PhysicsQ1–38 of 38 questions
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
एक गोली को एक गोलाकार ग्रह की सतह से $v$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर दागा जाता है। जब यह अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है,तो ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के कारण इसका त्वरण सतह पर इसके मान का $1/4$ होता है। यदि ग्रह से पलायन वेग $v_{esc} = v \sqrt{N}$ है,तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए (वायुमंडल के कारण ऊर्जा हानि को अनदेखा करें)।
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) मान लीजिए ग्रह की त्रिज्या $R$ है और इसका द्रव्यमान $M$ है। सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = GM/R^2$ है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g' = GM/(R+h)^2$ है।
दिया गया है कि $g' = g/4$,इसलिए $GM/(R+h)^2 = (1/4) \cdot (GM/R^2)$,जिसका अर्थ है $(R+h)^2 = 4R^2$,यानी $R+h = 2R$,या $h = R$ है।
सतह पर और अधिकतम ऊँचाई $h=R$ पर ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/(R+R))$
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/2R)$
$(1/2)mv^2 = GMm/2R \implies v^2 = GM/R$ प्राप्त होता है।
पलायन वेग को $v_{esc} = \sqrt{2GM/R}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$GM/R = v^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{esc} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $v_{esc} = v\sqrt{N}$ से करने पर,हमें $N = 2$ प्राप्त होता है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g' = GM/(R+h)^2$ है।
दिया गया है कि $g' = g/4$,इसलिए $GM/(R+h)^2 = (1/4) \cdot (GM/R^2)$,जिसका अर्थ है $(R+h)^2 = 4R^2$,यानी $R+h = 2R$,या $h = R$ है।
सतह पर और अधिकतम ऊँचाई $h=R$ पर ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/(R+R))$
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/2R)$
$(1/2)mv^2 = GMm/2R \implies v^2 = GM/R$ प्राप्त होता है।
पलायन वेग को $v_{esc} = \sqrt{2GM/R}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$GM/R = v^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{esc} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $v_{esc} = v\sqrt{N}$ से करने पर,हमें $N = 2$ प्राप्त होता है।
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2
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
दो समान एकसमान डिस्क दो अलग-अलग सतहों $AB$ और $CD$ पर (चित्र देखें) बिना फिसले लुढ़कती हैं,जो क्रमशः $A$ और $C$ से $v_1$ और $v_2$ की रैखिक गति के साथ शुरू होती हैं और हमेशा सतहों के संपर्क में रहती हैं। यदि वे $B$ और $D$ पर समान रैखिक गति के साथ पहुँचती हैं और $v_1 = 3 \ m/s$ है,तो $m/s$ में $v_2$ क्या होगा? $(g = 10 \ m/s^2)$
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(C) बिना फिसले लुढ़कने वाली डिस्क की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसकी स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जाओं का योग,और उसकी स्थितिज ऊर्जा है।
कुल ऊर्जा $E = K_{trans} + K_{rot} + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh$.
एकसमान डिस्क के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$ और शुद्ध लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$.
अतः,$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 + mgh = \frac{3}{4}mv^2 + mgh$.
बिंदुओं $A$ और $B$,तथा $C$ और $D$ के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
पथ $AB$ के लिए: $E_A = E_B \implies \frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,जहाँ $h_1 = 30 \ m$.
पथ $CD$ के लिए: $E_C = E_D \implies \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,जहाँ $h_2 = 27 \ m$.
$\frac{3}{4}mv_f^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2$.
दिए गए मान रखने पर: $\frac{3}{4}(3)^2 + 10(30) = \frac{3}{4}v_2^2 + 10(27)$.
$\frac{27}{4} + 300 = \frac{3}{4}v_2^2 + 270$.
$6.75 + 30 = \frac{3}{4}v_2^2 \implies 36.75 = \frac{3}{4}v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{36.75 \times 4}{3} = 12.25 \times 4 = 49$.
$v_2 = \sqrt{49} = 7 \ m/s$.
कुल ऊर्जा $E = K_{trans} + K_{rot} + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh$.
एकसमान डिस्क के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$ और शुद्ध लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$.
अतः,$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 + mgh = \frac{3}{4}mv^2 + mgh$.
बिंदुओं $A$ और $B$,तथा $C$ और $D$ के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
पथ $AB$ के लिए: $E_A = E_B \implies \frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,जहाँ $h_1 = 30 \ m$.
पथ $CD$ के लिए: $E_C = E_D \implies \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,जहाँ $h_2 = 27 \ m$.
$\frac{3}{4}mv_f^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2$.
दिए गए मान रखने पर: $\frac{3}{4}(3)^2 + 10(30) = \frac{3}{4}v_2^2 + 10(27)$.
$\frac{27}{4} + 300 = \frac{3}{4}v_2^2 + 270$.
$6.75 + 30 = \frac{3}{4}v_2^2 \implies 36.75 = \frac{3}{4}v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{36.75 \times 4}{3} = 12.25 \times 4 = 49$.
$v_2 = \sqrt{49} = 7 \ m/s$.
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
दो गोलाकार तारे $A$ और $B$ कृष्णिका विकिरण (blackbody radiation) उत्सर्जित करते हैं। $A$ की त्रिज्या $B$ की त्रिज्या से $400$ गुना है और $A$,$B$ द्वारा उत्सर्जित शक्ति से $10^4$ गुना शक्ति उत्सर्जित करता है। उनकी तरंगदैर्घ्य $\lambda_A$ और $\lambda_B$ का अनुपात $(\lambda_A / \lambda_B)$,जिस पर उनके संबंधित विकिरण वक्रों में शिखर (peaks) प्राप्त होते हैं,है
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi R^2) T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $R_A = 400 R_B$ और $P_A = 10^4 P_B$ है।
इन मानों को शक्ति अनुपात समीकरण में रखने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = (400)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = 160000 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = 1.6 \times 10^5 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = \frac{10^4}{1.6 \times 10^5} = \frac{1}{16}$.
चौथा मूल लेने पर,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $T_B = 2 T_A$।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
अतः,$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{T_B}{T_A} = 2$।
दिया गया है कि $R_A = 400 R_B$ और $P_A = 10^4 P_B$ है।
इन मानों को शक्ति अनुपात समीकरण में रखने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = (400)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = 160000 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = 1.6 \times 10^5 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = \frac{10^4}{1.6 \times 10^5} = \frac{1}{16}$.
चौथा मूल लेने पर,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $T_B = 2 T_A$।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
अतः,$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{T_B}{T_A} = 2$।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
एक वर्नियर कैलिपर्स पर विचार करें जिसमें मुख्य पैमाने पर प्रत्येक $1 \ cm$ को $8$ समान भागों में विभाजित किया गया है और एक स्क्रू गेज जिसमें उसके वृत्ताकार पैमाने पर $100$ भाग हैं। वर्नियर कैलिपर्स में,वर्नियर पैमाने के $5$ भाग मुख्य पैमाने के $4$ भागों के साथ संपाती हैं और स्क्रू गेज में,वृत्ताकार पैमाने का एक पूर्ण चक्कर इसे रैखिक पैमाने पर दो भागों तक ले जाता है। तो:
$(A)$ यदि स्क्रू गेज का पिच वर्नियर कैलिपर्स के अल्पतमांक $(LC)$ का दोगुना है,तो स्क्रू गेज का अल्पतमांक $0.01 \ mm$ है।
$(B)$ यदि स्क्रू गेज का पिच वर्नियर कैलिपर्स के अल्पतमांक $(LC)$ का दोगुना है,तो स्क्रू गेज का अल्पतमांक $0.005 \ mm$ है।
$(C)$ यदि स्क्रू गेज के रैखिक पैमाने का अल्पतमांक वर्नियर कैलिपर्स के अल्पतमांक का दोगुना है,तो स्क्रू गेज का अल्पतमांक $0.01 \ mm$ है।
$(D)$ यदि स्क्रू गेज के रैखिक पैमाने का अल्पतमांक वर्नियर कैलिपर्स के अल्पतमांक का दोगुना है,तो स्क्रू गेज का अल्पतमांक $0.005 \ mm$ है।
$(A)$ यदि स्क्रू गेज का पिच वर्नियर कैलिपर्स के अल्पतमांक $(LC)$ का दोगुना है,तो स्क्रू गेज का अल्पतमांक $0.01 \ mm$ है।
$(B)$ यदि स्क्रू गेज का पिच वर्नियर कैलिपर्स के अल्पतमांक $(LC)$ का दोगुना है,तो स्क्रू गेज का अल्पतमांक $0.005 \ mm$ है।
$(C)$ यदि स्क्रू गेज के रैखिक पैमाने का अल्पतमांक वर्नियर कैलिपर्स के अल्पतमांक का दोगुना है,तो स्क्रू गेज का अल्पतमांक $0.01 \ mm$ है।
$(D)$ यदि स्क्रू गेज के रैखिक पैमाने का अल्पतमांक वर्नियर कैलिपर्स के अल्पतमांक का दोगुना है,तो स्क्रू गेज का अल्पतमांक $0.005 \ mm$ है।
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(C, D)$
Solution
(C) $1$. वर्नियर कैलिपर्स: $1$ मुख्य पैमाना भाग $(MSD)$ $= 1/8 \ cm = 0.125 \ cm$. दिया गया है $5$ $VSD$ $= 4$ $MSD$,इसलिए $1$ $VSD$ $= 4/5$ $MSD$ $= 0.8 \times 0.125 \ cm = 0.1 \ cm$. अल्पतमांक $(LC)$ $= 1$ $MSD$ $- 1$ $VSD$ $= 0.125 - 0.1 = 0.025 \ cm = 0.25 \ mm$.
$2$. स्क्रू गेज: एक चक्कर इसे रैखिक पैमाने पर $2$ भाग आगे बढ़ाता है। मान लीजिए $1$ रैखिक पैमाना भाग $= x$. पिच $P = 2x$. $LC$ $= P / 100 = 2x / 100 = x / 50$.
$3$. स्थिति $1$: पिच $P = 2 \times$ वर्नियर का $LC$ $= 2 \times 0.25 \ mm = 0.5 \ mm$. तो स्क्रू गेज का $LC$ $= 0.5 \ mm / 100 = 0.005 \ mm$. (विकल्प $B$ सही है)।
$4$. स्थिति $2$: रैखिक पैमाना भाग $x = 2 \times$ वर्नियर का $LC$ $= 2 \times 0.25 \ mm = 0.5 \ mm$. तो स्क्रू गेज का $LC$ $= x / 50 = 0.5 \ mm / 50 = 0.01 \ mm$. (विकल्प $C$ सही है)।
$2$. स्क्रू गेज: एक चक्कर इसे रैखिक पैमाने पर $2$ भाग आगे बढ़ाता है। मान लीजिए $1$ रैखिक पैमाना भाग $= x$. पिच $P = 2x$. $LC$ $= P / 100 = 2x / 100 = x / 50$.
$3$. स्थिति $1$: पिच $P = 2 \times$ वर्नियर का $LC$ $= 2 \times 0.25 \ mm = 0.5 \ mm$. तो स्क्रू गेज का $LC$ $= 0.5 \ mm / 100 = 0.005 \ mm$. (विकल्प $B$ सही है)।
$4$. स्थिति $2$: रैखिक पैमाना भाग $x = 2 \times$ वर्नियर का $LC$ $= 2 \times 0.25 \ mm = 0.5 \ mm$. तो स्क्रू गेज का $LC$ $= x / 50 = 0.5 \ mm / 50 = 0.01 \ mm$. (विकल्प $C$ सही है)।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
प्लांक नियतांक $h$,प्रकाश की गति $c$,और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का उपयोग लंबाई की एक इकाई $L$ और द्रव्यमान की एक इकाई $M$ बनाने के लिए किया जाता है। तो सही विकल्प है/हैं:
$(A)$ $M \propto \sqrt{c}$
$(B)$ $M \propto \sqrt{G}$
$(C)$ $L \propto \sqrt{h}$
$(D)$ $L \propto \sqrt{G}$
$(A)$ $M \propto \sqrt{c}$
$(B)$ $M \propto \sqrt{G}$
$(C)$ $L \propto \sqrt{h}$
$(D)$ $L \propto \sqrt{G}$
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(C) नियतांकों के विमीय सूत्र हैं:
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने के लिए,मान लें $M = k h^a c^b G^d$. विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$
घातों की तुलना करने पर:
$a - d = 1 \implies a = 1 + d$
$2a + b + 3d = 0$
$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$
दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.
अतः $a = 1/2$ और $b = 1/2$.
इस प्रकार,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
इसी प्रकार लंबाई $L = k h^x c^y G^z$ के लिए:
$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$x - z = 0 \implies x = z$
$2x + y + 3z = 1$
$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$
$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
अतः $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.
$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.
इन संबंधों से:
$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$
$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$
अतः,विकल्प $(A), (C), (D)$ सही हैं।
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने के लिए,मान लें $M = k h^a c^b G^d$. विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$
घातों की तुलना करने पर:
$a - d = 1 \implies a = 1 + d$
$2a + b + 3d = 0$
$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$
दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.
अतः $a = 1/2$ और $b = 1/2$.
इस प्रकार,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
इसी प्रकार लंबाई $L = k h^x c^y G^z$ के लिए:
$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$x - z = 0 \implies x = z$
$2x + y + 3z = 1$
$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$
$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
अतः $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.
$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.
इन संबंधों से:
$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$
$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$
अतः,विकल्प $(A), (C), (D)$ सही हैं।
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6
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
समान द्रव्यमान वाले दो स्वतंत्र हार्मोनिक ऑसिलेटर मूल बिंदु के चारों ओर कोणीय आवृत्तियों $\omega_1$ और $\omega_2$ के साथ दोलन कर रहे हैं और उनकी कुल ऊर्जा क्रमशः $E_1$ और $E_2$ है। उनके संवेग $p$ का स्थिति $x$ के साथ परिवर्तन चित्रों में दिखाया गया है। यदि $\frac{a}{b}= n^2$ और $\frac{a}{R}= n$ है,तो सही समीकरण (समीकरणों) है (हैं):
$(A) E_1 \omega_1 = E_2 \omega_2$
$(B) \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$
$(C) \omega_1 \omega_2 = n^2$
$(D) \frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$
$(A) E_1 \omega_1 = E_2 \omega_2$
$(B) \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$
$(C) \omega_1 \omega_2 = n^2$
$(D) \frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(A) सरल आवर्त गति के लिए,फेज स्पेस $(p-x)$ में प्रक्षेप पथ का समीकरण $\frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{2E/m\omega^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जो एक दीर्घवृत्त $\frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1$ को दर्शाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $b$ अधिकतम संवेग $p_{max} = m\omega a$ है।
पहले ऑसिलेटर के लिए:
$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$ और $b = m \omega_1 a$. अतः,$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1}$.
दूसरे ऑसिलेटर के लिए:
$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$ और प्रक्षेप पथ एक वृत्त है,इसलिए $p_{max} = x_{max} \Rightarrow m \omega_2 R = R \Rightarrow m \omega_2 = 1$.
$m \omega_2 = 1$ को $\frac{a}{b}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$ (विकल्प $B$ सही है)।
साथ ही,$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$. पहले ऑसिलेटर के लिए,$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$. दूसरे के लिए,$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$. चूँकि $m \omega_2 = 1$,$E_2 = \frac{1}{2} \omega_2 R^2$.
दिया गया है कि $\frac{a}{R} = n$,तो $a = nR$.
$\frac{a}{b} = n^2$ से,$b = \frac{a}{n^2} = \frac{nR}{n^2} = \frac{R}{n}$.
चूँकि $b = m \omega_1 a$,$\frac{R}{n} = m \omega_1 (nR) \Rightarrow m \omega_1 = \frac{1}{n^2}$.
अब,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2}{\omega_1} = \frac{1}{2} m \omega_1 a^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{n^2}) (nR)^2 = \frac{1}{2} R^2$.
और $\frac{E_2}{\omega_2} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2}{\omega_2} = \frac{1}{2} m \omega_2 R^2 = \frac{1}{2} (1) R^2 = \frac{1}{2} R^2$.
अतः,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$ (विकल्प $D$ सही है)।
पहले ऑसिलेटर के लिए:
$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$ और $b = m \omega_1 a$. अतः,$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1}$.
दूसरे ऑसिलेटर के लिए:
$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$ और प्रक्षेप पथ एक वृत्त है,इसलिए $p_{max} = x_{max} \Rightarrow m \omega_2 R = R \Rightarrow m \omega_2 = 1$.
$m \omega_2 = 1$ को $\frac{a}{b}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$ (विकल्प $B$ सही है)।
साथ ही,$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$. पहले ऑसिलेटर के लिए,$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$. दूसरे के लिए,$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$. चूँकि $m \omega_2 = 1$,$E_2 = \frac{1}{2} \omega_2 R^2$.
दिया गया है कि $\frac{a}{R} = n$,तो $a = nR$.
$\frac{a}{b} = n^2$ से,$b = \frac{a}{n^2} = \frac{nR}{n^2} = \frac{R}{n}$.
चूँकि $b = m \omega_1 a$,$\frac{R}{n} = m \omega_1 (nR) \Rightarrow m \omega_1 = \frac{1}{n^2}$.
अब,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2}{\omega_1} = \frac{1}{2} m \omega_1 a^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{n^2}) (nR)^2 = \frac{1}{2} R^2$.
और $\frac{E_2}{\omega_2} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2}{\omega_2} = \frac{1}{2} m \omega_2 R^2 = \frac{1}{2} (1) R^2 = \frac{1}{2} R^2$.
अतः,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$ (विकल्प $D$ सही है)।
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$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या की एक वलय अपने केंद्र $O$ से गुजरने वाली एक स्थिर ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः $\omega$ कोणीय गति से घूम रही है,जिसमें $O$ पर स्थिर $\frac{M}{8}$ द्रव्यमान के दो बिंदु द्रव्यमान हैं। ये द्रव्यमान चित्र में दिखाए अनुसार वलय पर स्थिर दो द्रव्यमानहीन छड़ों के साथ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर गति कर सकते हैं। किसी क्षण पर,निकाय की कोणीय गति $\frac{8}{9} \omega$ है और एक द्रव्यमान $O$ से $\frac{3}{5} R$ की दूरी पर है। इस क्षण पर,दूसरे द्रव्यमान की $O$ से दूरी क्या है?
A
$\frac{2}{3} R$
B
$\frac{1}{3} R$
C
$\frac{3}{5} R$
D
$\frac{4}{5} R$
Solution
(D) निकाय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + 0 = MR^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ है।
दिए गए क्षण पर,कोणीय गति $\omega' = \frac{8}{9} \omega$ है।
इस क्षण पर निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + \frac{M}{8} r_1^2 + \frac{M}{8} r_2^2$ है,जहाँ $r_1 = \frac{3}{5} R$ और $r_2$ दूसरे द्रव्यमान की दूरी है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$L_i = L_f \Rightarrow I_i \omega = I_f \omega'$.
$MR^2 \omega = (MR^2 + \frac{M}{8} (\frac{3}{5} R)^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9} \omega$.
$MR^2 = (MR^2 + \frac{M}{8} \times \frac{9}{25} R^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9}$.
$\frac{9}{8} R^2 = R^2 + \frac{9}{200} R^2 + \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{9}{8} R^2 - R^2 - \frac{9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{225 - 200 - 9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{16}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$r_2^2 = \frac{16 \times 8}{200} R^2 = \frac{128}{200} R^2 = \frac{16}{25} R^2$.
$r_2 = \frac{4}{5} R$.
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ है।
दिए गए क्षण पर,कोणीय गति $\omega' = \frac{8}{9} \omega$ है।
इस क्षण पर निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + \frac{M}{8} r_1^2 + \frac{M}{8} r_2^2$ है,जहाँ $r_1 = \frac{3}{5} R$ और $r_2$ दूसरे द्रव्यमान की दूरी है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$L_i = L_f \Rightarrow I_i \omega = I_f \omega'$.
$MR^2 \omega = (MR^2 + \frac{M}{8} (\frac{3}{5} R)^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9} \omega$.
$MR^2 = (MR^2 + \frac{M}{8} \times \frac{9}{25} R^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9}$.
$\frac{9}{8} R^2 = R^2 + \frac{9}{200} R^2 + \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{9}{8} R^2 - R^2 - \frac{9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{225 - 200 - 9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{16}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$r_2^2 = \frac{16 \times 8}{200} R^2 = \frac{128}{200} R^2 = \frac{16}{25} R^2$.
$r_2 = \frac{4}{5} R$.
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निश्चित आयतन के एक पात्र में तापमान $T$ पर साम्यावस्था में एक मोल हाइड्रोजन और एक मोल हीलियम का मिश्रण है। गैसों को आदर्श मानते हुए,सही कथन है(हैं):
$(A)$ गैस मिश्रण की प्रति मोल औसत ऊर्जा $2RT$ है।
$(B)$ गैस मिश्रण में ध्वनि की चाल और हीलियम गैस में ध्वनि की चाल का अनुपात $\sqrt{6/5}$ है।
$(C)$ हीलियम परमाणुओं की rms चाल और हाइड्रोजन अणुओं की rms चाल का अनुपात $1/2$ है।
$(D)$ हीलियम परमाणुओं की rms चाल और हाइड्रोजन अणुओं की rms चाल का अनुपात $1/\sqrt{2}$ है।
$(A)$ गैस मिश्रण की प्रति मोल औसत ऊर्जा $2RT$ है।
$(B)$ गैस मिश्रण में ध्वनि की चाल और हीलियम गैस में ध्वनि की चाल का अनुपात $\sqrt{6/5}$ है।
$(C)$ हीलियम परमाणुओं की rms चाल और हाइड्रोजन अणुओं की rms चाल का अनुपात $1/2$ है।
$(D)$ हीलियम परमाणुओं की rms चाल और हाइड्रोजन अणुओं की rms चाल का अनुपात $1/\sqrt{2}$ है।
A
$(B, C, D)$
B
$(A, C, D)$
C
$(A, B, D)$
D
$(A, B, C)$
Solution
(C) $1$ मोल $H_2$ (द्वि-परमाणुक,$C_v = 5R/2$) और $1$ मोल $He$ (एक-परमाणुक,$C_v = 3R/2$) के मिश्रण के लिए:
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = n_1 C_{v1} T + n_2 C_{v2} T = 1(5R/2)T + 1(3R/2)T = 4RT$.
प्रति मोल औसत ऊर्जा $= U / (n_1 + n_2) = 4RT / 2 = 2RT$. अतः,$(A)$ सही है।
मिश्रण के लिए,$C_{v,mix} = (n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}) / (n_1 + n_2) = (5R/2 + 3R/2) / 2 = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = 3R$. $\gamma_{mix} = C_{p,mix} / C_{v,mix} = 3R / 2R = 1.5 = 3/2$.
ध्वनि की चाल $v = \sqrt{\gamma RT / M}$. $He$ के लिए,$\gamma = 5/3$ और $M = 4$. मिश्रण के लिए,$M_{mix} = (2+4)/2 = 3$.
अनुपात $v_{mix} / v_{He} = \sqrt{(\gamma_{mix} / M_{mix}) / (\gamma_{He} / M_{He})} = \sqrt{(1.5 / 3) / ((5/3) / 4)} = \sqrt{0.5 / (5/12)} = \sqrt{6/5}$. अतः,$(B)$ सही है।
$RMS$ चाल $v_{rms} = \sqrt{3RT/M}$. अनुपात $v_{rms,He} / v_{rms,H2} = \sqrt{M_{H2} / M_{He}} = \sqrt{2/4} = 1/\sqrt{2}$. अतः,$(D)$ सही है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = n_1 C_{v1} T + n_2 C_{v2} T = 1(5R/2)T + 1(3R/2)T = 4RT$.
प्रति मोल औसत ऊर्जा $= U / (n_1 + n_2) = 4RT / 2 = 2RT$. अतः,$(A)$ सही है।
मिश्रण के लिए,$C_{v,mix} = (n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}) / (n_1 + n_2) = (5R/2 + 3R/2) / 2 = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = 3R$. $\gamma_{mix} = C_{p,mix} / C_{v,mix} = 3R / 2R = 1.5 = 3/2$.
ध्वनि की चाल $v = \sqrt{\gamma RT / M}$. $He$ के लिए,$\gamma = 5/3$ और $M = 4$. मिश्रण के लिए,$M_{mix} = (2+4)/2 = 3$.
अनुपात $v_{mix} / v_{He} = \sqrt{(\gamma_{mix} / M_{mix}) / (\gamma_{He} / M_{He})} = \sqrt{(1.5 / 3) / ((5/3) / 4)} = \sqrt{0.5 / (5/12)} = \sqrt{6/5}$. अतः,$(B)$ सही है।
$RMS$ चाल $v_{rms} = \sqrt{3RT/M}$. अनुपात $v_{rms,He} / v_{rms,H2} = \sqrt{M_{H2} / M_{He}} = \sqrt{2/4} = 1/\sqrt{2}$. अतः,$(D)$ सही है।
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इकाई द्रव्यमान का एक कण एक बल के प्रभाव में $x$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है और इसकी कुल ऊर्जा संरक्षित है। कण की स्थितिज ऊर्जा के चार संभावित रूप कॉलम $I$ में दिए गए हैं ($a$ और $U_0$ स्थिरांक हैं)। कॉलम $I$ में दी गई स्थितिज ऊर्जाओं को कॉलम $II$ में संबंधित कथन(नों) के साथ सुमेलित कीजिए।
| कॉलम $I$ | कॉलम $II$ |
| $(A) U_1(x) = \frac{U_0}{2} \left[1 - \left(\frac{x}{a}\right)^2\right]^2$ | $(P)$ कण पर कार्य करने वाला बल $x = a$ पर शून्य है। |
| $(B) U_2(x) = \frac{U_0}{2} \left(\frac{x}{a}\right)^2$ | $(Q)$ कण पर कार्य करने वाला बल $x = 0$ पर शून्य है। |
| $(C) U_3(x) = \frac{U_0}{2} \left(\frac{x}{a}\right)^2 \exp \left[-\left(\frac{x}{a}\right)^2\right]$ | $(R)$ कण पर कार्य करने वाला बल $x = -a$ पर शून्य है। |
| $(D) U_4(x) = \frac{U_0}{2} \left[\frac{x}{a} - \frac{1}{3}\left(\frac{x}{a}\right)^3\right]$ | $(S)$ कण $|x| < a$ क्षेत्र में $x = 0$ की ओर एक आकर्षण बल का अनुभव करता है। |
| $(T)$ $\frac{U_0}{4}$ कुल ऊर्जा वाला कण $x = -a$ बिंदु के परितः दोलन कर सकता है। |
A
$(A) \rightarrow (P, Q, R, S); (B) \rightarrow (Q, T); (C) \rightarrow (P, Q, R, T); (D) \rightarrow (P, R, S)$
B
$(A) \rightarrow (P, Q, R, T); (B) \rightarrow (Q, S); (C) \rightarrow (P, Q, R, S); (D) \rightarrow (P, R, T)$
C
$(A) \rightarrow (P, R, S, T); (B) \rightarrow (Q, R); (C) \rightarrow (P, R, S, T); (D) \rightarrow (P, Q, T)$
D
$(A) \rightarrow (Q, R, S, T); (B) \rightarrow (S, T); (C) \rightarrow (Q, R, S, T); (D) \rightarrow (Q, R, T)$
Solution
(A) बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है। संतुलन बिंदु वहां होते हैं जहां $F = 0$, अर्थात $\frac{dU}{dx} = 0$ हो।
$(A)$ के लिए: $U_1(x) = \frac{U_0}{2} [1 - (x/a)^2]^2$. $\frac{dU_1}{dx} = -\frac{2U_0 x}{a^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ पर $F=0$ है। $|x| < a$ के लिए, $F$, $x=0$ की ओर आकर्षक है। अतः $(A) \rightarrow (P, Q, R, S)$.
$(B)$ के लिए: $U_2(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2$. $\frac{dU_2}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2}$. $x=0$ पर $F=0$ है। ऊर्जा $U_0/4$ के लिए, यह $x=0$ के परितः दोलन करता है। अतः $(B) \rightarrow (Q, T)$.
$(C)$ के लिए: $U_3(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2 e^{-(x/a)^2}$. $\frac{dU_3}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2} e^{-(x/a)^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ पर $F=0$ है। ऊर्जा $U_0/4$ के लिए, यह $x=a$ या $x=-a$ के परितः दोलन कर सकता है। अतः $(C) \rightarrow (P, Q, R, T)$.
$(D)$ के लिए: $U_4(x) = \frac{U_0}{2} [x/a - 1/3(x/a)^3]$. $\frac{dU_4}{dx} = \frac{U_0}{2a} [1 - (x/a)^2]$. $x=a, -a$ पर $F=0$ है। $|x| < a$ के लिए, यह $x=0$ की ओर आकर्षक है। अतः $(D) \rightarrow (P, R, S)$.
$(A)$ के लिए: $U_1(x) = \frac{U_0}{2} [1 - (x/a)^2]^2$. $\frac{dU_1}{dx} = -\frac{2U_0 x}{a^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ पर $F=0$ है। $|x| < a$ के लिए, $F$, $x=0$ की ओर आकर्षक है। अतः $(A) \rightarrow (P, Q, R, S)$.
$(B)$ के लिए: $U_2(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2$. $\frac{dU_2}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2}$. $x=0$ पर $F=0$ है। ऊर्जा $U_0/4$ के लिए, यह $x=0$ के परितः दोलन करता है। अतः $(B) \rightarrow (Q, T)$.
$(C)$ के लिए: $U_3(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2 e^{-(x/a)^2}$. $\frac{dU_3}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2} e^{-(x/a)^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ पर $F=0$ है। ऊर्जा $U_0/4$ के लिए, यह $x=a$ या $x=-a$ के परितः दोलन कर सकता है। अतः $(C) \rightarrow (P, Q, R, T)$.
$(D)$ के लिए: $U_4(x) = \frac{U_0}{2} [x/a - 1/3(x/a)^3]$. $\frac{dU_4}{dx} = \frac{U_0}{2a} [1 - (x/a)^2]$. $x=a, -a$ पर $F=0$ है। $|x| < a$ के लिए, यह $x=0$ की ओर आकर्षक है। अतः $(D) \rightarrow (P, R, S)$.
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एक बड़ा गोलाकार द्रव्यमान $M$ एक स्थान पर स्थिर है और दो समान बिंदु द्रव्यमान $m$ को $M$ के केंद्र से गुजरने वाली एक रेखा पर रखा गया है (चित्र देखें)। बिंदु द्रव्यमान $\ell$ लंबाई की एक कठोर द्रव्यमानहीन छड़ से जुड़े हैं और यह संयोजन उन्हें जोड़ने वाली रेखा के साथ चलने के लिए स्वतंत्र है। तीनों द्रव्यमान केवल अपनी पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रिया के माध्यम से बातचीत करते हैं। जब $M$ के निकटतम बिंदु द्रव्यमान $M$ से $r = 3\ell$ की दूरी पर होता है,तो छड़ में तनाव शून्य होता है,जहाँ $m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$1$
Solution
(A) चूंकि दोनों बिंदु द्रव्यमान एक कठोर द्रव्यमानहीन छड़ से जुड़े हैं,इसलिए उनका त्वरण $a$ बड़े द्रव्यमान $M$ की ओर समान होना चाहिए।
मान लीजिए $F_1$ बड़े द्रव्यमान $M$ के कारण निकटतम द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल है,और $F_2$ दूरस्थ द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल है।
मान लीजिए $F$ छड़ में तनाव है। चूंकि तनाव शून्य है,$F = 0$.
निकटतम द्रव्यमान $m$ के लिए:
$F_1 - F_g = ma \implies \frac{GMm}{(3\ell)^2} - \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (i)$
दूरस्थ द्रव्यमान $m$ के लिए:
$F_2 + F_g = ma \implies \frac{GMm}{(4\ell)^2} + \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$F_1 - F_g = F_2 + F_g \implies F_1 - F_2 = 2F_g$
$\frac{GMm}{9\ell^2} - \frac{GMm}{16\ell^2} = 2 \left( \frac{Gm^2}{\ell^2} \right)$
$GMm \left( \frac{16 - 9}{144\ell^2} \right) = \frac{2Gm^2}{\ell^2}$
$\frac{7GMm}{144} = 2Gm^2 \implies \frac{7M}{144} = 2m \implies m = \frac{7M}{288}$
$m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $F_1$ बड़े द्रव्यमान $M$ के कारण निकटतम द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल है,और $F_2$ दूरस्थ द्रव्यमान $m$ पर गुरुत्वाकर्षण बल है।
मान लीजिए $F$ छड़ में तनाव है। चूंकि तनाव शून्य है,$F = 0$.
निकटतम द्रव्यमान $m$ के लिए:
$F_1 - F_g = ma \implies \frac{GMm}{(3\ell)^2} - \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (i)$
दूरस्थ द्रव्यमान $m$ के लिए:
$F_2 + F_g = ma \implies \frac{GMm}{(4\ell)^2} + \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$F_1 - F_g = F_2 + F_g \implies F_1 - F_2 = 2F_g$
$\frac{GMm}{9\ell^2} - \frac{GMm}{16\ell^2} = 2 \left( \frac{Gm^2}{\ell^2} \right)$
$GMm \left( \frac{16 - 9}{144\ell^2} \right) = \frac{2Gm^2}{\ell^2}$
$\frac{7GMm}{144} = 2Gm^2 \implies \frac{7M}{144} = 2m \implies m = \frac{7M}{288}$
$m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।
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एक प्रणाली की ऊर्जा समय $t$ के फलन के रूप में $E(t)=A^2 \exp(-\alpha t)$ द्वारा दी गई है,जहाँ $\alpha=0.2 \ s^{-1}$ है। $A$ के मापन में $1.25 \%$ की त्रुटि है। यदि समय के मापन में त्रुटि $1.50 \%$ है,तो $t=5 \ s$ पर $E(t)$ के मान में प्रतिशत त्रुटि क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(D) दिया गया समीकरण $E(t) = A^2 e^{-\alpha t}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln E = 2 \ln A - \alpha t$.
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dE}{E} = 2 \frac{dA}{A} - \alpha dt$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम त्रुटियों के निरपेक्ष मानों पर विचार करते हैं: $\left| \frac{dE}{E} \right| = 2 \left| \frac{dA}{A} \right| + \alpha |dt|$.
दिया गया है $\frac{dA}{A} = 1.25 \% = 0.0125$ और समय में त्रुटि $dt = 1.50 \% \text{ of } t = 0.015 \times 5 \ s = 0.075 \ s$.
दिया गया है $\alpha = 0.2 \ s^{-1}$.
मान रखने पर: $\frac{dE}{E} \times 100 = 2(1.25 \%) + (0.2 \ s^{-1})(0.075 \ s) \times 100$.
$\frac{dE}{E} \times 100 = 2.5 \% + (0.2 \times 0.075) \times 100 \% = 2.5 \% + 1.5 \% = 4 \%$.
अतः,$E(t)$ में प्रतिशत त्रुटि $4 \%$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln E = 2 \ln A - \alpha t$.
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{dE}{E} = 2 \frac{dA}{A} - \alpha dt$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम त्रुटियों के निरपेक्ष मानों पर विचार करते हैं: $\left| \frac{dE}{E} \right| = 2 \left| \frac{dA}{A} \right| + \alpha |dt|$.
दिया गया है $\frac{dA}{A} = 1.25 \% = 0.0125$ और समय में त्रुटि $dt = 1.50 \% \text{ of } t = 0.015 \times 5 \ s = 0.075 \ s$.
दिया गया है $\alpha = 0.2 \ s^{-1}$.
मान रखने पर: $\frac{dE}{E} \times 100 = 2(1.25 \%) + (0.2 \ s^{-1})(0.075 \ s) \times 100$.
$\frac{dE}{E} \times 100 = 2.5 \% + (0.2 \times 0.075) \times 100 \% = 2.5 \% + 1.5 \% = 4 \%$.
अतः,$E(t)$ में प्रतिशत त्रुटि $4 \%$ है।
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$R$ त्रिज्या वाले दो ठोस गोलों $A$ और $B$ का घनत्व त्रिज्यीय दूरी $r$ के साथ क्रमशः $\rho_A(r) = k \left(\frac{r}{R}\right)$ और $\rho_B(r) = k \left(\frac{r}{R}\right)^5$ के अनुसार बदलता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। उनके केंद्रों से गुजरने वाली अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण क्रमशः $I_A$ और $I_B$ हैं। यदि $\frac{I_B}{I_A} = \frac{n}{10}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले गोलीय कोश का जड़त्व आघूर्ण $dI = \frac{2}{3} (dm) r^2$ होता है।
चूँकि $dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$,इसलिए $dI = \frac{8}{3} \pi \rho(r) r^4 dr$ होगा।
गोले $A$ के लिए: $I_A = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r}{R} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R} \int_0^R r^5 dr = \frac{8\pi k}{3R} \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{18} = \frac{4\pi k R^5}{9}$.
गोले $B$ के लिए: $I_B = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r^5}{R^5} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \int_0^R r^9 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \left[ \frac{r^{10}}{10} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{30} = \frac{4\pi k R^5}{15}$.
अब,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{4\pi k R^5 / 15}{4\pi k R^5 / 9} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}$.
इसे $\frac{n}{10}$ के साथ तुलना करने पर,$n = 6$ प्राप्त होता है।
चूँकि $dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$,इसलिए $dI = \frac{8}{3} \pi \rho(r) r^4 dr$ होगा।
गोले $A$ के लिए: $I_A = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r}{R} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R} \int_0^R r^5 dr = \frac{8\pi k}{3R} \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{18} = \frac{4\pi k R^5}{9}$.
गोले $B$ के लिए: $I_B = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r^5}{R^5} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \int_0^R r^9 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \left[ \frac{r^{10}}{10} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{30} = \frac{4\pi k R^5}{15}$.
अब,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{4\pi k R^5 / 15}{4\pi k R^5 / 9} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}$.
इसे $\frac{n}{10}$ के साथ तुलना करने पर,$n = 6$ प्राप्त होता है।
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समान आवृत्तियों और समान तीव्रताओं $I_0$ वाली चार हार्मोनिक तरंगों के कला कोण $0, \pi / 3, 2 \pi / 3$ और $\pi$ हैं। जब वे अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तरंग की तीव्रता $nI_0$ होती है। $n$ का मान है
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) कला कोण $\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4$ वाली तरंगों के अध्यारोपण का परिणामी आयाम $A_R$,व्यक्तिगत आयामों $A_0$ के सदिश योग द्वारा दिया जाता है (जहाँ $I_0 = k A_0^2$ है)।
माना तरंगें सम्मिश्र संख्याओं के रूप में हैं: $z_1 = A_0 e^{i0} = A_0$,$z_2 = A_0 e^{i\pi/3}$,$z_3 = A_0 e^{i2\pi/3}$,और $z_4 = A_0 e^{i\pi} = -A_0$।
योग $S = A_0(1 + e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3} - 1) = A_0(e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3})$ है।
सर्वसमिका $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$S = A_0 [(\cos \pi/3 + i \sin \pi/3) + (\cos 2\pi/3 + i \sin 2\pi/3)]$।
$S = A_0 [(1/2 + i\sqrt{3}/2) + (-1/2 + i\sqrt{3}/2)] = A_0 (i\sqrt{3})$।
परिणामी तीव्रता $I = |S|^2 = A_0^2 |i\sqrt{3}|^2 = I_0 (3) = 3I_0$।
अतः,$n = 3$।
माना तरंगें सम्मिश्र संख्याओं के रूप में हैं: $z_1 = A_0 e^{i0} = A_0$,$z_2 = A_0 e^{i\pi/3}$,$z_3 = A_0 e^{i2\pi/3}$,और $z_4 = A_0 e^{i\pi} = -A_0$।
योग $S = A_0(1 + e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3} - 1) = A_0(e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3})$ है।
सर्वसमिका $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$S = A_0 [(\cos \pi/3 + i \sin \pi/3) + (\cos 2\pi/3 + i \sin 2\pi/3)]$।
$S = A_0 [(1/2 + i\sqrt{3}/2) + (-1/2 + i\sqrt{3}/2)] = A_0 (i\sqrt{3})$।
परिणामी तीव्रता $I = |S|^2 = A_0^2 |i\sqrt{3}|^2 = I_0 (3) = 3I_0$।
अतः,$n = 3$।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
समान त्रिज्या वाले दो गोले $P$ और $Q$ का घनत्व क्रमशः $\rho_1$ और $\rho_2$ है। गोलों को एक द्रव्यमान रहित डोरी से जोड़ा गया है और उन्हें $L_1$ और $L_2$ द्रवों में रखा गया है,जिनका घनत्व क्रमशः $\sigma_1$ और $\sigma_2$ है और श्यानता (viscosity) क्रमशः $\eta_1$ और $\eta_2$ है। वे संतुलन में तैरते हैं,जिसमें गोला $P$,$L_1$ में है और गोला $Q$,$L_2$ में है और डोरी तनी हुई है (चित्र देखें)। यदि $L_2$ में अकेले गोले $P$ का टर्मिनल वेग $\overrightarrow{V}_{P}$ है और $L_1$ में अकेले गोले $Q$ का टर्मिनल वेग $\overrightarrow{V}_{Q}$ है,तो
$(A)$ $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|}=\frac{\eta_1}{\eta_2}$
$(B)$ $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|}=\frac{\eta_2}{\eta_1}$
$(C)$ $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} > 0$
$(D)$ $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$
$(A)$ $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|}=\frac{\eta_1}{\eta_2}$
$(B)$ $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|}=\frac{\eta_2}{\eta_1}$
$(C)$ $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} > 0$
$(D)$ $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$
A
$(B,D)$
B
$(B,C)$
C
$(A,C)$
D
$(A,D)$
Solution
(D) मान लीजिए कि प्रत्येक गोले का आयतन $V$ है। निकाय के संतुलन में रहने और डोरी के तने रहने के लिए,निकाय पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
चूंकि $P$,$L_1$ में है और $Q$,$L_2$ में है,और डोरी तनी हुई है,इसलिए $P$ को $L_1$ से हल्का होना चाहिए $(\rho_1 < \sigma_1)$ और $Q$ को $L_2$ से भारी होना चाहिए $(\rho_2 > \sigma_2)$।
संतुलन की स्थिति है: $(V\rho_1 g + V\rho_2 g) = (V\sigma_1 g + V\sigma_2 g)$,जिसका अर्थ है $\rho_1 + \rho_2 = \sigma_1 + \sigma_2$।
टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_{sphere} - \sigma_{liquid})$ होता है।
$L_2$ में गोले $P$ के लिए: $\overrightarrow{V}_{P} = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\rho_1 - \sigma_2)$। चूंकि $\rho_1 < \sigma_1 < \sigma_2$,$\overrightarrow{V}_{P}$ ऊपर की ओर (ऋणात्मक) निर्देशित है।
$L_1$ में गोले $Q$ के लिए: $\overrightarrow{V}_{Q} = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$। चूंकि $\rho_2 > \sigma_2 > \sigma_1$,$\overrightarrow{V}_{Q}$ नीचे की ओर (धनात्मक) निर्देशित है।
इस प्रकार,$|\overrightarrow{V}_{P}| = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\sigma_2 - \rho_1)$ और $|\overrightarrow{V}_{Q}| = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$।
$\rho_2 - \sigma_1 = \sigma_2 - \rho_1$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|} = \frac{\eta_1}{\eta_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\overrightarrow{V}_{P}$ ऊपर की ओर है और $\overrightarrow{V}_{Q}$ नीचे की ओर है,इसलिए $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$।
चूंकि $P$,$L_1$ में है और $Q$,$L_2$ में है,और डोरी तनी हुई है,इसलिए $P$ को $L_1$ से हल्का होना चाहिए $(\rho_1 < \sigma_1)$ और $Q$ को $L_2$ से भारी होना चाहिए $(\rho_2 > \sigma_2)$।
संतुलन की स्थिति है: $(V\rho_1 g + V\rho_2 g) = (V\sigma_1 g + V\sigma_2 g)$,जिसका अर्थ है $\rho_1 + \rho_2 = \sigma_1 + \sigma_2$।
टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_{sphere} - \sigma_{liquid})$ होता है।
$L_2$ में गोले $P$ के लिए: $\overrightarrow{V}_{P} = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\rho_1 - \sigma_2)$। चूंकि $\rho_1 < \sigma_1 < \sigma_2$,$\overrightarrow{V}_{P}$ ऊपर की ओर (ऋणात्मक) निर्देशित है।
$L_1$ में गोले $Q$ के लिए: $\overrightarrow{V}_{Q} = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$। चूंकि $\rho_2 > \sigma_2 > \sigma_1$,$\overrightarrow{V}_{Q}$ नीचे की ओर (धनात्मक) निर्देशित है।
इस प्रकार,$|\overrightarrow{V}_{P}| = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\sigma_2 - \rho_1)$ और $|\overrightarrow{V}_{Q}| = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$।
$\rho_2 - \sigma_1 = \sigma_2 - \rho_1$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|} = \frac{\eta_1}{\eta_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\overrightarrow{V}_{P}$ ऊपर की ओर है और $\overrightarrow{V}_{Q}$ नीचे की ओर है,इसलिए $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$।
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
विभवांतर $V$,विद्युत धारा $I$,परमिटिविटी $\varepsilon_0$,पारगम्यता $\mu_0$ और प्रकाश की गति $c$ के संदर्भ में,विमीय रूप से सही समीकरण है:
$(A)$ $\mu_0 I^2 = \varepsilon_0 V^2$
$(B)$ $\varepsilon_0 I = \mu_0 V$
$(C)$ $I = \varepsilon_0 cV$
$(D)$ $\mu_0 cI = V$
$(A)$ $\mu_0 I^2 = \varepsilon_0 V^2$
$(B)$ $\varepsilon_0 I = \mu_0 V$
$(C)$ $I = \varepsilon_0 cV$
$(D)$ $\mu_0 cI = V$
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(C) हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ है और चुंबकीय क्षेत्र में $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ है।
चूंकि $u_E = u_B$,हमारे पास $\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{E^2}{B^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2$।
विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हुए:
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$,$[\mu_0] = M L T^{-2} A^{-2}$,$[V] = M L^2 T^{-3} A^{-1}$,$[I] = A$,$[c] = L T^{-1}$।
$(A)$ के लिए: $[\mu_0 I^2] = (M L T^{-2} A^{-2})(A^2) = M L T^{-2}$। $[\varepsilon_0 V^2] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(M^2 L^4 T^{-6} A^{-2}) = M L T^{-2}$। अतः,$(A)$ विमीय रूप से सही है।
$(C)$ के लिए: $[I] = A$। $[\varepsilon_0 c V] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(L T^{-1})(M L^2 T^{-3} A^{-1}) = A$। अतः,$(C)$ विमीय रूप से सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
चूंकि $u_E = u_B$,हमारे पास $\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{E^2}{B^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2$।
विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हुए:
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$,$[\mu_0] = M L T^{-2} A^{-2}$,$[V] = M L^2 T^{-3} A^{-1}$,$[I] = A$,$[c] = L T^{-1}$।
$(A)$ के लिए: $[\mu_0 I^2] = (M L T^{-2} A^{-2})(A^2) = M L T^{-2}$। $[\varepsilon_0 V^2] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(M^2 L^4 T^{-6} A^{-2}) = M L T^{-2}$। अतः,$(A)$ विमीय रूप से सही है।
$(C)$ के लिए: $[I] = A$। $[\varepsilon_0 c V] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(L T^{-1})(M L^2 T^{-3} A^{-1}) = A$। अतः,$(C)$ विमीय रूप से सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
दो पदार्थों $P$ और $Q$ के लिए प्रतिबल (stress) बनाम विकृति (strain) वक्र खींचते समय,एक छात्र गलती से विकृति को $y$-अक्ष पर और प्रतिबल को $x$-अक्ष पर रखता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। तो सही कथन है/हैं:
$(A)$ $P$ की तन्य शक्ति (tensile strength) $Q$ से अधिक है
$(B)$ $P$,$Q$ की तुलना में अधिक तन्य (ductile) है
$(C)$ $P$,$Q$ की तुलना में अधिक भंगुर (brittle) है
$(D)$ $P$ का यंग मापांक (Young's modulus) $Q$ से अधिक है
$(A)$ $P$ की तन्य शक्ति (tensile strength) $Q$ से अधिक है
$(B)$ $P$,$Q$ की तुलना में अधिक तन्य (ductile) है
$(C)$ $P$,$Q$ की तुलना में अधिक भंगुर (brittle) है
$(D)$ $P$ का यंग मापांक (Young's modulus) $Q$ से अधिक है
A
$(A, B)$
B
$(A, C)$
C
$(B, C)$
D
$(B, D)$
Solution
(C) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिए गए ग्राफ में,विकृति $y$-अक्ष पर है और प्रतिबल $x$-अक्ष पर है। इसलिए,वक्र का ढाल (slope) $\frac{\text{strain}}{\text{stress}} = \frac{1}{Y}$ है।
चूंकि पदार्थ $P$ का ढाल पदार्थ $Q$ के ढाल से अधिक है,इसलिए $\frac{1}{Y_P} > \frac{1}{Y_Q}$ है,जिसका अर्थ है $Y_P < Y_Q$। अतः,कथन $(D)$ गलत है।
पदार्थ $P$,$Q$ की तुलना में दिए गए प्रतिबल के लिए अधिक विकृति दर्शाता है,जो इंगित करता है कि $P$,$Q$ से अधिक तन्य (ductile) है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
चूंकि $P$ अधिक तन्य है,इसलिए यह $Q$ की तुलना में कम भंगुर है। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
तन्य शक्ति वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे कोई पदार्थ टूटने से पहले सहन कर सकता है। ग्राफ से,$Q$ वक्र समाप्त होने से पहले $P$ की तुलना में अधिक प्रतिबल सहन कर सकता है,इसलिए $Q$ की तन्य शक्ति $P$ से अधिक है। अतः,कथन $(A)$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $(B)$ सही है।
दिए गए ग्राफ में,विकृति $y$-अक्ष पर है और प्रतिबल $x$-अक्ष पर है। इसलिए,वक्र का ढाल (slope) $\frac{\text{strain}}{\text{stress}} = \frac{1}{Y}$ है।
चूंकि पदार्थ $P$ का ढाल पदार्थ $Q$ के ढाल से अधिक है,इसलिए $\frac{1}{Y_P} > \frac{1}{Y_Q}$ है,जिसका अर्थ है $Y_P < Y_Q$। अतः,कथन $(D)$ गलत है।
पदार्थ $P$,$Q$ की तुलना में दिए गए प्रतिबल के लिए अधिक विकृति दर्शाता है,जो इंगित करता है कि $P$,$Q$ से अधिक तन्य (ductile) है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
चूंकि $P$ अधिक तन्य है,इसलिए यह $Q$ की तुलना में कम भंगुर है। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
तन्य शक्ति वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे कोई पदार्थ टूटने से पहले सहन कर सकता है। ग्राफ से,$Q$ वक्र समाप्त होने से पहले $P$ की तुलना में अधिक प्रतिबल सहन कर सकता है,इसलिए $Q$ की तन्य शक्ति $P$ से अधिक है। अतः,कथन $(A)$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $(B)$ सही है।
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
$R$ त्रिज्या का एक गोलाकार पिंड अचर घनत्व $\rho$ के तरल से बना है और अपने स्वयं के गुरुत्वाकर्षण के तहत संतुलन में है। यदि $P(r)$ केंद्र से $r$ दूरी पर दबाव है $(r < R)$,तो सही विकल्प(विकल्पों) है(हैं):
$(A) P(r=0) = P_c$ (केंद्र पर अधिकतम दबाव)
$(B) \frac{P(r=3R/4)}{P(r=2R/3)} = \frac{63}{80}$
$(C) \frac{P(r=3R/5)}{P(r=2R/5)} = \frac{16}{21}$
$(D) \frac{P(r=R/2)}{P(r=R/3)} = \frac{20}{27}$
$(A) P(r=0) = P_c$ (केंद्र पर अधिकतम दबाव)
$(B) \frac{P(r=3R/4)}{P(r=2R/3)} = \frac{63}{80}$
$(C) \frac{P(r=3R/5)}{P(r=2R/5)} = \frac{16}{21}$
$(D) \frac{P(r=R/2)}{P(r=R/3)} = \frac{20}{27}$
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(B) अपने स्वयं के गुरुत्वाकर्षण के तहत संतुलन में अचर घनत्व $\rho$ के एक तरल गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर दबाव $P(r)$ हाइड्रोस्टेटिक संतुलन समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\frac{dP}{dr} = -\rho g(r)$.
$r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g(r) = \frac{G M(r)}{r^2} = \frac{G (\frac{4}{3}\pi r^3 \rho)}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho r$ है।
इसे संतुलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dP}{dr} = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 r$.
$r$ से $R$ तक समाकलन करने पर (जहाँ $P(R) = 0$): $\int_{P(r)}^{0} dP = -\int_{r}^{R} \frac{4}{3}\pi G \rho^2 r dr$.
$0 - P(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 [\frac{r^2}{2}]_r^R = -\frac{2}{3}\pi G \rho^2 (R^2 - r^2)$.
अतः,$P(r) = \frac{2}{3}\pi G \rho^2 R^2 (1 - \frac{r^2}{R^2}) = P_c (1 - \frac{r^2}{R^2})$.
अनुपातों की जाँच करने पर:
$(B) \frac{P(3R/4)}{P(2R/3)} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 - (2/3)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 - 4/9} = \frac{7/16}{5/9} = \frac{63}{80}$. (सही)
$(C) \frac{P(3R/5)}{P(2R/5)} = \frac{1 - 9/25}{1 - 4/25} = \frac{16/25}{21/25} = \frac{16}{21}$. (सही)
$(D) \frac{P(R/2)}{P(R/3)} = \frac{1 - 1/4}{1 - 1/9} = \frac{3/4}{8/9} = \frac{27}{32} \neq \frac{20}{27}$. (गलत)
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ और $(C)$ हैं।
$r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g(r) = \frac{G M(r)}{r^2} = \frac{G (\frac{4}{3}\pi r^3 \rho)}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho r$ है।
इसे संतुलन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dP}{dr} = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 r$.
$r$ से $R$ तक समाकलन करने पर (जहाँ $P(R) = 0$): $\int_{P(r)}^{0} dP = -\int_{r}^{R} \frac{4}{3}\pi G \rho^2 r dr$.
$0 - P(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 [\frac{r^2}{2}]_r^R = -\frac{2}{3}\pi G \rho^2 (R^2 - r^2)$.
अतः,$P(r) = \frac{2}{3}\pi G \rho^2 R^2 (1 - \frac{r^2}{R^2}) = P_c (1 - \frac{r^2}{R^2})$.
अनुपातों की जाँच करने पर:
$(B) \frac{P(3R/4)}{P(2R/3)} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 - (2/3)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 - 4/9} = \frac{7/16}{5/9} = \frac{63}{80}$. (सही)
$(C) \frac{P(3R/5)}{P(2R/5)} = \frac{1 - 9/25}{1 - 4/25} = \frac{16/25}{21/25} = \frac{16}{21}$. (सही)
$(D) \frac{P(R/2)}{P(R/3)} = \frac{1 - 1/4}{1 - 1/9} = \frac{3/4}{8/9} = \frac{27}{32} \neq \frac{20}{27}$. (गलत)
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ और $(C)$ हैं।
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
एक आदर्श एकपरमाणुक गैस को एक स्प्रिंग-लोडेड पिस्टन द्वारा एक क्षैतिज सिलेंडर में रखा गया है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। प्रारंभ में,गैस का तापमान $T_1$,दबाव $P_1$ और आयतन $V_1$ है और स्प्रिंग अपनी शिथिल अवस्था में है। फिर गैस को बहुत धीरे-धीरे तापमान $T_2$,दबाव $P_2$ और आयतन $V_2$ तक गर्म किया जाता है। इस प्रक्रिया के दौरान,पिस्टन $x$ दूरी तक बाहर की ओर बढ़ता है। पिस्टन और सिलेंडर के बीच घर्षण को नजरअंदाज करते हुए,सही कथन है/हैं:
$(A)$ यदि $V_2=2V_1$ और $T_2=3T_1$ है,तो स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $\frac{1}{4}P_1V_1$ है।
$(B)$ यदि $V_2=2V_1$ और $T_2=3T_1$ है,तो आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $3P_1V_1$ है।
$(C)$ यदि $V_2=3V_1$ और $T_2=4T_1$ है,तो गैस द्वारा किया गया कार्य $\frac{7}{3}P_1V_1$ है।
$(D)$ यदि $V_2=3V_1$ और $T_2=4T_1$ है,तो गैस को दी गई ऊष्मा $\frac{41}{6}P_1V_1$ है।
$(A)$ यदि $V_2=2V_1$ और $T_2=3T_1$ है,तो स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $\frac{1}{4}P_1V_1$ है।
$(B)$ यदि $V_2=2V_1$ और $T_2=3T_1$ है,तो आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $3P_1V_1$ है।
$(C)$ यदि $V_2=3V_1$ और $T_2=4T_1$ है,तो गैस द्वारा किया गया कार्य $\frac{7}{3}P_1V_1$ है।
$(D)$ यदि $V_2=3V_1$ और $T_2=4T_1$ है,तो गैस को दी गई ऊष्मा $\frac{41}{6}P_1V_1$ है।
A
$(A), (B)$
B
$(A), (B), (D)$
C
$(B), (C), (D)$
D
$(A), (B), (C)$
Solution
(D) गैस का दबाव $P = P_1 + \frac{kx}{A}$ है। चूंकि $V = V_1 + Ax$,इसलिए $x = \frac{V-V_1}{A}$ है। अतः,$P = P_1 + \frac{k(V-V_1)}{A^2}$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = P_1(V_2-V_1) + \frac{k(V_2-V_1)^2}{2A^2}$।
चूंकि $P_2 = P_1 + \frac{k(V_2-V_1)}{A^2}$,इसलिए $\frac{k(V_2-V_1)}{A^2} = P_2 - P_1$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$W = P_1(V_2-V_1) + \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1) = \frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1)$।
स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{V_2-V_1}{A})^2 = \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1)$।
स्थिति $I$: $V_2=2V_1, T_2=3T_1$। $PV=nRT$ से,$P_2(2V_1) = nR(3T_1) = 3P_1V_1 \implies P_2 = 1.5P_1$।
$U_s = \frac{1}{2}(1.5P_1-P_1)(2V_1-V_1) = \frac{1}{2}(0.5P_1)(V_1) = 0.25P_1V_1 = \frac{1}{4}P_1V_1$। ($A$ सही है)
$\Delta U = \frac{3}{2}(1.5P_1 \cdot 2V_1 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(3P_1V_1 - P_1V_1) = 3P_1V_1$। ($B$ सही है)
स्थिति $II$: $V_2=3V_1, T_2=4T_1$। $P_2(3V_1) = nR(4T_1) = 4P_1V_1 \implies P_2 = \frac{4}{3}P_1$।
$W = \frac{1}{2}(P_1 + \frac{4}{3}P_1)(3V_1-V_1) = \frac{1}{2}(\frac{7}{3}P_1)(2V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1$। ($C$ सही है)
$Q = W + \Delta U = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(\frac{4}{3}P_1 \cdot 3V_1 - P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(3P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + 4.5P_1V_1 = \frac{41}{6}P_1V_1$। ($D$ सही है)
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = P_1(V_2-V_1) + \frac{k(V_2-V_1)^2}{2A^2}$।
चूंकि $P_2 = P_1 + \frac{k(V_2-V_1)}{A^2}$,इसलिए $\frac{k(V_2-V_1)}{A^2} = P_2 - P_1$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$W = P_1(V_2-V_1) + \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1) = \frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1)$।
स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{V_2-V_1}{A})^2 = \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1)$।
स्थिति $I$: $V_2=2V_1, T_2=3T_1$। $PV=nRT$ से,$P_2(2V_1) = nR(3T_1) = 3P_1V_1 \implies P_2 = 1.5P_1$।
$U_s = \frac{1}{2}(1.5P_1-P_1)(2V_1-V_1) = \frac{1}{2}(0.5P_1)(V_1) = 0.25P_1V_1 = \frac{1}{4}P_1V_1$। ($A$ सही है)
$\Delta U = \frac{3}{2}(1.5P_1 \cdot 2V_1 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(3P_1V_1 - P_1V_1) = 3P_1V_1$। ($B$ सही है)
स्थिति $II$: $V_2=3V_1, T_2=4T_1$। $P_2(3V_1) = nR(4T_1) = 4P_1V_1 \implies P_2 = \frac{4}{3}P_1$।
$W = \frac{1}{2}(P_1 + \frac{4}{3}P_1)(3V_1-V_1) = \frac{1}{2}(\frac{7}{3}P_1)(2V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1$। ($C$ सही है)
$Q = W + \Delta U = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(\frac{4}{3}P_1 \cdot 3V_1 - P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(3P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + 4.5P_1V_1 = \frac{41}{6}P_1V_1$। ($D$ सही है)
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19
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
एक अवतल दर्पण और एक उत्तल लेंस (अपवर्तनांक $=1.5$) जिनकी फोकस दूरी $10 \ cm$ है,को हवा (अपवर्तनांक $=1$) में $50 \ cm$ की दूरी पर चित्रानुसार रखा गया है। एक वस्तु को दर्पण से $15 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है। इस संयोजन द्वारा निर्मित इसके सीधे प्रतिबिंब का आवर्धन $M_1$ है। जब इस सेटअप को $7/6$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो आवर्धन $M_2$ हो जाता है। परिमाण $\left|\frac{M_2}{M_1}\right|$ है
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$5$
Solution
(A) $1$. हवा में दर्पण के लिए: $u = -15 \ cm$,$f = -10 \ cm$। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v} - \frac{1}{15} = -\frac{1}{10} \Rightarrow v = -30 \ cm$। प्रतिबिंब दर्पण के बाईं ओर $30 \ cm$ पर बनता है। आवर्धन $M_{m1} = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$।
$2$. यह प्रतिबिंब लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस से दूरी $u' = -(50 + 30) = -80 \ cm$। लेंस की फोकस दूरी $f_l = 10 \ cm$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f_l}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v'} + \frac{1}{80} = \frac{1}{10} \Rightarrow v' = \frac{80}{7} \ cm$। आवर्धन $M_{l1} = \frac{v'}{u'} = \frac{80/7}{-80} = -\frac{1}{7}$। कुल आवर्धन $M_1 = M_{m1} \times M_{l1} = (-2) \times (-1/7) = 2/7$।
$3$. माध्यम $\mu_m = 7/6$ में: दर्पण की फोकस दूरी $f = -10 \ cm$ रहती है। $M_{m2} = -2$। लेंस की फोकस दूरी $f'_l$ बदल जाती है: $\frac{1}{f'_l} = \left(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$। अतः $\frac{f'_l}{f_l} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{7/6} - 1} = 1.75 = 7/4$। अतः $f'_l = 10 \times 7/4 = 17.5 \ cm$।
$4$. लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u' = -80 \ cm$। $\frac{1}{v''} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{17.5} \Rightarrow v'' = 22.4 \ cm$। $M_{l2} = \frac{v''}{u'} = -7/25$। कुल आवर्धन $M_2 = M_{m2} \times M_{l2} = 14/25$।
$5$. $\left|\frac{M_2}{M_1}\right| = \left|\frac{14/25}{2/7}\right| = 7$।
$2$. यह प्रतिबिंब लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस से दूरी $u' = -(50 + 30) = -80 \ cm$। लेंस की फोकस दूरी $f_l = 10 \ cm$। लेंस सूत्र $\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f_l}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{v'} + \frac{1}{80} = \frac{1}{10} \Rightarrow v' = \frac{80}{7} \ cm$। आवर्धन $M_{l1} = \frac{v'}{u'} = \frac{80/7}{-80} = -\frac{1}{7}$। कुल आवर्धन $M_1 = M_{m1} \times M_{l1} = (-2) \times (-1/7) = 2/7$।
$3$. माध्यम $\mu_m = 7/6$ में: दर्पण की फोकस दूरी $f = -10 \ cm$ रहती है। $M_{m2} = -2$। लेंस की फोकस दूरी $f'_l$ बदल जाती है: $\frac{1}{f'_l} = \left(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$। अतः $\frac{f'_l}{f_l} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{7/6} - 1} = 1.75 = 7/4$। अतः $f'_l = 10 \times 7/4 = 17.5 \ cm$।
$4$. लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u' = -80 \ cm$। $\frac{1}{v''} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{17.5} \Rightarrow v'' = 22.4 \ cm$। $M_{l2} = \frac{v''}{u'} = -7/25$। कुल आवर्धन $M_2 = M_{m2} \times M_{l2} = 14/25$।
$5$. $\left|\frac{M_2}{M_1}\right| = \left|\frac{14/25}{2/7}\right| = 7$।
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20
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
एक अनंत लंबाई का एकसमान रेखीय आवेश वितरण,जिसकी प्रति इकाई लंबाई आवेश घनत्व $\lambda$ है,$y-z$ समतल में $z=\frac{\sqrt{3}}{2} a$ पर $y$-अक्ष के समानांतर स्थित है (चित्र देखें)। यदि $x-y$ समतल में स्थित और मूल बिंदु पर केंद्र वाली आयताकार सतह $A B C D$ से गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स का परिमाण $\frac{\lambda L }{ n \varepsilon_0}$ ($\varepsilon_0=$ निर्वात की विद्युतशीलता) है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा रेखीय आवेश पर अंतरित ठोस कोण से संबंधित होता है। वैकल्पिक रूप से,हम समरूपता की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं। आयताकार सतह की चौड़ाई $a$ और लंबाई $L$ है। रेखीय आवेश से आयत के केंद्र तक की दूरी $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।
रेखीय आवेश पर चौड़ाई $a$ द्वारा अंतरित कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\tan(\theta/2) = \frac{a/2}{d} = \frac{a/2}{(\sqrt{3}/2)a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta/2 = 30^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 60^{\circ}$ है।
रेखीय आवेश के चारों ओर का कुल कोण $360^{\circ}$ है। रेखीय आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए आवश्यक ऐसी समान आयताकार सतहों की संख्या $n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,आवेश $q_{enclosed}$ को घेरने वाली एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है। रेखीय आवेश की $L$ लंबाई के लिए,घिरा हुआ आवेश $q = \lambda L$ है।
चूंकि फ्लक्स $6$ सतहों के बीच समान रूप से वितरित है,इसलिए एक सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \frac{\lambda L}{6 \varepsilon_0}$ है।
दिए गए व्यंजक $\frac{\lambda L}{n \varepsilon_0}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।
रेखीय आवेश पर चौड़ाई $a$ द्वारा अंतरित कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\tan(\theta/2) = \frac{a/2}{d} = \frac{a/2}{(\sqrt{3}/2)a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta/2 = 30^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 60^{\circ}$ है।
रेखीय आवेश के चारों ओर का कुल कोण $360^{\circ}$ है। रेखीय आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए आवश्यक ऐसी समान आयताकार सतहों की संख्या $n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,आवेश $q_{enclosed}$ को घेरने वाली एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है। रेखीय आवेश की $L$ लंबाई के लिए,घिरा हुआ आवेश $q = \lambda L$ है।
चूंकि फ्लक्स $6$ सतहों के बीच समान रूप से वितरित है,इसलिए एक सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \frac{\lambda L}{6 \varepsilon_0}$ है।
दिए गए व्यंजक $\frac{\lambda L}{n \varepsilon_0}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।
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PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2015
एक हाइड्रोजन परमाणु पर विचार करें जिसका इलेक्ट्रॉन $n^{\text{th}}$ कक्षा में है। परमाणु को आयनित करने के लिए $90 \ nm$ तरंग दैर्ध्य के विद्युत चुम्बकीय विकिरण का उपयोग किया जाता है। यदि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $10.4 \ eV$ है,तो $n$ का मान क्या होगा? $(hc = 1242 \ eV \ nm)$
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \ eV \ nm}{90 \ nm} = 13.8 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा से हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_n = \frac{13.6 \ eV}{n^2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,फोटॉन की ऊर्जा आयनीकरण ऊर्जा और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$E_{\text{photon}} = E_n + K.E.$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$13.8 \ eV = \frac{13.6 \ eV}{n^2} + 10.4 \ eV$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{13.6}{n^2} = 13.8 - 10.4 = 3.4$.
$n^2$ के लिए हल करने पर:
$n^2 = \frac{13.6}{3.4} = 4$.
अतः,$n = 2$ प्राप्त होता है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा से हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_n = \frac{13.6 \ eV}{n^2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,फोटॉन की ऊर्जा आयनीकरण ऊर्जा और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$E_{\text{photon}} = E_n + K.E.$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$13.8 \ eV = \frac{13.6 \ eV}{n^2} + 10.4 \ eV$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{13.6}{n^2} = 13.8 - 10.4 = 3.4$.
$n^2$ के लिए हल करने पर:
$n^2 = \frac{13.6}{3.4} = 4$.
अतः,$n = 2$ प्राप्त होता है।
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22
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
एक परमाणु ऊर्जा संयंत्र जो एक गाँव को विद्युत शक्ति प्रदान करता है,ईंधन के रूप में $T$ वर्ष की अर्ध-आयु वाले रेडियोधर्मी पदार्थ का उपयोग करता है। शुरुआत में ईंधन की मात्रा ऐसी है कि गाँव की कुल बिजली की आवश्यकता उस समय संयंत्र से उपलब्ध विद्युत शक्ति का $12.5 \%$ है। यदि संयंत्र $n T$ वर्ष की अधिकतम अवधि के लिए गाँव की कुल बिजली की जरूरतों को पूरा करने में सक्षम है,तो $n$ का मान क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) परमाणु संयंत्र द्वारा उत्पन्न शक्ति रेडियोधर्मी ईंधन की सक्रियता $A$ के सीधे आनुपातिक होती है। मान लीजिए कि प्रारंभिक शक्ति $P_0$ है और $t$ समय पर शक्ति $P(t)$ है।
$t$ समय पर सक्रियता $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि गाँव की बिजली की आवश्यकता $P_{req}$ प्रारंभिक शक्ति $P_0$ का $12.5 \%$ है,इसलिए $P_{req} = 0.125 P_0 = \frac{1}{8} P_0$ है।
संयंत्र तब तक जरूरतों को पूरा कर सकता है जब तक $P(t) \ge P_{req}$ है। अधिकतम समय $t = nT$ तब होता है जब $P(nT) = P_{req}$ हो।
अतः,$P_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{nT}{T}} = \frac{1}{8} P_0$।
$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
$t$ समय पर सक्रियता $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि गाँव की बिजली की आवश्यकता $P_{req}$ प्रारंभिक शक्ति $P_0$ का $12.5 \%$ है,इसलिए $P_{req} = 0.125 P_0 = \frac{1}{8} P_0$ है।
संयंत्र तब तक जरूरतों को पूरा कर सकता है जब तक $P(t) \ge P_{req}$ है। अधिकतम समय $t = nT$ तब होता है जब $P(nT) = P_{req}$ हो।
अतः,$P_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{nT}{T}} = \frac{1}{8} P_0$।
$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
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PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
यंग की डबल स्लिट व्यतिकरण व्यवस्था जिसमें स्लिट $S_1$ और $S_2$ पानी में (अपवर्तनांक $\mu_w = 4/3$) डूबी हुई हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पानी की सतह पर उच्चिष्ठ (maxima) की स्थितियाँ $x^2 = p^2 m^2 \lambda^2 - d^2$ द्वारा दी गई हैं,जहाँ $\lambda$ हवा में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है (अपवर्तनांक $\mu_a = 1$),$2d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है और $m$ एक पूर्णांक है। $p$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) माना कि पानी की सतह पर एक बिंदु की स्लिट्स के बीच के बिंदु से दूरी $x$ है। इस बिंदु की प्रत्येक स्लिट $S_1$ और $S_2$ से दूरी $\sqrt{d^2 + x^2}$ है।
इस बिंदु पर पथ अंतर $\Delta$ ऑप्टिकल पथ के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$S_2$ से बिंदु तक का ऑप्टिकल पथ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
$S_1$ से बिंदु तक का ऑप्टिकल पथ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
चित्र के अनुसार,पथ अंतर $\Delta = \mu_w \sqrt{d^2+x^2} - \sqrt{d^2+x^2} = m\lambda$ है।
$\Delta = (\mu_w - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\mu_w = 4/3$ रखने पर:
$(\frac{4}{3} - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\frac{1}{3} \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\sqrt{d^2 + x^2} = 3m\lambda$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$d^2 + x^2 = 9m^2\lambda^2$
$x^2 = 9m^2\lambda^2 - d^2$
इसे $x^2 = p^2 m^2 \lambda^2 - d^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p^2 = 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 3$।
इस बिंदु पर पथ अंतर $\Delta$ ऑप्टिकल पथ के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$S_2$ से बिंदु तक का ऑप्टिकल पथ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
$S_1$ से बिंदु तक का ऑप्टिकल पथ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
चित्र के अनुसार,पथ अंतर $\Delta = \mu_w \sqrt{d^2+x^2} - \sqrt{d^2+x^2} = m\lambda$ है।
$\Delta = (\mu_w - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\mu_w = 4/3$ रखने पर:
$(\frac{4}{3} - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\frac{1}{3} \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\sqrt{d^2 + x^2} = 3m\lambda$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$d^2 + x^2 = 9m^2\lambda^2$
$x^2 = 9m^2\lambda^2 - d^2$
इसे $x^2 = p^2 m^2 \lambda^2 - d^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p^2 = 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 3$।
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24
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
आपतित फोटॉन तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के साथ प्रकाश-विद्युत प्रभाव के लिए,निरोधी विभव (stopping potential) $V_0$ है। $V_0$ का $\lambda$ और $1/\lambda$ के साथ सही परिवर्तन पहचानें।
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $K_{max} = eV_0$,इसलिए $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जो सरल होकर $V_0 = \left(\frac{hc}{e}\right) \frac{1}{\lambda} - \frac{\phi}{e}$ हो जाता है।
$1$. $V_0$ का $1/\lambda$ के साथ परिवर्तन: यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $y = V_0$,$x = 1/\lambda$,ढाल $m = hc/e$,और अंतःखंड $c = -\phi/e$ है। यह ग्राफ $(C)$ के अनुरूप है।
$2$. $V_0$ का $\lambda$ के साथ परिवर्तन: जैसे-जैसे $\lambda$ बढ़ता है,$1/\lambda$ घटता है,इसलिए $V_0$ घटता है। संबंध $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ है। यह एक वक्र है जो घटता है और देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0 = hc/\phi$ पर शून्य हो जाता है। यह ग्राफ $(B)$ के अनुरूप है।
चूंकि $K_{max} = eV_0$,इसलिए $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जो सरल होकर $V_0 = \left(\frac{hc}{e}\right) \frac{1}{\lambda} - \frac{\phi}{e}$ हो जाता है।
$1$. $V_0$ का $1/\lambda$ के साथ परिवर्तन: यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $y = V_0$,$x = 1/\lambda$,ढाल $m = hc/e$,और अंतःखंड $c = -\phi/e$ है। यह ग्राफ $(C)$ के अनुरूप है।
$2$. $V_0$ का $\lambda$ के साथ परिवर्तन: जैसे-जैसे $\lambda$ बढ़ता है,$1/\lambda$ घटता है,इसलिए $V_0$ घटता है। संबंध $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ है। यह एक वक्र है जो घटता है और देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0 = hc/\phi$ पर शून्य हो जाता है। यह ग्राफ $(B)$ के अनुरूप है।
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PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
नीचे दिए गए चित्र दो स्थितियाँ दर्शाते हैं जिनमें समान धनात्मक रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के दो अनंत लंबाई के स्थिर रेखीय आवेश एक-दूसरे के समानांतर रखे गए हैं। उनके परिणामी विद्युत क्षेत्र में, बिंदु आवेश $+q$ और $-q$ को उनके बीच संतुलन में रखा गया है। बिंदु आवेश केवल $x$ दिशा में गति करने के लिए सीमित हैं। यदि उन्हें उनकी संतुलन स्थितियों के परितः थोड़ा विस्थापन दिया जाता है, तो सही कथन है/हैं:
A
दोनों आवेश सरल आवर्त गति करते हैं।
B
दोनों आवेश अपने विस्थापन की दिशा में गति करना जारी रखेंगे।
C
आवेश $+q$ सरल आवर्त गति करता है जबकि आवेश $-q$ अपने विस्थापन की दिशा में गति करना जारी रखता है।
D
आवेश $-q$ सरल आवर्त गति करता है जबकि आवेश $+q$ अपने विस्थापन की दिशा में गति करना जारी रखता है।
Solution
(C) मान लीजिए कि संतुलन स्थिति की प्रत्येक रेखीय आवेश से दूरी $r$ है। $d$ दूरी पर एक रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 d}$ है।
आवेश $+q$ के लिए (स्थिति $I$): यदि इसे दाईं ओर $x$ से विस्थापित किया जाता है, तो कुल बल $F = qE_{left} - qE_{right} = q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} - q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r-x} - \frac{1}{r+x} \right) = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{2x}{r^2-x^2} \right) \approx \frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ है। चूँकि बल $-x$ (प्रत्यानयन बल) के समानुपाती है, इसलिए आवेश $+q$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है।
आवेश $-q$ के लिए (स्थिति $II$): यदि इसे दाईं ओर $x$ से विस्थापित किया जाता है, तो बाईं ओर के रेखीय आवेश से बल आकर्षण (बाईं ओर) होता है और दाईं ओर के रेखीय आवेश से बल आकर्षण (दाईं ओर) होता है। कुल बल $F = qE_{right} - qE_{left} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} - \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} = -\frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ है। चूँकि बल विस्थापन की दिशा में है, इसलिए यह संतुलन स्थिति से दूर गति करना जारी रखेगा।
आवेश $+q$ के लिए (स्थिति $I$): यदि इसे दाईं ओर $x$ से विस्थापित किया जाता है, तो कुल बल $F = qE_{left} - qE_{right} = q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} - q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r-x} - \frac{1}{r+x} \right) = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{2x}{r^2-x^2} \right) \approx \frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ है। चूँकि बल $-x$ (प्रत्यानयन बल) के समानुपाती है, इसलिए आवेश $+q$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है।
आवेश $-q$ के लिए (स्थिति $II$): यदि इसे दाईं ओर $x$ से विस्थापित किया जाता है, तो बाईं ओर के रेखीय आवेश से बल आकर्षण (बाईं ओर) होता है और दाईं ओर के रेखीय आवेश से बल आकर्षण (दाईं ओर) होता है। कुल बल $F = qE_{right} - qE_{left} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} - \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} = -\frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ है। चूँकि बल विस्थापन की दिशा में है, इसलिए यह संतुलन स्थिति से दूर गति करना जारी रखेगा।
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26
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
दो समान कांच की छड़ें $S_1$ और $S_2$ (अपवर्तनांक $= 1.5$) के एक सिरे पर $10 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाली उत्तल सतह है। उन्हें चित्र में दिखाए अनुसार $d$ दूरी पर वक्र सतहों के साथ रखा गया है,और उनकी अक्ष (डैश वाली रेखा द्वारा दिखाई गई) एक सीध में है। जब प्रकाश का एक बिंदु स्रोत $P$,छड़ $S_1$ के अंदर उसकी अक्ष पर वक्र सतह से $50 \ cm$ की दूरी पर रखा जाता है,तो उससे निकलने वाली प्रकाश किरणें छड़ $S_2$ के अंदर अक्ष के समानांतर पाई जाती हैं। दूरी $d$ है ($cm$ में)
A
$60$
B
$70$
C
$80$
D
$90$
Solution
(B) $S_1$ की वक्र सतह पर पहले अपवर्तन के लिए:
सूत्र $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n_1 = 1.5$,$n_2 = 1$,$u = -50 \ cm$,और $R = -10 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-50} = \frac{1 - 1.5}{-10}$
$\frac{1}{v} + 0.03 = 0.05$
$\frac{1}{v} = 0.02 \Rightarrow v = 50 \ cm$ (किरणें $S_1$ की सतह से हवा में $50 \ cm$ की दूरी पर एक आभासी प्रतिबिंब बनाती हैं)।
$S_2$ की वक्र सतह पर दूसरे अपवर्तन के लिए:
किरणों को $S_2$ के अंदर अक्ष के समानांतर होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि पहली सतह द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब दूसरी सतह के लिए उसके मुख्य फोकस पर एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n_1 = 1$,$n_2 = 1.5$,$v = \infty$,और $R = +10 \ cm$:
$0 - \frac{1}{-x} = \frac{0.5}{10} = 0.05$
$x = 20 \ cm$ (यह $S_2$ की सतह से आभासी वस्तु की दूरी है)।
कुल दूरी $d = v + x = 50 \ cm + 20 \ cm = 70 \ cm$।
सूत्र $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n_1 = 1.5$,$n_2 = 1$,$u = -50 \ cm$,और $R = -10 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-50} = \frac{1 - 1.5}{-10}$
$\frac{1}{v} + 0.03 = 0.05$
$\frac{1}{v} = 0.02 \Rightarrow v = 50 \ cm$ (किरणें $S_1$ की सतह से हवा में $50 \ cm$ की दूरी पर एक आभासी प्रतिबिंब बनाती हैं)।
$S_2$ की वक्र सतह पर दूसरे अपवर्तन के लिए:
किरणों को $S_2$ के अंदर अक्ष के समानांतर होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि पहली सतह द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब दूसरी सतह के लिए उसके मुख्य फोकस पर एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n_1 = 1$,$n_2 = 1.5$,$v = \infty$,और $R = +10 \ cm$:
$0 - \frac{1}{-x} = \frac{0.5}{10} = 0.05$
$x = 20 \ cm$ (यह $S_2$ की सतह से आभासी वस्तु की दूरी है)।
कुल दूरी $d = v + x = 50 \ cm + 20 \ cm = 70 \ cm$।
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एक चालक (चित्र में दिखाया गया है) जिसमें स्थिर धारा $I$ प्रवाहित हो रही है,को $x-y$ तल में एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखा गया है। यदि $F$ चालक पर कार्य करने वाले कुल चुंबकीय बल का परिमाण है,तो सही कथन है(हैं):
A
$(A)$ यदि $\vec{B}$,$\hat{z}$ के अनुदिश है,तो $F \propto (L+R)$
B
$(B)$ यदि $\vec{B}$,$\hat{x}$ के अनुदिश है,तो $F = 0$
C
$(C)$ यदि $\vec{B}$,$\hat{y}$ के अनुदिश है,तो $F \propto (L+R)$
D
$(D)$ यदि $\vec{B}$,$\hat{z}$ के अनुदिश है,तो $F = 0$
Solution
(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ चालक के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
ज्यामिति को देखने पर,चालक एक बिंदु से शुरू होता है और $x$-अक्ष पर कुल क्षैतिज दूरी $L + R + R + L = 2(L+R)$ पर समाप्त होता है।
अतः,$\vec{L}_{eff} = 2(L+R)\hat{i}$.
इसलिए,$\vec{F} = I(2(L+R)\hat{i} \times \vec{B}) = 2I(L+R)(\hat{i} \times \vec{B})$.
$(A)$ यदि $\vec{B} = B\hat{z}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{z}) = -2I(L+R)B\hat{j}$. परिमाण $F = 2I(L+R)B$,इसलिए $F \propto (L+R)$. यह सही है।
$(B)$ यदि $\vec{B} = B\hat{x}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{x}) = 0$. यह सही है।
$(C)$ यदि $\vec{B} = B\hat{y}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{y}) = 2I(L+R)B\hat{z}$. परिमाण $F = 2I(L+R)B$,इसलिए $F \propto (L+R)$. यह सही है।
$(D)$ यदि $\vec{B} = B\hat{z}$ है,तो $F \neq 0$. यह गलत है।
अतः,सही कथन $(A), (B),$ और $(C)$ हैं।
ज्यामिति को देखने पर,चालक एक बिंदु से शुरू होता है और $x$-अक्ष पर कुल क्षैतिज दूरी $L + R + R + L = 2(L+R)$ पर समाप्त होता है।
अतः,$\vec{L}_{eff} = 2(L+R)\hat{i}$.
इसलिए,$\vec{F} = I(2(L+R)\hat{i} \times \vec{B}) = 2I(L+R)(\hat{i} \times \vec{B})$.
$(A)$ यदि $\vec{B} = B\hat{z}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{z}) = -2I(L+R)B\hat{j}$. परिमाण $F = 2I(L+R)B$,इसलिए $F \propto (L+R)$. यह सही है।
$(B)$ यदि $\vec{B} = B\hat{x}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{x}) = 0$. यह सही है।
$(C)$ यदि $\vec{B} = B\hat{y}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{y}) = 2I(L+R)B\hat{z}$. परिमाण $F = 2I(L+R)B$,इसलिए $F \propto (L+R)$. यह सही है।
$(D)$ यदि $\vec{B} = B\hat{z}$ है,तो $F \neq 0$. यह गलत है।
अतः,सही कथन $(A), (B),$ और $(C)$ हैं।
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वर्गाकार अनुप्रस्थ काट वाले एल्युमिनियम $(Al)$ की छड़ में,एक वर्गाकार छेद किया जाता है और उसमें चित्रानुसार लोहा $(Fe)$ भरा जाता है। $Al$ और $Fe$ की विद्युत प्रतिरोधकता क्रमशः $2.7 \times 10^{-8} \ \Omega m$ और $1.0 \times 10^{-7} \ \Omega m$ है। संयुक्त छड़ के दो फलकों $P$ और $Q$ के बीच विद्युत प्रतिरोध क्या है?
A
$\frac{2475}{64} \mu \Omega$
B
$\frac{1875}{64} \mu \Omega$
C
$\frac{1875}{49} \mu \Omega$
D
$\frac{2475}{132} \mu \Omega$
Solution
(B) संयुक्त छड़ दो समानांतर प्रतिरोधों के रूप में कार्य करती है,एक $Fe$ का और एक $Al$ का।
लंबाई $L = 50 \times 10^{-3} \ m$.
$Fe$ कोर का क्षेत्रफल $A_{Fe} = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Al$ भाग का क्षेत्रफल $A_{Al} = (7 \times 10^{-3} \ m)^2 - (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = (49 - 4) \times 10^{-6} \ m^2 = 45 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Fe$ भाग का प्रतिरोध: $R_{Fe} = \frac{\rho_{Fe} L}{A_{Fe}} = \frac{1.0 \times 10^{-7} \times 50 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^{-3} \ \Omega = 1250 \ \mu \Omega$.
$Al$ भाग का प्रतिरोध: $R_{Al} = \frac{\rho_{Al} L}{A_{Al}} = \frac{2.7 \times 10^{-8} \times 50 \times 10^{-3}}{45 \times 10^{-6}} = 0.03 \times 10^{-3} \ \Omega = 30 \ \mu \Omega$.
चूंकि वे समानांतर में हैं,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_{Fe} \times R_{Al}}{R_{Fe} + R_{Al}} = \frac{1250 \times 30}{1250 + 30} = \frac{37500}{1280} \ \mu \Omega = \frac{3750}{128} \ \mu \Omega = \frac{1875}{64} \ \mu \Omega$.
लंबाई $L = 50 \times 10^{-3} \ m$.
$Fe$ कोर का क्षेत्रफल $A_{Fe} = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Al$ भाग का क्षेत्रफल $A_{Al} = (7 \times 10^{-3} \ m)^2 - (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = (49 - 4) \times 10^{-6} \ m^2 = 45 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Fe$ भाग का प्रतिरोध: $R_{Fe} = \frac{\rho_{Fe} L}{A_{Fe}} = \frac{1.0 \times 10^{-7} \times 50 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^{-3} \ \Omega = 1250 \ \mu \Omega$.
$Al$ भाग का प्रतिरोध: $R_{Al} = \frac{\rho_{Al} L}{A_{Al}} = \frac{2.7 \times 10^{-8} \times 50 \times 10^{-3}}{45 \times 10^{-6}} = 0.03 \times 10^{-3} \ \Omega = 30 \ \mu \Omega$.
चूंकि वे समानांतर में हैं,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R_{Fe} \times R_{Al}}{R_{Fe} + R_{Al}} = \frac{1250 \times 30}{1250 + 30} = \frac{37500}{1280} \ \mu \Omega = \frac{3750}{128} \ \mu \Omega = \frac{1875}{64} \ \mu \Omega$.
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स्तंभ $I$ में दी गई परमाणु प्रक्रियाओं को स्तंभ $II$ के उपयुक्त विकल्प(विकल्पों) के साथ सुमेलित करें।
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
|---|---|
| $A$. परमाणु संलयन | $P$. ${}_{92}^{235}U$ द्वारा थर्मल न्यूट्रॉन का अवशोषण |
| $B$. परमाणु रिएक्टर में विखंडन | $Q$. ${}_{27}^{60}Co$ नाभिक |
| $C$. $\beta$-क्षय | $R$. हाइड्रोजन के हीलियम में रूपांतरण द्वारा तारों में ऊर्जा उत्पादन |
| $D$. $\gamma$-किरण उत्सर्जन | $S$. भारी जल |
| $T$. न्यूट्रिनो उत्सर्जन |
A
$A \rightarrow (R, T); B \rightarrow (P, S); C \rightarrow (P, Q, R, T); D \rightarrow (P, Q, R, T)$
B
$A \rightarrow (R, S); B \rightarrow (P, T); C \rightarrow (P, Q, R, S); D \rightarrow (P, Q, R, S)$
C
$A \rightarrow (R, S); B \rightarrow (P, Q); C \rightarrow (P, Q, R, S); D \rightarrow (P, Q, T, S)$
D
$A \rightarrow (P, T); B \rightarrow (Q, S); C \rightarrow (Q, R, S, T); D \rightarrow (P, R, S, T)$
Solution
(A) . परमाणु संलयन: तारों में,हाइड्रोजन नाभिक जुड़कर हीलियम बनाते हैं,जिससे ऊर्जा मुक्त होती है $(R)$। इस प्रक्रिया में न्यूट्रिनो का उत्सर्जन भी होता है $(T)$। अतः,$A \rightarrow (R, T)$।
$B$. परमाणु रिएक्टर में विखंडन: विखंडन ${}_{92}^{235}U$ द्वारा थर्मल न्यूट्रॉन के अवशोषण से होता है $(P)$। भारी जल $(S)$ का उपयोग परमाणु रिएक्टरों में मंदक (moderator) के रूप में किया जाता है। अतः,$B \rightarrow (P, S)$।
$C$. $\beta$-क्षय: इस प्रक्रिया में इलेक्ट्रॉन/पॉज़िट्रॉन और न्यूट्रिनो का उत्सर्जन शामिल है $(T)$।
$D$. $\gamma$-किरण उत्सर्जन: यह तब होता है जब एक उत्तेजित नाभिक,जैसे ${}_{27}^{60}Co$,निम्न ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करता है। अतः,$D$ का संबंध $Q$ से है।
$B$. परमाणु रिएक्टर में विखंडन: विखंडन ${}_{92}^{235}U$ द्वारा थर्मल न्यूट्रॉन के अवशोषण से होता है $(P)$। भारी जल $(S)$ का उपयोग परमाणु रिएक्टरों में मंदक (moderator) के रूप में किया जाता है। अतः,$B \rightarrow (P, S)$।
$C$. $\beta$-क्षय: इस प्रक्रिया में इलेक्ट्रॉन/पॉज़िट्रॉन और न्यूट्रिनो का उत्सर्जन शामिल है $(T)$।
$D$. $\gamma$-किरण उत्सर्जन: यह तब होता है जब एक उत्तेजित नाभिक,जैसे ${}_{27}^{60}Co$,निम्न ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करता है। अतः,$D$ का संबंध $Q$ से है।
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एक रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए,इसकी सक्रियता $A$ और इसकी सक्रियता के परिवर्तन की दर $R$ को $A = -\frac{dN}{dt}$ और $R = -\frac{dA}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर नाभिकों की संख्या है। दो रेडियोधर्मी स्रोत $P$ (माध्य आयु $\tau$) और $Q$ (माध्य आयु $2\tau$) की $t = 0$ पर सक्रियता समान है। $t = 2\tau$ पर उनकी सक्रियता के परिवर्तन की दरें क्रमशः $R_P$ और $R_Q$ हैं। यदि $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{n}{e}$ है,तो $n$ का मान क्या है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) एक रेडियोधर्मी स्रोत की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{1}{\tau}$ क्षय नियतांक है।
स्रोत $P$ के लिए,$\lambda_P = \frac{1}{\tau}$। स्रोत $Q$ के लिए,$\lambda_Q = \frac{1}{2\tau}$।
सक्रियता के परिवर्तन की दर $R = -\frac{dA}{dt} = -\frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = A_0 \lambda e^{-\lambda t}$ है।
यह दिया गया है कि $t = 0$ पर दोनों के लिए $A_0$ समान है,इसलिए $R_P(t) = A_0 \lambda_P e^{-\lambda_P t}$ और $R_Q(t) = A_0 \lambda_Q e^{-\lambda_Q t}$ प्राप्त होता है।
$t = 2\tau$ पर:
$R_P = A_0 (\frac{1}{\tau}) e^{-(\frac{1}{\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{\tau} e^{-2}$।
$R_Q = A_0 (\frac{1}{2\tau}) e^{-(\frac{1}{2\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{2\tau} e^{-1}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{\frac{A_0}{\tau} e^{-2}}{\frac{A_0}{2\tau} e^{-1}} = 2 \cdot \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}$।
इसे $\frac{n}{e}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।
स्रोत $P$ के लिए,$\lambda_P = \frac{1}{\tau}$। स्रोत $Q$ के लिए,$\lambda_Q = \frac{1}{2\tau}$।
सक्रियता के परिवर्तन की दर $R = -\frac{dA}{dt} = -\frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = A_0 \lambda e^{-\lambda t}$ है।
यह दिया गया है कि $t = 0$ पर दोनों के लिए $A_0$ समान है,इसलिए $R_P(t) = A_0 \lambda_P e^{-\lambda_P t}$ और $R_Q(t) = A_0 \lambda_Q e^{-\lambda_Q t}$ प्राप्त होता है।
$t = 2\tau$ पर:
$R_P = A_0 (\frac{1}{\tau}) e^{-(\frac{1}{\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{\tau} e^{-2}$।
$R_Q = A_0 (\frac{1}{2\tau}) e^{-(\frac{1}{2\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{2\tau} e^{-1}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{\frac{A_0}{\tau} e^{-2}}{\frac{A_0}{2\tau} e^{-1}} = 2 \cdot \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}$।
इसे $\frac{n}{e}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।
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प्रकाश की एक एकवर्णी किरण $n$ अपवर्तनांक वाले एक समबाहु प्रिज्म के एक फलक पर $60^{\circ}$ पर आपतित होती है और विपरीत फलक से अभिलंब के साथ $\theta(n)$ कोण बनाते हुए बाहर निकलती है (चित्र देखें)। $n=\sqrt{3}$ के लिए $\theta$ का मान $60^{\circ}$ है और $\frac{d \theta}{d n}=m$ है। $m$ का मान है
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) प्रथम सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\sin(60^{\circ}) = n \sin(r_1) \Rightarrow \sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$.
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$,इसलिए $r_1 + r_2 = 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है $r_2 = 60^{\circ} - r_1$.
दूसरी सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n \sin(r_2) = \sin(\theta)$.
$r_2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sin(\theta) = n \sin(60^{\circ} - r_1) = n [\sin(60^{\circ}) \cos(r_1) - \cos(60^{\circ}) \sin(r_1)]$.
चूंकि $\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$,इसलिए $\cos(r_1) = \sqrt{1 - \frac{3}{4n^2}} = \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n}$.
इन मानों को $\sin(\theta)$ के समीकरण में रखने पर:
$\sin(\theta) = n [\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2n}] = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{4n^2 - 3} - 1)$.
$n$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos(\theta) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{4n^2 - 3}} \cdot 8n = \frac{\sqrt{3} n}{\sqrt{4n^2 - 3}}$.
$n = \sqrt{3}$ और $\theta = 60^{\circ}$ पर,$\cos(60^{\circ}) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4(3) - 3}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dn} = 1 \Rightarrow \frac{d\theta}{dn} = 2$. अतः,$m = 2$.
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$,इसलिए $r_1 + r_2 = 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है $r_2 = 60^{\circ} - r_1$.
दूसरी सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n \sin(r_2) = \sin(\theta)$.
$r_2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sin(\theta) = n \sin(60^{\circ} - r_1) = n [\sin(60^{\circ}) \cos(r_1) - \cos(60^{\circ}) \sin(r_1)]$.
चूंकि $\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$,इसलिए $\cos(r_1) = \sqrt{1 - \frac{3}{4n^2}} = \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n}$.
इन मानों को $\sin(\theta)$ के समीकरण में रखने पर:
$\sin(\theta) = n [\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2n}] = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{4n^2 - 3} - 1)$.
$n$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos(\theta) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{4n^2 - 3}} \cdot 8n = \frac{\sqrt{3} n}{\sqrt{4n^2 - 3}}$.
$n = \sqrt{3}$ और $\theta = 60^{\circ}$ पर,$\cos(60^{\circ}) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4(3) - 3}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dn} = 1 \Rightarrow \frac{d\theta}{dn} = 2$. अतः,$m = 2$.
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निम्नलिखित परिपथ में,प्रतिरोध $R(=2 \Omega)$ से प्रवाहित धारा $I$ एम्पीयर है। $I$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(A) परिपथ को श्रेणी और समांतर संयोजन के नियमों का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है।
सबसे पहले,दाईं ओर की शाखा में $2 \Omega$ और $4 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणी में हैं,इसलिए उनका कुल प्रतिरोध $2+4=6 \Omega$ है।
यह $6 \Omega$ प्रतिरोध मध्य शाखा के $6 \Omega$ प्रतिरोध के साथ समांतर में है,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $\frac{6 \times 6}{6+6} = 3 \Omega$ होगा।
अब,कुल प्रतिरोध $R_{total} = 2 \Omega + ( (6+12) || (2+4) ) = 2 + (18 || 6) = 2 + \frac{18 \times 6}{18+6} = 2 + 4.5 = 6.5 \Omega$ प्राप्त होता है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{6.5 \text{ V}}{6.5 \Omega} = 1 \text{ A}$।
सबसे पहले,दाईं ओर की शाखा में $2 \Omega$ और $4 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणी में हैं,इसलिए उनका कुल प्रतिरोध $2+4=6 \Omega$ है।
यह $6 \Omega$ प्रतिरोध मध्य शाखा के $6 \Omega$ प्रतिरोध के साथ समांतर में है,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $\frac{6 \times 6}{6+6} = 3 \Omega$ होगा।
अब,कुल प्रतिरोध $R_{total} = 2 \Omega + ( (6+12) || (2+4) ) = 2 + (18 || 6) = 2 + \frac{18 \times 6}{18+6} = 2 + 4.5 = 6.5 \Omega$ प्राप्त होता है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{6.5 \text{ V}}{6.5 \Omega} = 1 \text{ A}$।
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
एक विखंडन अभिक्रिया ${ }_{92}^{236} U \rightarrow{ }_{54}^{140} Xe +{ }_{38}^{94} Sr + x + y$ द्वारा दी गई है,जहाँ $x$ और $y$ दो कण हैं। ${ }_{92}^{236} U$ को स्थिर मानते हुए,उत्पादों की गतिज ऊर्जा को क्रमशः $K_{Xe}, K_{Sr}, K_x (2 \ MeV)$ और $K_y (2 \ MeV)$ द्वारा दर्शाया गया है। मान लीजिए कि ${ }_{92}^{236} U, { }_{54}^{140} Xe$ और ${ }_{38}^{94} Sr$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा क्रमशः $7.5 \ MeV, 8.5 \ MeV$ और $8.5 \ MeV$ है। विभिन्न संरक्षण नियमों को ध्यान में रखते हुए,सही विकल्प(विकल्पों) का चयन करें:
A
$x = n, y = n, K_{Sr} = 129 \ MeV, K_{Xe} = 86 \ MeV$
B
$x = p, y = e^-, K_{Sr} = 129 \ MeV, K_{Xe} = 86 \ MeV$
C
$x = p, y = n, K_{Sr} = 129 \ MeV, K_{Xe} = 86 \ MeV$
D
$x = n, y = n, K_{Sr} = 86 \ MeV, K_{Xe} = 129 \ MeV$
Solution
(A) अभिक्रिया का $Q$-मान इस प्रकार गणना की जाती है: $Q = [BE(Xe) + BE(Sr)] - BE(U) = (140 \times 8.5 + 94 \times 8.5) - (236 \times 7.5) = 234 \times 8.5 - 1770 = 1989 - 1770 = 219 \ MeV$.
यह देखते हुए कि $x$ और $y$ की गतिज ऊर्जा प्रत्येक $2 \ MeV$ है,$Xe$ और $Sr$ उत्पादों के लिए उपलब्ध कुल गतिज ऊर्जा $K_{Xe} + K_{Sr} = 219 - 2 - 2 = 215 \ MeV$ है।
आवेश के संरक्षण द्वारा,प्रोटॉन की संख्या संरक्षित होनी चाहिए: $92 = 54 + 38 + Z_x + Z_y$. अतः,$Z_x + Z_y = 0$,जिसका अर्थ है कि $x$ और $y$ न्यूट्रॉन $(n)$ हैं।
संवेग के संरक्षण द्वारा,$p_{Xe} = p_{Sr} \implies \sqrt{2m_{Xe}K_{Xe}} = \sqrt{2m_{Sr}K_{Sr}}$.
$K_{Xe} / K_{Sr} = m_{Sr} / m_{Xe} = 94 / 140 = 47 / 70$.
$K_{Xe} = (47 / 117) \times 215 \approx 86 \ MeV$ और $K_{Sr} = (70 / 117) \times 215 \approx 129 \ MeV$.
यह देखते हुए कि $x$ और $y$ की गतिज ऊर्जा प्रत्येक $2 \ MeV$ है,$Xe$ और $Sr$ उत्पादों के लिए उपलब्ध कुल गतिज ऊर्जा $K_{Xe} + K_{Sr} = 219 - 2 - 2 = 215 \ MeV$ है।
आवेश के संरक्षण द्वारा,प्रोटॉन की संख्या संरक्षित होनी चाहिए: $92 = 54 + 38 + Z_x + Z_y$. अतः,$Z_x + Z_y = 0$,जिसका अर्थ है कि $x$ और $y$ न्यूट्रॉन $(n)$ हैं।
संवेग के संरक्षण द्वारा,$p_{Xe} = p_{Sr} \implies \sqrt{2m_{Xe}K_{Xe}} = \sqrt{2m_{Sr}K_{Sr}}$.
$K_{Xe} / K_{Sr} = m_{Sr} / m_{Xe} = 94 / 140 = 47 / 70$.
$K_{Xe} = (47 / 117) \times 215 \approx 86 \ MeV$ और $K_{Sr} = (70 / 117) \times 215 \approx 129 \ MeV$.
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34
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
मूल बिंदु $O$ पर केंद्रित $R_1$ त्रिज्या के एक समान गोलीय आवेश वितरण पर विचार करें। इस वितरण में,$P$ पर केंद्रित और $OP = a = R_1 - R_2$ दूरी पर (चित्र देखें) $R_2$ त्रिज्या की एक गोलीय गुहा (cavity) बनाई गई है। यदि गुहा के अंदर $\vec{r}$ स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}(\vec{r})$ है,तो सही कथन है/हैं:
A
$\vec{E}$ एकसमान है,इसका परिमाण $R_2$ से स्वतंत्र है लेकिन इसकी दिशा $\vec{r}$ पर निर्भर करती है
B
$\vec{E}$ एकसमान है,इसका परिमाण $R_2$ पर निर्भर करता है और इसकी दिशा $\vec{r}$ पर निर्भर करती है
C
$\vec{E}$ एकसमान है,इसका परिमाण $a$ से स्वतंत्र है लेकिन इसकी दिशा $\vec{a}$ पर निर्भर करती है
D
$\vec{E}$ एकसमान है और इसका परिमाण तथा दिशा दोनों $\vec{a}$ पर निर्भर करते हैं
Solution
(D) समान रूप से आवेशित गोले के भीतर एक गोलीय गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र की गणना अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। हम गुहा वाले गोले को $\rho$ आवेश घनत्व वाले एक ठोस गोले और गुहा को भरने वाले $-\rho$ आवेश घनत्व वाले एक छोटे गोले के योग के रूप में मानते हैं।
$R_1$ त्रिज्या के ठोस गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\vec{r}_1$ केंद्र $O$ से स्थिति सदिश है।
$R_2$ त्रिज्या के छोटे गोले (गुहा) के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_2 = \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\vec{r}_2$ केंद्र $P$ से स्थिति सदिश है।
गुहा के अंदर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ है।
चूंकि $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{OP} = \vec{a}$,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{a}}{3 \varepsilon_0}$ है।
यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र एकसमान (स्थिर) है और यह केवल बड़े गोले के केंद्र को गुहा के केंद्र से जोड़ने वाले सदिश $\vec{a}$ पर निर्भर करता है। यह गुहा के अंदर की स्थिति $\vec{r}$ से स्वतंत्र है और त्रिज्या $R_2$ से भी स्वतंत्र है।
$R_1$ त्रिज्या के ठोस गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\vec{r}_1$ केंद्र $O$ से स्थिति सदिश है।
$R_2$ त्रिज्या के छोटे गोले (गुहा) के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_2 = \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\vec{r}_2$ केंद्र $P$ से स्थिति सदिश है।
गुहा के अंदर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ है।
चूंकि $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{OP} = \vec{a}$,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{a}}{3 \varepsilon_0}$ है।
यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र एकसमान (स्थिर) है और यह केवल बड़े गोले के केंद्र को गुहा के केंद्र से जोड़ने वाले सदिश $\vec{a}$ पर निर्भर करता है। यह गुहा के अंदर की स्थिति $\vec{r}$ से स्वतंत्र है और त्रिज्या $R_2$ से भी स्वतंत्र है।
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PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
$S$ क्षेत्रफल और $d$ प्लेट पृथक्करण वाले एक समानांतर प्लेट संधारित्र की हवा में धारिता $C_1$ है। जब चित्र में दिखाए अनुसार दो प्लेटों के बीच अलग-अलग सापेक्ष विद्युतशीलता $(\varepsilon_1=2$ और $\varepsilon_2=4)$ वाले दो परावैद्युत पेश किए जाते हैं,तो धारिता $C_2$ हो जाती है। अनुपात $\frac{C_2}{C_1}$ है
A
$6/5$
B
$5/3$
C
$7/5$
D
$7/3$
Solution
(D) हवा में धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ है।
संधारित्र को समानांतर में दो भागों के रूप में मॉडल किया जा सकता है। एक भाग में $\varepsilon_1$ परावैद्युत के साथ $S/2$ क्षेत्रफल है,और दूसरे भाग में $S/2$ क्षेत्रफल है जिसमें श्रृंखला में दो परावैद्युत हैं,प्रत्येक की मोटाई $d/2$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_1$ और $\varepsilon_2$ है।
$\varepsilon_1$ परावैद्युत वाली समानांतर शाखा के लिए: $C_A = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 S}{2d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = C_1$.
दूसरी शाखा के लिए,हमारे पास श्रृंखला में दो संधारित्र $C_B$ और $C_C$ हैं,प्रत्येक का क्षेत्रफल $S/2$ और मोटाई $d/2$ है:
$C_B = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_1 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 2 C_1$
$C_C = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_2 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 4 C_1$
इस श्रृंखला शाखा की समतुल्य धारिता $C_{series} = \frac{C_B C_C}{C_B + C_C} = \frac{(2 C_1)(4 C_1)}{2 C_1 + 4 C_1} = \frac{8 C_1^2}{6 C_1} = \frac{4}{3} C_1$ है।
कुल धारिता $C_2 = C_A + C_{series} = C_1 + \frac{4}{3} C_1 = \frac{7}{3} C_1$.
अतः,अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = \frac{7}{3}$ है।
संधारित्र को समानांतर में दो भागों के रूप में मॉडल किया जा सकता है। एक भाग में $\varepsilon_1$ परावैद्युत के साथ $S/2$ क्षेत्रफल है,और दूसरे भाग में $S/2$ क्षेत्रफल है जिसमें श्रृंखला में दो परावैद्युत हैं,प्रत्येक की मोटाई $d/2$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_1$ और $\varepsilon_2$ है।
$\varepsilon_1$ परावैद्युत वाली समानांतर शाखा के लिए: $C_A = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 S}{2d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = C_1$.
दूसरी शाखा के लिए,हमारे पास श्रृंखला में दो संधारित्र $C_B$ और $C_C$ हैं,प्रत्येक का क्षेत्रफल $S/2$ और मोटाई $d/2$ है:
$C_B = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_1 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 2 C_1$
$C_C = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_2 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 4 C_1$
इस श्रृंखला शाखा की समतुल्य धारिता $C_{series} = \frac{C_B C_C}{C_B + C_C} = \frac{(2 C_1)(4 C_1)}{2 C_1 + 4 C_1} = \frac{8 C_1^2}{6 C_1} = \frac{4}{3} C_1$ है।
कुल धारिता $C_2 = C_A + C_{series} = C_1 + \frac{4}{3} C_1 = \frac{7}{3} C_1$.
अतः,अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = \frac{7}{3}$ है।
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PhysicsAdvancedIIT JEE · 2015
ऑप्टिकल फाइबर में प्रकाश का मार्गदर्शन $n_1$ अपवर्तनांक वाले एक पतले ठोस कांच के सिलेंडर और उसके चारों ओर $n_2$ अपवर्तनांक वाले माध्यम की संरचना द्वारा समझा जा सकता है। इस संरचना में प्रकाश का मार्गदर्शन $n_1$ और $n_2$ माध्यमों के इंटरफेस पर होने वाले क्रमिक पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण होता है। आपतन कोण $i$ जिसका मान $i_m$ से कम है,वाले सभी किरणें $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में ही सीमित रहती हैं। संरचना का न्यूमेरिकल एपर्चर $(NA)$ $\sin i_m$ के रूप में परिभाषित है।
$1.$ दो संरचनाओं $S_1$ $(n_1=\sqrt{45}/4, n_2=3/2)$ और $S_2$ $(n_1=8/5, n_2=7/5)$ के लिए,पानी का अपवर्तनांक $4/3$ और हवा का $1$ लेते हुए,सही विकल्प(विकल्पों) है(हैं):
$(A)$ पानी में डूबे $S_1$ का $NA$,$\frac{16}{3\sqrt{15}}$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डूबे $S_2$ के $NA$ के समान है।
$(B)$ $\frac{6}{\sqrt{15}}$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डूबे $S_1$ का $NA$,पानी में डूबे $S_2$ के $NA$ के समान है।
$(C)$ हवा में रखे $S_1$ का $NA$,$\frac{4}{\sqrt{15}}$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डूबे $S_2$ के $NA$ के समान है।
$(D)$ हवा में रखे $S_1$ का $NA$,पानी में रखे $S_2$ के $NA$ के समान है।
$2.$ यदि समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली,लेकिन अलग-अलग न्यूमेरिकल एपर्चर $NA_1$ और $NA_2$ $(NA_2 < NA_1)$ वाली दो संरचनाओं को अनुदैर्ध्य रूप से जोड़ा जाता है,तो संयुक्त संरचना का न्यूमेरिकल एपर्चर क्या होगा?
$(A)$ $\frac{NA_1 NA_2}{NA_1+NA_2}$ $(B)$ $NA_1+NA_2$ $(C)$ $NA_1$ $(D)$ $NA_2$
$1.$ दो संरचनाओं $S_1$ $(n_1=\sqrt{45}/4, n_2=3/2)$ और $S_2$ $(n_1=8/5, n_2=7/5)$ के लिए,पानी का अपवर्तनांक $4/3$ और हवा का $1$ लेते हुए,सही विकल्प(विकल्पों) है(हैं):
$(A)$ पानी में डूबे $S_1$ का $NA$,$\frac{16}{3\sqrt{15}}$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डूबे $S_2$ के $NA$ के समान है।
$(B)$ $\frac{6}{\sqrt{15}}$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डूबे $S_1$ का $NA$,पानी में डूबे $S_2$ के $NA$ के समान है।
$(C)$ हवा में रखे $S_1$ का $NA$,$\frac{4}{\sqrt{15}}$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डूबे $S_2$ के $NA$ के समान है।
$(D)$ हवा में रखे $S_1$ का $NA$,पानी में रखे $S_2$ के $NA$ के समान है।
$2.$ यदि समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली,लेकिन अलग-अलग न्यूमेरिकल एपर्चर $NA_1$ और $NA_2$ $(NA_2 < NA_1)$ वाली दो संरचनाओं को अनुदैर्ध्य रूप से जोड़ा जाता है,तो संयुक्त संरचना का न्यूमेरिकल एपर्चर क्या होगा?
$(A)$ $\frac{NA_1 NA_2}{NA_1+NA_2}$ $(B)$ $NA_1+NA_2$ $(C)$ $NA_1$ $(D)$ $NA_2$
Solution
(C) $1.$ पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\theta \geq c$ है,जहाँ $c$ क्रांतिक कोण है।
ज्यामिति से,$\theta = 90^{\circ} - r$,इसलिए $90^{\circ} - r \geq c \Rightarrow \cos r \geq \sin c$.
प्रवेश द्वार पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$n_m \sin i_m = n_1 \sin r$,और $\sin c = n_2/n_1$,हमें $\sin i_m = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ प्राप्त होता है। अतः,$NA = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
$S_1$ के लिए: $n_1^2 - n_2^2 = 45/16 - 9/4 = 9/16$. इसलिए $NA(S_1) = \frac{3}{4n_m}$.
$S_2$ के लिए: $n_1^2 - n_2^2 = 64/25 - 49/25 = 15/25 = 3/5$. इसलिए $NA(S_2) = \frac{\sqrt{15}}{5n_m}$.
$(A)$ की जाँच: $NA(S_1, \text{पानी}) = \frac{3/4}{4/3} = 9/16$. $NA(S_2, \text{द्रव}) = \frac{\sqrt{15}/5}{16/(3\sqrt{15})} = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = \frac{45}{80} = 9/16$. (सही)
$(C)$ की जाँच: $NA(S_1, \text{हवा}) = 3/4$. $NA(S_2, \text{द्रव}) = \frac{\sqrt{15}/5}{4/\sqrt{15}} = \frac{15}{20} = 3/4$. (सही)
अतः,विकल्प $(A)$ और $(C)$ सही हैं।
$2.$ जब अलग-अलग न्यूमेरिकल एपर्चर वाले दो ऑप्टिकल फाइबर को श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो प्रकाश को दोनों फाइबर में पूर्ण आंतरिक परावर्तन की शर्त को पूरा करना होता है। सीमित कोण कम न्यूमेरिकल एपर्चर वाले फाइबर द्वारा निर्धारित होता है। इसलिए,संयुक्त $NA$ का मान $NA_2$ होगा।
ज्यामिति से,$\theta = 90^{\circ} - r$,इसलिए $90^{\circ} - r \geq c \Rightarrow \cos r \geq \sin c$.
प्रवेश द्वार पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$n_m \sin i_m = n_1 \sin r$,और $\sin c = n_2/n_1$,हमें $\sin i_m = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ प्राप्त होता है। अतः,$NA = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
$S_1$ के लिए: $n_1^2 - n_2^2 = 45/16 - 9/4 = 9/16$. इसलिए $NA(S_1) = \frac{3}{4n_m}$.
$S_2$ के लिए: $n_1^2 - n_2^2 = 64/25 - 49/25 = 15/25 = 3/5$. इसलिए $NA(S_2) = \frac{\sqrt{15}}{5n_m}$.
$(A)$ की जाँच: $NA(S_1, \text{पानी}) = \frac{3/4}{4/3} = 9/16$. $NA(S_2, \text{द्रव}) = \frac{\sqrt{15}/5}{16/(3\sqrt{15})} = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = \frac{45}{80} = 9/16$. (सही)
$(C)$ की जाँच: $NA(S_1, \text{हवा}) = 3/4$. $NA(S_2, \text{द्रव}) = \frac{\sqrt{15}/5}{4/\sqrt{15}} = \frac{15}{20} = 3/4$. (सही)
अतः,विकल्प $(A)$ और $(C)$ सही हैं।
$2.$ जब अलग-अलग न्यूमेरिकल एपर्चर वाले दो ऑप्टिकल फाइबर को श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो प्रकाश को दोनों फाइबर में पूर्ण आंतरिक परावर्तन की शर्त को पूरा करना होता है। सीमित कोण कम न्यूमेरिकल एपर्चर वाले फाइबर द्वारा निर्धारित होता है। इसलिए,संयुक्त $NA$ का मान $NA_2$ होगा।
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PhysicsAdvancedIIT JEE · 2015
एक पतली आयताकार धात्विक पट्टी में, चित्र में दिखाए अनुसार धनात्मक $x$-दिशा में एक स्थिर धारा $I$ बहती है। पट्टी की लंबाई, चौड़ाई और मोटाई क्रमशः $\ell$, $w$ और $d$ हैं। पट्टी पर धनात्मक $y$-दिशा में एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ लगाया जाता है। इसके कारण, आवेश वाहक $z$-दिशा में एक शुद्ध विक्षेपण का अनुभव करते हैं। इसके परिणामस्वरूप सतह $PQRS$ पर आवेश वाहकों का संचय होता है और $PQRS$ के विपरीत फलक पर समान और विपरीत आवेश दिखाई देते हैं। इस प्रकार $z$-दिशा में एक विभवांतर विकसित होता है। आवेश का संचय तब तक जारी रहता है जब तक कि चुंबकीय बल विद्युत बल द्वारा संतुलित न हो जाए। यह माना जाता है कि धारा पट्टी के अनुप्रस्थ काट पर समान रूप से वितरित है और इलेक्ट्रॉनों द्वारा ले जाई जाती है।
$1.$ समान पदार्थ की दो अलग-अलग धात्विक पट्टियों ($1$ और $2$) पर विचार करें। उनकी लंबाई समान है, चौड़ाई क्रमशः $w_1$ और $w_2$ है और मोटाई क्रमशः $d_1$ और $d_2$ है। दो बिंदु $K$ और $M$ $x$-$y$ तल के समानांतर विपरीत फलकों पर सममित रूप से स्थित हैं (चित्र देखें)। $V_1$ और $V_2$ क्रमशः पट्टी $1$ और $2$ में $K$ और $M$ के बीच के विभवांतर हैं। तो, दिए गए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ में उनके माध्यम से बहने वाली दी गई धारा $I$ के लिए, सही कथन है(हैं):
$(A)$ यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2=2V_1$
$(B)$ यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2=V_1$
$(C)$ यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2=2V_1$
$(D)$ यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2=V_1$
$2.$ समान आयामों (लंबाई $\ell$, चौड़ाई $w$ और मोटाई $d$) और क्रमशः वाहक घनत्व $n_1$ और $n_2$ वाली दो अलग-अलग धात्विक पट्टियों ($1$ और $2$) पर विचार करें। पट्टी $1$ को चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ में और पट्टी $2$ को चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ में रखा गया है, दोनों धनात्मक $y$-दिशा में। तो $V_1$ और $V_2$ क्रमशः पट्टी $1$ और $2$ में $K$ और $M$ के बीच विकसित विभवांतर हैं। यह मानते हुए कि दोनों पट्टियों के लिए धारा $I$ समान है, सही विकल्प है(हैं):
$(A)$ यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $V_2=2V_1$
$(B)$ यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $V_2=V_1$
$(C)$ यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $V_2=0.5V_1$
$(D)$ यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $V_2=V_1$
प्रश्न $1$ और $2$ का उत्तर दें।
$1.$ समान पदार्थ की दो अलग-अलग धात्विक पट्टियों ($1$ और $2$) पर विचार करें। उनकी लंबाई समान है, चौड़ाई क्रमशः $w_1$ और $w_2$ है और मोटाई क्रमशः $d_1$ और $d_2$ है। दो बिंदु $K$ और $M$ $x$-$y$ तल के समानांतर विपरीत फलकों पर सममित रूप से स्थित हैं (चित्र देखें)। $V_1$ और $V_2$ क्रमशः पट्टी $1$ और $2$ में $K$ और $M$ के बीच के विभवांतर हैं। तो, दिए गए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ में उनके माध्यम से बहने वाली दी गई धारा $I$ के लिए, सही कथन है(हैं):
$(A)$ यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2=2V_1$
$(B)$ यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2=V_1$
$(C)$ यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2=2V_1$
$(D)$ यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2=V_1$
$2.$ समान आयामों (लंबाई $\ell$, चौड़ाई $w$ और मोटाई $d$) और क्रमशः वाहक घनत्व $n_1$ और $n_2$ वाली दो अलग-अलग धात्विक पट्टियों ($1$ और $2$) पर विचार करें। पट्टी $1$ को चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ में और पट्टी $2$ को चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ में रखा गया है, दोनों धनात्मक $y$-दिशा में। तो $V_1$ और $V_2$ क्रमशः पट्टी $1$ और $2$ में $K$ और $M$ के बीच विकसित विभवांतर हैं। यह मानते हुए कि दोनों पट्टियों के लिए धारा $I$ समान है, सही विकल्प है(हैं):
$(A)$ यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $V_2=2V_1$
$(B)$ यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $V_2=V_1$
$(C)$ यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $V_2=0.5V_1$
$(D)$ यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $V_2=V_1$
प्रश्न $1$ और $2$ का उत्तर दें।
Solution
(D) हॉल वोल्टेज $V$ को $V = v B w$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ अपवाह वेग है, $B$ चुंबकीय क्षेत्र है, और $w$ चौड़ाई है।
चूंकि $I = n e A v = n e (w d) v$, हमारे पास $v = \frac{I}{n e w d}$ है।
$V$ के व्यंजक में $v$ को प्रतिस्थापित करने पर: $V = \left(\frac{I}{n e w d}\right) B w = \frac{I B}{n e d}$।
$1.$ समान पदार्थ ($n$ स्थिर है) और समान धारा $I$ और क्षेत्र $B$ के लिए, $V \propto \frac{1}{d}$।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{d_1}{d_2}$।
यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2 = \frac{2d_2}{d_2} V_1 = 2V_1$। (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2 = \frac{d_1}{d_1} V_1 = V_1$। (विकल्प $D$ सही है)।
$2.$ समान आयामों ($w, d$ स्थिर) और समान धारा $I$ के लिए, $V \propto \frac{B}{n}$।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{B_1} \cdot \frac{n_1}{n_2}$।
यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $\frac{V_2}{V_1} = 1 \cdot \frac{2n_2}{n_2} = 2$, इसलिए $V_2=2V_1$। (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{2B_2} \cdot 1 = 0.5$, इसलिए $V_2=0.5V_1$। (विकल्प $C$ सही है)।
अतः, सही उत्तर $AD$ और $AC$ हैं।
चूंकि $I = n e A v = n e (w d) v$, हमारे पास $v = \frac{I}{n e w d}$ है।
$V$ के व्यंजक में $v$ को प्रतिस्थापित करने पर: $V = \left(\frac{I}{n e w d}\right) B w = \frac{I B}{n e d}$।
$1.$ समान पदार्थ ($n$ स्थिर है) और समान धारा $I$ और क्षेत्र $B$ के लिए, $V \propto \frac{1}{d}$।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{d_1}{d_2}$।
यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2 = \frac{2d_2}{d_2} V_1 = 2V_1$। (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2 = \frac{d_1}{d_1} V_1 = V_1$। (विकल्प $D$ सही है)।
$2.$ समान आयामों ($w, d$ स्थिर) और समान धारा $I$ के लिए, $V \propto \frac{B}{n}$।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{B_1} \cdot \frac{n_1}{n_2}$।
यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $\frac{V_2}{V_1} = 1 \cdot \frac{2n_2}{n_2} = 2$, इसलिए $V_2=2V_1$। (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{2B_2} \cdot 1 = 0.5$, इसलिए $V_2=0.5V_1$। (विकल्प $C$ सही है)।
अतः, सही उत्तर $AD$ और $AC$ हैं।
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38
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
$Li^{2+}$ आयन की एक उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\frac{3 h}{2 \pi}$ है। इस अवस्था में इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $p \pi a_{0}$ है (जहाँ, $a_{0} = \text{बोर त्रिज्या}$)। $p$ का मान है
A
$3$
B
$2$
C
$1$
D
$4$
Solution
(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार, कोणीय संवेग $L = \frac{n h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $L = \frac{3 h}{2 \pi}$, जिससे हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग के क्वांटीकरण से, $mvr = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$, इसलिए $mv = \frac{3h}{2\pi r}$।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h \cdot 2\pi r}{3h} = \frac{2}{3} \pi r$।
हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r = a_{0} \frac{n^2}{Z}$ होती है।
$Li^{2+}$ के लिए, $Z = 3$ और $n = 3$, इसलिए $r = a_{0} \frac{3^2}{3} = 3 a_{0}$।
$r$ का मान $\lambda$ के व्यंजक में रखने पर: $\lambda = \frac{2}{3} \pi (3 a_{0}) = 2 \pi a_{0}$।
इसे दिए गए रूप $p \pi a_{0}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $p = 2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $L = \frac{3 h}{2 \pi}$, जिससे हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग के क्वांटीकरण से, $mvr = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$, इसलिए $mv = \frac{3h}{2\pi r}$।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h \cdot 2\pi r}{3h} = \frac{2}{3} \pi r$।
हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r = a_{0} \frac{n^2}{Z}$ होती है।
$Li^{2+}$ के लिए, $Z = 3$ और $n = 3$, इसलिए $r = a_{0} \frac{3^2}{3} = 3 a_{0}$।
$r$ का मान $\lambda$ के व्यंजक में रखने पर: $\lambda = \frac{2}{3} \pi (3 a_{0}) = 2 \pi a_{0}$।
इसे दिए गए रूप $p \pi a_{0}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $p = 2$ प्राप्त होता है।
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