निम्नलिखित में से रैखिक समीकरणों का कौन सा युग्म संगत/असंगत है? यदि संगत है,तो ग्राफ़ीय विधि से हल ज्ञात कीजिए: $x-y=8, 3x-3y=16$.

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(N/A) दिए गए समीकरण $x-y=8$ और $3x-3y=16$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -8$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -16$
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
अतः,रेखाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,जिसका अर्थ है कि रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है।

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अनुपातों $\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं या असंगत।
$3x + 2y = 5; \quad 2x - 3y = 7$

निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$px + qy = p - q$
$qx - py = p + q$

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निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए।
$s-t=3$
$\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=6$

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निम्नलिखित समस्याओं को समीकरणों के युग्म के रूप में निरूपित कीजिए और उनके हल ज्ञात कीजिए:
रितु धारा के अनुकूल $2\, \text{घंटे में } 20\, \text{किमी}$ और धारा के प्रतिकूल $2\, \text{घंटे में } 4\, \text{किमी}$ तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

एक नाव $30\, km$ धारा के प्रतिकूल और $44\, km$ धारा के अनुकूल $10\, \text{घंटे}$ में जाती है। $13\, \text{घंटे}$ में,वह $40\, km$ धारा के प्रतिकूल और $55\, km$ धारा के अनुकूल जा सकती है। धारा की गति और स्थिर पानी में नाव की गति ज्ञात कीजिए।

Difficult
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