$Mode = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$1$. बहुलक वर्ग की पहचान करें: सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग $40-50$ है,अतः बहुलक वर्ग $40-50$ है।
$2$. मापदंडों की पहचान करें:
- बहुलक वर्ग की निम्न सीमा $(l)$ = $40$
- बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_1)$ = $42$
- बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता $(f_0)$ = $24$
- बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता $(f_2)$ = $30$
- वर्ग अंतराल $(h)$ = $10$
$3$. सूत्र में मान रखने पर:
$Mode = 40 + \left( \frac{42 - 24}{2(42) - 24 - 30} \right) \times 10$
$Mode = 40 + \left( \frac{18}{84 - 54} \right) \times 10$
$Mode = 40 + \left( \frac{18}{30} \right) \times 10$
$Mode = 40 + \left( \frac{18}{3} \right) = 40 + 6 = 46$
अतः,बहुलक $46$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-15$ | $15-30$ | $30-45$ | $45-60$ | $60-75$ | $75-90$ | $90-105$ |
| बारंबारता | $4$ | $5$ | $23$ | $45$ | $66$ | $42$ | $15$ |
A
$67.5$
B
$77$
C
$67$
D
$66$
Solution
(C) बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक है। यहाँ,सबसे अधिक बारंबारता $66$ है,जो वर्ग अंतराल $60-75$ के संगत है।
बहुलक का सूत्र: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
यहाँ:
$l$ (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा) $= 60$
$h$ (वर्ग माप) $= 15$
$f_1$ (बहुलक वर्ग की बारंबारता) $= 66$
$f_0$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता) $= 45$
$f_2$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता) $= 42$
मान रखने पर:
$\text{Mode} = 60 + \left( \frac{66 - 45}{2(66) - 45 - 42} \right) \times 15$
$\text{Mode} = 60 + \left( \frac{21}{132 - 87} \right) \times 15$
$\text{Mode} = 60 + \left( \frac{21}{45} \right) \times 15$
$\text{Mode} = 60 + \left( \frac{21}{3} \right) = 60 + 7 = 67$
बहुलक का सूत्र: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
यहाँ:
$l$ (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा) $= 60$
$h$ (वर्ग माप) $= 15$
$f_1$ (बहुलक वर्ग की बारंबारता) $= 66$
$f_0$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता) $= 45$
$f_2$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता) $= 42$
मान रखने पर:
$\text{Mode} = 60 + \left( \frac{66 - 45}{2(66) - 45 - 42} \right) \times 15$
$\text{Mode} = 60 + \left( \frac{21}{132 - 87} \right) \times 15$
$\text{Mode} = 60 + \left( \frac{21}{45} \right) \times 15$
$\text{Mode} = 60 + \left( \frac{21}{3} \right) = 60 + 7 = 67$
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $65-85$ | $85-105$ | $105-125$ | $125-145$ | $145-165$ | $165-185$ | $185-205$ |
| बारंबारता | $4$ | $5$ | $13$ | $20$ | $14$ | $8$ | $4$ |
A
$134$
B
$136$
C
$135$
D
$137$
Solution
(D) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता सारणी तैयार करते हैं:
यहाँ,कुल बारंबारता $n = 68$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{68}{2} = 34$.
$34$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $42$ है,जो वर्ग $125-145$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $125-145$ है।
यहाँ,$l = 125$,$cf = 22$,$f = 20$ और वर्ग माप $h = 20$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20$
$M = 125 + 12 = 137$.
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का माध्यक $137$ है।
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $65-85$ | $4$ | $4$ |
| $85-105$ | $5$ | $9$ |
| $105-125$ | $13$ | $22$ |
| $125-145$ | $20$ | $42$ |
| $145-165$ | $14$ | $56$ |
| $165-185$ | $8$ | $64$ |
| $185-205$ | $4$ | $68$ |
यहाँ,कुल बारंबारता $n = 68$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{68}{2} = 34$.
$34$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $42$ है,जो वर्ग $125-145$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $125-145$ है।
यहाँ,$l = 125$,$cf = 22$,$f = 20$ और वर्ग माप $h = 20$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 125 + \left( \frac{34 - 22}{20} \right) \times 20$
$M = 125 + 12 = 137$.
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का माध्यक $137$ है।
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Medium
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $28.5$ है और कुल बारंबारता $60$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ |
| बारंबारता | $5$ | $x$ | $20$ | $15$ | $y$ | $5$ |
Solution
(X=8, Y=7)
यहाँ कुल बारंबारता $n = 60$ है।
अतः,$45 + x + y = 60 \implies x + y = 15$ (समीकरण $1$)।
चूँकि $n = 60$,$\frac{n}{2} = 30$ है।
माध्यक $28.5$ वर्ग $20-30$ में स्थित है। अतः,माध्यक वर्ग $20-30$ है।
यहाँ $l = 20$,$cf = 5 + x$,$f = 20$ और वर्ग अंतराल $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 10$
$8.5 = \frac{25 - x}{2}$
$17 = 25 - x \implies x = 8$।
समीकरण $1$ में $x = 8$ रखने पर: $8 + y = 15 \implies y = 7$।
अतः,लुप्त बारंबारताएँ $x = 8$ और $y = 7$ हैं।
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $0-10$ | $5$ | $5$ |
| $10-20$ | $x$ | $5+x$ |
| $20-30$ | $20$ | $25+x$ |
| $30-40$ | $15$ | $40+x$ |
| $40-50$ | $y$ | $40+x+y$ |
| $50-60$ | $5$ | $45+x+y$ |
यहाँ कुल बारंबारता $n = 60$ है।
अतः,$45 + x + y = 60 \implies x + y = 15$ (समीकरण $1$)।
चूँकि $n = 60$,$\frac{n}{2} = 30$ है।
माध्यक $28.5$ वर्ग $20-30$ में स्थित है। अतः,माध्यक वर्ग $20-30$ है।
यहाँ $l = 20$,$cf = 5 + x$,$f = 20$ और वर्ग अंतराल $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$28.5 = 20 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 10$
$8.5 = \frac{25 - x}{2}$
$17 = 25 - x \implies x = 8$।
समीकरण $1$ में $x = 8$ रखने पर: $8 + y = 15 \implies y = 7$।
अतः,लुप्त बारंबारताएँ $x = 8$ और $y = 7$ हैं।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $5-10$ | $10-15$ | $15-20$ | $20-25$ | $25-30$ | $30-35$ | $35-40$ | $40-45$ |
| बारंबारता | $5$ | $6$ | $15$ | $10$ | $5$ | $4$ | $2$ | $2$ |
A
$19$
B
$19.5$
C
$21$
D
$25.5$
Solution
(B) यहाँ कुल बारंबारता $n = 49$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{49}{2} = 24.5$.
$24.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $26$ है,जो वर्ग अंतराल $15-20$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यक वर्ग $15-20$ है।
यहाँ,$l = 15$ (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा),$cf = 11$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता),$f = 15$ (माध्यक वर्ग की बारंबारता) और $h = 5$ (वर्ग माप)।
माध्यक का सूत्र: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 15 + \left( \frac{24.5 - 11}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \left( \frac{13.5}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \frac{13.5}{3} = 15 + 4.5 = 19.5$.
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का माध्यक $19.5$ है।
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{49}{2} = 24.5$.
$24.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $26$ है,जो वर्ग अंतराल $15-20$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यक वर्ग $15-20$ है।
यहाँ,$l = 15$ (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा),$cf = 11$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता),$f = 15$ (माध्यक वर्ग की बारंबारता) और $h = 5$ (वर्ग माप)।
माध्यक का सूत्र: $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$M = 15 + \left( \frac{24.5 - 11}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \left( \frac{13.5}{15} \right) \times 5$
$M = 15 + \frac{13.5}{3} = 15 + 4.5 = 19.5$.
अतः,दिए गए बारंबारता बंटन का माध्यक $19.5$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $30-35$ | $35-40$ | $40-45$ | $45-50$ | $50-55$ | $55-60$ | $60-65$ | $65-70$ | $70-75$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | $1$ | $2$ | $5$ | $10$ | $17$ | $15$ | $9$ | $5$ | $3$ |
A
$53.56$
B
$52.96$
C
$54.56$
D
$64.66$
Solution
(C) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल बारंबारता $N = 67$. अतः,$N/2 = 67/2 = 33.5$.
$cf$ स्तंभ को देखने पर,माध्यक वर्ग $50-55$ है क्योंकि $33.5$ इस अंतराल में आता है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 50$,वर्ग माप $h = 5$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 17$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 18$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 50 + \left( \frac{33.5 - 18}{17} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 50 + \left( \frac{15.5}{17} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 50 + \frac{77.5}{17} \approx 50 + 4.5588 \approx 54.56$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
|---|---|---|
| $30-35$ | $1$ | $1$ |
| $35-40$ | $2$ | $3$ |
| $40-45$ | $5$ | $8$ |
| $45-50$ | $10$ | $18$ |
| $50-55$ | $17$ | $35$ |
| $55-60$ | $15$ | $50$ |
| $60-65$ | $9$ | $59$ |
| $65-70$ | $5$ | $64$ |
| $70-75$ | $3$ | $67$ |
कुल बारंबारता $N = 67$. अतः,$N/2 = 67/2 = 33.5$.
$cf$ स्तंभ को देखने पर,माध्यक वर्ग $50-55$ है क्योंकि $33.5$ इस अंतराल में आता है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 50$,वर्ग माप $h = 5$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 17$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 18$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 50 + \left( \frac{33.5 - 18}{17} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 50 + \left( \frac{15.5}{17} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 50 + \frac{77.5}{17} \approx 50 + 4.5588 \approx 54.56$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $60-70$ | $70-80$ | $80-90$ | $90-100$ | $100-110$ | $110-120$ |
| बारंबारता | $5$ | $15$ | $20$ | $30$ | $20$ | $8$ |
A
$90$
B
$91$
C
$92$
D
$93$
Solution
(D) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल बारंबारता $N = 98$. अतः,$N/2 = 98/2 = 49$.
$49$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $70$ है,जो वर्ग अंतराल $90-100$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $90-100$ है।
यहाँ,$l = 90$,$f = 30$,$cf = 40$,और $h = 10$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 90 + \left( \frac{49 - 40}{30} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 90 + \left( \frac{9}{30} \right) \times 10 = 90 + 3 = 93$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $60-70$ | $5$ | $5$ |
| $70-80$ | $15$ | $20$ |
| $80-90$ | $20$ | $40$ |
| $90-100$ | $30$ | $70$ |
| $100-110$ | $20$ | $90$ |
| $110-120$ | $8$ | $98$ |
कुल बारंबारता $N = 98$. अतः,$N/2 = 98/2 = 49$.
$49$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $70$ है,जो वर्ग अंतराल $90-100$ के संगत है। अतः,माध्यक वर्ग $90-100$ है।
यहाँ,$l = 90$,$f = 30$,$cf = 40$,और $h = 10$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 90 + \left( \frac{49 - 40}{30} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 90 + \left( \frac{9}{30} \right) \times 10 = 90 + 3 = 93$.
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DifficultMCQ
निम्नलिखित बारंबारता वितरण का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ |
|---|---|
| $110-120$ | $6$ |
| $120-130$ | $25$ |
| $130-140$ | $48$ |
| $140-150$ | $72$ |
| $150-160$ | $116$ |
| $160-170$ | $60$ |
| $170-180$ | $38$ |
| $180-190$ | $22$ |
| $190-200$ | $3$ |
A
$153.79$
B
$125.95$
C
$195.95$
D
$190$
Solution
(A) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $110-120$ | $6$ | $6$ |
| $120-130$ | $25$ | $31$ |
| $130-140$ | $48$ | $79$ |
| $140-150$ | $72$ | $151$ |
| $150-160$ | $116$ | $267$ |
| $160-170$ | $60$ | $327$ |
| $170-180$ | $38$ | $365$ |
| $180-190$ | $22$ | $387$ |
| $190-200$ | $3$ | $390$ |
कुल बारंबारता $N = 390$. इसलिए,$N/2 = 390/2 = 195$.
$195$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $267$ है,जो वर्ग अंतराल $150-160$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $150-160$ है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 150$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 116$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 151$,और वर्ग माप $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 150 + \left( \frac{195 - 151}{116} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 150 + \left( \frac{44}{116} \right) \times 10 = 150 + \frac{440}{116} \approx 150 + 3.79 = 153.79$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $110-120$ | $6$ | $6$ |
| $120-130$ | $25$ | $31$ |
| $130-140$ | $48$ | $79$ |
| $140-150$ | $72$ | $151$ |
| $150-160$ | $116$ | $267$ |
| $160-170$ | $60$ | $327$ |
| $170-180$ | $38$ | $365$ |
| $180-190$ | $22$ | $387$ |
| $190-200$ | $3$ | $390$ |
कुल बारंबारता $N = 390$. इसलिए,$N/2 = 390/2 = 195$.
$195$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $267$ है,जो वर्ग अंतराल $150-160$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $150-160$ है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 150$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 116$,माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 151$,और वर्ग माप $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 150 + \left( \frac{195 - 151}{116} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 150 + \left( \frac{44}{116} \right) \times 10 = 150 + \frac{440}{116} \approx 150 + 3.79 = 153.79$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-20$ | $20-40$ | $40-60$ | $60-80$ | $80-100$ |
| बारंबारता | $5$ | $15$ | $20$ | $18$ | $2$ |
A
$60$
B
$50$
C
$150$
D
$55.5$
Solution
(B) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल बारंबारता $N = 60$. अतः,$N/2 = 60/2 = 30$.
$30$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $40$ है,जो माध्यक वर्ग $40-60$ के संगत है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 40$,वर्ग माप $h = 20$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 20$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 20$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{30 - 20}{20} \right) \times 20$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{10}{20} \right) \times 20 = 40 + 10 = 50$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
| $0-20$ | $5$ | $5$ |
| $20-40$ | $15$ | $20$ |
| $40-60$ | $20$ | $40$ |
| $60-80$ | $18$ | $58$ |
| $80-100$ | $2$ | $60$ |
कुल बारंबारता $N = 60$. अतः,$N/2 = 60/2 = 30$.
$30$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $40$ है,जो माध्यक वर्ग $40-60$ के संगत है।
यहाँ,निम्न सीमा $l = 40$,वर्ग माप $h = 20$,माध्यक वर्ग की बारंबारता $f = 20$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 20$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{30 - 20}{20} \right) \times 20$
$\text{Median} = 40 + \left( \frac{10}{20} \right) \times 20 = 40 + 10 = 50$.
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DifficultMCQ
निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्यक (median) ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| आवृत्ति | $2$ | $6$ | $8$ | $16$ | $20$ | $18$ | $16$ | $14$ |
A
$55$
B
$50$
C
$49$
D
$49.5$
Solution
(C) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी आवृत्ति $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल आवृत्ति $N = 100$ है। इसलिए,$N/2 = 50$ है।
$50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $52$ है,जो वर्ग अंतराल $40-50$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40$,$f = 20$,$cf = 32$,और $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 40 + \left( \frac{50 - 32}{20} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 40 + \left( \frac{18}{20} \right) \times 10 = 40 + 9 = 49$.
| वर्ग | आवृत्ति $(f)$ | संचयी आवृत्ति $(cf)$ |
| $0-10$ | $2$ | $2$ |
| $10-20$ | $6$ | $8$ |
| $20-30$ | $8$ | $16$ |
| $30-40$ | $16$ | $32$ |
| $40-50$ | $20$ | $52$ |
| $50-60$ | $18$ | $70$ |
| $60-70$ | $16$ | $86$ |
| $70-80$ | $14$ | $100$ |
कुल आवृत्ति $N = 100$ है। इसलिए,$N/2 = 50$ है।
$50$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $52$ है,जो वर्ग अंतराल $40-50$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40$,$f = 20$,$cf = 32$,और $h = 10$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 40 + \left( \frac{50 - 32}{20} \right) \times 10$
$\text{माध्यक} = 40 + \left( \frac{18}{20} \right) \times 10 = 40 + 9 = 49$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-5$ | $5-10$ | $10-15$ | $15-20$ | $20-25$ | $25-30$ | $30-35$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | $5$ | $15$ | $15$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ |
A
$21.90$
B
$23.67$
C
$12.57$
D
$11.67$
Solution
(D) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
कुल बारंबारता $N = 50$. इसलिए,$N/2 = 25$.
$25$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $35$ है,जो वर्ग अंतराल $10-15$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $10-15$ है।
यहाँ,$l = 10$,$f = 15$,$cf$ (पूर्ववर्ती वर्ग की) $= 20$,और $h = 5$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 10 + \left( \frac{25 - 20}{15} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 10 + \left( \frac{5}{15} \right) \times 5 = 10 + \frac{25}{15} = 10 + 1.666... = 11.67$.
| वर्ग | बारंबारता $(f)$ | संचयी बारंबारता $(cf)$ |
|---|---|---|
| $0-5$ | $5$ | $5$ |
| $5-10$ | $15$ | $20$ |
| $10-15$ | $15$ | $35$ |
| $15-20$ | $8$ | $43$ |
| $20-25$ | $4$ | $47$ |
| $25-30$ | $2$ | $49$ |
| $30-35$ | $1$ | $50$ |
कुल बारंबारता $N = 50$. इसलिए,$N/2 = 25$.
$25$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $35$ है,जो वर्ग अंतराल $10-15$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $10-15$ है।
यहाँ,$l = 10$,$f = 15$,$cf$ (पूर्ववर्ती वर्ग की) $= 20$,और $h = 5$.
माध्यक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{माध्यक} = 10 + \left( \frac{25 - 20}{15} \right) \times 5$
$\text{माध्यक} = 10 + \left( \frac{5}{15} \right) \times 5 = 10 + \frac{25}{15} = 10 + 1.666... = 11.67$.
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Difficult
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $525$ है और कुल बारंबारता $100$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-100$ | $100-200$ | $200-300$ | $300-400$ | $400-500$ | $500-600$ | $600-700$ | $700-800$ | $800-900$ | $900-1000$ |
| बारंबारता | $2$ | $5$ | $x$ | $12$ | $17$ | $20$ | $y$ | $9$ | $7$ | $4$ |
Solution
(A) दिया गया है,कुल बारंबारता $N = 100$ है।
बारंबारताओं का योग: $2 + 5 + x + 12 + 17 + 20 + y + 9 + 7 + 4 = 100$
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ --- $(1)$
चूंकि माध्यक $525$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $500-600$ है।
यहाँ,$l = 500$,$f = 20$,$cf = (2 + 5 + x + 12 + 17) = 36 + x$,$h = 100$,और $N/2 = 50$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x \implies x = 9$
समीकरण $(1)$ में $x = 9$ रखने पर: $9 + y = 24 \implies y = 15$।
अतः,$x = 9$ और $y = 15$ है।
बारंबारताओं का योग: $2 + 5 + x + 12 + 17 + 20 + y + 9 + 7 + 4 = 100$
$76 + x + y = 100 \implies x + y = 24$ --- $(1)$
चूंकि माध्यक $525$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $500-600$ है।
यहाँ,$l = 500$,$f = 20$,$cf = (2 + 5 + x + 12 + 17) = 36 + x$,$h = 100$,और $N/2 = 50$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$525 = 500 + \left( \frac{50 - (36 + x)}{20} \right) \times 100$
$25 = (14 - x) \times 5$
$5 = 14 - x \implies x = 9$
समीकरण $(1)$ में $x = 9$ रखने पर: $9 + y = 24 \implies y = 15$।
अतः,$x = 9$ और $y = 15$ है।
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Difficult
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $46$ है और कुल बारंबारता $230$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| बारंबारता | $12$ | $30$ | $x$ | $65$ | $y$ | $25$ | $18$ |
Solution
(N/A) दी गई कुल बारंबारता $N = 230$ है।
बारंबारताओं का योग: $12 + 30 + x + 65 + y + 25 + 18 = 230$
$150 + x + y = 230 \implies x + y = 80$ ---(समीकरण $1$)
चूंकि माध्यक $46$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40$,$h = 10$,$f = 65$,$N = 230$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 12 + 30 + x = 42 + x$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$46 = 40 + \left( \frac{115 - (42 + x)}{65} \right) \times 10$
$6 = \left( \frac{73 - x}{65} \right) \times 10$
$6 \times 6.5 = 73 - x$
$39 = 73 - x \implies x = 34$.
समीकरण $1$ में $x = 34$ रखने पर: $34 + y = 80 \implies y = 46$.
अतः,$x = 34$ और $y = 46$ है।
बारंबारताओं का योग: $12 + 30 + x + 65 + y + 25 + 18 = 230$
$150 + x + y = 230 \implies x + y = 80$ ---(समीकरण $1$)
चूंकि माध्यक $46$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40$,$h = 10$,$f = 65$,$N = 230$,और माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता $cf = 12 + 30 + x = 42 + x$ है।
माध्यक के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$46 = 40 + \left( \frac{115 - (42 + x)}{65} \right) \times 10$
$6 = \left( \frac{73 - x}{65} \right) \times 10$
$6 \times 6.5 = 73 - x$
$39 = 73 - x \implies x = 34$.
समीकरण $1$ में $x = 34$ रखने पर: $34 + y = 80 \implies y = 46$.
अतः,$x = 34$ और $y = 46$ है।
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य,माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-30$ | $30-60$ | $60-90$ | $90-120$ | $120-150$ | $150-180$ |
| बारंबारता | $8$ | $15$ | $16$ | $20$ | $12$ | $9$ |
Solution
(N/A) $1$. माध्य: वर्ग चिह्न $(x_i)$ $15, 45, 75, 105, 135, 165$ हैं। बारंबारताओं का योग $(sum f_i)$ $80$ है। गुणनफलों का योग $(sum f_i x_i)$ $(8 \times 15) + (15 \times 45) + (16 \times 75) + (20 \times 105) + (12 \times 135) + (9 \times 165) = 120 + 675 + 1200 + 2100 + 1620 + 1485 = 7200$ है। माध्य $= \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{7200}{80} = 90$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 40$। संचयी बारंबारताएँ $8, 23, 39, 59, 71, 80$ हैं। माध्यिका वर्ग $90-120$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 90 + \left( \frac{40 - 39}{20} \right) \times 30 = 90 + (1/20) \times 30 = 90 + 1.5 = 91.5$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $90-120$ है (अधिकतम बारंबारता $20$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 90 + \left( \frac{20 - 16}{2(20) - 16 - 12} \right) \times 30 = 90 + \left( \frac{4}{40 - 28} \right) \times 30 = 90 + \left( \frac{4}{12} \right) \times 30 = 90 + 10 = 100$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 40$। संचयी बारंबारताएँ $8, 23, 39, 59, 71, 80$ हैं। माध्यिका वर्ग $90-120$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 90 + \left( \frac{40 - 39}{20} \right) \times 30 = 90 + (1/20) \times 30 = 90 + 1.5 = 91.5$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $90-120$ है (अधिकतम बारंबारता $20$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 90 + \left( \frac{20 - 16}{2(20) - 16 - 12} \right) \times 30 = 90 + \left( \frac{4}{40 - 28} \right) \times 30 = 90 + \left( \frac{4}{12} \right) \times 30 = 90 + 10 = 100$.
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य,माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ |
| बारंबारता | $5$ | $12$ | $18$ | $40$ | $15$ | $7$ | $3$ |
Solution
(N/A) $1$. माध्य: $\sum f_i = 100$. मध्य-बिंदु $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$. $\sum f_i x_i = (5 \times 5) + (12 \times 15) + (18 \times 25) + (40 \times 35) + (15 \times 45) + (7 \times 55) + (3 \times 65) = 25 + 180 + 450 + 1400 + 675 + 385 + 195 = 3310$. माध्य $= \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3310}{100} = 33.1$.
$2$. माध्यिका: $N=100, N/2 = 50$. संचयी बारंबारता: $5, 17, 35, 75, 90, 97, 100$. माध्यिका वर्ग $30-40$ है। $l=30, cf=35, f=40, h=10$. माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 30 + \left( \frac{50 - 35}{40} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{15}{4} \right) = 30 + 3.75 = 33.75$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $30-40$ है (अधिकतम बारंबारता $40$)। $l=30, f_1=40, f_0=18, f_2=15, h=10$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 30 + \left( \frac{40 - 18}{2(40) - 18 - 15} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{22}{80 - 33} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{220}{47} \right) \approx 30 + 4.68 = 34.68$.
$2$. माध्यिका: $N=100, N/2 = 50$. संचयी बारंबारता: $5, 17, 35, 75, 90, 97, 100$. माध्यिका वर्ग $30-40$ है। $l=30, cf=35, f=40, h=10$. माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 30 + \left( \frac{50 - 35}{40} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{15}{4} \right) = 30 + 3.75 = 33.75$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $30-40$ है (अधिकतम बारंबारता $40$)। $l=30, f_1=40, f_0=18, f_2=15, h=10$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 30 + \left( \frac{40 - 18}{2(40) - 18 - 15} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{22}{80 - 33} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{220}{47} \right) \approx 30 + 4.68 = 34.68$.
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$400$ विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का बारंबारता वितरण नीचे दिया गया है। यदि बारंबारता वितरण का माध्य $41.2$ है,तो लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| अंक | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| विद्यार्थियों की संख्या | $26$ | $26$ | $x$ | $110$ | $84$ | $y$ | $36$ | $32$ |
Solution
(N/A) कुल विद्यार्थियों की संख्या $N = 400$ है।
अतः,$26 + 26 + x + 110 + 84 + y + 36 + 32 = 400$.
$314 + x + y = 400 \implies x + y = 86$ ---$(i)$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 41.2$.
वर्गों के मध्य-बिंदु $(x_i)$ हैं: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75$.
$f_i x_i$ का योग: $(26 \times 5) + (26 \times 15) + (x \times 25) + (110 \times 35) + (84 \times 45) + (y \times 55) + (36 \times 65) + (32 \times 75)$.
$= 130 + 390 + 25x + 3850 + 3780 + 55y + 2340 + 2400 = 12890 + 25x + 55y$.
अतः,$\frac{12890 + 25x + 55y}{400} = 41.2$.
$12890 + 25x + 55y = 16480 \implies 25x + 55y = 3590$.
$5$ से भाग देने पर,$5x + 11y = 718$ ---(ii).
समीकरण $(i)$ से $x = 86 - y$. इसे $(ii)$ में रखने पर:
$5(86 - y) + 11y = 718 \implies 430 - 5y + 11y = 718$.
$6y = 288 \implies y = 48$.
अतः,$x = 86 - 48 = 38$.
उत्तर: $x = 38, y = 48$.
अतः,$26 + 26 + x + 110 + 84 + y + 36 + 32 = 400$.
$314 + x + y = 400 \implies x + y = 86$ ---$(i)$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 41.2$.
वर्गों के मध्य-बिंदु $(x_i)$ हैं: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75$.
$f_i x_i$ का योग: $(26 \times 5) + (26 \times 15) + (x \times 25) + (110 \times 35) + (84 \times 45) + (y \times 55) + (36 \times 65) + (32 \times 75)$.
$= 130 + 390 + 25x + 3850 + 3780 + 55y + 2340 + 2400 = 12890 + 25x + 55y$.
अतः,$\frac{12890 + 25x + 55y}{400} = 41.2$.
$12890 + 25x + 55y = 16480 \implies 25x + 55y = 3590$.
$5$ से भाग देने पर,$5x + 11y = 718$ ---(ii).
समीकरण $(i)$ से $x = 86 - y$. इसे $(ii)$ में रखने पर:
$5(86 - y) + 11y = 718 \implies 430 - 5y + 11y = 718$.
$6y = 288 \implies y = 48$.
अतः,$x = 86 - 48 = 38$.
उत्तर: $x = 38, y = 48$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य $46$ है। लुप्त बारंबारता $f$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-20, 20-40, 40-60, 60-80, 80-100, 100-120$ |
| बारंबारता | $10, f, 7, 6, 5, 4$ |
A
$8$
B
$18$
C
$38$
D
$28$
Solution
(B) वर्गीकृत बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करें:
$0-20: x_1 = 10$
$20-40: x_2 = 30$
$40-60: x_3 = 50$
$60-80: x_4 = 70$
$80-100: x_5 = 90$
$100-120: x_6 = 110$
अब,$\sum f_i x_i = (10 \times 10) + (f \times 30) + (7 \times 50) + (6 \times 70) + (5 \times 90) + (4 \times 110) = 100 + 30f + 350 + 420 + 450 + 440 = 1760 + 30f$ की गणना करें।
$\sum f_i = 10 + f + 7 + 6 + 5 + 4 = 32 + f$ की गणना करें।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 46$ है,इसलिए $46 = \frac{1760 + 30f}{32 + f}$ है।
$46(32 + f) = 1760 + 30f$
$1472 + 46f = 1760 + 30f$
$46f - 30f = 1760 - 1472$
$16f = 288$
$f = \frac{288}{16} = 18$.
सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ की गणना करें:
$0-20: x_1 = 10$
$20-40: x_2 = 30$
$40-60: x_3 = 50$
$60-80: x_4 = 70$
$80-100: x_5 = 90$
$100-120: x_6 = 110$
अब,$\sum f_i x_i = (10 \times 10) + (f \times 30) + (7 \times 50) + (6 \times 70) + (5 \times 90) + (4 \times 110) = 100 + 30f + 350 + 420 + 450 + 440 = 1760 + 30f$ की गणना करें।
$\sum f_i = 10 + f + 7 + 6 + 5 + 4 = 32 + f$ की गणना करें।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 46$ है,इसलिए $46 = \frac{1760 + 30f}{32 + f}$ है।
$46(32 + f) = 1760 + 30f$
$1472 + 46f = 1760 + 30f$
$46f - 30f = 1760 - 1472$
$16f = 288$
$f = \frac{288}{16} = 18$.
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निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य $26.5$ है और कुल बारंबारता $60$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ |
| बारंबारता | $6$ | $x$ | $17$ | $y$ | $8$ |
Solution
(A) दी गई कुल बारंबारता $N = 60$ है।
बारंबारताओं का योग: $6 + x + 17 + y + 8 = 60 \implies x + y + 31 = 60 \implies x + y = 29$ (समीकरण $1$)।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 26.5$ है।
$\sum f_i x_i = (6 \times 5) + (x \times 15) + (17 \times 25) + (y \times 35) + (8 \times 45) = 30 + 15x + 425 + 35y + 360 = 815 + 15x + 35y$।
$\frac{815 + 15x + 35y}{60} = 26.5 \implies 815 + 15x + 35y = 1590 \implies 15x + 35y = 775$।
$5$ से भाग देने पर: $3x + 7y = 155$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x = 29 - y$। इसे समीकरण $2$ में रखने पर: $3(29 - y) + 7y = 155 \implies 87 - 3y + 7y = 155 \implies 4y = 68 \implies y = 17$।
अतः $x = 29 - 17 = 12$।
इस प्रकार,$x = 12$ और $y = 17$।
बारंबारताओं का योग: $6 + x + 17 + y + 8 = 60 \implies x + y + 31 = 60 \implies x + y = 29$ (समीकरण $1$)।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 26.5$ है।
$\sum f_i x_i = (6 \times 5) + (x \times 15) + (17 \times 25) + (y \times 35) + (8 \times 45) = 30 + 15x + 425 + 35y + 360 = 815 + 15x + 35y$।
$\frac{815 + 15x + 35y}{60} = 26.5 \implies 815 + 15x + 35y = 1590 \implies 15x + 35y = 775$।
$5$ से भाग देने पर: $3x + 7y = 155$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x = 29 - y$। इसे समीकरण $2$ में रखने पर: $3(29 - y) + 7y = 155 \implies 87 - 3y + 7y = 155 \implies 4y = 68 \implies y = 17$।
अतः $x = 29 - 17 = 12$।
इस प्रकार,$x = 12$ और $y = 17$।
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MediumMCQ
निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य $55.5$ है और कुल आवृत्ति $20$ है। लुप्त आवृत्तियाँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| आवृत्ति | $3$ | $x$ | $7$ | $7$ | $y$ |
A
$x=2, y=1$
B
$x=1, y=2$
C
$x=3, y=0$
D
$x=0, y=3$
Solution
(A) दी गई कुल आवृत्ति $N = 20$ है।
आवृत्तियों का योग: $3 + x + 7 + 7 + y = 20 \implies x + y + 17 = 20 \implies x + y = 3$ (समीकरण $1$)।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $35, 45, 55, 65, 75$ हैं।
$f_i x_i$ का योग = $(3 \times 35) + (x \times 45) + (7 \times 55) + (7 \times 65) + (y \times 75) = 105 + 45x + 385 + 455 + 75y = 945 + 45x + 75y$।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 55.5$।
$\frac{945 + 45x + 75y}{20} = 55.5 \implies 945 + 45x + 75y = 1110 \implies 45x + 75y = 165$।
$15$ से भाग देने पर: $3x + 5y = 11$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x = 3 - y$। समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3(3 - y) + 5y = 11 \implies 9 - 3y + 5y = 11 \implies 2y = 2 \implies y = 1$।
अतः $x = 3 - 1 = 2$।
इस प्रकार,$x = 2$ और $y = 1$।
आवृत्तियों का योग: $3 + x + 7 + 7 + y = 20 \implies x + y + 17 = 20 \implies x + y = 3$ (समीकरण $1$)।
वर्ग चिह्न $(x_i)$ $35, 45, 55, 65, 75$ हैं।
$f_i x_i$ का योग = $(3 \times 35) + (x \times 45) + (7 \times 55) + (7 \times 65) + (y \times 75) = 105 + 45x + 385 + 455 + 75y = 945 + 45x + 75y$।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 55.5$।
$\frac{945 + 45x + 75y}{20} = 55.5 \implies 945 + 45x + 75y = 1110 \implies 45x + 75y = 165$।
$15$ से भाग देने पर: $3x + 5y = 11$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x = 3 - y$। समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3(3 - y) + 5y = 11 \implies 9 - 3y + 5y = 11 \implies 2y = 2 \implies y = 1$।
अतः $x = 3 - 1 = 2$।
इस प्रकार,$x = 2$ और $y = 1$।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य $16$ है। लुप्त बारंबारता $f$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-4$ | $4-8$ | $8-12$ | $12-16$ | $16-20$ | $20-24$ | $24-28$ | $28-32$ | $32-36$ |
| बारंबारता | $6$ | $8$ | $17$ | $23$ | $16$ | $15$ | $f$ | $4$ | $3$ |
A
$8$
B
$8.5$
C
$9$
D
$9.5$
Solution
(A) माध्य ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें: $2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34$।
इसके बाद,प्रत्येक वर्ग के लिए $f_i x_i$ की गणना करें:
$6 \times 2 = 12$
$8 \times 6 = 48$
$17 \times 10 = 170$
$23 \times 14 = 322$
$16 \times 18 = 288$
$15 \times 22 = 330$
$f \times 26 = 26f$
$4 \times 30 = 120$
$3 \times 34 = 102$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 6+8+17+23+16+15+f+4+3 = 92+f$।
$f_i x_i$ का योग = $12+48+170+322+288+330+26f+120+102 = 1392+26f$।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 16$ है,इसलिए $16 = \frac{1392+26f}{92+f}$।
$16(92+f) = 1392+26f$
$1472 + 16f = 1392 + 26f$
$1472 - 1392 = 26f - 16f$
$80 = 10f$
$f = 8$।
सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें: $2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34$।
इसके बाद,प्रत्येक वर्ग के लिए $f_i x_i$ की गणना करें:
$6 \times 2 = 12$
$8 \times 6 = 48$
$17 \times 10 = 170$
$23 \times 14 = 322$
$16 \times 18 = 288$
$15 \times 22 = 330$
$f \times 26 = 26f$
$4 \times 30 = 120$
$3 \times 34 = 102$
बारंबारताओं का योग $\sum f_i = 6+8+17+23+16+15+f+4+3 = 92+f$।
$f_i x_i$ का योग = $12+48+170+322+288+330+26f+120+102 = 1392+26f$।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 16$ है,इसलिए $16 = \frac{1392+26f}{92+f}$।
$16(92+f) = 1392+26f$
$1472 + 16f = 1392 + 26f$
$1472 - 1392 = 26f - 16f$
$80 = 10f$
$f = 8$।
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन के लिए माध्य,माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | $4$ | $6$ | $8$ | $12$ | $10$ | $5$ | $5$ |
Solution
(N/A) $1$. माध्य: $\sum f_i = 50$. मध्य-बिंदु $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$. $\sum f_i x_i = (4 \times 5) + (6 \times 15) + (8 \times 25) + (12 \times 35) + (10 \times 45) + (5 \times 55) + (5 \times 65) = 1780$. माध्य $\bar{x} = \frac{1780}{50} = 35.6$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 25$. संचयी बारंबारता: $4, 10, 18, 30, 40, 45, 50$. माध्यिका वर्ग $30-40$ है। $l=30, f=12, cf=18, h=10$. माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 30 + \left( \frac{25 - 18}{12} \right) \times 10 = 35.83$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $30-40$ है (अधिकतम बारंबारता $12$)। $l=30, f_1=12, f_0=8, f_2=10, h=10$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 30 + \left( \frac{4}{6} \right) \times 10 = 36.67$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 25$. संचयी बारंबारता: $4, 10, 18, 30, 40, 45, 50$. माध्यिका वर्ग $30-40$ है। $l=30, f=12, cf=18, h=10$. माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 30 + \left( \frac{25 - 18}{12} \right) \times 10 = 35.83$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $30-40$ है (अधिकतम बारंबारता $12$)। $l=30, f_1=12, f_0=8, f_2=10, h=10$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 30 + \left( \frac{4}{6} \right) \times 10 = 36.67$.
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निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्य,माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ |
|---|---|---|---|---|---|
| आवृत्ति | $5$ | $27$ | $58$ | $20$ | $10$ |
Solution
(N/A) $1$. माध्य की गणना:
वर्ग चिह्न $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45$.
आवृत्तियों का योग $(\sum f_i)$ $= 5 + 27 + 58 + 20 + 10 = 120$.
गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$ $= (5 \times 5) + (27 \times 15) + (58 \times 25) + (20 \times 35) + (10 \times 45) = 25 + 405 + 1450 + 700 + 450 = 3030$.
माध्य $(\bar{x}) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3030}{120} = 25.25$.
$2$. माध्यिका की गणना:
संचयी आवृत्ति $(cf)$: $5, 32, 90, 110, 120$.
$N/2 = 120/2 = 60$. माध्यिका वर्ग $20-30$ है।
$l = 20, cf = 32, f = 58, h = 10$.
माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 20 + \left( \frac{60 - 32}{58} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{280}{58} \right) \approx 20 + 4.83 = 24.83$.
$3$. बहुलक की गणना:
बहुलक वर्ग $20-30$ है (उच्चतम आवृत्ति $58$)।
$l = 20, f_1 = 58, f_0 = 27, f_2 = 20, h = 10$.
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 20 + \left( \frac{58 - 27}{116 - 27 - 20} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{31}{69} \right) \times 10 \approx 20 + 4.49 = 24.49$.
वर्ग चिह्न $(x_i)$: $5, 15, 25, 35, 45$.
आवृत्तियों का योग $(\sum f_i)$ $= 5 + 27 + 58 + 20 + 10 = 120$.
गुणनफलों का योग $(\sum f_i x_i)$ $= (5 \times 5) + (27 \times 15) + (58 \times 25) + (20 \times 35) + (10 \times 45) = 25 + 405 + 1450 + 700 + 450 = 3030$.
माध्य $(\bar{x}) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3030}{120} = 25.25$.
$2$. माध्यिका की गणना:
संचयी आवृत्ति $(cf)$: $5, 32, 90, 110, 120$.
$N/2 = 120/2 = 60$. माध्यिका वर्ग $20-30$ है।
$l = 20, cf = 32, f = 58, h = 10$.
माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 20 + \left( \frac{60 - 32}{58} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{280}{58} \right) \approx 20 + 4.83 = 24.83$.
$3$. बहुलक की गणना:
बहुलक वर्ग $20-30$ है (उच्चतम आवृत्ति $58$)।
$l = 20, f_1 = 58, f_0 = 27, f_2 = 20, h = 10$.
बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 20 + \left( \frac{58 - 27}{116 - 27 - 20} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{31}{69} \right) \times 10 \approx 20 + 4.49 = 24.49$.
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन के लिए माध्य,माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $0-50$ | $50-100$ | $100-150$ | $150-200$ | $200-250$ | $250-300$ | $300-350$ |
| बारंबारता | $10$ | $15$ | $30$ | $20$ | $15$ | $8$ | $2$ |
Solution
(A) $1$. माध्य: $\sum f_i = 100$. वर्ग चिह्न $(x_i)$: $25, 75, 125, 175, 225, 275, 325$. $\sum f_i x_i = 250 + 1125 + 3750 + 3500 + 3375 + 2200 + 650 = 14850$. माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{14850}{100} = 148.5$.
$2$. माध्यक: $N/2 = 50$. संचयी बारंबारता: $10, 25, 55, 75, 90, 98, 100$. माध्यक वर्ग $100-150$ है। $l=100, cf=25, f=30, h=50$. माध्यक $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 100 + \left( \frac{50-25}{30} \right) \times 50 = 100 + \frac{25 \times 50}{30} = 100 + 41.67 = 141.67$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $100-150$ है $(f_1=30, f_0=15, f_2=20)$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 100 + \left( \frac{30-15}{60-15-20} \right) \times 50 = 100 + \left( \frac{15}{25} \right) \times 50 = 100 + 30 = 130$.
$2$. माध्यक: $N/2 = 50$. संचयी बारंबारता: $10, 25, 55, 75, 90, 98, 100$. माध्यक वर्ग $100-150$ है। $l=100, cf=25, f=30, h=50$. माध्यक $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 100 + \left( \frac{50-25}{30} \right) \times 50 = 100 + \frac{25 \times 50}{30} = 100 + 41.67 = 141.67$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $100-150$ है $(f_1=30, f_0=15, f_2=20)$. बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 100 + \left( \frac{30-15}{60-15-20} \right) \times 50 = 100 + \left( \frac{15}{25} \right) \times 50 = 100 + 30 = 130$.
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Difficult
निम्नलिखित बारंबारता वितरण के लिए माध्य,माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $5-10$ | $10-15$ | $15-20$ | $20-25$ | $25-30$ | $30-35$ |
| बारंबारता | $11$ | $20$ | $35$ | $20$ | $8$ | $6$ |
Solution
(N/A) $1$. माध्य: वर्ग चिह्न $(x_i)$ $7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5$ हैं। बारंबारताओं का योग $(sum f_i)$ $100$ है। गुणनफलों का योग $(sum f_i x_i)$ $(11 \times 7.5) + (20 \times 12.5) + (35 \times 17.5) + (20 \times 22.5) + (8 \times 27.5) + (6 \times 32.5) = 1810$ है। माध्य $= \frac{1810}{100} = 18.1$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 50$। संचयी बारंबारताएँ $11, 31, 66, 86, 94, 100$ हैं। माध्यिका वर्ग $15-20$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 15 + \left( \frac{50 - 31}{35} \right) \times 5 = 17.71$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $15-20$ है (अधिकतम बारंबारता $35$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 15 + \left( \frac{35 - 20}{70 - 40} \right) \times 5 = 17.5$.
$2$. माध्यिका: $N/2 = 50$। संचयी बारंबारताएँ $11, 31, 66, 86, 94, 100$ हैं। माध्यिका वर्ग $15-20$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 15 + \left( \frac{50 - 31}{35} \right) \times 5 = 17.71$.
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $15-20$ है (अधिकतम बारंबारता $35$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 15 + \left( \frac{35 - 20}{70 - 40} \right) \times 5 = 17.5$.
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन के लिए माध्य,माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ | $80-90$ | $90-100$ |
| बारंबारता | $5$ | $7$ | $12$ | $10$ | $8$ | $6$ | $2$ |
Solution
(N/A) $1$. माध्य: कुल बारंबारता $N = 50$ है। मध्य बिंदु $(x_i)$ $35, 45, 55, 65, 75, 85, 95$ हैं। योग $\sum f_i x_i = (5 \times 35) + (7 \times 45) + (12 \times 55) + (10 \times 65) + (8 \times 75) + (6 \times 85) + (2 \times 95) = 175 + 315 + 660 + 650 + 600 + 510 + 190 = 3100$ है। माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3100}{50} = 62$ है।
$2$. माध्यिका: $N/2 = 25$ है। संचयी बारंबारताएँ $5, 12, 24, 34, 42, 48, 50$ हैं। माध्यिका वर्ग $60-70$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 60 + \left( \frac{25 - 24}{10} \right) \times 10 = 60 + 1 = 61$ है।
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $50-60$ है (अधिकतम बारंबारता $12$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 50 + \left( \frac{12 - 7}{2(12) - 7 - 10} \right) \times 10 = 50 + \left( \frac{5}{24 - 17} \right) \times 10 = 50 + \frac{50}{7} \approx 50 + 7.14 = 57.14$ है।
$2$. माध्यिका: $N/2 = 25$ है। संचयी बारंबारताएँ $5, 12, 24, 34, 42, 48, 50$ हैं। माध्यिका वर्ग $60-70$ है। माध्यिका $= l + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h = 60 + \left( \frac{25 - 24}{10} \right) \times 10 = 60 + 1 = 61$ है।
$3$. बहुलक: बहुलक वर्ग $50-60$ है (अधिकतम बारंबारता $12$)। बहुलक $= l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h = 50 + \left( \frac{12 - 7}{2(12) - 7 - 10} \right) \times 10 = 50 + \left( \frac{5}{24 - 17} \right) \times 10 = 50 + \frac{50}{7} \approx 50 + 7.14 = 57.14$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक $37$ है। लुप्त बारंबारता $x$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ |
| बारंबारता | $4$ | $7$ | $x$ | $18$ | $15$ | $8$ | $7$ |
A
$13$
B
$12$
C
$11$
D
$10$
Solution
(C) बहुलक $37$ दिया गया है। चूंकि $37$ वर्ग अंतराल $30-40$ में स्थित है,इसलिए बहुलक वर्ग $30-40$ है।
बहुलक का सूत्र है: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
यहाँ,$l = 30$ (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा),$h = 10$ (वर्ग माप),$f_1 = 18$ (बहुलक वर्ग की बारंबारता),$f_0 = x$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता),और $f_2 = 15$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता) है।
मान रखने पर: $37 = 30 + \left( \frac{18 - x}{2(18) - x - 15} \right) \times 10$
$37 - 30 = \left( \frac{18 - x}{36 - 15 - x} \right) \times 10$
$7 = \left( \frac{18 - x}{21 - x} \right) \times 10$
$7(21 - x) = 10(18 - x)$
$147 - 7x = 180 - 10x$
$10x - 7x = 180 - 147$
$3x = 33$
$x = 11$.
बहुलक का सूत्र है: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
यहाँ,$l = 30$ (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा),$h = 10$ (वर्ग माप),$f_1 = 18$ (बहुलक वर्ग की बारंबारता),$f_0 = x$ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता),और $f_2 = 15$ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता) है।
मान रखने पर: $37 = 30 + \left( \frac{18 - x}{2(18) - x - 15} \right) \times 10$
$37 - 30 = \left( \frac{18 - x}{36 - 15 - x} \right) \times 10$
$7 = \left( \frac{18 - x}{21 - x} \right) \times 10$
$7(21 - x) = 10(18 - x)$
$147 - 7x = 180 - 10x$
$10x - 7x = 180 - 147$
$3x = 33$
$x = 11$.
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक $46$ है और कुल बारंबारता $150$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| बारंबारता | $6$ | $8$ | $17$ | $x$ | $42$ | $30$ | $y$ | $8$ |
Solution
(A) दी गई कुल बारंबारता $N = 150$ है।
बारंबारताओं का योग: $6 + 8 + 17 + x + 42 + 30 + y + 8 = 150$
$111 + x + y = 150 \implies x + y = 39$ --- $(1)$
चूंकि बहुलक $46$ है,इसलिए बहुलक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40, f_1 = 42, f_0 = x, f_2 = 30, h = 10$ है।
बहुलक का सूत्र: $\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$46 = 40 + \left( \frac{42 - x}{2(42) - x - 30} \right) \times 10$
$6 = \left( \frac{42 - x}{84 - 30 - x} \right) \times 10$
$6 = \frac{10(42 - x)}{54 - x} \implies 3(54 - x) = 5(42 - x)$
$162 - 3x = 210 - 5x$
$2x = 48 \implies x = 24$
समीकरण $(1)$ में $x = 24$ रखने पर: $24 + y = 39 \implies y = 15$।
अतः,$x = 24$ और $y = 15$ है।
बारंबारताओं का योग: $6 + 8 + 17 + x + 42 + 30 + y + 8 = 150$
$111 + x + y = 150 \implies x + y = 39$ --- $(1)$
चूंकि बहुलक $46$ है,इसलिए बहुलक वर्ग $40-50$ है।
यहाँ,$l = 40, f_1 = 42, f_0 = x, f_2 = 30, h = 10$ है।
बहुलक का सूत्र: $\text{बहुलक} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
$46 = 40 + \left( \frac{42 - x}{2(42) - x - 30} \right) \times 10$
$6 = \left( \frac{42 - x}{84 - 30 - x} \right) \times 10$
$6 = \frac{10(42 - x)}{54 - x} \implies 3(54 - x) = 5(42 - x)$
$162 - 3x = 210 - 5x$
$2x = 48 \implies x = 24$
समीकरण $(1)$ में $x = 24$ रखने पर: $24 + y = 39 \implies y = 15$।
अतः,$x = 24$ और $y = 15$ है।
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निम्नलिखित बारंबारता वितरण का बहुलक $64$ है और कुल बारंबारता $200$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ | $80-90$ |
| बारंबारता | $8$ | $12$ | $27$ | $x$ | $55$ | $37$ | $y$ |
Solution
(X=43, Y=18) कुल बारंबारता $N = 200$ दी गई है।
बारंबारताओं का योग: $8 + 12 + 27 + x + 55 + 37 + y = 200 \implies 139 + x + y = 200 \implies x + y = 61$ (समीकरण $1$)।
चूंकि बहुलक $64$ है,इसलिए बहुलक वर्ग $60-70$ है।
बहुलक का सूत्र: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h.$
यहाँ,$l = 60, f_1 = 55, f_0 = x, f_2 = 37, h = 10.$
$64 = 60 + \left( \frac{55 - x}{2(55) - x - 37} \right) \times 10.$
$4 = \left( \frac{55 - x}{110 - x - 37} \right) \times 10 \implies 4 = \frac{550 - 10x}{73 - x}.$
$292 - 4x = 550 - 10x \implies 6x = 258 \implies x = 43.$
समीकरण $1$ में $x = 43$ रखने पर: $43 + y = 61 \implies y = 18.$
अतः,$x = 43$ और $y = 18$ है।
बारंबारताओं का योग: $8 + 12 + 27 + x + 55 + 37 + y = 200 \implies 139 + x + y = 200 \implies x + y = 61$ (समीकरण $1$)।
चूंकि बहुलक $64$ है,इसलिए बहुलक वर्ग $60-70$ है।
बहुलक का सूत्र: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h.$
यहाँ,$l = 60, f_1 = 55, f_0 = x, f_2 = 37, h = 10.$
$64 = 60 + \left( \frac{55 - x}{2(55) - x - 37} \right) \times 10.$
$4 = \left( \frac{55 - x}{110 - x - 37} \right) \times 10 \implies 4 = \frac{550 - 10x}{73 - x}.$
$292 - 4x = 550 - 10x \implies 6x = 258 \implies x = 43.$
समीकरण $1$ में $x = 43$ रखने पर: $43 + y = 61 \implies y = 18.$
अतः,$x = 43$ और $y = 18$ है।
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $50$ है और कुल बारंबारता $60$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-20$ | $20-40$ | $40-60$ | $60-80$ | $80-100$ |
| बारंबारता | $5$ | $x$ | $20$ | $y$ | $2$ |
Solution
(A) दी गई कुल बारंबारता $N = 60$ है।
बारंबारताओं का योग: $5 + x + 20 + y + 2 = 60 \implies x + y + 27 = 60 \implies x + y = 33$ (समीकरण $1$)।
चूंकि माध्यक $50$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $40-60$ है। यहाँ,$l = 40$,$h = 20$,$f = 20$,$cf = 5 + x$,और $N/2 = 30$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$।
$50 = 40 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 20$।
$50 = 40 + (25 - x)$।
$50 = 65 - x \implies x = 15$।
समीकरण $1$ में $x = 15$ रखने पर: $15 + y = 33 \implies y = 18$।
अतः,$x = 15$ और $y = 18$ है।
बारंबारताओं का योग: $5 + x + 20 + y + 2 = 60 \implies x + y + 27 = 60 \implies x + y = 33$ (समीकरण $1$)।
चूंकि माध्यक $50$ है,इसलिए माध्यक वर्ग $40-60$ है। यहाँ,$l = 40$,$h = 20$,$f = 20$,$cf = 5 + x$,और $N/2 = 30$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$।
$50 = 40 + \left( \frac{30 - (5 + x)}{20} \right) \times 20$।
$50 = 40 + (25 - x)$।
$50 = 65 - x \implies x = 15$।
समीकरण $1$ में $x = 15$ रखने पर: $15 + y = 33 \implies y = 18$।
अतः,$x = 15$ और $y = 18$ है।
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक $49$ है और कुल बारंबारता $100$ है। लुप्त बारंबारताएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
| बारंबारता | $2$ | $6$ | $8$ | $x$ | $20$ | $18$ | $y$ | $14$ |
Solution
(A) दी गई कुल बारंबारता $N = 100$ है,इसलिए $2 + 6 + 8 + x + 20 + 18 + y + 14 = 100$.
$68 + x + y = 100 \implies x + y = 32$ (समीकरण $1$).
चूंकि माध्यक $49$ है,माध्यक वर्ग $40-50$ है। यहाँ $l = 40$,$f = 20$,$cf = 2 + 6 + 8 + x = 16 + x$,और $h = 10$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$49 = 40 + \left( \frac{50 - (16 + x)}{20} \right) \times 10$.
$9 = \frac{34 - x}{2} \implies 18 = 34 - x \implies x = 16$.
समीकरण $1$ में $x = 16$ रखने पर: $16 + y = 32 \implies y = 16$.
अतः,$x = 16$ और $y = 16$ है।
$68 + x + y = 100 \implies x + y = 32$ (समीकरण $1$).
चूंकि माध्यक $49$ है,माध्यक वर्ग $40-50$ है। यहाँ $l = 40$,$f = 20$,$cf = 2 + 6 + 8 + x = 16 + x$,और $h = 10$ है।
माध्यक सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{माध्यक} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$.
$49 = 40 + \left( \frac{50 - (16 + x)}{20} \right) \times 10$.
$9 = \frac{34 - x}{2} \implies 18 = 34 - x \implies x = 16$.
समीकरण $1$ में $x = 16$ रखने पर: $16 + y = 32 \implies y = 16$.
अतः,$x = 16$ और $y = 16$ है।
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EasyMCQ
माध्य के सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ में,$d_{i} = \dots$
A
$A - f_{i}$
B
$A - x_{i}$
C
$f_{i} - A$
D
$x_{i} - A$
Solution
(D) माध्य ज्ञात करने की कल्पित माध्य विधि में,सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ होता है।
यहाँ,$A$ कल्पित माध्य है और $x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) है।
विचलन $d_{i}$ को वर्ग चिह्न और कल्पित माध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$d_{i} = x_{i} - A$।
यहाँ,$A$ कल्पित माध्य है और $x_{i}$ $i$-वें वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) है।
विचलन $d_{i}$ को वर्ग चिह्न और कल्पित माध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$d_{i} = x_{i} - A$।
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EasyMCQ
माध्य के सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times c$ में,$u_{i} = \ldots \ldots \ldots$
A
$\frac{x_{i} - A}{c}$
B
$\frac{A - f_{i}}{c}$
C
$\frac{f_{i} - A}{c}$
D
$\frac{A - x_{i}}{c}$
Solution
(A) दिया गया सूत्र वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए पद-विचलन विधि (step-deviation method) का है।
इस विधि में,विचलन $d_{i}$ को $d_{i} = x_{i} - A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $x_{i}$ वर्ग चिह्न है और $A$ कल्पित माध्य है।
चर $u_{i}$ को विचलन और वर्ग की चौड़ाई $c$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$ है।
अतः,$u_{i}$ के लिए सही व्यंजक $\frac{x_{i} - A}{c}$ है।
इस विधि में,विचलन $d_{i}$ को $d_{i} = x_{i} - A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $x_{i}$ वर्ग चिह्न है और $A$ कल्पित माध्य है।
चर $u_{i}$ को विचलन और वर्ग की चौड़ाई $c$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$ है।
अतः,$u_{i}$ के लिए सही व्यंजक $\frac{x_{i} - A}{c}$ है।
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EasyMCQ
बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,$l = \ldots \ldots \ldots$
A
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
B
बहुलक वर्ग की बारंबारता
C
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
D
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
Solution
(A) वर्गीकृत आंकड़ों के बहुलक की गणना करने के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,पद $l$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा को दर्शाता है। बहुलक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
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EasyMCQ
बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,$f_{0} = \ldots \ldots \ldots$
A
बहुलक वर्ग की बारंबारता
B
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
C
वर्ग की माप
D
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
Solution
(B) बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,पदों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$l$ बहुलक वर्ग की निचली सीमा है।
$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता है।
$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता है।
$f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता है।
$c$ वर्ग की माप या वर्ग अंतराल है।
अतः,$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।
$l$ बहुलक वर्ग की निचली सीमा है।
$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता है।
$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता है।
$f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता है।
$c$ वर्ग की माप या वर्ग अंतराल है।
अतः,$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।
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EasyMCQ
बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,$f_{1} = \ldots \ldots \ldots$
A
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
B
वर्ग की माप
C
बहुलक वर्ग की बारंबारता
D
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
Solution
(C) वर्गीकृत आंकड़ों के बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,पद $f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है। यहाँ,$l$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा है,$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता है,$f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता है,और $c$ वर्ग की माप (या वर्ग अंतराल) है।
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EasyMCQ
बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,$f_{2} = \ldots \ldots \ldots$
A
बहुलक वर्ग की बारंबारता
B
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
C
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
D
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
Solution
(D) वर्गीकृत आंकड़ों के बहुलक की गणना के सूत्र में,चरों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$Z$ बहुलक है।
$l$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा है।
$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता है।
$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता है।
$f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता है।
$c$ वर्ग अंतराल की माप है।
अतः,$f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।
$Z$ बहुलक है।
$l$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा है।
$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता है।
$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता है।
$f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता है।
$c$ वर्ग अंतराल की माप है।
अतः,$f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता को दर्शाता है।
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EasyMCQ
बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,$c = \dots$
A
वर्ग माप
B
बहुलक वर्ग की बारंबारता
C
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
D
बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
Solution
(A) वर्गीकृत आंकड़ों के बहुलक के सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ में,पद $c$ बहुलक वर्ग की वर्ग माप (class length) को दर्शाता है। अन्य पदों की परिभाषा इस प्रकार है: $l$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा है,$f_{1}$ बहुलक वर्ग की बारंबारता है,$f_{0}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता है,और $f_{2}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता है।
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EasyMCQ
माध्यक (median) के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$l = \ldots \ldots \ldots$
A
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
B
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
C
माध्यक वर्ग की बारंबारता
D
कुल बारंबारता
Solution
(B) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्यक के सूत्र $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ में,पद $l$ माध्यक वर्ग की निम्न सीमा को दर्शाता है।
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EasyMCQ
माध्यिका के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$n = \ldots \ldots \ldots$
A
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा
B
वर्ग की लंबाई
C
कुल बारंबारता
D
माध्यिका वर्ग की बारंबारता
Solution
(C) माध्यिका के सूत्र $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ में,$n$ दी गई डेटा वितरण की कुल बारंबारता को दर्शाता है,जो सभी व्यक्तिगत बारंबारताओं का योग है,अर्थात $n = \sum f_i$।
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