IIT JEE 1975 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) चूंकि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ $H.P.$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ $A.P.$ में होंगे।
माना इस $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है।
अतः,$\frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} = d$ होगा।
इससे $a_k a_{k+1} = \frac{1}{d}(a_k - a_{k+1})$ प्राप्त होता है।
योग करने पर,$\sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{k+1} = \frac{1}{d} (a_1 - a_n)$।
$A.P.$ के $n$ वें पद के लिए,$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$,इसलिए $d = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,योग $(n-1)a_1 a_n$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = {x^4} - (p - 3){x^3} - (3p - 5){x^2} + (2p - 7)x + 6$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x + 1)$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $f(-1) = 0$ होगा।
$x = -1$ रखने पर:
$(-1)^4 - (p - 3)(-1)^3 - (3p - 5)(-1)^2 + (2p - 7)(-1) + 6 = 0$
$1 + (p - 3) - (3p - 5) - (2p - 7) + 6 = 0$
$1 + p - 3 - 3p + 5 - 2p + 7 + 6 = 0$
$-4p + 16 = 0$
$-4p = -16$
$p = 4$.

(B) $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक वृत्त में इस प्रकार बैठाने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,हम पहले $5$ लड़कियों को एक वृत्त में बैठाते हैं।
$5$ लड़कियों को एक वृत्त में बैठाने के तरीकों की संख्या $(5 - 1)! = 4!$ है।
यह लड़कियों के बीच $5$ स्थान बनाता है जहाँ $5$ लड़कों को बैठाया जा सकता है।
इन $5$ स्थानों में $5$ लड़कों को बैठाने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times 5!$ है।

(C) माना ${a_1}, {a_2}, {a_3}, {a_4}$ क्रमशः ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में $(r+1)^{th}, (r+2)^{th}, (r+3)^{th}$ और $(r+4)^{th}$ पदों के गुणांक हैं।
अतः ${a_1} = {^nC_r}, {a_2} = {^nC_{r+1}}, {a_3} = {^nC_{r+2}}, {a_4} = {^nC_{r+3}}$।
सर्वसमिका ${^nC_r} + {^nC_{r+1}} = {^{n+1}C_{r+1}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}} = \frac{{{^nC_r}}}{{{^{n+1}C_{r+1}}}} + \frac{{{^nC_{r+2}}}}{{{^{n+1}C_{r+3}}}}$
गुणधर्म ${^{n+1}C_{k+1}} = \frac{n+1}{k+1} {^nC_k}$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{{{^nC_r}}}{{\frac{n+1}{r+1} {^nC_r}}} + \frac{{{^nC_{r+2}}}}{{\frac{n+1}{r+3} {^nC_{r+2}}}} = \frac{r+1}{n+1} + \frac{r+3}{n+1} = \frac{2r+4}{n+1} = \frac{2(r+2)}{n+1}$।
अब,$\frac{2{a_2}}{{a_2} + {a_3}} = \frac{2{^nC_{r+1}}}{{^nC_{r+1}} + {^nC_{r+2}}} = \frac{2{^nC_{r+1}}}{{^{n+1}C_{r+2}}} = 2 \cdot \frac{{^nC_{r+1}}}{{\frac{n+1}{r+2} {^nC_{r+1}}}} = \frac{2(r+2)}{n+1}$।
अतः,$\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}} = \frac{{2{a_2}}}{{{a_2} + {a_3}}}$।

(A) हम जानते हैं कि $\cot(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{\sin(2A)}$.
माना $A = 7\frac{1}{2}^{\circ}$,अतः $2A = 15^{\circ}$.
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 + \cos(15^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$.
$\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ रखने पर,
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2$ प्राप्त होता है,जो कि $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}$ है।

(C) दिया गया है $\angle C = 60^{\circ}$,कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,जिसका अर्थ है $ab = a^2 + b^2 - c^2$,या $c^2 = a^2 + b^2 - ab$.
हमें $S = \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$ का मान ज्ञात करना है।
गणना करने पर,$\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$ प्राप्त होता है।

(A) माना पेड़ की ऊँचाई $h$ है और नदी की चौड़ाई $b$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
पहले त्रिभुज में,$\tan 60^\circ = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \tan 60^\circ = b\sqrt{3}$।
दूसरे त्रिभुज में,$\tan 30^\circ = \frac{h}{b + 40} \Rightarrow h = (b + 40) \tan 30^\circ = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$b\sqrt{3} = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$
$3b = b + 40$
$2b = 40$
$b = 20 \ m$।

(B) दी गई भुजा $x + y = 2$ की ढाल $m_1 = -1$ है,जो $\theta = 135^\circ$ के झुकाव कोण के अनुरूप है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,अन्य दो भुजाएं आधार के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती हैं।
अन्य दो भुजाओं की ढाल $m = \tan(135^\circ \pm 60^\circ)$ द्वारा दी जाती है।
पहले मामले के लिए,$m = \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}$।
दूसरे मामले के लिए,$m = \tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए,समीकरण $y - 3 = (2 \pm \sqrt{3})(x - 2)$ हैं।
अतः,एक समीकरण $y - 3 = (2 - \sqrt{3})(x - 2)$ है।

(B) कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ द्वारा दिए जाते हैं।
स्थिति $1$: $21x + 77y - 101 = 0$
स्थिति $2$: $11x - 3y + 9 = 0$
न्यूनकोण समद्विभाजक की पहचान करने के लिए,$a_1a_2 + b_1b_2$ का चिह्न जाँचें। यहाँ $a_1=3, b_1=-4, a_2=12, b_2=5$ है।
$a_1a_2 + b_1b_2 = 36 - 20 = 16 > 0$ है।
जब $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$ होता है,तो न्यूनकोण समद्विभाजक $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = -\frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ द्वारा प्राप्त होता है,जो $11x - 3y + 9 = 0$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ के बिंदु $(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(1) + y(-2) = 5$ है,जो $x - 2y = 5$ या $x = 2y + 5$ के रूप में है।
$x = 2y + 5$ को दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2y + 5)^2 + y^2 - 8(2y + 5) + 6y + 20 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(4y^2 + 20y + 25) + y^2 - 16y - 40 + 6y + 20 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर:
$5y^2 + 10y + 5 = 0$
$5$ से भाग देने पर:
$y^2 + 2y + 1 = 0$
$(y + 1)^2 = 0$
इससे $y = -1$ प्राप्त होता है। $y = -1$ को $x = 2y + 5$ में रखने पर $x = 2(-1) + 5 = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि केवल एक ही प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -1)$ है,इसलिए रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।

(B) हमें $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin x}}{x}$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$\sin x$ का मान $-1 \le \sin x \le 1$ के बीच परिबद्ध है।
$x > 0$ के लिए,असमिका को $x$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$.
जब $x \to \infty$ हो,तब स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) लागू करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( -\frac{1}{x} \right) = 0$ और $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{1}{x} \right) = 0$.
अतः,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin x}}{x} = 0$.

(C) माना $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ सच बोलता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ सच बोलता है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{4}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$।
तब,$A$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
$B$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
वे एक-दूसरे का विरोध तब करते हैं यदि ($A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है) या ($A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$।
$= (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4})$।
$= \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$।

(B) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ हैं,जहाँ सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं,इसलिए क्षेत्रफल एक परिमेय संख्या होगी।
यदि त्रिभुज समबाहु है और उसकी भुजा की लंबाई $a$ है,तो $a^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$। निर्देशांक पूर्णांक होने के कारण,$a^2$ एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
चूंकि $a^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ एक अपरिमेय संख्या होगी।
यह एक विरोधाभास है,क्योंकि क्षेत्रफल परिमेय और अपरिमेय दोनों नहीं हो सकता। इसलिए,पूर्णांक निर्देशांक वाला त्रिभुज कभी भी समबाहु नहीं हो सकता।

(D) माना $I = \int {\frac{{{x^5}dx}}{{\sqrt {1 + {x^3}} }}} $.
हम $x^5 dx$ को $x^3 \cdot x^2 dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $1 + x^3 = t^2$. तब $3x^2 dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{2}{3}t dt$.
साथ ही,$x^3 = t^2 - 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int {\frac{{(t^2 - 1)}}{t} \cdot \frac{2}{3}t dt} = \frac{2}{3} \int {(t^2 - 1) dt} $.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C = \frac{2}{9} t(t^2 - 3) + C$.
चूंकि $t = \sqrt{1 + x^3}$ और $t^2 = 1 + x^3$,इसलिए:
$I = \frac{2}{9} \sqrt{1 + x^3} (1 + x^3 - 3) + C = \frac{2}{9} \sqrt{1 + x^3} (x^3 - 2) + C$.