TS EAMCET 2001 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 2.05 \times 10^6 \ kg$
प्रारंभिक वेग $v_1 = 5 \ m/s$
अंतिम वेग $v_2 = 25 \ m/s$
समय $t = 5 \ minutes = 5 \times 60 = 300 \ s$
शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर के बराबर होती है:
$P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta KE}{t}$
$P = \frac{\frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)}{t}$
मान रखने पर:
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times (25^2 - 5^2)}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times (625 - 25)}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times \frac{2.05 \times 10^6 \times 600}{300}$
$P = \frac{1}{2} \times 2.05 \times 10^6 \times 2$
$P = 2.05 \times 10^6 \ W = 2.05 \ MW$

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 6 ~kg$,विस्थापन $s = \frac{t^2}{4} ~m$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} ~m/s$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} ~m/s^2$.
बल $F = m \times a = 6 \times \frac{1}{2} = 3 ~N$.
$t = 2 ~s$ पर,विस्थापन $s = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 ~m$.
किया गया कार्य $W = F \times s = 3 ~N \times 1 ~m = 3 ~J$.

(B) चरण $1$: एसिटिक एसिड की धात्विक सोडियम के साथ अभिक्रिया:
$2CH_3COOH + 2Na \rightarrow 2CH_3COONa + H_2 \uparrow$
यहाँ,$X$ सोडियम एसीटेट $(CH_3COONa)$ है।
चरण $2$: सोडालाइम $(NaOH + CaO)$ के साथ सोडियम एसीटेट का डीकार्बोक्सिलेशन:
$CH_3COONa + NaOH \xrightarrow{CaO, \Delta} CH_4 + Na_2CO_3$
यहाँ,$Y$ मीथेन $(CH_4)$ है।

(A) दिए गए द्रव्यमान: $m_1 = 20 \ g$,$m_2 = 30 \ g$,$m_3 = 50 \ g$।
वेग: $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \ m/s$,$\vec{v}_2 = 10 \hat{j} \ m/s$,$\vec{v}_3 = 10 \hat{k} \ m/s$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{20(10 \hat{i}) + 30(10 \hat{j}) + 50(10 \hat{k})}{20 + 30 + 50}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{200 \hat{i} + 300 \hat{j} + 500 \hat{k}}{100}$
$\vec{v}_{cm} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$

(C) $NH_3$ में $sp^3$ संकरण होता है और इसकी आकृति त्रिकोणीय पिरामिडीय होती है।
$BeCl_2$ रैखिक है और $SO_2$ मुड़ा हुआ ($V$-आकार) है।
$SF_6$ में $sp^3d^2$ संकरण होता है,जिससे अष्टफलकीय ज्यामिति प्राप्त होती है जहाँ सभी $F-S-F$ बंध कोण $90^{\circ}$ होते हैं।
$CO_2$ एक रैखिक अणु है जिसका शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण शून्य होता है।

(D) केंद्रीय परमाणु $Xe$ के पास $8$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
$XeF_4$ में,$Xe$ चार फ्लोरीन परमाणुओं के साथ $4$ एकल बंध बनाता है।
आबंधन के लिए उपयोग किए गए इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 4$ है।
शेष संयोजी इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 8 - 4 = 4$ है।
एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या $= \frac{4}{2} = 2$ है।
अतः,$XeF_4$ में $Xe$ पर $2$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म उपस्थित हैं।

(B) साम्य स्थिरांक $K_c$,अग्र वेग स्थिरांक $k_f$ और पश्च वेग स्थिरांक $k_b$ से इस प्रकार संबंधित है: $K_c = \frac{k_f}{k_b}$.
दिया गया है $K_c = 81$ और $k_f = 162 \ L \ mol^{-1} \ s^{-1}$.
मान रखने पर: $81 = \frac{162}{k_b}$.
$k_b$ के लिए हल करने पर: $k_b = \frac{162}{81} = 2 \ L \ mol^{-1} \ s^{-1}$.

(C) $Z = 12$ परमाणु क्रमांक वाले तत्व का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2$ है।
संयोजकता कोश $3$ है,इसलिए आवर्त $3$ है।
संयोजकता कोश में $2$ इलेक्ट्रॉन होने के कारण,यह समूह $II A$ (या आधुनिक आवर्त सारणी के अनुसार समूह $2$) में स्थित है।

(C) मुलिकन पैमाने के अनुसार,किसी तत्व की विद्युत ऋणात्मकता $(EN)$ को उसके आयनन विभव $(IP)$ और इलेक्ट्रॉन बंधुता $(EA)$ के औसत (अंकगणितीय माध्य) के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,इसे $EN = \frac{IP + EA}{2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(A) तत्व $A, B$ और $C$ क्रमशः लिथियम $(Li)$,सोडियम $(Na)$ और पोटेशियम $(K)$ हैं,जो आवर्त सारणी के समूह $1$ से संबंधित हैं।
जैसे-जैसे हम समूह में नीचे जाते हैं,नई कक्षाओं के जुड़ने के कारण परमाणु का आकार बढ़ता जाता है।
आयनन विभव परमाणु के आकार के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,जैसे-जैसे परमाणु का आकार $A$ से $C$ तक बढ़ता है,संयोजी इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा कम हो जाती है।
प्रथम आयनन विभव का सही क्रम $A > B > C$ है।

(D) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = (\cos \theta + i \sin \theta) = e^{i \theta}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = a \cdot r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$10$ वें पद के लिए,$n = 10$,अतः $T_{10} = 1 \cdot (e^{i \theta})^{10-1} = e^{i 9 \theta}$।
$\theta = \frac{\pi}{6}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$T_{10} = e^{i 9 (\frac{\pi}{6})} = e^{i \frac{3\pi}{2}}$।
यूलर के सूत्र $e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ का उपयोग करने पर:
$T_{10} = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

(C) $0, 2, 4, 6, 8$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $5$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता है।
$5$ अंकों का कुल क्रमचय $^5P_5 = 5! = 120$ है।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ शेष $4$ अंकों को अंतिम $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करके प्राप्त की जाती हैं,जो $^4P_4 = 4! = 24$ है।
अतः,$5$ अंकों की कुल संख्याएँ $120 - 24 = 96$ हैं।

(D) ओजोन परत का क्षरण मुख्य रूप से $Chloro-fluoro \ carbons$ $(CFCs)$ के उत्सर्जन के कारण होता है।
जब ये यौगिक वायुमंडल में छोड़े जाते हैं,तो ये समताप मंडल (stratosphere) में पहुँचते हैं जहाँ पराबैंगनी विकिरण द्वारा इनका विघटन होता है और क्लोरीन परमाणु मुक्त होते हैं।
ये क्लोरीन परमाणु फिर ओजोन $(O_3)$ अणुओं के ऑक्सीजन $(O_2)$ में विनाश को उत्प्रेरित करते हैं।

(D) हमारे पास है,$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 2$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = 2$.
$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2$.
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $2$ मान संभव नहीं है।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(C) रेखाएँ $x=1$ और $y=1$ बिंदु $B(1, 1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। रेखा $x+y=1$,$x=1$ को $A(1, 0)$ पर और $y=1$ को $C(0, 1)$ पर काटती है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 0)$,$B(1, 1)$,और $C(0, 1)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$a = BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2} = 1$
$b = CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$
$c = AB = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2} = 1$
अंतःकेंद्र $(I_x, I_y)$ के लिए:
$I_x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c} = \frac{1(1) + \sqrt{2}(1) + 1(0)}{1+\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$I_y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} = \frac{1(0) + \sqrt{2}(1) + 1(1)}{1+\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अंतःकेंद्र $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y-4=0$,$L_2: x-y+2=0$ और $L_3: y-2=0$ हैं।
ये तीन रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं।
त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त को अंतःवृत्त या बाह्यवृत्त कहा जाता है।
किसी भी त्रिभुज के लिए,ठीक $1$ अंतःवृत्त और $3$ बाह्यवृत्त होते हैं।
इसलिए,दी गई तीनों रेखाओं को स्पर्श करने वाले कुल $1+3=4$ वृत्त हैं।

(A) दी गई रेखाएँ $2x + 3y = 6$ और $2x + 3y = 8$ हैं।
ये रेखाएँ $X$-अक्ष को क्रमशः $A(3, 0)$ और $B(4, 0)$ पर काटती हैं।
रेखा $L$ बिंदु $(2, 2)$ से होकर गुजरती है और $X$-अक्ष को $C(x_1, 0)$ पर काटती है,इस प्रकार कि $A, B$ और $C$ के $x$-निर्देशांक समांतर श्रेणी में हैं,अर्थात $3, 4, x_1$।
चूँकि वे समांतर श्रेणी में हैं,$2 \times 4 = 3 + x_1$,जिससे $x_1 = 8 - 3 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$C$ के निर्देशांक $(5, 0)$ हैं।
बिंदुओं $(2, 2)$ और $(5, 0)$ से होकर जाने वाली रेखा $L$ का समीकरण है:
$y - 0 = \frac{0 - 2}{5 - 2}(x - 5)$
$y = \frac{-2}{3}(x - 5)$
$3y = -2x + 10$
$2x + 3y = 10$

(D) $2$-methyl-$2$-butene का $IUPAC$ नाम इंगित करता है कि इसमें $4$-कार्बन की श्रृंखला है,जिसमें $2$-रे स्थान पर द्वि-आबंध और $2$-रे स्थान पर मिथाइल समूह है।
इसकी संरचना $CH_3-CH=C(CH_3)-CH_3$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) क्रियात्मक समावयवी वे यौगिक होते हैं जिनका आणविक सूत्र समान होता है लेकिन क्रियात्मक समूह भिन्न होते हैं।
विकल्प $(D)$ में,पहला यौगिक $CH_3CH_2CH_2OH$ (प्रोपेन$-1-$ऑल) है,जिसमें अल्कोहल $(-OH)$ क्रियात्मक समूह है।
दूसरा यौगिक $CH_3OCH_2CH_3$ (मेथॉक्सीएथेन) है,जिसमें ईथर $(-O-)$ क्रियात्मक समूह है।
चूंकि उनका आणविक सूत्र समान $(C_3H_8O)$ है लेकिन क्रियात्मक समूह अलग हैं,इसलिए वे क्रियात्मक समावयवी हैं।

(A) माना कि दो भाग $m_1 = xM$ और $m_2 = (1-x)M$ हैं।
न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर उनके बीच का बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \frac{G}{r^2} (xM)(1-x)M = \frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)$।
बल $F$ को अधिकतम होने के लिए,$x$ के सापेक्ष $F$ का अवकलन शून्य होना चाहिए: $\frac{dF}{dx} = 0$।
$\frac{d}{dx} [\frac{GM^2}{r^2} (x - x^2)] = 0$।
चूंकि $\frac{GM^2}{r^2}$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{d}{dx} (x - x^2) = 0$।
$1 - 2x = 0$।
$2x = 1$,जिससे $x = 1/2$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. $C_2 H_2$ (एसिटिलीन) की $500^{\circ}C$ पर लाल गर्म लोहे की नली के साथ अभिक्रिया एक चक्रीय बहुलकीकरण अभिक्रिया है जो $C_6 H_6$ (बेंजीन) उत्पन्न करती है। अतः,$A = C_6 H_6$.
$2$. बेंजीन $(A)$ की $70^{\circ}C$ पर सांद्र $HNO_3$ और सांद्र $H_2 SO_4$ के मिश्रण के साथ अभिक्रिया नाइट्रीकरण है,जो $C_6 H_5 NO_2$ (नाइट्रोबेंजीन) उत्पन्न करती है। अतः,$B = C_6 H_5 NO_2$.
$3$. $LiAlH_4$ के साथ नाइट्रोबेंजीन $(B)$ का अपचयन करने पर एज़ोबेंजीन $(C_6 H_5-N=N-C_6 H_5)$ प्राप्त होता है।
$4$. इस प्रकार,$A = C_6 H_6$ और $B = C_6 H_5 NO_2$ है।

(C) बंध वियोजन ऊर्जा बंध की लंबाई पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे हैलोजन परमाणु का आकार $F$ से $Br$ तक बढ़ता है,बंध की लंबाई बढ़ती है,जिससे बंध वियोजन ऊर्जा कम हो जाती है।
परमाणु आकार का क्रम $F < Cl < Br$ है।
इसलिए,बंध की लंबाई का क्रम $H-F < H-Cl < H-Br$ है।
परिणामस्वरूप,बंध वियोजन ऊर्जा का क्रम $HF > HCl > HBr$ है।

(A) अपचायक वह पदार्थ है जो दूसरे का अपचयन करता है और स्वयं ऑक्सीकृत हो जाता है। अभिक्रिया $PbO_{2(s)} + H_2O_{2(aq)} \longrightarrow PbO_{(s)} + H_2O_{(l)} + O_{2(g)}$ में,$H_2O_2$ में ऑक्सीजन की ऑक्सीकरण अवस्था $-1$ से बदलकर $0$ ($O_2$ में) हो जाती है,जो ऑक्सीकरण को दर्शाता है। अतः,इस अभिक्रिया में $H_2O_2$ एक अपचायक के रूप में कार्य करता है। अन्य विकल्पों $(B, C, D)$ में,$H_2O_2$ ऑक्सीकारक के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह $H_2O$ में अपचयित हो जाता है।

(A) जल की कठोरता को दूर करने के लिए $Calgon$ प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। $Calgon$ सोडियम हेक्सामेटाफॉस्फेट,$Na_2[Na_4(PO_3)_6]$ का व्यापारिक नाम है,जो $Ca^{2+}$ और $Mg^{2+}$ आयनों के साथ घुलनशील संकुल बनाकर उन्हें दूर करता है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $x^2-y^2=8$ है।
अतिपरवलय $x^2-y^2=a^2$ के अनंतस्पर्शी $x^2-y^2=0$ द्वारा दिए जाते हैं,जिसका अर्थ है $x-y=0$ और $x+y=0$।
मान लीजिए $P(x, y)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है।
बिंदु $P(x, y)$ से रेखा $x-y=0$ पर लंब की लंबाई $d_1 = \frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$ है।
बिंदु $P(x, y)$ से रेखा $x+y=0$ पर लंब की लंबाई $d_2 = \frac{|x+y|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$ है।
लंब की लंबाइयों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}} \times \frac{|x+y|}{\sqrt{2}} = \frac{|x^2-y^2|}{2}$ है।
चूंकि बिंदु अतिपरवलय $x^2-y^2=8$ पर स्थित है,मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{8}{2} = 4$।

(A) चूंकि $f(x)$,$x = 5$ पर सतत है,इसलिए $f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} f(x)$ होगा।
सबसे पहले,हम अंश और हर का गुणनखंड करते हैं:
$f(x) = \frac{x^2-10x+25}{x^2-7x+10} = \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x-2)}$.
$x \neq 5$ के लिए,हम उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-5)$ को काटकर व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$f(x) = \frac{x-5}{x-2}$.
अब,$x \rightarrow 5$ के लिए सीमा (limit) की गणना करते हैं:
$f(5) = \lim_{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x-2} = \frac{5-5}{5-2} = \frac{0}{3} = 0$.

(C) दिया गया है कि,$u=e^{x^2-y^2}$.
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $u$ का आंशिक अवकलन ज्ञात करते हैं:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(2x)$.
इसे $y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y u_x = 2xy e^{x^2-y^2} \quad (i)$.
इसके बाद,हम $y$ के सापेक्ष $u$ का आंशिक अवकलन ज्ञात करते हैं:
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(-2y)$.
इसे $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x u_y = -2xy e^{x^2-y^2} \quad (ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$y u_x + x u_y = 2xy e^{x^2-y^2} - 2xy e^{x^2-y^2} = 0$.

(B) माना $y = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1} x$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta$.
$\theta$ का मान वापस रखने पर:
$y = 3\sin^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$.

(C) दिया गया फलन $u(x, y) = x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ है।
यह $n = 1 + 2 = 3$ घात वाला एक समघाती फलन है क्योंकि $u(tx, ty) = (tx)(ty)^2 \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right) = t^3 x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = t^3 u(x, y)$ है।
समघाती फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,यदि $u$,$x$ और $y$ में $n$ घात का एक समघाती फलन है,तो $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n u$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है।
अतः,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 u$ होगा।

(A) बफर विलयन एक दुर्बल अम्ल और प्रबल क्षार के साथ उसके लवण,या एक दुर्बल क्षार और प्रबल अम्ल के साथ उसके लवण के मिश्रण से बनता है।
जब $1 \ M \ CH_3COOH$ और $0.5 \ M \ NaOH$ को समान आयतन में मिलाया जाता है,तो अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$CH_3COOH + NaOH \longrightarrow CH_3COONa + H_2O$.
चूंकि $CH_3COOH$ की सांद्रता $(1 \ M)$ $NaOH$ $(0.5 \ M)$ की तुलना में दोगुनी है,अभिक्रिया के बाद $0.5 \ M \ CH_3COOH$ शेष रहता है और $0.5 \ M \ CH_3COONa$ बनता है।
यह दुर्बल अम्ल $(CH_3COOH)$ और उसके लवण $(CH_3COONa)$ का मिश्रण एक अम्लीय बफर के रूप में कार्य करता है।

(A) अम्लीय बफर के लिए हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण का उपयोग करते हुए:
$pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
दिया गया है $pH = 5.8$ और $pK_a = 4.8$:
$5.8 = 4.8 + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
$\log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]} = 5.8 - 4.8 = 1.0$
दोनों पक्षों का एंटीलॉग लेने पर:
$\frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]} = 10^1 = 10$
अतः,$\frac{[\text{acid}]}{[\text{salt}]} = \frac{1}{10} = 0.1$.

(D) माना सिलेंडर की कुल लंबाई $L$ है। प्रारंभ में,पिस्टन मध्य में है,इसलिए प्रत्येक तरफ की लंबाई $l = L/2$ है।
चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर $V \propto T$,जिसका अर्थ है कि समान अनुप्रस्थ काट वाले सिलेंडर के लिए $l \propto T$ है।
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 ~K$ है और गर्म की गई तरफ का अंतिम तापमान $T_2 = 100^{\circ} C = 373 ~K$ है।
जब पिस्टन $5 ~cm$ खिसकता है,तो गर्म तरफ की लंबाई $(l + 5)$ हो जाती है और दूसरी तरफ की लंबाई $(l - 5)$ हो जाती है।
अनुपात लागू करने पर: $\frac{l+5}{l-5} = \frac{373}{273}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(l+5) + (l-5)}{(l+5) - (l-5)} = \frac{373 + 273}{373 - 273}$.
$\frac{2l}{10} = \frac{646}{100}$.
$2l = 64.6 ~cm$.
चूंकि सिलेंडर की कुल लंबाई $L = 2l$ है,इसलिए कुल लंबाई $64.6 ~cm$ है।

(C) जब किसी कण को नत समतल पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण का समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला घटक और घर्षण बल दोनों गति की विपरीत दिशा में कार्य करते हैं।
समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $F = mg \sin \theta + f_k$ है,जहाँ $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = -(mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta)$।
मंदक त्वरण (deceleration) का परिमाण $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ और $\mu = 0.5 = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$।
$a = g\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$।
$a = g\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) = g\left(\frac{2+1}{2\sqrt{2}}\right) = \frac{3g}{2\sqrt{2}}$।

(D) दिया गया है: भार $W = 64 ~N$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0.6$,गतिक घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.4$ है।
गति शुरू करने के लिए,लगाया गया बल $F$ सीमांत घर्षण के बराबर होना चाहिए: $F = \mu_s N = \mu_s W$ है।
मान रखने पर: $F = 0.6 \times 64 ~N = 38.4 ~N$ है।
एक बार जब वस्तु गति में आ जाती है,तो उस पर कार्य करने वाला गतिक घर्षण $f_k = \mu_k N = \mu_k W$ है।
मान रखने पर: $f_k = 0.4 \times 64 ~N = 25.6 ~N$ है।
वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = (\mu_s - \mu_k) W$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$,जहाँ $m = \frac{W}{g}$ है।
अतः,$(\mu_s - \mu_k) W = \frac{W}{g} \times a$ है।
$a = (\mu_s - \mu_k) g$ है।
$a = (0.6 - 0.4) g = 0.2 ~g$ है।

(D) दिया गया है कि $y = \cos(\sin x)$.
प्रथम अवकलज $y_1 = \frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x) \cdot \cos x$.
द्वितीय अवकलज $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[-\sin(\sin x) \cdot \cos x]$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $y_2 = -[\cos(\sin x) \cdot \cos x \cdot \cos x + \sin(\sin x) \cdot (-\sin x)]$.
$y_2 = -\cos(\sin x) \cos^2 x + \sin(\sin x) \sin x$.
अब,$y_1 \sin x + y_2 \cos x$ की गणना करें:
$y_1 \sin x + y_2 \cos x = [-\sin(\sin x) \cos x] \sin x + [-\cos(\sin x) \cos^2 x + \sin(\sin x) \sin x] \cos x$.
$= -\sin(\sin x) \sin x \cos x - \cos(\sin x) \cos^3 x + \sin(\sin x) \sin x \cos x$.
$= -\cos(\sin x) \cos^3 x$.
चूंकि $y = \cos(\sin x)$,इसलिए यह पद $-y \cos^3 x$ के बराबर है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2}{x+a}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x) = \frac{(x+a)(2x) - x^2(1)}{(x+a)^2} = \frac{2x^2 + 2ax - x^2}{(x+a)^2} = \frac{x^2 + 2ax}{(x+a)^2}$.
अब,$f^{\prime}(x)$ का पुनः अवकलन करने पर $f^{\prime \prime}(x)$ प्राप्त होता है:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{(x+a)^2(2x + 2a) - (x^2 + 2ax)(2(x+a))}{(x+a)^4}$
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{(x+a)(2x + 2a) - 2(x^2 + 2ax)}{(x+a)^3} = \frac{2x^2 + 4ax + 2a^2 - 2x^2 - 4ax}{(x+a)^3} = \frac{2a^2}{(x+a)^3}$.
$x = a$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(a) = \frac{2a^2}{(a+a)^3} = \frac{2a^2}{(2a)^3} = \frac{2a^2}{8a^3} = \frac{1}{4a}$.

(A) दिया गया फलन: $y = A \cos n x + B \sin n x$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -A n \sin n x + B n \cos n x$.
अब,द्वितीय अवकलज $y_2$ प्राप्त करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = -A n^2 \cos n x - B n^2 \sin n x$.
$-n^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$y_2 = -n^2 (A \cos n x + B \sin n x)$.
चूंकि $y = A \cos n x + B \sin n x$,हम समीकरण में $y$ का मान रख सकते हैं:
$y_2 = -n^2 y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$y_2 + n^2 y = 0$.

(D) हम खंडशः समाकलन (Integration by parts) के सूत्र का उपयोग करेंगे: $\int u v d x = u \int v d x - \int (u' \int v d x) d x$.
माना $u = (x+1)^2$ और $v = e^x$.
तब $u' = 2(x+1)$ और $\int v d x = e^x$.
सूत्र लागू करने पर:
$\int(x+1)^2 e^x d x = (x+1)^2 e^x - \int 2(x+1) e^x d x$.
अब,$\int (x+1) e^x d x$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int (x+1) e^x d x = (x+1) e^x - \int 1 \cdot e^x d x = (x+1) e^x - e^x$.
इस मान को वापस रखने पर:
$= (x+1)^2 e^x - 2[(x+1) e^x - e^x] + C$
$= (x^2+2x+1) e^x - 2x e^x - 2 e^x + 2 e^x + C$
$= (x^2+2x+1-2x) e^x + C$
$= (x^2+1) e^x + C$.

(A) उप-स्पर्शज्या (sub-tangent) की लंबाई का सूत्र $y \cdot \frac{dx}{dy}$ है।
दिया गया है कि उप-स्पर्शज्या भुज $(x)$ का दोगुना है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$y \cdot \frac{dx}{dy} = 2x$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dx}{x} = 2 \frac{dy}{y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{x} dx = 2 \int \frac{1}{y} dy$
$\ln|x| = 2 \ln|y| + \ln|C|$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर:
$\ln|x| = \ln|y^2| + \ln|C|$
$\ln|x| = \ln|C y^2|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = C y^2$

(B) माना कि राशि $X = \frac{L}{T^2}$ है।
$X$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $L$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ है और $T$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 2 \%$ है।
$X$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta X}{X} \times 100 = \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ होगी।
दिए गए मानों को रखने पर: $\text{प्रतिशत त्रुटि} = 3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$.

(B) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है।
भुजा $a$ वाले वर्ग के विकर्ण की लंबाई $d = a\sqrt{2}$ होती है।
दिए गए दो बिंदुओं $(1, -2, 3)$ और $(2, -3, 5)$ के बीच की दूरी विकर्ण की लंबाई $d$ है।
$d = \sqrt{(2-1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5-3)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$d = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
चूंकि $d = a\sqrt{2}$,इसलिए:
$a\sqrt{2} = \sqrt{6}$
$a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$
अतः,वर्ग की भुजा की लंबाई $\sqrt{3}$ है।

(D) हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक्-कोसाइन इस संबंध को संतुष्ट करते हैं: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ रेखा द्वारा $X, Y,$ और $Z$-अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$।
मुख्य मान को ध्यान में रखते हुए,$\cos \gamma = \frac{1}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$,जिससे $\gamma = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि $C$ के जीतने की प्रायिकता $P(C) = p$ है।
प्रश्न के अनुसार,$B$ के जीतने की प्रायिकता $P(B) = 2p$ है।
$A$ के जीतने की प्रायिकता $P(A) = 2 \times P(B) = 2(2p) = 4p$ है।
चूंकि उनमें से कोई एक अवश्य जीतेगा,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होगा:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$4p + 2p + p = 1$
$7p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{7}$।
अतः,$A$ के जीतने की प्रायिकता $P(A) = 4p = \frac{4}{7}$ है।
$A$ के हारने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ है।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $X$ दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग है। $X$ के लिए संभावित मान $2$ से $12$ तक हैं।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए परिणामों की संख्या इस प्रकार है:
- $X=2$: $(1,1) \rightarrow 1$ परिणाम
- $X=3$: $(1,2), (2,1) \rightarrow 2$ परिणाम
- $X=5$: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \rightarrow 4$ परिणाम
- $X=7$: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \rightarrow 6$ परिणाम
- $X=11$: $(5,6), (6,5) \rightarrow 2$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(A) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ में कुल अवयवों की संख्या $n(S) = 100$ है।
एक संख्या पूर्ण घन होती है यदि वह किसी पूर्णांक $k$ के लिए $k^3$ के रूप में हो।
दिए गए समुच्चय में पूर्ण घन संख्याएँ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,और $4^3 = 64$ हैं। ध्यान दें कि $5^3 = 125$,जो $100$ से अधिक है।
अतः,अनुकूल परिणामों का समुच्चय $A = \{1, 8, 27, 64\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ है।

(B) माना पानी की सतह से छेद की गहराई $x$ है। जमीन से छेद की ऊंचाई $(h - x + H)$ होगी।
बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gx}$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2(h - x + H)}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \cdot t = \sqrt{2gx} \cdot \sqrt{\frac{2(h - x + H)}{g}} = 2\sqrt{x(h + H - x)}$ है।
अधिकतम परास के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $f(x) = x(h + H - x) = x(h + H) - x^2$ अधिकतम होना चाहिए।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने और उसे शून्य के बराबर रखने पर: $\frac{df}{dx} = (h + H) - 2x = 0$।
अतः,$x = \frac{h + H}{2}$।

(A) दिया गया है: व्यास $d = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}$,अतः त्रिज्या $r = 0.04 \text{ m} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$.
लंबाई $l = 3140 \text{ m}$.
प्रवाह दर $Q = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s}$.
श्यानता $\eta = 10^{-3} \text{ SI units}$.
पाइप में लामिनार प्रवाह के लिए पॉइज़ुइल के समीकरण के अनुसार:
$Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
दबाव अंतर $P$ के लिए सूत्र:
$P = \frac{8 \eta l Q}{\pi r^4}$
मान रखने पर:
$P = \frac{8 \times 10^{-3} \times 3140 \times 2 \times 10^{-3}}{3.14 \times (4 \times 10^{-2})^4}$
$P = \frac{16 \times 3140 \times 10^{-6}}{3.14 \times 256 \times 10^{-8}}$
$P = \frac{16 \times 1000 \times 10^{-6}}{256 \times 10^{-8}} = \frac{16000 \times 10^2}{256} = \frac{1600000}{256} = 6250 \text{ N/m}^2$
$P = 6.25 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(A) दिया गया है: बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 1 ~cm = 10^{-2} ~m$,छोटी बूंदों की संख्या $n = 10^6$,पृष्ठ तनाव $T = 460 \times 10^{-3} ~N/m$ है।
आयतन का संरक्षण: $n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies r^3 = \frac{R^3}{n} \implies r = \frac{R}{n^{1/3}}$.
$n = 10^6$ के लिए,$r = \frac{R}{(10^6)^{1/3}} = \frac{R}{10^2} = 10^{-2} R$.
व्यय की गई ऊर्जा $W = T \times \Delta A = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) = 4 \pi T (n r^2 - R^2)$.
$r = R/100$ रखने पर: $W = 4 \pi T (n \frac{R^2}{10^4} - R^2) = 4 \pi R^2 T (\frac{n}{10^4} - 1)$.
चूंकि $n = 10^6$,$W = 4 \pi R^2 T (10^2 - 1) = 4 \pi R^2 T (99)$.
गणना: $W = 4 \times 3.14 \times (10^{-2})^2 \times 460 \times 10^{-3} \times 99$.
$W = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 460 \times 10^{-3} \times 99 \approx 0.057 ~J$.

(C) माना झील की गहराई $h$ है। वायुमंडलीय दबाव $P_0$,$H = 10 \ m$ ऊंचे पानी के स्तंभ के बराबर है।
झील की तली पर,दबाव $P_1 = P_0 + h \rho g = (H + h) \rho g$ है।
सतह पर,दबाव $P_2 = P_0 = H \rho g$ है।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
यहाँ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ और $V_2 = \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$ है।
मान रखने पर: $(H + h) \rho g \times \frac{4}{3} \pi r^3 = H \rho g \times \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$।
$(10 + h) = 10 \times (\frac{5}{4})^3$।
$10 + h = 10 \times \frac{125}{64} = \frac{1250}{64} = 19.53125$।
$h = 19.53125 - 10 = 9.53125 \ m \approx 9.53 \ m$।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे पिंड की $d$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k d^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = m \omega^2$ बल नियतांक है।
दिया है:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ विस्थापन पर,स्थितिज ऊर्जा $E$ है:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} (x+y)$
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} \left( \sqrt{\frac{2 E_1}{k}} + \sqrt{\frac{2 E_2}{k}} \right)$
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k} \cdot \sqrt{\frac{2}{k}} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{\frac{1}{2} k \cdot \frac{2}{k}} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{1} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})$
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$