IIT JEE 1975 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કારણ કે ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ એ $A.P.$ માં હશે.
ધારો કે આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તેથી,$\frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} = d$ થાય.
આથી $a_k a_{k+1} = \frac{1}{d}(a_k - a_{k+1})$ મળે.
સરવાળો લેતા,$\sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{k+1} = \frac{1}{d} (a_1 - a_n)$.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટે,$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$,તેથી $d = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n}$.
આ કિંમત મૂકતા,સરવાળો $(n-1)a_1 a_n$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = {x^4} - (p - 3){x^3} - (3p - 5){x^2} + (2p - 7)x + 6$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x + 1)$ એ $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(-1) = 0$ થાય.
$x = -1$ મૂકતા:
$(-1)^4 - (p - 3)(-1)^3 - (3p - 5)(-1)^2 + (2p - 7)(-1) + 6 = 0$
$1 + (p - 3) - (3p - 5) - (2p - 7) + 6 = 0$
$1 + p - 3 - 3p + 5 - 2p + 7 + 6 = 0$
$-4p + 16 = 0$
$-4p = -16$
$p = 4$.

(B) $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,આપણે પહેલા $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં ગોઠવીએ છીએ.
$5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(5 - 1)! = 4!$ છે.
આનાથી છોકરીઓની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $5$ છોકરાઓ બેસી શકે છે.
આ $5$ જગ્યાઓમાં $5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times 5!$ છે.

(C) ધારો કે ${a_1}, {a_2}, {a_3}, {a_4}$ એ ${(1 + x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં અનુક્રમે $(r+1)^{th}, (r+2)^{th}, (r+3)^{th}$ અને $(r+4)^{th}$ પદોના સહગુણકો છે.
તેથી ${a_1} = {^nC_r}, {a_2} = {^nC_{r+1}}, {a_3} = {^nC_{r+2}}, {a_4} = {^nC_{r+3}}$.
${^nC_r} + {^nC_{r+1}} = {^{n+1}C_{r+1}}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}} = \frac{{{^nC_r}}}{{{^{n+1}C_{r+1}}}} + \frac{{{^nC_{r+2}}}}{{{^{n+1}C_{r+3}}}}$
${^{n+1}C_{k+1}} = \frac{n+1}{k+1} {^nC_k}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{{{^nC_r}}}{{\frac{n+1}{r+1} {^nC_r}}} + \frac{{{^nC_{r+2}}}}{{\frac{n+1}{r+3} {^nC_{r+2}}}} = \frac{r+1}{n+1} + \frac{r+3}{n+1} = \frac{2r+4}{n+1} = \frac{2(r+2)}{n+1}$.
હવે,$\frac{2{a_2}}{{a_2} + {a_3}} = \frac{2{^nC_{r+1}}}{{^nC_{r+1}} + {^nC_{r+2}}} = \frac{2{^nC_{r+1}}}{{^{n+1}C_{r+2}}} = 2 \cdot \frac{{^nC_{r+1}}}{{\frac{n+1}{r+2} {^nC_{r+1}}}} = \frac{2(r+2)}{n+1}$.
આમ,$\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}} = \frac{{2{a_2}}}{{{a_2} + {a_3}}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{\sin(2A)}$.
ધારો કે $A = 7\frac{1}{2}^{\circ}$,તેથી $2A = 15^{\circ}$.
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 + \cos(15^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$.
$\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ મૂકતા,
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2$ મળે છે,જે $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\angle C = 60^{\circ}$,કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,જેનો અર્થ છે કે $ab = a^2 + b^2 - c^2$,અથવા $c^2 = a^2 + b^2 - ab$.
આપણે $S = \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$ ની કિંમત શોધવી છે.
ગણતરી કરતા,$\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ઝાડની ઊંચાઈ $h$ છે અને નદીની પહોળાઈ $b$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પ્રથમ ત્રિકોણમાં,$\tan 60^\circ = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \tan 60^\circ = b\sqrt{3}$.
બીજા ત્રિકોણમાં,$\tan 30^\circ = \frac{h}{b + 40} \Rightarrow h = (b + 40) \tan 30^\circ = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$b\sqrt{3} = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$
$3b = b + 40$
$2b = 40$
$b = 20 \ m$.

(B) આપેલ બાજુ $x + y = 2$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે,જે $\theta = 135^\circ$ ના ખૂણાને અનુરૂપ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,બાકીની બે બાજુઓ પાયા સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બાકીની બે બાજુઓના ઢાળ $m = \tan(135^\circ \pm 60^\circ)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$m = \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}$.
બીજા કિસ્સામાં,$m = \tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરીને,સમીકરણો $y - 3 = (2 \pm \sqrt{3})(x - 2)$ મળે છે.
આમ,એક સમીકરણ $y - 3 = (2 - \sqrt{3})(x - 2)$ છે.

(B) ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: $21x + 77y - 101 = 0$
કિસ્સો $2$: $11x - 3y + 9 = 0$
લઘુકોણના દ્વિભાજકને ઓળખવા માટે,$a_1a_2 + b_1b_2$ ની નિશાની તપાસો. અહીં $a_1=3, b_1=-4, a_2=12, b_2=5$ છે.
$a_1a_2 + b_1b_2 = 36 - 20 = 16 > 0$.
જ્યારે $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$ હોય,ત્યારે લઘુકોણનો દ્વિભાજક $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = -\frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ દ્વારા મળે છે,જે $11x - 3y + 9 = 0$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ ના બિંદુ $(1, -2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(1) + y(-2) = 5$ એટલે કે $x - 2y = 5$ અથવા $x = 2y + 5$ છે.
$x = 2y + 5$ ને બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ માં મૂકતા:
$(2y + 5)^2 + y^2 - 8(2y + 5) + 6y + 20 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(4y^2 + 20y + 25) + y^2 - 16y - 40 + 6y + 20 = 0$
સમાન પદો ભેગા કરતા:
$5y^2 + 10y + 5 = 0$
$5$ વડે ભાગતા:
$y^2 + 2y + 1 = 0$
$(y + 1)^2 = 0$
આથી $y = -1$ મળે છે. $y = -1$ ને $x = 2y + 5$ માં મૂકતા $x = 2(-1) + 5 = 3$ મળે છે.
માત્ર એક જ છેદબિંદુ $(3, -1)$ હોવાથી,રેખા વર્તુળને સ્પર્શે છે.

(B) આપણે $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin x}}{x}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$\sin x$ ની કિંમત $-1 \le \sin x \le 1$ ની વચ્ચે સીમિત છે.
$x > 0$ માટે,અસમતાને $x$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$.
જ્યારે $x \to \infty$ હોય ત્યારે સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) લાગુ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( -\frac{1}{x} \right) = 0$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{1}{x} \right) = 0$.
તેથી,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin x}}{x} = 0$.

(C) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{4}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
તેથી,$A$ ખોટું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
$B$ ખોટું બોલે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે જો ($A$ સાચું બોલે અને $B$ ખોટું બોલે) અથવા ($A$ ખોટું બોલે અને $B$ સાચું બોલે).
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$.
$= (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4})$.
$= \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ છે,જ્યાં બધા યામ પૂર્ણાંક છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બધા યામ પૂર્ણાંક હોવાથી,ક્ષેત્રફળ એક સંમેય સંખ્યા હશે.
જો ત્રિકોણ સમબાજુ હોય અને તેની બાજુની લંબાઈ $a$ હોય,તો $a^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$. યામ પૂર્ણાંક હોવાથી,$a^2$ એક ધન પૂર્ણાંક હશે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ થાય.
$a^2$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ એ અસંમેય સંખ્યા થાય.
આ વિરોધાભાસ છે,કારણ કે ક્ષેત્રફળ સંમેય અને અસંમેય બંને ન હોઈ શકે. તેથી,પૂર્ણાંક યામ ધરાવતો ત્રિકોણ ક્યારેય સમબાજુ હોઈ શકે નહીં.

(D) ધારો કે $I = \int {\frac{{{x^5}dx}}{{\sqrt {1 + {x^3}} }}} $.
આપણે $x^5 dx$ ને $x^3 \cdot x^2 dx$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $1 + x^3 = t^2$. તેથી $3x^2 dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 dx = \frac{2}{3}t dt$.
વળી,$x^3 = t^2 - 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int {\frac{{(t^2 - 1)}}{t} \cdot \frac{2}{3}t dt} = \frac{2}{3} \int {(t^2 - 1) dt} $.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C = \frac{2}{9} t(t^2 - 3) + C$.
કારણ કે $t = \sqrt{1 + x^3}$ અને $t^2 = 1 + x^3$,તેથી:
$I = \frac{2}{9} \sqrt{1 + x^3} (1 + x^3 - 3) + C = \frac{2}{9} \sqrt{1 + x^3} (x^3 - 2) + C$.