TS EAMCET 2002 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x-9^x}{x(4^x+9^x)}$.
चूँकि $x \rightarrow 0$ पर यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(4^x-9^x)}{\frac{d}{dx}(x(4^x+9^x))}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x \ln 4 - 9^x \ln 9}{(4^x+9^x) + x(4^x \ln 4 + 9^x \ln 9)}$
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{\ln 4 - \ln 9}{1 + 1} = \frac{\ln(4/9)}{2}$
$L = \frac{1}{2} \ln \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right) = \ln \frac{2}{3}$.

(A) त्रिभुज $ABC$ में,बाह्य त्रिज्याएँ $r_1, r_2, r_3$ और अंतः त्रिज्या $r$ हैं।
$\angle A = 90^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $r_2+r_3 = r_1-r$ संबंध सत्य है।

(A) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करेंगे:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\det(A) = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$
$\det(A) = 1(1 \times 1 - 0 \times 2) - 0 + 1(2 \times 2 - 1 \times 3)$
$\det(A) = 1(1 - 0) + 1(4 - 3)$
$\det(A) = 1(1) + 1(1)$
$\det(A) = 1 + 1 = 2$

(A) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x - cy - bz = 0$
$-cx + y - az = 0$
$-bx - ay + z = 0$
चूंकि $x^2 + y^2 + z^2 \neq 0$,इसलिए निकाय का एक अशून्य हल है। अतः,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ -c & 1 & -a \\ -b & -a & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - a^2) - (-c)(-c - ab) + (-b)(ca + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1$

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x) + (\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$
$2 \sin ^{-1} x = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$
$x = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{|x|}{x}$ है,जहाँ $A = \{x \in R, x \neq 0, -4 \leq x \leq 4\}$ है।
यदि $x > 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{x}{x} = 1$ होगा।
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$ होगा।
चूँकि $x$ का मान $0$ नहीं हो सकता,इसलिए फलन केवल $1$ और $-1$ मान ही ग्रहण करता है।
अतः,$f$ का परिसर $\{1, -1\}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \sin^2 x + \sin^4 x = 1 - \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{4} = 1 - \frac{(2 \sin x \cos x)^2}{4} = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{4}$.
चूंकि $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,इसलिए $0 \leq \frac{\sin^2(2x)}{4} \leq \frac{1}{4}$.
$1$ में से घटाने पर:
$1 - \frac{1}{4} \leq 1 - \frac{\sin^2(2x)}{4} \leq 1 - 0$.
अतः,$\frac{3}{4} \leq f(x) \leq 1$.
इसलिए परिसर $\left[\frac{3}{4}, 1\right]$ है।

(C) फलन $f(x) = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है,जिसे $\{x\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम किसी भी पूर्णांक $n \in Z$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।
$x = n$ पर बायाँ सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (n - h - [n - h]) = \lim_{h \rightarrow 0} (n - h - (n - 1)) = \lim_{h \rightarrow 0} (1 - h) = 1$.
$x = n$ पर दायाँ सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \rightarrow n^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (n + h - [n + h]) = \lim_{h \rightarrow 0} (n + h - n) = \lim_{h \rightarrow 0} h = 0$.
$x = n$ पर फलन का मान:
$f(n) = n - [n] = n - n = 0$.
चूँकि बायाँ सीमा $(1)$ दायाँ सीमा $(0)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन $f(x)$ प्रत्येक पूर्णांक $n \in Z$ पर असंतत है।
अतः,असंतत बिंदुओं का समुच्चय $Z$ है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = \sqrt{ax} + a^2(ax)^{-1/2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{a} \cdot x^{1/2}) + \frac{d}{dx}(a^2 \cdot \sqrt{a}^{-1} \cdot x^{-1/2})$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} + a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-3/2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}} - \frac{a^2}{2\sqrt{a} \cdot x\sqrt{x}}$
अब $x = a$ रखने पर:
$f^{\prime}(a) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} - \frac{a^2}{2\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}}$
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

(B) दिया गया है $z = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$।
सबसे पहले,$\frac{\partial z}{\partial x}$ की गणना करें:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x} \left[ \cos \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{y} - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) \right] - \frac{y}{x^2} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x$ से गुणा करने पर:
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \frac{x}{y} + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \frac{x}{y} + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - z$ ... $(i)$
अब,$\frac{\partial z}{\partial y}$ की गणना करें:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] + \frac{y}{x} \left[ \cos \frac{x}{y} \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} \right]$
$y$ से गुणा करने पर:
$y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] - \cos \frac{x}{y} - \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right)$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = z - \cos \frac{x}{y} - \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right)$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$
अतः,$x \frac{\partial z}{\partial x} = -y \frac{\partial z}{\partial y}$।

(B) दिया गया है कि $f(x)=e^x$ और $g(x)=\sin ^{-1} x$ है।
तब $h(x)=f(g(x))=e^{\sin ^{-1} x}$ होगा।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(h(x)) = \sin ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(\ln(h(x))) = \frac{d}{dx}(\sin ^{-1} x)$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{h(x)} \cdot h^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।

(C) दिया गया फलन $y = a e^x + b e^{-x} + c$ है।
प्रथम अवकलज: $y^{\prime} = \frac{d}{dx}(a e^x + b e^{-x} + c) = a e^x - b e^{-x}$.
द्वितीय अवकलज: $y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}(a e^x - b e^{-x}) = a e^x + b e^{-x}$.
तृतीय अवकलज: $y^{\prime \prime \prime} = \frac{d}{dx}(a e^x + b e^{-x}) = a e^x - b e^{-x}$.
इसे प्रथम अवकलज के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $y^{\prime \prime \prime} = y^{\prime}$।

(B) दिया गया है,$y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = -a \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-a \sin(\log x) + b \cos(\log x)}{x}$.
इससे हमें $x y^{\prime} = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x)$ प्राप्त होता है।
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$x y^{\prime \prime} + y^{\prime} = -a \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -a \cos(\log x) - b \sin(\log x)$.
ऋणात्मक चिह्न को उभयनिष्ठ लेने पर:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -[a \cos(\log x) + b \sin(\log x)]$.
चूंकि $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$,इसलिए:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -y$.

(A) दिया गया है $z = \sec(y - ax) + \tan(y + ax)$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \sec(y - ax) \tan(y - ax) \cdot (-a) + \sec^2(y + ax) \cdot (a) = -a \sec(y - ax) \tan(y - ax) + a \sec^2(y + ax)$।
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -a [\sec(y - ax) \sec^2(y - ax) \cdot (-a) + \tan(y - ax) \cdot \sec(y - ax) \tan(y - ax) \cdot (-a)] + a [2 \sec(y + ax) \cdot \sec(y + ax) \tan(y + ax) \cdot (a)]$
$= a^2 [\sec^3(y - ax) + \sec(y - ax) \tan^2(y - ax)] + 2a^2 \sec^2(y + ax) \tan(y + ax)$।
अब,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \sec(y - ax) \tan(y - ax) + \sec^2(y + ax)$।
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \sec(y - ax) \sec^2(y - ax) + \tan(y - ax) \cdot \sec(y - ax) \tan(y - ax) + 2 \sec(y + ax) \cdot \sec(y + ax) \tan(y + ax)$
$= \sec^3(y - ax) + \sec(y - ax) \tan^2(y - ax) + 2 \sec^2(y + ax) \tan(y + ax)$।
$a^2$ से गुणा करने पर:
$a^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = a^2 [\sec^3(y - ax) + \sec(y - ax) \tan^2(y - ax) + 2 \sec^2(y + ax) \tan(y + ax)]$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - a^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$।

(C) माना $y = f(x) = x^{3000}$ है।
हमें $(1 + 0.0002)^{3000}$ का अनुमानित मान ज्ञात करना है।
यहाँ,$x = 1$ और $\Delta x = 0.0002$ है।
अवकलज के लिए सूत्र $\Delta y \approx dy = f'(x) \Delta x$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3000 x^{2999}$।
अब,मान रखने पर: $dy = 3000(1)^{2999} \times 0.0002$।
$dy = 3000 \times 0.0002 = 0.6$।
अतः,अनुमानित मान $f(x + \Delta x) \approx y + dy = 1^{3000} + 0.6 = 1 + 0.6 = 1.6$ है।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और दूसरे बिंदु से खंभे के आधार की दूरी $x$ है।
$\triangle BDA$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow h = x$.
$\triangle BCA$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{20+x}$.
$x = h$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20+h}$.
$20 + h = h\sqrt{3} \Rightarrow h(\sqrt{3}-1) = 20$.
$h = \frac{20}{\sqrt{3}-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \ m$.

(B) दिया गया है: हवा में फोकस दूरी $f_a = 0.15 \ m$,कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$।
जब इसे द्रव में रखा जाता है,तो फोकस दूरी $0.225 \ m$ बढ़ जाती है,इसलिए नई फोकस दूरी $f_l = 0.15 + 0.225 = 0.375 \ m$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{f_l}{f_a} = \frac{(\mu_g - 1)}{(\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)}$
मान रखने पर:
$\frac{0.375}{0.15} = \frac{(1.5 - 1)}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$
$2.5 = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$
$\frac{1.5}{\mu_l} - 1 = \frac{0.5}{2.5} = 0.2$
$\frac{1.5}{\mu_l} = 1.2$
$\mu_l = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.

(B) द्वि-अपवर्तन (birefringence) में,कैल्साइट जैसे क्रिस्टल अध्रुवित प्रकाश किरण को दो किरणों में विभाजित करते हैं: सामान्य किरण ($O$-ray) और असाधारण किरण ($E$-ray)।
कथन $A$: $E$-किरण का अपवर्तनांक क्रिस्टल के भीतर प्रसार की दिशा पर निर्भर करता है,जो ऑप्टिक अक्ष के सापेक्ष आपतन कोण से संबंधित है। अतः,कथन $A$ सही है।
कथन $B$: सामान्य किरण और असाधारण किरण दोनों समतल-ध्रुवित होते हैं,जिसका अर्थ है कि प्रकाश तरंगों के कंपन एक विशिष्ट तल तक सीमित हो जाते हैं (एकतरफा)। अतः,कथन $B$ सही है।
इसलिए,दोनों कथन सही हैं।

(C) जब जिप्सम $(CaSO_4 \cdot 2H_2O)$ को अमोनियम सल्फेट $((NH_4)_2SO_4)$ के जलीय घोल में घोला जाता है,तो यह एक द्विक लवण (double salt) बनाता है।
रासायनिक अभिक्रिया इस प्रकार है:
$CaSO_4 \cdot 2H_2O + (NH_4)_2SO_4 \rightarrow CaSO_4 \cdot (NH_4)_2SO_4 \cdot 2H_2O$
अतः,बनने वाला यौगिक $CaSO_4 \cdot (NH_4)_2SO_4 \cdot 2H_2O$ है।

(D) दिया गया है:
करंट गेन $\beta = 50$
लोड प्रतिरोध $R_L = 4 \ k\Omega = 4000 \ \Omega$
इनपुट प्रतिरोध $R_i = 500 \ \Omega$
कॉमन एमिटर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $A_v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_v = \beta \times \left( \frac{R_L}{R_i} \right)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$A_v = 50 \times \left( \frac{4000}{500} \right)$
$A_v = 50 \times 8$
$A_v = 400$
अतः,एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $400$ है।

(A) कॉमन-एमिटर ट्रांजिस्टर का करंट गेन $\beta$,स्थिर कलेक्टर-एमिटर वोल्टेज पर कलेक्टर करंट में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
बेस करंट में परिवर्तन $\Delta I_b = 50 \mu A = 50 \times 10^{-6} \ A$
कलेक्टर करंट में परिवर्तन $\Delta I_c = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$
करंट गेन का सूत्र $\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b}$ है।
मान रखने पर:
$\beta = \frac{1 \times 10^{-3}}{50 \times 10^{-6}} = \frac{1000}{50} = 20$.
अतः,ट्रांजिस्टर का करंट गेन $20$ है।

(D) दिक अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m-n=0 \quad (i)$
$l^2+m^2-n^2=0 \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ से,$l = n-m$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(n-m)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$n^2 + m^2 - 2nm + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 - 2nm = 0$
$2m(m-n) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m=0$. समीकरण $(i)$ से,$l=n$. अतः,दिक अनुपात $(1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m=n$. समीकरण $(i)$ से,$l=0$. अतः,दिक अनुपात $(0, 1, 1)$ हैं।
माना $\theta$ उन दो रेखाओं के बीच का न्यूनकोण है जिनके दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 0, 1)$ और $\vec{b} = (0, 1, 1)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{0^2+1^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(D) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 4 + 3 = 12$.
काली गेंदों की संख्या = $5$.
लाल गेंदों की संख्या = $3$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (काली या लाल) = $5 + 3 = 8$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

(C) मान लीजिए $A$,$IITJEE$ में उत्तीर्ण होने की घटना है और $B$,$EAMCET$ में उत्तीर्ण होने की घटना है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{5}$।
यह मानते हुए कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{25}$।
अतः,$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{25}$।
हर को $25$ करने पर:
$P(A \cup B) = \frac{5}{25} + \frac{15}{25} - \frac{3}{25} = \frac{17}{25}$।

(C) दिया गया है कि पॉइसन वितरण का माध्य $\lambda = \frac{1}{2}$ है।
पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें अनुपात $\frac{P(X=3)}{P(X=2)}$ ज्ञात करना है।
$P(X=3) = \frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}$.
$P(X=2) = \frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}}{\frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}} = \frac{(\frac{1}{2})^3}{3!} \times \frac{2!}{(\frac{1}{2})^2}$.
$= \frac{1}{2} \times \frac{2!}{3!} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
अतः,अनुपात $1:6$ है।

(D) हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के लिए प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
दिया गया है $P(X=0) = 0.4$।
चूंकि $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$,इसलिए $0.4 + P(X=1) + P(X=2) = 1$।
इसका अर्थ है $P(X=1) + P(X=2) = 0.6$।
दिया गया है $P(X=1) = P(X=2)$,मान लीजिए $P(X=1) = P(X=2) = p$।
तब $p + p = 0.6 \Rightarrow 2p = 0.6 \Rightarrow p = 0.3$।
अतः,$P(X=1) = 0.3$ और $P(X=2) = 0.3$।
यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2))$।
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.3)$।
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.6 = 0.9$।

(B) पासे के लिए प्रतिदर्श समष्टि $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है और सिक्के के लिए $\{H, T\}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,पासे पर $5$ आने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{6}$ है।
सिक्के पर टेल आने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ है।

(B) कार्बन मोनोऑक्साइड के ऑक्सीकरण के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$CO(g) + \frac{1}{2} O_2(g) \longrightarrow CO_2(g)$
अभिक्रिया के स्टोइकोमेट्री के अनुसार,$1 \text{ mole}$ $CO$,$1 \text{ mole}$ $CO_2$ उत्पन्न करता है।
$STP$ पर,किसी भी आदर्श गैस का $1 \text{ mole}$,$22.414 \ L$ आयतन घेरता है।
अतः,$22.414 \ L$ $CO$,$22.414 \ L$ $CO_2$ उत्पन्न करता है।
चूंकि बनने वाले $CO_2$ का आयतन $11.207 \ L$ है,इसलिए आवश्यक $CO$ $(X)$ का आयतन भी $11.207 \ L$ होगा क्योंकि मोलर अनुपात $1:1$ है।

(C) मोलरता $Y$ का सूत्र है: $Y = \frac{X \times 1000}{M_w \times V(mL)}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $Y = \frac{X \times 1000}{106 \times 100} = \frac{10X}{106}$.
इसे हल करने पर $106Y = 10X$ या $X = 10.6Y$ प्राप्त होता है।
विकल्प $(c)$ की जाँच करने पर: यदि $X = 1.06$ और $Y = 0.1$ है,तो $1.06 = 10.6 \times 0.1$,अर्थात $1.06 = 1.06$ है।
अतः,विकल्प $(c)$ में दिए गए मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

(B) दिया गया है: $W = 4 \ g$,$V = 5.6035 \ L$,$T = 546 \ K$,$P = 2 \ atm$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT = \frac{W}{M} RT$.
आणविक भार $M$ के लिए सूत्र: $M = \frac{WRT}{PV}$.
मान रखने पर: $M = \frac{4 \times 0.0821 \times 546}{2 \times 5.6035}$.
$M = \frac{179.2644}{11.207} \approx 16 \ g \ mol^{-1}$.

(C) आइसो-इलेक्ट्रॉनिक प्रजातियां वे होती हैं जिनमें इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान होती है।
$Mg^{2+}$ $(Z=12)$ के लिए: $12 - 2 = 10$ इलेक्ट्रॉन। $C^{4-}$ $(Z=6)$ के लिए: $6 + 4 = 10$ इलेक्ट्रॉन। अतः,$Mg^{2+}, C^{4-}$ एक आइसो-इलेक्ट्रॉनिक युग्म है।
$N^{3-}$ $(Z=7)$ के लिए: $7 + 3 = 10$ इलेक्ट्रॉन। $O^{2-}$ $(Z=8)$ के लिए: $8 + 2 = 10$ इलेक्ट्रॉन। अतः,$N^{3-}, O^{2-}$ एक आइसो-इलेक्ट्रॉनिक युग्म है।
$N^{2-}$ $(Z=7)$ के लिए: $7 + 2 = 9$ इलेक्ट्रॉन। $O^{2-}$ $(Z=8)$ के लिए: $8 + 2 = 10$ इलेक्ट्रॉन। इनमें इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान नहीं है।
$F^{-}$ $(Z=9)$ के लिए: $9 + 1 = 10$ इलेक्ट्रॉन। $Al^{3+}$ $(Z=13)$ के लिए: $13 - 3 = 10$ इलेक्ट्रॉन। अतः,$F^{-}, Al^{3+}$ एक आइसो-इलेक्ट्रॉनिक युग्म है।
इसलिए,जो युग्म आइसो-इलेक्ट्रॉनिक नहीं है वह $N^{2-}, O^{2-}$ है।

(A) कथन $A$ सही है: परमाणु त्रिज्या $R$ का द्रव्यमान संख्या $A$ के साथ संबंध $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda} = hc \bar{\nu}$ है,जहाँ $\bar{\nu}$ तरंग संख्या है।
तरंग संख्या के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\bar{\nu} = \frac{E}{hc}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\bar{\nu} = \frac{19.875 \times 10^{-13} \ erg}{(6.625 \times 10^{-27} \ erg \ sec) \times (3 \times 10^{10} \ cm \ sec^{-1})}$.
$\bar{\nu} = \frac{19.875 \times 10^{-13}}{19.875 \times 10^{-17}} \ cm^{-1} = 10^4 \ cm^{-1} = 10000 \ cm^{-1}$.

(NONE) तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ की इकाई $cm^{-1}$ या $m^{-1}$ है। रिडबर्ग नियतांक $(R_H)$ की भी समान इकाइयाँ ($cm^{-1}$ या $m^{-1}$) होती हैं,इसलिए कथन $A$ सही है।
लाइमैन श्रेणी $n=1$ ऊर्जा स्तर पर संक्रमण के अनुरूप है,जो पराबैंगनी क्षेत्र में आती है,इसलिए कथन $B$ सही है।
कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है। मूल अवस्था के लिए,$n=1$,इसलिए कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}$ है,इसलिए कथन $C$ सही है।
पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या $a_0 = 0.529 \ \mathring{A} = 0.529 \times 10^{-8} \ cm$ है। यह भी सही है।
मानक परमाणु सिद्धांत के आधार पर सभी कथन सही हैं,इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई भी कथन गलत नहीं है।

(C) भौतिक अधिशोषण (physisorption) अधिशोष्य और अधिशोषक के बीच कमजोर वैन डेर वाल्स बलों द्वारा अभिलक्षित होता है।
$1$. यह एक ऊष्माक्षेपी प्रक्रिया है,इसलिए तापमान बढ़ने पर यह घटती है।
$2$. वैन डेर वाल्स बलों की गैर-विशिष्ट प्रकृति के कारण यह बहुपरतीय होती है।
$3$. अधिशोषण की एन्थैल्पी कम होती है,जो आमतौर पर $20-40 \ kJ \ mol^{-1}$ की सीमा में होती है।
$4$. चूंकि इसमें कमजोर बल शामिल होते हैं,इसलिए भौतिक अधिशोषण के लिए आवश्यक सक्रियण ऊर्जा बहुत कम होती है,अधिक नहीं।
अतः,यह कथन कि भौतिक अधिशोषण की सक्रियण ऊर्जा बहुत अधिक होती है,गलत है।

(B) थर्मो e.m.f $E$ समीकरण $E = 16T - 0.04T^2$ द्वारा दिया गया है।
व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ पर,थर्मो e.m.f $E$ शून्य हो जाता है।
$E = 0$ रखने पर:
$0 = 16T_i - 0.04T_i^2$
$16T_i = 0.04T_i^2$
$T_i = \frac{16}{0.04} = 400^{\circ} C$.
उदासीन तापमान $(T_n)$ ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ और व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ का औसत होता है।
यहाँ $T_c = 0^{\circ} C$ दिया गया है:
$T_n = \frac{T_i + T_c}{2} = \frac{400 + 0}{2} = 200^{\circ} C$.
अतः,व्युत्क्रमण तापमान $400^{\circ} C$ है और उदासीन तापमान $200^{\circ} C$ है।

(C) अनुरणन काल $T$ को सबाइन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{0.161 V}{\sum A}$,जहाँ $V$ सभागार का आयतन है और $\sum A$ कुल अवशोषण है।
दिया गया है: $V = 10^5 \ m^3$,कुल अवशोषण क्षेत्रफल $S = 2 \times 10^4 \ m^2$,और औसत अवशोषण गुणांक $a = 0.2$ है।
कुल अवशोषण $\sum A = a \times S = 0.2 \times 2 \times 10^4 = 4000 \ m^2$ है।
पाठ्यपुस्तकों में उपयोग किए जाने वाले मानक स्थिरांक $0.17$ का उपयोग करते हुए:
$T = \frac{0.17 \times V}{a \times S} = \frac{0.17 \times 10^5}{0.2 \times 2 \times 10^4} = \frac{17000}{4000} = 4.25 \ s$.

(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
अतः,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका की कुल उत्सर्जन क्षमता $E$ उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$.
इस प्रकार,उत्सर्जन क्षमताओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,अनुपात $1:16$ है।

(C) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूँकि तार का द्रव्यमान $M$ स्थिर है,$\mu = \frac{M}{l}$। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T \cdot l}{M}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T}{M \cdot l}}$।
अतः,$n \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$।
यहाँ $30^{\circ} C$ पर $n_1 = 1 \ kHz$ और $10^{\circ} C$ पर $n_2 = 1.001 \ kHz$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$।
$\frac{1}{1.001} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} \Rightarrow \frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{(1.001)^2} \approx 1 - 2(0.001) = 0.998$।
रेखीय प्रसार के सूत्र $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$।
$\frac{l_2}{l_1} = 1 - \alpha(20) = 1 - 0.002$।
$20 \alpha = 0.002 \Rightarrow \alpha = \frac{0.002}{20} = 0.0001 = 1 \times 10^{-4} /^{\circ} C$।

(A) एक ठोस गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m r^2$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n$ है।
इन मानों को रखने पर:
$KE = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} m r^2) \times (2 \pi n)^2 = \frac{1}{5} m r^2 \times 4 \pi^2 n^2 = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $50 \%$ तापमान बढ़ाने के लिए उपयोग किया जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $\Delta Q$ है:
$\Delta Q = \frac{1}{2} \times KE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2) = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
$\Delta Q = m S \Delta t$ संबंध का उपयोग करते हुए,जहाँ $S$ विशिष्ट ऊष्मा है और $\Delta t$ तापमान में वृद्धि है:
$m S \Delta t = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
$\Delta t$ के लिए हल करने पर:
$\Delta t = \frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$.

(D) किसी द्रव के वास्तविक प्रसार का गुणांक स्थिर होता है और इसे निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$।
पात्र $A$ के लिए,आभासी प्रसार गुणांक $\gamma_1$ है और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है। अतः,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_A = 3\alpha$ होगा।
इसलिए,$\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$।
पात्र $B$ के लिए,आभासी प्रसार गुणांक $\gamma_2$ है और मान लीजिए कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_B$ है। अतः,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_B = 3\alpha_B$ होगा।
इसलिए,$\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$।
चूंकि $\gamma_{\text{real}}$ दोनों स्थितियों में द्रव के लिए समान है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$।
$\alpha_B$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$।
$\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$।

(B) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = n C_v (T_2 - T_1)$ है।
दिया गया है:
$n = 5 \ mol$
$T_1 = 0^{\circ} C = 273.15 \ K$
$T_2 = 400^{\circ} C = 673.15 \ K$
$\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K$
$\gamma = 7/5 = 1.4$
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1} = \frac{8.30}{1.4 - 1} = \frac{8.30}{0.4} = 20.75 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
$\Delta U$ की गणना:
$\Delta U = 5 \times 20.75 \times 400 \ J$
$\Delta U = 41500 \ J = 41.50 \ kJ$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $41.55 \ kJ$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$
दिया गया है: $P = 760 \text{ mm of Hg} = 1 \text{ atm}$,$V = 11.2 \text{ L}$,$T = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,$M = 32 \text{ g/mol}$,$R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$.
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र: $m = \frac{PVM}{RT}$
$m = \frac{1 \times 11.2 \times 32}{0.0821 \times 300}$
$m = \frac{358.4}{24.63} \approx 14.55 \text{ g}$
किलोग्राम में बदलने पर: $m = \frac{14.55}{1000} \approx 0.01456 \text{ kg}$.

(A) वान डर वाल्स गैस समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=nRT$ है।
समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$\frac{a}{V^2}$ की विमा = $P$ की विमा।
अतः,$[a] = [V^2] \times [P] = [L^3]^2 \times [ML^{-1} T^{-2}] = [ML^5 T^{-2}]$।
$b$ की विमा = $V$ की विमा = $[L^3]$।
अब,अनुपात $\frac{b}{a} = \frac{[L^3]}{[ML^5 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^2]$।

(A) मीथेन की दहन अभिक्रिया है: $CH_{4(g)} + 2O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)} \quad \Delta H = ?$
इसे प्राप्त करने के लिए,हम दिए गए समीकरणों में हेरफेर करते हैं:
$1$. समीकरण $(I)$ को उल्टा करें: $CH_{4(g)} \rightarrow C_{(graphite)} + 2H_{2(g)} \quad \Delta H = +74.8 \ kJ$
$2$. समीकरण $(II)$ को वैसे ही रखें: $C_{(graphite)} + O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} \quad \Delta H = -393.5 \ kJ$
$3$. समीकरण $(III)$ को $2$ से गुणा करें: $2H_{2(g)} + O_{2(g)} \rightarrow 2H_2O_{(l)} \quad \Delta H = 2 \times (-286.2) = -572.4 \ kJ$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $CH_{4(g)} + 2O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)}$
$\Delta H = 74.8 - 393.5 - 572.4 = -891.1 \ kJ$

(C) दिया गया है: $\lambda = 6000 \text{ } \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ और पथ अंतर $\Delta x = 1.5 \text{ } \mu\text{m} = 1.5 \times 10^{-6} \text{ m}$।
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए, पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होता है, जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$।
$n = \frac{\Delta x}{\lambda} = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = \frac{15}{6} = 2.5$।
चूँकि $n$ पूर्णांक नहीं है, इसलिए यह दीप्त फ्रिंज नहीं है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए, पथ अंतर $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ होता है, जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$।
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times \frac{6 \times 10^{-7}}{2}$।
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times 3 \times 10^{-7}$।
$2n + 1 = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-7}} = 5$।
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$।
$n = 0$ के लिए पहली अदीप्त फ्रिंज, $n = 1$ के लिए दूसरी अदीप्त फ्रिंज और $n = 2$ के लिए तीसरी अदीप्त फ्रिंज प्राप्त होती है। अतः, बिंदु $P$ पर तीसरी अदीप्त फ्रिंज बनती है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 ~kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,$t = 4 ~s$ पर अंतिम वेग $v = 20 ~ms^{-1}$।
सबसे पहले,$v = u + at$ समीकरण का उपयोग करके एकसमान त्वरण $a$ की गणना करें:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5 ~ms^{-2}$।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = 2 ~kg \times 5 ~ms^{-2} = 10 ~N$ है।
अब,$t' = 2 ~s$ पर पिंड का वेग $v'$ ज्ञात करने के लिए $v' = u + at'$ का उपयोग करें:
$v' = 0 + 5 \times 2 = 10 ~ms^{-1}$।
$t' = 2 ~s$ पर पिंड पर आरोपित शक्ति $P = F \times v'$ है:
$P = 10 ~N \times 10 ~ms^{-1} = 100 ~W$।

(D) क्षारीय फॉर्मल्डिहाइड विलयन $H_2 O_2$ के साथ इस प्रकार अभिक्रिया करता है:
$2HCHO + H_2 O_2 \rightarrow 2HCOOH + H_2 \uparrow$
इस अभिक्रिया में,फॉर्मल्डिहाइड $(HCHO)$ का ऑक्सीकरण फॉर्मिक अम्ल $(HCOOH)$ में हो जाता है और हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ मुक्त होती है।

(C) एसिटिलीन $(HC \equiv CH)$ का क्षारीय पोटेशियम परमैंगनेट $(KMnO_4 / KOH)$ की उपस्थिति में $25^{\circ}C$ पर ऑक्सीकरण होने से ऑक्सेलिक एसिड $(HOOC-COOH)$ बनता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$HC \equiv CH + 4[O] \xrightarrow{KMnO_4 / KOH, 25^{\circ}C} HOOC-COOH$

(A) निश्चित बिंदु से द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ की दूरी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \ldots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \ldots + nm}$
$x_{cm} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}$
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x_{cm} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$x_{cm} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$
$x_{cm} = \frac{l(2n+1)}{3}$