यदि {a_1}, {a_2}, {a_3}, {a_4} {(1 + x)^n} के | vedclass

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Question

(C) माना ${a_1}, {a_2}, {a_3}, {a_4}$ क्रमशः ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में $(r+1)^{th}, (r+2)^{th}, (r+3)^{th}$ और $(r+4)^{th}$ पदों के गुणांक हैं।अतः

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$\frac{{2{a_2}}}{{{a_2} + {a_3}}}$

Vedclass · Answer

(C) माना ${a_1}, {a_2}, {a_3}, {a_4}$ क्रमशः ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में $(r+1)^{th}, (r+2)^{th}, (r+3)^{th}$ और $(r+4)^{th}$ पदों के गुणांक हैं।अतः ${a_1} = {^nC_r}, {a_2} = {^nC_{r+1}}, {a_3} = {^nC_{r+2}}, {a_4} = {^nC_{r+3}}$।सर्वसमिका ${^nC_r} + {^nC_{r+1}} = {^{n+1}C_{r+1}}$ का उपयोग करते हुए:$\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}} = \frac{{{^nC_r}}}{{{^{n+1}C_{r+1}}}} + \frac{{{^nC_{r+2}}}}{{{^{n+1}C_{r+3}}}}$गुणधर्म ${^{n+1}C_{k+1}} = \frac{n+1}{k+1} {^nC_k}$ का उपयोग करते हुए:$= \frac{{{^nC_r}}}{{\frac{n+1}{r+1} {^nC_r}}} + \frac{{{^nC_{r+2}}}}{{\frac{n+1}{r+3} {^nC_{r+2}}}} = \frac{r+1}{n+1} + \frac{r+3}{n+1} = \frac{2r+4}{n+1} = \frac{2(r+2)}{n+1}$।अब,$\frac{2{a_2}}{{a_2} + {a_3}} = \frac{2{^nC_{r+1}}}{{^nC_{r+1}} + {^nC_{r+2}}} = \frac{2{^nC_{r+1}}}{{^{n+1}C_{r+2}}} = 2 \cdot \frac{{^nC_{r+1}}}{{\frac{n+1}{r+2} {^nC_{r+1}}}} = \frac{2(r+2)}{n+1}$।अतः,$\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}} = \frac{{2{a_2}}}{{{a_2} + {a_3}}}$।

यदि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, {a_4}$ ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में किन्हीं चार क्रमागत पदों के गुणांक हैं,तो $\frac{{{a_1}}}{{{a_1} + {a_2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{a_3} + {a_4}}}$ =

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