IIT JEE 1977 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) એકમના કાલ્પનિક ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
પદાવલિ $\alpha^4 + \beta^4 + \frac{1}{\alpha\beta}$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$= \omega^4 + (\omega^2)^4 + \frac{1}{\omega \cdot \omega^2}$
$= \omega^4 + \omega^8 + \frac{1}{\omega^3}$
$= \omega + \omega^2 + \frac{1}{1}$
$= \omega + \omega^2 + 1$
$= 0$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
$2b = a + c$ ......$(i)$
આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $H.P.$ માં છે.
$b^2 = \frac{2a^2c^2}{a^2 + c^2}$
$b^2(a^2 + c^2) = 2a^2c^2$
$b^2((a+c)^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$(i)$ પરથી $a+c = 2b$ મૂકતા:
$b^2(4b^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$4b^4 - 2acb^2 - 2a^2c^2 = 0$
$2b^4 - acb^2 - a^2c^2 = 0$
$(2b^2 + ac)(b^2 - ac) = 0$
$a, b, c$ વાસ્તવિક હોવાથી,$b^2 = ac$ મળે.
જો $b^2 = ac$ હોય,તો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.
$a, b, c$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોવાથી,$a = b = c$ થાય.

(B) ધારો કે ખોટું સમીકરણ $x^2 + 17x + q = 0$ છે.
આપેલ છે કે બીજ $-2$ અને $-15$ છે,તેથી બીજનો ગુણાકાર $(-2) \times (-15) = 30$ થાય.
અચળ પદ $q$ બદલાયું ન હોવાથી,$q = 30$ મળે.
મૂળ સમીકરણ $x^2 + 13x + 30 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$.
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$.
$(x + 3)(x + 10) = 0$.
આમ,બીજ $x = -3$ અને $x = -10$ છે.

(B) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 20 + 1 = 21$ છે.
ધારો કે યજમાન $H$ છે અને બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે.
કારણ કે $P_1$ અને $P_2$ એ યજમાનની બંને બાજુએ બેસવું જોઈએ,આપણે $(P_1, H, P_2)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આનાથી $21 - 3 = 18$ અન્ય વ્યક્તિઓ અને $1$ એકમ બાકી રહે છે,જે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે કુલ $19$ એકમો બનાવે છે.
વર્તુળમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે,તેથી $19$ એકમોને $(19-1)! = 18!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$(P_1, H, P_2)$ એકમની અંદર,બે વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે (એટલે કે $P_1HP_2$ અથવા $P_2HP_1$).
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $2 \times 18!$ છે.

(C) $BHARAT$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $ = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
હવે,ધારો કે $B$ અને $H$ હંમેશા સાથે આવે છે. $(BH)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. અક્ષરો $(BH), A, R, A, T$ છે. કુલ $5$ એકમો છે,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$B$ અને $H$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $ = \frac{5!}{2!} \times 2! = 120 \times 1 = 120$.
તેથી,$B$ અને $H$ ક્યારેય સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા $ = 360 - 120 = 240$.

(A) ધારો કે $P(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$.
$n=1$ માટે,$P(1) = 3^4 - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$,જે $16$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=2$ માટે,$P(2) = 3^6 - 8(2) - 9 = 729 - 16 - 9 = 704$.
$704 = 16 \times 44$,તેથી તે $16$ વડે વિભાજ્ય છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $3^{2n+2} = 9 \times 3^{2n} = 9 \times (1+8)^n$.
$9 \times (1+8)^n = 9 \times [1 + n(8) + \frac{n(n-1)}{2}(8^2) + \dots]$.
$9 \times [1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots$.
આમ,$P(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9 = 64n + 288n(n-1) + \dots$.
દરેક પદ $64$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,આ પદાવલિ $64$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે $16$ વડે પણ વિભાજ્ય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = 2 \sin^2 \beta + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + \cos 2(\alpha + \beta)$
નિત્યસમ $2 \sin^2 \beta = 1 - \cos 2\beta$ અને $\cos 2(\alpha + \beta) = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (1 - \cos 2\beta) + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta + (2 \cos^2(\alpha + \beta) - 1)$
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \sin \beta$
$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 2 \cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$
$E = 2 \cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) - 2 \cos^2(\alpha + \beta)$
$E = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) - \cos 2\beta$
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) - \cos 2\beta$
$E = \cos 2\alpha$

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીએ છીએ:
$1$. $7x - 2y + 10 = 0$ અને $y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = -2$ મૂકતા,$x = -2$ મળે છે. શિરોબિંદુ: $(-2, -2)$.
$2$. $7x + 2y - 10 = 0$ અને $y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = -2$ મૂકતા,$x = 2$ મળે છે. શિરોબિંદુ: $(2, -2)$.
$3$. $7x - 2y + 10 = 0$ અને $7x + 2y - 10 = 0$ નું છેદબિંદુ: $x = 0$ અને $y = 5$ મળે છે. શિરોબિંદુ: $(0, 5)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-2)(-2 - 5) + 2(5 - (-2)) + 0| = \frac{1}{2} |14 + 14| = 14 \, sq. \, units$.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો છે. જો $a$ અને $b$ એ ગતિશીલ રેખા દ્વારા યામ અક્ષો પર બનાવેલા અંતઃખંડો હોય,તો રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ..... $(i)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંતઃખંડોના વ્યસ્તનો સરવાળો અચળ છે,ધારો કે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{k}$,જ્યાં $k$ અચળ છે.
$k$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{k}{a} + \frac{k}{b} = 1$ ..... $(ii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(k, k)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{2x^2 + x - 3}$.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $2x^2 + x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$.
આને લક્ષમાં મૂકતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(x - 1)}$.
કારણ કે $(x - 1) = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$,પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$.
સામાન્ય અવયવ $(\sqrt{x} - 1)$ ને દૂર કરતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2x - 3}{(2x + 3)(\sqrt{x} + 1)}$.
હવે,$x = 1$ મૂકતા: $\frac{2(1) - 3}{(2(1) + 3)(\sqrt{1} + 1)} = \frac{-1}{(5)(2)} = -\frac{1}{10}$.

(A) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\alpha - \pi /4}}$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)$.
લિમિટમાં કિંમત મૂકતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{\sqrt{2} \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)}{\alpha - \frac{\pi}{4}}$.
પ્રમાણિત લિમિટ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /4} \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1 + x^2}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લેતા,તેથી $dx = \cos \theta d\theta$.
સંકલન $I = \int \frac{1 + \sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = \int (1 + \sin^2 \theta) d\theta$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int (1 + \frac{1 - \cos 2\theta}{2}) d\theta = \int (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\theta) d\theta$.
સંકલન કરતા,$I = \frac{3}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin 2\theta + c = \frac{3}{2} \theta - \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + c$.
અહીં $\theta = \sin^{-1} x$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$ હોવાથી,$I = \frac{3}{2} \sin^{-1} x - \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\sqrt{x} = t$. તેથી $x = t^2$,જેનો અર્થ છે કે $dx = 2t \, dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \cos \sqrt{x} \, dx = \int \cos(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \cos(t) \, dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = t$ અને $dv = \cos(t) \, dt$ છે:
$\int u \, dv = uv - \int v \, du = t \sin(t) - \int \sin(t) \, dt = t \sin(t) + \cos(t)$.
અચળાંક $2$ વડે ગુણતા:
$2(t \sin(t) + \cos(t)) + c$.
$t = \sqrt{x}$ પાછા મૂકતા:
$2[\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}] + c$.

(C) સંકલન $I = \int (\log x)^2 \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\log x = t$,જેનો અર્થ છે કે $x = e^t$. તેથી,$dx = e^t \, dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int t^2 e^t \, dt$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = t^2$ અને $dv = e^t \, dt$:
$du = 2t \, dt$ અને $v = e^t$.
$I = t^2 e^t - \int 2t e^t \, dt = t^2 e^t - 2 \int t e^t \, dt$.
ફરીથી $\int t e^t \, dt$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = t^2 e^t - 2(t e^t - \int e^t \, dt) = t^2 e^t - 2t e^t + 2e^t + c$.
હવે $t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા:
$I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \tan^3 2x \sec 2x \, dx$.
આપણે $\tan^3 2x$ ને $\tan^2 2x \cdot \tan 2x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\tan^2 2x = \sec^2 2x - 1$,તેથી સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int (\sec^2 2x - 1) \sec 2x \tan 2x \, dx$.
ધારો કે $u = \sec 2x$. તો $du = 2 \sec 2x \tan 2x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec 2x \tan 2x \, dx = \frac{1}{2} du$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (u^2 - 1) \cdot \frac{1}{2} du$
$I = \frac{1}{2} \int (u^2 - 1) \, du$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^3}{3} - u \right) + c$
$I = \frac{u^3}{6} - \frac{u}{2} + c$
હવે $u = \sec 2x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{6} \sec^3 2x - \frac{1}{2} \sec 2x + c$.