IIT JEE 1977 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) इकाई के काल्पनिक घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
व्यंजक $\alpha^4 + \beta^4 + \frac{1}{\alpha\beta}$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \omega^4 + (\omega^2)^4 + \frac{1}{\omega \cdot \omega^2}$
$= \omega^4 + \omega^8 + \frac{1}{\omega^3}$
$= \omega + \omega^2 + \frac{1}{1}$
$= \omega + \omega^2 + 1$
$= 0$.

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
$2b = a + c$ ......$(i)$
दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $H.P.$ में हैं।
$b^2 = \frac{2a^2c^2}{a^2 + c^2}$
$b^2(a^2 + c^2) = 2a^2c^2$
$b^2((a+c)^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$(i)$ से $a+c = 2b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b^2(4b^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$4b^4 - 2acb^2 - 2a^2c^2 = 0$
$2b^4 - acb^2 - a^2c^2 = 0$
$(2b^2 + ac)(b^2 - ac) = 0$
चूंकि $a, b, c$ वास्तविक हैं,$b^2 = ac$ प्राप्त होता है।
यदि $b^2 = ac$ है,तो $a, b, c$ $G.P.$ में हैं।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में हैं,इसलिए $a = b = c$ होगा।

(B) माना गलत समीकरण $x^2 + 17x + q = 0$ है।
चूंकि मूल $-2$ और $-15$ हैं,इसलिए मूलों का गुणनफल $(-2) \times (-15) = 30$ है।
चूंकि अचर पद $q$ नहीं बदला गया था,इसलिए $q = 30$ है।
मूल समीकरण $x^2 + 13x + 30 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$।
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$।
$(x + 3)(x + 10) = 0$।
अतः,मूल $x = -3$ और $x = -10$ हैं।

(B) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 20 + 1 = 21$ है।
मान लीजिए मेज़बान $H$ है और दो विशेष व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं।
चूंकि $P_1$ और $P_2$ को मेज़बान के दोनों ओर बैठना है,हम $(P_1, H, P_2)$ समूह को एक इकाई के रूप में लेते हैं।
इससे $21 - 3 = 18$ अन्य व्यक्ति और $1$ इकाई बचती है,जिससे वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए कुल $19$ इकाइयाँ बनती हैं।
वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं,इसलिए $19$ इकाइयों को $(19-1)! = 18!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(P_1, H, P_2)$ इकाई के भीतर,दो व्यक्तियों $P_1$ और $P_2$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (अर्थात $P_1HP_2$ या $P_2HP_1$)।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $2 \times 18!$ है।

(C) $BHARAT$ शब्द में $6$ अक्षर हैं,जिसमें $A$ दो बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
अब,मान लीजिए कि $B$ और $H$ हमेशा एक साथ आते हैं। $(BH)$ को एक इकाई के रूप में मानें। अक्षर $(BH), A, R, A, T$ हैं। कुल $5$ इकाइयाँ हैं,जिसमें $A$ दो बार आता है।
$B$ और $H$ के एक साथ आने वाली व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{5!}{2!} \times 2! = 120 \times 1 = 120$.
अतः,उन शब्दों की संख्या जिनमें $B$ और $H$ कभी एक साथ नहीं आते $ = 360 - 120 = 240$.

(A) माना $P(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$.
$n=1$ के लिए,$P(1) = 3^4 - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$,जो $16$ से विभाज्य है।
$n=2$ के लिए,$P(2) = 3^6 - 8(2) - 9 = 729 - 16 - 9 = 704$.
$704 = 16 \times 44$,अतः यह $16$ से विभाज्य है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए: $3^{2n+2} = 9 \times 3^{2n} = 9 \times (1+8)^n$.
$9 \times (1+8)^n = 9 \times [1 + n(8) + \frac{n(n-1)}{2}(8^2) + \dots]$.
$9 \times [1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots$.
अतः,$P(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9 = 64n + 288n(n-1) + \dots$.
चूंकि प्रत्येक पद $64$ से विभाज्य है,इसलिए यह व्यंजक $64$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप $16$ से भी विभाज्य है।

(C) दिया गया व्यंजक: $E = 2 \sin^2 \beta + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + \cos 2(\alpha + \beta)$
सर्वसमिका $2 \sin^2 \beta = 1 - \cos 2\beta$ और $\cos 2(\alpha + \beta) = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - 1$ का उपयोग करने पर:
$E = (1 - \cos 2\beta) + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + (2 \cos^2(\alpha + \beta) - 1)$
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta$
$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 2 \cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) - 2 \cos^2(\alpha + \beta)$
$E = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) - \cos 2\beta$
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ का उपयोग करने पर:
$E = (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) - \cos 2\beta$
$E = \cos 2\alpha$

(C) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं:
$1$. $7x - 2y + 10 = 0$ और $y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = -2$ रखने पर,$x = -2$ प्राप्त होता है। शीर्ष: $(-2, -2)$।
$2$. $7x + 2y - 10 = 0$ और $y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = -2$ रखने पर,$x = 2$ प्राप्त होता है। शीर्ष: $(2, -2)$।
$3$. $7x - 2y + 10 = 0$ और $7x + 2y - 10 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 0$ और $y = 5$ प्राप्त होता है। शीर्ष: $(0, 5)$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-2)(-2 - 5) + 2(5 - (-2)) + 0| = \frac{1}{2} |14 + 14| = 14 \, sq. \, units$.

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष हैं। यदि $a$ और $b$ गतिमान रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड हैं,तो रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ..... $(i)$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंतःखंडों के व्युत्क्रमों का योग स्थिर है,मान लीजिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{k}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$k$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{k}{a} + \frac{k}{b} = 1$ ..... $(ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि रेखा हमेशा निश्चित बिंदु $(k, k)$ से होकर गुजरती है।

(A) हमें सीमा का मूल्यांकन करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{2x^2 + x - 3}$.
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $2x^2 + x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$.
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(x - 1)}$.
चूंकि $(x - 1) = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$.
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(\sqrt{x} - 1)$ को रद्द करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2x - 3}{(2x + 3)(\sqrt{x} + 1)}$.
अब,$x = 1$ रखने पर: $\frac{2(1) - 3}{(2(1) + 3)(\sqrt{1} + 1)} = \frac{-1}{(5)(2)} = -\frac{1}{10}$.

(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\alpha - \pi /4}}$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)$.
सीमा में मान रखने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{\sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)}{\alpha - \frac{\pi}{4}}$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) माना $I = \int \frac{1 + x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \cos \theta d\theta$.
समाकलन $I = \int \frac{1 + \sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = \int (1 + \sin^2 \theta) d\theta$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$I = \int (1 + \frac{1 - \cos 2\theta}{2}) d\theta = \int (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\theta) d\theta$.
समाकलन करने पर,$I = \frac{3}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin 2\theta + c = \frac{3}{2} \theta - \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + c$.
चूंकि $\theta = \sin^{-1} x$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$,इसलिए $I = \frac{3}{2} \sin^{-1} x - \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\sqrt{x} = t$ है। तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है $dx = 2t \, dt$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \cos \sqrt{x} \, dx = \int \cos(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \cos(t) \, dt$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = t$ और $dv = \cos(t) \, dt$ है:
$\int u \, dv = uv - \int v \, du = t \sin(t) - \int \sin(t) \, dt = t \sin(t) + \cos(t)$ है।
अचर $2$ से गुणा करने पर:
$2(t \sin(t) + \cos(t)) + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$2[\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}] + c$ उत्तर है।

(C) समाकल $I = \int (\log x)^2 \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $\log x = t$,जिसका अर्थ है $x = e^t$। इसलिए,$dx = e^t \, dt$।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int t^2 e^t \, dt$।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = t^2$ और $dv = e^t \, dt$:
$du = 2t \, dt$ और $v = e^t$।
$I = t^2 e^t - \int 2t e^t \, dt = t^2 e^t - 2 \int t e^t \, dt$।
$\int t e^t \, dt$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = t^2 e^t - 2(t e^t - \int e^t \, dt) = t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t + c$।
अब $t = \log x$ और $e^t = x$ वापस रखने पर:
$I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$।

(A) माना $I = \int \tan^3 2x \sec 2x \, dx$.
हम $\tan^3 2x$ को $\tan^2 2x \cdot \tan 2x$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\tan^2 2x = \sec^2 2x - 1$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int (\sec^2 2x - 1) \sec 2x \tan 2x \, dx$.
माना $u = \sec 2x$. तब $du = 2 \sec 2x \tan 2x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sec 2x \tan 2x \, dx = \frac{1}{2} du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (u^2 - 1) \cdot \frac{1}{2} du$
$I = \frac{1}{2} \int (u^2 - 1) \, du$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^3}{3} - u \right) + c$
$I = \frac{u^3}{6} - \frac{u}{2} + c$
अब $u = \sec 2x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{6} \sec^3 2x - \frac{1}{2} \sec 2x + c$.