TS EAMCET 2001 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.
તેથી $hA = \begin{bmatrix} 0 & 2h \\ 3h & -4h \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $hA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $-4h = 24 \implies h = -6$.
$2$) $2h = 3a \implies 2(-6) = 3a \implies -12 = 3a \implies a = -4$.
$3$) $3h = 2b \implies 3(-6) = 2b \implies -18 = 2b \implies b = -9$.
આમ,$h, a, b$ ની કિંમતો અનુક્રમે $-6, -4, -9$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક:
$\left|\begin{array}{cc}1-i & i \\ 1+2 i & -i\end{array}\right| = (1-i)(-i) - (i)(1+2i)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (-i + i^2) - (i + 2i^2)$
કારણ કે $i^2 = -1$:
$= (-i - 1) - (i - 2)$
$= -i - 1 - i + 2$
$= 1 - 2i$
આને $x + iy$ સાથે સરખાવતા:
$x + iy = 1 - 2i$
તેથી,$x = 1$ અને $y = -2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$AB$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$AB = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (-2)(0) + (2)(1) & (-2)(-1) + (2)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 2 & 2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.

(C) ધારો કે $\theta = \tan ^{-1} 2$,તેથી $\tan \theta = 2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$.
તેથી,$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$.
ધારો કે $\phi = \cot ^{-1} 3$,તેથી $\cot \phi = 3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^2 \phi = 1 + \cot ^2 \phi$.
તેથી,$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા,આપણને $5 + 10 = 15$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\theta = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$.
તેથી,$\sinh \theta = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 \theta = 1 + \sinh^2 \theta$.
$\sinh \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cosh^2 \theta = 1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2+x^2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.
તેથી,$\cosh \theta = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (ધન વર્ગમૂળ લેતા કારણ કે $\cosh \theta > 0$).
હવે,$\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{x/\sqrt{1-x^2}}{1/\sqrt{1-x^2}} = x$.
આમ,$\theta = \tanh^{-1} x$.
તેથી,$\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \tanh^{-1} x$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = (20 - x^4)^{1/4}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $f(1/2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(1/2) = (20 - (1/2)^4)^{1/4} = (20 - 1/16)^{1/4} = ((320 - 1)/16)^{1/4} = (319/16)^{1/4}$.
હવે,આપણે $f(f(1/2)) = f((319/16)^{1/4})$ ની ગણતરી કરીએ:
$f((319/16)^{1/4}) = (20 - ((319/16)^{1/4})^4)^{1/4}$.
$= (20 - 319/16)^{1/4}$.
$= ((320 - 319)/16)^{1/4}$.
$= (1/16)^{1/4}$.
$= (1/2^4)^{1/4} = 1/2 = 2^{-1}$.

(C) આપેલ છે કે $x = \log_{0.1} 0.001$. કારણ કે $0.001 = (0.1)^3$,તેથી $x = \log_{0.1} (0.1)^3 = 3 \log_{0.1} 0.1 = 3(1) = 3$.
આપેલ છે કે $y = \log_9 81$. કારણ કે $81 = 9^2$,તેથી $y = \log_9 9^2 = 2 \log_9 9 = 2(1) = 2$.
હવે,આપણે $\sqrt{x - 2\sqrt{y}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ મળે છે.
આપણે $3 - 2\sqrt{2}$ ને $(\sqrt{2})^2 + 1^2 - 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} - 1)^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\sqrt{x - 2\sqrt{y}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $6y = 7 - x^3$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{6} = -\frac{x^2}{2}$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $m$ છે:
$m = -\frac{(1)^2}{2} = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = -(x - 1)$
$2y - 2 = -x + 1$
$x + 2y = 3$.

(C) ધારો કે $M = xy$.
આપેલ છે કે $x+y = 7$,તેથી $y = 7-x$.
$M$ માં $y$ ની કિંમત મુકતા,આપણને મળે $M = x(7-x) = 7x - x^2$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$M$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dM}{dx} = 7 - 2x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે,$\frac{dM}{dx} = 0$ લેતા,$7 - 2x = 0$,તેથી $x = \frac{7}{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન કરતા: $\frac{d^2M}{dx^2} = -2$.
અહીં $\frac{d^2M}{dx^2} < 0$ હોવાથી,વિધેય $M$ ની કિંમત $x = \frac{7}{2}$ આગળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ કિંમત $M = \frac{7}{2}(7 - \frac{7}{2}) = \frac{7}{2}(\frac{7}{2}) = \frac{49}{4}$ થાય.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x}(x+9)}$.
$x = t^2$ આદેશ લેતા,$dx = 2t \, dt$ મળે.
આથી સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{2t \, dt}{t(t^2 + 9)} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 + 3^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \cdot \frac{1}{3} \tan^{-1} \left(\frac{t}{3}\right) + C$.
હવે $t = \sqrt{x}$ મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{x}}{3}\right) + C$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ મેળવવા માટે,અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \tan^2 x + b^2}$
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x dx$:
$I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}\left(\frac{x}{k}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b/a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{b/a}\right) + C$
$I = \frac{1}{ab} \tan^{-1}\left(\frac{a \tan x}{b}\right) + C$

(NONE OF THE ABOVE) સંકલન $\int_{-2}^1 f(x) dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંકલનને $x=0$ આગળ વિભાજિત કરીશું કારણ કે આ બિંદુએ વિધેયની વ્યાખ્યા બદલાય છે.
$\int_{-2}^1 f(x) dx = \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_0^1 f(x) dx$
દરેક અંતરાલ માટે $f(x)$ ની આપેલી વ્યાખ્યાઓ મૂકતા:
$= \int_{-2}^0 (1-2x) dx + \int_0^1 (1+2x) dx$
હવે,દરેક ભાગનું સંકલન કરતા:
$= [x - x^2]_{-2}^0 + [x + x^2]_0^1$
નિશ્ચિત સંકલનની કિંમત શોધતા:
$= (0 - 0) - (-2 - (-2)^2) + (1 + 1^2) - (0 + 0^2)$
$= 0 - (-2 - 4) + (1 + 1) - 0$
$= -(-6) + 2 = 6 + 2 = 8$

(D) અહીં આપણે નિશ્ચિત સંકલન માટે વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું: $\int_0^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)\dots] \times [(n-1)(n-3)\dots]}{(m+n)(m+n-2)\dots} \times \frac{\pi}{2}$ (જ્યારે $m$ અને $n$ બંને બેકી સંખ્યા હોય).
અહીં $m=8$ અને $n=2$ છે,જે બંને બેકી સંખ્યાઓ છે.
$\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \cos^2 x \, dx = \frac{(7 \times 5 \times 3 \times 1) \times (1)}{(10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2)} \times \frac{\pi}{2}$
$= \frac{105}{3840} \times \frac{\pi}{2}$
$= \frac{105 \pi}{7680}$
અંશ અને છેદને $15$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{7 \pi}{512}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x$.
અહીં વિધેય $f(x) = a x^3 + b x$ એ અયુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 + b x) = -f(x)$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^a f(x) d x = 0$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) d x = \left[ a \frac{x^4}{4} + b \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1$
$= \left( \frac{a(1)^4}{4} + \frac{b(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{a(-1)^4}{4} + \frac{b(-1)^2}{2} \right)$
$= \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) - \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) = 0$.
આ પરિણામ $a$ અને $b$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.

(C) $n$ અંતરાલ અને $h$ પહોળાઈ માટે ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\int_{x_1}^{x_n} y \, dx \approx \frac{h}{2} [y_1 + 2(y_2 + y_3 + \dots + y_{n-1}) + y_n]$
અહીં,કિંમતો $x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4$ છે,તેથી અંતરાલની પહોળાઈ $h = x_{i+1} - x_i = 1$ છે.
તેને અનુરૂપ $y$ ની કિંમતો $y_1=0.7111, y_2=0.7222, y_3=0.7333, y_4=0.7444$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2(0.7222 + 0.7333) + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2(1.4555) + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [0.7111 + 2.9110 + 0.7444]$
$\int_1^4 y \, dx \approx \frac{1}{2} [4.3665]$
$\int_1^4 y \, dx \approx 2.18325 \approx 2.1833$

(C) આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x^2 = 8y$ $(i)$
$x = 4$ (ii)
$y = 0$ ($X$-અક્ષ) (iii)
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x=0$ થી $x=4$ સુધી $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} y \, dx$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$y = \frac{x^2}{8}$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} \frac{x^2}{8} \, dx$
$= \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$= \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$= \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} \right)$
$= \frac{8}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) બે પ્રિઝમને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે જેથી વિચલન વગરનું વિભાજન (achromatic combination) મળે, તો કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $d$ છે અને બીજા પ્રિઝમ દ્વારા $d^{\prime}$ છે.
શૂન્ય કુલ વિચલન માટેની શરત $d + d^{\prime} = 0$ છે.
વિચલન $d = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિભાજન શક્તિ $\omega = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu - 1}$ છે.
વિચલન વગરના વિભાજન માટેની શરત $\omega d + \omega^{\prime} d^{\prime} = 0$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 60^{\circ}$,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 30^{\circ}$.
પ્રવાહીની સાપેક્ષે પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $(\mu)$ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = 1/\mu$ છે.
$\sin C = 1/\sqrt{2}$
$C = \sin^{-1}(1/\sqrt{2}) = 45^{\circ}$.

(A) પ્રવાહી એમોનિયામાં સોડિયમ $(Na/NH_3(l))$ એ બર્ચ રિડક્શન માટે વપરાતું જાણીતું પ્રક્રિયક છે.
તે એક શક્તિશાળી રિડક્શન કરતા તરીકે કાર્ય કરે છે,જેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે આલ્કાઈન્સનું ટ્રાન્સ-આલ્કીન્સમાં અને એરોમેટિક વલયોનું $1,4$-સાયક્લોહેક્સાડાયન્સમાં રિડક્શન કરવા માટે થાય છે.

(B) $NH_4NO_3$ એ $NH_4^{+}$ અને $NO_3^{-}$ આયનોનું બનેલું છે.
એમોનિયમ આયન $(NH_4^{+})$ માટે: ધારો કે $N$ નો ઓક્સિડેશન આંક $x$ છે. તેથી $x + 4(+1) = +1$,જે $x = -3$ આપે છે.
નાઈટ્રેટ આયન $(NO_3^{-})$ માટે: ધારો કે $N$ નો ઓક્સિડેશન આંક $x$ છે. તેથી $x + 3(-2) = -1$,જે $x - 6 = -1$ આપે છે,તેથી $x = +5$.
આમ,નાઈટ્રોજનના ઓક્સિડેશન આંક $-3$ અને $+5$ છે.

(A) આપેલ છે: $\Delta I_c = 8.2 ~mA$ અને $\Delta I_e = 8.3 ~mA$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર પ્રવાહ એ કલેક્ટર પ્રવાહ અને બેઝ પ્રવાહનો સરવાળો છે: $\Delta I_e = \Delta I_c + \Delta I_b$.
તેથી,બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_b = \Delta I_e - \Delta I_c = 8.3 ~mA - 8.2 ~mA = 0.1 ~mA$ થાય.
ફોરવર્ડ કરંટ ગેઈન (અથવા કરંટ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર $\beta$) એ કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો ગુણોત્તર છે:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b} = \frac{8.2 ~mA}{0.1 ~mA} = 82$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dx + y dy = x^2 y dy - x y^2 dx$
$x$ અને $y$ ચલને અલગ પાડતા:
$x dx + x y^2 dx = x^2 y dy - y dy$
$x(1 + y^2) dx = y(x^2 - 1) dy$
ચલ વિયોજનની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{x^2 - 1} dx = \frac{y}{1 + y^2} dy$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{2x}{x^2 - 1} dx = \frac{2y}{1 + y^2} dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx = \int \frac{2y}{1 + y^2} dy$
$\ln|x^2 - 1| = \ln|1 + y^2| + \ln C$
$\ln|x^2 - 1| = \ln|C(1 + y^2)|$
તેથી,$x^2 - 1 = C(1 + y^2)$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = e^x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot e^x = \int e^x \cdot e^x dx + C$.
$y e^x = \int e^{2x} dx + C$.
$y e^x = \frac{e^{2x}}{2} + C$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2ye^x = e^{2x} + 2C$ મળે.
અહીં $2C$ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક હોવાથી,આપણે તેને $C$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,$2ye^x = e^{2x} + C$.

(C) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} + 4 \hat{j}$,$b = 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$ (સુધારેલ),અને $c = 5 \hat{i} + 9 \hat{j}$ છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $3 a + b$.
$3 a + b = 3(\hat{i} + 4 \hat{j}) + (2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
$= 3 \hat{i} + 12 \hat{j} + 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$
$= (3 + 2) \hat{i} + (12 - 3) \hat{j}$
$= 5 \hat{i} + 9 \hat{j} = c$.

(B) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}$ અને $b = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સરવાળો $(a+b)$ શોધીએ:
$a+b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}$.
ત્યારબાદ,આપણે તફાવત $(a-b)$ શોધીએ:
$a-b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) - (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}$.
કારણ કે $(a+b)$ અને $(a-b)$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a+b) \cdot (a-b) = 0$.
$(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}) = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(2)(0) + (3)(-1) + (t+3)(t-3) = 0$.
$0 - 3 + (t^2 - 9) = 0$.
$t^2 - 12 = 0$.
$t^2 = 12$.
$t = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(D) આપેલ છે કે,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$.
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$
બંને બાજુ $|\vec{a}||\vec{b}|$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે સદિશો શૂન્યતર છે):
$|\sin \theta| = |\cos \theta|$
$|\tan \theta| = 1$
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,$0 \le \theta \le \pi$.
તેથી,$\tan \theta = 1$ નો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ધારો કે વિકર્ણના શિરોબિંદુઓ $B = (1, -2, 3)$ અને $D = (2, -3, 5)$ છે.
વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$BD = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5 - 3)^2}$
$BD = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$BD = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
ચોરસમાં,બાજુ $a$ અને વિકર્ણ $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$a\sqrt{2} = \sqrt{6}$.
$a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$.
આમ,બાજુની લંબાઈ $\sqrt{3}$ છે.

(C) ધારો કે $N$ એ બિંદુ $P(0,2,3)$ માંથી આપેલી રેખા પરનો લંબપાદ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=r$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ સામાન્ય બિંદુ $N$ એ $(5r-3, 2r+1, 3r-4)$ સ્વરૂપમાં મળે.
રેખા $PN$ ના દિકગુણોત્તર $(5r-3-0, 2r+1-2, 3r-4-3)$ એટલે કે $(5r-3, 2r-1, 3r-7)$ થાય.
$PN$ એ આપેલી રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(5, 2, 3)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5r-3) + 2(2r-1) + 3(3r-7) = 0$.
$25r - 15 + 4r - 2 + 9r - 21 = 0$.
$38r - 38 = 0$.
$r = 1$.
$r=1$ ની કિંમત $N$ ના યામમાં મૂકતા:
$N = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.

(A) રેખાખંડ $OQ$ ના દિકગુણોત્તર $(4-0, -2-0, 1-0)$ છે,જે $(4, -2, 1)$ છે.
રેખાખંડ $OP$ ના દિકગુણોત્તર $(0-0, 1-0, 2-0)$ છે,જે $(0, 1, 2)$ છે.
ધારો કે $OP$ અને $OQ$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. બે સદિશો જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(4)(0) + (-2)(1) + (1)(2)|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|0 - 2 + 2|}{\sqrt{16 + 4 + 1} \sqrt{0 + 1 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{21} \sqrt{5}} = 0$
તેથી,$\cos \theta = 0$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $h$ જેટલા અચળ અંતરે હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = h$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}$.
$A, B, C$ ના યામ $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ અને $(0, 0, c)$ છે.
ધારો કે $(x, y, z)$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તો $x = \frac{a}{3}, y = \frac{b}{3}, z = \frac{c}{3}$.
આથી $a = 3x, b = 3y, c = 3z$ મળે.
આ કિંમતોને સમતલના અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{h^2}$
$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{9}{h^2}$.

(A) આપેલ છે કે,
$P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$
$P(A \cap B) = 0.14$
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ દ્વારા મળે છે:
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.61 = 0.39$

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 3$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{2}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p = \frac{1}{3}$ ને $np = 3$ માં મૂકતા,આપણને $n \times \frac{1}{3} = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 9$.
આમ,દ્વિપદી વિતરણ $(q + p)^n = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)^9$ છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
અહીં $n=4$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $P(X=4) = 6 P(X=2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
${ }^4 C_4 p^4 q^0 = 6 \cdot { }^4 C_2 p^2 q^2$
કારણ કે ${ }^4 C_4 = 1$ અને ${ }^4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$,તેથી:
$1 \cdot p^4 = 6 \cdot 6 \cdot p^2 q^2$
$p^4 = 36 p^2 q^2$
બંને બાજુ $p^2$ વડે ભાગતા (ધારો કે $p \neq 0$):
$p^2 = 36 q^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$p = 6q$
$q = 1-p$ મૂકતા:
$p = 6(1-p)$
$p = 6 - 6p$
$7p = 6$
$p = \frac{6}{7}$

(A) બેન્ઝીનના દહન માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $C_6H_6 + \frac{15}{2} O_2 \rightarrow 6 CO_2 + 3 H_2O$.
બેન્ઝીન $(C_6H_6)$ નું મોલર દળ $= (6 \times 12) + (6 \times 1) = 78 \text{ g/mol}$.
બેન્ઝીનના મોલ $= \frac{39 \text{ g}}{78 \text{ g/mol}} = 0.5 \text{ mol}$.
સમીકરણની તત્વયોગમિતિ મુજબ,$1 \text{ mol}$ બેન્ઝીન માટે $7.5 \text{ mol}$ $O_2$ ની જરૂર પડે છે.
તેથી,$0.5 \text{ mol}$ બેન્ઝીન માટે $0.5 \times 7.5 = 3.75 \text{ mol}$ $O_2$ ની જરૂર પડે.
$STP$ પર $O_2$ નું કદ $= 3.75 \text{ mol} \times 22.4 \text{ L/mol} = 84 \text{ L}$.

(B) મિથેનના દહન માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ:
$CH_4(g) + 2O_2(g) \longrightarrow CO_2(g) + 2H_2O(l)$
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$1 \ mol$ $CH_4$ $(16 \ g)$ ને $2 \ mol$ $O_2$ ની જરૂર પડે છે.
$STP$ પર,કોઈપણ વાયુના $1 \ mol$ નું કદ $22.4 \ L$ હોય છે.
તેથી,$16 \ g$ $CH_4$ માટે $2 \times 22.4 \ L = 44.8 \ L$ $O_2$ ની જરૂર પડે છે.
$32 \ g$ $CH_4$ માટે,જરૂરી $O_2$ નું કદ:
$\frac{44.8 \ L}{16 \ g} \times 32 \ g = 89.6 \ L$.

(B) પ્રથમ,શરૂઆતના $250 \ mL$ દ્રાવણની મોલારિટી $(M_1)$ ગણો:
$Na_2CO_3$ નું આણ્વીય દળ = $(2 \times 23) + 12 + (3 \times 16) = 106 \ g/mol$.
$M_1 = \frac{\text{દળ}}{\text{આણ્વીય દળ} \times \text{કદ (L માં)}} = \frac{2.65 \ g}{106 \ g/mol \times 0.250 \ L} = 0.1 \ M$.
હવે,મંદન સૂત્ર $M_1V_1 = M_2V_2$ નો ઉપયોગ કરો:
$0.1 \ M \times 10 \ mL = M_2 \times 1000 \ mL$.
$M_2 = \frac{0.1 \times 10}{1000} = 0.001 \ M$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી: $P V = n R T$
સાંદ્રતા એટલે એકમ કદ દીઠ મોલની સંખ્યા,એટલે કે $\text{Concentration} = \frac{n}{V}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{n}{V} = \frac{P}{R T}$
આમ,સાંદ્રતા $\frac{P}{R T}$ $mol / L$ થશે.

(A) r.m.s. વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$CO_2$ માટે: $v_{CO_2} = x = \sqrt{\frac{3RT}{M_{CO_2}}}$.
$N_2O$ માટે: $v_{N_2O} = 4x = \sqrt{\frac{3RT_{N_2O}}{M_{N_2O}}}$.
પરમાણ્વીય ભાર $C=12, N=14, O=16$ છે. તેથી,$M_{CO_2} = 12 + 2(16) = 44 \ g \ mol^{-1}$ અને $M_{N_2O} = 2(14) + 16 = 44 \ g \ mol^{-1}$.
$M_{CO_2} = M_{N_2O}$ હોવાથી,$\frac{v_{N_2O}}{v_{CO_2}} = \frac{4x}{x} = \sqrt{\frac{T_{N_2O}}{T}}$.
$4 = \sqrt{\frac{T_{N_2O}}{T}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16 = \frac{T_{N_2O}}{T}$,તેથી $T_{N_2O} = 16T$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = mc^2$.
$1 \ a.m.u.$ (એટોમિક માસ યુનિટ) માટે,દળ $1.6605 \times 10^{-27} \ kg$ છે.
$c = 2.998 \times 10^8 \ m/s$ નો ઉપયોગ કરતા,જૂલમાં ઊર્જા $E = (1.6605 \times 10^{-27} \ kg) \times (2.998 \times 10^8 \ m/s)^2 \approx 1.4924 \times 10^{-10} \ J$ થાય છે.
કારણ કે $1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$,તેથી $eV$ માં ઊર્જા $\frac{1.4924 \times 10^{-10}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 931.5 \times 10^6 \ eV$ મળે છે.
આમ,$1 \ a.m.u. = 931.5 \ MeV = 931.5 \times 10^6 \ eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{-1312}{n^2} \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_2 = \frac{-1312}{2^2} \ kJ \ mol^{-1} = \frac{-1312}{4} \ kJ \ mol^{-1} = -328 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) $M$ કક્ષા એટલે $n = 3$ કક્ષા.
કોઈ તત્વની $M$ કક્ષામાં $13$ ઇલેક્ટ્રોન હોવા માટે,ઇલેક્ટ્રોન રચનામાં $3s^2, 3p^6, 3d^5$ હોવા જોઈએ.
આ ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^1$ ને અનુરૂપ છે.
કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 5 + 1 = 24$ છે.
$24$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું તત્વ $\text{ક્રોમિયમ}$ $(Cr)$ છે.

(C) વિષમાંગ ઉદ્દીપનમાં,પ્રક્રિયકો અને ઉદ્દીપક અલગ-અલગ ભૌતિક અવસ્થામાં હોય છે.
પ્રક્રિયા $2 CO_{(g)} + O_{2(g)} \xrightarrow{Pt_{(s)}} 2 CO_{2(g)}$ માં,પ્રક્રિયકો ($CO$ અને $O_2$) વાયુ અવસ્થામાં છે,જ્યારે ઉદ્દીપક $(Pt)$ ઘન અવસ્થામાં છે.
તેથી,આ વિષમાંગ ઉદ્દીપનનું ઉદાહરણ છે.

(D) થોમસન અસરને કારણે શોષાયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર: $H = \sigma q \Delta T$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ થોમસન ગુણાંક છે,$q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
આપેલ છે:
$\sigma = 10 \mu V/K = 10 \times 10^{-6} \text{ } V/K$
$q = 10 \text{ } C$
$\Delta T = 60^{\circ}C - 50^{\circ}C = 10 \text{ } K$
કિંમતો મૂકતા:
$H = (10 \times 10^{-6} \text{ } V/K) \times (10 \text{ } C) \times (10 \text{ } K)$
$H = 1000 \times 10^{-6} \text{ } J$
$H = 10^{-3} \text{ } J = 1 \text{ } mJ$.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto d^{\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\gamma = \frac{7}{5}$ અને $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$ આપેલ છે.
આપણી પાસે સંબંધ છે: $\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{d^{\prime}}{d}\right)^{\gamma}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$2^7 = 128$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P^{\prime}}{P} = 128$ થાય છે.

(D) હેલોજન અણુઓની બંધ વિયોજન ઉર્જા સામાન્ય રીતે સમૂહમાં નીચે તરફ જતાં ઘટે છે,કારણ કે પરમાણુનું કદ અને બંધ લંબાઈ વધે છે.
જોકે,$F_2$ એ અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મો વચ્ચેના આંતર-ઇલેક્ટ્રોનિક અપાકર્ષણને કારણે અપવાદ છે.
બંધ વિયોજન ઉર્જાનો સાચો ક્રમ $Cl_2 > Br_2 > F_2 > I_2$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Cl_2 > Br_2 > I_2$ ક્રમ સાચો છે.

(C) એકમ રૂપાંતરણ માટેનું સૂત્ર $n_2 = n_1 \left[ \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^a \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^b \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^c \right]$ છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે,તેથી $a=1, b=1, c=-2$.
આપેલ છે: $n_1 = 100$,$M_1 = 1 \text{ g}$,$L_1 = 1 \text{ cm}$,$T_1 = 1 \text{ s}$.
નવી પદ્ધતિ: $M_2 = 1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$,$L_2 = 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$,$T_2 = 1 \text{ min} = 60 \text{ s}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$n_2 = 100 \left[ \left( \frac{1 \text{ g}}{1000 \text{ g}} \right)^1 \left( \frac{1 \text{ cm}}{100 \text{ cm}} \right)^1 \left( \frac{1 \text{ s}}{60 \text{ s}} \right)^{-2} \right]$
$n_2 = 100 \left[ \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times (60)^2 \right]$
$n_2 = 100 \times \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times 3600$
$n_2 = 3.6$.

(C) બે પ્રકાશના તરંગોના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
ધારો કે $a_1 = 3k$ અને $a_2 = 2k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto a^2$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3k + 2k)^2}{(3k - 2k)^2} = \frac{(5k)^2}{(k)^2} = \frac{25k^2}{k^2} = \frac{25}{1}$.
આમ,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $25: 1$ છે.

(A) આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 5 ~m$ અને $\lambda_2 = 6 ~m$ છે.
ધારો કે ધ્વનિનો વેગ $v$ છે.
બે તરંગોની આવૃત્તિઓ $n_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{5}$ અને $n_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{6}$ છે.
$3 ~s$ માં ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $30$ છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = \frac{30}{3} = 10 ~Hz$ થાય.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_1 - n_2 = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v}{5} - \frac{v}{6} = 10$.
લસાઅ લેતા: $v \left( \frac{6 - 5}{30} \right) = 10$.
$v \left( \frac{1}{30} \right) = 10$.
તેથી,$v = 300 ~m/s$.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની આવૃત્તિ $n$ માટેનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણને સંબંધ મળે છે: $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ અને અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 2n$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = l$ અને અંતિમ લંબાઈ $l_2 = \frac{3}{4}l$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2n} = \frac{\frac{3}{4}l}{l} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$\sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$T_2 = \frac{9}{4} T_1$.
આમ,તણાવમાં $\frac{9}{4}$ ના અવયવ દ્વારા ફેરફાર કરવો જોઈએ.

(C) ગોળીનું દળ,$m = 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg$.
ગોળીનો વેગ,$v = 300 \ m/s$.
ગોળીની ગતિઊર્જા,$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-3}) \times (300)^2 = 0.005 \times 90000 = 450 \ J$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા,$Q = 50\% \text{ of } KE = 0.5 \times 450 = 225 \ J$.
ગોળી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા તેના તાપમાનમાં વધારો કરે છે,જે $Q = mc\Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$c = 150 \ J/kg \cdot ^{\circ}C$.
$225 = (10 \times 10^{-3}) \times 150 \times \Delta T$.
$225 = 1.5 \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{225}{1.5} = 150^{\circ}C$.