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Textbook - Quadratic Equations Questions in Hindi
Class 10 Mathematics · Quadratic Equations · Textbook - Quadratic Equations
73+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 73 questions in Hindi
1
Easy
निम्नलिखित स्थिति को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए:
जॉन और जीवंती के पास कुल $45$ कंचे हैं। दोनों ने $5-5$ कंचे खो दिए हैं और अब उनके पास बचे कंचों की संख्या का गुणनफल $124$ है। हम यह जानना चाहते हैं कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।
जॉन और जीवंती के पास कुल $45$ कंचे हैं। दोनों ने $5-5$ कंचे खो दिए हैं और अब उनके पास बचे कंचों की संख्या का गुणनफल $124$ है। हम यह जानना चाहते हैं कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।
Solution
(A) माना जॉन के पास कंचों की संख्या $x$ है।
तो जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x$ होगी।
$5$ कंचे खोने के बाद जॉन के पास बचे कंचे $= x - 5$।
$5$ कंचे खोने के बाद जीवंती के पास बचे कंचे $= (45 - x) - 5 = 40 - x$।
प्रश्न के अनुसार,बचे हुए कंचों का गुणनफल $124$ है:
$(x - 5)(40 - x) = 124$।
गुणनफल का विस्तार करने पर:
$40x - x^2 - 200 + 5x = 124$
$-x^2 + 45x - 200 = 124$
पदों को मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$-x^2 + 45x - 200 - 124 = 0$
$-x^2 + 45x - 324 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 - 45x + 324 = 0$।
अतः,जॉन के पास कंचों की संख्या द्विघात समीकरण $x^2 - 45x + 324 = 0$ को संतुष्ट करती है।
तो जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x$ होगी।
$5$ कंचे खोने के बाद जॉन के पास बचे कंचे $= x - 5$।
$5$ कंचे खोने के बाद जीवंती के पास बचे कंचे $= (45 - x) - 5 = 40 - x$।
प्रश्न के अनुसार,बचे हुए कंचों का गुणनफल $124$ है:
$(x - 5)(40 - x) = 124$।
गुणनफल का विस्तार करने पर:
$40x - x^2 - 200 + 5x = 124$
$-x^2 + 45x - 200 = 124$
पदों को मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$-x^2 + 45x - 200 - 124 = 0$
$-x^2 + 45x - 324 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 - 45x + 324 = 0$।
अतः,जॉन के पास कंचों की संख्या द्विघात समीकरण $x^2 - 45x + 324 = 0$ को संतुष्ट करती है।
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View Solution2
Easy
निम्नलिखित स्थिति को गणितीय रूप में निरूपित कीजिए:
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौनों का निर्माण करता है। प्रत्येक खिलौने का निर्माण मूल्य (रुपयों में) $55$ में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर पाया गया। किसी एक विशेष दिन,कुल निर्माण लागत ₹ $750$ थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं।
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौनों का निर्माण करता है। प्रत्येक खिलौने का निर्माण मूल्य (रुपयों में) $55$ में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर पाया गया। किसी एक विशेष दिन,कुल निर्माण लागत ₹ $750$ थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं।
Solution
(N/A) माना कि उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या $x$ है।
अतः,उस दिन प्रत्येक खिलौने का निर्माण मूल्य (रुपयों में) $= 55 - x$ होगा।
इसलिए,उस दिन की कुल निर्माण लागत (रुपयों में) $= x(55 - x)$ होगी।
दिया गया है कि कुल निर्माण लागत ₹ $750$ है,अतः:
$x(55 - x) = 750$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$55x - x^2 = 750$
पदों को मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$-x^2 + 55x - 750 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
अतः,उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या द्विघात समीकरण $x^2 - 55x + 750 = 0$ को संतुष्ट करती है।
अतः,उस दिन प्रत्येक खिलौने का निर्माण मूल्य (रुपयों में) $= 55 - x$ होगा।
इसलिए,उस दिन की कुल निर्माण लागत (रुपयों में) $= x(55 - x)$ होगी।
दिया गया है कि कुल निर्माण लागत ₹ $750$ है,अतः:
$x(55 - x) = 750$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$55x - x^2 = 750$
पदों को मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$-x^2 + 55x - 750 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
अतः,उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या द्विघात समीकरण $x^2 - 55x + 750 = 0$ को संतुष्ट करती है।
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View Solution3
EasyMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$(x-2)^{2}+1=2x-3$
$(x-2)^{2}+1=2x-3$
A
हाँ
B
नहीं
C
निर्धारित नहीं किया जा सकता
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) दिया गया समीकरण: $(x-2)^{2}+1=2x-3$
बाएँ पक्ष $(LHS)$ का विस्तार करने पर:
$(x-2)^{2}+1 = (x^{2}-4x+4)+1 = x^{2}-4x+5$
अब,इसे दाएँ पक्ष $(RHS)$ के बराबर रखने पर:
$x^{2}-4x+5 = 2x-3$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^{2}-4x-2x+5+3 = 0$
$x^{2}-6x+8 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है,जहाँ $a=1$,$b=-6$,और $c=8$ $(a \neq 0)$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
बाएँ पक्ष $(LHS)$ का विस्तार करने पर:
$(x-2)^{2}+1 = (x^{2}-4x+4)+1 = x^{2}-4x+5$
अब,इसे दाएँ पक्ष $(RHS)$ के बराबर रखने पर:
$x^{2}-4x+5 = 2x-3$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^{2}-4x-2x+5+3 = 0$
$x^{2}-6x+8 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है,जहाँ $a=1$,$b=-6$,और $c=8$ $(a \neq 0)$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
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View Solution4
EasyMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
$x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
A
हाँ
B
नहीं
C
निर्धारित नहीं किया जा सकता
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) दिया गया समीकरण: $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2+x+8$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ का उपयोग करके दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2-4$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $x^2+x+8=x^2-4$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $x+8=-4$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x+12=0$
चूँकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक समीकरण है और $ax^2+bx+c=0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप में नहीं है।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2+x+8$
सर्वसमिका $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ का उपयोग करके दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2-4$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $x^2+x+8=x^2-4$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $x+8=-4$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x+12=0$
चूँकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक समीकरण है और $ax^2+bx+c=0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप में नहीं है।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
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View Solution5
Easy
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$x(2x + 3) = x^2 + 1$
$x(2x + 3) = x^2 + 1$
Solution
(YES) दिया गया समीकरण: $x(2x + 3) = x^2 + 1$
सबसे पहले,बाएँ पक्ष $(LHS)$ का विस्तार करने पर:
$x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$
अब,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 + 3x = x^2 + 1$
समीकरण को मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में लाने के लिए दोनों पक्षों से $(x^2 + 1)$ घटाने पर:
$2x^2 - x^2 + 3x - 1 = 0$
$x^2 + 3x - 1 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है,जहाँ $a = 1$,$b = 3$,और $c = -1$ (तथा $a \neq 0$),अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष $(LHS)$ का विस्तार करने पर:
$x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$
अब,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 + 3x = x^2 + 1$
समीकरण को मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में लाने के लिए दोनों पक्षों से $(x^2 + 1)$ घटाने पर:
$2x^2 - x^2 + 3x - 1 = 0$
$x^2 + 3x - 1 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है,जहाँ $a = 1$,$b = 3$,और $c = -1$ (तथा $a \neq 0$),अतः दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
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View Solution6
EasyMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$(x+2)^{3} = x^{3}-4$
$(x+2)^{3} = x^{3}-4$
A
हाँ
B
नहीं
Solution
(A) दिया गया समीकरण: $(x+2)^{3} = x^{3}-4$
सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - 4$
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$6x^{2} + 12x + 8 = -4$
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$6x^{2} + 12x + 12 = 0$
पूरे समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + 2x + 2 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है,जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - 4$
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$6x^{2} + 12x + 8 = -4$
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$6x^{2} + 12x + 12 = 0$
पूरे समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + 2x + 2 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है,जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
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View Solution7
EasyMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$(x+1)^{2}=2(x-3)$
$(x+1)^{2}=2(x-3)$
A
हाँ
B
नहीं
Solution
(A) दिया गया समीकरण: $(x+1)^{2}=2(x-3)$
सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^{2} + 2x + 1 = 2(x-3)$
दाएँ पक्ष में $2$ का वितरण करने पर:
$x^{2} + 2x + 1 = 2x - 6$
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर:
$x^{2} + 1 = -6$
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 7 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ (जहाँ $a=1, b=0, c=7$) के रूप में है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^{2} + 2x + 1 = 2(x-3)$
दाएँ पक्ष में $2$ का वितरण करने पर:
$x^{2} + 2x + 1 = 2x - 6$
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर:
$x^{2} + 1 = -6$
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 7 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ (जहाँ $a=1, b=0, c=7$) के रूप में है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
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View Solution8
EasyMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$x^{2}-2x=(-2)(3-x)$
$x^{2}-2x=(-2)(3-x)$
A
हाँ
B
नहीं
Solution
(A) दिया गया समीकरण: $x^{2}-2x=(-2)(3-x)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^{2}-2x = -6 + 2x$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $x^{2}-2x - 2x + 6 = 0$
सरल करने पर: $x^{2}-4x + 6 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है,जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^{2}-2x = -6 + 2x$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $x^{2}-2x - 2x + 6 = 0$
सरल करने पर: $x^{2}-4x + 6 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है,जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है.
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View Solution9
EasyMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)$
$(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)$
A
हाँ,यह एक द्विघात समीकरण है।
B
नहीं,यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
C
यह दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
D
यह एक त्रिघात समीकरण है।
Solution
(B) समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$
$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$-x - 2 = 2x - 3$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x - 1 = 0$
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए यह $ax^2 + bx + c = 0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप में नहीं है।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
$(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$
$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$-x - 2 = 2x - 3$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x - 1 = 0$
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए यह $ax^2 + bx + c = 0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप में नहीं है।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
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View Solution10
Easy
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$(x-3)(2x+1) = x(x+5)$
$(x-3)(2x+1) = x(x+5)$
Solution
(A) बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $(x-3)(2x+1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x(x+5) = x^2 + 5x$.
दोनों पक्षों को बराबर रखने पर: $2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$.
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$.
सरल करने पर: $x^2 - 10x - 3 = 0$.
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x(x+5) = x^2 + 5x$.
दोनों पक्षों को बराबर रखने पर: $2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$.
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$.
सरल करने पर: $x^2 - 10x - 3 = 0$.
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
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View Solution11
EasyMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$(2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)$
$(2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)$
A
हाँ,यह एक द्विघात समीकरण है।
B
नहीं,यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
C
यह एक रैखिक समीकरण है।
D
यह एक त्रिघात समीकरण है।
Solution
(A) समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(2x - 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$
$(x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$2x^2 - x^2 - 7x - 4x + 3 + 5 = 0$
$x^2 - 11x + 8 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
$(2x - 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$
$(x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$2x^2 - x^2 - 7x - 4x + 3 + 5 = 0$
$x^2 - 11x + 8 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
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View Solution12
EasyMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$x^{2}+3x+1=(x-2)^{2}$
$x^{2}+3x+1=(x-2)^{2}$
A
हाँ
B
नहीं
C
निर्धारित नहीं किया जा सकता
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}+3x+1=(x-2)^{2}$
सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$x^{2}+3x+1 = x^{2}-4x+4$
दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाने पर:
$3x+1 = -4x+4$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$3x+4x+1-4 = 0$
$7x-3 = 0$
प्राप्त समीकरण $ax+b=0$ के रूप में है,जो एक रैखिक समीकरण है,न कि $ax^{2}+bx+c=0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप का द्विघात समीकरण।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$x^{2}+3x+1 = x^{2}-4x+4$
दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाने पर:
$3x+1 = -4x+4$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$3x+4x+1-4 = 0$
$7x-3 = 0$
प्राप्त समीकरण $ax+b=0$ के रूप में है,जो एक रैखिक समीकरण है,न कि $ax^{2}+bx+c=0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप का द्विघात समीकरण।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
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View Solution13
MediumMCQ
जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित एक द्विघात समीकरण है:
$x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$
$x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$
A
हाँ
B
नहीं
Solution
(A) दिया गया समीकरण: $x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$
सर्वसमिका $(a-b)^{3} = a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$ का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करें:
$(x-2)^{3} = x^{3}-2^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2}) = x^{3}-8-6x^{2}+12x$
इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$
$2x^{2}-13x+9 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
सर्वसमिका $(a-b)^{3} = a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$ का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करें:
$(x-2)^{3} = x^{3}-2^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2}) = x^{3}-8-6x^{2}+12x$
इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$
$2x^{2}-13x+9 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
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View Solution14
Medium
निम्नलिखित स्थिति को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए:
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल $528 \ m^{2}$ है। भूखंड की लंबाई (मीटर में) उसकी चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल $528 \ m^{2}$ है। भूखंड की लंबाई (मीटर में) उसकी चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
Solution
(D) माना कि भूखंड की चौड़ाई $x \ m$ है।
प्रश्न के अनुसार,भूखंड की लंबाई $(2x + 1) \ m$ है।
हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $528 = x(2x + 1)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $528 = 2x^{2} + x$.
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2x^{2} + x - 528 = 0$.
प्रश्न के अनुसार,भूखंड की लंबाई $(2x + 1) \ m$ है।
हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $528 = x(2x + 1)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $528 = 2x^{2} + x$.
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2x^{2} + x - 528 = 0$.
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निम्नलिखित स्थिति को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए:
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल $306$ है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल $306$ है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
Solution
(N/A) माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $x$ और $x+1$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन दो पूर्णांकों का गुणनफल $306$ है।
अतः,$x(x+1) = 306$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $x^2 + x = 306$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $306$ घटाने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $x^2 + x - 306 = 0$।
प्रश्न के अनुसार,इन दो पूर्णांकों का गुणनफल $306$ है।
अतः,$x(x+1) = 306$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $x^2 + x = 306$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $306$ घटाने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $x^2 + x - 306 = 0$।
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निम्नलिखित स्थिति को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए:
रोहन की माँ उससे $26$ वर्ष बड़ी है। आज से $3$ वर्ष पश्चात उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल $360$ हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
रोहन की माँ उससे $26$ वर्ष बड़ी है। आज से $3$ वर्ष पश्चात उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल $360$ हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
Solution
(N/A) माना कि रोहन की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
अतः,उसकी माँ की वर्तमान आयु $= x + 26$ वर्ष होगी।
$3$ वर्ष पश्चात:
रोहन की आयु $= x + 3$ वर्ष।
माँ की आयु $= (x + 26) + 3 = x + 29$ वर्ष।
प्रश्न के अनुसार,$3$ वर्ष पश्चात उनकी आयु का गुणनफल $360$ है।
इसलिए,$(x + 3)(x + 29) = 360$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + 29x + 3x + 87 = 360$।
$x^2 + 32x + 87 - 360 = 0$।
$x^2 + 32x - 273 = 0$।
अतः,उसकी माँ की वर्तमान आयु $= x + 26$ वर्ष होगी।
$3$ वर्ष पश्चात:
रोहन की आयु $= x + 3$ वर्ष।
माँ की आयु $= (x + 26) + 3 = x + 29$ वर्ष।
प्रश्न के अनुसार,$3$ वर्ष पश्चात उनकी आयु का गुणनफल $360$ है।
इसलिए,$(x + 3)(x + 29) = 360$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + 29x + 3x + 87 = 360$।
$x^2 + 32x + 87 - 360 = 0$।
$x^2 + 32x - 273 = 0$।
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निम्नलिखित स्थिति को द्विघात समीकरण के रूप में निरूपित कीजिए:
एक रेलगाड़ी $480 \, km$ की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल $8 \, km/h$ कम होती,तो वह उसी दूरी को तय करने में $3 \, \text{घंटे}$ अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
एक रेलगाड़ी $480 \, km$ की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल $8 \, km/h$ कम होती,तो वह उसी दूरी को तय करने में $3 \, \text{घंटे}$ अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
Solution
(N/A) माना रेलगाड़ी की चाल $x \, km/h$ है।
$480 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{480}{x} \, \text{घंटे}$.
दूसरी स्थिति में,रेलगाड़ी की चाल $(x - 8) \, km/h$ है।
यह दिया गया है कि रेलगाड़ी उसी दूरी को तय करने में $3 \, \text{घंटे}$ अधिक लेती है।
अतः,$480 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \left( \frac{480}{x} + 3 \right) \, \text{घंटे}$.
संबंध का उपयोग करते हुए: $\text{चाल} \times \text{समय} = \text{दूरी}$.
$(x - 8) \left( \frac{480}{x} + 3 \right) = 480$
$480 + 3x - \frac{3840}{x} - 24 = 480$
$3x - \frac{3840}{x} - 24 = 0$
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$3x^2 - 24x - 3840 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$x^2 - 8x - 1280 = 0$
$480 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{480}{x} \, \text{घंटे}$.
दूसरी स्थिति में,रेलगाड़ी की चाल $(x - 8) \, km/h$ है।
यह दिया गया है कि रेलगाड़ी उसी दूरी को तय करने में $3 \, \text{घंटे}$ अधिक लेती है।
अतः,$480 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \left( \frac{480}{x} + 3 \right) \, \text{घंटे}$.
संबंध का उपयोग करते हुए: $\text{चाल} \times \text{समय} = \text{दूरी}$.
$(x - 8) \left( \frac{480}{x} + 3 \right) = 480$
$480 + 3x - \frac{3840}{x} - 24 = 480$
$3x - \frac{3840}{x} - 24 = 0$
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$3x^2 - 24x - 3840 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$x^2 - 8x - 1280 = 0$
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DifficultMCQ
गुणनखंड विधि द्वारा समीकरण $2x^{2}-5x+3=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।
A
$1, \frac{3}{2}$
B
$1, \frac{2}{3}$
C
$-1, \frac{3}{2}$
D
$-1, -\frac{3}{2}$
Solution
(A) द्विघात समीकरण $2x^{2}-5x+3=0$ के मूल गुणनखंड विधि से ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद $-5x$ को $-2x$ और $-3x$ में विभाजित करते हैं,क्योंकि $(-2x) \times (-3x) = 6x^{2}$,जो $x^{2}$ के गुणांक $(2)$ और अचर पद $(3)$ का गुणनफल है।
अब,समीकरण को इस प्रकार लिखें:
$2x^{2}-2x-3x+3=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$2x(x-1)-3(x-1)=0$
$(2x-3)(x-1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x=\frac{3}{2}$
$x-1=0 \implies x=1$
अतः,समीकरण के मूल $x=1$ और $x=\frac{3}{2}$ हैं।
अब,समीकरण को इस प्रकार लिखें:
$2x^{2}-2x-3x+3=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$2x(x-1)-3(x-1)=0$
$(2x-3)(x-1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x=\frac{3}{2}$
$x-1=0 \implies x=1$
अतः,समीकरण के मूल $x=1$ और $x=\frac{3}{2}$ हैं।
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द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।
Solution
(A) हमारे पास द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ है।
मूल ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$6x^{2}-x-2 = 6x^{2}+3x-4x-2$
पदों को समूहित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 3x(2x+1)-2(2x+1)$
$= (3x-2)(2x+1)$
$6x^{2}-x-2=0$ के मूल $x$ के वे मान हैं जिनके लिए $(3x-2)(2x+1)=0$ है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x-2=0$ या $2x+1=0$
$x$ के लिए हल करने पर:
$3x=2 \implies x=\frac{2}{3}$
$2x=-1 \implies x=-\frac{1}{2}$
अतः,द्विघात समीकरण के मूल $\frac{2}{3}$ और $-\frac{1}{2}$ हैं।
मूल ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$6x^{2}-x-2 = 6x^{2}+3x-4x-2$
पदों को समूहित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 3x(2x+1)-2(2x+1)$
$= (3x-2)(2x+1)$
$6x^{2}-x-2=0$ के मूल $x$ के वे मान हैं जिनके लिए $(3x-2)(2x+1)=0$ है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x-2=0$ या $2x+1=0$
$x$ के लिए हल करने पर:
$3x=2 \implies x=\frac{2}{3}$
$2x=-1 \implies x=-\frac{1}{2}$
अतः,द्विघात समीकरण के मूल $\frac{2}{3}$ और $-\frac{1}{2}$ हैं।
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द्विघात समीकरण $3x^{2}-2\sqrt{6}x+2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2}-2\sqrt{6}x+2=0$ है।
हम मध्य पद $-2\sqrt{6}x$ को $-\sqrt{6}x - \sqrt{6}x$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
अतः,$3x^{2}-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0$।
पहले दो पदों और अंतिम दो पदों से उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
$\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$।
यह $(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$ में सरल हो जाता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $\sqrt{3}x-\sqrt{2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
चूंकि दोनों गुणनखंड समान हैं,इसलिए मूल भी समान हैं।
अतः,समीकरण के मूल $\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}$ हैं।
हम मध्य पद $-2\sqrt{6}x$ को $-\sqrt{6}x - \sqrt{6}x$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
अतः,$3x^{2}-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0$।
पहले दो पदों और अंतिम दो पदों से उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर:
$\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$।
यह $(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0$ में सरल हो जाता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $\sqrt{3}x-\sqrt{2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
चूंकि दोनों गुणनखंड समान हैं,इसलिए मूल भी समान हैं।
अतः,समीकरण के मूल $\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}$ हैं।
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Difficult
एक प्रार्थना हॉल का क्षेत्रफल $300 \ m^2$ है,जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई के दोगुने से एक मीटर अधिक है। प्रार्थना हॉल की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) मान लीजिए हॉल की चौड़ाई $x \ m$ है। तब,इसकी लंबाई $(2x + 1) \ m$ होगी।
अब,हॉल का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (2x + 1) \times x = (2x^2 + x) \ m^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $300 \ m^2$ है,इसलिए:
$2x^2 + x = 300$
$2x^2 + x - 300 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करते हुए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं:
$2x^2 - 24x + 25x - 300 = 0$
$2x(x - 12) + 25(x - 12) = 0$
$(x - 12)(2x + 25) = 0$
अतः,समीकरण के मूल $x = 12$ या $x = -12.5$ हैं।
चूँकि $x$ चौड़ाई को दर्शाता है,यह ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए,$x = 12$.
इस प्रकार,हॉल की चौड़ाई $12 \ m$ है और इसकी लंबाई $2(12) + 1 = 25 \ m$ है।
अब,हॉल का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (2x + 1) \times x = (2x^2 + x) \ m^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $300 \ m^2$ है,इसलिए:
$2x^2 + x = 300$
$2x^2 + x - 300 = 0$
गुणनखंड विधि का उपयोग करते हुए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं:
$2x^2 - 24x + 25x - 300 = 0$
$2x(x - 12) + 25(x - 12) = 0$
$(x - 12)(2x + 25) = 0$
अतः,समीकरण के मूल $x = 12$ या $x = -12.5$ हैं।
चूँकि $x$ चौड़ाई को दर्शाता है,यह ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए,$x = 12$.
इस प्रकार,हॉल की चौड़ाई $12 \ m$ है और इसकी लंबाई $2(12) + 1 = 25 \ m$ है।
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Easy
गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$x^{2}-3x-10=0$
$x^{2}-3x-10=0$
Solution
(A) द्विघात समीकरण $x^{2}-3x-10=0$ के मूल गुणनखंडन विधि से ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-10$ हो और योग $-3$ हो। ये संख्याएँ $-5$ और $2$ हैं।
$x^{2}-5x+2x-10=0$
समूह बनाकर गुणनखंड करने पर:
$x(x-5)+2(x-5)=0$
$(x-5)(x+2)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-5=0$ या $x+2=0$
अतः,समीकरण के मूल $x=5$ या $x=-2$ हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-10$ हो और योग $-3$ हो। ये संख्याएँ $-5$ और $2$ हैं।
$x^{2}-5x+2x-10=0$
समूह बनाकर गुणनखंड करने पर:
$x(x-5)+2(x-5)=0$
$(x-5)(x+2)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-5=0$ या $x+2=0$
अतः,समीकरण के मूल $x=5$ या $x=-2$ हैं।
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Medium
गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$2x^{2} + x - 6 = 0$
$2x^{2} + x - 6 = 0$
Solution
(A) गुणनखंडन विधि द्वारा द्विघात समीकरण $2x^{2} + x - 6 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $2 \times (-6) = -12$ हो और जिनका योग $1$ हो।
ये संख्याएँ $4$ और $-3$ हैं।
अतः,$2x^{2} + 4x - 3x - 6 = 0$।
पदों का समूह बनाने पर,हमें $2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 2)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमारे पास $(x + 2)(2x - 3) = 0$ है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$।
अतः,मूल $x = -2$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $2 \times (-6) = -12$ हो और जिनका योग $1$ हो।
ये संख्याएँ $4$ और $-3$ हैं।
अतः,$2x^{2} + 4x - 3x - 6 = 0$।
पदों का समूह बनाने पर,हमें $2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 2)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमारे पास $(x + 2)(2x - 3) = 0$ है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$।
अतः,मूल $x = -2$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।
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MediumMCQ
गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$
$\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$
A
$x = -\frac{5}{\sqrt{2}}, x = -\sqrt{2}$
B
$x = \frac{5}{\sqrt{2}}, x = \sqrt{2}$
C
$x = -\frac{\sqrt{2}}{5}, x = -\sqrt{2}$
D
$x = \frac{\sqrt{2}}{5}, x = \sqrt{2}$
Solution
(A) द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0$ के मूल गुणनखंडन विधि से ज्ञात करने के लिए:
$1$. मध्य पद $7x$ को दो भागों में विभाजित करें ताकि उनका योग $7x$ हो और उनका गुणनफल $(\sqrt{2} x^{2}) \times (5 \sqrt{2}) = 10x^{2}$ हो।
$2$. ये दो भाग $5x$ और $2x$ हैं,क्योंकि $5x + 2x = 7x$ और $5x \times 2x = 10x^{2}$।
$3$. समीकरण को पुनः लिखने पर: $\sqrt{2} x^{2} + 2x + 5x + 5 \sqrt{2} = 0$।
$4$. समूह बनाकर गुणनखंड करने पर: $\sqrt{2} x(x + \sqrt{2}) + 5(x + \sqrt{2}) = 0$।
$5$. उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x + \sqrt{2})$ को बाहर लेने पर: $(x + \sqrt{2})(\sqrt{2} x + 5) = 0$।
$6$. प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
- $x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\sqrt{2}$
- $\sqrt{2} x + 5 = 0 \implies \sqrt{2} x = -5 \implies x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$
अतः,समीकरण के मूल $x = -\sqrt{2}$ और $x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$ हैं।
$1$. मध्य पद $7x$ को दो भागों में विभाजित करें ताकि उनका योग $7x$ हो और उनका गुणनफल $(\sqrt{2} x^{2}) \times (5 \sqrt{2}) = 10x^{2}$ हो।
$2$. ये दो भाग $5x$ और $2x$ हैं,क्योंकि $5x + 2x = 7x$ और $5x \times 2x = 10x^{2}$।
$3$. समीकरण को पुनः लिखने पर: $\sqrt{2} x^{2} + 2x + 5x + 5 \sqrt{2} = 0$।
$4$. समूह बनाकर गुणनखंड करने पर: $\sqrt{2} x(x + \sqrt{2}) + 5(x + \sqrt{2}) = 0$।
$5$. उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x + \sqrt{2})$ को बाहर लेने पर: $(x + \sqrt{2})(\sqrt{2} x + 5) = 0$।
$6$. प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
- $x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\sqrt{2}$
- $\sqrt{2} x + 5 = 0 \implies \sqrt{2} x = -5 \implies x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$
अतः,समीकरण के मूल $x = -\sqrt{2}$ और $x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$ हैं।
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EasyMCQ
गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$2x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0$
$2x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0$
A
$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$
B
$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$
C
$x = \frac{1}{4}, -\frac{1}{4}$
D
$x = \frac{1}{8}, \frac{1}{8}$
Solution
(A) दिया गया समीकरण: $2x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $8$ से गुणा करने पर:
$16x^{2} - 8x + 1 = 0$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड कीजिए:
$16x^{2} - 4x - 4x + 1 = 0$
पदों का समूह बनाने पर:
$4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)^{2} = 0$
गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
अतः,समीकरण के मूल $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ हैं।
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $8$ से गुणा करने पर:
$16x^{2} - 8x + 1 = 0$
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड कीजिए:
$16x^{2} - 4x - 4x + 1 = 0$
पदों का समूह बनाने पर:
$4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)(4x - 1) = 0$
$(4x - 1)^{2} = 0$
गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$4x - 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
अतः,समीकरण के मूल $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ हैं।
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MediumMCQ
गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$100 x^{2}-20 x+1=0$
$100 x^{2}-20 x+1=0$
A
$x = \frac{1}{10}, \frac{1}{10}$
B
$x = \frac{1}{20}, \frac{1}{20}$
C
$x = \frac{1}{5}, \frac{1}{5}$
D
$x = \frac{1}{10}, \frac{1}{20}$
Solution
(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $100 x^{2}-20 x+1=0$
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $-20x$ को $-10x - 10x$ में विभाजित करते हैं:
$100 x^{2}-10 x-10 x+1=0$
पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर:
$10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0$
उभयनिष्ठ पद $(10 x-1)$ को बाहर लेने पर:
$(10 x-1)(10 x-1)=0$
$(10 x-1)^{2}=0$
मूल ज्ञात करने के लिए,गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$10 x-1=0$
$10 x=1$
$x=\frac{1}{10}$
चूंकि गुणनखंड का वर्ग है,इसलिए मूल समान हैं: $x = \frac{1}{10}, \frac{1}{10}$.
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $-20x$ को $-10x - 10x$ में विभाजित करते हैं:
$100 x^{2}-10 x-10 x+1=0$
पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर:
$10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0$
उभयनिष्ठ पद $(10 x-1)$ को बाहर लेने पर:
$(10 x-1)(10 x-1)=0$
$(10 x-1)^{2}=0$
मूल ज्ञात करने के लिए,गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$10 x-1=0$
$10 x=1$
$x=\frac{1}{10}$
चूंकि गुणनखंड का वर्ग है,इसलिए मूल समान हैं: $x = \frac{1}{10}, \frac{1}{10}$.
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Difficult
जॉन और जीवंती के पास कुल $45$ कंचे हैं। दोनों ने $5-5$ कंचे खो दिए,और अब उनके पास बचे कंचों की संख्या का गुणनफल $124$ है। ज्ञात कीजिए कि शुरुआत में उनके पास कितने कंचे थे।
Solution
(A) माना जॉन के पास कंचों की संख्या $x$ है।
इसलिए,जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x$ है।
प्रत्येक द्वारा $5$ कंचे खो देने के बाद:
जॉन के पास कंचों की संख्या $= x - 5$ है।
जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x - 5 = 40 - x$ है।
यह दिया गया है कि उनके पास बचे कंचों का गुणनफल $124$ है।
अतः,$(x - 5)(40 - x) = 124$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $40x - x^2 - 200 + 5x = 124$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-x^2 + 45x - 200 = 124$ है।
$x^2 - 45x + 324 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 36x - 9x + 324 = 0$ है।
$x(x - 36) - 9(x - 36) = 0$ है।
$(x - 36)(x - 9) = 0$ है।
इस प्रकार,$x = 36$ या $x = 9$ है।
यदि जॉन के पास $36$ कंचे थे,तो जीवंती के पास $45 - 36 = 9$ कंचे थे।
यदि जॉन के पास $9$ कंचे थे,तो जीवंती के पास $45 - 9 = 36$ कंचे थे।
इसलिए,जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x$ है।
प्रत्येक द्वारा $5$ कंचे खो देने के बाद:
जॉन के पास कंचों की संख्या $= x - 5$ है।
जीवंती के पास कंचों की संख्या $= 45 - x - 5 = 40 - x$ है।
यह दिया गया है कि उनके पास बचे कंचों का गुणनफल $124$ है।
अतः,$(x - 5)(40 - x) = 124$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $40x - x^2 - 200 + 5x = 124$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $-x^2 + 45x - 200 = 124$ है।
$x^2 - 45x + 324 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 36x - 9x + 324 = 0$ है।
$x(x - 36) - 9(x - 36) = 0$ है।
$(x - 36)(x - 9) = 0$ है।
इस प्रकार,$x = 36$ या $x = 9$ है।
यदि जॉन के पास $36$ कंचे थे,तो जीवंती के पास $45 - 36 = 9$ कंचे थे।
यदि जॉन के पास $9$ कंचे थे,तो जीवंती के पास $45 - 9 = 36$ कंचे थे।
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MediumMCQ
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने बनाता है। प्रत्येक खिलौने के निर्माण की लागत (रुपयों में) $55$ में से एक दिन में निर्मित खिलौनों की संख्या को घटाने पर प्राप्त संख्या के बराबर पाई गई। किसी विशेष दिन,कुल उत्पादन लागत $Rs$ $750$ थी। उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$25$ या $30$
B
$20$ या $35$
C
$15$ या $40$
D
$25$ या $35$
Solution
(A) माना कि एक दिन में निर्मित खिलौनों की संख्या $x$ है।
प्रत्येक खिलौने के निर्माण की लागत (रुपयों में) $(55 - x)$ है।
कुल उत्पादन लागत खिलौनों की संख्या और प्रति खिलौना लागत का गुणनफल है:
$x(55 - x) = 750$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$55x - x^2 = 750$
इसे मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
इसे हल करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड विधि का उपयोग करेंगे:
$x^2 - 25x - 30x + 750 = 0$
पदों को समूहित करने पर:
$x(x - 25) - 30(x - 25) = 0$
$(x - 25)(x - 30) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 25 = 0 \Rightarrow x = 25$
$x - 30 = 0 \Rightarrow x = 30$
अतः,उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या $25$ या $30$ थी।
प्रत्येक खिलौने के निर्माण की लागत (रुपयों में) $(55 - x)$ है।
कुल उत्पादन लागत खिलौनों की संख्या और प्रति खिलौना लागत का गुणनफल है:
$x(55 - x) = 750$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$55x - x^2 = 750$
इसे मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 55x + 750 = 0$
इसे हल करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड विधि का उपयोग करेंगे:
$x^2 - 25x - 30x + 750 = 0$
पदों को समूहित करने पर:
$x(x - 25) - 30(x - 25) = 0$
$(x - 25)(x - 30) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 25 = 0 \Rightarrow x = 25$
$x - 30 = 0 \Rightarrow x = 30$
अतः,उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या $25$ या $30$ थी।
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Medium
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $27$ और गुणनफल $182$ हो।
Solution
(N/A) माना कि पहली संख्या $x$ है। तब दूसरी संख्या $27-x$ होगी।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $182$ है,इसलिए:
$x(27-x) = 182$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$27x - x^2 = 182$
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 27x + 182 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 13x - 14x + 182 = 0$
$x(x - 13) - 14(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 14) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13$
$x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$
यदि पहली संख्या $13$ है,तो दूसरी संख्या $27 - 13 = 14$ होगी।
यदि पहली संख्या $14$ है,तो दूसरी संख्या $27 - 14 = 13$ होगी।
अतः,वे दो संख्याएँ $13$ और $14$ हैं।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $182$ है,इसलिए:
$x(27-x) = 182$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$27x - x^2 = 182$
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 27x + 182 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 13x - 14x + 182 = 0$
$x(x - 13) - 14(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 14) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13$
$x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$
यदि पहली संख्या $13$ है,तो दूसरी संख्या $27 - 13 = 14$ होगी।
यदि पहली संख्या $14$ है,तो दूसरी संख्या $27 - 14 = 13$ होगी।
अतः,वे दो संख्याएँ $13$ और $14$ हैं।
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Medium
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए,जिनके वर्गों का योग $365$ है।
Solution
(A) माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $x$ और $x+1$ हैं।
दिया गया है कि $x^{2} + (x+1)^{2} = 365$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 365$.
सरल करने पर: $2x^{2} + 2x + 1 = 365$.
$2x^{2} + 2x - 364 = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $x^{2} + x - 182 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 14x - 13x - 182 = 0$.
$x(x + 14) - 13(x + 14) = 0$.
$(x + 14)(x - 13) = 0$.
इससे $x = -14$ या $x = 13$ प्राप्त होता है।
चूंकि पूर्णांक धनात्मक होने चाहिए,इसलिए हम $x = 13$ लेंगे।
अतः,अगला पूर्णांक $x + 1 = 13 + 1 = 14$ होगा।
इस प्रकार,दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $13$ और $14$ हैं।
दिया गया है कि $x^{2} + (x+1)^{2} = 365$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 365$.
सरल करने पर: $2x^{2} + 2x + 1 = 365$.
$2x^{2} + 2x - 364 = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $x^{2} + x - 182 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 14x - 13x - 182 = 0$.
$x(x + 14) - 13(x + 14) = 0$.
$(x + 14)(x - 13) = 0$.
इससे $x = -14$ या $x = 13$ प्राप्त होता है।
चूंकि पूर्णांक धनात्मक होने चाहिए,इसलिए हम $x = 13$ लेंगे।
अतः,अगला पूर्णांक $x + 1 = 13 + 1 = 14$ होगा।
इस प्रकार,दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $13$ और $14$ हैं।
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DifficultMCQ
एक समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब उसके आधार से $7 \, cm$ कम है। यदि कर्ण $13 \, cm$ है,तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
A
$5 \, cm$ और $12 \, cm$
B
$6 \, cm$ और $13 \, cm$
C
$7 \, cm$ और $14 \, cm$
D
$8 \, cm$ और $15 \, cm$
Solution
(A) माना कि समकोण त्रिभुज का आधार $x \, cm$ है।
इसका शीर्षलंब $(x - 7) \, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$\text{आधार}^2 + \text{शीर्षलंब}^2 = \text{कर्ण}^2$
$x^2 + (x - 7)^2 = 13^2$
$x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169$
$2x^2 - 14x - 120 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - 7x - 60 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 12x + 5x - 60 = 0$
$x(x - 12) + 5(x - 12) = 0$
$(x - 12)(x + 5) = 0$
अतः,$x = 12$ या $x = -5$ है।
चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 12$ लेंगे।
अतः,आधार $12 \, cm$ है और शीर्षलंब $12 - 7 = 5 \, cm$ है।
इसका शीर्षलंब $(x - 7) \, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$\text{आधार}^2 + \text{शीर्षलंब}^2 = \text{कर्ण}^2$
$x^2 + (x - 7)^2 = 13^2$
$x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169$
$2x^2 - 14x - 120 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - 7x - 60 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 12x + 5x - 60 = 0$
$x(x - 12) + 5(x - 12) = 0$
$(x - 12)(x + 5) = 0$
अतः,$x = 12$ या $x = -5$ है।
चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 12$ लेंगे।
अतः,आधार $12 \, cm$ है और शीर्षलंब $12 - 7 = 5 \, cm$ है।
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Medium
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ संख्या में मिट्टी के बर्तन बनाता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक बर्तन की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या के दोगुने से $3$ अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ $90$ थी,तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक बर्तन की लागत ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) माना कि निर्मित बर्तनों की संख्या $x$ है।
इसलिए,प्रत्येक बर्तन की निर्माण लागत $= (2x + 3)$ रुपये है।
यह दिया गया है कि कुल निर्माण लागत ₹ $90$ है।
अतः,$x(2x + 3) = 90$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $2x^2 + 3x - 90 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 + 15x - 12x - 90 = 0$.
$x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0$.
$(2x + 15)(x - 6) = 0$.
इससे $x = -15/2$ या $x = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि बर्तनों की संख्या एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $x = 6$ होगा।
अतः,निर्मित बर्तनों की संख्या $6$ है और प्रत्येक बर्तन की लागत $2(6) + 3 = 15$ रुपये है।
इसलिए,प्रत्येक बर्तन की निर्माण लागत $= (2x + 3)$ रुपये है।
यह दिया गया है कि कुल निर्माण लागत ₹ $90$ है।
अतः,$x(2x + 3) = 90$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $2x^2 + 3x - 90 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2x^2 + 15x - 12x - 90 = 0$.
$x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0$.
$(2x + 15)(x - 6) = 0$.
इससे $x = -15/2$ या $x = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि बर्तनों की संख्या एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $x = 6$ होगा।
अतः,निर्मित बर्तनों की संख्या $6$ है और प्रत्येक बर्तन की लागत $2(6) + 3 = 15$ रुपये है।
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Difficult
समीकरण $2x^{2}-5x+3=0$ को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल कीजिए।
Solution
(N/A) दिया गया समीकरण $2x^{2}-5x+3=0$ है।
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0$
अब,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग,यानी $(\frac{1}{2} \times \frac{5}{2})^{2} = (\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$ जोड़कर और घटाकर पूर्ण वर्ग बनाएं:
$x^{2}-\frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{25}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{1}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} = \frac{1}{16}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x-\frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$
स्थिति $1$: $x-\frac{5}{4} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
स्थिति $2$: $x-\frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
अतः,हल $x = \frac{3}{2}$ और $x = 1$ हैं।
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0$
अब,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग,यानी $(\frac{1}{2} \times \frac{5}{2})^{2} = (\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$ जोड़कर और घटाकर पूर्ण वर्ग बनाएं:
$x^{2}-\frac{5}{2}x + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{25}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} - \frac{1}{16} = 0$
$(x-\frac{5}{4})^{2} = \frac{1}{16}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x-\frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$
स्थिति $1$: $x-\frac{5}{4} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
स्थिति $2$: $x-\frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
अतः,हल $x = \frac{3}{2}$ और $x = 1$ हैं।
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Difficult
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा समीकरण $5x^{2}-6x-2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) समीकरण को $5$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$25x^{2}-30x-10=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(5x)^{2}-2 \times (5x) \times 3 + 3^{2} - 3^{2} - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 9 - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 19 = 0$
$(5x-3)^{2} = 19$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$5x-3 = \pm \sqrt{19}$
$5x = 3 \pm \sqrt{19}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}$
अतः,मूल $\frac{3+\sqrt{19}}{5}$ और $\frac{3-\sqrt{19}}{5}$ हैं।
$25x^{2}-30x-10=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(5x)^{2}-2 \times (5x) \times 3 + 3^{2} - 3^{2} - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 9 - 10 = 0$
$(5x-3)^{2} - 19 = 0$
$(5x-3)^{2} = 19$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$5x-3 = \pm \sqrt{19}$
$5x = 3 \pm \sqrt{19}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}$
अतः,मूल $\frac{3+\sqrt{19}}{5}$ और $\frac{3-\sqrt{19}}{5}$ हैं।
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Medium
$4 x^{2}+3 x+5=0$ के मूल पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
Solution
(NONE) दिया गया द्विघात समीकरण: $4 x^{2}+3 x+5=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए,सबसे पहले पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करते हैं:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$।
अब,पूर्ण वर्ग बनाकर व्यंजक को पुनः लिखते हैं:
$(x + \frac{3}{8})^{2} - (\frac{3}{8})^{2} + \frac{5}{4} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} + \frac{80}{64} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} + \frac{71}{64} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{71}{64}$।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $x$ का कोई ऐसा वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,समीकरण $4 x^{2}+3 x+5=0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए,सबसे पहले पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करते हैं:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$।
अब,पूर्ण वर्ग बनाकर व्यंजक को पुनः लिखते हैं:
$(x + \frac{3}{8})^{2} - (\frac{3}{8})^{2} + \frac{5}{4} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} + \frac{80}{64} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} + \frac{71}{64} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{71}{64}$।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $x$ का कोई ऐसा वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,समीकरण $4 x^{2}+3 x+5=0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
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Easy
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके हल कीजिए। एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल $528 \ m^2$ है। भूखंड की लंबाई (मीटर में) उसकी चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
Solution
(16 M, 33 M) माना कि भूखंड की चौड़ाई $x \ m$ है। तब लंबाई $(2x + 1) \ m$ होगी।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $528 \ m^2$ है,इसलिए $x(2x + 1) = 528$,जो $2x^2 + x - 528 = 0$ के रूप में सरल होता है।
यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है,जहाँ $a = 2, b = 1, c = -528$ है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-528)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4224}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4} = \frac{-1 \pm 65}{4}$.
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $x = \frac{64}{4} = 16$ या $x = \frac{-66}{4} = -16.5$।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 16 \ m$ लेते हैं।
अतः,भूखंड की चौड़ाई $16 \ m$ है और लंबाई $2(16) + 1 = 33 \ m$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $528 \ m^2$ है,इसलिए $x(2x + 1) = 528$,जो $2x^2 + x - 528 = 0$ के रूप में सरल होता है।
यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है,जहाँ $a = 2, b = 1, c = -528$ है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-528)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4224}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4} = \frac{-1 \pm 65}{4}$.
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $x = \frac{64}{4} = 16$ या $x = \frac{-66}{4} = -16.5$।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 16 \ m$ लेते हैं।
अतः,भूखंड की चौड़ाई $16 \ m$ है और लंबाई $2(16) + 1 = 33 \ m$ है।
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View Solution37
MediumMCQ
दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए,जिनके वर्गों का योग $290$ है।
A
$11, 13$
B
$13, 15$
C
$9, 11$
D
$7, 9$
Solution
(A) माना कि दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटी संख्या $x$ है। तब,दूसरी संख्या $x+2$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,
$x^{2} + (x+2)^{2} = 290$
$x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 290$
$2x^{2} + 4x - 286 = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + 2x - 143 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4(1)(-143)}}{2(1)}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 \pm 24}{2}$
$x = \frac{22}{2} = 11$ या $x = \frac{-26}{2} = -13$
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए हम $x = 11$ लेते हैं।
अतः,दो क्रमागत विषम पूर्णांक $11$ और $13$ हैं।
सत्यापन: $11^{2} + 13^{2} = 121 + 169 = 290$.
प्रश्न के अनुसार,
$x^{2} + (x+2)^{2} = 290$
$x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 290$
$2x^{2} + 4x - 286 = 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + 2x - 143 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4(1)(-143)}}{2(1)}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 572}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-2 \pm 24}{2}$
$x = \frac{22}{2} = 11$ या $x = \frac{-26}{2} = -13$
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए हम $x = 11$ लेते हैं।
अतः,दो क्रमागत विषम पूर्णांक $11$ और $13$ हैं।
सत्यापन: $11^{2} + 13^{2} = 121 + 169 = 290$.
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Medium
एक आयताकार पार्क का डिज़ाइन तैयार करना है जिसकी चौड़ाई उसकी लंबाई से $3\, m$ कम है। इसका क्षेत्रफल एक ऐसे पार्क के क्षेत्रफल से $4\, m^2$ अधिक है जो पहले से ही एक समद्विबाहु त्रिभुज के आकार में बना हुआ है,जिसका आधार आयताकार पार्क की चौड़ाई के बराबर है और शीर्षलंब $12\, m$ है (आकृति देखें)। इसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) माना आयताकार पार्क की चौड़ाई $x\, m$ है।
तब,इसकी लंबाई $(x+3)\, m$ होगी।
अतः,आयताकार पार्क का क्षेत्रफल $x(x+3) = (x^2 + 3x)\, m^2$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब} = \frac{1}{2} \times x \times 12 = 6x\, m^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,आयताकार पार्क का क्षेत्रफल त्रिभुजाकार पार्क के क्षेत्रफल से $4\, m^2$ अधिक है:
$x^2 + 3x = 6x + 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 4$ या $x = -1$ है।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 4$ है।
इस प्रकार,पार्क की चौड़ाई $4\, m$ है और इसकी लंबाई $4 + 3 = 7\, m$ है।
तब,इसकी लंबाई $(x+3)\, m$ होगी।
अतः,आयताकार पार्क का क्षेत्रफल $x(x+3) = (x^2 + 3x)\, m^2$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब} = \frac{1}{2} \times x \times 12 = 6x\, m^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,आयताकार पार्क का क्षेत्रफल त्रिभुजाकार पार्क के क्षेत्रफल से $4\, m^2$ अधिक है:
$x^2 + 3x = 6x + 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
$(x - 4)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 4$ या $x = -1$ है।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 4$ है।
इस प्रकार,पार्क की चौड़ाई $4\, m$ है और इसकी लंबाई $4 + 3 = 7\, m$ है।
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EasyMCQ
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए,यदि उनका अस्तित्व है: $3x^{2} - 5x + 2 = 0$.
A
$x = 1, x = 2/3$
B
$x = -1, x = -2/3$
C
$x = 1, x = -2/3$
D
$x = -1, x = 2/3$
Solution
(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} - 5x + 2 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -5$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करें:
$D = (-5)^{2} - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए वास्तविक और भिन्न मूलों का अस्तित्व है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
स्थिति $2$: $x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,मूल $1$ और $\frac{2}{3}$ हैं।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -5$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ की गणना करें:
$D = (-5)^{2} - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए वास्तविक और भिन्न मूलों का अस्तित्व है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
स्थिति $2$: $x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,मूल $1$ और $\frac{2}{3}$ हैं।
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Easy
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए,यदि उनका अस्तित्व हो: $x^{2}+4x+5=0$.
Solution
(NONE) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+4x+5=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=4$ और $c=5$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (4)^{2} - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए विविक्तकर का वर्गमूल $\sqrt{D}$ एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=4$ और $c=5$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (4)^{2} - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए विविक्तकर का वर्गमूल $\sqrt{D}$ एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
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EasyMCQ
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए,यदि उनका अस्तित्व है: $2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$.
A
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$
B
$x = \sqrt{2}, \sqrt{2}$
C
$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$
D
$x = 2, 2$
Solution
(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2, b = -2\sqrt{2}, c = 1$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करें।
$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,मूल $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2, b = -2\sqrt{2}, c = 1$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करें।
$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,मूल $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
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Medium
निम्नलिखित समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$x + \frac{1}{x} = 3, x \neq 0$
$x + \frac{1}{x} = 3, x \neq 0$
Solution
(N/A) दिया गया समीकरण $x + \frac{1}{x} = 3$ है।
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + 1 = 3x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$x^2 - 3x + 1 = 0$
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = -3, c = 1$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$ है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$।
अतः,मूल $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ और $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ हैं।
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + 1 = 3x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$x^2 - 3x + 1 = 0$
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = -3, c = 1$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$ है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$।
अतः,मूल $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ और $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ हैं।
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Difficult
निम्नलिखित समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3, x \neq 0, 2$
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3, x \neq 0, 2$
Solution
(N/A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3$,जहाँ $x \neq 0, 2$ है।
दोनों पक्षों को $x(x-2)$ से गुणा करने पर:
$(x-2) - x = 3x(x-2)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$-2 = 3x^2 - 6x$
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 - 6x + 2 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 3, b = -6, c = 2$ है:
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
अतः,$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2(3)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}$.
$2$ से भाग देने पर:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$.
अतः,समीकरण के मूल $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ और $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ हैं।
दोनों पक्षों को $x(x-2)$ से गुणा करने पर:
$(x-2) - x = 3x(x-2)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$-2 = 3x^2 - 6x$
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 - 6x + 2 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 3, b = -6, c = 2$ है:
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
अतः,$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2(3)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}$.
$2$ से भाग देने पर:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$.
अतः,समीकरण के मूल $\frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ और $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ हैं।
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MediumMCQ
एक मोटर बोट जिसकी शांत जल में गति $18\, km/h$ है,उसे $24\, km$ धारा के प्रतिकूल जाने में,धारा के अनुकूल वापस आने की तुलना में $1\, \text{hour}$ अधिक समय लगता है। धारा की गति ज्ञात कीजिए। ($\text{km/h}$ में)
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
$8$
Solution
(C) माना धारा की गति $x\, km/h$ है।
अतः,धारा के प्रतिकूल बोट की गति $(18-x)\, km/h$ और धारा के अनुकूल बोट की गति $(18+x)\, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{24}{18-x}\, \text{घंटे}$.
इसी प्रकार,धारा के अनुकूल जाने में लगा समय $= \frac{24}{18+x}\, \text{घंटे}$.
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $1\, \text{घंटा}$ है:
$\frac{24}{18-x} - \frac{24}{18+x} = 1$
$(18-x)(18+x)$ से गुणा करने पर:
$24(18+x) - 24(18-x) = (18-x)(18+x)$
$432 + 24x - 432 + 24x = 324 - x^2$
$48x = 324 - x^2$
$x^2 + 48x - 324 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 - 4(1)(-324)}}{2(1)}$
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 1296}}{2} = \frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2}$
$x = \frac{-48 \pm 60}{2}$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = \frac{-48 + 60}{2} = \frac{12}{2} = 6\, km/h$।
अतः,धारा के प्रतिकूल बोट की गति $(18-x)\, km/h$ और धारा के अनुकूल बोट की गति $(18+x)\, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{24}{18-x}\, \text{घंटे}$.
इसी प्रकार,धारा के अनुकूल जाने में लगा समय $= \frac{24}{18+x}\, \text{घंटे}$.
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $1\, \text{घंटा}$ है:
$\frac{24}{18-x} - \frac{24}{18+x} = 1$
$(18-x)(18+x)$ से गुणा करने पर:
$24(18+x) - 24(18-x) = (18-x)(18+x)$
$432 + 24x - 432 + 24x = 324 - x^2$
$48x = 324 - x^2$
$x^2 + 48x - 324 = 0$
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 - 4(1)(-324)}}{2(1)}$
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 1296}}{2} = \frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2}$
$x = \frac{-48 \pm 60}{2}$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = \frac{-48 + 60}{2} = \frac{12}{2} = 6\, km/h$।
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Easy
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए,यदि उनका अस्तित्व हो: $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
Solution
(3, 1/2) दिया गया समीकरण: $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$2x^2 - 7x = -3$.
चरण $2$: पूरे समीकरण को $x^2$ के गुणांक $(2)$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
चरण $3$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $-\frac{7}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $-\frac{7}{4}$ होगा। $(-\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^2 - 2(x)(\frac{7}{4}) + (\frac{7}{4})^2 = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
चरण $4$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
चरण $5$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
चरण $6$: $x$ का मान ज्ञात करने पर:
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
स्थिति $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$2x^2 - 7x = -3$.
चरण $2$: पूरे समीकरण को $x^2$ के गुणांक $(2)$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
चरण $3$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $-\frac{7}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $-\frac{7}{4}$ होगा। $(-\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^2 - 2(x)(\frac{7}{4}) + (\frac{7}{4})^2 = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
चरण $4$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
चरण $5$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
चरण $6$: $x$ का मान ज्ञात करने पर:
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
स्थिति $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
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Medium
निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल,यदि उनका अस्तित्व हो,तो पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए: $2x^{2} + x - 4 = 0$.
Solution
(N/A) दिया गया समीकरण: $2x^{2} + x - 4 = 0$.
चरण $1$: $x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{2}x = 2$.
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{1}{4}$ होगा। दोनों पक्षों में $(\frac{1}{4})^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = 2 + (\frac{1}{4})^{2}$.
चरण $3$: बाएँ पक्ष को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = 2 + \frac{1}{16} = \frac{32 + 1}{16} = \frac{33}{16}$.
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{33}{16}} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$.
चरण $5$: $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{33}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$.
अतः,मूल $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ और $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ हैं।
चरण $1$: $x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{2}x = 2$.
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{1}{4}$ होगा। दोनों पक्षों में $(\frac{1}{4})^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = 2 + (\frac{1}{4})^{2}$.
चरण $3$: बाएँ पक्ष को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = 2 + \frac{1}{16} = \frac{32 + 1}{16} = \frac{33}{16}$.
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{33}{16}} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$.
चरण $5$: $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = -\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{33}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$.
अतः,मूल $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ और $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ हैं।
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Easy
निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल,यदि उनका अस्तित्व हो,तो पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए: $4x^{2} + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$.
Solution
(N/A) दिया गया समीकरण: $4x^{2} + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$.
हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(2x)^{2} + 2(2x)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2} = 0$.
यह बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$ और $b = \sqrt{3}$ है।
अतः,$(2x + \sqrt{3})^{2} = 0$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + \sqrt{3} = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$2x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि द्विघात समीकरण के मूल समान हैं,इसलिए मूल $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।
हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(2x)^{2} + 2(2x)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2} = 0$.
यह बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a = 2x$ और $b = \sqrt{3}$ है।
अतः,$(2x + \sqrt{3})^{2} = 0$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + \sqrt{3} = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$2x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि द्विघात समीकरण के मूल समान हैं,इसलिए मूल $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।
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Medium
निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूल,यदि उनका अस्तित्व हो,तो पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
Solution
(D) दिया गया समीकरण: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
चरण $1$: $x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
चरण $2$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$.
चरण $3$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{1}{4}$ होगा। दोनों पक्षों में $(\frac{1}{4})^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = -2 + \frac{1}{16}$.
चरण $4$: समीकरण को सरल करने पर:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{32}{16} + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{31}{16}$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $(x + \frac{1}{4})^{2}$ का मान $-\frac{31}{16}$ नहीं हो सकता है।
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
चरण $1$: $x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
चरण $2$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$.
चरण $3$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{1}{4}$ होगा। दोनों पक्षों में $(\frac{1}{4})^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 2(x)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^{2} = -2 + \frac{1}{16}$.
चरण $4$: समीकरण को सरल करने पर:
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{32}{16} + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = -\frac{31}{16}$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $(x + \frac{1}{4})^{2}$ का मान $-\frac{31}{16}$ नहीं हो सकता है।
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
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द्विघाती सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$2 x^{2}-7 x+3=0$
$2 x^{2}-7 x+3=0$
Solution
(N/A) दिया गया समीकरण: $2 x^{2}-7 x+3=0$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2, b=-7, c=3$
द्विघाती सूत्र इस प्रकार है:
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a, b,$ और $c$ के मान रखने पर:
$x=\frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{4}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}$
$x=\frac{7 \pm 5}{4}$
अब,दोनों स्थितियों के लिए हल करने पर:
स्थिति $1$: $x = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
स्थिति $2$: $x = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,समीकरण के मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2, b=-7, c=3$
द्विघाती सूत्र इस प्रकार है:
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a, b,$ और $c$ के मान रखने पर:
$x=\frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{4}$
$x=\frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}$
$x=\frac{7 \pm 5}{4}$
अब,दोनों स्थितियों के लिए हल करने पर:
स्थिति $1$: $x = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
स्थिति $2$: $x = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,समीकरण के मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
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द्विघाती सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
$2 x^{2} + x - 4 = 0$
$2 x^{2} + x - 4 = 0$
Solution
(N/A) दिया गया समीकरण: $2 x^{2} + x - 4 = 0$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $a x^{2} + b x + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = 1, c = -4$
द्विघाती सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$:
मान रखने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
अतः,मूल $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ और $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ हैं।
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $a x^{2} + b x + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = 1, c = -4$
द्विघाती सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$:
मान रखने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
अतः,मूल $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ और $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ हैं।
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View SolutionQuadratic Equations — Textbook - Quadratic Equations · Frequently Asked Questions
1Are these Quadratic Equations questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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