ધારો કે n geq 2 માટે f(x) = frac{x}{(1+x^n)^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.તેથી $f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}{(1 + x^n/(1+x^n))^{1/n}} = \fra

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{n(n-1)}(1+n x^n)^{1-\frac{1}{n}} + K$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$.તેથી $f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^n)^{1/n}} = \frac{x/(1+x^n)^{1/n}}{(1 + x^n/(1+x^n))^{1/n}} = \frac{x}{(1+x^n+x^n)^{1/n}} = \frac{x}{(1+2x^n)^{1/n}}$.ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$g(x) = (f \circ f \circ \ldots \circ f)(x) = \frac{x}{(1+nx^n)^{1/n}}$.હવે,આપણે $I = \int x^{n-2} g(x) \, dx = \int \frac{x^{n-1}}{(1+nx^n)^{1/n}} \, dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.ધારો કે $u = 1+nx^n$,તો $du = n^2 x^{n-1} \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{n-1} \, dx = \frac{du}{n^2}$.આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:$I = \int \frac{1}{u^{1/n}} \cdot \frac{du}{n^2} = \frac{1}{n^2} \int u^{-1/n} \, du$.$I = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{u^{1 - 1/n}}{1 - 1/n} + K = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{u^{(n-1)/n}}{(n-1)/n} + K$.$I = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n}{n-1} u^{(n-1)/n} + K = \frac{1}{n(n-1)} (1+nx^n)^{1 - 1/n} + K$.

ધારો કે $n \geq 2$ માટે $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$ અને $g(x) = \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f)}_{n \text{ વખત }}(x)$ છે. તો $\int x^{n-2} g(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int \frac{(1 + \log x)^2}{x} \, dx = $

જો $f(x) = \sqrt{\tan x}$ અને $g(x) = \sin x \cdot \cos x$ હોય,તો $\int \frac{f(x)}{g(x)} dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે).

$\int \frac{(\tan^{-1} x)^3}{1 + x^2} \, dx = $

$\int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{1-\sin ^{4} x}} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module