Textbook -Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(A) $6$ से विभाज्य धनात्मक पूर्णांक $6, 12, 18, 24, \ldots$ हैं।
यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है,जहाँ प्रथम पद $a = 6$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
हमें प्रथम $n = 40$ पदों का योग ज्ञात करना है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
$n = 40$,$a = 6$,और $d = 6$ का मान रखने पर:
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(6) + (40 - 1)6]$
$S_{40} = 20[12 + (39)(6)]$
$S_{40} = 20[12 + 234]$
$S_{40} = 20 \times 246$
$S_{40} = 4920$.

(B) $8$ के गुणज $8, 16, 24, 32, \ldots$ हैं।
ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 8$ और सार्व अंतर $d = 8$ है।
हमें प्रथम $n = 15$ पदों का योग ज्ञात करना है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $S_{15} = \frac{15}{2}[2(8) + (15 - 1)8]$.
$S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 14(8)]$.
$S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 112]$.
$S_{15} = \frac{15}{2}(128)$.
$S_{15} = 15 \times 64 = 960$.

(C) $0$ और $50$ के बीच की विषम संख्याएँ $1, 3, 5, 7, 9, \ldots, 49$ हैं।
ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 1$,सार्व अंतर $d = 2$ और अंतिम पद $l = 49$ है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $l = a + (n - 1)d$.
$49 = 1 + (n - 1)2$
$48 = 2(n - 1)$
$n - 1 = 24$
$n = 25$.
अब,योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ का उपयोग करते हुए:
$S_{25} = \frac{25}{2}(1 + 49)$
$S_{25} = \frac{25}{2}(50)$
$S_{25} = 25 \times 25 = 625$.

(D) यह देखा जा सकता है कि ये दंड एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,जिसका प्रथम पद $a = 200$ और सार्व अंतर $d = 50$ है।
दिनों की संख्या $n = 30$ है।
भुगतान किया जाने वाला कुल दंड $A.P.$ के पहले $30$ पदों का योग है,जो सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$S_{30} = \frac{30}{2}[2(200) + (30 - 1)50]$
$S_{30} = 15[400 + 29 \times 50]$
$S_{30} = 15[400 + 1450]$
$S_{30} = 15[1850]$
$S_{30} = 27750$
अतः,ठेकेदार को दंड के रूप में ₹ $27750$ का भुगतान करना होगा।

(N/A) माना कि पहले पुरस्कार का मान $a$ है।
चूंकि प्रत्येक पुरस्कार अपने से पहले वाले पुरस्कार से ₹ $20$ कम है,इसलिए ये मान एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,जिसका सार्व अंतर $d = -20$ है।
पुरस्कारों की संख्या $n = 7$ है और कुल योग $S_7 = 700$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर: $700 = \frac{7}{2} [2a + (7 - 1)(-20)]$.
$700 = \frac{7}{2} [2a + 6(-20)]$.
$100 = \frac{1}{2} [2a - 120]$.
$100 = a - 60$.
$a = 160$.
सात पुरस्कारों के मान इस प्रकार हैं:
पहला पुरस्कार: ₹ $160$
दूसरा पुरस्कार: ₹ $140$
तीसरा पुरस्कार: ₹ $120$
चौथा पुरस्कार: ₹ $100$
पांचवां पुरस्कार: ₹ $80$
छठा पुरस्कार: ₹ $60$
सातवां पुरस्कार: ₹ $40$.

(B) यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक कक्षा के एक अनुभाग द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है।
यह अनुक्रम $1, 2, 3, 4, \dots, 12$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2 - 1 = 1$ है।
पदों की संख्या $n = 12$ है।
सभी कक्षाओं के एक अनुभाग द्वारा लगाए गए पेड़ों का योग सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{12} = \frac{12}{2}[2(1) + (12 - 1)(1)]$
$S_{12} = 6[2 + 11]$
$S_{12} = 6 \times 13 = 78$.
चूंकि प्रत्येक कक्षा के $3$ अनुभाग हैं,इसलिए सभी छात्रों द्वारा लगाए गए पेड़ों की कुल संख्या $3 \times 78 = 234$ होगी।
अतः,छात्रों द्वारा कुल $234$ पेड़ लगाए जाएंगे।

(C) अर्धवृत्त की लंबाई $l = \pi r$ द्वारा दी जाती है।
दी गई त्रिज्याओं $r_1 = 0.5 \, cm, r_2 = 1.0 \, cm, r_3 = 1.5 \, cm, \ldots$ के लिए,क्रमिक अर्धवृत्तों की लंबाई इस प्रकार है:
$l_1 = \pi(0.5) = 0.5\pi \, cm$
$l_2 = \pi(1.0) = 1.0\pi \, cm$
$l_3 = \pi(1.5) = 1.5\pi \, cm$
ये लंबाइयाँ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 0.5\pi$ और सार्व अंतर $d = 1.0\pi - 0.5\pi = 0.5\pi$ है।
हमें $n = 13$ पदों का योग ज्ञात करना है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$S_{13} = \frac{13}{2} [2(0.5\pi) + (13 - 1)(0.5\pi)]$
$S_{13} = \frac{13}{2} [1.0\pi + 12(0.5\pi)]$
$S_{13} = \frac{13}{2} [1.0\pi + 6.0\pi] = \frac{13}{2} [7\pi]$
$S_{13} = \frac{91\pi}{2}$
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$S_{13} = \frac{91}{2} \times \frac{22}{7} = 13 \times 11 = 143 \, cm$.
अतः,सर्पिल की कुल लंबाई $143 \, cm$ है।

(N/A) यह देखा जा सकता है कि पंक्तियों में लट्ठों की संख्या एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती है।
$20, 19, 18, \dots$
इस $A.P.$ के लिए:
$a = 20$
$d = a_2 - a_1 = 19 - 20 = -1$
माना कि कुल $200$ लट्ठे $n$ पंक्तियों में रखे गए हैं।
$S_n = 200$
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$200 = \frac{n}{2}[2(20) + (n - 1)(-1)]$
$400 = n(40 - n + 1)$
$400 = n(41 - n)$
$400 = 41n - n^2$
$n^2 - 41n + 400 = 0$
$n^2 - 16n - 25n + 400 = 0$
$n(n - 16) - 25(n - 16) = 0$
$(n - 16)(n - 25) = 0$
अतः,$n = 16$ या $n = 25$ है।
अब,$n^{th}$ पंक्ति में लट्ठों की संख्या ज्ञात करने के लिए $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$n = 16$ के लिए:
$a_{16} = 20 + (16 - 1)(-1) = 20 - 15 = 5$
$n = 25$ के लिए:
$a_{25} = 20 + (25 - 1)(-1) = 20 - 24 = -4$
चूंकि लट्ठों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $n = 25$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$200$ लट्ठे $16$ पंक्तियों में रखे गए हैं और सबसे ऊपरी पंक्ति में $5$ लट्ठे हैं।

(A) बाल्टी से आलू की दूरियाँ $5\, m, 8\, m, 11\, m, 14\, m, \dots$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
प्रत्येक आलू के लिए,प्रतियोगी आलू तक दौड़ती है और वापस बाल्टी तक आती है,इसलिए प्रत्येक आलू के लिए तय की गई दूरी बाल्टी से उसकी दूरी की दोगुनी होती है।
प्रत्येक $10$ आलू के लिए दौड़ने वाली दूरियाँ $2 \times 5, 2 \times 8, 2 \times 11, 2 \times 14, \dots$ हैं।
यह एक नई समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a' = 10$ और सार्व अंतर $d' = 6$ है।
कुल दूरी इस समांतर श्रेणी के प्रथम $10$ पदों का योग है।
योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a' + (n-1)d']$ का उपयोग करते हुए:
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(10) + (10-1)6]$
$S_{10} = 5[20 + 9 \times 6]$
$S_{10} = 5[20 + 54]$
$S_{10} = 5[74] = 370$.
अतः,प्रतियोगी को कुल $370\, m$ की दूरी दौड़नी होगी।

(B) दिया गया $A.P.$ है: $121, 117, 113, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 121$ और सार्व अंतर $d = 117 - 121 = -4$ है।
$A.P.$ का $n$-वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$a_n = 121 + (n - 1)(-4) = 121 - 4n + 4 = 125 - 4n$ प्राप्त होता है।
हमें पहला ऋणात्मक पद ज्ञात करना है,इसलिए $a_n < 0$ रखने पर:
$125 - 4n < 0$
$125 < 4n$
$n > \frac{125}{4}$
$n > 31.25$
चूँकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,इसलिए $31.25$ से बड़ी सबसे छोटी पूर्णांक संख्या $32$ है।
अतः,इस $A.P.$ का $32$-वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

(C) हम जानते हैं कि $AP$ का $n$-वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ होता है।
अतः,$a_3 = a + 2d$ और $a_7 = a + 6d$.
दिया है कि $a_3 + a_7 = 6$,इसलिए $(a + 2d) + (a + 6d) = 6$,जो सरल होकर $2a + 8d = 6$ या $a + 4d = 3$ हो जाता है। अतः,$a = 3 - 4d$ $...(i)$.
साथ ही,दिया है कि $a_3 \times a_7 = 8$,इसलिए $(a + 2d)(a + 6d) = 8$.
समीकरण $(i)$ से $a = 3 - 4d$ का मान इस समीकरण में रखने पर:
$(3 - 4d + 2d)(3 - 4d + 6d) = 8$
$(3 - 2d)(3 + 2d) = 8$
$9 - 4d^2 = 8 \implies 4d^2 = 1 \implies d^2 = 1/4 \implies d = \pm 1/2$.
स्थिति $1$: यदि $d = 1/2$ है,तो $a = 3 - 4(1/2) = 3 - 2 = 1$.
प्रथम $16$ पदों का योग $S_{16} = \frac{16}{2}[2(1) + (16-1)(1/2)] = 8[2 + 7.5] = 8[9.5] = 76$.
स्थिति $2$: यदि $d = -1/2$ है,तो $a = 3 - 4(-1/2) = 3 + 2 = 5$.
प्रथम $16$ पदों का योग $S_{16} = \frac{16}{2}[2(5) + (16-1)(-1/2)] = 8[10 - 7.5] = 8[2.5] = 20$.
चूंकि $20$ विकल्पों में दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $20$ है।

(D) डंडे एक-दूसरे से $25 \, cm$ की दूरी पर स्थित हैं। सबसे ऊपरी और सबसे निचले डंडे के बीच की कुल दूरी $2 \frac{1}{2} \, m = 250 \, cm$ है।
डंडों के बीच के अंतरालों की संख्या $\frac{250}{25} = 10$ है।
चूंकि दोनों सिरों पर डंडे हैं,इसलिए डंडों की कुल संख्या $n = 10 + 1 = 11$ होगी।
चूंकि डंडों की लंबाई समान रूप से घटती है,इसलिए वे एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं।
प्रथम पद $a = 45 \, cm$ और अंतिम पद $l = 25 \, cm$ है।
आवश्यक लकड़ी की कुल लंबाई $A.P.$ श्रेणी का योग है,जो सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $S_{11} = \frac{11}{2}(45 + 25) = \frac{11}{2}(70) = 11 \times 35 = 385 \, cm$.
अतः,डंडों के लिए आवश्यक लकड़ी की कुल लंबाई $385 \, cm$ है।

(A) घरों के क्रमांक $1, 2, 3, \ldots, 49$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 1$ है।
माना घर का क्रमांक $x$ है। $x$ से पहले वाले घरों के क्रमांकों का योग प्रथम $(x-1)$ पदों का योग है: $S_{x-1} = \frac{(x-1)}{2}[2a + (x-1-1)d] = \frac{x-1}{2}[2(1) + (x-2)(1)] = \frac{x(x-1)}{2}$.
$x$ के बाद वाले घरों के क्रमांकों का योग $49$ घरों के कुल योग में से प्रथम $x$ घरों के योग को घटाने पर प्राप्त होता है: $S_{49} - S_x = \frac{49}{2}[2(1) + (49-1)(1)] - \frac{x}{2}[2(1) + (x-1)(1)] = \frac{49 \times 50}{2} - \frac{x(x+1)}{2} = 1225 - \frac{x(x+1)}{2}$.
दोनों योगों को बराबर रखने पर: $\frac{x(x-1)}{2} = 1225 - \frac{x(x+1)}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर: $x^2 - x = 2450 - (x^2 + x)$.
$x^2 - x = 2450 - x^2 - x$.
$2x^2 = 2450$.
$x^2 = 1225$.
$x = \sqrt{1225} = 35$ (चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए)।
अतः,$x$ का मान $35$ है।

(B) आकृति से यह देखा जा सकता है कि:
$1$ ला चरण $\frac{1}{2} \, m$ चौड़ा है,
$2$ रा चरण $1 \, m$ चौड़ा है,
$3$ रा चरण $\frac{3}{2} \, m$ चौड़ा है।
इसलिए,प्रत्येक चरण की चौड़ाई हर बार $\frac{1}{2} \, m$ बढ़ रही है,जबकि उनकी ऊंचाई $\frac{1}{4} \, m$ और लंबाई $50 \, m$ समान रहती है।
इस प्रकार,इन चरणों की चौड़ाई एक समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) बनाती है: $\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots$
$1$ ले चरण में कंक्रीट का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \, m^3$.
$2$ रे चरण में कंक्रीट का आयतन $= 50 \times 1 \times \frac{1}{4} = \frac{25}{2} \, m^3$.
$3$ रे चरण में कंक्रीट का आयतन $= 50 \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{75}{4} \, m^3$.
इन चरणों में कंक्रीट का आयतन एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{25}{4}$ और सार्व अंतर $d = \frac{25}{2} - \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$ है।
$n = 15$ चरणों के लिए कुल आयतन योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ 2 \left( \frac{25}{4} \right) + (15 - 1) \left( \frac{25}{4} \right) \right]$
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ \frac{25}{2} + 14 \times \frac{25}{4} \right] = \frac{15}{2} \left[ \frac{25}{2} + \frac{175}{2} \right]$
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ \frac{200}{2} \right] = \frac{15}{2} \times 100 = 750$.
अतः,सीढ़ी बनाने के लिए आवश्यक कंक्रीट का कुल आयतन $750 \, m^3$ है।