x^3-b x^2+c x-d=0 के मूल गुणोत्तर श्रेणी में | vedclass

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Question

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-b x^2+c x-d=0$ है। माना कि इस समीकरण के मूल गुणोत्तर श्रेणी में $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं। मूलों और गुणांकों के बीच सं

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$c^3=b^3 d$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-b x^2+c x-d=0$ है। माना कि इस समीकरण के मूल गुणोत्तर श्रेणी में $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं। मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से: $1$. मूलों का योग: $\frac{a}{r} + a + ar = b \Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = b$ ... $(i)$ $2$. दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\frac{a}{r} \cdot a + a \cdot ar + ar \cdot \frac{a}{r} = c \Rightarrow a^2(\frac{1}{r} + 1 + r) = c$ ... (ii) $3$. मूलों का गुणनफल: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = d \Rightarrow a^3 = d$ ... (iii) समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{a^2(\frac{1}{r} + 1 + r)}{a(\frac{1}{r} + 1 + r)} = \frac{c}{b} \Rightarrow a = \frac{c}{b}$. $a = \frac{c}{b}$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर: $(\frac{c}{b})^3 = d$ $\Rightarrow \frac{c^3}{b^3} = d$ $\Rightarrow c^3 = b^3 d$.

$x^3-b x^2+c x-d=0$ के मूल गुणोत्तर श्रेणी में होने की शर्त क्या है?

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