TS EAMCET 2001 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) चुंबक को $AB$ पर उसके केंद्र $O$ के साथ रखा गया है। चुंबक की लंबाई $2l = 10 \text{ cm}$ है,इसलिए $l = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है। चुंबकीय आघूर्ण $M = 1 \text{ Am}^2$ है।
बिंदु $C$ चुंबक के लंब समद्विभाजक पर स्थित है,जो निरक्षीय स्थिति (equatorial position) को दर्शाता है।
चुंबक के केंद्र $O$ से बिंदु $C$ की दूरी $r$,$10 \text{ cm}$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
$r = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = \sqrt{0.0075} = 5\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
निरक्षीय स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r^2 + l^2 = (5\sqrt{3} \times 10^{-2})^2 + (5 \times 10^{-2})^2 = 100 \times 10^{-4} = 10^{-2} \text{ m}^2$ है।
अतः,$(r^2 + l^2)^{3/2} = (10^{-2})^{3/2} = 10^{-3} \text{ m}^3$ है।
मान रखने पर: $B = 10^{-7} \times \frac{1}{10^{-3}} = 10^{-4} \text{ T}$।

(C) माना कि $x = \frac{\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}}}{\sqrt{8+\sqrt{28}}-\sqrt{8-\sqrt{28}}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{(\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{8-\sqrt{28}})^2}{(\sqrt{8+\sqrt{28}})^2-(\sqrt{8-\sqrt{28}})^2}$
$x = \frac{(8+\sqrt{28}) + (8-\sqrt{28}) + 2\sqrt{(8+\sqrt{28})(8-\sqrt{28})}}{(8+\sqrt{28}) - (8-\sqrt{28})}$
$x = \frac{16 + 2\sqrt{64-28}}{2\sqrt{28}}$
$x = \frac{16 + 2\sqrt{36}}{2\sqrt{4 \times 7}}$
$x = \frac{16 + 2(6)}{2(2\sqrt{7})}$
$x = \frac{16 + 12}{4\sqrt{7}} = \frac{28}{4\sqrt{7}} = \frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = -b$ है।
साथ ही,$\alpha+h$ और $\beta+h$ समीकरण $x^2+qx+r=0$ के मूल हैं।
अतः,मूलों का योग $(\alpha+h) + (\beta+h) = -q$ होगा।
इसे सरल करने पर $(\alpha+\beta) + 2h = -q$ प्राप्त होता है।
$\alpha+\beta = -b$ प्रतिस्थापित करने पर,$-b + 2h = -q$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2h = b-q$।
अतः,$h = \frac{1}{2}(b-q)$।

(D) माना $y = (x-\alpha)(x-\beta)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग कर सकते हैं:
$y = x^2 - (\alpha+\beta)x + \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 + \alpha\beta$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta}{4}$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 - 4\alpha\beta}{4}$.
$y = \left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 - \frac{(\alpha-\beta)^2}{4}$.
चूंकि वर्ग पद $\left(x - \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 \ge 0$ है,इसलिए न्यूनतम मान $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{1}{4}(\alpha-\beta)^2$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x-4}{x^2-5x-2k} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k}$
दाईं ओर को सरल करने पर: $\frac{2(x+k) - (x-2)}{(x-2)(x+k)} = \frac{2x + 2k - x + 2}{x^2 + kx - 2x - 2k} = \frac{x + 2k + 2}{x^2 + (k-2)x - 2k}$
हर (denominator) की तुलना करने पर: $x^2 - 5x - 2k = x^2 + (k-2)x - 2k$
इससे $k-2 = -5$ प्राप्त होता है,अतः $k = -3$
अंश (numerator) की तुलना करने पर: $x-4 = x + 2k + 2$
$k = -3$ रखने पर: $x-4 = x + 2(-3) + 2 = x - 6 + 2 = x - 4$
दोनों पक्ष समान हैं,इसलिए $k = -3$।

(B) दिया गया समीकरण $x^3-6x^2+6x-5=0$ है।
मूलों में $h$ की वृद्धि करने के लिए,हम $x$ को $x+h$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
नया समीकरण $(x+h)^3-6(x+h)^2+6(x+h)-5=0$ होगा।
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3) - 6(x^2+2xh+h^2) + 6(x+h) - 5 = 0$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^3 + (3h-6)x^2 + (3h^2-12h+6)x + (h^3-6h^2+6h-5) = 0$.
$x^2$ का पद अनुपस्थित होने के लिए,इसका गुणांक शून्य होना चाहिए:
$3h-6 = 0$.
अतः,$h = 2$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
माना $f(x) = x^3-14x^2+56x-64$.
$x=2$ के लिए जाँच करने पर: $f(2) = 8 - 14(4) + 56(2) - 64 = 8 - 56 + 112 - 64 = 0$.
चूँकि $x=2$ एक मूल है,$(x-2)$ एक गुणनखंड है।
बहुपद को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2(x-2) - 12x(x-2) + 32(x-2) = 0$.
$(x-2)(x^2-12x+32) = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2)(x-4)(x-8) = 0$.
मूल $2, 4, 8$ हैं।
चूँकि $\frac{4}{2} = 2$ और $\frac{8}{4} = 2$,सार्व अनुपात समान है,इसलिए मूल $GP$ में हैं।

(B) दिया गया बहुपद समीकरण $P(x) = x^4-2x^3+2x-1=0$ है।
चूंकि $1$,$3$ क्रम का एक मूल है,इसलिए $(x-1)^3$,$P(x)$ का एक गुणनखंड होना चाहिए।
$(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$ का विस्तार करने पर।
$x^4-2x^3+2x-1$ को $(x-1)^3$ से विभाजित करने पर:
$x^4-2x^3+2x-1 = (x-1)^3(x+1)$।
गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $(x-1)^3 = 0$ और $x+1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $1, 1, 1$ और $-1$ हैं।
अन्य मूल $-1$ है।

(A) चूंकि द्विघात समीकरण के गुणांक परिमेय माने जाते हैं,इसलिए अपरिमेय और सम्मिश्र मूल संयुग्मी जोड़े में होते हैं। अतः,मूल $1+i, 1-i, 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$ हैं।
$1+i$ और $1-i$ मूलों के लिए:
योग $= 2$,गुणनफल $= 2$
द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 2 = 0$ है।
$1-\sqrt{2}$ और $1+\sqrt{2}$ मूलों के लिए:
योग $= 2$,गुणनफल $= -1$
द्विघात समीकरण $x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
द्विघात समीकरण इन दोनों का गुणनफल है:
$(x^2-2x+2)(x^2-2x-1) = 0$
हल करने पर: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 2 = 0$.

(B) हुक के नियम के अनुसार,एक प्रत्यास्थ डोरी का विस्तार लागू तनाव के समानुपाती होता है। मान लीजिए डोरी की प्राकृतिक लंबाई $L_0$ है और बल नियतांक $k$ है।
तनाव $T$ के तहत लंबाई $L$ को $L = L_0 + \frac{T}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$T_1 = 4 \ N$ के लिए,$L_1 = a = L_0 + \frac{4}{k}$ --- $(1)$
$T_2 = 5 \ N$ के लिए,$L_2 = b = L_0 + \frac{5}{k}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $b - a = \frac{5}{k} - \frac{4}{k} = \frac{1}{k} \Rightarrow k = \frac{1}{b-a}$।
$k$ का मान $(1)$ में रखने पर: $L_0 = a - 4(b-a) = a - 4b + 4a = 5a - 4b$।
अब,$T_3 = 9 \ N$ के लिए,लंबाई $x$ है:
$x = L_0 + \frac{9}{k} = (5a - 4b) + 9(b - a)$
$x = 5a - 4b + 9b - 9a$
$x = 5b - 4a$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ और $g = 10 \ m/s^2$ है।
प्रक्षेप्य के पथ का मानक समीकरण $h = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
इसे दिए गए समीकरण $h = Ax - Bx^2$ के साथ तुलना करने पर:
$A = \tan \theta = \tan 45^{\circ} = 1$.
$B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{10}{2 \times (20)^2 \times (\cos 45^{\circ})^2} = \frac{10}{2 \times 400 \times (1/\sqrt{2})^2} = \frac{10}{800 \times 1/2} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40}$.
अब,$A:B$ का अनुपात:
$\frac{A}{B} = \frac{1}{1/40} = 40$.
अतः,$A:B$ का अनुपात $40:1$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए दोनों टुकड़ों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए:
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$
यह मानते हुए कि नाभिक का घनत्व $\rho$ स्थिर है,द्रव्यमान $m$ आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ के समानुपाती होता है,जहाँ $R$ त्रिज्या है।
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$
द्रव्यमान अनुपात के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3} = 1 : 3^{1/3}$

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे पिंड की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k r^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = m \omega^2$ बल नियतांक है और $r$ विस्थापन है।
दिया गया है:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ विस्थापन पर,स्थितिज ऊर्जा $E$ है:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} (x+y)$
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} \left( \sqrt{\frac{2 E_1}{k}} + \sqrt{\frac{2 E_2}{k}} \right)$
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} \cdot \sqrt{\frac{2}{k}} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(B) माना आयाम $A$ है। कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3}$ और $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ हैं।
चूंकि वे मूल बिंदु से शुरू करते हैं,उनका विस्थापन $x_1 = A \sin(\omega_1 t)$ और $x_2 = A \sin(\omega_2 t)$ है।
जब वे मिलते हैं,तो $x_1 = x_2$,इसलिए $\sin(\omega_1 t) = \sin(\omega_2 t)$.
इसका अर्थ है $\omega_1 t = \pi - \omega_2 t$ (प्रथम मिलन बिंदु के लिए),इसलिए $t = \frac{\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{\pi}{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}} = 1 \ s$.
सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = A\omega \cos(\omega t)$ होता है।
$t = 1 \ s$ पर,$v_P = A(\frac{2\pi}{3}) \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot 1) = A(\frac{2\pi}{3})(-\frac{1}{2}) = -\frac{A\pi}{3}$.
$t = 1 \ s$ पर,$v_Q = A(\frac{\pi}{3}) \cos(\frac{\pi}{3} \cdot 1) = A(\frac{\pi}{3})(\frac{1}{2}) = \frac{A\pi}{6}$.
वेगों के परिमाण का अनुपात $|v_P| : |v_Q| = \frac{A\pi}{3} : \frac{A\pi}{6} = 2 : 1$ है।

(C) बोराजोल,जिसे बोराजिन के रूप में भी जाना जाता है,एक अकार्बनिक यौगिक है जिसका रासायनिक सूत्र $B_3N_3H_6$ है।
इसे अक्सर 'अकार्बनिक बेंजीन' कहा जाता है क्योंकि यह बेंजीन $(C_6H_6)$ के साथ आइसोइलेक्ट्रोनिक और संरचनात्मक रूप से समान है।

(A) श्रृंखलन की प्रवृत्ति बंध वियोजन ऊर्जा के सीधे समानुपाती होती है।
समूह में $C$ से $Ge$ की ओर नीचे जाने पर,परमाणु आकार बढ़ता है,जिससे कक्षकों का अतिव्यापन (overlap) कम हो जाता है और परिणामस्वरूप बंध की मजबूती घट जाती है।
$C-C$,$Si-Si$ और $Ge-Ge$ के लिए बंध वियोजन ऊर्जा क्रमशः लगभग $348 \ kJ \ mol^{-1}$,$180 \ kJ \ mol^{-1}$ और $167 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
अतः,बंध ऊर्जा का सही क्रम श्रृंखलन प्रवृत्ति के क्रम से मेल खाता है।

(B) जब अमोनिया अधिकता में क्लोरीन के साथ अभिक्रिया करता है,तो नाइट्रोजन ट्राइक्लोराइड $(NCl_3)$ और हाइड्रोजन क्लोराइड $(HCl)$ बनते हैं।
संतुलित रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$NH_3 + 3Cl_2 \text{ (excess)} \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$

(D) जब अमोनिया अधिकता में क्लोरीन के साथ अभिक्रिया करता है,तो अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$NH_3 + 3Cl_2 \longrightarrow NCl_3 + 3HCl$
अतः,प्राप्त उत्पाद नाइट्रोजन ट्राइक्लोराइड $(NCl_3)$ और हाइड्रोजन क्लोराइड $(HCl)$ हैं।

(D) फ्लोरीन $(F_2)$ सबसे अधिक विद्युत ऋणात्मक तत्व है और एक प्रबल ऑक्सीकारक के रूप में कार्य करता है। जब इसे गर्म सांद्र $KOH$ विलयन से गुजारा जाता है,तो यह जल का ऑक्सीकरण करके ऑक्सीजन मुक्त करता है।
रासायनिक अभिक्रिया:
$2F_2 + 4KOH \longrightarrow 4KF + 2H_2O + O_2$.

(C) जब क्लोरीन को सोडियम थायोसल्फेट (हाइपो) के जलीय विलयन से गुजारा जाता है,तो यह एक ऑक्सीकरण एजेंट के रूप में कार्य करता है। अभिक्रिया इस प्रकार है:
$Na_2S_2O_3 + H_2O + Cl_2 \longrightarrow Na_2SO_4 + 2HCl + S \downarrow$
अतः,उत्पाद के रूप में सोडियम सल्फेट $(Na_2SO_4)$,हाइड्रोक्लोरिक अम्ल $(HCl)$ और सल्फर $(S)$ प्राप्त होते हैं।

(A) द्विपद विस्तार $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1-x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{8}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{48}x^3 + \ldots$
यहाँ $x = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें दी गई श्रेणी प्राप्त होती है:
$(1 - \frac{1}{2})^{-1/2} = (\frac{1}{2})^{-1/2} = \sqrt{2}$.

(A) हम जानते हैं कि $\sin 5 \theta = 5 \sin \theta - 20 \sin ^3 \theta + 16 \sin ^5 \theta$ होता है।
$\sin \theta$ से भाग देने पर (मान लीजिए $\sin \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\sin \theta} = 5 - 20 \sin ^2 \theta + 16 \sin ^4 \theta$।
सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= 5 - 20(1 - \cos ^2 \theta) + 16(1 - \cos ^2 \theta)^2$
$= 5 - 20 + 20 \cos ^2 \theta + 16(1 - 2 \cos ^2 \theta + \cos ^4 \theta)$
$= -15 + 20 \cos ^2 \theta + 16 - 32 \cos ^2 \theta + 16 \cos ^4 \theta$
$= 16 \cos ^4 \theta - 12 \cos ^2 \theta + 1$।

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$A + C = 180^{\circ}$ और $B + D = 180^{\circ}$।
इसका अर्थ है कि $C = 180^{\circ} - A$ और $D = 180^{\circ} - B$।
अब,व्यंजक $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D$ पर विचार करें।
$C$ और $D$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A + \cos B + \cos(180^{\circ} - A) + \cos(180^{\circ} - B)$
चूंकि $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$\cos A + \cos B - \cos A - \cos B = 0$.

(A) दिया गया है कि $\tan \theta + \cot \theta = 2$.
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इन मानों को रखने पर,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 2$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \sin \theta \cos \theta = 1$,अर्थात $\sin 2 \theta = 1$.
अतः,$2 \theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया है $\operatorname{cosec} \theta = \frac{p+q}{p-q}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{p-q}{p+q}$.
सूत्र $\sin \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{p-q}{p+q}$.
दोनों पक्षों को पलटने पर: $\frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{2 \tan(\theta/2)} = \frac{p+q}{p-q}$.
योग-अंतर अनुपात (Componendo and Dividendo) लगाने पर:
$\frac{1 + \tan^2(\theta/2) + 2 \tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2) - 2 \tan(\theta/2)} = \frac{(p+q) + (p-q)}{(p+q) - (p-q)}$.
$\frac{(1 + \tan(\theta/2))^2}{(1 - \tan(\theta/2))^2} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} = \sqrt{\frac{p}{q}}$.
चूंकि $\tan(\pi/4) = 1$,यह $\tan(\pi/4 + \theta/2) = \sqrt{\frac{p}{q}}$ है।
अतः,$\cot(\pi/4 + \theta/2) = \frac{1}{\tan(\pi/4 + \theta/2)} = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$A = \frac{\pi}{6} + \theta$ और $B = \frac{\pi}{6} - \theta$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta + \frac{\pi}{6}-\theta\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta - (\frac{\pi}{6}-\theta)\right)$
$= \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) \cos(2\theta)$
$= \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(2\theta)$
चूँकि $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए व्यंजक $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ हो जाता है।

(D) हमारे पास है,$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 2$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2$.
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2$ संभव नहीं है।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(C) रेखाएँ $x=1$ और $y=1$ बिंदु $B(1, 1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा $x+y=1$,$x=1$ को $A(1, 0)$ पर और $y=1$ को $C(0, 1)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 0)$,$B(1, 1)$ और $C(0, 1)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$a = BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2} = 1$
$b = CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$
$c = AB = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2} = 1$
अंतःकेंद्र $(I_x, I_y)$:
$I_x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c} = \frac{1(1) + \sqrt{2}(1) + 1(0)}{1+\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$I_y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} = \frac{1(0) + \sqrt{2}(1) + 1(1)}{1+\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अंतःकेंद्र $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(a+2b)x + (a-b)y + (a+5b) = 0$ है।
$a$ और $b$ के पदों को समूहित करने पर:
$a(x + y + 1) + b(2x - y + 5) = 0$।
$a$ और $b$ के सभी मानों के लिए यह समीकरण सत्य होने हेतु,$a$ और $b$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए:
$x + y + 1 = 0$ --- $(1)$
$2x - y + 5 = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y + 1) + (2x - y + 5) = 0$
$3x + 6 = 0$
$3x = -6$
$x = -2$।
$x = -2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-2 + y + 1 = 0$
$y - 1 = 0$
$y = 1$।
अतः,रेखा निश्चित बिंदु $(-2, 1)$ से होकर गुजरती है।

(A) दी गई रेखाएँ $x+3y=10$ और $6x^2+xy-y^2=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
अतः,रेखाएँ $3x-y=0$ और $2x+y=0$ हैं।
माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं।
$2x+y=0$ और $3x-y=0$ को हल करने पर $A(0,0)$ प्राप्त होता है।
$x+3y=10$ और $3x-y=0$ को हल करने पर $B(1,3)$ प्राप्त होता है।
$x+3y=10$ और $2x+y=0$ को हल करने पर $C(-2,4)$ प्राप्त होता है।
$A(0,0)$ से $BC$ $(x+3y=10)$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $3$ है। समीकरण: $y-0=3(x-0) \Rightarrow 3x-y=0$.
$B(1,3)$ से $AC$ $(2x+y=0)$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $1/2$ है। समीकरण: $y-3=\frac{1}{2}(x-1) \Rightarrow x-2y+5=0$.
$3x-y=0$ और $x-2y+5=0$ को हल करने पर: $y=3x$ $\Rightarrow x-2(3x)+5=0$ $\Rightarrow -5x=-5$ $\Rightarrow x=1, y=3$.
लंबकेंद्र $(1,3)$ है।

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाली रेखाएं $y = x$ और $y = -x$ हैं।
यदि $y = x$ एक रेखा है,तो समीकरण में $y = x$ रखने पर:
$ax^2 + 2h(x)(x) + b(x)^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
इसका अर्थ है $a + b + 2h = 0$,या $a + b = -2h$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + b)^2 = (-2h)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,यदि $y = -x$ एक रेखा है,तो $y = -x$ रखने पर:
$ax^2 + 2h(x)(-x) + b(-x)^2 = 0$
$ax^2 - 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a - 2h + b)x^2 = 0$
इसका अर्थ है $a + b = 2h$,जिसका वर्ग करने पर $(a + b)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
अतः,शर्त $(a + b)^2 = 4h^2$ है।

(B) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
माना रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
दिया गया है कि $m_1 = 2m_2$ ...$(i)$
हम जानते हैं कि $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ ...(ii)
और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ ...(iii)
$(i)$ को (ii) में रखने पर: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$ ...(iv)
$(i)$ को (iii) में रखने पर: $2m_2 \cdot m_2 = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$ ...$(v)$
(iv) को $(v)$ में रखने पर: $2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b} \implies 2 \cdot \frac{4h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \implies \frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \implies 8h^2 = 9ab$.

(B) माना वृत्त $x^2+y^2=p^2$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
अतः $x_1^2+y_1^2=p^2$।
वृत्त $x^2+y^2=q^2$ के सापेक्ष $(x_1, y_1)$ का ध्रुवीय समीकरण $x x_1+y y_1=q^2$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=r^2$ को स्पर्श करती है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x x_1+y y_1-q^2=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
अतः,$\frac{|0(x_1)+0(y_1)-q^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = r$।
इसे सरल करने पर $\frac{q^2}{\sqrt{p^2}} = r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{q^2}{p} = r$।
इसलिए,$q^2 = pr$,जो दर्शाता है कि $p, q, r$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ और $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ हैं।
सह-अक्षीय वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सीमित बिंदु प्रणाली में बिंदु वृत्तों के केंद्र हैं,जो तब होते हैं जब त्रिज्या $r = 0$ होती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है। $r=0$ रखने पर $g^2+f^2=c$ प्राप्त होता है।
रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$ है।
प्रणाली का कोई भी वृत्त $S_1 + \lambda(4x + 2y - 1) = 0 \Rightarrow x^2+y^2+(2+4\lambda)x+(-2+2\lambda)y+(2-\lambda)=0$ है।
सीमित बिंदुओं के लिए,$g^2+f^2=c \Rightarrow (1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 = 2-\lambda$।
$5\lambda^2+3\lambda=0$ हल करने पर,$\lambda=0$ या $\lambda=-\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
$\lambda=0$ के लिए,केंद्र $(-1, 1)$ है।
$\lambda=-\frac{3}{5}$ के लिए,केंद्र $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ है।
अतः,सीमित बिंदु $(-1, 1)$ और $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ हैं।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2+8x-2y+17=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2-2y+1 = -8x-17+1$
$(y-1)^2 = -8x-16$
$(y-1)^2 = -8(x+2)$
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=4x$ है।
परवलय $y^2=4ax$ पर बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ होता है।
यहाँ,$a=1$ और $P=(1,2)$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m = -\frac{2}{2(1)} = -1$ है।
बिंदु $P(1,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-2 = -1(x-1)$ है,जिसे सरल करने पर $x+y=3$ या $x=3-y$ प्राप्त होता है।
$x=3-y$ को परवलय के समीकरण $y^2=4x$ में रखने पर:
$y^2 = 4(3-y)$
$y^2 = 12-4y$
$y^2+4y-12=0$
$(y-2)(y+6)=0$
इससे $y=2$ (जो बिंदु $P$ को दर्शाता है) और $y=-6$ प्राप्त होता है।
$y=-6$ के लिए,$x = 3-(-6) = 9$ है।
अतः,बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(9,-6)$ हैं।

(D) हमारे पास है,$\frac{(1-3x)^2}{(1-2x)} = (1 - 6x + 9x^2)(1 - 2x)^{-1}$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1-2x)^{-1} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots$.
अब,$(1 - 6x + 9x^2)$ को $(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + 16x^4 + \dots)$ से गुणा करने पर.
$x^4$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$1 \times 16 - 6 \times 8 + 9 \times 4 = 16 - 48 + 36 = 4$.

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}}$।
$e = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}}$।
अतः,$e = \frac{\sqrt{7}}{4}$।

(B) दिया गया समीकरण $16 x^2+y^2+8 x y-74 x-78 y+212=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $a x^2+b y^2+2 h x y+2 g x+2 f y+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=16, b=1, h=4, g=-37, f=-39, c=212$.
अब,हम विविक्तकर $h^2 - ab$ की गणना करते हैं:
$h^2 - ab = (4)^2 - (16)(1) = 16 - 16 = 0$.
चूंकि $h^2 - ab = 0$ है,इसलिए यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

(B) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $\frac{l}{r} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{l}{r} = 1 - \cos \theta$
$l = r(1 - \cos \theta)$
$l = r - r \cos \theta$
चूंकि $x = r \cos \theta$ और $r = \sqrt{x^2 + y^2}$,इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$l = \sqrt{x^2 + y^2} - x$
$l + x = \sqrt{x^2 + y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(l + x)^2 = x^2 + y^2$
$l^2 + 2lx + x^2 = x^2 + y^2$
$y^2 = 2lx + l^2$
$y^2 = 2l(x + \frac{l}{2})$
यह एक परवलय का मानक समीकरण है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = 8$ है।
अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ के अनंतस्पर्शी $x^2 - y^2 = 0$ द्वारा दिए जाते हैं,जिसका अर्थ है $x = \pm y$,अर्थात $x + y = 0$ और $x - y = 0$।
मान लीजिए $P(x, y)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है।
बिंदु $P(x, y)$ से रेखा $x - y = 0$ पर लंब की लंबाई $d_1 = \frac{|x - y|}{\sqrt{2}}$ है।
बिंदु $P(x, y)$ से रेखा $x + y = 0$ पर लंब की लंबाई $d_2 = \frac{|x + y|}{\sqrt{2}}$ है।
लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = \frac{|x^2 - y^2|}{2}$ है।
चूंकि बिंदु $(x, y)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ पर स्थित है,इसलिए $d_1 \times d_2 = \frac{8}{2} = 4$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{-1} x}{x} = 1$ होता है।
दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \sin ^{-1} x}{x^2}$ है।
इसे $\lim _{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right) \left(\frac{\sin ^{-1} x}{x}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सीमा के गुणों का उपयोग करने पर,हमें $1 \times 1 = 1$ प्राप्त होता है।

(A) हम सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+a}{x+b}\right)^{x}$ का मूल्यांकन करते हैं।
यह $1^{\infty}$ के रूप में है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+b+a-b}{x+b}\right)^{x} = \lim _{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{x}$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{x})^x = e^k$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{x} = \lim _{x \rightarrow \infty} \left[\left(1 + \frac{a-b}{x+b}\right)^{\frac{x+b}{a-b}}\right]^{\frac{x(a-b)}{x+b}}$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x(a-b)}{x+b} = a-b$,इसलिए सीमा $e^{a-b}$ है।

(B) दिया गया सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(10^x - 1)}{1 - \cos x}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए $L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 10^x \ln 10 + (10^x - 1)}{\sin x}$.
पुनः $\frac{0}{0}$ रूप होने पर,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 10^x (\ln 10)^2 + 10^x \ln 10 + 10^x \ln 10}{\cos x}$.
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{0 + \ln 10 + \ln 10}{1} = 2 \ln 10$.

(D) स्टाइरीन $(C_6H_5CH=CH_2)$ को बेंजीन $(C_6H_6)$ से दो चरणों में तैयार किया जाता है:
$1$. बेंजीन $AlCl_3$ की उपस्थिति में एथिलीन $(CH_2=CH_2)$ के साथ अभिक्रिया करके एथिलबेंजीन $(C_6H_5CH_2CH_3)$ बनाता है।
$2$. इसके बाद एथिलबेंजीन का उच्च तापमान (लगभग $700 \ ^\circ C$) पर उत्प्रेरक (जैसे आयरन ऑक्साइड या $Al_2O_3$) का उपयोग करके डिहाइड्रोजनीकरण किया जाता है,जिससे स्टाइरीन और हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ प्राप्त होती है।
अतः,स्टाइरीन के निर्माण में बेंजीन का उपयोग किया जाता है।

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को पहले पद में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos C+\cos A}{c+a} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R(\sin C+\sin A)} = \frac{2 \cos \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2}}{2R(2 \sin \frac{C+A}{2} \cos \frac{C-A}{2})} = \frac{1}{2R} \cot \frac{C+A}{2}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{C+A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,अतः $\cot \frac{C+A}{2} = \tan \frac{B}{2}$।
इस प्रकार,पहला पद $\frac{1}{2R} \tan \frac{B}{2}$ है।
दूसरे पद के लिए:
$\frac{\cos B}{b} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{1}{2R} \cot B = \frac{1}{2R} \left( \frac{1-\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right)$।
दोनों पदों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{2R} \left( \tan \frac{B}{2} + \frac{1-\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{2 \tan^2 \frac{B}{2} + 1 - \tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R} \left( \frac{1+\tan^2 \frac{B}{2}}{2 \tan \frac{B}{2}} \right) = \frac{1}{2R \sin B} = \frac{1}{b}$।

(D) दिया गया है,$\frac{a}{b^2-c^2} + \frac{c}{b^2-a^2} = 0$.
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2R \sin A}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 C)} + \frac{2R \sin C}{4R^2(\sin^2 B - \sin^2 A)} = 0$
$\frac{\sin A}{\sin(B+C)\sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin(B+A)\sin(B-A)} = 0$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin A$ और $\sin(B+A) = \sin C$:
$\frac{\sin A}{\sin A \sin(B-C)} + \frac{\sin C}{\sin C \sin(B-A)} = 0$
$\frac{1}{\sin(B-C)} + \frac{1}{\sin(B-A)} = 0$
$\sin(B-A) = -\sin(B-C) = \sin(C-B)$
$2B = A+C$. चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $A+C = \pi - B$.
$2B = \pi - B$ $\Rightarrow 3B = \pi$ $\Rightarrow B = \frac{\pi}{3}$.

(B) हम जानते हैं कि $a = 2R \sin A$ और $c = 2R \sin C$। इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a^2 \sin 2C + c^2 \sin 2A = (2R \sin A)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 8R^2 \sin^2 A \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin A \cos A$
$= 8R^2 \sin A \sin C [\sin A \cos C + \cos A \sin C]$
$= 8R^2 \sin A \sin C \sin(A + C)$
चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $\sin(A + C) = \sin B$।
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\Delta = \frac{abc}{4R}$ का उपयोग करने पर,$abc = 4R\Delta$। साथ ही,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$।
$= 8R^2 \left( \frac{a}{2R} \right) \left( \frac{b}{2R} \right) \left( \frac{c}{2R} \right) = \frac{abc}{R} = \frac{4R\Delta}{R} = 4\Delta$.

(D) माना टॉवर $AB$ की ऊँचाई $h$ है और जब सूर्य का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $x$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{AD} = \frac{h}{x}$. चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $h = x$ है।
$\triangle ABC$ में,छाया की लंबाई $AC = AD + DC = x + 60$ है। सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{x + 60}$.
$x = h$ रखने पर,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h + 60}$ प्राप्त होता है।
$h + 60 = h\sqrt{3}$.
$60 = h(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{60}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $h = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2} = 30(\sqrt{3} + 1) \ m$.

(B) एक वर्ग आव्यूह को अदिश आव्यूह कहा जाता है यदि उसके सभी विकर्ण तत्व एक स्थिरांक $k$ के बराबर हों और सभी गैर-विकर्ण तत्व शून्य हों।
यह दिया गया है कि $i \neq j$ के लिए $a_{ij} = 0$ और $i = j$ के लिए $a_{ij} = k$,यह परिभाषा अदिश आव्यूह की परिभाषा से पूरी तरह मेल खाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।