Textbook -Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(C) दी गई समांतर श्रेणी $(AP)$ $18, 15 \frac{1}{2}, 13, \ldots, -47$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 18$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 15 \frac{1}{2} - 18 = \frac{31}{2} - 18 = \frac{31 - 36}{2} = -\frac{5}{2}$ है।
माना कि इस समांतर श्रेणी में $n$ पद हैं। अतः,$n$ वाँ पद $a_n = -47$ है।
सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$-47 = 18 + (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right)$
दोनों पक्षों से $18$ घटाने पर:
$-47 - 18 = (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right)$
$-65 = (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right)$
दोनों पक्षों को $-\frac{2}{5}$ से गुणा करने पर:
$n - 1 = -65 \times \left(-\frac{2}{5}\right)$
$n - 1 = 13 \times 2$
$n - 1 = 26$
$n = 27$.
अतः,दी गई समांतर श्रेणी में कुल $27$ पद हैं।

(B) इस समांतर श्रेणी $(AP)$ के लिए,प्रथम पद $a = 11$ और सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 8 - 11 = -3$ है।
मान लीजिए कि $-150$ इस समांतर श्रेणी का $n$ वाँ पद है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $-150 = 11 + (n - 1)(-3)$.
$-150 = 11 - 3n + 3$.
$-150 = 14 - 3n$.
$3n = 14 + 150$.
$3n = 164$.
$n = \frac{164}{3} = 54.66$.
चूंकि समांतर श्रेणी में $n$ हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,और यहाँ $n$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए $-150$ इस समांतर श्रेणी का पद नहीं है।

(A) दिया गया है कि,
$a_{11} = 38$
$a_{16} = 73$
हम जानते हैं कि $AP$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$11$ वें पद के लिए: $a + 10d = 38$ $...(1)$
$16$ वें पद के लिए: $a + 15d = 73$ $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 15d) - (a + 10d) = 73 - 38$
$5d = 35$
$d = 7$
$d = 7$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 10(7) = 38$
$a + 70 = 38$
$a = 38 - 70 = -32$
अब,$31$ वाँ पद ज्ञात करते हैं:
$a_{31} = a + (31 - 1)d$
$a_{31} = -32 + 30(7)$
$a_{31} = -32 + 210$
$a_{31} = 178$
अतः,$31$ वाँ पद $178$ है।

(B) दिया गया है कि $3$ रा पद $a_3 = 12$ है और पदों की कुल संख्या $n = 50$ है,जिसमें अंतिम पद $a_{50} = 106$ है।
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए,$a_n = a + (n - 1)d$:
$3$ रे पद के लिए: $a + 2d = 12$ $(i)$
$50$ वें पद के लिए: $a + 49d = 106$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 49d) - (a + 2d) = 106 - 12$
$47d = 94$
$d = 2$
समीकरण $(i)$ में $d = 2$ रखने पर:
$a + 2(2) = 12$
$a + 4 = 12$
$a = 8$
अब,$29$ वाँ पद $a_{29}$ ज्ञात कीजिए:
$a_{29} = a + (29 - 1)d$
$a_{29} = 8 + 28(2)$
$a_{29} = 8 + 56 = 64$
अतः,$29$ वाँ पद $64$ है।

(C) दिया गया है कि,$3^{rd}$ पद $a_3 = 4$ और $9^{th}$ पद $a_9 = -8$ है।
हम जानते हैं कि $AP$ के $n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$3^{rd}$ पद के लिए: $a + 2d = 4$ $...(i)$
$9^{th}$ पद के लिए: $a + 8d = -8$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 8d) - (a + 2d) = -8 - 4$
$6d = -12$
$d = -2$
समीकरण $(i)$ में $d = -2$ रखने पर:
$a + 2(-2) = 4$
$a - 4 = 4$
$a = 8$
माना कि $n^{th}$ पद शून्य है,इसलिए $a_n = 0$:
$0 = a + (n - 1)d$
$0 = 8 + (n - 1)(-2)$
$0 = 8 - 2n + 2$
$2n = 10$
$n = 5$
अतः,इस $AP$ का $5^{th}$ पद शून्य है।

(D) हम जानते हैं कि $AP$ के लिए,$n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र: $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$17$ वें पद के लिए:
$a_{17} = a + (17 - 1)d = a + 16d$.
$10$ वें पद के लिए:
$a_{10} = a + (10 - 1)d = a + 9d$.
प्रश्न के अनुसार,$17$ वाँ पद $10$ वें पद से $7$ अधिक है:
$a_{17} - a_{10} = 7$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(a + 16d) - (a + 9d) = 7$.
समीकरण को सरल करने पर:
$a + 16d - a - 9d = 7$.
$7d = 7$.
दोनों पक्षों को $7$ से विभाजित करने पर:
$d = 1$.
अतः,सार्व अंतर $1$ है।

(65) दिया गया $A.P.$ $3, 15, 27, 39, \ldots$ है।
प्रथम पद $a = 3$ है।
सार्व अंतर $d = 15 - 3 = 12$ है।
$54$ वाँ पद $a_{54} = a + (54 - 1)d$ द्वारा प्राप्त होता है।
$a_{54} = 3 + 53 \times 12 = 3 + 636 = 639$ है।
हमें वह पद $a_n$ ज्ञात करना है जिसके लिए $a_n = a_{54} + 132$ हो।
$a_n = 639 + 132 = 771$ है।
सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$771 = 3 + (n - 1)12$ है।
$768 = (n - 1)12$ है।
$n - 1 = \frac{768}{12} = 64$ है।
$n = 65$ है।
वैकल्पिक रूप से,$n$ वें पद और $54$ वें पद के बीच का अंतर $(n - 54)d = 132$ है।
$(n - 54)12 = 132$ है।
$n - 54 = 11$ है।
$n = 65$ है।

(B) माना कि दो $APs$ के प्रथम पद क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम $AP$ के लिए,$n$ वां पद $a_n = a_1 + (n-1)d$ है।
दूसरे $AP$ के लिए,$n$ वां पद $b_n = a_2 + (n-1)d$ है।
$100$ वां पद $a_{100} = a_1 + 99d$ और $b_{100} = a_2 + 99d$ होगा।
दिया गया है कि $100$ वें पदों के बीच का अंतर $100$ है:
$(a_1 + 99d) - (a_2 + 99d) = 100$
$a_1 - a_2 = 100$ (समीकरण $1$)
अब,$1000$ वां पद $a_{1000} = a_1 + 999d$ और $b_{1000} = a_2 + 999d$ होगा।
$1000$ वें पदों के बीच का अंतर:
$(a_1 + 999d) - (a_2 + 999d) = a_1 - a_2$
समीकरण $1$ से मान रखने पर,अंतर $100$ प्राप्त होता है।

(C) $7$ से विभाज्य होने वाली पहली तीन अंकों की संख्या $105$ है।
अगली संख्याएँ $105 + 7 = 112, 112 + 7 = 119, \ldots$ हैं।
ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 105$ और सार्व अंतर $d = 7$ है।
तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या $999$ है। $999$ को $7$ से विभाजित करने पर,हमें $999 = 7 \times 142 + 5$ प्राप्त होता है। शेषफल $5$ है।
अतः,$7$ से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या $999 - 5 = 994$ है।
मान लीजिए कि $994$ इस समांतर श्रेणी का $n$ वाँ पद है।
सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हुए:
$994 = 105 + (n - 1)7$
$994 - 105 = (n - 1)7$
$889 = (n - 1)7$
$n - 1 = 889 / 7$
$n - 1 = 127$
$n = 128$
अतः,$7$ से विभाज्य तीन अंकों की कुल $128$ संख्याएँ हैं।

(D) $10$ से बड़ा $4$ का पहला गुणज $12$ है। अगले गुणज $16, 20, 24, \ldots$ हैं।
ये पद एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 12$ और सार्व अंतर $d = 4$ है।
अंतिम पद ज्ञात करने के लिए,हम $250$ को $4$ से विभाजित करते हैं। चूँकि $250 = 4 \times 62 + 2$,शेषफल $2$ है। इसलिए,$250$ से कम या उसके बराबर $4$ का सबसे बड़ा गुणज $250 - 2 = 248$ है।
अतः,समांतर श्रेणी इस प्रकार है: $12, 16, 20, 24, \ldots, 248$.
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$
मान रखने पर: $248 = 12 + (n - 1)4$
$248 - 12 = (n - 1)4$
$236 = (n - 1)4$
$n - 1 = \frac{236}{4}$
$n - 1 = 59$
$n = 60$
इस प्रकार,$10$ और $250$ के बीच $4$ के कुल $60$ गुणज हैं।

(A) प्रथम समांतर श्रेणी के लिए: $63, 65, 67, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 63$ और सार्व अंतर $d = 65 - 63 = 2$ है।
$n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d = 63 + (n - 1)2 = 63 + 2n - 2 = 61 + 2n$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी के लिए: $3, 10, 17, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 10 - 3 = 7$ है।
$n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4$ है।
दिया गया है कि $n$ वें पद बराबर हैं:
$61 + 2n = 7n - 4$
$61 + 4 = 7n - 2n$
$65 = 5n$
$n = 13$.
अतः,दोनों समांतर श्रेणियों के $13$ वें पद बराबर हैं।

(A) माना $AP$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$AP$ का $n$वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि तीसरा पद $16$ है:
$a_3 = a + (3 - 1)d = 16$
$a + 2d = 16$ --- $(1)$
दिया गया है कि $7$वाँ पद $5$वें पद से $12$ अधिक है:
$a_7 - a_5 = 12$
$(a + 6d) - (a + 4d) = 12$
$2d = 12$
$d = 6$
समीकरण $(1)$ में $d = 6$ रखने पर:
$a + 2(6) = 16$
$a + 12 = 16$
$a = 4$
अतः,$AP$ है: $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$
$4, 4+6, 4+12, 4+18, \ldots$
$4, 10, 16, 22, \ldots$

(C) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $3, 8, 13, \ldots, 253$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 8 - 3 = 5$ है।
अंतिम पद $l = 253$ है।
अंतिम पद से $n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र: अंतिम पद से $n$ वाँ पद $= l - (n - 1)d$ है।
यहाँ,$l = 253, n = 20, d = 5$ है।
अंतिम पद से $20$ वाँ पद $= 253 - (20 - 1) \times 5$.
$= 253 - (19 \times 5)$.
$= 253 - 95$.
$= 158$.
अतः,अंतिम पद से $20$ वाँ पद $158$ है।

(D) हम जानते हैं कि $AP$ का $n^{th}$ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$4^{th}$ और $8^{th}$ पदों के लिए:
$a_4 = a + 3d$
$a_8 = a + 7d$
दिया गया है कि $a_4 + a_8 = 24$,इसलिए $(a + 3d) + (a + 7d) = 24$,जो सरल होकर $2a + 10d = 24$ या $a + 5d = 12$ हो जाता है $...(1)$
$6^{th}$ और $10^{th}$ पदों के लिए:
$a_6 = a + 5d$
$a_{10} = a + 9d$
दिया गया है कि $a_6 + a_{10} = 44$,इसलिए $(a + 5d) + (a + 9d) = 44$,जो सरल होकर $2a + 14d = 44$ या $a + 7d = 22$ हो जाता है $...(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 7d) - (a + 5d) = 22 - 12$
$2d = 10$
$d = 5$
$d = 5$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 5(5) = 12$
$a + 25 = 12$
$a = -13$
प्रथम तीन पद इस प्रकार हैं:
$a_1 = a = -13$
$a_2 = a + d = -13 + 5 = -8$
$a_3 = a + 2d = -13 + 10 = -3$
अतः,$AP$ के प्रथम तीन पद $-13, -8, -3$ हैं।

(A) यह देखा जा सकता है कि सुब्बा राव द्वारा विभिन्न वर्षों में प्राप्त आय एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में है क्योंकि हर साल उनका वेतन ₹ $200$ बढ़ जाता है।
इसलिए,$1995$ से शुरू होने वाले प्रत्येक वर्ष का वेतन $5000, 5200, 5400, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5000$ और सार्व अंतर $d = 200$ है।
मान लीजिए कि $n$ वें वर्ष के बाद उनका वेतन ₹ $7000$ हो जाता है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$
मान रखने पर: $7000 = 5000 + (n - 1)200$
$2000 = (n - 1)200$
$n - 1 = 10$
$n = 11$
अतः,$11$ वें वर्ष में उनका वेतन ₹ $7000$ होगा।

(B) दिया गया है कि बचत एक समांतर श्रेणी $(AP)$ में है जहाँ:
प्रथम पद $(a)$ = ₹ $5$
सार्व अंतर $(d)$ = ₹ $1.75$
$n$-वाँ पद $(a_n)$ = ₹ $20.75$
समांतर श्रेणी के $n$-वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $a_n = a + (n - 1)d$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$20.75 = 5 + (n - 1) \times 1.75$
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर:
$15.75 = (n - 1) \times 1.75$
दोनों पक्षों को $1.75$ से विभाजित करने पर:
$n - 1 = \frac{15.75}{1.75}$
$n - 1 = 9$
$n = 9 + 1 = 10$
अतः,$10$-वें सप्ताह में उसकी बचत ₹ $20.75$ होगी।

(C) यहाँ,प्रथम पद $a = 8$ और सार्व अंतर $d = 3 - 8 = -5$ है। पदों की संख्या $n = 22$ है।
हम $AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
मान रखने पर:
$S_{22} = \frac{22}{2} [2(8) + (22 - 1)(-5)]$
$S_{22} = 11 [16 + 21(-5)]$
$S_{22} = 11 [16 - 105]$
$S_{22} = 11 [-89]$
$S_{22} = -979$
अतः,$AP$ के प्रथम $22$ पदों का योग $-979$ है।

(D) दिया गया है: प्रथम $14$ पदों का योग $S_{14} = 1050$,प्रथम पद $a = 10$,और पदों की संख्या $n = 14$ है।
$AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $1050 = \frac{14}{2}[2(10) + (14 - 1)d]$.
$1050 = 7[20 + 13d]$.
$150 = 20 + 13d$.
$130 = 13d$,जिससे $d = 10$ प्राप्त होता है।
$AP$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$20$ वें पद के लिए: $a_{20} = 10 + (20 - 1) \times 10$.
$a_{20} = 10 + 19 \times 10 = 10 + 190 = 200$.
अतः,$20$ वाँ पद $200$ है।

(A) यहाँ $AP$ श्रेणी $24, 21, 18, \ldots$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 24$ और सार्व अंतर $d = 21 - 24 = -3$ है।
हमें $n$ पदों का योग $S_n = 78$ दिया गया है।
$n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर,$78 = \frac{n}{2}[2(24) + (n - 1)(-3)]$.
$78 = \frac{n}{2}[48 - 3n + 3] = \frac{n}{2}[51 - 3n]$.
$156 = 51n - 3n^2$,जिसे सरल करने पर $3n^2 - 51n + 156 = 0$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर,$n^2 - 17n + 52 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(n - 4)(n - 13) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 4$ या $n = 13$ है।
दोनों मान मान्य हैं क्योंकि $5$ से $13$ तक के पदों का योग शून्य होता है।

(N/A) $(i)$ माना $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 1000$.
समांतर श्रेणी $(AP)$ के प्रथम $n$ पदों के योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1$ और $l = 1000$ है:
$S_{1000} = \frac{1000}{2}(1 + 1000) = 500 \times 1001 = 500500$.
अतः,प्रथम $1000$ धन पूर्णांकों का योग $500500$ है।
$(ii)$ माना $S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और अंतिम पद $l = n$ है।
इसलिए,$S_n = \frac{n(1 + n)}{2}$ या $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
अतः,प्रथम $n$ धन पूर्णांकों का योग $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ द्वारा दिया जाता है।

(C) $n$ वाँ पद $a_{n} = 3 + 2n$ है।
अनुक्रम के पदों को ज्ञात करने के लिए,$n = 1, 2, 3, \dots$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{1} = 3 + 2(1) = 5$
$a_{2} = 3 + 2(2) = 7$
$a_{3} = 3 + 2(3) = 9$
अनुक्रम $5, 7, 9, 11, \dots$ है।
चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है $(7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2)$,यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जिसमें प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 24$ के लिए:
$S_{24} = \frac{24}{2}[2(5) + (24 - 1)2]$
$S_{24} = 12[10 + (23 \times 2)]$
$S_{24} = 12[10 + 46]$
$S_{24} = 12 \times 56 = 672$.
अतः,प्रथम $24$ पदों का योग $672$ है।

(D) चूंकि उत्पादन में हर साल एक निश्चित संख्या में समान रूप से वृद्धि होती है,इसलिए $1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}, \dots$ वर्षों में निर्मित $TV$ सेटों की संख्या एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है।
मान लीजिए कि $1^{st}$ वर्ष का उत्पादन $a$ है और हर साल होने वाली समान वृद्धि $d$ है।
$n$ वें वर्ष का उत्पादन $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$a_3 = 600$ और $a_7 = 700$.
अतः,$a + 2d = 600$ (समीकरण $1$) और $a + 6d = 700$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(a + 6d) - (a + 2d) = 700 - 600$.
$4d = 100$,जिससे $d = 25$ प्राप्त होता है।
$d = 25$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 2(25) = 600$.
$a + 50 = 600$,इसलिए $a = 550$.
अतः,$1^{st}$ वर्ष में उत्पादन $550$ सेट है।

(A) माना कि $n$ वें वर्ष का उत्पादन एक समांतर श्रेणी $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $a$ प्रथम वर्ष का उत्पादन है और $d$ वार्षिक वृद्धि है।
दिया गया है: $a_3 = 600$ और $a_7 = 700$।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करते हुए:
$a + 2d = 600$ (समीकरण $1$)
$a + 6d = 700$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(a + 6d) - (a + 2d) = 700 - 600$
$4d = 100$
$d = 25$
$d = 25$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + 2(25) = 600$
$a + 50 = 600$
$a = 550$
अब,$10$ वें वर्ष का उत्पादन $(a_{10})$ ज्ञात कीजिए:
$a_{10} = a + 9d$
$a_{10} = 550 + 9(25)$
$a_{10} = 550 + 225 = 775$
अतः,$10$ वें वर्ष में उत्पादित $TV$ सेटों की संख्या $775$ है।

(B) मान लीजिए कि $n$ वें वर्ष में उत्पादन $a_n$ है। चूंकि उत्पादन समान रूप से बढ़ता है,यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है।
दिया गया है: $a_3 = 600$ और $a_7 = 700$।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ है।
अतः,$a + 2d = 600$ (समीकरण $1$) और $a + 6d = 700$ (समीकरण $2$) है।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(a + 6d) - (a + 2d) = 700 - 600$,जिससे $4d = 100$ प्राप्त होता है,इसलिए $d = 25$ है।
$d = 25$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 2(25) = 600$,इसलिए $a + 50 = 600$,जिससे $a = 550$ प्राप्त होता है।
पहले $7$ वर्षों में कुल उत्पादन पहले $7$ पदों का योग $S_7$ है।
योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
$S_7 = \frac{7}{2}[2(550) + (7-1)(25)] = \frac{7}{2}[1100 + 150] = \frac{7}{2}[1250] = 7 \times 625 = 4375$।
अतः,पहले $7$ वर्षों में $TV$ सेट का कुल उत्पादन $4375$ है।

(C) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $2, 7, 12, \ldots$ है,जिसमें $10$ पद हैं।
इस $A.P.$ के लिए:
प्रथम पद $a = 2$.
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 7 - 2 = 5$.
पदों की संख्या $n = 10$.
हम $A.P.$ के योग का सूत्र जानते हैं:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
मान रखने पर:
$S_{10} = \frac{10}{2} [2(2) + (10 - 1)5]$
$S_{10} = 5 [4 + 9 \times 5]$
$S_{10} = 5 [4 + 45]$
$S_{10} = 5 \times 49 = 245$
अतः,प्रथम $10$ पदों का योग $245$ है।

(D) दी गई समांतर श्रेणी $-37, -33, -29, \ldots$ है,जिसमें $12$ पद हैं।
इस $AP$ के लिए:
प्रथम पद $a = -37$
सार्व अंतर $d = a_{2} - a_{1} = (-33) - (-37) = -33 + 37 = 4$
पदों की संख्या $n = 12$
समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग का सूत्र:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
मान रखने पर:
$S_{12} = \frac{12}{2} [2(-37) + (12 - 1)4]$
$S_{12} = 6 [-74 + 11 \times 4]$
$S_{12} = 6 [-74 + 44]$
$S_{12} = 6 (-30)$
$S_{12} = -180$
अतः,प्रथम $12$ पदों का योग $-180$ है।

(A) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के लिए: $0.6, 1.7, 2.8, \ldots,$ $100$ पदों तक।
यहाँ,प्रथम पद $a = 0.6$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 1.7 - 0.6 = 1.1$ है।
पदों की संख्या $n = 100$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग का सूत्र:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
मान रखने पर:
$S_{100} = \frac{100}{2} [2(0.6) + (100 - 1) \times 1.1]$
$S_{100} = 50 [1.2 + 99 \times 1.1]$
$S_{100} = 50 [1.2 + 108.9]$
$S_{100} = 50 [110.1]$
$S_{100} = 5505$
अतः,प्रथम $100$ पदों का योग $5505$ है।

(D) दी गई $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = \frac{1}{15}$ और पदों की संख्या $n = 11$ है।
सार्व अंतर $d$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$d = a_2 - a_1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60}$.
$A.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र है:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$.
$n = 11$,$a = \frac{1}{15}$,और $d = \frac{1}{60}$ का मान रखने पर:
$S_{11} = \frac{11}{2} [2(\frac{1}{15}) + (11 - 1)(\frac{1}{60})]$.
$S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{2}{15} + 10(\frac{1}{60})]$.
$S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{2}{15} + \frac{1}{6}]$.
$15$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $30$ लेने पर:
$S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{4 + 5}{30}] = \frac{11}{2} [\frac{9}{30}] = \frac{11}{2} [\frac{3}{10}] = \frac{33}{20}$.

दी गई श्रेणी $7 + 10 \frac{1}{2} + 14 + \ldots + 84$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ:
प्रथम पद $(a)$ = $7$
अंतिम पद $(l)$ = $84$
सार्व अंतर $(d)$ = $10 \frac{1}{2} - 7 = \frac{21}{2} - 7 = \frac{7}{2}$.
माना कि $84$ इस समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद है।
सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$84 = 7 + (n - 1) \frac{7}{2}$
$77 = (n - 1) \frac{7}{2}$
$11 = (n - 1) \frac{1}{2}$
$22 = n - 1$
$n = 23$.
अब,$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र का उपयोग करके योगफल ज्ञात कीजिए:
$S_{23} = \frac{23}{2}(7 + 84)$
$S_{23} = \frac{23 \times 91}{2}$
$S_{23} = \frac{2093}{2}$
$S_{23} = 1046 \frac{1}{2}$.

(D) दी गई श्रेणी $34 + 32 + 30 + \ldots + 10$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 34$,सार्व अंतर $d = 32 - 34 = -2$ और अंतिम पद $l = 10$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $n$-वें पद का सूत्र $l = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $10 = 34 + (n - 1)(-2)$.
$10 - 34 = (n - 1)(-2) \implies -24 = (n - 1)(-2)$.
$-2$ से भाग देने पर: $12 = n - 1 \implies n = 13$.
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{13} = \frac{13}{2}(34 + 10) = \frac{13}{2}(44) = 13 \times 22 = 286$.

(A) दी गई श्रेणी $-5 + (-8) + (-11) + \ldots + (-230)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = -5$ और अंतिम पद $l = -230$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = (-8) - (-5) = -8 + 5 = -3$ है।
माना $-230$ इस समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद है।
सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$-230 = -5 + (n - 1)(-3)$
$-230 + 5 = (n - 1)(-3)$
$-225 = (n - 1)(-3)$
$n - 1 = \frac{-225}{-3} = 75$
$n = 76$.
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$S_{76} = \frac{76}{2}(-5 + (-230))$
$S_{76} = 38(-235)$
$S_{76} = -8930$.

(B) दिया गया है कि,$a = 5, d = 3, a_{n} = 50$.
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर:
$a_{n} = a + (n - 1)d$
$50 = 5 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
अब,योग के सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$ का उपयोग करने पर:
$S_{16} = \frac{16}{2}[5 + 50]$
$S_{16} = 8 \times 55$
$S_{16} = 440$.
अतः,$n = 16$ और $S_{n} = 440$ है।

(C) दिया गया है कि,$a=7$ और $a_{13}=35$ है।
हम जानते हैं कि $AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n}=a+(n-1)d$ होता है।
$n=13$ के लिए मान रखने पर:
$a_{13}=a+(13-1)d$
$35=7+12d$
$35-7=12d$
$28=12d$
$d=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$।
अब,$AP$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[a+a_{n}]$ होता है।
$n=13$ के लिए:
$S_{13}=\frac{13}{2}[a+a_{13}]$
$S_{13}=\frac{13}{2}[7+35]$
$S_{13}=\frac{13}{2}[42]$
$S_{13}=13 \times 21$
$S_{13}=273$।

(D) दिया गया है कि,$a_{12}=37$ और $d=3$ है।
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए,$a_n = a + (n-1)d$.
$n=12$ के लिए,$a_{12} = a + (12-1)3$.
$37 = a + 11(3)$.
$37 = a + 33$.
$a = 37 - 33 = 4$.
अब,प्रथम $12$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[a + a_n]$ का उपयोग करते हैं।
$S_{12} = \frac{12}{2}[4 + 37]$.
$S_{12} = 6(41)$.
$S_{12} = 246$.

(N/A) दिया गया है कि,$a_{3} = 15$ और $S_{10} = 125$.
चूंकि $AP$ का $n$ वां पद $a_{n} = a + (n - 1)d$ होता है,
$a_{3} = a + 2d = 15$ $...(i)$
$n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10 - 1)d] = 125$
$5(2a + 9d) = 125$
$2a + 9d = 25$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2a + 4d = 30$ $...(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(2a + 9d) - (2a + 4d) = 25 - 30$
$5d = -5$
$d = -1$
समीकरण $(i)$ में $d = -1$ रखने पर:
$a + 2(-1) = 15$
$a - 2 = 15$
$a = 17$
अब,$a_{10} = a + (10 - 1)d$
$a_{10} = 17 + 9(-1)$
$a_{10} = 17 - 9 = 8$.
अतः,$d = -1$ और $a_{10} = 8$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है कि,$d = 5$ और $S_{9} = 75$.
$AP$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
$n=9$ के लिए मान रखने पर:
$75 = \frac{9}{2}[2a + (9-1)5]$
$75 = \frac{9}{2}[2a + 40]$
$75 = 9(a + 20)$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$25 = 3(a + 20)$
$25 = 3a + 60$
$3a = 25 - 60$
$3a = -35$
$a = -\frac{35}{3}$
अब,$9$ वाँ पद $(a_{9})$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $a_{n} = a + (n-1)d$ का उपयोग करेंगे:
$a_{9} = a + (9-1)d$
$a_{9} = -\frac{35}{3} + 8(5)$
$a_{9} = -\frac{35}{3} + 40$
$a_{9} = \frac{-35 + 120}{3}$
$a_{9} = \frac{85}{3}$

(A) दिया गया है कि,$a=2, d=8, S_{n}=90$ है।
$AP$ के $n$ पदों के योग का सूत्र उपयोग करने पर:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$90 = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)8]$
$90 = \frac{n}{2}[4 + 8n - 8]$
$90 = \frac{n}{2}[8n - 4]$
$90 = n(4n - 2)$
$4n^{2} - 2n - 90 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$2n^{2} - n - 45 = 0$
$2n^{2} - 10n + 9n - 45 = 0$
$2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0$
$(n - 5)(2n + 9) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$ है।
अब,$a_{n}$ ज्ञात कीजिए:
$a_{n} = a + (n-1)d$
$a_{5} = 2 + (5-1)8$
$a_{5} = 2 + 32 = 34$.
अतः,$n = 5$ और $a_{n} = 34$ है।

(A) दिया गया है कि,$a=8, a_{n}=62, S_{n}=210$.
$AP$ के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{n}{2} [a + a_{n}]$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $210 = \frac{n}{2} [8 + 62]$.
$210 = \frac{n}{2} (70)$.
$210 = 35n$.
$n = \frac{210}{35} = 6$.
अब,$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करें: $a_{n} = a + (n - 1)d$.
$62 = 8 + (6 - 1)d$.
$62 - 8 = 5d$.
$54 = 5d$.
$d = \frac{54}{5}$.

(A) दिया गया है,$a_{n}=4, d=2, S_{n}=-14$।
$AP$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$a_{n} = a + (n - 1)d$
$4 = a + (n - 1)2$
$4 = a + 2n - 2$
$a = 6 - 2n$ --- $(i)$
$AP$ के $n$ पदों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$
$-14 = \frac{n}{2}[a + 4]$
$-28 = n(a + 4)$
समीकरण $(i)$ से $a = 6 - 2n$ का मान रखने पर:
$-28 = n(6 - 2n + 4)$
$-28 = n(10 - 2n)$
$-28 = 10n - 2n^{2}$
$2n^{2} - 10n - 28 = 0$
$n^{2} - 5n - 14 = 0$
$(n - 7)(n + 2) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 7$।
$n = 7$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a = 6 - 2(7)$
$a = 6 - 14$
$a = -8$
अतः,$n = 7$ और $a = -8$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि,$a=3, n=8, S_n=192$.
$AP$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$192 = \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)d]$
$192 = 4[6 + 7d]$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर:
$48 = 6 + 7d$
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर:
$42 = 7d$
$7$ से विभाजित करने पर:
$d = 6$.

(C) दिया गया है कि,अंतिम पद $l = 28$,पदों का योग $S_n = 144$ और कुल पदों की संख्या $n = 9$ है।
जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हों,तो $AP$ के योग का सूत्र है:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$144 = \frac{9}{2}(a + 28)$
दोनों पक्षों को $\frac{2}{9}$ से गुणा करने पर:
$144 \times \frac{2}{9} = a + 28$
$16 \times 2 = a + 28$
$32 = a + 28$
$a = 32 - 28$
$a = 4$

(B) माना कि इस $AP$ के $n$ पद हैं।
इस $AP$ के लिए,प्रथम पद $a = 9$ और सार्व अंतर $d = 17 - 9 = 8$ है।
$n$ पदों का योगफल सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $636 = \frac{n}{2}[2(9) + (n - 1)8]$.
$636 = \frac{n}{2}[18 + 8n - 8]$.
$636 = \frac{n}{2}[10 + 8n]$.
$636 = n(5 + 4n)$.
$4n^2 + 5n - 636 = 0$.
गुणनखंड विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करने पर: $4n^2 + 53n - 48n - 636 = 0$.
$n(4n + 53) - 12(4n + 53) = 0$.
$(4n + 53)(n - 12) = 0$.
इससे $n = -\frac{53}{4}$ या $n = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदों की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए हम ऋणात्मक भिन्न मान को छोड़ देते हैं।
अतः,$n = 12$ है।

(A) दिया गया है कि,
प्रथम पद $a = 5$
अंतिम पद $l = 45$
पदों का योग $S_{n} = 400$
$AP$ के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए: $S_{n} = \frac{n}{2}(a + l)$
मान रखने पर: $400 = \frac{n}{2}(5 + 45)$
$400 = \frac{n}{2}(50)$
$400 = 25n$
$n = \frac{400}{25} = 16$
अब,$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $l = a + (n - 1)d$
मान रखने पर: $45 = 5 + (16 - 1)d$
$45 - 5 = 15d$
$40 = 15d$
$d = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$
अतः,पदों की संख्या $16$ है और सार्व अंतर $\frac{8}{3}$ है।

(B) दिया गया है कि,
प्रथम पद $a = 17$
अंतिम पद $l = 350$
सार्व अंतर $d = 9$
माना कि $AP$ में कुल $n$ पद हैं।
$n$ वें पद का सूत्र $l = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $350 = 17 + (n - 1)9$
$333 = (n - 1)9$
$n - 1 = 37$
$n = 38$
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{38} = \frac{38}{2}(17 + 350)$
$S_{38} = 19 \times 367 = 6973$.
अतः,इस श्रेणी में $38$ पद हैं और उनका योग $6973$ है।

(C) दिया गया है: सार्व अंतर $d = 7$,पदों की संख्या $n = 22$,और $22$ वां पद $a_{22} = 149$ है।
हम जानते हैं कि $AP$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
मान रखने पर: $149 = a + (22 - 1) \times 7$.
$149 = a + 21 \times 7$.
$149 = a + 147$.
$a = 149 - 147 = 2$.
अब,प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ होता है।
मान रखने पर: $S_{22} = \frac{22}{2}(2 + 149)$.
$S_{22} = 11 \times 151$.
$S_{22} = 1661$.

(D) दिया गया है कि,दूसरा पद $a_{2} = 14$ और तीसरा पद $a_{3} = 18$ है।
सार्व अंतर $d = a_{3} - a_{2} = 18 - 14 = 4$ है।
चूंकि $a_{2} = a + d$,इसलिए $14 = a + 4$,जिससे प्रथम पद $a = 10$ प्राप्त होता है।
$AP$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 51$ के लिए,$S_{51} = \frac{51}{2}[2(10) + (51 - 1)4]$.
$S_{51} = \frac{51}{2}[20 + (50)(4)]$.
$S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 200] = \frac{51}{2}(220)$.
$S_{51} = 51 \times 110 = 5610$.

दिया गया है कि,
$S_{7} = 49$
$S_{17} = 289$
$AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र: $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$n = 7$ के लिए:
$S_{7} = \frac{7}{2}[2a + (7 - 1)d] = 49$
$\frac{7}{2}(2a + 6d) = 49$
$7(a + 3d) = 49$
$a + 3d = 7$ $...(i)$
$n = 17$ के लिए:
$S_{17} = \frac{17}{2}[2a + (17 - 1)d] = 289$
$\frac{17}{2}(2a + 16d) = 289$
$17(a + 8d) = 289$
$a + 8d = 17$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7$
$5d = 10$
$d = 2$
$d = 2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 3(2) = 7$
$a + 6 = 7$
$a = 1$
अब,प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करते हैं:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)(2)]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]$
$S_{n} = \frac{n}{2}(2n)$
$S_{n} = n^{2}$

(B) दिया गया है कि अनुक्रम का $n$-वाँ पद $a_{n}=3+4 n$ है।
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:
$a_{1}=3+4(1)=7$
$a_{2}=3+4(2)=11$
$a_{3}=3+4(3)=15$
$a_{4}=3+4(4)=19$
क्रमागत पदों के बीच का अंतर जाँचने पर:
$a_{2}-a_{1}=11-7=4$
$a_{3}-a_{2}=15-11=4$
$a_{4}-a_{3}=19-15=4$
चूँकि अंतर $a_{k+1}-a_{k}=4$ प्रत्येक बार समान है,इसलिए यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जिसका प्रथम पद $a=7$ और सार्व अंतर $d=4$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n=15$ के लिए:
$S_{15}=\frac{15}{2}[2(7)+(15-1) 4]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[14+56]$
$S_{15}=\frac{15}{2}(70)$
$S_{15}=15 \times 35 = 525$.

(C) दिया गया है $a_{n}=9-5n$।
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:
$a_{1}=9-5(1)=4$
$a_{2}=9-5(2)=-1$
$a_{3}=9-5(3)=-6$
सार्व अंतर की जाँच करने पर:
$a_{2}-a_{1}=-1-4=-5$
$a_{3}-a_{2}=-6-(-1)=-5$
चूँकि अंतर $a_{k+1}-a_{k}$ अचर $(-5)$ है,इसलिए यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है,जिसका प्रथम पद $a=4$ और सार्व अंतर $d=-5$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n=15$ के लिए:
$S_{15}=\frac{15}{2}[2(4)+(15-1)(-5)]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[8+14(-5)]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[8-70]$
$S_{15}=\frac{15}{2}(-62)$
$S_{15}=15(-31)=-465$.

(N/A) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 4n - n^2$ है।
$1$. प्रथम पद $(a_1)$,$S_1$ के बराबर है:
$a_1 = S_1 = 4(1) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$.
$2$. प्रथम दो पदों का योग $S_2$ है:
$S_2 = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4$.
$3$. दूसरा पद $(a_2)$,$S_2 - S_1$ है:
$a_2 = 4 - 3 = 1$.
$4$. सार्व अंतर $(d)$,$a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2$ है।
$5$. $n^{th}$ पद $(a_n)$,$a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है:
$a_n = 3 + (n - 1)(-2) = 3 - 2n + 2 = 5 - 2n$.
$6$. विशिष्ट पद ज्ञात करना:
$a_3 = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$.
$a_{10} = 5 - 2(10) = 5 - 20 = -15$.
अतः,प्रथम पद $3$ है,प्रथम दो पदों का योग $4$ है,दूसरा पद $1$ है,$3^{rd}$ पद $-1$ है,$10^{th}$ पद $-15$ है और $n^{th}$ पद $5 - 2n$ है।