PhysicsQ1–38 of 38 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
એક ગોળીને ગોળાકાર ગ્રહની સપાટી પરથી $v$ વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ છોડવામાં આવે છે. જ્યારે તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે,ત્યારે ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તેનો પ્રવેગ સપાટી પરના તેના મૂલ્યના $1/4$ ગણો હોય છે. જો ગ્રહમાંથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{esc} = v \sqrt{N}$ હોય,તો $N$ નું મૂલ્ય શોધો (વાતાવરણને કારણે થતો ઉર્જાનો વ્યય અવગણો).
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) ધારો કે ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ છે અને તેનું દળ $M$ છે. સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = GM/R^2$ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = GM/(R+h)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = g/4$,તેથી $GM/(R+h)^2 = (1/4) \cdot (GM/R^2)$,જે સૂચવે છે કે $(R+h)^2 = 4R^2$,એટલે કે $R+h = 2R$,અથવા $h = R$.
સપાટી પર અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h=R$ પર ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/(R+R))$
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/2R)$
$(1/2)mv^2 = GMm/2R \implies v^2 = GM/R$.
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{esc} = \sqrt{2GM/R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$GM/R = v^2$ મૂકતા,આપણને $v_{esc} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$ મળે છે.
આને $v_{esc} = v\sqrt{N}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $N = 2$ મળે છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = GM/(R+h)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = g/4$,તેથી $GM/(R+h)^2 = (1/4) \cdot (GM/R^2)$,જે સૂચવે છે કે $(R+h)^2 = 4R^2$,એટલે કે $R+h = 2R$,અથવા $h = R$.
સપાટી પર અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h=R$ પર ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/(R+R))$
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/2R)$
$(1/2)mv^2 = GMm/2R \implies v^2 = GM/R$.
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{esc} = \sqrt{2GM/R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$GM/R = v^2$ મૂકતા,આપણને $v_{esc} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$ મળે છે.
આને $v_{esc} = v\sqrt{N}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $N = 2$ મળે છે.
0 likesView Solution
2
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
બે સમાન એકસમાન ડિસ્ક બે અલગ-અલગ સપાટીઓ $AB$ અને $CD$ પર (આકૃતિ જુઓ) સરક્યા વિના ગબડે છે,જે અનુક્રમે $A$ અને $C$ થી $v_1$ અને $v_2$ ની રેખીય ઝડપ સાથે શરૂ થાય છે અને હંમેશા સપાટીના સંપર્કમાં રહે છે. જો તેઓ $B$ અને $D$ પર સમાન રેખીય ઝડપ સાથે પહોંચે અને $v_1 = 3 \ m/s$ હોય,તો $m/s$ માં $v_2$ કેટલું હશે? $(g = 10 \ m/s^2)$
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(C) સરક્યા વિના ગબડતી ડિસ્કની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જાઓનો સરવાળો,વત્તા તેની સ્થિતિ ઉર્જા છે.
કુલ ઉર્જા $E = K_{trans} + K_{rot} + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh$.
એકસમાન ડિસ્ક માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
આમ,$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 + mgh = \frac{3}{4}mv^2 + mgh$.
બિંદુઓ $A$ અને $B$,તથા $C$ અને $D$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
માર્ગ $AB$ માટે: $E_A = E_B \implies \frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,જ્યાં $h_1 = 30 \ m$.
માર્ગ $CD$ માટે: $E_C = E_D \implies \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,જ્યાં $h_2 = 27 \ m$.
$\frac{3}{4}mv_f^2$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4}(3)^2 + 10(30) = \frac{3}{4}v_2^2 + 10(27)$.
$\frac{27}{4} + 300 = \frac{3}{4}v_2^2 + 270$.
$6.75 + 30 = \frac{3}{4}v_2^2 \implies 36.75 = \frac{3}{4}v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{36.75 \times 4}{3} = 12.25 \times 4 = 49$.
$v_2 = \sqrt{49} = 7 \ m/s$.
કુલ ઉર્જા $E = K_{trans} + K_{rot} + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh$.
એકસમાન ડિસ્ક માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
આમ,$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 + mgh = \frac{3}{4}mv^2 + mgh$.
બિંદુઓ $A$ અને $B$,તથા $C$ અને $D$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
માર્ગ $AB$ માટે: $E_A = E_B \implies \frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,જ્યાં $h_1 = 30 \ m$.
માર્ગ $CD$ માટે: $E_C = E_D \implies \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,જ્યાં $h_2 = 27 \ m$.
$\frac{3}{4}mv_f^2$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4}(3)^2 + 10(30) = \frac{3}{4}v_2^2 + 10(27)$.
$\frac{27}{4} + 300 = \frac{3}{4}v_2^2 + 270$.
$6.75 + 30 = \frac{3}{4}v_2^2 \implies 36.75 = \frac{3}{4}v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{36.75 \times 4}{3} = 12.25 \times 4 = 49$.
$v_2 = \sqrt{49} = 7 \ m/s$.
0 likesView Solution
3
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
બે ગોળાકાર તારાઓ $A$ અને $B$ બ્લેકબોડી રેડિયેશન ઉત્સર્જિત કરે છે. $A$ ની ત્રિજ્યા $B$ કરતા $400$ ગણી છે અને $A$ એ $B$ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર કરતા $10^4$ ગણો પાવર ઉત્સર્જિત કરે છે. તેમની સંબંધિત રેડિયેશન વક્રમાં જે તરંગલંબાઇ $\lambda_A$ અને $\lambda_B$ પર શિખરો (peaks) જોવા મળે છે,તેમનો ગુણોત્તર $(\lambda_A / \lambda_B)$ કેટલો છે?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,બ્લેકબોડી દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi R^2) T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_A = 400 R_B$ અને $P_A = 10^4 P_B$.
આ કિંમતોને પાવરના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P_A}{P_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = (400)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = 160000 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = 1.6 \times 10^5 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = \frac{10^4}{1.6 \times 10^5} = \frac{1}{16}$.
ચોથું મૂળ લેતા,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $T_B = 2 T_A$.
વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ મુજબ,$\lambda T = \text{અચળ}$,તેથી $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$.
તેથી,$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{T_B}{T_A} = 2$.
આપેલ છે કે $R_A = 400 R_B$ અને $P_A = 10^4 P_B$.
આ કિંમતોને પાવરના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P_A}{P_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = (400)^2 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$10^4 = 160000 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = 1.6 \times 10^5 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$.
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4 = \frac{10^4}{1.6 \times 10^5} = \frac{1}{16}$.
ચોથું મૂળ લેતા,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $T_B = 2 T_A$.
વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ મુજબ,$\lambda T = \text{અચળ}$,તેથી $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$.
તેથી,$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{T_B}{T_A} = 2$.
0 likesView Solution
4
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
એક વર્નિયર કેલિપર્સ ધ્યાનમાં લો જેમાં મુખ્ય સ્કેલ પરના દરેક $1 \ cm$ ને $8$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા છે અને એક સ્ક્રૂ ગેજ જેમાં તેના વર્તુળાકાર સ્કેલ પર $100$ વિભાગો છે. વર્નિયર કેલિપર્સમાં,વર્નિયર સ્કેલના $5$ વિભાગો મુખ્ય સ્કેલના $4$ વિભાગો સાથે સંપાત થાય છે અને સ્ક્રૂ ગેજમાં,વર્તુળાકાર સ્કેલનું એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ તેને રેખીય સ્કેલ પર બે વિભાગો જેટલું ખસેડે છે. તો:
$(A)$ જો સ્ક્રૂ ગેજનું પિચ વર્નિયર કેલિપર્સના લઘુત્તમ માપ $(LC)$ કરતા બમણું હોય,તો સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $0.01 \ mm$ છે.
$(B)$ જો સ્ક્રૂ ગેજનું પિચ વર્નિયર કેલિપર્સના લઘુત્તમ માપ $(LC)$ કરતા બમણું હોય,તો સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $0.005 \ mm$ છે.
$(C)$ જો સ્ક્રૂ ગેજના રેખીય સ્કેલનું લઘુત્તમ માપ વર્નિયર કેલિપર્સના લઘુત્તમ માપ કરતા બમણું હોય,તો સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $0.01 \ mm$ છે.
$(D)$ જો સ્ક્રૂ ગેજના રેખીય સ્કેલનું લઘુત્તમ માપ વર્નિયર કેલિપર્સના લઘુત્તમ માપ કરતા બમણું હોય,તો સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $0.005 \ mm$ છે.
$(A)$ જો સ્ક્રૂ ગેજનું પિચ વર્નિયર કેલિપર્સના લઘુત્તમ માપ $(LC)$ કરતા બમણું હોય,તો સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $0.01 \ mm$ છે.
$(B)$ જો સ્ક્રૂ ગેજનું પિચ વર્નિયર કેલિપર્સના લઘુત્તમ માપ $(LC)$ કરતા બમણું હોય,તો સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $0.005 \ mm$ છે.
$(C)$ જો સ્ક્રૂ ગેજના રેખીય સ્કેલનું લઘુત્તમ માપ વર્નિયર કેલિપર્સના લઘુત્તમ માપ કરતા બમણું હોય,તો સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $0.01 \ mm$ છે.
$(D)$ જો સ્ક્રૂ ગેજના રેખીય સ્કેલનું લઘુત્તમ માપ વર્નિયર કેલિપર્સના લઘુત્તમ માપ કરતા બમણું હોય,તો સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $0.005 \ mm$ છે.
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(C, D)$
Solution
(C) $1$. વર્નિયર કેલિપર્સ: $1$ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ $= 1/8 \ cm = 0.125 \ cm$. આપેલ છે કે $5$ $VSD$ $= 4$ $MSD$,તેથી $1$ $VSD$ $= 4/5$ $MSD$ $= 0.8 \times 0.125 \ cm = 0.1 \ cm$. લઘુત્તમ માપ $(LC)$ $= 1$ $MSD$ $- 1$ $VSD$ $= 0.125 - 0.1 = 0.025 \ cm = 0.25 \ mm$.
$2$. સ્ક્રૂ ગેજ: એક પરિભ્રમણ તેને રેખીય સ્કેલ પર $2$ વિભાગો ખસેડે છે. ધારો કે $1$ રેખીય સ્કેલ વિભાગ $= x$. પિચ $P = 2x$. $LC$ $= P / 100 = 2x / 100 = x / 50$.
$3$. કિસ્સો $1$: પિચ $P = 2 \times$ વર્નિયરનું $LC$ $= 2 \times 0.25 \ mm = 0.5 \ mm$. તો સ્ક્રૂ ગેજનું $LC$ $= 0.5 \ mm / 100 = 0.005 \ mm$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$4$. કિસ્સો $2$: રેખીય સ્કેલ વિભાગ $x = 2 \times$ વર્નિયરનું $LC$ $= 2 \times 0.25 \ mm = 0.5 \ mm$. તો સ્ક્રૂ ગેજનું $LC$ $= x / 50 = 0.5 \ mm / 50 = 0.01 \ mm$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
$2$. સ્ક્રૂ ગેજ: એક પરિભ્રમણ તેને રેખીય સ્કેલ પર $2$ વિભાગો ખસેડે છે. ધારો કે $1$ રેખીય સ્કેલ વિભાગ $= x$. પિચ $P = 2x$. $LC$ $= P / 100 = 2x / 100 = x / 50$.
$3$. કિસ્સો $1$: પિચ $P = 2 \times$ વર્નિયરનું $LC$ $= 2 \times 0.25 \ mm = 0.5 \ mm$. તો સ્ક્રૂ ગેજનું $LC$ $= 0.5 \ mm / 100 = 0.005 \ mm$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$4$. કિસ્સો $2$: રેખીય સ્કેલ વિભાગ $x = 2 \times$ વર્નિયરનું $LC$ $= 2 \times 0.25 \ mm = 0.5 \ mm$. તો સ્ક્રૂ ગેજનું $LC$ $= x / 50 = 0.5 \ mm / 50 = 0.01 \ mm$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
0 likesView Solution
5
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
પ્લાન્કનો અચળાંક $h$,પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ નો ઉપયોગ લંબાઈનો એકમ $L$ અને દળનો એકમ $M$ બનાવવા માટે થાય છે. તો સાચો વિકલ્પ/વિકલ્પો કયા છે?
$(A)$ $M \propto \sqrt{c}$
$(B)$ $M \propto \sqrt{G}$
$(C)$ $L \propto \sqrt{h}$
$(D)$ $L \propto \sqrt{G}$
$(A)$ $M \propto \sqrt{c}$
$(B)$ $M \propto \sqrt{G}$
$(C)$ $L \propto \sqrt{h}$
$(D)$ $L \propto \sqrt{G}$
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(C) અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
દળ $M$ શોધવા માટે,ધારો કે $M = k h^a c^b G^d$. પરિમાણો મૂકતા:
$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$
ઘાતની સરખામણી કરતા:
$a - d = 1 \implies a = 1 + d$
$2a + b + 3d = 0$
$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$
બીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.
તેથી $a = 1/2$ અને $b = 1/2$.
આમ,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
તે જ રીતે લંબાઈ $L = k h^x c^y G^z$ માટે:
$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$x - z = 0 \implies x = z$
$2x + y + 3z = 1$
$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$
$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
તેથી $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.
$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.
આ સંબંધો પરથી:
$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$
$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$
તેથી,વિકલ્પો $(A), (C), (D)$ સાચા છે.
$h = [M L^2 T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
દળ $M$ શોધવા માટે,ધારો કે $M = k h^a c^b G^d$. પરિમાણો મૂકતા:
$[M] = [M L^2 T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^d$
$[M] = M^{a-d} L^{2a+b+3d} T^{-a-b-2d}$
ઘાતની સરખામણી કરતા:
$a - d = 1 \implies a = 1 + d$
$2a + b + 3d = 0$
$-a - b - 2d = 0 \implies b = -a - 2d = -(1+d) - 2d = -1 - 3d$
બીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2(1+d) + (-1-3d) + 3d = 0 \implies 2 + 2d - 1 = 0 \implies d = -1/2$.
તેથી $a = 1/2$ અને $b = 1/2$.
આમ,$M \propto \sqrt{\frac{hc}{G}}$.
તે જ રીતે લંબાઈ $L = k h^x c^y G^z$ માટે:
$[L] = [M L^2 T^{-1}]^x [L T^{-1}]^y [M^{-1} L^3 T^{-2}]^z$
$x - z = 0 \implies x = z$
$2x + y + 3z = 1$
$-x - y - 2z = 0 \implies y = -3z$
$2z - 3z + 3z = 1 \implies 2z = 1 \implies z = 1/2$.
તેથી $x = 1/2, y = -3/2, z = 1/2$.
$L \propto \sqrt{\frac{hG}{c^3}}$.
આ સંબંધો પરથી:
$M \propto \sqrt{h}, M \propto \sqrt{c}, M \propto 1/\sqrt{G}$
$L \propto \sqrt{h}, L \propto \sqrt{G}, L \propto 1/\sqrt{c^3}$
તેથી,વિકલ્પો $(A), (C), (D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
6
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
સમાન દળ ધરાવતા બે સ્વતંત્ર હાર્મોનિક ઓસિલેટર ઉદગમબિંદુની આસપાસ કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1$ અને $\omega_2$ સાથે દોલન કરે છે અને તેમની કુલ ઊર્જા અનુક્રમે $E_1$ અને $E_2$ છે. તેમના વેગમાન $p$ ના સ્થાન $x$ સાથેના ફેરફારો આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. જો $\frac{a}{b}= n^2$ અને $\frac{a}{R}= n$ હોય,તો સાચું સમીકરણ (સમીકરણો) કયું (કયા) છે:
$(A) E_1 \omega_1 = E_2 \omega_2$
$(B) \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$
$(C) \omega_1 \omega_2 = n^2$
$(D) \frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$
$(A) E_1 \omega_1 = E_2 \omega_2$
$(B) \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$
$(C) \omega_1 \omega_2 = n^2$
$(D) \frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(A) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,ફેઝ સ્પેસ $(p-x)$ માં ગતિપથનું સમીકરણ $\frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{2E/m\omega^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ઉપવલય $\frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1$ દર્શાવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $b$ એ મહત્તમ વેગમાન $p_{max} = m\omega a$ છે.
પ્રથમ ઓસિલેટર માટે:
$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$ અને $b = m \omega_1 a$. તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1}$.
બીજા ઓસિલેટર માટે:
$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$ અને ગતિપથ એક વર્તુળ છે,તેથી $p_{max} = x_{max} \Rightarrow m \omega_2 R = R \Rightarrow m \omega_2 = 1$.
$m \omega_2 = 1$ ને $\frac{a}{b}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
વળી,$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$. પ્રથમ ઓસિલેટર માટે,$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$. બીજા માટે,$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$. કારણ કે $m \omega_2 = 1$,$E_2 = \frac{1}{2} \omega_2 R^2$.
આપેલ છે કે $\frac{a}{R} = n$,તેથી $a = nR$.
$\frac{a}{b} = n^2$ પરથી,$b = \frac{a}{n^2} = \frac{nR}{n^2} = \frac{R}{n}$.
કારણ કે $b = m \omega_1 a$,$\frac{R}{n} = m \omega_1 (nR) \Rightarrow m \omega_1 = \frac{1}{n^2}$.
હવે,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2}{\omega_1} = \frac{1}{2} m \omega_1 a^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{n^2}) (nR)^2 = \frac{1}{2} R^2$.
અને $\frac{E_2}{\omega_2} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2}{\omega_2} = \frac{1}{2} m \omega_2 R^2 = \frac{1}{2} (1) R^2 = \frac{1}{2} R^2$.
તેથી,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$ (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
પ્રથમ ઓસિલેટર માટે:
$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$ અને $b = m \omega_1 a$. તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1}$.
બીજા ઓસિલેટર માટે:
$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$ અને ગતિપથ એક વર્તુળ છે,તેથી $p_{max} = x_{max} \Rightarrow m \omega_2 R = R \Rightarrow m \omega_2 = 1$.
$m \omega_2 = 1$ ને $\frac{a}{b}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
વળી,$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$. પ્રથમ ઓસિલેટર માટે,$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$. બીજા માટે,$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$. કારણ કે $m \omega_2 = 1$,$E_2 = \frac{1}{2} \omega_2 R^2$.
આપેલ છે કે $\frac{a}{R} = n$,તેથી $a = nR$.
$\frac{a}{b} = n^2$ પરથી,$b = \frac{a}{n^2} = \frac{nR}{n^2} = \frac{R}{n}$.
કારણ કે $b = m \omega_1 a$,$\frac{R}{n} = m \omega_1 (nR) \Rightarrow m \omega_1 = \frac{1}{n^2}$.
હવે,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2}{\omega_1} = \frac{1}{2} m \omega_1 a^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{n^2}) (nR)^2 = \frac{1}{2} R^2$.
અને $\frac{E_2}{\omega_2} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2}{\omega_2} = \frac{1}{2} m \omega_2 R^2 = \frac{1}{2} (1) R^2 = \frac{1}{2} R^2$.
તેથી,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$ (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
0 likesView Solution
7
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક રીંગ તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી સ્થિર ઉભી ધરી પર $\omega$ કોણીય ઝડપથી ફરી રહી છે,જેમાં $O$ પર સ્થિર રહેલા દરેક $\frac{M}{8}$ દળના બે બિંદુવત દળો છે. આ દળો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ રીંગ પર સ્થિર બે દળરહિત સળિયાઓ પર ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ ગતિ કરી શકે છે. કોઈ ક્ષણે સિસ્ટમની કોણીય ઝડપ $\frac{8}{9} \omega$ છે અને એક દળ $O$ થી $\frac{3}{5} R$ અંતરે છે. આ ક્ષણે બીજા દળનું $O$ થી અંતર કેટલું હશે?
A
$\frac{2}{3} R$
B
$\frac{1}{3} R$
C
$\frac{3}{5} R$
D
$\frac{4}{5} R$
Solution
(D) સિસ્ટમની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + 0 = MR^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ છે.
આપેલ ક્ષણે,કોણીય ઝડપ $\omega' = \frac{8}{9} \omega$ છે.
આ ક્ષણે સિસ્ટમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + \frac{M}{8} r_1^2 + \frac{M}{8} r_2^2$ છે,જ્યાં $r_1 = \frac{3}{5} R$ અને $r_2$ એ બીજા દળનું અંતર છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f \Rightarrow I_i \omega = I_f \omega'$.
$MR^2 \omega = (MR^2 + \frac{M}{8} (\frac{3}{5} R)^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9} \omega$.
$MR^2 = (MR^2 + \frac{M}{8} \times \frac{9}{25} R^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9}$.
$\frac{9}{8} R^2 = R^2 + \frac{9}{200} R^2 + \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{9}{8} R^2 - R^2 - \frac{9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{225 - 200 - 9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{16}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$r_2^2 = \frac{16 \times 8}{200} R^2 = \frac{128}{200} R^2 = \frac{16}{25} R^2$.
$r_2 = \frac{4}{5} R$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ છે.
આપેલ ક્ષણે,કોણીય ઝડપ $\omega' = \frac{8}{9} \omega$ છે.
આ ક્ષણે સિસ્ટમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + \frac{M}{8} r_1^2 + \frac{M}{8} r_2^2$ છે,જ્યાં $r_1 = \frac{3}{5} R$ અને $r_2$ એ બીજા દળનું અંતર છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f \Rightarrow I_i \omega = I_f \omega'$.
$MR^2 \omega = (MR^2 + \frac{M}{8} (\frac{3}{5} R)^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9} \omega$.
$MR^2 = (MR^2 + \frac{M}{8} \times \frac{9}{25} R^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9}$.
$\frac{9}{8} R^2 = R^2 + \frac{9}{200} R^2 + \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{9}{8} R^2 - R^2 - \frac{9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{225 - 200 - 9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{16}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$r_2^2 = \frac{16 \times 8}{200} R^2 = \frac{128}{200} R^2 = \frac{16}{25} R^2$.
$r_2 = \frac{4}{5} R$.
0 likesView Solution
8
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
નિશ્ચિત કદના પાત્રમાં તાપમાન $T$ પર સંતુલનમાં એક મોલ હાઇડ્રોજન અને એક મોલ હિલિયમનું મિશ્રણ છે. વાયુઓ આદર્શ છે તેમ ધારીને,સાચું વિધાન(નો) કયું(કયા) છે?
$(A)$ વાયુ મિશ્રણની પ્રતિ મોલ સરેરાશ ઉર્જા $2RT$ છે.
$(B)$ વાયુ મિશ્રણમાં ધ્વનિની ઝડપ અને હિલિયમ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\sqrt{6/5}$ છે.
$(C)$ હિલિયમ પરમાણુઓની rms ઝડપ અને હાઇડ્રોજન અણુઓની rms ઝડપનો ગુણોત્તર $1/2$ છે.
$(D)$ હિલિયમ પરમાણુઓની rms ઝડપ અને હાઇડ્રોજન અણુઓની rms ઝડપનો ગુણોત્તર $1/\sqrt{2}$ છે.
$(A)$ વાયુ મિશ્રણની પ્રતિ મોલ સરેરાશ ઉર્જા $2RT$ છે.
$(B)$ વાયુ મિશ્રણમાં ધ્વનિની ઝડપ અને હિલિયમ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\sqrt{6/5}$ છે.
$(C)$ હિલિયમ પરમાણુઓની rms ઝડપ અને હાઇડ્રોજન અણુઓની rms ઝડપનો ગુણોત્તર $1/2$ છે.
$(D)$ હિલિયમ પરમાણુઓની rms ઝડપ અને હાઇડ્રોજન અણુઓની rms ઝડપનો ગુણોત્તર $1/\sqrt{2}$ છે.
A
$(B, C, D)$
B
$(A, C, D)$
C
$(A, B, D)$
D
$(A, B, C)$
Solution
(C) $1$ મોલ $H_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક,$C_v = 5R/2$) અને $1$ મોલ $He$ (એક-પરમાણ્વિક,$C_v = 3R/2$) ના મિશ્રણ માટે:
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = n_1 C_{v1} T + n_2 C_{v2} T = 1(5R/2)T + 1(3R/2)T = 4RT$.
પ્રતિ મોલ સરેરાશ ઉર્જા $= U / (n_1 + n_2) = 4RT / 2 = 2RT$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
મિશ્રણ માટે,$C_{v,mix} = (n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}) / (n_1 + n_2) = (5R/2 + 3R/2) / 2 = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = 3R$. $\gamma_{mix} = C_{p,mix} / C_{v,mix} = 3R / 2R = 1.5 = 3/2$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\gamma RT / M}$. $He$ માટે,$\gamma = 5/3$ અને $M = 4$. મિશ્રણ માટે,$M_{mix} = (2+4)/2 = 3$.
ગુણોત્તર $v_{mix} / v_{He} = \sqrt{(\gamma_{mix} / M_{mix}) / (\gamma_{He} / M_{He})} = \sqrt{(1.5 / 3) / ((5/3) / 4)} = \sqrt{0.5 / (5/12)} = \sqrt{6/5}$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$RMS$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{3RT/M}$. ગુણોત્તર $v_{rms,He} / v_{rms,H2} = \sqrt{M_{H2} / M_{He}} = \sqrt{2/4} = 1/\sqrt{2}$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = n_1 C_{v1} T + n_2 C_{v2} T = 1(5R/2)T + 1(3R/2)T = 4RT$.
પ્રતિ મોલ સરેરાશ ઉર્જા $= U / (n_1 + n_2) = 4RT / 2 = 2RT$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
મિશ્રણ માટે,$C_{v,mix} = (n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}) / (n_1 + n_2) = (5R/2 + 3R/2) / 2 = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = 3R$. $\gamma_{mix} = C_{p,mix} / C_{v,mix} = 3R / 2R = 1.5 = 3/2$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\gamma RT / M}$. $He$ માટે,$\gamma = 5/3$ અને $M = 4$. મિશ્રણ માટે,$M_{mix} = (2+4)/2 = 3$.
ગુણોત્તર $v_{mix} / v_{He} = \sqrt{(\gamma_{mix} / M_{mix}) / (\gamma_{He} / M_{He})} = \sqrt{(1.5 / 3) / ((5/3) / 4)} = \sqrt{0.5 / (5/12)} = \sqrt{6/5}$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$RMS$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{3RT/M}$. ગુણોત્તર $v_{rms,He} / v_{rms,H2} = \sqrt{M_{H2} / M_{He}} = \sqrt{2/4} = 1/\sqrt{2}$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
9
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
એકમ દળનો એક કણ બળની અસર હેઠળ $x$-અક્ષ પર ગતિ કરી રહ્યો છે અને તેની કુલ ઉર્જા સંરક્ષિત છે। કણની સ્થિતિ ઉર્જાના ચાર સંભવિત સ્વરૂપો કોલમ $I$ માં આપેલા છે ($a$ અને $U_0$ અચળાંકો છે)। કોલમ $I$ માં આપેલી સ્થિતિ ઉર્જાઓને કોલમ $II$ માં આપેલા સંબંધિત વિધાન(નો) સાથે જોડો.
| કોલમ $I$ | કોલમ $II$ |
| $(A) U_1(x) = \frac{U_0}{2} \left[1 - \left(\frac{x}{a}\right)^2\right]^2$ | $(P)$ કણ પર લાગતું બળ $x = a$ પર શૂન્ય છે। |
| $(B) U_2(x) = \frac{U_0}{2} \left(\frac{x}{a}\right)^2$ | $(Q)$ કણ પર લાગતું બળ $x = 0$ પર શૂન્ય છે। |
| $(C) U_3(x) = \frac{U_0}{2} \left(\frac{x}{a}\right)^2 \exp \left[-\left(\frac{x}{a}\right)^2\right]$ | $(R)$ કણ પર લાગતું બળ $x = -a$ પર શૂન્ય છે। |
| $(D) U_4(x) = \frac{U_0}{2} \left[\frac{x}{a} - \frac{1}{3}\left(\frac{x}{a}\right)^3\right]$ | $(S)$ કણ $|x| < a$ વિસ્તારમાં $x = 0$ તરફ આકર્ષી બળ અનુભવે છે। |
| $(T)$ $\frac{U_0}{4}$ કુલ ઉર્જા ધરાવતો કણ $x = -a$ બિંદુની આસપાસ દોલન કરી શકે છે। |
A
$(A) \rightarrow (P, Q, R, S); (B) \rightarrow (Q, T); (C) \rightarrow (P, Q, R, T); (D) \rightarrow (P, R, S)$
B
$(A) \rightarrow (P, Q, R, T); (B) \rightarrow (Q, S); (C) \rightarrow (P, Q, R, S); (D) \rightarrow (P, R, T)$
C
$(A) \rightarrow (P, R, S, T); (B) \rightarrow (Q, R); (C) \rightarrow (P, R, S, T); (D) \rightarrow (P, Q, T)$
D
$(A) \rightarrow (Q, R, S, T); (B) \rightarrow (S, T); (C) \rightarrow (Q, R, S, T); (D) \rightarrow (Q, R, T)$
Solution
(A) બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। સંતુલન બિંદુઓ ત્યાં હોય છે જ્યાં $F = 0$, એટલે કે $\frac{dU}{dx} = 0$.
$(A)$ માટે: $U_1(x) = \frac{U_0}{2} [1 - (x/a)^2]^2$. $\frac{dU_1}{dx} = -\frac{2U_0 x}{a^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। $|x| < a$ માટે, $F$ એ $x=0$ તરફ આકર્ષી છે। તેથી $(A) \rightarrow (P, Q, R, S)$.
$(B)$ માટે: $U_2(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2$. $\frac{dU_2}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2}$. $x=0$ પર $F=0$ થાય છે। ઉર્જા $U_0/4$ માટે, તે $x=0$ ની આસપાસ દોલન કરે છે। તેથી $(B) \rightarrow (Q, T)$.
$(C)$ માટે: $U_3(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2 e^{-(x/a)^2}$. $\frac{dU_3}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2} e^{-(x/a)^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। ઉર્જા $U_0/4$ માટે, તે $x=a$ અથવા $x=-a$ ની આસપાસ દોલન કરી શકે છે। તેથી $(C) \rightarrow (P, Q, R, T)$.
$(D)$ માટે: $U_4(x) = \frac{U_0}{2} [x/a - 1/3(x/a)^3]$. $\frac{dU_4}{dx} = \frac{U_0}{2a} [1 - (x/a)^2]$. $x=a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। $|x| < a$ માટે, તે $x=0$ તરફ આકર્ષી છે। તેથી $(D) \rightarrow (P, R, S)$.
$(A)$ માટે: $U_1(x) = \frac{U_0}{2} [1 - (x/a)^2]^2$. $\frac{dU_1}{dx} = -\frac{2U_0 x}{a^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। $|x| < a$ માટે, $F$ એ $x=0$ તરફ આકર્ષી છે। તેથી $(A) \rightarrow (P, Q, R, S)$.
$(B)$ માટે: $U_2(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2$. $\frac{dU_2}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2}$. $x=0$ પર $F=0$ થાય છે। ઉર્જા $U_0/4$ માટે, તે $x=0$ ની આસપાસ દોલન કરે છે। તેથી $(B) \rightarrow (Q, T)$.
$(C)$ માટે: $U_3(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2 e^{-(x/a)^2}$. $\frac{dU_3}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2} e^{-(x/a)^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। ઉર્જા $U_0/4$ માટે, તે $x=a$ અથવા $x=-a$ ની આસપાસ દોલન કરી શકે છે। તેથી $(C) \rightarrow (P, Q, R, T)$.
$(D)$ માટે: $U_4(x) = \frac{U_0}{2} [x/a - 1/3(x/a)^3]$. $\frac{dU_4}{dx} = \frac{U_0}{2a} [1 - (x/a)^2]$. $x=a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। $|x| < a$ માટે, તે $x=0$ તરફ આકર્ષી છે। તેથી $(D) \rightarrow (P, R, S)$.
0 likesView Solution
10
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
એક મોટું ગોળાકાર દળ $M$ એક સ્થાને સ્થિર છે અને બે સમાન બિંદુવત દળો $m$ ને $M$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા પર રાખવામાં આવ્યા છે (આકૃતિ જુઓ). બિંદુવત દળો $\ell$ લંબાઈના સખત દળરહિત સળિયા દ્વારા જોડાયેલા છે અને આ રચના તેમને જોડતી રેખા પર ગતિ કરવા માટે મુક્ત છે. ત્રણેય દળો માત્ર તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ આંતરક્રિયા દ્વારા જ આંતરક્રિયા કરે છે. જ્યારે $M$ ની નજીકનું બિંદુવત દળ $M$ થી $r = 3\ell$ અંતરે હોય,ત્યારે સળિયામાં તણાવ શૂન્ય હોય છે,જ્યાં $m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ છે. $k$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$1$
Solution
(A) બંને બિંદુવત દળો એક સખત દળરહિત સળિયા દ્વારા જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ $a$ મોટા દળ $M$ તરફ સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $F_1$ એ $M$ ને કારણે નજીકના દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,અને $F_2$ એ $M$ ને કારણે દૂરના દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ધારો કે $F$ એ સળિયામાં તણાવ છે. તણાવ શૂન્ય હોવાથી,$F = 0$.
નજીકના દળ $m$ માટે:
$F_1 - F_g = ma \implies \frac{GMm}{(3\ell)^2} - \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (i)$
દૂરના દળ $m$ માટે:
$F_2 + F_g = ma \implies \frac{GMm}{(4\ell)^2} + \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$F_1 - F_g = F_2 + F_g \implies F_1 - F_2 = 2F_g$
$\frac{GMm}{9\ell^2} - \frac{GMm}{16\ell^2} = 2 \left( \frac{Gm^2}{\ell^2} \right)$
$GMm \left( \frac{16 - 9}{144\ell^2} \right) = \frac{2Gm^2}{\ell^2}$
$\frac{7GMm}{144} = 2Gm^2 \implies \frac{7M}{144} = 2m \implies m = \frac{7M}{288}$
$m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 7$ મળે છે.
ધારો કે $F_1$ એ $M$ ને કારણે નજીકના દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,અને $F_2$ એ $M$ ને કારણે દૂરના દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ધારો કે $F$ એ સળિયામાં તણાવ છે. તણાવ શૂન્ય હોવાથી,$F = 0$.
નજીકના દળ $m$ માટે:
$F_1 - F_g = ma \implies \frac{GMm}{(3\ell)^2} - \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (i)$
દૂરના દળ $m$ માટે:
$F_2 + F_g = ma \implies \frac{GMm}{(4\ell)^2} + \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$F_1 - F_g = F_2 + F_g \implies F_1 - F_2 = 2F_g$
$\frac{GMm}{9\ell^2} - \frac{GMm}{16\ell^2} = 2 \left( \frac{Gm^2}{\ell^2} \right)$
$GMm \left( \frac{16 - 9}{144\ell^2} \right) = \frac{2Gm^2}{\ell^2}$
$\frac{7GMm}{144} = 2Gm^2 \implies \frac{7M}{144} = 2m \implies m = \frac{7M}{288}$
$m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 7$ મળે છે.
0 likesView Solution
11
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
એક સિસ્ટમની ઉર્જા સમય $t$ ના વિધેય તરીકે $E(t)=A^2 \exp(-\alpha t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha=0.2 \ s^{-1}$ છે. $A$ ના માપનમાં $1.25 \%$ ની ત્રુટિ છે. જો સમયના માપનમાં ત્રુટિ $1.50 \%$ હોય,તો $t=5 \ s$ સમયે $E(t)$ ના મૂલ્યમાં પ્રતિશત ત્રુટિ કેટલી હશે?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(D) આપેલ સમીકરણ $E(t) = A^2 e^{-\alpha t}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln E = 2 \ln A - \alpha t$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dE}{E} = 2 \frac{dA}{A} - \alpha dt$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $\left| \frac{dE}{E} \right| = 2 \left| \frac{dA}{A} \right| + \alpha |dt|$.
આપેલ છે કે $\frac{dA}{A} = 1.25 \% = 0.0125$ અને સમયમાં ત્રુટિ $dt = 1.50 \% \text{ of } t = 0.015 \times 5 \ s = 0.075 \ s$.
આપેલ છે કે $\alpha = 0.2 \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dE}{E} \times 100 = 2(1.25 \%) + (0.2 \ s^{-1})(0.075 \ s) \times 100$.
$\frac{dE}{E} \times 100 = 2.5 \% + (0.2 \times 0.075) \times 100 \% = 2.5 \% + 1.5 \% = 4 \%$.
આમ,$E(t)$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $4 \%$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln E = 2 \ln A - \alpha t$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dE}{E} = 2 \frac{dA}{A} - \alpha dt$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $\left| \frac{dE}{E} \right| = 2 \left| \frac{dA}{A} \right| + \alpha |dt|$.
આપેલ છે કે $\frac{dA}{A} = 1.25 \% = 0.0125$ અને સમયમાં ત્રુટિ $dt = 1.50 \% \text{ of } t = 0.015 \times 5 \ s = 0.075 \ s$.
આપેલ છે કે $\alpha = 0.2 \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dE}{E} \times 100 = 2(1.25 \%) + (0.2 \ s^{-1})(0.075 \ s) \times 100$.
$\frac{dE}{E} \times 100 = 2.5 \% + (0.2 \times 0.075) \times 100 \% = 2.5 \% + 1.5 \% = 4 \%$.
આમ,$E(t)$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $4 \%$ છે.
0 likesView Solution
12
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે નક્કર ગોળાઓ $A$ અને $B$ ની ઘનતા ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ સાથે અનુક્રમે $\rho_A(r) = k \left(\frac{r}{R}\right)$ અને $\rho_B(r) = k \left(\frac{r}{R}\right)^5$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે. તેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા અનુક્રમે $I_A$ અને $I_B$ છે. જો $\frac{I_B}{I_A} = \frac{n}{10}$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી ગોળાકાર કવચની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = \frac{2}{3} (dm) r^2$ છે.
$dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$ હોવાથી,$dI = \frac{8}{3} \pi \rho(r) r^4 dr$ મળે.
ગોળા $A$ માટે: $I_A = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r}{R} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R} \int_0^R r^5 dr = \frac{8\pi k}{3R} \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{18} = \frac{4\pi k R^5}{9}$.
ગોળા $B$ માટે: $I_B = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r^5}{R^5} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \int_0^R r^9 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \left[ \frac{r^{10}}{10} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{30} = \frac{4\pi k R^5}{15}$.
હવે,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{4\pi k R^5 / 15}{4\pi k R^5 / 9} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}$.
આને $\frac{n}{10}$ સાથે સરખાવતા,$n = 6$ મળે છે.
$dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$ હોવાથી,$dI = \frac{8}{3} \pi \rho(r) r^4 dr$ મળે.
ગોળા $A$ માટે: $I_A = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r}{R} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R} \int_0^R r^5 dr = \frac{8\pi k}{3R} \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{18} = \frac{4\pi k R^5}{9}$.
ગોળા $B$ માટે: $I_B = \int_0^R \frac{8}{3} \pi \left( k \frac{r^5}{R^5} \right) r^4 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \int_0^R r^9 dr = \frac{8\pi k}{3R^5} \left[ \frac{r^{10}}{10} \right]_0^R = \frac{8\pi k R^5}{30} = \frac{4\pi k R^5}{15}$.
હવે,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{4\pi k R^5 / 15}{4\pi k R^5 / 9} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}$.
આને $\frac{n}{10}$ સાથે સરખાવતા,$n = 6$ મળે છે.
0 likesView Solution
13
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
સમાન આવૃત્તિ અને સમાન તીવ્રતા $I_0$ ધરાવતા ચાર હાર્મોનિક તરંગોના કળાકોણ $0, \pi / 3, 2 \pi / 3$ અને $\pi$ છે. જ્યારે તેઓનું સંપાતીકરણ થાય છે,ત્યારે પરિણામી તરંગની તીવ્રતા $nI_0$ મળે છે. $n$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) કળાકોણ $\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4$ ધરાવતા તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R$ એ વ્યક્તિગત કંપવિસ્તાર $A_0$ ના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે (જ્યાં $I_0 = k A_0^2$).
ધારો કે તરંગો સંકર સંખ્યાઓ તરીકે દર્શાવેલ છે: $z_1 = A_0 e^{i0} = A_0$,$z_2 = A_0 e^{i\pi/3}$,$z_3 = A_0 e^{i2\pi/3}$,અને $z_4 = A_0 e^{i\pi} = -A_0$.
સરવાળો $S = A_0(1 + e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3} - 1) = A_0(e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3})$ થાય.
નિત્યસમ $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = A_0 [(\cos \pi/3 + i \sin \pi/3) + (\cos 2\pi/3 + i \sin 2\pi/3)]$.
$S = A_0 [(1/2 + i\sqrt{3}/2) + (-1/2 + i\sqrt{3}/2)] = A_0 (i\sqrt{3})$.
પરિણામી તીવ્રતા $I = |S|^2 = A_0^2 |i\sqrt{3}|^2 = I_0 (3) = 3I_0$.
આમ,$n = 3$.
ધારો કે તરંગો સંકર સંખ્યાઓ તરીકે દર્શાવેલ છે: $z_1 = A_0 e^{i0} = A_0$,$z_2 = A_0 e^{i\pi/3}$,$z_3 = A_0 e^{i2\pi/3}$,અને $z_4 = A_0 e^{i\pi} = -A_0$.
સરવાળો $S = A_0(1 + e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3} - 1) = A_0(e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3})$ થાય.
નિત્યસમ $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = A_0 [(\cos \pi/3 + i \sin \pi/3) + (\cos 2\pi/3 + i \sin 2\pi/3)]$.
$S = A_0 [(1/2 + i\sqrt{3}/2) + (-1/2 + i\sqrt{3}/2)] = A_0 (i\sqrt{3})$.
પરિણામી તીવ્રતા $I = |S|^2 = A_0^2 |i\sqrt{3}|^2 = I_0 (3) = 3I_0$.
આમ,$n = 3$.
0 likesView Solution
14
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા બે ગોળાઓ $P$ અને $Q$ ની ઘનતા અનુક્રમે $\rho_1$ અને $\rho_2$ છે. આ ગોળાઓને એક દળરહિત દોરી વડે જોડીને $L_1$ અને $L_2$ પ્રવાહીમાં રાખવામાં આવે છે,જેની ઘનતા અનુક્રમે $\sigma_1$ અને $\sigma_2$ છે અને સ્નિગ્ધતા (viscosity) અનુક્રમે $\eta_1$ અને $\eta_2$ છે. તેઓ સંતુલનમાં તરે છે,જેમાં ગોળો $P$ એ $L_1$ માં અને ગોળો $Q$ એ $L_2$ માં છે અને દોરી ખેંચાયેલી છે (આકૃતિ જુઓ). જો $L_2$ માં એકલા ગોળા $P$ નો ટર્મિનલ વેગ $\overrightarrow{V}_{P}$ હોય અને $L_1$ માં એકલા ગોળા $Q$ નો ટર્મિનલ વેગ $\overrightarrow{V}_{Q}$ હોય,તો
$(A)$ $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|}=\frac{\eta_1}{\eta_2}$
$(B)$ $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|}=\frac{\eta_2}{\eta_1}$
$(C)$ $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} > 0$
$(D)$ $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$
$(A)$ $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|}=\frac{\eta_1}{\eta_2}$
$(B)$ $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|}=\frac{\eta_2}{\eta_1}$
$(C)$ $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} > 0$
$(D)$ $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$
A
$(B,D)$
B
$(B,C)$
C
$(A,C)$
D
$(A,D)$
Solution
(D) ધારો કે દરેક ગોળાનું કદ $V$ છે. તંત્ર સંતુલનમાં રહે અને દોરી ખેંચાયેલી રહે તે માટે,તંત્ર પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$P$ એ $L_1$ માં છે અને $Q$ એ $L_2$ માં છે,અને દોરી ખેંચાયેલી હોવાથી,$P$ એ $L_1$ કરતા હલકો હોવો જોઈએ $(\rho_1 < \sigma_1)$ અને $Q$ એ $L_2$ કરતા ભારે હોવો જોઈએ $(\rho_2 > \sigma_2)$.
સંતુલનની શરત છે: $(V\rho_1 g + V\rho_2 g) = (V\sigma_1 g + V\sigma_2 g)$,જે સૂચવે છે કે $\rho_1 + \rho_2 = \sigma_1 + \sigma_2$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_{sphere} - \sigma_{liquid})$.
$L_2$ માં ગોળા $P$ માટે: $\overrightarrow{V}_{P} = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\rho_1 - \sigma_2)$. કારણ કે $\rho_1 < \sigma_1 < \sigma_2$,$\overrightarrow{V}_{P}$ ઉપરની તરફ (ઋણ) છે.
$L_1$ માં ગોળા $Q$ માટે: $\overrightarrow{V}_{Q} = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$. કારણ કે $\rho_2 > \sigma_2 > \sigma_1$,$\overrightarrow{V}_{Q}$ નીચેની તરફ (ધન) છે.
આમ,$|\overrightarrow{V}_{P}| = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\sigma_2 - \rho_1)$ અને $|\overrightarrow{V}_{Q}| = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$.
$\rho_2 - \sigma_1 = \sigma_2 - \rho_1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|} = \frac{\eta_1}{\eta_2}$ મળે છે.
કારણ કે $\overrightarrow{V}_{P}$ ઉપરની તરફ છે અને $\overrightarrow{V}_{Q}$ નીચેની તરફ છે,તેથી $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$.
$P$ એ $L_1$ માં છે અને $Q$ એ $L_2$ માં છે,અને દોરી ખેંચાયેલી હોવાથી,$P$ એ $L_1$ કરતા હલકો હોવો જોઈએ $(\rho_1 < \sigma_1)$ અને $Q$ એ $L_2$ કરતા ભારે હોવો જોઈએ $(\rho_2 > \sigma_2)$.
સંતુલનની શરત છે: $(V\rho_1 g + V\rho_2 g) = (V\sigma_1 g + V\sigma_2 g)$,જે સૂચવે છે કે $\rho_1 + \rho_2 = \sigma_1 + \sigma_2$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_{sphere} - \sigma_{liquid})$.
$L_2$ માં ગોળા $P$ માટે: $\overrightarrow{V}_{P} = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\rho_1 - \sigma_2)$. કારણ કે $\rho_1 < \sigma_1 < \sigma_2$,$\overrightarrow{V}_{P}$ ઉપરની તરફ (ઋણ) છે.
$L_1$ માં ગોળા $Q$ માટે: $\overrightarrow{V}_{Q} = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$. કારણ કે $\rho_2 > \sigma_2 > \sigma_1$,$\overrightarrow{V}_{Q}$ નીચેની તરફ (ધન) છે.
આમ,$|\overrightarrow{V}_{P}| = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\sigma_2 - \rho_1)$ અને $|\overrightarrow{V}_{Q}| = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$.
$\rho_2 - \sigma_1 = \sigma_2 - \rho_1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|} = \frac{\eta_1}{\eta_2}$ મળે છે.
કારણ કે $\overrightarrow{V}_{P}$ ઉપરની તરફ છે અને $\overrightarrow{V}_{Q}$ નીચેની તરફ છે,તેથી $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$.
0 likesView Solution
15
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$,વિદ્યુત પ્રવાહ $I$,પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$,પરમીબિલિટી $\mu_0$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ ના સંદર્ભમાં,પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું સમીકરણ (સમીકરણો) કયું છે:
$(A)$ $\mu_0 I^2 = \varepsilon_0 V^2$
$(B)$ $\varepsilon_0 I = \mu_0 V$
$(C)$ $I = \varepsilon_0 cV$
$(D)$ $\mu_0 cI = V$
$(A)$ $\mu_0 I^2 = \varepsilon_0 V^2$
$(B)$ $\varepsilon_0 I = \mu_0 V$
$(C)$ $I = \varepsilon_0 cV$
$(D)$ $\mu_0 cI = V$
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ છે.
$u_E = u_B$ હોવાથી,$\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{E^2}{B^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2$.
પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$,$[\mu_0] = M L T^{-2} A^{-2}$,$[V] = M L^2 T^{-3} A^{-1}$,$[I] = A$,$[c] = L T^{-1}$.
$(A)$ માટે: $[\mu_0 I^2] = (M L T^{-2} A^{-2})(A^2) = M L T^{-2}$. $[\varepsilon_0 V^2] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(M^2 L^4 T^{-6} A^{-2}) = M L T^{-2}$. આમ,$(A)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
$(C)$ માટે: $[I] = A$. $[\varepsilon_0 c V] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(L T^{-1})(M L^2 T^{-3} A^{-1}) = A$. આમ,$(C)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.
$u_E = u_B$ હોવાથી,$\varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{E^2}{B^2} = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c^2$.
પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
$[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$,$[\mu_0] = M L T^{-2} A^{-2}$,$[V] = M L^2 T^{-3} A^{-1}$,$[I] = A$,$[c] = L T^{-1}$.
$(A)$ માટે: $[\mu_0 I^2] = (M L T^{-2} A^{-2})(A^2) = M L T^{-2}$. $[\varepsilon_0 V^2] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(M^2 L^4 T^{-6} A^{-2}) = M L T^{-2}$. આમ,$(A)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
$(C)$ માટે: $[I] = A$. $[\varepsilon_0 c V] = (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2)(L T^{-1})(M L^2 T^{-3} A^{-1}) = A$. આમ,$(C)$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.
0 likesView Solution
16
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
બે પદાર્થો $P$ અને $Q$ માટે સ્ટ્રેસ વિરુદ્ધ સ્ટ્રેનનો આલેખ દોરતી વખતે,એક વિદ્યાર્થી ભૂલથી સ્ટ્રેનને $y$-અક્ષ પર અને સ્ટ્રેસને $x$-અક્ષ પર મૂકે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે:
$(A)$ $P$ ની ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ $Q$ કરતા વધારે છે
$(B)$ $P$ એ $Q$ કરતા વધુ ડક્ટાઈલ (તણાવક્ષમ) છે
$(C)$ $P$ એ $Q$ કરતા વધુ બરડ છે
$(D)$ $P$ નો યંગ મોડ્યુલસ $Q$ કરતા વધારે છે
$(A)$ $P$ ની ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ $Q$ કરતા વધારે છે
$(B)$ $P$ એ $Q$ કરતા વધુ ડક્ટાઈલ (તણાવક્ષમ) છે
$(C)$ $P$ એ $Q$ કરતા વધુ બરડ છે
$(D)$ $P$ નો યંગ મોડ્યુલસ $Q$ કરતા વધારે છે
A
$(A, B)$
B
$(A, C)$
C
$(B, C)$
D
$(B, D)$
Solution
(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખમાં,સ્ટ્રેન $y$-અક્ષ પર છે અને સ્ટ્રેસ $x$-અક્ષ પર છે. તેથી,આલેખનો ઢાળ $\frac{\text{strain}}{\text{stress}} = \frac{1}{Y}$ થાય છે.
પદાર્થ $P$ નો ઢાળ પદાર્થ $Q$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,$\frac{1}{Y_P} > \frac{1}{Y_Q}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $Y_P < Y_Q$. આમ,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
પદાર્થ $P$ એ $Q$ ની સરખામણીમાં આપેલ સ્ટ્રેસ માટે વધુ સ્ટ્રેન દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે $P$ એ $Q$ કરતા વધુ ડક્ટાઈલ છે. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$P$ વધુ ડક્ટાઈલ હોવાથી,તે $Q$ કરતા ઓછું બરડ છે. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ એ પદાર્થ તૂટતા પહેલા સહન કરી શકે તેવો મહત્તમ સ્ટ્રેસ છે. આલેખ પરથી,$Q$ એ $P$ કરતા વધુ સ્ટ્રેસ સહન કરી શકે છે,તેથી $Q$ ની ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ $P$ કરતા વધારે છે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $(B)$ સાચું છે.
આપેલ આલેખમાં,સ્ટ્રેન $y$-અક્ષ પર છે અને સ્ટ્રેસ $x$-અક્ષ પર છે. તેથી,આલેખનો ઢાળ $\frac{\text{strain}}{\text{stress}} = \frac{1}{Y}$ થાય છે.
પદાર્થ $P$ નો ઢાળ પદાર્થ $Q$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,$\frac{1}{Y_P} > \frac{1}{Y_Q}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $Y_P < Y_Q$. આમ,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
પદાર્થ $P$ એ $Q$ ની સરખામણીમાં આપેલ સ્ટ્રેસ માટે વધુ સ્ટ્રેન દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે $P$ એ $Q$ કરતા વધુ ડક્ટાઈલ છે. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$P$ વધુ ડક્ટાઈલ હોવાથી,તે $Q$ કરતા ઓછું બરડ છે. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ એ પદાર્થ તૂટતા પહેલા સહન કરી શકે તેવો મહત્તમ સ્ટ્રેસ છે. આલેખ પરથી,$Q$ એ $P$ કરતા વધુ સ્ટ્રેસ સહન કરી શકે છે,તેથી $Q$ ની ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ $P$ કરતા વધારે છે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $(B)$ સાચું છે.
0 likesView Solution
17
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક ગોળાકાર પદાર્થ અચળ ઘનતા $\rho$ ધરાવતા પ્રવાહીનો બનેલો છે અને તે પોતાના ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ સંતુલનમાં છે. જો $P(r)$ એ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે દબાણ હોય $(r < R)$,તો સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A) P(r=0) = P_c$ (કેન્દ્ર પર મહત્તમ દબાણ)
$(B) \frac{P(r=3R/4)}{P(r=2R/3)} = \frac{63}{80}$
$(C) \frac{P(r=3R/5)}{P(r=2R/5)} = \frac{16}{21}$
$(D) \frac{P(r=R/2)}{P(r=R/3)} = \frac{20}{27}$
$(A) P(r=0) = P_c$ (કેન્દ્ર પર મહત્તમ દબાણ)
$(B) \frac{P(r=3R/4)}{P(r=2R/3)} = \frac{63}{80}$
$(C) \frac{P(r=3R/5)}{P(r=2R/5)} = \frac{16}{21}$
$(D) \frac{P(r=R/2)}{P(r=R/3)} = \frac{20}{27}$
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(B) પોતાના ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ સંતુલનમાં રહેલા અચળ ઘનતા $\rho$ ના પ્રવાહી ગોળા માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે દબાણ $P(r)$ હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dP}{dr} = -\rho g(r)$.
$r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g(r) = \frac{G M(r)}{r^2} = \frac{G (\frac{4}{3}\pi r^3 \rho)}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho r$ છે.
આને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dP}{dr} = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 r$.
$r$ થી $R$ સુધી સંકલન કરતા (જ્યાં $P(R) = 0$): $\int_{P(r)}^{0} dP = -\int_{r}^{R} \frac{4}{3}\pi G \rho^2 r dr$.
$0 - P(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 [\frac{r^2}{2}]_r^R = -\frac{2}{3}\pi G \rho^2 (R^2 - r^2)$.
આમ,$P(r) = \frac{2}{3}\pi G \rho^2 R^2 (1 - \frac{r^2}{R^2}) = P_c (1 - \frac{r^2}{R^2})$.
ગુણોત્તર તપાસતા:
$(B) \frac{P(3R/4)}{P(2R/3)} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 - (2/3)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 - 4/9} = \frac{7/16}{5/9} = \frac{63}{80}$. (સાચું)
$(C) \frac{P(3R/5)}{P(2R/5)} = \frac{1 - 9/25}{1 - 4/25} = \frac{16/25}{21/25} = \frac{16}{21}$. (સાચું)
$(D) \frac{P(R/2)}{P(R/3)} = \frac{1 - 1/4}{1 - 1/9} = \frac{3/4}{8/9} = \frac{27}{32} \neq \frac{20}{27}$. (ખોટું)
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ છે.
$r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g(r) = \frac{G M(r)}{r^2} = \frac{G (\frac{4}{3}\pi r^3 \rho)}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho r$ છે.
આને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dP}{dr} = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 r$.
$r$ થી $R$ સુધી સંકલન કરતા (જ્યાં $P(R) = 0$): $\int_{P(r)}^{0} dP = -\int_{r}^{R} \frac{4}{3}\pi G \rho^2 r dr$.
$0 - P(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 [\frac{r^2}{2}]_r^R = -\frac{2}{3}\pi G \rho^2 (R^2 - r^2)$.
આમ,$P(r) = \frac{2}{3}\pi G \rho^2 R^2 (1 - \frac{r^2}{R^2}) = P_c (1 - \frac{r^2}{R^2})$.
ગુણોત્તર તપાસતા:
$(B) \frac{P(3R/4)}{P(2R/3)} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 - (2/3)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 - 4/9} = \frac{7/16}{5/9} = \frac{63}{80}$. (સાચું)
$(C) \frac{P(3R/5)}{P(2R/5)} = \frac{1 - 9/25}{1 - 4/25} = \frac{16/25}{21/25} = \frac{16}{21}$. (સાચું)
$(D) \frac{P(R/2)}{P(R/3)} = \frac{1 - 1/4}{1 - 1/9} = \frac{3/4}{8/9} = \frac{27}{32} \neq \frac{20}{27}$. (ખોટું)
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ છે.
0 likesView Solution
18
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
એક આદર્શ મોનોએટોમિક વાયુને સ્પ્રિંગ-લોડેડ પિસ્ટન દ્વારા આડા સિલિન્ડરમાં રાખવામાં આવે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ). શરૂઆતમાં વાયુ તાપમાન $T_1$,દબાણ $P_1$ અને કદ $V_1$ પર છે અને સ્પ્રિંગ તેની મુક્ત સ્થિતિમાં છે. ત્યારબાદ વાયુને ખૂબ જ ધીમેથી તાપમાન $T_2$,દબાણ $P_2$ અને કદ $V_2$ સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન પિસ્ટન $x$ જેટલા અંતરે બહારની તરફ ખસે છે. પિસ્ટન અને સિલિન્ડર વચ્ચેના ઘર્ષણને અવગણતા,સાચું વિધાન(નો) કયું(કયા) છે:
$(A)$ જો $V_2=2V_1$ અને $T_2=3T_1$ હોય,તો સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $\frac{1}{4}P_1V_1$ છે.
$(B)$ જો $V_2=2V_1$ અને $T_2=3T_1$ હોય,તો આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $3P_1V_1$ છે.
$(C)$ જો $V_2=3V_1$ અને $T_2=4T_1$ હોય,તો વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\frac{7}{3}P_1V_1$ છે.
$(D)$ જો $V_2=3V_1$ અને $T_2=4T_1$ હોય,તો વાયુને આપેલી ઉષ્મા $\frac{41}{6}P_1V_1$ છે.
$(A)$ જો $V_2=2V_1$ અને $T_2=3T_1$ હોય,તો સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $\frac{1}{4}P_1V_1$ છે.
$(B)$ જો $V_2=2V_1$ અને $T_2=3T_1$ હોય,તો આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $3P_1V_1$ છે.
$(C)$ જો $V_2=3V_1$ અને $T_2=4T_1$ હોય,તો વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\frac{7}{3}P_1V_1$ છે.
$(D)$ જો $V_2=3V_1$ અને $T_2=4T_1$ હોય,તો વાયુને આપેલી ઉષ્મા $\frac{41}{6}P_1V_1$ છે.
A
$(A), (B)$
B
$(A), (B), (D)$
C
$(B), (C), (D)$
D
$(A), (B), (C)$
Solution
(D) વાયુનું દબાણ $P = P_1 + \frac{kx}{A}$ છે. $V = V_1 + Ax$ હોવાથી,$x = \frac{V-V_1}{A}$ મળે. તેથી,$P = P_1 + \frac{k(V-V_1)}{A^2}$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = P_1(V_2-V_1) + \frac{k(V_2-V_1)^2}{2A^2}$.
$P_2 = P_1 + \frac{k(V_2-V_1)}{A^2}$ હોવાથી,$\frac{k(V_2-V_1)}{A^2} = P_2 - P_1$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$W = P_1(V_2-V_1) + \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1) = \frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1)$.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{V_2-V_1}{A})^2 = \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1)$.
કિસ્સો $I$: $V_2=2V_1, T_2=3T_1$. $PV=nRT$ પરથી,$P_2(2V_1) = nR(3T_1) = 3P_1V_1 \implies P_2 = 1.5P_1$.
$U_s = \frac{1}{2}(1.5P_1-P_1)(2V_1-V_1) = \frac{1}{2}(0.5P_1)(V_1) = 0.25P_1V_1 = \frac{1}{4}P_1V_1$. ($A$ સાચું છે)
$\Delta U = \frac{3}{2}(1.5P_1 \cdot 2V_1 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(3P_1V_1 - P_1V_1) = 3P_1V_1$. ($B$ સાચું છે)
કિસ્સો $II$: $V_2=3V_1, T_2=4T_1$. $P_2(3V_1) = nR(4T_1) = 4P_1V_1 \implies P_2 = \frac{4}{3}P_1$.
$W = \frac{1}{2}(P_1 + \frac{4}{3}P_1)(3V_1-V_1) = \frac{1}{2}(\frac{7}{3}P_1)(2V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1$. ($C$ સાચું છે)
$Q = W + \Delta U = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(\frac{4}{3}P_1 \cdot 3V_1 - P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(3P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + 4.5P_1V_1 = \frac{41}{6}P_1V_1$. ($D$ સાચું છે)
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = P_1(V_2-V_1) + \frac{k(V_2-V_1)^2}{2A^2}$.
$P_2 = P_1 + \frac{k(V_2-V_1)}{A^2}$ હોવાથી,$\frac{k(V_2-V_1)}{A^2} = P_2 - P_1$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$W = P_1(V_2-V_1) + \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1) = \frac{1}{2}(P_1+P_2)(V_2-V_1)$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1)$.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{V_2-V_1}{A})^2 = \frac{1}{2}(P_2-P_1)(V_2-V_1)$.
કિસ્સો $I$: $V_2=2V_1, T_2=3T_1$. $PV=nRT$ પરથી,$P_2(2V_1) = nR(3T_1) = 3P_1V_1 \implies P_2 = 1.5P_1$.
$U_s = \frac{1}{2}(1.5P_1-P_1)(2V_1-V_1) = \frac{1}{2}(0.5P_1)(V_1) = 0.25P_1V_1 = \frac{1}{4}P_1V_1$. ($A$ સાચું છે)
$\Delta U = \frac{3}{2}(1.5P_1 \cdot 2V_1 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(3P_1V_1 - P_1V_1) = 3P_1V_1$. ($B$ સાચું છે)
કિસ્સો $II$: $V_2=3V_1, T_2=4T_1$. $P_2(3V_1) = nR(4T_1) = 4P_1V_1 \implies P_2 = \frac{4}{3}P_1$.
$W = \frac{1}{2}(P_1 + \frac{4}{3}P_1)(3V_1-V_1) = \frac{1}{2}(\frac{7}{3}P_1)(2V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1$. ($C$ સાચું છે)
$Q = W + \Delta U = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(\frac{4}{3}P_1 \cdot 3V_1 - P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + \frac{3}{2}(3P_1V_1) = \frac{7}{3}P_1V_1 + 4.5P_1V_1 = \frac{41}{6}P_1V_1$. ($D$ સાચું છે)
0 likesView Solution
19
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
એક અંતર્ગોળ અરીસો અને એક બહિર્ગોળ લેન્સ (વક્રીભવનાંક $=1.5$) જે દરેકની કેન્દ્રલંબાઈ $10 \ cm$ છે,તેમને હવામાં (વક્રીભવનાંક $=1$) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $50 \ cm$ ના અંતરે રાખવામાં આવ્યા છે. એક વસ્તુને અરીસાથી $15 \ cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે છે. આ સંયોજન દ્વારા રચાતી તેની ચત્તી પ્રતિમાની મોટવણી $M_1$ છે. જ્યારે આ ગોઠવણને $7/6$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે મોટવણી $M_2$ થાય છે. તો $\left|\frac{M_2}{M_1}\right|$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$5$
Solution
(A) $1$. હવામાં અરીસા માટે: $u = -15 \ cm$,$f = -10 \ cm$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{15} = -\frac{1}{10} \Rightarrow v = -30 \ cm$. પ્રતિમા અરીસાની ડાબી બાજુ $30 \ cm$ પર રચાય છે. મોટવણી $M_{m1} = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$.
$2$. આ પ્રતિમા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. લેન્સથી અંતર $u' = -(50 + 30) = -80 \ cm$. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 10 \ cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f_l}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v'} + \frac{1}{80} = \frac{1}{10} \Rightarrow v' = \frac{80}{7} \ cm$. મોટવણી $M_{l1} = \frac{v'}{u'} = \frac{80/7}{-80} = -\frac{1}{7}$. કુલ મોટવણી $M_1 = M_{m1} \times M_{l1} = (-2) \times (-1/7) = 2/7$.
$3$. માધ્યમ $\mu_m = 7/6$ માં: અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \ cm$ રહે છે. $M_{m2} = -2$. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'_l$ બદલાય છે: $\frac{1}{f'_l} = \left(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$. તેથી $\frac{f'_l}{f_l} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{7/6} - 1} = 1.75 = 7/4$. તેથી $f'_l = 10 \times 7/4 = 17.5 \ cm$.
$4$. લેન્સ માટે વસ્તુનું અંતર $u' = -80 \ cm$. $\frac{1}{v''} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{17.5} \Rightarrow v'' = 22.4 \ cm$. $M_{l2} = \frac{v''}{u'} = -7/25$. કુલ મોટવણી $M_2 = M_{m2} \times M_{l2} = 14/25$.
$5$. $\left|\frac{M_2}{M_1}\right| = \left|\frac{14/25}{2/7}\right| = 7$.
$2$. આ પ્રતિમા લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. લેન્સથી અંતર $u' = -(50 + 30) = -80 \ cm$. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = 10 \ cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f_l}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v'} + \frac{1}{80} = \frac{1}{10} \Rightarrow v' = \frac{80}{7} \ cm$. મોટવણી $M_{l1} = \frac{v'}{u'} = \frac{80/7}{-80} = -\frac{1}{7}$. કુલ મોટવણી $M_1 = M_{m1} \times M_{l1} = (-2) \times (-1/7) = 2/7$.
$3$. માધ્યમ $\mu_m = 7/6$ માં: અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10 \ cm$ રહે છે. $M_{m2} = -2$. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'_l$ બદલાય છે: $\frac{1}{f'_l} = \left(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$. તેથી $\frac{f'_l}{f_l} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{7/6} - 1} = 1.75 = 7/4$. તેથી $f'_l = 10 \times 7/4 = 17.5 \ cm$.
$4$. લેન્સ માટે વસ્તુનું અંતર $u' = -80 \ cm$. $\frac{1}{v''} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{17.5} \Rightarrow v'' = 22.4 \ cm$. $M_{l2} = \frac{v''}{u'} = -7/25$. કુલ મોટવણી $M_2 = M_{m2} \times M_{l2} = 14/25$.
$5$. $\left|\frac{M_2}{M_1}\right| = \left|\frac{14/25}{2/7}\right| = 7$.
0 likesView Solution
20
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
અનંત લંબાઈ ધરાવતું એક સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર વિતરણ,જેની એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે,તે $y-z$ સમતલમાં $z=\frac{\sqrt{3}}{2} a$ પર $y$-અક્ષને સમાંતર રહેલું છે (આકૃતિ જુઓ). જો $x-y$ સમતલમાં રહેલી અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતી લંબચોરસ સપાટી $A B C D$ માંથી પસાર થતા વિદ્યુત ફ્લક્સનું મૂલ્ય $\frac{\lambda L }{ n \varepsilon_0}$ ($\varepsilon_0=$ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી) હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(C) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા રેખીય વિદ્યુતભાર પર આંતરેલા ઘનકોણ સાથે સંબંધિત છે. વૈકલ્પિક રીતે,આપણે સંમિતિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. લંબચોરસ સપાટીની પહોળાઈ $a$ અને લંબાઈ $L$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારથી લંબચોરસના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર પર પહોળાઈ $a$ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\tan(\theta/2) = \frac{a/2}{d} = \frac{a/2}{(\sqrt{3}/2)a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta/2 = 30^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
રેખીય વિદ્યુતભારની આસપાસનો કુલ ખૂણો $360^{\circ}$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણપણે આવરી લેવા માટે જરૂરી આવી સમાન લંબચોરસ સપાટીઓની સંખ્યા $n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ ને આવરી લેતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારની $L$ લંબાઈ માટે,આવરી લેવાયેલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda L$ છે.
ફ્લક્સ $6$ સપાટીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોવાથી,એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{\lambda L}{6 \varepsilon_0}$ થાય.
આપેલ પદ $\frac{\lambda L}{n \varepsilon_0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર પર પહોળાઈ $a$ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\tan(\theta/2) = \frac{a/2}{d} = \frac{a/2}{(\sqrt{3}/2)a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta/2 = 30^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
રેખીય વિદ્યુતભારની આસપાસનો કુલ ખૂણો $360^{\circ}$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણપણે આવરી લેવા માટે જરૂરી આવી સમાન લંબચોરસ સપાટીઓની સંખ્યા $n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ ને આવરી લેતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારની $L$ લંબાઈ માટે,આવરી લેવાયેલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda L$ છે.
ફ્લક્સ $6$ સપાટીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોવાથી,એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{\lambda L}{6 \varepsilon_0}$ થાય.
આપેલ પદ $\frac{\lambda L}{n \varepsilon_0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.
0 likesView Solution
21
PhysicsEasyMCQIIT JEE · 2015
એક હાઇડ્રોજન પરમાણુ ધ્યાનમાં લો જેમાં તેનો ઇલેક્ટ્રોન $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં છે. પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે $90 \ nm$ તરંગલંબાઇના વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $10.4 \ eV$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે? $(hc = 1242 \ eV \ nm)$
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \ eV \ nm}{90 \ nm} = 13.8 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાંથી હાઇડ્રોજન પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $E_n = \frac{13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ફોટોનની ઊર્જા એ આયનીકરણ ઊર્જા અને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$E_{\text{photon}} = E_n + K.E.$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$13.8 \ eV = \frac{13.6 \ eV}{n^2} + 10.4 \ eV$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{13.6}{n^2} = 13.8 - 10.4 = 3.4$.
$n^2$ માટે ઉકેલતા:
$n^2 = \frac{13.6}{3.4} = 4$.
તેથી,$n = 2$ મળે છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાંથી હાઇડ્રોજન પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $E_n = \frac{13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ફોટોનની ઊર્જા એ આયનીકરણ ઊર્જા અને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$E_{\text{photon}} = E_n + K.E.$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$13.8 \ eV = \frac{13.6 \ eV}{n^2} + 10.4 \ eV$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{13.6}{n^2} = 13.8 - 10.4 = 3.4$.
$n^2$ માટે ઉકેલતા:
$n^2 = \frac{13.6}{3.4} = 4$.
તેથી,$n = 2$ મળે છે.
0 likesView Solution
22
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
એક ન્યુક્લિયર પાવર પ્લાન્ટ જે ગામને વિદ્યુત પાવર પૂરો પાડે છે,તે બળતણ તરીકે $T$ વર્ષના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો ઉપયોગ કરે છે. શરૂઆતમાં બળતણનો જથ્થો એવો છે કે ગામની કુલ પાવરની જરૂરિયાત તે સમયે પ્લાન્ટમાંથી ઉપલબ્ધ વિદ્યુત પાવરના $12.5 \%$ છે. જો પ્લાન્ટ $n T$ વર્ષના મહત્તમ સમયગાળા માટે ગામની કુલ પાવરની જરૂરિયાતો પૂરી કરી શકતો હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) ન્યુક્લિયર પ્લાન્ટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર રેડિયોએક્ટિવ બળતણની એક્ટિવિટી $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે શરૂઆતનો પાવર $P_0$ છે અને $t$ સમયે પાવર $P(t)$ છે.
$t$ સમયે એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે ગામની પાવરની જરૂરિયાત $P_{req}$ એ શરૂઆતના પાવર $P_0$ ના $12.5 \%$ છે,તેથી $P_{req} = 0.125 P_0 = \frac{1}{8} P_0$.
પ્લાન્ટ ત્યાં સુધી જરૂરિયાતો પૂરી કરી શકે છે જ્યાં સુધી $P(t) \ge P_{req}$ હોય. મહત્તમ સમય $t = nT$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $P(nT) = P_{req}$ થાય.
તેથી,$P_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{nT}{T}} = \frac{1}{8} P_0$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.
$t$ સમયે એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે ગામની પાવરની જરૂરિયાત $P_{req}$ એ શરૂઆતના પાવર $P_0$ ના $12.5 \%$ છે,તેથી $P_{req} = 0.125 P_0 = \frac{1}{8} P_0$.
પ્લાન્ટ ત્યાં સુધી જરૂરિયાતો પૂરી કરી શકે છે જ્યાં સુધી $P(t) \ge P_{req}$ હોય. મહત્તમ સમય $t = nT$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $P(nT) = P_{req}$ થાય.
તેથી,$P_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{nT}{T}} = \frac{1}{8} P_0$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.
0 likesView Solution
23
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
યંગની ડબલ સ્લિટ વ્યતિકરણ ગોઠવણી જેમાં સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ પાણીમાં (વક્રીભવનાંક $\mu_w = 4/3$) ડૂબેલી છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. પાણીની સપાટી પર મહત્તમ તીવ્રતાના બિંદુઓનું સ્થાન $x^2 = p^2 m^2 \lambda^2 - d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ હવામાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે (વક્રીભવનાંક $\mu_a = 1$),$2d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે અને $m$ એ પૂર્ણાંક છે. $p$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) ધારો કે પાણીની સપાટી પરના બિંદુનું સ્લિટ્સની વચ્ચેના બિંદુથી અંતર $x$ છે. આ બિંદુનું દરેક સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ થી અંતર $\sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
આ બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta$ એ ઓપ્ટિકલ પથના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S_2$ થી બિંદુ સુધીનો ઓપ્ટિકલ પથ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
$S_1$ થી બિંદુ સુધીનો ઓપ્ટિકલ પથ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
આકૃતિ મુજબ,પથ તફાવત $\Delta = \mu_w \sqrt{d^2+x^2} - \sqrt{d^2+x^2} = m\lambda$ થાય છે.
$\Delta = (\mu_w - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\mu_w = 4/3$ મૂકતા:
$(\frac{4}{3} - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\frac{1}{3} \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\sqrt{d^2 + x^2} = 3m\lambda$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$d^2 + x^2 = 9m^2\lambda^2$
$x^2 = 9m^2\lambda^2 - d^2$
આને $x^2 = p^2 m^2 \lambda^2 - d^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p^2 = 9$ મળે છે,તેથી $p = 3$.
આ બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta$ એ ઓપ્ટિકલ પથના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S_2$ થી બિંદુ સુધીનો ઓપ્ટિકલ પથ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
$S_1$ થી બિંદુ સુધીનો ઓપ્ટિકલ પથ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
આકૃતિ મુજબ,પથ તફાવત $\Delta = \mu_w \sqrt{d^2+x^2} - \sqrt{d^2+x^2} = m\lambda$ થાય છે.
$\Delta = (\mu_w - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\mu_w = 4/3$ મૂકતા:
$(\frac{4}{3} - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\frac{1}{3} \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\sqrt{d^2 + x^2} = 3m\lambda$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$d^2 + x^2 = 9m^2\lambda^2$
$x^2 = 9m^2\lambda^2 - d^2$
આને $x^2 = p^2 m^2 \lambda^2 - d^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p^2 = 9$ મળે છે,તેથી $p = 3$.
0 likesView Solution
24
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
આપાત ફોટોન તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથેના ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ છે. $V_0$ નો $\lambda$ અને $1/\lambda$ સાથેનો સાચો ફેરફાર ઓળખો.
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,તેથી $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જેનું સાદું રૂપ $V_0 = \left(\frac{hc}{e}\right) \frac{1}{\lambda} - \frac{\phi}{e}$ થાય છે.
$1$. $V_0$ નો $1/\lambda$ સાથેનો ફેરફાર: આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં $y = V_0$,$x = 1/\lambda$,ઢાળ $m = hc/e$,અને અંતઃખંડ $c = -\phi/e$ છે. આ આલેખ $(C)$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. $V_0$ નો $\lambda$ સાથેનો ફેરફાર: જેમ $\lambda$ વધે છે,તેમ $1/\lambda$ ઘટે છે,તેથી $V_0$ ઘટે છે. સંબંધ $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ છે. આ એક વક્ર છે જે ઘટે છે અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = hc/\phi$ પર શૂન્ય થાય છે. આ આલેખ $(B)$ ને અનુરૂપ છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,તેથી $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જેનું સાદું રૂપ $V_0 = \left(\frac{hc}{e}\right) \frac{1}{\lambda} - \frac{\phi}{e}$ થાય છે.
$1$. $V_0$ નો $1/\lambda$ સાથેનો ફેરફાર: આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં $y = V_0$,$x = 1/\lambda$,ઢાળ $m = hc/e$,અને અંતઃખંડ $c = -\phi/e$ છે. આ આલેખ $(C)$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. $V_0$ નો $\lambda$ સાથેનો ફેરફાર: જેમ $\lambda$ વધે છે,તેમ $1/\lambda$ ઘટે છે,તેથી $V_0$ ઘટે છે. સંબંધ $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ છે. આ એક વક્ર છે જે ઘટે છે અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = hc/\phi$ પર શૂન્ય થાય છે. આ આલેખ $(B)$ ને અનુરૂપ છે.
0 likesView Solution
25
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
નીચેની આકૃતિઓ બે પરિસ્થિતિઓ દર્શાવે છે જેમાં સમાન ધન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા બે અનંત લંબાઈના સ્થિર રેખીય વિદ્યુતભારો એકબીજાને સમાંતર રાખવામાં આવ્યા છે. તેમના પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રમાં, બિંદુવત વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ ને તેમની વચ્ચે સંતુલનમાં રાખવામાં આવ્યા છે. આ બિંદુવત વિદ્યુતભારો માત્ર $x$ દિશામાં જ ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત છે. જો તેમને તેમની સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ થોડું સ્થાનાંતર આપવામાં આવે, તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A
બંને વિદ્યુતભારો સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.
B
બંને વિદ્યુતભારો તેમના સ્થાનાંતરની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
C
વિદ્યુતભાર $+q$ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે જ્યારે વિદ્યુતભાર $-q$ તેના સ્થાનાંતરની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
D
વિદ્યુતભાર $-q$ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે જ્યારે વિદ્યુતભાર $+q$ તેના સ્થાનાંતરની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
Solution
(C) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિનું દરેક રેખીય વિદ્યુતભારથી અંતર $r$ છે. $d$ અંતરે રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 d}$ છે.
વિદ્યુતભાર $+q$ માટે (કિસ્સો $I$): જો તેને જમણી તરફ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો ચોખ્ખું બળ $F = qE_{left} - qE_{right} = q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} - q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r-x} - \frac{1}{r+x} \right) = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{2x}{r^2-x^2} \right) \approx \frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ થાય છે. બળ એ $-x$ (પુનઃસ્થાપક બળ) ના પ્રમાણમાં હોવાથી, વિદ્યુતભાર $+q$ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
વિદ્યુતભાર $-q$ માટે (કિસ્સો $II$): જો તેને જમણી તરફ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો ડાબી બાજુના રેખીય વિદ્યુતભારથી લાગતું બળ આકર્ષી (ડાબી તરફ) હોય છે અને જમણી બાજુના રેખીય વિદ્યુતભારથી લાગતું બળ આકર્ષી (જમણી તરફ) હોય છે. ચોખ્ખું બળ $F = qE_{right} - qE_{left} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} - \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} = -\frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ થાય છે. બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં હોવાથી, તે સંતુલન સ્થિતિથી દૂર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
વિદ્યુતભાર $+q$ માટે (કિસ્સો $I$): જો તેને જમણી તરફ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો ચોખ્ખું બળ $F = qE_{left} - qE_{right} = q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} - q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r-x} - \frac{1}{r+x} \right) = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0} \left( \frac{2x}{r^2-x^2} \right) \approx \frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ થાય છે. બળ એ $-x$ (પુનઃસ્થાપક બળ) ના પ્રમાણમાં હોવાથી, વિદ્યુતભાર $+q$ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે.
વિદ્યુતભાર $-q$ માટે (કિસ્સો $II$): જો તેને જમણી તરફ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો ડાબી બાજુના રેખીય વિદ્યુતભારથી લાગતું બળ આકર્ષી (ડાબી તરફ) હોય છે અને જમણી બાજુના રેખીય વિદ્યુતભારથી લાગતું બળ આકર્ષી (જમણી તરફ) હોય છે. ચોખ્ખું બળ $F = qE_{right} - qE_{left} = \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r+x)} - \frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_0(r-x)} = -\frac{q\lambda x}{\pi\epsilon_0 r^2}$ થાય છે. બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં હોવાથી, તે સંતુલન સ્થિતિથી દૂર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
0 likesView Solution
26
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2015
બે સમાન કાચના સળિયા $S_1$ અને $S_2$ (વક્રીભવનાંક $= 1.5$) ના એક છેડે $10 \ cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતી બહિર્ગોળ સપાટી છે. તેમને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $d$ અંતરે વક્ર સપાટીઓ સાથે રાખવામાં આવ્યા છે,અને તેમની ધરી (તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ) એક સીધી રેખામાં છે. જ્યારે પ્રકાશનો બિંદુવત સ્ત્રોત $P$ સળિયા $S_1$ ની અંદર તેની ધરી પર વક્ર સપાટીથી $50 \ cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણો સળિયા $S_2$ ની અંદર ધરીને સમાંતર જોવા મળે છે. અંતર $d$ કેટલું હશે ($cm$ માં)?
A
$60$
B
$70$
C
$80$
D
$90$
Solution
(B) $S_1$ ની વક્ર સપાટી પર પ્રથમ વક્રીભવન માટે:
સૂત્ર $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n_1 = 1.5$,$n_2 = 1$,$u = -50 \ cm$,અને $R = -10 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-50} = \frac{1 - 1.5}{-10}$
$\frac{1}{v} + 0.03 = 0.05$
$\frac{1}{v} = 0.02 \Rightarrow v = 50 \ cm$ (કિરણો $S_1$ ની સપાટીથી હવામાં $50 \ cm$ અંતરે આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે).
$S_2$ ની વક્ર સપાટી પર બીજા વક્રીભવન માટે:
કિરણો $S_2$ ની અંદર ધરીને સમાંતર થવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ સપાટી દ્વારા બનેલું પ્રતિબિંબ બીજી સપાટી માટે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n_1 = 1$,$n_2 = 1.5$,$v = \infty$,અને $R = +10 \ cm$:
$0 - \frac{1}{-x} = \frac{0.5}{10} = 0.05$
$x = 20 \ cm$ (આ $S_2$ ની સપાટીથી આભાસી વસ્તુનું અંતર છે).
કુલ અંતર $d = v + x = 50 \ cm + 20 \ cm = 70 \ cm$.
સૂત્ર $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n_1 = 1.5$,$n_2 = 1$,$u = -50 \ cm$,અને $R = -10 \ cm$:
$\frac{1}{v} - \frac{1.5}{-50} = \frac{1 - 1.5}{-10}$
$\frac{1}{v} + 0.03 = 0.05$
$\frac{1}{v} = 0.02 \Rightarrow v = 50 \ cm$ (કિરણો $S_1$ ની સપાટીથી હવામાં $50 \ cm$ અંતરે આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે).
$S_2$ ની વક્ર સપાટી પર બીજા વક્રીભવન માટે:
કિરણો $S_2$ ની અંદર ધરીને સમાંતર થવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ સપાટી દ્વારા બનેલું પ્રતિબિંબ બીજી સપાટી માટે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n_1 = 1$,$n_2 = 1.5$,$v = \infty$,અને $R = +10 \ cm$:
$0 - \frac{1}{-x} = \frac{0.5}{10} = 0.05$
$x = 20 \ cm$ (આ $S_2$ ની સપાટીથી આભાસી વસ્તુનું અંતર છે).
કુલ અંતર $d = v + x = 50 \ cm + 20 \ cm = 70 \ cm$.
0 likesView Solution
27
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
એક વાહક (આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે) જેમાંથી અચળ પ્રવાહ $I$ વહે છે,તેને $x-y$ સમતલમાં સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં રાખવામાં આવેલ છે. જો $F$ એ વાહક પર લાગતા કુલ ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય હોય,તો સાચું વિધાન(નો) કયું(કયા) છે:
A
$(A)$ જો $\vec{B}$ એ $\hat{z}$ ની દિશામાં હોય,તો $F \propto (L+R)$
B
$(B)$ જો $\vec{B}$ એ $\hat{x}$ ની દિશામાં હોય,તો $F = 0$
C
$(C)$ જો $\vec{B}$ એ $\hat{y}$ ની દિશામાં હોય,તો $F \propto (L+R)$
D
$(D)$ જો $\vec{B}$ એ $\hat{z}$ ની દિશામાં હોય,તો $F = 0$
Solution
(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ વાહકના શરૂઆતના બિંદુથી અંતિમ બિંદુ સુધીનું સ્થાનાંતર સદિશ છે.
ભૂમિતિ જોતા,વાહક એક બિંદુથી શરૂ થાય છે અને $x$-અક્ષ પર કુલ આડું અંતર $L + R + R + L = 2(L+R)$ જેટલા સ્થાનાંતરિત બિંદુએ સમાપ્ત થાય છે.
તેથી,$\vec{L}_{eff} = 2(L+R)\hat{i}$.
તેથી,$\vec{F} = I(2(L+R)\hat{i} \times \vec{B}) = 2I(L+R)(\hat{i} \times \vec{B})$.
$(A)$ જો $\vec{B} = B\hat{z}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{z}) = -2I(L+R)B\hat{j}$. મૂલ્ય $F = 2I(L+R)B$,તેથી $F \propto (L+R)$. આ સાચું છે.
$(B)$ જો $\vec{B} = B\hat{x}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{x}) = 0$. આ સાચું છે.
$(C)$ જો $\vec{B} = B\hat{y}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{y}) = 2I(L+R)B\hat{z}$. મૂલ્ય $F = 2I(L+R)B$,તેથી $F \propto (L+R)$. આ સાચું છે.
$(D)$ જો $\vec{B} = B\hat{z}$ હોય,તો $F \neq 0$. આ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (B),$ અને $(C)$ છે.
ભૂમિતિ જોતા,વાહક એક બિંદુથી શરૂ થાય છે અને $x$-અક્ષ પર કુલ આડું અંતર $L + R + R + L = 2(L+R)$ જેટલા સ્થાનાંતરિત બિંદુએ સમાપ્ત થાય છે.
તેથી,$\vec{L}_{eff} = 2(L+R)\hat{i}$.
તેથી,$\vec{F} = I(2(L+R)\hat{i} \times \vec{B}) = 2I(L+R)(\hat{i} \times \vec{B})$.
$(A)$ જો $\vec{B} = B\hat{z}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{z}) = -2I(L+R)B\hat{j}$. મૂલ્ય $F = 2I(L+R)B$,તેથી $F \propto (L+R)$. આ સાચું છે.
$(B)$ જો $\vec{B} = B\hat{x}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{x}) = 0$. આ સાચું છે.
$(C)$ જો $\vec{B} = B\hat{y}$ હોય,તો $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{y}) = 2I(L+R)B\hat{z}$. મૂલ્ય $F = 2I(L+R)B$,તેથી $F \propto (L+R)$. આ સાચું છે.
$(D)$ જો $\vec{B} = B\hat{z}$ હોય,તો $F \neq 0$. આ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (B),$ અને $(C)$ છે.
0 likesView Solution
28
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
ચોરસ આડછેદ ધરાવતા એલ્યુમિનિયમ $(Al)$ ના સળિયામાં,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક ચોરસ કાણું પાડીને તેમાં લોખંડ $(Fe)$ ભરવામાં આવે છે. $Al$ અને $Fe$ ની વિદ્યુત અવરોધકતા અનુક્રમે $2.7 \times 10^{-8} \ \Omega m$ અને $1.0 \times 10^{-7} \ \Omega m$ છે. સંયુક્ત સળિયાના બે છેડાઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુત અવરોધ કેટલો હશે?
A
$\frac{2475}{64} \mu \Omega$
B
$\frac{1875}{64} \mu \Omega$
C
$\frac{1875}{49} \mu \Omega$
D
$\frac{2475}{132} \mu \Omega$
Solution
(B) સંયુક્ત સળિયો બે સમાંતર અવરોધો તરીકે કાર્ય કરે છે,એક $Fe$ નો અને એક $Al$ નો.
લંબાઈ $L = 50 \times 10^{-3} \ m$.
$Fe$ કોરનું ક્ષેત્રફળ $A_{Fe} = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Al$ ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{Al} = (7 \times 10^{-3} \ m)^2 - (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = (49 - 4) \times 10^{-6} \ m^2 = 45 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Fe$ ભાગનો અવરોધ: $R_{Fe} = \frac{\rho_{Fe} L}{A_{Fe}} = \frac{1.0 \times 10^{-7} \times 50 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^{-3} \ \Omega = 1250 \ \mu \Omega$.
$Al$ ભાગનો અવરોધ: $R_{Al} = \frac{\rho_{Al} L}{A_{Al}} = \frac{2.7 \times 10^{-8} \times 50 \times 10^{-3}}{45 \times 10^{-6}} = 0.03 \times 10^{-3} \ \Omega = 30 \ \mu \Omega$.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_{Fe} \times R_{Al}}{R_{Fe} + R_{Al}} = \frac{1250 \times 30}{1250 + 30} = \frac{37500}{1280} \ \mu \Omega = \frac{3750}{128} \ \mu \Omega = \frac{1875}{64} \ \mu \Omega$.
લંબાઈ $L = 50 \times 10^{-3} \ m$.
$Fe$ કોરનું ક્ષેત્રફળ $A_{Fe} = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Al$ ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{Al} = (7 \times 10^{-3} \ m)^2 - (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = (49 - 4) \times 10^{-6} \ m^2 = 45 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Fe$ ભાગનો અવરોધ: $R_{Fe} = \frac{\rho_{Fe} L}{A_{Fe}} = \frac{1.0 \times 10^{-7} \times 50 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^{-3} \ \Omega = 1250 \ \mu \Omega$.
$Al$ ભાગનો અવરોધ: $R_{Al} = \frac{\rho_{Al} L}{A_{Al}} = \frac{2.7 \times 10^{-8} \times 50 \times 10^{-3}}{45 \times 10^{-6}} = 0.03 \times 10^{-3} \ \Omega = 30 \ \mu \Omega$.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R_{Fe} \times R_{Al}}{R_{Fe} + R_{Al}} = \frac{1250 \times 30}{1250 + 30} = \frac{37500}{1280} \ \mu \Omega = \frac{3750}{128} \ \mu \Omega = \frac{1875}{64} \ \mu \Omega$.
0 likesView Solution
29
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
કોલમ $I$ માં આપેલ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાઓને કોલમ $II$ ના યોગ્ય વિકલ્પ(ઓ) સાથે જોડો.
| કોલમ $I$ | કોલમ $II$ |
|---|---|
| $A$. ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન | $P$. ${}_{92}^{235}U$ દ્વારા થર્મલ ન્યુટ્રોનનું શોષણ |
| $B$. ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં વિખંડન | $Q$. ${}_{27}^{60}Co$ ન્યુક્લિયસ |
| $C$. $\beta$-ક્ષય | $R$. હાઇડ્રોજનનું હિલિયમમાં રૂપાંતર દ્વારા તારાઓમાં ઉર્જા ઉત્પાદન |
| $D$. $\gamma$-કિરણ ઉત્સર્જન | $S$. ભારે પાણી |
| $T$. ન્યુટ્રિનો ઉત્સર્જન |
A
$A \rightarrow (R, T); B \rightarrow (P, S); C \rightarrow (P, Q, R, T); D \rightarrow (P, Q, R, T)$
B
$A \rightarrow (R, S); B \rightarrow (P, T); C \rightarrow (P, Q, R, S); D \rightarrow (P, Q, R, S)$
C
$A \rightarrow (R, S); B \rightarrow (P, Q); C \rightarrow (P, Q, R, S); D \rightarrow (P, Q, T, S)$
D
$A \rightarrow (P, T); B \rightarrow (Q, S); C \rightarrow (Q, R, S, T); D \rightarrow (P, R, S, T)$
Solution
(A) . ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન: તારાઓમાં,હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ જોડાઈને હિલિયમ બનાવે છે,જે ઉર્જા મુક્ત કરે છે $(R)$. આ પ્રક્રિયામાં ન્યુટ્રિનોનું ઉત્સર્જન પણ થાય છે $(T)$. તેથી,$A \rightarrow (R, T)$.
$B$. ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં વિખંડન: વિખંડન ${}_{92}^{235}U$ દ્વારા થર્મલ ન્યુટ્રોન શોષવાથી થાય છે $(P)$. ભારે પાણી $(S)$ નો ઉપયોગ ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં મોડરેટર તરીકે થાય છે. તેથી,$B \rightarrow (P, S)$.
$C$. $\beta$-ક્ષય: આ પ્રક્રિયામાં ઇલેક્ટ્રોન/પોઝિટ્રોન અને ન્યુટ્રિનોનું ઉત્સર્જન થાય છે $(T)$.
$D$. $\gamma$-કિરણ ઉત્સર્જન: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઉત્તેજિત ન્યુક્લિયસ,જેમ કે ${}_{27}^{60}Co$,નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે. તેથી,$D$ એ $Q$ સાથે સંકળાયેલ છે.
$B$. ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં વિખંડન: વિખંડન ${}_{92}^{235}U$ દ્વારા થર્મલ ન્યુટ્રોન શોષવાથી થાય છે $(P)$. ભારે પાણી $(S)$ નો ઉપયોગ ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં મોડરેટર તરીકે થાય છે. તેથી,$B \rightarrow (P, S)$.
$C$. $\beta$-ક્ષય: આ પ્રક્રિયામાં ઇલેક્ટ્રોન/પોઝિટ્રોન અને ન્યુટ્રિનોનું ઉત્સર્જન થાય છે $(T)$.
$D$. $\gamma$-કિરણ ઉત્સર્જન: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઉત્તેજિત ન્યુક્લિયસ,જેમ કે ${}_{27}^{60}Co$,નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે. તેથી,$D$ એ $Q$ સાથે સંકળાયેલ છે.
0 likesView Solution
30
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2015
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે,તેની એક્ટિવિટી $A$ અને તેની એક્ટિવિટીમાં થતો ફેરફારનો દર $R$ એ $A = -\frac{dN}{dt}$ અને $R = -\frac{dA}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $N(t)$ એ સમય $t$ પર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે. બે રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોત $P$ (સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$) અને $Q$ (સરેરાશ આયુષ્ય $2\tau$) ની $t = 0$ સમયે એક્ટિવિટી સમાન છે. $t = 2\tau$ સમયે તેમની એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારના દર અનુક્રમે $R_P$ અને $R_Q$ છે. જો $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{n}{e}$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{1}{\tau}$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
સ્ત્રોત $P$ માટે,$\lambda_P = \frac{1}{\tau}$. સ્ત્રોત $Q$ માટે,$\lambda_Q = \frac{1}{2\tau}$.
એક્ટિવિટીમાં ફેરફારનો દર $R = -\frac{dA}{dt} = -\frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = A_0 \lambda e^{-\lambda t}$ છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે બંને માટે $A_0$ સમાન છે,તેથી $R_P(t) = A_0 \lambda_P e^{-\lambda_P t}$ અને $R_Q(t) = A_0 \lambda_Q e^{-\lambda_Q t}$ મળે.
$t = 2\tau$ સમયે:
$R_P = A_0 (\frac{1}{\tau}) e^{-(\frac{1}{\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{\tau} e^{-2}$.
$R_Q = A_0 (\frac{1}{2\tau}) e^{-(\frac{1}{2\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{2\tau} e^{-1}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{\frac{A_0}{\tau} e^{-2}}{\frac{A_0}{2\tau} e^{-1}} = 2 \cdot \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}$.
આને $\frac{n}{e}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.
સ્ત્રોત $P$ માટે,$\lambda_P = \frac{1}{\tau}$. સ્ત્રોત $Q$ માટે,$\lambda_Q = \frac{1}{2\tau}$.
એક્ટિવિટીમાં ફેરફારનો દર $R = -\frac{dA}{dt} = -\frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = A_0 \lambda e^{-\lambda t}$ છે.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે બંને માટે $A_0$ સમાન છે,તેથી $R_P(t) = A_0 \lambda_P e^{-\lambda_P t}$ અને $R_Q(t) = A_0 \lambda_Q e^{-\lambda_Q t}$ મળે.
$t = 2\tau$ સમયે:
$R_P = A_0 (\frac{1}{\tau}) e^{-(\frac{1}{\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{\tau} e^{-2}$.
$R_Q = A_0 (\frac{1}{2\tau}) e^{-(\frac{1}{2\tau})(2\tau)} = \frac{A_0}{2\tau} e^{-1}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{\frac{A_0}{\tau} e^{-2}}{\frac{A_0}{2\tau} e^{-1}} = 2 \cdot \frac{e^{-2}}{e^{-1}} = 2 e^{-1} = \frac{2}{e}$.
આને $\frac{n}{e}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.
0 likesView Solution
31
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
પ્રકાશનું એક એકરંગી કિરણ $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા સમબાજુ પ્રિઝમની એક સપાટી પર $60^{\circ}$ ના ખૂણે આપાત થાય છે અને સામેની સપાટીમાંથી લંબ સાથે $\theta(n)$ ખૂણો બનાવીને બહાર નીકળે છે (આકૃતિ જુઓ). $n=\sqrt{3}$ માટે $\theta$ નું મૂલ્ય $60^{\circ}$ છે અને $\frac{d \theta}{d n}=m$ છે. $m$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sin(60^{\circ}) = n \sin(r_1) \Rightarrow \sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$,તેથી $r_1 + r_2 = 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 60^{\circ} - r_1$.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $n \sin(r_2) = \sin(\theta)$.
$r_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\sin(\theta) = n \sin(60^{\circ} - r_1) = n [\sin(60^{\circ}) \cos(r_1) - \cos(60^{\circ}) \sin(r_1)]$.
કારણ કે $\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$,તેથી $\cos(r_1) = \sqrt{1 - \frac{3}{4n^2}} = \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n}$.
આ કિંમતોને $\sin(\theta)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin(\theta) = n [\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2n}] = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{4n^2 - 3} - 1)$.
$n$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos(\theta) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{4n^2 - 3}} \cdot 8n = \frac{\sqrt{3} n}{\sqrt{4n^2 - 3}}$.
$n = \sqrt{3}$ અને $\theta = 60^{\circ}$ માટે,$\cos(60^{\circ}) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4(3) - 3}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dn} = 1 \Rightarrow \frac{d\theta}{dn} = 2$. આમ,$m = 2$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$,તેથી $r_1 + r_2 = 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 60^{\circ} - r_1$.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $n \sin(r_2) = \sin(\theta)$.
$r_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\sin(\theta) = n \sin(60^{\circ} - r_1) = n [\sin(60^{\circ}) \cos(r_1) - \cos(60^{\circ}) \sin(r_1)]$.
કારણ કે $\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$,તેથી $\cos(r_1) = \sqrt{1 - \frac{3}{4n^2}} = \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n}$.
આ કિંમતોને $\sin(\theta)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin(\theta) = n [\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2n}] = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{4n^2 - 3} - 1)$.
$n$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos(\theta) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{4n^2 - 3}} \cdot 8n = \frac{\sqrt{3} n}{\sqrt{4n^2 - 3}}$.
$n = \sqrt{3}$ અને $\theta = 60^{\circ}$ માટે,$\cos(60^{\circ}) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4(3) - 3}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dn} = 1 \Rightarrow \frac{d\theta}{dn} = 2$. આમ,$m = 2$.
0 likesView Solution
32
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
નીચે આપેલ સર્કિટમાં,અવરોધ $R(=2 \Omega)$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એમ્પીયર છે. $I$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(A) આપેલ સર્કિટને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવી શકાય છે.
સૌ પ્રથમ,જમણી બાજુની શાખામાં $2 \Omega$ અને $4 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો કુલ અવરોધ $2+4=6 \Omega$ થાય.
આ $6 \Omega$ અવરોધ મધ્ય શાખાના $6 \Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{6 \times 6}{6+6} = 3 \Omega$ થાય.
હવે,કુલ અવરોધ $R_{total} = 2 \Omega + ( (6+12) || (2+4) ) = 2 + (18 || 6) = 2 + \frac{18 \times 6}{18+6} = 2 + 4.5 = 6.5 \Omega$ મળે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{6.5 \text{ V}}{6.5 \Omega} = 1 \text{ A}$.
સૌ પ્રથમ,જમણી બાજુની શાખામાં $2 \Omega$ અને $4 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો કુલ અવરોધ $2+4=6 \Omega$ થાય.
આ $6 \Omega$ અવરોધ મધ્ય શાખાના $6 \Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{6 \times 6}{6+6} = 3 \Omega$ થાય.
હવે,કુલ અવરોધ $R_{total} = 2 \Omega + ( (6+12) || (2+4) ) = 2 + (18 || 6) = 2 + \frac{18 \times 6}{18+6} = 2 + 4.5 = 6.5 \Omega$ મળે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{6.5 \text{ V}}{6.5 \Omega} = 1 \text{ A}$.
0 likesView Solution
33
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
એક વિખંડન પ્રક્રિયા ${ }_{92}^{236} U \rightarrow{ }_{54}^{140} Xe +{ }_{38}^{94} Sr + x + y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ અને $y$ બે કણો છે. ${ }_{92}^{236} U$ સ્થિર છે તેમ માનતા,નીપજોની ગતિઊર્જા અનુક્રમે $K_{Xe}, K_{Sr}, K_x (2 \ MeV)$ અને $K_y (2 \ MeV)$ છે. ધારો કે ${ }_{92}^{236} U, { }_{54}^{140} Xe$ અને ${ }_{38}^{94} Sr$ ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઊર્જા અનુક્રમે $7.5 \ MeV, 8.5 \ MeV$ અને $8.5 \ MeV$ છે. વિવિધ સંરક્ષણના નિયમોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ(ઓ) કયો(કયા) છે:
A
$x = n, y = n, K_{Sr} = 129 \ MeV, K_{Xe} = 86 \ MeV$
B
$x = p, y = e^-, K_{Sr} = 129 \ MeV, K_{Xe} = 86 \ MeV$
C
$x = p, y = n, K_{Sr} = 129 \ MeV, K_{Xe} = 86 \ MeV$
D
$x = n, y = n, K_{Sr} = 86 \ MeV, K_{Xe} = 129 \ MeV$
Solution
(A) પ્રક્રિયાનું $Q$-મૂલ્ય આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $Q = [BE(Xe) + BE(Sr)] - BE(U) = (140 \times 8.5 + 94 \times 8.5) - (236 \times 7.5) = 234 \times 8.5 - 1770 = 1989 - 1770 = 219 \ MeV$.
આપેલ છે કે $x$ અને $y$ ની ગતિઊર્જા દરેક $2 \ MeV$ છે,તેથી $Xe$ અને $Sr$ ની નીપજો માટે ઉપલબ્ધ કુલ ગતિઊર્જા $K_{Xe} + K_{Sr} = 219 - 2 - 2 = 215 \ MeV$ છે.
વીજભારના સંરક્ષણ દ્વારા,પ્રોટોનની સંખ્યાનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ: $92 = 54 + 38 + Z_x + Z_y$. આમ,$Z_x + Z_y = 0$,જે સૂચવે છે કે $x$ અને $y$ ન્યુટ્રોન $(n)$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણ દ્વારા,$p_{Xe} = p_{Sr} \implies \sqrt{2m_{Xe}K_{Xe}} = \sqrt{2m_{Sr}K_{Sr}}$.
$K_{Xe} / K_{Sr} = m_{Sr} / m_{Xe} = 94 / 140 = 47 / 70$.
$K_{Xe} = (47 / 117) \times 215 \approx 86 \ MeV$ અને $K_{Sr} = (70 / 117) \times 215 \approx 129 \ MeV$.
આપેલ છે કે $x$ અને $y$ ની ગતિઊર્જા દરેક $2 \ MeV$ છે,તેથી $Xe$ અને $Sr$ ની નીપજો માટે ઉપલબ્ધ કુલ ગતિઊર્જા $K_{Xe} + K_{Sr} = 219 - 2 - 2 = 215 \ MeV$ છે.
વીજભારના સંરક્ષણ દ્વારા,પ્રોટોનની સંખ્યાનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ: $92 = 54 + 38 + Z_x + Z_y$. આમ,$Z_x + Z_y = 0$,જે સૂચવે છે કે $x$ અને $y$ ન્યુટ્રોન $(n)$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણ દ્વારા,$p_{Xe} = p_{Sr} \implies \sqrt{2m_{Xe}K_{Xe}} = \sqrt{2m_{Sr}K_{Sr}}$.
$K_{Xe} / K_{Sr} = m_{Sr} / m_{Xe} = 94 / 140 = 47 / 70$.
$K_{Xe} = (47 / 117) \times 215 \approx 86 \ MeV$ અને $K_{Sr} = (70 / 117) \times 215 \approx 129 \ MeV$.
0 likesView Solution
34
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત $R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોલીય વિદ્યુતભાર વિતરણનો વિચાર કરો. આ વિતરણમાં,$P$ પર કેન્દ્રિત અને $OP = a = R_1 - R_2$ અંતરે (આકૃતિ જુઓ) $R_2$ ત્રિજ્યાની એક ગોલીય પોલાણ (cavity) બનાવવામાં આવે છે. જો પોલાણની અંદર $\vec{r}$ સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}(\vec{r})$ હોય,તો સાચું વિધાન/વિધાનો કયું/કયા છે?
A
$\vec{E}$ સમાન છે,તેનું મૂલ્ય $R_2$ થી સ્વતંત્ર છે પરંતુ તેની દિશા $\vec{r}$ પર આધાર રાખે છે
B
$\vec{E}$ સમાન છે,તેનું મૂલ્ય $R_2$ પર આધાર રાખે છે અને તેની દિશા $\vec{r}$ પર આધાર રાખે છે
C
$\vec{E}$ સમાન છે,તેનું મૂલ્ય $a$ થી સ્વતંત્ર છે પરંતુ તેની દિશા $\vec{a}$ પર આધાર રાખે છે
D
$\vec{E}$ સમાન છે અને તેનું મૂલ્ય તથા દિશા બંને $\vec{a}$ પર આધાર રાખે છે
Solution
(D) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળામાં રહેલા ગોલીય પોલાણની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે. આપણે પોલાણવાળા ગોળાને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળા અને પોલાણને ભરતા $-\rho$ ઘનતા ધરાવતા નાના ગોળાના સરવાળા તરીકે ગણીએ છીએ.
$R_1$ ત્રિજ્યાના નક્કર ગોળાની અંદર કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\vec{r}_1$ એ કેન્દ્ર $O$ થી સ્થાન સદિશ છે.
$R_2$ ત્રિજ્યાના નાના ગોળા (પોલાણ) ની અંદર કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_2 = \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\vec{r}_2$ એ કેન્દ્ર $P$ થી સ્થાન સદિશ છે.
પોલાણની અંદરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ છે.
કારણ કે $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{OP} = \vec{a}$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{a}}{3 \varepsilon_0}$ થાય છે.
આ અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે પોલાણની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (અચળ) છે અને તે ફક્ત મોટા ગોળાના કેન્દ્રને પોલાણના કેન્દ્ર સાથે જોડતા સદિશ $\vec{a}$ પર આધાર રાખે છે. તે પોલાણની અંદરના સ્થાન $\vec{r}$ થી સ્વતંત્ર છે અને ત્રિજ્યા $R_2$ થી પણ સ્વતંત્ર છે.
$R_1$ ત્રિજ્યાના નક્કર ગોળાની અંદર કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\vec{r}_1$ એ કેન્દ્ર $O$ થી સ્થાન સદિશ છે.
$R_2$ ત્રિજ્યાના નાના ગોળા (પોલાણ) ની અંદર કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_2 = \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\vec{r}_2$ એ કેન્દ્ર $P$ થી સ્થાન સદિશ છે.
પોલાણની અંદરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ છે.
કારણ કે $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{OP} = \vec{a}$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \frac{\rho \vec{a}}{3 \varepsilon_0}$ થાય છે.
આ અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે પોલાણની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (અચળ) છે અને તે ફક્ત મોટા ગોળાના કેન્દ્રને પોલાણના કેન્દ્ર સાથે જોડતા સદિશ $\vec{a}$ પર આધાર રાખે છે. તે પોલાણની અંદરના સ્થાન $\vec{r}$ થી સ્વતંત્ર છે અને ત્રિજ્યા $R_2$ થી પણ સ્વતંત્ર છે.
0 likesView Solution
35
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
$S$ ક્ષેત્રફળ અને $d$ પ્લેટ અંતર ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું હવામાં કેપેસિટન્સ $C_1$ છે. જ્યારે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે પ્લેટોની વચ્ચે અલગ-અલગ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\varepsilon_1=2$ અને $\varepsilon_2=4)$ ધરાવતા બે ડાયલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C_2$ થાય છે. ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1}$ શોધો.
A
$6/5$
B
$5/3$
C
$7/5$
D
$7/3$
Solution
(D) હવામાં કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ છે.
કેપેસિટરને સમાંતરમાં બે ભાગ તરીકે ગણી શકાય. એક ભાગમાં $\varepsilon_1$ ડાયલેક્ટ્રિક સાથે $S/2$ ક્ષેત્રફળ છે,અને બીજા ભાગમાં $S/2$ ક્ષેત્રફળ છે જેમાં શ્રેણીમાં બે ડાયલેક્ટ્રિક છે,દરેકની જાડાઈ $d/2$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_1$ અને $\varepsilon_2$ છે.
$\varepsilon_1$ ડાયલેક્ટ્રિક ધરાવતી સમાંતર શાખા માટે: $C_A = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 S}{2d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = C_1$.
બીજી શાખા માટે,આપણી પાસે શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર $C_B$ અને $C_C$ છે,દરેકનું ક્ષેત્રફળ $S/2$ અને જાડાઈ $d/2$ છે:
$C_B = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_1 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 2 C_1$
$C_C = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_2 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 4 C_1$
આ શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{series} = \frac{C_B C_C}{C_B + C_C} = \frac{(2 C_1)(4 C_1)}{2 C_1 + 4 C_1} = \frac{8 C_1^2}{6 C_1} = \frac{4}{3} C_1$ છે.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_2 = C_A + C_{series} = C_1 + \frac{4}{3} C_1 = \frac{7}{3} C_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1} = \frac{7}{3}$ છે.
કેપેસિટરને સમાંતરમાં બે ભાગ તરીકે ગણી શકાય. એક ભાગમાં $\varepsilon_1$ ડાયલેક્ટ્રિક સાથે $S/2$ ક્ષેત્રફળ છે,અને બીજા ભાગમાં $S/2$ ક્ષેત્રફળ છે જેમાં શ્રેણીમાં બે ડાયલેક્ટ્રિક છે,દરેકની જાડાઈ $d/2$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_1$ અને $\varepsilon_2$ છે.
$\varepsilon_1$ ડાયલેક્ટ્રિક ધરાવતી સમાંતર શાખા માટે: $C_A = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 S}{2d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = C_1$.
બીજી શાખા માટે,આપણી પાસે શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર $C_B$ અને $C_C$ છે,દરેકનું ક્ષેત્રફળ $S/2$ અને જાડાઈ $d/2$ છે:
$C_B = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_1 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 2 C_1$
$C_C = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_2 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 4 C_1$
આ શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{series} = \frac{C_B C_C}{C_B + C_C} = \frac{(2 C_1)(4 C_1)}{2 C_1 + 4 C_1} = \frac{8 C_1^2}{6 C_1} = \frac{4}{3} C_1$ છે.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_2 = C_A + C_{series} = C_1 + \frac{4}{3} C_1 = \frac{7}{3} C_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1} = \frac{7}{3}$ છે.
0 likesView Solution
36
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2015
ઓપ્ટિકલ ફાઈબરમાં પ્રકાશનું માર્ગદર્શન $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પાતળા ઘન કાચના નળાકાર અને તેની આસપાસ $n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમની રચના દ્વારા સમજી શકાય છે. આ રચનામાં પ્રકાશનું માર્ગદર્શન $n_1$ અને $n_2$ માધ્યમોના આંતરપૃષ્ઠ પર થતા ક્રમિક પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે થાય છે. આપાતકોણ $i$ જેનું મૂલ્ય $i_m$ કરતા ઓછું હોય તેવા તમામ કિરણો $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં જ રહે છે. રચનાનો ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $(NA)$ $\sin i_m$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$1.$ બે રચનાઓ $S_1$ $(n_1=\sqrt{45}/4, n_2=3/2)$ અને $S_2$ $(n_1=8/5, n_2=7/5)$ માટે,પાણીનો વક્રીભવનાંક $4/3$ અને હવા માટે $1$ લેતા,સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A)$ પાણીમાં ડૂબેલા $S_1$ નો $NA$ એ $\frac{16}{3\sqrt{15}}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબેલા $S_2$ ના $NA$ જેટલો જ છે.
$(B)$ $\frac{6}{\sqrt{15}}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબેલા $S_1$ નો $NA$ એ પાણીમાં ડૂબેલા $S_2$ ના $NA$ જેટલો જ છે.
$(C)$ હવામાં રાખેલા $S_1$ નો $NA$ એ $\frac{4}{\sqrt{15}}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબેલા $S_2$ ના $NA$ જેટલો જ છે.
$(D)$ હવામાં રાખેલા $S_1$ નો $NA$ એ પાણીમાં રાખેલા $S_2$ ના $NA$ જેટલો જ છે.
$2.$ જો સમાન આડછેદ ધરાવતી પરંતુ અલગ અલગ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $NA_1$ અને $NA_2$ $(NA_2 < NA_1)$ ધરાવતી બે રચનાઓને લંબાઈની દિશામાં જોડવામાં આવે,તો સંયુક્ત રચનાનો ન્યુમેરિકલ એપર્ચર કેટલો થાય?
$(A)$ $\frac{NA_1 NA_2}{NA_1+NA_2}$ $(B)$ $NA_1+NA_2$ $(C)$ $NA_1$ $(D)$ $NA_2$
$1.$ બે રચનાઓ $S_1$ $(n_1=\sqrt{45}/4, n_2=3/2)$ અને $S_2$ $(n_1=8/5, n_2=7/5)$ માટે,પાણીનો વક્રીભવનાંક $4/3$ અને હવા માટે $1$ લેતા,સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A)$ પાણીમાં ડૂબેલા $S_1$ નો $NA$ એ $\frac{16}{3\sqrt{15}}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબેલા $S_2$ ના $NA$ જેટલો જ છે.
$(B)$ $\frac{6}{\sqrt{15}}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબેલા $S_1$ નો $NA$ એ પાણીમાં ડૂબેલા $S_2$ ના $NA$ જેટલો જ છે.
$(C)$ હવામાં રાખેલા $S_1$ નો $NA$ એ $\frac{4}{\sqrt{15}}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબેલા $S_2$ ના $NA$ જેટલો જ છે.
$(D)$ હવામાં રાખેલા $S_1$ નો $NA$ એ પાણીમાં રાખેલા $S_2$ ના $NA$ જેટલો જ છે.
$2.$ જો સમાન આડછેદ ધરાવતી પરંતુ અલગ અલગ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $NA_1$ અને $NA_2$ $(NA_2 < NA_1)$ ધરાવતી બે રચનાઓને લંબાઈની દિશામાં જોડવામાં આવે,તો સંયુક્ત રચનાનો ન્યુમેરિકલ એપર્ચર કેટલો થાય?
$(A)$ $\frac{NA_1 NA_2}{NA_1+NA_2}$ $(B)$ $NA_1+NA_2$ $(C)$ $NA_1$ $(D)$ $NA_2$
Solution
(C) $1.$ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\theta \geq c$ છે,જ્યાં $c$ ક્રાંતિકોણ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\theta = 90^{\circ} - r$,તેથી $90^{\circ} - r \geq c \Rightarrow \cos r \geq \sin c$.
પ્રવેશદ્વાર પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_m \sin i_m = n_1 \sin r$,અને $\sin c = n_2/n_1$,આપણને $\sin i_m = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ મળે છે. આમ,$NA = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
$S_1$ માટે: $n_1^2 - n_2^2 = 45/16 - 9/4 = 9/16$. તેથી $NA(S_1) = \frac{3}{4n_m}$.
$S_2$ માટે: $n_1^2 - n_2^2 = 64/25 - 49/25 = 15/25 = 3/5$. તેથી $NA(S_2) = \frac{\sqrt{15}}{5n_m}$.
$(A)$ તપાસતા: $NA(S_1, \text{પાણી}) = \frac{3/4}{4/3} = 9/16$. $NA(S_2, \text{પ્રવાહી}) = \frac{\sqrt{15}/5}{16/(3\sqrt{15})} = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = \frac{45}{80} = 9/16$. (સાચું)
$(C)$ તપાસતા: $NA(S_1, \text{હવા}) = 3/4$. $NA(S_2, \text{પ્રવાહી}) = \frac{\sqrt{15}/5}{4/\sqrt{15}} = \frac{15}{20} = 3/4$. (સાચું)
આમ,વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.
$2.$ જ્યારે અલગ અલગ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર ધરાવતી બે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશે બંને ફાઈબરમાં પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરતનું પાલન કરવું પડે છે. મર્યાદિત ખૂણો એ ઓછા ન્યુમેરિકલ એપર્ચર ધરાવતી ફાઈબર દ્વારા નક્કી થાય છે. તેથી,સંયુક્ત $NA$ એ $NA_2$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\theta = 90^{\circ} - r$,તેથી $90^{\circ} - r \geq c \Rightarrow \cos r \geq \sin c$.
પ્રવેશદ્વાર પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_m \sin i_m = n_1 \sin r$,અને $\sin c = n_2/n_1$,આપણને $\sin i_m = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ મળે છે. આમ,$NA = \frac{1}{n_m} \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
$S_1$ માટે: $n_1^2 - n_2^2 = 45/16 - 9/4 = 9/16$. તેથી $NA(S_1) = \frac{3}{4n_m}$.
$S_2$ માટે: $n_1^2 - n_2^2 = 64/25 - 49/25 = 15/25 = 3/5$. તેથી $NA(S_2) = \frac{\sqrt{15}}{5n_m}$.
$(A)$ તપાસતા: $NA(S_1, \text{પાણી}) = \frac{3/4}{4/3} = 9/16$. $NA(S_2, \text{પ્રવાહી}) = \frac{\sqrt{15}/5}{16/(3\sqrt{15})} = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = \frac{45}{80} = 9/16$. (સાચું)
$(C)$ તપાસતા: $NA(S_1, \text{હવા}) = 3/4$. $NA(S_2, \text{પ્રવાહી}) = \frac{\sqrt{15}/5}{4/\sqrt{15}} = \frac{15}{20} = 3/4$. (સાચું)
આમ,વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.
$2.$ જ્યારે અલગ અલગ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર ધરાવતી બે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશે બંને ફાઈબરમાં પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરતનું પાલન કરવું પડે છે. મર્યાદિત ખૂણો એ ઓછા ન્યુમેરિકલ એપર્ચર ધરાવતી ફાઈબર દ્વારા નક્કી થાય છે. તેથી,સંયુક્ત $NA$ એ $NA_2$ છે.
0 likesView Solution
37
PhysicsAdvancedIIT JEE · 2015
એક પાતળી લંબચોરસ ધાતુની પટ્ટીમાં, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ધન $x$-દિશામાં અચળ પ્રવાહ $I$ વહે છે. પટ્ટીની લંબાઈ, પહોળાઈ અને જાડાઈ અનુક્રમે $\ell$, $w$ અને $d$ છે. પટ્ટી પર ધન $y$-દિશામાં સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ લાગુ કરવામાં આવે છે. આને કારણે, ચાર્જ કેરિયર્સ $z$-દિશામાં ચોખ્ખું વિચલન અનુભવે છે. આના પરિણામે સપાટી $PQRS$ પર ચાર્જ કેરિયર્સ એકઠા થાય છે અને $PQRS$ ની વિરુદ્ધ બાજુ પર સમાન અને વિરુદ્ધ ચાર્જ દેખાય છે. આમ, $z$-દિશામાં પોટેન્શિયલ તફાવત વિકસે છે. ચાર્જનું સંચય ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી ચુંબકીય બળ વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત ન થાય. પ્રવાહ પટ્ટીના આડછેદ પર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે અને ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા વહન થાય છે તેમ માનવામાં આવે છે.
$1.$ સમાન પદાર્થની બે અલગ અલગ ધાતુની પટ્ટીઓ ($1$ અને $2$) ધ્યાનમાં લો. તેમની લંબાઈ સમાન છે, પહોળાઈ અનુક્રમે $w_1$ અને $w_2$ છે અને જાડાઈ અનુક્રમે $d_1$ અને $d_2$ છે. બે બિંદુઓ $K$ અને $M$ એ $x$-$y$ સમતલને સમાંતર વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સપ્રમાણ રીતે સ્થિત છે (આકૃતિ જુઓ). $V_1$ અને $V_2$ એ અનુક્રમે પટ્ટી $1$ અને $2$ માં $K$ અને $M$ વચ્ચેના પોટેન્શિયલ તફાવત છે. તો, આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ માં તેમનામાંથી વહેતા આપેલ પ્રવાહ $I$ માટે, સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A)$ જો $w_1=w_2$ અને $d_1=2d_2$, તો $V_2=2V_1$
$(B)$ જો $w_1=w_2$ and $d_1=2d_2$, તો $V_2=V_1$
$(C)$ જો $w_1=2w_2$ અને $d_1=d_2$, તો $V_2=2V_1$
$(D)$ જો $w_1=2w_2$ અને $d_1=d_2$, તો $V_2=V_1$
$2.$ સમાન પરિમાણો (લંબાઈ $\ell$, પહોળાઈ $w$ અને જાડાઈ $d$) અને અનુક્રમે કેરિયર ઘનતા $n_1$ અને $n_2$ ધરાવતી બે અલગ અલગ ધાતુની પટ્ટીઓ ($1$ અને $2$) ધ્યાનમાં લો. પટ્ટી $1$ ને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ માં અને પટ્ટી $2$ ને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ માં મૂકવામાં આવે છે, બંને ધન $y$-દિશામાં. તો $V_1$ અને $V_2$ એ અનુક્રમે પટ્ટી $1$ અને $2$ માં $K$ અને $M$ વચ્ચે વિકસિત પોટેન્શિયલ તફાવત છે. ધારી લો કે બંને પટ્ટીઓ માટે પ્રવાહ $I$ સમાન છે, તો સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A)$ જો $B_1=B_2$ અને $n_1=2n_2$, તો $V_2=2V_1$
$(B)$ જો $B_1=B_2$ અને $n_1=2n_2$, તો $V_2=V_1$
$(C)$ જો $B_1=2B_2$ અને $n_1=n_2$, તો $V_2=0.5V_1$
$(D)$ જો $B_1=2B_2$ અને $n_1=n_2$, તો $V_2=V_1$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.
$1.$ સમાન પદાર્થની બે અલગ અલગ ધાતુની પટ્ટીઓ ($1$ અને $2$) ધ્યાનમાં લો. તેમની લંબાઈ સમાન છે, પહોળાઈ અનુક્રમે $w_1$ અને $w_2$ છે અને જાડાઈ અનુક્રમે $d_1$ અને $d_2$ છે. બે બિંદુઓ $K$ અને $M$ એ $x$-$y$ સમતલને સમાંતર વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સપ્રમાણ રીતે સ્થિત છે (આકૃતિ જુઓ). $V_1$ અને $V_2$ એ અનુક્રમે પટ્ટી $1$ અને $2$ માં $K$ અને $M$ વચ્ચેના પોટેન્શિયલ તફાવત છે. તો, આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ માં તેમનામાંથી વહેતા આપેલ પ્રવાહ $I$ માટે, સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A)$ જો $w_1=w_2$ અને $d_1=2d_2$, તો $V_2=2V_1$
$(B)$ જો $w_1=w_2$ and $d_1=2d_2$, તો $V_2=V_1$
$(C)$ જો $w_1=2w_2$ અને $d_1=d_2$, તો $V_2=2V_1$
$(D)$ જો $w_1=2w_2$ અને $d_1=d_2$, તો $V_2=V_1$
$2.$ સમાન પરિમાણો (લંબાઈ $\ell$, પહોળાઈ $w$ અને જાડાઈ $d$) અને અનુક્રમે કેરિયર ઘનતા $n_1$ અને $n_2$ ધરાવતી બે અલગ અલગ ધાતુની પટ્ટીઓ ($1$ અને $2$) ધ્યાનમાં લો. પટ્ટી $1$ ને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ માં અને પટ્ટી $2$ ને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ માં મૂકવામાં આવે છે, બંને ધન $y$-દિશામાં. તો $V_1$ અને $V_2$ એ અનુક્રમે પટ્ટી $1$ અને $2$ માં $K$ અને $M$ વચ્ચે વિકસિત પોટેન્શિયલ તફાવત છે. ધારી લો કે બંને પટ્ટીઓ માટે પ્રવાહ $I$ સમાન છે, તો સાચો વિકલ્પ(ઓ) છે:
$(A)$ જો $B_1=B_2$ અને $n_1=2n_2$, તો $V_2=2V_1$
$(B)$ જો $B_1=B_2$ અને $n_1=2n_2$, તો $V_2=V_1$
$(C)$ જો $B_1=2B_2$ અને $n_1=n_2$, તો $V_2=0.5V_1$
$(D)$ જો $B_1=2B_2$ અને $n_1=n_2$, તો $V_2=V_1$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.
Solution
(D) હોલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = v B w$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે, $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, અને $w$ એ પહોળાઈ છે.
કારણ કે $I = n e A v = n e (w d) v$, તેથી $v = \frac{I}{n e w d}$.
$V$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \left(\frac{I}{n e w d}\right) B w = \frac{I B}{n e d}$.
$1.$ સમાન પદાર્થ ($n$ અચળ છે) અને સમાન પ્રવાહ $I$ અને ક્ષેત્ર $B$ માટે, $V \propto \frac{1}{d}$.
તેથી, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{d_1}{d_2}$.
જો $w_1=w_2$ અને $d_1=2d_2$, તો $V_2 = \frac{2d_2}{d_2} V_1 = 2V_1$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
જો $w_1=2w_2$ અને $d_1=d_2$, તો $V_2 = \frac{d_1}{d_1} V_1 = V_1$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
$2.$ સમાન પરિમાણો ($w, d$ અચળ) અને સમાન પ્રવાહ $I$ માટે, $V \propto \frac{B}{n}$.
તેથી, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{B_1} \cdot \frac{n_1}{n_2}$.
જો $B_1=B_2$ અને $n_1=2n_2$, તો $\frac{V_2}{V_1} = 1 \cdot \frac{2n_2}{n_2} = 2$, તેથી $V_2=2V_1$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
જો $B_1=2B_2$ અને $n_1=n_2$, તો $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{2B_2} \cdot 1 = 0.5$, તેથી $V_2=0.5V_1$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
તેથી, સાચા જવાબો $AD$ અને $AC$ છે.
કારણ કે $I = n e A v = n e (w d) v$, તેથી $v = \frac{I}{n e w d}$.
$V$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \left(\frac{I}{n e w d}\right) B w = \frac{I B}{n e d}$.
$1.$ સમાન પદાર્થ ($n$ અચળ છે) અને સમાન પ્રવાહ $I$ અને ક્ષેત્ર $B$ માટે, $V \propto \frac{1}{d}$.
તેથી, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{d_1}{d_2}$.
જો $w_1=w_2$ અને $d_1=2d_2$, તો $V_2 = \frac{2d_2}{d_2} V_1 = 2V_1$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
જો $w_1=2w_2$ અને $d_1=d_2$, તો $V_2 = \frac{d_1}{d_1} V_1 = V_1$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
$2.$ સમાન પરિમાણો ($w, d$ અચળ) અને સમાન પ્રવાહ $I$ માટે, $V \propto \frac{B}{n}$.
તેથી, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{B_1} \cdot \frac{n_1}{n_2}$.
જો $B_1=B_2$ અને $n_1=2n_2$, તો $\frac{V_2}{V_1} = 1 \cdot \frac{2n_2}{n_2} = 2$, તેથી $V_2=2V_1$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
જો $B_1=2B_2$ અને $n_1=n_2$, તો $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{2B_2} \cdot 1 = 0.5$, તેથી $V_2=0.5V_1$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
તેથી, સાચા જવાબો $AD$ અને $AC$ છે.
0 likesView Solution
38
PhysicsMediumMCQIIT JEE · 2015
$Li^{2+}$ આયનની ઉત્તેજિત અવસ્થામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\frac{3 h}{2 \pi}$ છે. આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $p \pi a_{0}$ છે (જ્યાં, $a_{0} = \text{બોહર ત્રિજ્યા}$). $p$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$3$
B
$2$
C
$1$
D
$4$
Solution
(B) બોહરના અધિતર્ક મુજબ, કોણીય વેગમાન $L = \frac{n h}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = \frac{3 h}{2 \pi}$, તેથી $n = 3$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશન પરથી, $mvr = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$, તેથી $mv = \frac{3h}{2\pi r}$.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h \cdot 2\pi r}{3h} = \frac{2}{3} \pi r$.
હાઈડ્રોજન જેવા આયન માટે $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = a_{0} \frac{n^2}{Z}$ છે.
$Li^{2+}$ માટે, $Z = 3$ અને $n = 3$, તેથી $r = a_{0} \frac{3^2}{3} = 3 a_{0}$.
$r$ ની કિંમત $\lambda$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{2}{3} \pi (3 a_{0}) = 2 \pi a_{0}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $p \pi a_{0}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = 2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $L = \frac{3 h}{2 \pi}$, તેથી $n = 3$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશન પરથી, $mvr = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$, તેથી $mv = \frac{3h}{2\pi r}$.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h \cdot 2\pi r}{3h} = \frac{2}{3} \pi r$.
હાઈડ્રોજન જેવા આયન માટે $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = a_{0} \frac{n^2}{Z}$ છે.
$Li^{2+}$ માટે, $Z = 3$ અને $n = 3$, તેથી $r = a_{0} \frac{3^2}{3} = 3 a_{0}$.
$r$ ની કિંમત $\lambda$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{2}{3} \pi (3 a_{0}) = 2 \pi a_{0}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $p \pi a_{0}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = 2$ મળે છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2015?
There are 38 Physics questions from the IIT JEE 2015 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 2015 Physics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2015 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2015 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.