Textbook - Quadratic Equations Questions in Hindi

(D) दिया गया द्विघात समीकरण: $4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0$.
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें $a=4, b=4 \sqrt{3}, c=3$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर $D = b^{2}-4 a c = (4 \sqrt{3})^{2} - 4(4)(3) = 48 - 48 = 0$ ज्ञात करें।
चूंकि $D=0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$x = \frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}$
$x = \frac{-4 \sqrt{3}}{8}$
$x = \frac{-\sqrt{3}}{2}$.
अतः,मूल $x = \frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2}$ हैं।

(NONE) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} + x + 4 = 0$ है।
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = 1, c = 4$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-31}}{4}$
यहाँ विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = -31$ है,जो $0$ से छोटा है। ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होती है।
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $x - \frac{1}{x} = 3$
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर: $x^{2} - 1 = 3x$
मानक द्विघात रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^{2} - 3x - 1 = 0$
इस समीकरण की तुलना $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 1, b = -3, c = -1$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$
अतः,मूल $x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ और $x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) लेने पर:
$\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$
अंश को सरल करने पर:
$\frac{x-7-x-4}{x^2-7x+4x-28}=\frac{11}{30}$
$\frac{-11}{x^2-3x-28}=\frac{11}{30}$
दोनों पक्षों को $11$ से विभाजित करने पर:
$\frac{-1}{x^2-3x-28}=\frac{1}{30}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$x^2-3x-28 = -30$
$x^2-3x-28+30 = 0$
$x^2-3x+2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2-2x-x+2 = 0$
$x(x-2)-1(x-2) = 0$
$(x-2)(x-1) = 0$
अतः,मूल $x = 1$ या $x = 2$ हैं।

(C) माना रेहमान की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
तीन वर्ष पूर्व,उसकी आयु $(x-3)$ वर्ष थी।
पाँच वर्ष बाद,उसकी आयु $(x+5)$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,$3$ वर्ष पूर्व और $5$ वर्ष बाद की आयु के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{3}$ है।
$\therefore \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3}$
$\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{3}$
$\frac{2x+2}{x^2+2x-15} = \frac{1}{3}$
$3(2x+2) = x^2+2x-15$
$6x+6 = x^2+2x-15$
$x^2-4x-21 = 0$
$x^2-7x+3x-21 = 0$
$x(x-7)+3(x-7) = 0$
$(x-7)(x+3) = 0$
$x = 7$ या $x = -3$.
चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए रेहमान की वर्तमान आयु $7$ वर्ष है।

(C) माना गणित में प्राप्त अंक $x$ हैं।
तो,अंग्रेजी में प्राप्त अंक $30-x$ होंगे।
दी गई शर्त के अनुसार:
$(x+2)(30-x-3) = 210$
$(x+2)(27-x) = 210$
$27x - x^2 + 54 - 2x = 210$
$-x^2 + 25x + 54 = 210$
$x^2 - 25x + 156 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$x^2 - 12x - 13x + 156 = 0$
$x(x-12) - 13(x-12) = 0$
$(x-12)(x-13) = 0$
अतः,$x = 12$ या $x = 13$ है।
स्थिति $1$: यदि गणित में $12$ अंक हैं,तो अंग्रेजी में $30-12 = 18$ अंक होंगे।
स्थिति $2$: यदि गणित में $13$ अंक हैं,तो अंग्रेजी में $30-13 = 17$ अंक होंगे।

(C) माना आयत की छोटी भुजा $x\, m$ है।
अतः,आयत की लंबी भुजा $(x+30)\, m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,आयत का विकर्ण $\sqrt{x^2 + (x+30)^2}$ होता है।
यह दिया गया है कि विकर्ण छोटी भुजा से $60\, m$ अधिक है,इसलिए $\sqrt{x^2 + (x+30)^2} = x + 60$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + (x+30)^2 = (x+60)^2$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$।
समीकरण को सरल करने पर: $x^2 - 60x - 2700 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 90x + 30x - 2700 = 0$,जो $x(x-90) + 30(x-90) = 0$ देता है।
अतः,$(x-90)(x+30) = 0$।
इससे $x = 90$ या $x = -30$ प्राप्त होता है।
चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए छोटी भुजा $90\, m$ है।
लंबी भुजा $x + 30 = 90 + 30 = 120\, m$ होगी।

(A) माना बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$x^2 - y^2 = 180$ --- $(1)$
$y^2 = 8x$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x^2 - 8x = 180$
$x^2 - 8x - 180 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 18x + 10x - 180 = 0$
$x(x - 18) + 10(x - 18) = 0$
$(x - 18)(x + 10) = 0$
अतः,$x = 18$ या $x = -10$ है।
चूँकि $y^2 = 8x$,यदि $x = -10$ है,तो $y^2 = -80$ होगा,जो वास्तविक संख्याओं के लिए संभव नहीं है। इसलिए,$x = 18$ होगा।
अब,$y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y^2 = 8(18) = 144$
$y = \pm \sqrt{144} = \pm 12$.
अतः,वे दो संख्याएँ $(18, 12)$ या $(18, -12)$ हैं।

(A) माना ट्रेन की समान चाल $x\, km/h$ है।
$x$ चाल से $360\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{360}{x}\, h$ है।
यदि चाल $5\, km/h$ बढ़ा दी जाए,तो नई चाल $(x + 5)\, km/h$ होगी।
नई चाल से लगा समय $t_2 = \frac{360}{x + 5}\, h$ है।
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $1\, hour$ है:
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 5} = 1$
$360 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 5} \right) = 1$
$360 \left( \frac{x + 5 - x}{x(x + 5)} \right) = 1$
$360 \left( \frac{5}{x^2 + 5x} \right) = 1$
$1800 = x^2 + 5x$
$x^2 + 5x - 1800 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 45x - 40x - 1800 = 0$
$x(x + 45) - 40(x + 45) = 0$
$(x + 45)(x - 40) = 0$
इससे $x = -45$ या $x = 40$ प्राप्त होता है।
चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए ट्रेन की चाल $40\, km/h$ है।

(A) माना कि छोटा नल टंकी को भरने में $x \text{ घंटे}$ लेता है।
बड़े नल द्वारा लिया गया समय $= (x - 10) \text{ घंटे}$।
छोटे नल द्वारा $1 \text{ घंटे}$ में भरा गया टंकी का भाग $= \frac{1}{x}$।
बड़े नल द्वारा $1 \text{ घंटे}$ में भरा गया टंकी का भाग $= \frac{1}{x - 10}$।
यह दिया गया है कि दोनों नल एक साथ टंकी को $9 \frac{3}{8} = \frac{75}{8} \text{ घंटे}$ में भर सकते हैं। इसलिए,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} = \frac{8}{75}$।
$\frac{x - 10 + x}{x(x - 10)} = \frac{8}{75}$।
$\frac{2x - 10}{x^2 - 10x} = \frac{8}{75}$।
$75(2x - 10) = 8(x^2 - 10x)$।
$150x - 750 = 8x^2 - 80x$।
$8x^2 - 230x + 750 = 0$।
$2$ से भाग देने पर,$4x^2 - 115x + 375 = 0$।
$4x^2 - 100x - 15x + 375 = 0$।
$4x(x - 25) - 15(x - 25) = 0$।
$(x - 25)(4x - 15) = 0$।
अतः,$x = 25$ या $x = \frac{15}{4} = 3.75$।
यदि $x = 3.75$ है,तो बड़े नल द्वारा लिया गया समय $3.75 - 10 = -6.25 \text{ घंटे}$ होगा,जो संभव नहीं है।
इसलिए,छोटा नल $25 \text{ घंटे}$ लेता है और बड़ा नल $25 - 10 = 15 \text{ घंटे}$ लेता है।

(A) माना पैसेंजर ट्रेन की औसत गति $x\, km/h$ है।
एक्सप्रेस ट्रेन की औसत गति $= (x + 11)\, km/h$ होगी।
पैसेंजर ट्रेन द्वारा $132\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{132}{x}\, \text{घंटे}$.
एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा $132\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{132}{x + 11}\, \text{घंटे}$.
प्रश्न के अनुसार,एक्सप्रेस ट्रेन पैसेंजर ट्रेन से $1\, \text{घंटा}$ कम समय लेती है:
$\frac{132}{x} - \frac{132}{x + 11} = 1$
$132 \left[ \frac{x + 11 - x}{x(x + 11)} \right] = 1$
$\frac{132 \times 11}{x^2 + 11x} = 1$
$x^2 + 11x = 1452$
$x^2 + 11x - 1452 = 0$
द्विघात समीकरण को मध्य पद को विभाजित करके हल करने पर:
$x^2 + 44x - 33x - 1452 = 0$
$x(x + 44) - 33(x + 44) = 0$
$(x + 44)(x - 33) = 0$
$x = -44$ या $x = 33$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 33\, km/h$.
अतः,पैसेंजर ट्रेन की गति $33\, km/h$ है और एक्सप्रेस ट्रेन की गति $33 + 11 = 44\, km/h$ है।

(A) माना कि दो वर्गों की भुजाएँ $x \, m$ और $y \, m$ हैं। अतः,उनके परिमाप क्रमशः $4x$ और $4y$ होंगे और उनके क्षेत्रफल क्रमशः $x^2$ और $y^2$ होंगे।
यह दिया गया है कि उनके परिमापों का अंतर $24 \, m$ है:
$4x - 4y = 24$
$x - y = 6$
$x = y + 6$
यह भी दिया गया है कि उनके क्षेत्रफलों का योग $468 \, m^2$ है:
$x^2 + y^2 = 468$
क्षेत्रफल के समीकरण में $x = y + 6$ रखने पर:
$(y + 6)^2 + y^2 = 468$
$y^2 + 12y + 36 + y^2 = 468$
$2y^2 + 12y - 432 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$y^2 + 6y - 216 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$y^2 + 18y - 12y - 216 = 0$
$y(y + 18) - 12(y + 18) = 0$
$(y + 18)(y - 12) = 0$
इससे $y = -18$ या $y = 12$ प्राप्त होता है। चूँकि वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $y = 12 \, m$ लेते हैं।
तब,$x = 12 + 6 = 18 \, m$।
अतः,दोनों वर्गों की भुजाएँ $18 \, m$ और $12 \, m$ हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है,जहाँ $a=2$,$b=-4$ और $c=3$ है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-4)^{2} - (4 \times 2 \times 3)$
$D = 16 - 24$
$D = -8$
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(A) माना $P$ वृत्ताकार पार्क की परिसीमा पर खंभे का वांछित स्थान है।
माना खंभे की फाटक $B$ से दूरी $x \, m$ है,अर्थात $BP = x \, m$।
दोनों फाटकों से खंभे की दूरियों का अंतर $AP - BP = 7 \, m$ है।
इसलिए,$AP = (x + 7) \, m$।
चूंकि $AB$ वृत्ताकार पार्क का व्यास है,$AB = 13 \, m$।
एक वृत्त में,व्यास द्वारा परिसीमा पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण $90^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle APB = 90^{\circ}$।
$\triangle APB$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AP^2 + BP^2 = AB^2$।
मान रखने पर,$(x + 7)^2 + x^2 = 13^2$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + 14x + 49 + x^2 = 169$।
$2x^2 + 14x - 120 = 0$।
$2$ से भाग देने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $x^2 + 7x - 60 = 0$।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह संभव है,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289$ की गणना करते हैं।
चूंकि $D > 0$,समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,इसलिए खंभा गाड़ना संभव है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$ प्राप्त होता है।
इससे $x = \frac{10}{2} = 5$ या $x = \frac{-24}{2} = -12$ प्राप्त होता है।
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 5$ लेते हैं।
अतः,खंभा फाटक $B$ से $5 \, m$ और फाटक $A$ से $12 \, m$ की दूरी पर गाड़ा जाना चाहिए।

(D) दिया गया समीकरण: $3x^{2}-2x+\frac{1}{3}=0$.
$ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,$a=3, b=-2, c=\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4(3)(\frac{1}{3}) = 4-4 = 0$.
चूंकि $D=0$ है,इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
मूल $x = \frac{-b}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$x = \frac{-(-2)}{2(3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,मूल $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$ हैं।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ होता है।
$(A)$ यदि $D > 0$ है,तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$(B)$ यदि $D = 0$ है,तो दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
$(C)$ यदि $D < 0$ है,तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
दिए गए समीकरण $2x^2 - 3x + 5 = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर:
$a = 2$,$b = -3$,$c = 5$.
विविक्तकर की गणना करने पर:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(5)$
$D = 9 - 40 = -31$.
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए दिए गए द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(N/A) हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ होता है।
$(A)$ यदि $D > 0$ हो,तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$(B)$ यदि $D = 0$ हो,तो दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
$(C)$ यदि $D < 0$ हो,तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
दिया गया समीकरण: $3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0$.
इसकी तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 3$,$b = -4\sqrt{3}$,और $c = 4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4)$.
$D = 48 - 48 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
मूल $x = \frac{-b}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$x = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2(3)} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,मूल $\frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$(A)$ यदि $D > 0$ है,तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$(B)$ यदि $D = 0$ है,तो दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
$(C)$ यदि $D < 0$ है,तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
दिए गए समीकरण $2x^2 - 6x + 3 = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर:
$a = 2, b = -6, c = 3$.
विविक्तकर $D = (-6)^2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$.
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$.
अतः,मूल $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ और $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ हैं।

(D) हम जानते हैं कि यदि किसी द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के दो बराबर मूल होते हैं,तो उसका विविक्तकर (discriminant) $D = (b^{2}-4 a c)$ शून्य $(0)$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $2 x^{2}+k x+3=0$
इसकी तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2, b=k, c=3$
विविक्तकर का मान है:
$D = b^{2}-4 a c$
$D = (k)^{2}-4(2)(3)$
$D = k^{2}-24$
बराबर मूलों के लिए,विविक्तकर को $0$ के बराबर रखने पर:
$k^{2}-24 = 0$
$k^{2} = 24$
$k = \pm \sqrt{24}$
$k = \pm 2 \sqrt{6}$

(K=6) दिया गया समीकरण: $k x(x-2)+6=0$
समीकरण का विस्तार करने पर: $k x^{2}-2 k x+6=0$
इसे मानक द्विघात रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=k, b=-2 k, c=6$
द्विघात समीकरण के दो बराबर मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ होना चाहिए:
$D = b^{2}-4 a c = 0$
मान रखने पर:
$(-2 k)^{2}-4(k)(6) = 0$
$4 k^{2}-24 k = 0$
$4k$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$4 k(k-6) = 0$
इससे दो संभावनाएं प्राप्त होती हैं: $4 k=0$ या $k-6=0$,जिसका अर्थ है $k=0$ या $k=6$।
हालाँकि,यदि $k=0$ है,तो समीकरण $6=0$ हो जाता है,जो कि एक द्विघात समीकरण नहीं है। इसलिए,$k=0$ नहीं हो सकता।
अतः,$k$ का एकमात्र मान्य मान $k=6$ है।

(A) माना कि आम की बगिया की चौड़ाई $x \, m$ है।
तब,बगिया की लंबाई $2x \, m$ होगी।
आयताकार बगिया का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (2x)(x) = 2x^2 \, m^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $800 \, m^2$ है,इसलिए $2x^2 = 800$.
$x^2 = 400$.
$x^2 - 400 = 0$.
इस समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 1, b = 0, c = -400$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (0)^2 - 4(1)(-400) = 1600$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,जिसका अर्थ है कि ऐसी बगिया बनाना संभव है।
$x^2 = 400 \implies x = \pm 20$.
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 20$ लेंगे।
अतः,चौड़ाई $20 \, m$ है और लंबाई $2(20) = 40 \, m$ है।

(D) माना एक मित्र की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
दूसरे मित्र की आयु $(20-x)$ वर्ष होगी।
चार वर्ष पूर्व,पहले मित्र की आयु $(x-4)$ वर्ष थी।
दूसरे मित्र की आयु $(20-x-4) = (16-x)$ वर्ष थी।
दी गई शर्त के अनुसार:
$(x-4)(16-x) = 48$
$16x - x^2 - 64 + 4x = 48$
$-x^2 + 20x - 64 = 48$
$-x^2 + 20x - 112 = 0$
$x^2 - 20x + 112 = 0$
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-20, c=112$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए इस द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल संभव नहीं हैं।
अतः,दी गई स्थिति संभव नहीं है।

(A) माना पार्क की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है।
परिमाप $2(l + b) = 80\, m$ है,जिसे सरल करने पर $l + b = 40$ या $b = 40 - l$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $l \times b = 400\, m^2$ है।
$b = 40 - l$ को क्षेत्रफल के समीकरण में रखने पर: $l(40 - l) = 400$.
इससे $40l - l^2 = 400$ या $l^2 - 40l + 400 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण $al^2 + bl + c = 0$ से करने पर,$a = 1, b = -40, c = 400$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(400) = 1600 - 1600 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं,जिसका अर्थ है कि यह स्थिति संभव है।
मूल $l = -b / (2a) = -(-40) / (2 \times 1) = 40 / 2 = 20$ प्राप्त होते हैं।
अतः,लंबाई $l = 20\, m$ और चौड़ाई $b = 40 - 20 = 20\, m$ है।