मान लीजिए $f: X \rightarrow Y$ एक फलन है और $y \in Y$ के लिए $A_y = f^{-1}(\{y\})$ है। तो $A_i \cap A_j = \phi$ $(i \neq j)$ सभी $i, j \in Y$ के लिए और $\bigcup_{y \in Y} A_y = X$,यदि

मान लीजिए $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। एक फलन $f: N \rightarrow N$ को $f(x) = 2x + 1$ द्वारा परिभाषित कीजिए। इस परिभाषा का उपयोग करके,नीचे दी गई तालिका को पूरा कीजिए।

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$y$	$f(1) = \dots$	$f(2) = \dots$	$f(3) = \dots$	$f(4) = \dots$	$f(5) = \dots$	$f(6) = \dots$	$f(7) = \dots$

यदि $Q$ सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है और किसी भी $\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)=\sqrt{p^2-q^2}$ है,तो निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें।
$I$. प्रत्येक $\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)$ वास्तविक है।
$II$. प्रत्येक $\frac{p}{q} \in Q$ के लिए $f\left(\frac{p}{q}\right)$ एक सम्मिश्र संख्या है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

कथन $1$ : यदि $A$ और $B$ दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः $p$ और $q$ अवयव हैं,जहाँ $q > p$ है। तो समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक फलनों की कुल संख्या $q^p$ है।
कथन $2$ : $q$ वस्तुओं में से $p$ भिन्न वस्तुओं के चयन की कुल संख्या ${}^qC_p$ है।

यदि $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b$ को $(x - 1)$ और $(x + 1)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्रमशः $5$ और $19$ प्राप्त होते हैं। यदि $f(x)$ को $(x - 2)$ से विभाजित किया जाए,तो शेषफल क्या होगा?

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4\}$,$B = \{1, 5, 9, 11, 15, 16\}$ और $f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}$ है। क्या $f$,$A$ से $B$ में एक फलन है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।