MHT CET 2023 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) समतापीय प्रक्रिया वह प्रक्रिया है जिसमें निकाय का तापमान स्थिर रहता है $(dT = 0)$।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $(U)$ केवल तापमान का फलन है $(U = f(T))$। इसलिए,यदि तापमान स्थिर है,तो आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है $(dU = 0)$।
हालाँकि,वास्तविक गैसों के लिए एन्थैल्पी $(H = U + PV)$ दबाव पर भी निर्भर करती है। इसलिए,तापमान स्थिर होने पर भी,यदि दबाव बदलता है तो एन्थैल्पी बदल सकती है।
अतः,यह कथन कि निकाय की एन्थैल्पी स्थिर रहती है,सभी समतापीय प्रक्रियाओं के लिए सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है,इसलिए यह गलत कथन है।

(C) गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन $\Delta n_g = (n_{products, g} - n_{reactants, g})$ द्वारा दिया जाता है।
अभिक्रिया के लिए: $NH_2CN_{(g)} + \frac{3}{2} O_{2_{(g)}} \longrightarrow N_{2_{(g)}} + CO_{2_{(g)}} + H_2O_{(l)}$
$\Delta n_g = (1 + 1) - (1 + 1.5) = 2 - 2.5 = -0.5 \ mol$.
दिया गया है $\Delta U = -740.5 \ kJ$,$T = 25 + 273 = 298 \ K$,और $R = 8.314 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}$।
संबंध $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta H = -740.5 \ kJ + (-0.5 \ mol) \times (8.314 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}) \times 298 \ K$।
$\Delta H = -740.5 \ kJ - 1.2388 \ kJ = -741.7388 \ kJ \ mol^{-1}$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\Delta H \approx -741.7 \ kJ \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) $PV$ निकाय में किया गया कार्य $W = -P_{ext} \Delta V = -P_{ext}(V_2 - V_1)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 150 \ mL + 150 \ mL = 300 \ mL = 0.3 \ dm^3$.
अंतिम आयतन $V_2 = 150 \ mL = 0.15 \ dm^3$.
बाह्य दाब $P_{ext} = 1 \ bar$.
मान रखने पर: $W = -1 \ bar \times (0.15 \ dm^3 - 0.3 \ dm^3) = -1 \times (-0.15) \ dm^3 \ bar = 0.15 \ dm^3 \ bar$.
चूंकि $1 \ dm^3 \ bar = 100 \ J$,इसलिए किया गया कार्य $0.15 \times 100 \ J = 15.00 \ J$ है।

(B) ऊष्मागतिक गुणों को या तो अवस्था फलन (state function) या पथ फलन (path function) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
अवस्था फलन केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्था पर निर्भर करते हैं,जैसे $Internal \ energy$ $(U)$,$Enthalpy$ $(H)$,और $Entropy$ $(S)$।
पथ फलन अंतिम अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए मार्ग पर निर्भर करते हैं,जैसे $Work$ $(w)$ और $Heat$ $(q)$।
अतः,$Work$ एक पथ फलन है।

(D) एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$,आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $(\Delta U)$ और कार्य $(W)$ के बीच संबंध है: $\Delta H = \Delta U + P \Delta V$.
चूंकि गैस द्वारा किया गया कार्य $W = -P \Delta V$ है,इसलिए $P \Delta V = -W$.
अतः,$\Delta H = \Delta U - W$.
दिया गया है:
आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $\Delta U = +432 \ J$.
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = 200 \ J$.
चूंकि गैस कार्य कर रही है,निकाय पर किया गया कार्य $-200 \ J$ होगा।
मान रखने पर: $\Delta H = 432 \ J - (-200 \ J) = 432 \ J + 200 \ J = 632 \ J$.

(C) विलयन की एन्थैल्पी,जालक एन्थैल्पी और जलयोजन एन्थैल्पी के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta_{soln} H = \Delta_{lattice} H + \Delta_{hyd} H$
जलयोजन एन्थैल्पी के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta_{hyd} H = \Delta_{soln} H - \Delta_{lattice} H$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta_{hyd} H = 4 \ kJ \ mol^{-1} - 790 \ kJ \ mol^{-1}$
$\Delta_{hyd} H = -786 \ kJ \ mol^{-1}$

(D) इथेन के निर्माण के लिए रासायनिक समीकरण है:
$2 C_{(s)} + 3 H_{2(g)} \longrightarrow C_2 H_{6(g)} ; \Delta_{f} H^{\circ} = ?$
इथेन $(C_2 H_6)$ का मोलर द्रव्यमान $(2 \times 12) + (6 \times 1) = 30 \ g \ mol^{-1}$ है।
$3 \ g \ C_2 H_6$ में मोलों की संख्या $n = \frac{3 \ g}{30 \ g \ mol^{-1}} = 0.1 \ mol$ है।
चूंकि $0.1 \ mol \ C_2 H_6$ के निर्माण के लिए $8.84 \ kJ$ ऊष्मा मुक्त होती है,इसलिए $1 \ mol$ के लिए मुक्त ऊष्मा:
$\Delta_{f} H^{\circ} = \frac{-8.84 \ kJ}{0.1 \ mol} = -88.4 \ kJ \ mol^{-1}$।
चूंकि ऊष्मा मुक्त हो रही है,इसलिए एन्थैल्पी परिवर्तन ऋणात्मक होगा।

(D) विलयन की एन्थैल्पी $(\Delta_{\text{soln}} H)$ जालक एन्थैल्पी $(\Delta_{L} H)$ और जलयोजन एन्थैल्पी $(\Delta_{\text{hyd}} H)$ के योग के बराबर होती है।
$\Delta_{\text{soln}} H = \Delta_{L} H + \Delta_{\text{hyd}} H$
दिया गया है: $\Delta_{L} H = 699 \ kJ \ mol^{-1}$ और $\Delta_{\text{hyd}} H = -681.8 \ kJ \ mol^{-1}$।
मान रखने पर:
$\Delta_{\text{soln}} H = 699 \ kJ \ mol^{-1} + (-681.8 \ kJ \ mol^{-1})$
$\Delta_{\text{soln}} H = 17.2 \ kJ \ mol^{-1}$।

(A) अभिक्रिया के लिए: $2 H_2 + O_2 \rightarrow 2 H_2 O$ (जिसमें $4 \times O-H$ बंध होते हैं)।
$\Delta_{r} H = [2 \times BE(H-H) + BE(O=O)] - [4 \times BE(O-H)]$
$-571 = [2 \times 435 + 498] - 4 \times BE(O-H)$
$-571 = [870 + 498] - 4 \times BE(O-H)$
$-571 = 1368 - 4 \times BE(O-H)$
$4 \times BE(O-H) = 1368 + 571$
$4 \times BE(O-H) = 1939$
$BE(O-H) = \frac{1939}{4} \approx 484.75 \ kJ/mol$
अतः,औसत बंध ऊर्जा लगभग $484 \ kJ/mol$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी वह ऊर्जा परिवर्तन है जो तब होता है जब एक उदासीन गैसीय परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन जोड़ा जाता है।
$Ne$ जैसी उत्कृष्ट गैसों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $ns^2 np^6$ स्थिर होता है।
$Ne$ में एक इलेक्ट्रॉन जोड़ने के लिए उसे अगली उच्च ऊर्जा कक्षा में रखने हेतु ऊर्जा की आवश्यकता होती है,जिससे यह प्रक्रिया ऊष्माशोषी हो जाती है।
इसलिए,$Ne$ की इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी धनात्मक होती है।

(A) परिवेश में एन्ट्रॉपी परिवर्तन $\Delta S_{surr} = \frac{-\Delta H}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\Delta H = 28.1 \ kJ \ mol^{-1} = 28100 \ J \ mol^{-1}$ और $T = 300 \ K$।
$\Delta S_{surr} = \frac{-28100 \ J \ mol^{-1}}{300 \ K} = -93.67 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$।
कुल एन्ट्रॉपी परिवर्तन $\Delta S_{total} = \Delta S_{sys} + \Delta S_{surr}$ है।
$\Delta S_{total} = 108.7 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1} + (-93.67 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}) = 15.03 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $15.1 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) परिवेश का एन्ट्रॉपी परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta S_{surr} = -\frac{\Delta H_{sys}}{T}$.
दिया गया है,$\Delta H_{sys} = +7 \ kJ \ mol^{-1} = +7000 \ J \ mol^{-1}$ और $T = 300 \ K$.
मान रखने पर: $\Delta S_{surr} = -\frac{7000 \ J \ mol^{-1}}{300 \ K} = -23.33 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(D) दिया गया है:
$\Delta H = 7 \ kJ$
$\Delta S = 24.8 \ J \ K^{-1} = 24.8 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1}$
$T = 300 \ K$
गिब्स मुक्त ऊर्जा परिवर्तन का सूत्र:
$\Delta G = \Delta H - T \Delta S$
मान रखने पर:
$\Delta G = 7 \ kJ - (300 \ K \times 24.8 \times 10^{-3} \ kJ \ K^{-1})$
$\Delta G = 7 \ kJ - 7.44 \ kJ$
$\Delta G = -0.44 \ kJ$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec(v)$।
यह सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = \sec(v)$ बन जाता है,जिसे $\cos(v) dv = \frac{1}{x} dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$,जिससे $\sin(v) = \log(x) + c$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,हमें $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log(x) + c$ प्राप्त होता है।
वक्र बिंदु $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + c$ होगा।
चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ और $\log(1) = 0$,इसलिए $c = \frac{1}{2}$ है।
अतः,वक्र का समीकरण $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log(x) + \frac{1}{2}$ है।

(A) दिए गए वक्र $y^2=6x$ $(i)$ और $9x^2+by^2=16$ (ii) हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{by}$.
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए उनके स्पर्शरेखाओं की प्रवणता का गुणनफल $-1$ होना चाहिए।
$\left(\frac{3}{y}\right) \times \left(-\frac{9x}{by}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{27x}{by^2} = 1 \Rightarrow by^2 = 27x$.
$(i)$ से $y^2=6x$ का मान रखने पर: $b(6x) = 27x$.
$x \neq 0$ मानते हुए,$6b = 27 \Rightarrow b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

(B) माना शीट की ऊंचाई और चौड़ाई क्रमशः $y \ m$ और $x \ m$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $18 \ m^2$ है,इसलिए $x y = 18$ है।
$cm$ में बदलने पर,$x y = 180000 \ cm^2$,अतः $y = \frac{180000}{x}$।
ऊपर और नीचे $75 \ cm$ (कुल $150 \ cm = 1.5 \ m$) और प्रत्येक तरफ $50 \ cm$ (कुल $100 \ cm = 1 \ m$) का मार्जिन है।
छपाई के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल $A = (y - 1.5)(x - 1)$ है।
$y = \frac{18}{x}$ रखने पर,$A = (\frac{18}{x} - 1.5)(x - 1) = 18 - \frac{18}{x} - 1.5x + 1.5 = 19.5 - 1.5x - \frac{18}{x}$।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{dx} = -1.5 + \frac{18}{x^2} = 0$ लें।
$\frac{18}{x^2} = 1.5 \Rightarrow x^2 = \frac{18}{1.5} = 12$।
$x = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m$।
अतः $y = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \ m$।
इस प्रकार,आयाम ऊंचाई $3 \sqrt{3} \ m$ और चौड़ाई $2 \sqrt{3} \ m$ हैं।

(A) सबसे पहले,असमिका $x^2+30 \leq 11x$ को हल करके समुच्चय $S$ निर्धारित करते हैं।
$x^2-11x+30 \leq 0$
$(x-5)(x-6) \leq 0$
अतः,$S = [5, 6]$ है।
अब,$f(x) = 3x^3-18x^2+27x-40$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 9x^2-36x+27 = 9(x^2-4x+3) = 9(x-1)(x-3)$।
$x \in [5, 6]$ के लिए,$(x-1)$ और $(x-3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि अंतराल $[5, 6]$ पर $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ इस अंतराल पर वर्धमान है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x=6$ पर प्राप्त होता है।
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$।

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए इन बिंदुओं पर बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$
$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2(\frac{\pi}{4}) \cdot 1 + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4} \quad (i)$
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$
चूंकि $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} x \cot x = 0$:
$0 + b = a \cos(\pi) - b \sin(\frac{\pi}{2})$
$b = -a - b \implies a + 2b = 0 \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ से,$a = -2b$. इसे $(i)$ में रखने पर:
$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
तब $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = -\frac{\pi}{12}$।

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^{\frac{2}{3}} x \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos^{\frac{2}{3}} x \sin^{\frac{4}{3}} x} \, dx$
अंश और हर को $\cos^{\frac{4}{3}} x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{1}{\cos^{\frac{4}{3}} x}}{\frac{\cos^{\frac{2}{3}} x \sin^{\frac{4}{3}} x}{\cos^{\frac{4}{3}} x}} \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec^2 x}{\tan^{\frac{4}{3}} x} \, dx$
$\tan x = t$ रखने पर,तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
जब $x = \frac{\pi}{6}$,तब $t = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
जब $x = \frac{\pi}{3}$,तब $t = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
$I = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} t^{-\frac{4}{3}} \, dt = \left[ \frac{t^{-\frac{4}{3} + 1}}{-\frac{4}{3} + 1} \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} = \left[ \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} = -3 \left[ t^{-\frac{1}{3}} \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}$
$I = -3 \left( (\sqrt{3})^{-\frac{1}{3}} - (\frac{1}{\sqrt{3}})^{-\frac{1}{3}} \right) = -3 \left( (3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} - (3^{-\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} \right)$
$I = -3 \left( 3^{-\frac{1}{6}} - 3^{\frac{1}{6}} \right) = 3 \cdot 3^{\frac{1}{6}} - 3 \cdot 3^{-\frac{1}{6}} = 3^{1+\frac{1}{6}} - 3^{1-\frac{1}{6}} = 3^{\frac{7}{6}} - 3^{\frac{5}{6}}$

(A) वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $Y$-अक्ष पर स्थित है। मान लीजिए केंद्र $(0, k)$ है। चूंकि यह मूल बिंदु से गुजरता है,इसलिए त्रिज्या $k$ होगी।
वृत्त का समीकरण $(x-0)^2 + (y-k)^2 = k^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 - 2yk + k^2 = k^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2yk$ प्राप्त होता है।
इससे,हमें $k = \frac{x^2+y^2}{2y}$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 = 2yk$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2k \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में $k = \frac{x^2+y^2}{2y}$ रखने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2+y^2}{2y} \right) \frac{dy}{dx}$.
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \left( \frac{x^2+y^2}{y} \right) \frac{dy}{dx}$.
$y$ से गुणा करने पर: $2xy + 2y^2 \frac{dy}{dx} = (x^2+y^2) \frac{dy}{dx}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2xy = (x^2+y^2-2y^2) \frac{dy}{dx}$.
$2xy = (x^2-y^2) \frac{dy}{dx}$.
अतः,$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2+\sin x) \frac{dy}{dx} + (y+1) \cos x = 0$
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$
$\ln(y+1) = -\ln(2+\sin x) + C$
$\ln(y+1) + \ln(2+\sin x) = C$
$\ln((y+1)(2+\sin x)) = C$
$(y+1)(2+\sin x) = e^C = K$
दिया है $y(0) = 1$,अतः $x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$(1+1)(2+\sin 0) = K \Rightarrow 2(2+0) = K \Rightarrow K = 4$
अतः,$(y+1)(2+\sin x) = 4$
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए:
$(y+1)(2+\sin \frac{\pi}{2}) = 4$
$(y+1)(2+1) = 4$
$3(y+1) = 4$
$y+1 = \frac{4}{3}$
$y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

(A) दिया गया समीकरण: $\log(x+y) = 2xy$ ... $(i)$
$x = 0$ रखने पर,$(i)$ में: $\log(0+y) = 2(0)y \implies \log(y) = 0 \implies y = e^0 = 1$.
अब,$(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\log(x+y)) = \frac{d}{dx}(2xy)$
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y') = 2(y + xy')$
अवकलित समीकरण में $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{1}{0+1} \cdot (1 + y'(0)) = 2(1 + 0 \cdot y'(0))$
$1 \cdot (1 + y'(0)) = 2(1)$
$1 + y'(0) = 2$
$y'(0) = 2 - 1 = 1$
अतः,$y'(0)$ का मान $1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\log(x+y)=2xy$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y') = 2y + 2xy'$
$x=0$ पर,समीकरण $\log(0+y) = 2(0)y$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\log(y) = 0$,अतः $y = e^0 = 1$।
अवकलित समीकरण में $x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$\frac{1}{0+1} \cdot (1 + y'(0)) = 2(1) + 2(0)y'(0)$
$1 \cdot (1 + y'(0)) = 2 + 0$
$1 + y'(0) = 2$
$y'(0) = 2 - 1 = 1$

(C) दिया गया है $f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+6$. $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$. (ii)
पुनः अवकलन करने पर,$f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 f^{\prime}(1)$. (iii)
(ii) में $x=1$ रखने पर,$f^{\prime}(1)=3(1)^2+2(1) f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2) \Rightarrow f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)=-3$. (iv)
(iii) में $x=2$ रखने पर,$f^{\prime \prime}(2)=6(2)+2 f^{\prime}(1) \Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=12+2 f^{\prime}(1)$. $(v)$
$(v)$ को (iv) में रखने पर,$f^{\prime}(1)+12+2 f^{\prime}(1)=-3 \Rightarrow 3 f^{\prime}(1)=-15 \Rightarrow f^{\prime}(1)=-5$.
$(v)$ से,$f^{\prime \prime}(2)=12+2(-5)=2$.
अब,$f(2)=2^3+2^2(-5)+2(2)+6 = 8-20+4+6 = -2$.

(B) $f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+6$
$\therefore f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$ ...$(i)$
$\therefore f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 f^{\prime}(1)$ ...(ii)
$(i)$ में $x=1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$f^{\prime}(1)=3(1)^2+2(1) f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$
$\Rightarrow f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)=-3$ ...(iii)
(ii) में $x=2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)+2 f^{\prime}(1)$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=12+2 f^{\prime}(1)$ ...(iv)
(iii) और (iv) से,हमें प्राप्त होता है
$f^{\prime}(1)+12+2 f^{\prime}(1)=-3$
$\Rightarrow 3 f^{\prime}(1)=-15$
$\Rightarrow f^{\prime}(1)=-5$
(iii) से,$-5+f^{\prime \prime}(2)=-3$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=2$
$\therefore f(2) = 2^3+2^2(-5)+2(2)+6$
$= 8-20+4+6$
$= -2$

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=f(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = e^{x+C} = k e^x$,जहाँ $k = e^C$ एक स्थिरांक है।
चूँकि $f(1)=2$ है,तो $k e^1 = 2$,जिसका अर्थ है कि $k = \frac{2}{e}$।
अतः,$f(x) = \frac{2}{e} \cdot e^x = 2 e^{x-1}$।
अब,$h(x) = f(f(x))$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$।
चूँकि $f^{\prime}(x) = f(x)$,हमें $h^{\prime}(x) = f(f(x)) \cdot f(x)$ प्राप्त होता है।
$x=1$ पर,$h^{\prime}(1) = f(f(1)) \cdot f(1)$।
चूँकि $f(1)=2$,तो $h^{\prime}(1) = f(2) \cdot 2$।
$f(x) = 2 e^{x-1}$ का उपयोग करने पर,$f(2) = 2 e^{2-1} = 2e$।
अतः,$h^{\prime}(1) = (2e) \cdot 2 = 4e$।

(C) हमें $f(x) = \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx$ दिया गया है।
हमें $f(3) - f(1) = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $\sqrt{x} = \tan \theta$,तो $x = \tan^2 \theta$ और $dx = 2 \tan \theta \sec^2 \theta \, d\theta$ होगा।
जब $x = 1$,$\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$।
जब $x = 3$,$\tan \theta = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan \theta \cdot 2 \tan \theta \sec^2 \theta}{(1 + \tan^2 \theta)^2} \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2 \tan^2 \theta \sec^2 \theta}{\sec^4 \theta} \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 2 \sin^2 \theta \, d\theta$।
सर्वसमिका $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta = [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$।
$I = (\frac{\pi}{3} - \frac{\sin(2\pi/3)}{2}) - (\frac{\pi}{4} - \frac{\sin(\pi/2)}{2}) = (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}) - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2})$।
$I = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$।

(D) माना कि $y = \log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$.
अब,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dy = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^2}} \left(1 + \frac{2t}{2\sqrt{1+t^2}}\right) dt$ प्राप्त होता है।
कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करने पर: $1 + \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}}$.
अतः,$dy = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}} dt = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\int y \, dy = \frac{y^2}{2} + c$.
दिए गए व्यंजक $\frac{1}{2}[g(t)]^2 + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g(t) = y = \log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$g(2) = \log \left(2+\sqrt{1+2^2}\right) = \log (2+\sqrt{5})$.

(D) दिया गया है कि $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c=\pi$ है।
सूत्र $\tan ^{-1} a+\tan ^{-1} b+\tan ^{-1} c = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} \right) = \pi$ का उपयोग करने पर।
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हमें $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = \tan \pi$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \pi = 0$,इसलिए $\frac{a+b+c-abc}{1-ab-bc-ca} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $a+b+c-abc = 0$ है।
अतः,$a+b+c=abc$ है।

(A) माना $\sin^{-1} x = \theta$,जिसका अर्थ है $x = \sin \theta$। चूँकि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$,इसलिए $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ है।
तब $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$ होगा।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\tan \left[ \sin^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} \right) - \theta \right]$।
सर्वसमिका $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sqrt{2}} = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= \tan \left[ \sin^{-1} \left( \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \right) - \theta \right]$।
चूँकि $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{12}$ है।
चूँकि यह सीमा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के भीतर है,इसलिए $\sin^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{4})) = \theta + \frac{\pi}{4}$ होगा।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण $\tan \left( \theta + \frac{\pi}{4} - \theta \right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $p$ : भुगतान किया जाएगा।
माना $q$ : काम समय पर पूरा हो जाएगा।
दिया गया कथन एक द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन है: $p \iff q$,जो $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ के समतुल्य है।
$p \iff q$ का निषेध $\sim(p \iff q)$ है,जो $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ के समतुल्य है।
इसका अर्थ है: "भुगतान किया जाता है और काम समय पर पूरा नहीं होता है,या काम समय पर पूरा हो जाता है और भुगतान नहीं किया जाता है।"
अतः,विकल्प $(D)$ सही है.

(A) दिया गया व्यंजक: $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $[(p \wedge \sim q) \vee (p \wedge r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $[p \wedge (\sim q \vee r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर: $p \wedge [(\sim q \vee r) \wedge (\sim q \wedge r)]$
चूंकि $(\sim q \vee r) \wedge (\sim q \wedge r) = (\sim q \wedge r)$,व्यंजक बन जाता है: $p \wedge (\sim q \wedge r)$
क्रमविनिमेय नियम का उपयोग करके व्यवस्थित करने पर: $(p \wedge r) \wedge \sim q$

(C) दिया गया व्यंजक: $[(\sim(\sim p \vee q)) \vee (p \wedge r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर,$\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $[(p \wedge \sim q) \vee (p \wedge r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $[p \wedge (\sim q \vee r)] \wedge (\sim q \wedge r)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियम का उपयोग करने पर: $p \wedge [(\sim q \vee r) \wedge (\sim q \wedge r)]$
चूंकि अवशोषण नियम के अनुसार $(\sim q \vee r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (\sim q \wedge r)$:
व्यंजक का सरलीकृत रूप: $p \wedge (\sim q \wedge r)$
जो $(p \wedge r) \wedge \sim q$ के समतुल्य है।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 12)(n + 9) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_n$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 5$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma'^2 = k^2 \times \sigma^2$ होता है।
यहाँ,$k = 2$ और $\sigma^2 = 5$ है।
अतः,नया प्रसरण $= 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$ होगा।

(C) $(2,1,0)$,$(4,1,1)$ और $(5,0,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 4-2 & 1-1 & 1-0 \\ 5-2 & 0-1 & 1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $(x-2)(0+1) - (y-1)(2-3) + z(-2-0) = 0$
$\Rightarrow (x-2) + (y-1) - 2z = 0 \Rightarrow x+y-2z = 3$.
मान लीजिए $R'(x, y, z)$ समतल $x+y-2z-3=0$ के सापेक्ष $R(2,1,6)$ का प्रतिबिंब है।
समतल $ax+by+cz+d=0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(x, y, z)$ का सूत्र: $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$.
मान रखने पर: $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{2+1-2(6)-3}{1^2+1^2+(-2)^2} = -2 \frac{3-12-3}{6} = -2 \frac{-12}{6} = 4$.
अतः,$x-2 = 4 \Rightarrow x=6$,$y-1 = 4 \Rightarrow y=5$,और $z-6 = -8 \Rightarrow z=-2$.
इसलिए,प्रतिबिंब $R'$ का मान $(6, 5, -2)$ है।

(A) माना $\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-6}{-1}=\lambda$.
अतः $x = \lambda+3, y = 3\lambda-1, z = 6-\lambda$.
माना $\frac{x+5}{7}=\frac{y-2}{-6}=\frac{z-3}{4}=\mu$.
अतः $x = 7\mu-5, y = -6\mu+2, z = 4\mu+3$.
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$\lambda+3 = 7\mu-5 \Rightarrow \lambda - 7\mu = -8$ $(i)$
$3\lambda-1 = -6\mu+2 \Rightarrow 3\lambda + 6\mu = 3 \Rightarrow \lambda + 2\mu = 1$ (ii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $9\mu = 9 \Rightarrow \mu = 1$.
(ii) में $\mu=1$ रखने पर: $\lambda + 2(1) = 1 \Rightarrow \lambda = -1$.
पहली रेखा के समीकरणों में $\lambda = -1$ रखने पर: $x = -1+3 = 2, y = 3(-1)-1 = -4, z = 6-(-1) = 7$.
अतः,प्रतिच्छेद बिंदु $R(2, -4, 7)$ है।
$xy$-समतल में बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(x, y, -z)$ होता है।
इसलिए,$xy$-समतल में $R(2, -4, 7)$ का प्रतिबिंब $(2, -4, -7)$ है।

(B) $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ है।
चूंकि समतल $(1, 0, -1)$ और $(-1, 1, 0)$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a = c$ और $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow a = b$.
इसलिए,$a = b = c$ प्राप्त होता है। $a = b = c = 1$ रखने पर,समतल का समीकरण $1(x-1) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x + y + z = 3$ बनता है।
$3$ से विभाजित करने पर,अंतःखंड रूप $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः अंतःखंड $A(3, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ और $C(0, 0, 3)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ घन इकाइयां}$ है।

(C) माना $\theta$,$\overline{AB}$ और $\overline{AD}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{AD}}{|\overline{AB}||\overline{AD}|} = \frac{(2 \hat{i}+10 \hat{j}+11 \hat{k}) \cdot(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})}{\sqrt{4+100+121} \sqrt{1+4+4}} = \frac{-2+20+22}{\sqrt{225} \sqrt{9}} = \frac{40}{15 \times 3} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{8}{9})^2} = \sqrt{\frac{81-64}{81}} = \frac{\sqrt{17}}{9}$.
माना $\alpha$,$AD$ के घूर्णन का कोण है ताकि $AD^{\prime} \perp AB$ हो। $AB$ और $AD^{\prime}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,$\alpha + \theta = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 90^{\circ} - \theta$.
इसलिए,$\cos \alpha = \cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$.
$\sin \theta$ का मान रखने पर,हमें $\cos \alpha = \frac{\sqrt{17}}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$.
दिया गया है $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \frac{\overline{b} + \overline{c}}{\sqrt{2}}$,इसलिए $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{c}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(\overline{a} \cdot \overline{c} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \overline{c} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ असमतलीय हैं,$\overline{b}$ और $\overline{c}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
इसलिए,गुणांक शून्य होने चाहिए: $\overline{a} \cdot \overline{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
इसका अर्थ है $\overline{a} \cdot \overline{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,$|\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,जहाँ $\theta$ सदिश $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण है।
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot ((\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}))$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ का उपयोग करने पर:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}) = (\bar{a} \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})) \bar{b} - (\bar{b} \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})) \bar{a}$.
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1$ और $\bar{b} \cdot \bar{b} = 1$ है।
साथ ही,$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}} (3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = 0$ है।
अतः,$(\bar{a} \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})) = \bar{a} \cdot \bar{a} + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 0 = 1$.
और $(\bar{b} \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})) = \bar{b} \cdot \bar{a} + 2(\bar{b} \cdot \bar{b}) = 0 + 2(1) = 2$.
इस प्रकार,$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}) = 1 \bar{b} - 2 \bar{a} = - (2 \bar{a} - \bar{b})$.
अब,$E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (-(2 \bar{a}-\bar{b})) = - |2 \bar{a}-\bar{b}|^2$.
$|2 \bar{a}-\bar{b}|^2 = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (2 \bar{a}-\bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4(1) + 1 - 4(0) = 5$.
अतः,$E = -5$.

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि $(\bar{a}+2\bar{b})$ और $(5\bar{a}-4\bar{b})$ एक-दूसरे पर लंब हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\bar{a}+2\bar{b}) \cdot (5\bar{a}-4\bar{b}) = 0$
$5|\bar{a}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8|\bar{b}|^2 = 0$
$5(1)^2 + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8(1)^2 = 0$
$5 + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8 = 0$
$6(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta$,इसलिए:
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{3}$

(D) सबसे पहले,हम $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\overline{a}| = \frac{1}{\sqrt{10}} \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 1$
$|\overline{b}| = \frac{1}{7} \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \frac{1}{7} \sqrt{4 + 9 + 36} = \frac{7}{7} = 1$
अब,अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b}$ ज्ञात करते हैं:
$\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}} (3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{1}{7\sqrt{10}} (6 + 0 - 6) = 0$
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{b} = 0$,सदिश लंबवत हैं।
अब,व्यंजक $E = (2 \overline{a}-\overline{b}) \cdot [(\overline{a} \times \overline{b}) \times (\overline{a}+2 \overline{b})]$ पर विचार करें।
सदिश त्रिक गुणनफल नियम $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करते हुए:
$(\overline{a} \times \overline{b}) \times (\overline{a}+2 \overline{b}) = (\overline{a} \cdot (\overline{a}+2 \overline{b}))\overline{b} - (\overline{b} \cdot (\overline{a}+2 \overline{b}))\overline{a}$
$= (\overline{a} \cdot \overline{a} + 2(\overline{a} \cdot \overline{b}))\overline{b} - ((\overline{b} \cdot \overline{a}) + 2(\overline{b} \cdot \overline{b}))\overline{a}$
$= (1 + 0)\overline{b} - (0 + 2(1))\overline{a} = \overline{b} - 2\overline{a}$
अब इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$E = (2 \overline{a}-\overline{b}) \cdot (\overline{b} - 2\overline{a})$
$= -(2 \overline{a}-\overline{b}) \cdot (2 \overline{a}-\overline{b}) = -|2 \overline{a}-\overline{b}|^2$
$= -(4|\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}))$
$= -(4(1) + 1 - 4(0)) = -5$.

(B) माना $\overline{AB}$ और $\overline{AD}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{AD}}{|\overline{AB}||\overline{AD}|} = \frac{(2 \hat{i}+10 \hat{j}+11 \hat{k}) \cdot(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})}{\sqrt{4+100+121} \sqrt{1+4+4}} = \frac{-2+20+22}{15 \times 3} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
$\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{8}{9})^2} = \frac{\sqrt{17}}{9}$.
जब $AD$ को $\alpha$ कोण से घुमाया जाता है,तो नया सदिश $AD^{\prime}$,$AB$ के लंबवत हो जाता है।
अतः,$AB$ और $AD$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - \alpha$ है।
इसलिए,$\alpha = 90^{\circ} - \theta$.
$\cos \alpha = \cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta = \frac{\sqrt{17}}{9}$.

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
$X_L = 2 \pi fL$ और $X_C = \frac{1}{2 \pi fC}$ के मान रखने पर:
$1 = \frac{2 \pi fL - \frac{1}{2 \pi fC}}{R}$
$R = 2 \pi fL - \frac{1}{2 \pi fC}$
$R = \frac{(2 \pi f)^2 LC - 1}{2 \pi fC}$
$2 \pi fCR = 4 \pi^2 f^2 LC - 1$
$4 \pi^2 f^2 LC = 1 + 2 \pi fCR$
$L = \frac{1 + 2 \pi fCR}{4 \pi^2 f^2 C}$.

(A) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है $(X_L = X_C)$।
दिया गया है: $R = 2 \Omega$,$L = 100 \times 10^{-6} \text{ H}$,$C = 400 \times 10^{-12} \text{ F}$,$e_{rms} = 0.1 \text{ V}$।
अनुनाद पर प्रतिबाधा $Z = R = 2 \Omega$ होती है।
परिपथ में धारा $I_{rms} = \frac{e_{rms}}{Z} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \text{ A}$ है।
अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{100 \times 10^{-6} \times 400 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-14}}} = 5 \times 10^6 \text{ rad/s}$ है।
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L = I_{rms} \times X_L = I_{rms} \times L\omega$ है।
$V_L = 0.05 \times (100 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^6) = 25 \text{ V}$।

(B) श्रेणीक्रम $LCR$ परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ होता है।
यहाँ वोल्टेज धारा से $45^{\circ}$ आगे है,इसलिए $\phi = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L - X_C}{R} = 1$,जिसका अर्थ है $X_L - X_C = R$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ के मान रखने पर:
$2 \pi f L - \frac{1}{2 \pi f C} = R$
$2 \pi f L = R + \frac{1}{2 \pi f C}$
$2 \pi f L = \frac{2 \pi f C R + 1}{2 \pi f C}$
$L = \frac{1 + 2 \pi f C R}{4 \pi^2 f^2 C}$
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $f$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f = c \cdot \frac{1}{\lambda} = cR \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
यहाँ,इलेक्ट्रॉन $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ में कूदता है।
मान रखने पर:
$f = cR \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right]$
$f = cR \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right]$
$f = cR \left[ \frac{9 - 4}{36} \right]$
$f = \frac{5RC}{36}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} CV_1^2 + \frac{1}{2} CV_2^2 = \frac{C}{2}(V_1^2 + V_2^2)$ है।
जब संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{V_1 + V_2}{2}$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2}(C + C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ है।
ऊर्जा में कमी $\Delta U = U_1 - U_2$ है।
$\Delta U = \frac{C}{2}(V_1^2 + V_2^2) - \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$.
$\Delta U = \frac{C}{4} [2(V_1^2 + V_2^2) - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{C}{4} [V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2] = \frac{1}{4} C(V_1 - V_2)^2$.

(B) मान लीजिए कि परिपथ में कुल धारा $I$ है और गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $I_g$ है।
दिया गया है कि $I_g = 4\% \text{ of } I = 0.04 I$.
इसलिए,अनुपात $\frac{I}{I_g} = \frac{1}{0.04} = 25$ है।
$G$ प्रतिरोध वाले गैल्वेनोमीटर के समानांतर जुड़े शंट प्रतिरोध $S$ का सूत्र है:
$S = \frac{I_g \times G}{I - I_g}$.
अंश और हर को $I_g$ से विभाजित करने पर:
$S = \frac{G}{\frac{I}{I_g} - 1}$.
$\frac{I}{I_g} = 25$ का मान रखने पर:
$S = \frac{G}{25 - 1} = \frac{G}{24}$.

(D) अधिकांश लवणों की विलेयता तापमान बढ़ने के साथ बढ़ती है। हालाँकि,$Na_2SO_4$ (विशेष रूप से डेकाहाइड्रेट रूप,$Na_2SO_4 \cdot 10H_2O$) जैसे कुछ लवणों के लिए,तापमान बढ़ने पर विलेयता कम हो जाती है क्योंकि यह निर्जलीय रूप में परिवर्तित हो जाता है।

(D) पॉलीमॉर्फिज्म एक ठोस पदार्थ की एक से अधिक रूप या क्रिस्टल संरचना में मौजूद रहने की क्षमता है।
चूंकि इन रूपों की क्रिस्टल संरचनाएं अलग-अलग होती हैं,इसलिए उनके भौतिक गुण जैसे क्रिस्टल आकार,घनत्व और गलनांक अलग-अलग होते हैं।
इसलिए,यह कथन कि बहुरूपी पदार्थों का क्रिस्टल आकार समान होता है,गलत है।

(B) गैलेना लेड$(II)$ सल्फाइड का प्राकृतिक रूप से पाया जाने वाला खनिज है।
इसका रासायनिक सूत्र $PbS$ है।

(B) अभिक्रिया मध्यवर्ती वह पदार्थ है जो अभिक्रिया तंत्र के एक चरण में उत्पन्न होता है और बाद के चरण में उपभोग हो जाता है।
दी गई अभिक्रिया में:
चरण $(i)$: $2 SO_{2(g)} + 2 NO_{2(g)} \rightarrow 2 SO_{3(g)} + 2 NO_{(g)}$
चरण $(ii)$: $2 NO_{(g)} + O_{2(g)} \rightarrow 2 NO_{2(g)}$
यहाँ,$NO_{(g)}$ चरण $(i)$ में उत्पन्न होता है और चरण $(ii)$ में उपभोग हो जाता है।
$NO_{2(g)}$ उत्प्रेरक के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह चरण $(i)$ में उपभोग होता है और चरण $(ii)$ में पुन: उत्पन्न हो जाता है।
अतः,$NO_{(g)}$ अभिक्रिया मध्यवर्ती है।

(B) दिए गए तत्वों में से,$Se$ (सेलेनियम),$I$ (आयोडीन),और $S$ (सल्फर) कमरे के तापमान पर ठोस अवस्था में होते हैं।
$Br$ (ब्रोमीन) एक अधातु तत्व है जो कमरे के तापमान पर तरल अवस्था में पाया जाता है।

(D) समूह $16$ के तत्वों के हाइड्राइडों का अम्लीय गुण समूह में नीचे जाने पर बढ़ता है क्योंकि बंध वियोजन एन्थैल्पी कम हो जाती है।
इसलिए,अम्लीय सामर्थ्य का क्रम $H_2O < H_2S < H_2Se < H_2Te$ है।
अतः,दिए गए विकल्पों में $H_2Te$ सबसे अधिक अम्लीय अणु है।

(B) दिए गए तत्वों में,$S$ (सल्फर) अपने मध्यम आकार और इलेक्ट्रॉनिक विन्यास के कारण सबसे अधिक श्रृंखलन (catenation) गुण प्रदर्शित करता है।
यह गुण इसे $S_8$,$S_6$ और अन्य चक्रीय संरचनाओं जैसे बड़ी संख्या में अपररूप बनाने की अनुमति देता है।

(B) समूह $16$ के तत्वों के हाइड्राइड की तापीय स्थिरता $E-H$ बंध की बंध वियोजन ऊर्जा पर निर्भर करती है।
जैसे-जैसे समूह में नीचे जाने पर केंद्रीय परमाणु का आकार बढ़ता है $(O < S < Se < Te)$,बंध लंबाई बढ़ती है और बंध वियोजन ऊर्जा घटती है।
इसलिए,तापीय स्थिरता का क्रम $H_2O > H_2S > H_2Se > H_2Te$ है।
अतः,$H_2Te$ की तापीय स्थिरता सबसे कम होती है।

(A) समूह $16$ के तत्वों के गलनांक और क्वथनांक परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ बढ़ते हैं क्योंकि वैन डेर वाल्स बलों का परिमाण बढ़ता है।
इसलिए,सल्फर का क्वथनांक ऑक्सीजन की तुलना में अधिक होता है।
अतः,यह कथन कि सल्फर का क्वथनांक ऑक्सीजन से कम है,गलत है।

(B) सल्फ्यूरिक एसिड के औद्योगिक उत्पादन की संपर्क प्रक्रिया में,$SO_2$ और $O_2$ उत्प्रेरक की उपस्थिति में अभिक्रिया करके $SO_3$ बनाते हैं।
ऐतिहासिक रूप से,प्लेटिनमयुक्त एस्बेस्टस का उपयोग उत्प्रेरक के रूप में किया जाता था।
वर्तमान में,वैनेडियम पेंटोक्साइड $(V_2O_5)$ का अधिक उपयोग किया जाता है,लेकिन दिए गए विकल्पों में से $Platinum$ सही धातु उत्प्रेरक है।

(D) उद्योगों में,सल्फर डाइऑक्साइड जिंक सल्फाइड और आयरन पाइराइट्स जैसे सल्फाइड अयस्कों को हवा में भूनकर (roasting) प्राप्त किया जाता है।
$2 ZnS_{(s)} + 3 O_{2(g)} \xrightarrow{\Delta} 2 ZnO_{(s)} + 2 SO_{2(g)}$
$4 FeS_{2(s)} + 11 O_{2(g)} \xrightarrow{\Delta} 2 Fe_2O_{3(s)} + 8 SO_{2(g)}$

(D) क्लोरीन के ऑक्सोएसिड की अम्लीय शक्ति केंद्रीय क्लोरीन परमाणु की ऑक्सीकरण अवस्था में वृद्धि के साथ बढ़ती है।
अम्लीय शक्ति का बढ़ता क्रम है: $HOCl < HClO_2 < HClO_3 < HClO_4$।
$HClO_4$ में,क्लोरीन परमाणु $+7$ ऑक्सीकरण अवस्था में है,जो इसे सबसे स्थिर संयुग्मी क्षार बनाता है।
इसलिए,परक्लोरिक एसिड $(HClO_4)$ क्लोरीन के दिए गए ऑक्सोएसिड में सबसे प्रबल एसिड है।

(C) हैलोजन अम्लों की अम्लीय सामर्थ्य $HF < HCl < HBr < HI$ के क्रम में बढ़ती है।
अतः,सबसे दुर्बल हैलोजन अम्ल $HF$ है।

(A) चैल्कोजन परिवार में आवर्त सारणी के समूह $16$ के तत्व शामिल हैं,जो ऑक्सीजन $(O)$,सल्फर $(S)$,सेलेनियम $(Se)$,टेल्यूरियम $(Te)$ और पोलोनियम $(Po)$ हैं।
एस्टैटिन $(At)$ समूह $17$ से संबंधित है,जो हैलोजन परिवार है।
अतः,$At$ चैल्कोजन परिवार का सदस्य नहीं है।

(A) $He$,$Ne$,$Ar$ और $Kr$ की तुलना में ज़ेनॉन $(Xe)$ का परमाणु आकार बड़ा और आयनन एन्थैल्पी कम होती है।
अपनी कम आयनन ऊर्जा के कारण,यह फ्लोरीन और ऑक्सीजन जैसे अत्यधिक विद्युत ऋणात्मक तत्वों के साथ आसानी से यौगिक बना सकता है।
परिणामस्वरूप,उत्कृष्ट गैसों में ज़ेनॉन सबसे अधिक संख्या में विभिन्न ऑक्सीकरण अवस्थाएँ (जैसे $+2, +4, +6, +8$) प्रदर्शित करता है।

(A) होमोपॉलिमर वह पॉलिमर है जो केवल एक प्रकार की मोनोमर इकाइयों से बनता है।
पॉलीएक्रिलोनाइट्राइल केवल एक्रिलोनाइट्राइल $(CH_2=CH-CN)$ मोनोमर्स के बहुलकीकरण द्वारा बनता है,इसलिए यह एक होमोपॉलिमर है।
ग्लिप्टल एथिलीन ग्लाइकॉल और थैलिक एसिड से बना एक कोपॉलिमर है।
पॉलीकार्बोनेट बिस्फेनॉल-$A$ और फॉसजीन से बना एक कोपॉलिमर है।
ब्यूना-$S$,$1,3$-ब्यूटाडाईन और स्टाइरीन से बना एक कोपॉलिमर है।

(B) इलास्टोमर वे बहुलक हैं जिनमें बहुलक श्रृंखलाएं सबसे कमजोर अंतर-आणविक बलों द्वारा एक साथ जुड़ी होती हैं। ये कमजोर बल बहुलक को खिंचने की अनुमति देते हैं। श्रृंखलाओं के बीच कुछ क्रॉस-लिंक होते हैं,जो बल हटाए जाने के बाद बहुलक को उसकी मूल स्थिति में वापस आने में मदद करते हैं। उदाहरणों में ब्यूना-$S$,ब्यूना-$N$ और प्राकृतिक रबर शामिल हैं। नायलॉन $6,6$ एक रेशा है,टेरिलीन एक रेशा है और पॉलीथीन एक थर्मोप्लास्टिक बहुलक है।

(A) रैखिक बहुलक लंबी और सीधी श्रृंखलाओं से बने होते हैं। $High \ density \ polythene$ $(HDPE)$ एक रैखिक बहुलक है जो विशिष्ट परिस्थितियों (कम दबाव और $Ziegler-Natta$ उत्प्रेरक का उपयोग) में एथीन के योगात्मक बहुलकीकरण द्वारा बनता है।
$Low \ density \ polythene$ $(LDPE)$ एक शाखित-श्रृंखला बहुलक है।
$Bakelite$ और $Melamine$ क्रॉस-लिंक्ड या नेटवर्क बहुलक हैं।

(A) जैव-निम्नीकरणीय बहुलक वे होते हैं जिन्हें सूक्ष्मजीवों द्वारा अपघटित किया जा सकता है।
नायलॉन $2$-नायलॉन $6$ ग्लाइसिन $(H_2N-CH_2-COOH)$ और अमीनो कैप्रोइक एसिड $(H_2N-(CH_2)_5-COOH)$ का एक पॉलियामाइड को-पॉलिमर है।
यह एक प्रसिद्ध जैव-निम्नीकरणीय बहुलक है जिसका उपयोग चिकित्सा टांके (sutures) और अन्य अनुप्रयोगों में किया जाता है।
टेरिलीन,नायलॉन $6$ और नायलॉन $6,6$ जैसे अन्य विकल्प कृत्रिम बहुलक हैं जो जैव-निम्नीकरणीय नहीं हैं।

(D) थर्मोकोल विस्तारित पॉलीस्टाइरीन $(EPS)$ का एक व्यापारिक नाम है।
यह मोनोमर $Styrene$ $(C_6H_5CH=CH_2)$ के बहुलकीकरण (polymerization) द्वारा तैयार किया जाता है।
इसलिए,थर्मोकोल की तैयारी के लिए उपयोग किया जाने वाला सही मोनोमर $Styrene$ है।

(D) टेरिलीन एक को-पॉलिमर है जो दो अलग-अलग मोनोमर्स,एथिलीन ग्लाइकॉल और टेरेफ्थैलिक एसिड के बहुलकीकरण (polymerization) से बनता है।
प्राकृतिक रबर,पॉलीप्रोपीन और $PVC$ (पॉलीविनाइल क्लोराइड) होमोपॉलिमर हैं क्योंकि वे एक ही प्रकार की मोनोमर इकाई से बनते हैं।

(D) $PHBV$ दो बाइफंक्शनल $\beta$-हाइड्रॉक्सी कार्बोक्सिलिक एसिड,अर्थात् $3$-हाइड्रॉक्सीब्यूटेनॉइक एसिड और $3$-हाइड्रॉक्सीपेंटेनॉइक एसिड का एक सह-बहुलक है।
$SBR$ (स्टाइरीन-ब्यूटाडाइन रबर) स्टाइरीन और $1,3$-ब्यूटाडाइन का एक सह-बहुलक है।
अतः,$SBR$ और $PHBV$ दोनों सह-बहुलक के उदाहरण हैं।

(A) रबर के वल्केनाइजेशन की प्रक्रिया में,क्रॉसलिंकिंग प्रक्रिया को तेज करने के लिए त्वरक (accelerators) मिलाए जाते हैं। इस उद्देश्य के लिए $Zinc \ butyl \ xanthate$ का उपयोग आमतौर पर किया जाता है।

(A) थर्मोसेटिंग बहुलक क्रॉस-लिंक्ड या अत्यधिक शाखित अणु होते हैं जो मोल्डिंग के दौरान व्यापक क्रॉस-लिंकिंग से गुजरते हैं,जो उन्हें कठोर और अगलनीय बनाते हैं।
$A$. यूरिया फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन थर्मोसेटिंग बहुलक का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।
$B$. पॉलीथीन एक थर्मोप्लास्टिक बहुलक है।
$C$. पॉलीस्टाइन एक थर्मोप्लास्टिक बहुलक है।
$D$. पॉलीविनाइल्स (जैसे $PVC$) थर्मोप्लास्टिक बहुलक हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) इलास्टोमर वे बहुलक हैं जिनमें कमजोर अंतर-आणविक आकर्षण बल होते हैं,जो बहुलक को खींचने की अनुमति देते हैं।
$Neoprene$ एक सिंथेटिक रबर है और इसे इलास्टोमर के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
$Terylene$ एक पॉलिएस्टर (फाइबर) है,$Polystyrene$ एक थर्मोप्लास्टिक है,और $Bakelite$ एक थर्मोसेटिंग बहुलक है।

(D) टेफ्लॉन के निर्माण में प्रयुक्त एकलक (monomer) टेट्राफ्लुओरोएथिलीन,$(CF_2=CF_2)$ है।
पेरोक्साइड या परसल्फेट उत्प्रेरक की उपस्थिति में उच्च दाब पर टेट्राफ्लुओरोएथिलीन का बहुलकीकरण करने पर टेफ्लॉन प्राप्त होता है,जो $(CF_2-CF_2)_n$ है।

(B) उच्च घनत्व पॉलीथीन $(HDP)$ को $333 \ K$ से $343 \ K$ तापमान और $6-7 \ atm$ दबाव पर ज़िग्लर-नाटा उत्प्रेरक की उपस्थिति में एथीन के पॉलीमराइजेशन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
निम्न घनत्व पॉलीथीन $(LDP)$ के लिए उच्च दबाव $(1000-2000 \ atm)$ की आवश्यकता होती है।
इसलिए,यह कथन कि $HDP$ को उच्च दबाव की आवश्यकता होती है,गलत है।
इसका गलनांक ($144-150^{\circ}C$ की सीमा में) $LDP$ ($110^{\circ}C$ गलनांक) से अधिक होता है।

(B) प्राकृतिक रबर आइसोप्रिन ($2$-मिथाइलब्यूटा-$1,3$-डाईन) का उच्च आणविक द्रव्यमान वाला रैखिक बहुलक है।

(A) $LDP$ (लो डेंसिटी पॉलीइथाइलीन) अपनी अत्यधिक शाखित संरचना के कारण प्रकृति में अक्रिस्टलीय होता है। $HDP$ (हाई डेंसिटी पॉलीइथाइलीन) अपनी रैखिक संरचना के कारण क्रिस्टलीय होता है। इसलिए,क्रिस्टलीय होने का गुण $HDP$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है,$LDP$ द्वारा नहीं।

(A) अपनी उच्च तन्यता शक्ति (tensile strength) और चमक के कारण,नायलॉन $6$ फाइबर का उपयोग टायर कॉर्ड के निर्माण के लिए किया जाता है।

(C) $LDP$ (लो डेंसिटी पॉलीइथाइलीन) को एथिलीन के बहुलकीकरण द्वारा उच्च दबाव $(1000-2000 \ atm)$ और तापमान $(350-570 \ K)$ पर $O_2$ या पेरोक्साइड की उपस्थिति में तैयार किया जाता है।
इसलिए,यह कथन कि इसे $6-7 \ atm$ के कम दबाव की आवश्यकता होती है,गलत है।

(D) टेफ्लॉन टेट्राफ्लुओरोएथिलीन का एक बहुलक (polymer) है।
मोनोमर टेट्राफ्लुओरोएथिलीन का रासायनिक सूत्र $CF_2=CF_2$ है,जिसे $C_2F_4$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) प्राकृतिक रबर $2$-मिथाइल-$1,3$-ब्यूटाडाइन,जिसे आइसोप्रिन भी कहा जाता है,का उच्च आणविक द्रव्यमान वाला रैखिक बहुलक है।
इसमें विभिन्न श्रृंखलाएं कमजोर वान डर वाल्स बलों द्वारा जुड़ी होती हैं और इसकी संरचना कुंडलित होती है।
क्लोरोप्रीन का उपयोग नियोप्रीन बनाने के लिए किया जाता है,न कि प्राकृतिक रबर के लिए।
इसलिए,यह कथन कि प्राकृतिक रबर क्लोरोप्रीन से प्राप्त होता है,गलत है।

(B) संरचना के आधार पर बहुलकों का वर्गीकरण इस प्रकार है:
$1$. उच्च घनत्व पॉलीथीन $(HDPE)$: रैखिक श्रृंखला बहुलक।
$2$. निम्न घनत्व पॉलीथीन $(LDPE)$: शाखित श्रृंखला बहुलक।
$3$. बेकेलाइट: क्रॉस-लिंक्ड बहुलक।
$4$. मेलामाइन: क्रॉस-लिंक्ड बहुलक।
अतः,सही उत्तर $B$ है।

(C) नोवोलेक एक रैखिक बहुलक है जो अम्ल उत्प्रेरक की उपस्थिति में $Phenol$ और $Formaldehyde$ के संघनन बहुलकीकरण द्वारा बनता है।
यह फिनोल-फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन का एक प्रकार है।

(C) मेलामाइन-फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन एक थर्मोसेटिंग बहुलक है जो मेलामाइन और फॉर्मेल्डिहाइड के संघनन बहुलकीकरण (condensation polymerization) द्वारा बनता है।
यह अत्यधिक टिकाऊ,ऊष्मा-प्रतिरोधी और अटूट होता है,जो इसे प्लेट,कटोरे और कप जैसे अटूट प्लास्टिक डिनरवेयर बनाने के लिए एक आदर्श सामग्री बनाता है।

(B) $CH_2=CH-CN$ (एक्रिलोनाइट्राइल) और $CH_2=CH-CH=CH_2$ ($1$,$3$-ब्यूटाडाइन) के सह-बहुलकीकरण से ब्यूना-$N$ (जिसे नाइट्राइल रबर या $NBR$ भी कहा जाता है) का निर्माण होता है।
यह एक कृत्रिम रबर है जिसका उपयोग तेल-प्रतिरोधी अनुप्रयोगों में किया जाता है।

(B) $HDP$ का अर्थ है हाई डेंसिटी पॉलीथीन। यह एक मजबूत,कठोर और रासायनिक रूप से निष्क्रिय पॉलीमर है। इसका उपयोग मुख्य रूप से बाल्टी,डस्टबिन,बोतल और पाइप जैसे कंटेनरों के निर्माण के साथ-साथ खिलौनों के निर्माण में किया जाता है।

(C) बहुलकों को अंतराण्विक बलों के आधार पर इलास्टोमर्स,रेशों,थर्मोप्लास्टिक और थर्मोसेटिंग बहुलकों में वर्गीकृत किया जाता है।
रेशे धागा बनाने वाले ठोस होते हैं जिनमें उच्च तन्य शक्ति और उच्च मापांक होता है।
ये विशेषताएं हाइड्रोजन बॉन्डिंग या द्विध्रुव-द्विध्रुव इंटरैक्शन जैसे मजबूत अंतराण्विक बलों के कारण होती हैं।
रेशों के उदाहरणों में पॉलियामाइड्स (नायलॉन-$6,6$) और पॉलिएस्टर (टेरिलीन) शामिल हैं।
वल्केनाइज्ड रबर,ब्यूना-$S$ और पॉलिस्टायरीन को इलास्टोमर्स या थर्मोप्लास्टिक के रूप में वर्गीकृत किया गया है,जो रेशों की विशेषता वाले मजबूत अंतराण्विक बलों को प्रदर्शित नहीं करते हैं।

(A) $Na_2SO_4$ का पानी में घुलना एक ऊष्माक्षेपी (exothermic) प्रक्रिया है।
जब कोई पदार्थ ऊष्माक्षेपी प्रक्रिया द्वारा पानी में घुलता है,तो तापमान बढ़ने के साथ उसकी घुलनशीलता कम हो जाती है।
इसलिए,$Na_2SO_4$ की पानी में घुलनशीलता तापमान बढ़ने के साथ घट जाती है।

(D) $Cu^{+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $3d^{10}$ है।
अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की अनुपस्थिति और पूर्ण रूप से भरे हुए $d$-उपकोष के कारण,$d-d$ संक्रमण संभव नहीं है,जिसके परिणामस्वरूप यह रंगहीन जलीय विलयन बनाता है।
इसके विपरीत,$Fe^{3+}$ $(3d^5)$,$Fe^{2+}$ $(3d^6)$,और $Cu^{2+}$ $(3d^9)$ में अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं और वे रंग प्रदर्शित करते हैं।

(D) धातु हैलाइडों का आयनिक गुण $MF > MCl > MBr > MI$ के क्रम में घटता है,जहाँ $M$ एक संयोजी धातु है।
फजान के नियम के अनुसार,ऋणायन (anion) का आकार जितना छोटा होता है,बंध का आयनिक गुण उतना ही अधिक होता है।
चूंकि फ्लोराइड आयन $(F^-)$ हैलाइड आयनों में सबसे छोटा है,इसलिए यह उच्चतम आयनिक गुण वाले धातु हैलाइड बनाता है।

(A) विलयन की मोललता $(m)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $m = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}}$.
ग्लूकोज का दिया गया द्रव्यमान $= 36 \ g$,मोलर द्रव्यमान $= 180 \ g/mol$.
ग्लूकोज के मोल $= \frac{36}{180} = 0.2 \ mol$.
यह मानते हुए कि विलयन का घनत्व लगभग $1 \ g/mL$ है,$1 \ dm^3$ विलयन में $1000 \ g$ जल होता है,जो $1 \ kg$ है।
अतः,$m = 0.2 \ mol / 1 \ kg = 0.2 \ m$.
क्वथनांक में उन्नयन $\Delta T_{b} = K_{b} \times m = K_{b} \times 0.2 = 0.2 K_{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
विलयन का क्वथनांक $= 100 + \Delta T_{b} = 100 + 0.2 K_{b}$.

(D) क्रिस्टलीय ठोस प्रकृति में विषमदैशिक (anisotropic) होते हैं,जिसका अर्थ है कि वे विभिन्न दिशाओं में मापे जाने पर अलग-अलग भौतिक गुण (जैसे अपवर्तनांक) प्रदर्शित करते हैं। इसलिए,यह कथन कि वे समदैशिक होते हैं,गलत है।

(D) हीरा एक क्रिस्टलीय ठोस है क्योंकि इसके घटक कण पूरी संरचना में एक नियमित,दोहराव वाले पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं।
इसके विपरीत,कांच,प्लास्टिक और रबर अक्रिस्टलीय ठोस हैं क्योंकि उनमें कणों की दीर्घ-परासी व्यवस्था का अभाव होता है।

(A) प्रकृति में $7$ आद्य (primitive) क्रिस्टल प्रणालियाँ होती हैं।
इन $7$ क्रिस्टल प्रणालियों को इकाई सेल में जालक बिंदुओं की व्यवस्था के आधार पर $14$ प्रकार के ब्रेवे जालक में वर्गीकृत किया जा सकता है।

(A) क्रिस्टलोग्राफी में कुल $7$ अलग-अलग क्रिस्टल प्रणालियाँ होती हैं। ये $7$ क्रिस्टल प्रणालियाँ इकाई सेल के भीतर जालक बिंदुओं की व्यवस्था के आधार पर $14$ संभावित ब्रेवे जालक (Bravais lattices) बनाती हैं। इसलिए,क्रिस्टल प्रणालियों की कुल संख्या $7$ है।

(A) एक मोल धातु में परमाणुओं की संख्या $6.022 \times 10^{23}$ होती है।
सरल घनीय इकाई कोष्ठिका में प्रति इकाई कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $1$ होती है।
अतः,इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{\text{कुल परमाणुओं की संख्या}}{\text{प्रति इकाई कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या}} = \frac{6.022 \times 10^{23}}{1} = 6.022 \times 10^{23}$.

(D) चांदी $(Ag)$ फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ जालक संरचना में क्रिस्टलीकृत होती है।
$fcc$ इकाई सेल में पैकिंग दक्षता $74.0 \%$ होती है।

(C) प्रति इकाई सेल $A$ के परमाणुओं की संख्या (कोनों पर) = $8 \times (1/8) = 1$.
प्रति इकाई सेल $B$ के परमाणुओं की संख्या (फलक केंद्रों पर) = $6 \times (1/2) = 3$.
अतः,परमाणुओं का अनुपात $A:B = 1:3$ है।
इसलिए,यौगिक का सूत्र $AB_3$ है।