AP EAMCET 2025 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिए गए परिपथ में एक $NOR$ गेट, एक $NAND$ गेट जिसके इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं (जो एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है), और एक $NOT$ गेट शामिल है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A+B}$ है।
जुड़े हुए इनपुट वाला $NAND$ गेट एक $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है, इसलिए इसका आउटपुट $Y_2 = \overline{Y_1 \cdot Y_1} = \overline{Y_1}$ है।
$Y_1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $Y_2 = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ प्राप्त होता है।
अंतिम आउटपुट $y$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है, इसलिए $y = \overline{Y_2} = \overline{A+B}$ है।
यह एक $NOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इसलिए, यह परिपथ एक $NOR$ गेट के समतुल्य है।

(C) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
यहाँ $\vec{AB} = -\vec{CD}$ और $\vec{BC} = -\vec{DA}$ है,जो पुष्टि करता है कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब भुजाओं की लंबाई की जाँच करें:
$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$.
चूँकि आसन्न भुजाएँ समान हैं $(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{14})$,इसलिए यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।

(A) माना मूल बिंदु $O(0,0,0)$ है और लंब का पाद $P(2,-1,3)$ है।
चूंकि $OP$ समतल का अभिलंब है,इसलिए अभिलंब के दिक-अनुपात रेखा $OP$ के दिक-अनुपात के समान होंगे।
$OP$ के दिक-अनुपात $(2-0, -1-0, 3-0) = (2, -1, 3)$ हैं।
अतः,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $P(2, -1, 3)$ और अभिलंब सदिश $(2, -1, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$2(x-2) - 1(y-(-1)) + 3(z-3) = 0$
$2(x-2) - 1(y+1) + 3(z-3) = 0$
$2x - 4 - y - 1 + 3z - 9 = 0$
$2x - y + 3z - 14 = 0$
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 14 = 0$ है।

(C) माना $CaCO_3$ का द्रव्यमान $x \ g$ है और $MgCO_3$ का द्रव्यमान $(1.84 - x) \ g$ है।
कार्बोनेट को गर्म करने पर निम्नलिखित अभिक्रियाएँ होती हैं:
$CaCO_3(s) \rightarrow CaO(s) + CO_2(g)$
$MgCO_3(s) \rightarrow MgO(s) + CO_2(g)$
$CaCO_3$ का मोलर द्रव्यमान $100 \ g/mol$,$CaO = 56 \ g/mol$,$MgCO_3 = 84 \ g/mol$,और $MgO = 40 \ g/mol$ है।
अवशेष $(CaO + MgO)$ का द्रव्यमान $0.96 \ g$ है।
$CaO$ का द्रव्यमान $= (x / 100) \times 56 = 0.56x$.
$MgO$ का द्रव्यमान $= ((1.84 - x) / 84) \times 40 = 0.476(1.84 - x)$.
$0.56x + 0.476(1.84 - x) = 0.96$.
$0.56x + 0.876 - 0.476x = 0.96$.
$0.084x = 0.084$.
$x = 1 \ g$.
$CaCO_3$ का प्रतिशत $= (1 / 1.84) \times 100 \approx 54.34\%$.

(B) माना तत्व $M$ है और इसकी संयोजकता $n$ है। निर्मित क्लोराइड $MCl_n$ है।
$315.5 \ g$ $MCl_n$ में $Cl$ का द्रव्यमान = $315.5 \ g - 209 \ g = 106.5 \ g$.
$Cl$ का तुल्यांकी द्रव्यमान = $\frac{35.5}{1} = 35.5 \ g$.
$Cl$ के तुल्यांक = $\frac{106.5}{35.5} = 3$.
चूंकि $M$ के तुल्यांक = $Cl$ के तुल्यांक,इसलिए $M$ के तुल्यांक = $3$.
$M$ का तुल्यांकी द्रव्यमान = $\frac{M \text{ का द्रव्यमान}}{\text{तुल्यांक}} = \frac{209}{3} \ g$.
अब,ऑक्साइड $M_xO_y$ के लिए,$M$ के तुल्यांक = $O$ के तुल्यांक।
$M$ के $418 \ g$ के लिए,$M$ के तुल्यांक = $\frac{418}{209/3} = 418 \times \frac{3}{209} = 2 \times 3 = 6$.
$O$ का तुल्यांकी द्रव्यमान = $\frac{16}{2} = 8 \ g$.
$O$ का द्रव्यमान = $\text{तुल्यांक} \times \text{तुल्यांकी द्रव्यमान} = 6 \times 8 = 48 \ g$.

(D) $1$. आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके मिश्रण के कुल मोल $(n_{total})$ ज्ञात करें। दिया गया है $P = 1 \ atm$,$V = 28 \ L$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$,और $T = 273 \ K$. $n_{total} = \frac{1 \times 28}{0.0821 \times 273} \approx 1.25 \ mol$.
$2$. मान लीजिए $C_2H_6$ के मोल $x$ हैं और $C_2H_4$ के मोल $y$ हैं। अतः,$x + y = 1.25$.
$3$. दहन अभिक्रियाएँ:
$C_2H_6 + 3.5O_2 \rightarrow 2CO_2 + 3H_2O$
$C_2H_4 + 3O_2 \rightarrow 2CO_2 + 2H_2O$
$4$. आवश्यक $O_2$ के मोल: $3.5x + 3y = \frac{128}{32} = 4$.
$5$. समीकरणों को हल करें: $x + y = 1.25 \Rightarrow x = 1.25 - y$.
$6$. दूसरे समीकरण में मान रखने पर: $3.5(1.25 - y) + 3y = 4$ $\Rightarrow 4.375 - 3.5y + 3y = 4$ $\Rightarrow 0.5y = 0.375$ $\Rightarrow y = 0.75$.
$7$. $C_2H_4$ का मोल अंश = $\frac{y}{x+y} = \frac{0.75}{1.25} = 0.6$.

(A) ईथेन $(C_2H_6)$ के दहन के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$2C_2H_6(g) + 7O_2(g) \rightarrow 4CO_2(g) + 6H_2O(g)$
अभिकारकों के मोलों की गणना:
$C_2H_6$ का मोलर द्रव्यमान = $30 \ g/mol$. $C_2H_6$ के मोल = $15 \ g / 30 \ g/mol = 0.5 \ mol$.
$O_2$ का मोलर द्रव्यमान = $32 \ g/mol$. $O_2$ के मोल = $112 \ g / 32 \ g/mol = 3.5 \ mol$.
सीमांत अभिकर्मक निर्धारित करें:
$0.5 \ mol$ $C_2H_6$ के लिए,आवश्यक $O_2 = (7/2) \times 0.5 = 1.75 \ mol$.
चूंकि हमारे पास $3.5 \ mol$ $O_2$ है,इसलिए $C_2H_6$ सीमांत अभिकर्मक है।
उत्पादों और शेष अभिकारकों के मोलों की गणना:
उपभोग किया गया $C_2H_6 = 0.5 \ mol$ (शेष = $0 \ mol$).
उपभोग किया गया $O_2 = 1.75 \ mol$ (शेष = $3.5 - 1.75 = 1.75 \ mol$).
उत्पन्न $CO_2 = (4/2) \times 0.5 = 1.0 \ mol$.
उत्पन्न $H_2O = (6/2) \times 0.5 = 1.5 \ mol$.
गैसीय पदार्थों के कुल मोल = $n(O_2) + n(CO_2) + n(H_2O) = 1.75 + 1.0 + 1.5 = 4.25 \ mol$.

(C) माना $NaCl$ का द्रव्यमान $x \ g$ है और $NaBr$ का द्रव्यमान $(4.0 - x) \ g$ है।
$NaCl$ का मोलर द्रव्यमान $= 58.5 \ g/mol$.
$NaBr$ का मोलर द्रव्यमान $= 103 \ g/mol$.
$NaCl$ में $Na$ का द्रव्यमान $= x \times (23 / 58.5) \ g$.
$NaBr$ में $Na$ का द्रव्यमान $= (4.0 - x) \times (23 / 103) \ g$.
$Na$ का कुल द्रव्यमान $= 30 \% \text{ of } 4.0 \ g = 1.2 \ g$.
समीकरण हल करने पर: $x(23 / 58.5) + (4.0 - x)(23 / 103) = 1.2$.
$x \approx 1.807 \ g$.
$NaCl$ का प्रतिशत $= (1.807 / 4.0) \times 100 \approx 45.17 \%$.
निकटतम विकल्प $45 \%$ है।

(D) $I) 0.0063$ के लिए: अग्रणी शून्य सार्थक नहीं होते हैं। सार्थक अंक $6$ और $3$ हैं। कुल = $2$।
$II) 132.00$ के लिए: दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंतिम शून्य सार्थक होते हैं। कुल = $5$।
$III) 1004$ के लिए: गैर-शून्य अंकों के बीच के शून्य सार्थक होते हैं। कुल = $4$।
अतः,सार्थक अंकों की संख्या $2, 5, 4$ है।

(D) $A = 0.0025$ के लिए: अग्रणी शून्य सार्थक नहीं होते हैं। सार्थक अंक $2$ और $5$ हैं। कुल = $2$ है।
$B = 500.0$ के लिए: दशमलव बिंदु वाली संख्या में बाद के शून्य सार्थक होते हैं। सार्थक अंक $5, 0, 0, 0$ हैं। कुल = $4$ है।
$C = 2.0034$ के लिए: गैर-शून्य अंकों के बीच के शून्य सार्थक होते हैं। सार्थक अंक $2, 0, 0, 3, 4$ हैं। कुल = $5$ है।
अतः,सार्थक अंकों की संख्या $2, 4, 5$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है।
विकल्प $A$ के लिए: यदि $n$ और $T$ स्थिर हैं, तो $PV = \text{स्थिरांक}$, जिसका अर्थ है $P \propto 1/V$। $P$ बनाम $V$ का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) होना चाहिए, सीधी रेखा नहीं।
विकल्प $B$ के लिए: यदि $V$ और $n$ स्थिर हैं, तो $P = (nR/V) \times T$। चूंकि $nR/V$ स्थिर है, इसलिए $P \propto T$। $P$ बनाम $T$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए।
विकल्प $C$ के लिए: यदि $V$ और $T$ स्थिर हैं, तो $P = (RT/V) \times n$। चूंकि $RT/V$ स्थिर है, इसलिए $P \propto n$। $P$ बनाम $n$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह सही है।
विकल्प $D$ के लिए: यदि $P$ और $n$ स्थिर हैं, तो $V = (nR/P) \times T$। अतः $V \propto T$। $V$ बनाम $1/T$ का ग्राफ सीधी रेखा नहीं होगा।
इसलिए, सही ग्राफ $C$ है।

(C) आदर्श गैस के लिए,समीकरण $PV = nRT$ है।
आइसोकोर (नियत आयतन प्रक्रिया) के लिए,समीकरण को $P = (\frac{nR}{V})T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$P$ बनाम $T$ ग्राफ का ढाल $m = \frac{nR}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $n = 1 \ mol$ और ढाल $m = 0.082 \ atm \ K^{-1}$।
अतः,$\frac{1 \times 0.082}{V} = 0.082$,जिसका अर्थ है $V = 1 \ L$।
अब,$T = 12.2 \ K$ पर,दाब $P$ की गणना $P = \frac{nRT}{V} = \frac{1 \times 0.082 \times 12.2}{1} = 1.0004 \ atm \approx 1.0 \ atm$ के रूप में की जाती है।

(C) कथन-$I$ सही है: तापीय ऊर्जा कणों की यादृच्छिक गति को बढ़ावा देती है,जबकि अंतर-आणविक बल उन्हें एक साथ रखते हैं। यदि तापीय ऊर्जा प्रभावी है,तो कण दूर हो जाते हैं,जिससे गैसीय अवस्था प्राप्त होती है।
कथन-$II$ सही है: आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,चूंकि $n = \frac{m}{M}$,हमारे पास $PV = \frac{m}{M}RT$ है। पुनर्व्यवस्थित करने पर $P = \frac{m}{V} \times \frac{RT}{M}$ प्राप्त होता है,जहाँ $\frac{m}{V} = d$ (घनत्व) है। अतः,$P = d \times \frac{RT}{M}$। स्थिर तापमान $(T)$ और मोलर द्रव्यमान $(M)$ पर,$P \propto d$ या $d \propto P$ होता है।

(B) दिया गया है: कुल दबाव $P_{total} = 2 \ bar$,$H_2$ का आंशिक दबाव $(P_{H_2})$ = $1.778 \ bar$।
$O_2$ का आंशिक दबाव $(P_{O_2})$ = $P_{total} - P_{H_2} = 2 - 1.778 = 0.222 \ bar$।
डाल्टन के नियम के अनुसार,मोल अंश $(x)$ आंशिक दबाव के समानुपाती होता है: $x_{H_2} = \frac{P_{H_2}}{P_{total}} = \frac{1.778}{2} = 0.889$ और $x_{O_2} = \frac{P_{O_2}}{P_{total}} = \frac{0.222}{2} = 0.111$।
मिश्रण का $1 \ mole$ मानते हुए,$H_2$ के मोल $(n_{H_2})$ = $0.889 \ mol$ और $O_2$ के मोल $(n_{O_2})$ = $0.111 \ mol$।
$H_2$ का द्रव्यमान = $n_{H_2} \times M_{H_2} = 0.889 \times 2 = 1.778 \ g$।
$O_2$ का द्रव्यमान = $n_{O_2} \times M_{O_2} = 0.111 \times 32 = 3.552 \ g$।
कुल द्रव्यमान = $1.778 + 3.552 = 5.33 \ g$।
$H_2$ का भार प्रतिशत = $(\frac{1.778}{5.33}) \times 100 \approx 33.33 \%$।

(A) माना $H_2$ का द्रव्यमान $w \ g$ है और $O_2$ का द्रव्यमान $2w \ g$ है।
$H_2$ के मोलों की संख्या $(n_{H_2})$ = $\frac{w}{2}$ है।
$O_2$ के मोलों की संख्या $(n_{O_2})$ = $\frac{2w}{32} = \frac{w}{16}$ है।
कुल मोल $(n_{total})$ = $\frac{w}{2} + \frac{w}{16} = \frac{8w + w}{16} = \frac{9w}{16}$ है।
$O_2$ का मोल अंश $(x_{O_2})$ = $\frac{n_{O_2}}{n_{total}} = \frac{w/16}{9w/16} = \frac{1}{9}$ है।
$O_2$ का आंशिक दाब = $x_{O_2} \times P_{total} = \frac{1}{9} \times p = \frac{p}{9}$ atm है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,स्थिर तापमान $T = 300 \ K$ पर प्रत्येक गैस के मोल ज्ञात करते हैं।
$H_2$ के लिए: $n_1 = \frac{P_1 V_1}{RT} = \frac{1 \ bar \times 1 \ L}{RT} = \frac{1}{RT}$.
$O_2$ के लिए: $n_2 = \frac{P_2 V_2}{RT} = \frac{2 \ bar \times 2 \ L}{RT} = \frac{4}{RT}$.
कुल मोल $n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{1+4}{RT} = \frac{5}{RT}$.
$10 \ L$ के फ्लास्क में,कुल दाब $P_{total}$ का मान $P_{total} = \frac{n_{total} RT}{V_{final}}$ द्वारा दिया जाता है।
$P_{total} = \frac{(5/RT) \times RT}{10 \ L} = \frac{5}{10} \ bar = 0.5 \ bar$.

(D) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r$ गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
चूंकि समय $t$ समान है,विसरण की दर विसरित द्रव्यमान $w$ के समानुपाती होती है: $r = \frac{w}{t}$.
अतः,$\frac{w_1}{w_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
दिया गया है: $w_{H_2} = 2.0 \ g$,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$.
मान रखने पर: $\frac{2.0}{w_{O_2}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
$w_{O_2} = 2.0 \times 4 = 8.0 \ g$.

(A) आदर्श गैस के लिए,स्थिर तापमान $(T)$ पर दाब और आयतन का गुणनफल $(PV)$ मोलों की संख्या $(n)$ के समानुपाती होता है।
मोलों के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,मिश्रण का कुल दाब $(P_{mix})$ अंतिम आयतन $(V_{final} = 100 \ L)$ में $A$ और $B$ के आंशिक दाबों के योग के बराबर होता है।
$A$ की प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = 1 \ bar$,$V_1 = 2 \ L$.
$B$ की प्रारंभिक स्थिति: $P_2 = p_B \ bar$,$V_2 = 4 \ L$.
मिश्रण की अंतिम स्थिति: $P_{mix} = 0.1 \ bar$,$V_{final} = 100 \ L$.
बॉयल के नियम के अनुसार $(P_1V_1 + P_2V_2 = P_{mix}V_{final})$:
$(1 \ bar \times 2 \ L) + (p_B \ bar \times 4 \ L) = 0.1 \ bar \times 100 \ L$
$2 + 4p_B = 10$
$4p_B = 8$
$p_B = 2 \ bar$.
अतः,$p_B$ का मान $2$ है।

(B) $rms$ गति $(v_{rms})$ और सबसे संभावित वेग $(v_{mp})$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ और $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{v_{mp}}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
यहाँ $v_{rms} = 3.16 \times 10^2 \ ms^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $v_{mp} = v_{rms} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$.
$v_{mp} = 3.16 \times 10^2 \times \sqrt{0.6667} \approx 3.16 \times 10^2 \times 0.8165$.
$v_{mp} \approx 2.58 \times 10^2 \ ms^{-1}$.

(B) सबसे संभावित गति का सूत्र $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ है।
दिया गया है $u_{mp} = 200 \ ms^{-1}$ और मोलर द्रव्यमान $M = 2 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$.
$200 = \sqrt{\frac{2RT}{2 \times 10^{-3}}} \implies 40000 = \frac{2RT}{2 \times 10^{-3}} \implies RT = 40 \ J \ mol^{-1}$.
आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{3}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है।
मोल की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{8 \ g}{2 \ g \ mol^{-1}} = 4 \ mol$.
$KE = \frac{3}{2} \times 4 \times 40 = 6 \times 40 = 240 \ J$.

(C) $rms$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
$SO_2$ के $v_{rms}$ को $O_2$ के $v_{rms}$ के बराबर होने के लिए,$\sqrt{\frac{3RT_{SO_2}}{M_{SO_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सामान्य पदों को हटाने पर,$\frac{T_{SO_2}}{M_{SO_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_{O_2} = 27 + 273 = 300 \ K$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,और $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_{SO_2}}{64} = \frac{300}{32}$।
$T_{SO_2} = \frac{300 \times 64}{32} = 300 \times 2 = 600 \ K$।

(D) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{3}{2} nRT$ है।
$H_2$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान $M(H_2) = 2 \ g/mol$.
मोलों की संख्या $n_1 = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$.
तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
$x = \frac{3}{2} \times 2 \times R \times 300 = 900R$.
$O_2$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान $M(O_2) = 32 \ g/mol$.
मोलों की संख्या $n_2 = \frac{6.4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.2 \ mol$.
तापमान $T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
$KE_2 = \frac{3}{2} \times 0.2 \times R \times 400 = 120R$.
अब,अनुपात ज्ञात करें: $\frac{KE_2}{x} = \frac{120R}{900R} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.
अतः,$KE_2 = \frac{2x}{15} \ J$.

(A) रूट मीन स्क्वायर वेग $(u_{rms})$ का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है $u_{rms} = 412 \ ms^{-1}$ और मोलर द्रव्यमान $M = 44 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $u_{rms}^2 = \frac{3RT}{M} \implies \frac{3}{2}RT = \frac{1}{2} M u_{rms}^2$.
आदर्श गैस के $1 \ mol$ के लिए गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{3}{2}RT = \frac{1}{2} M u_{rms}^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $KE = \frac{1}{2} \times (44 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}) \times (412 \ ms^{-1})^2$.
$KE = 0.5 \times 0.044 \times 169744 \ J \ mol^{-1} = 3734.368 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ में बदलने पर: $KE = \frac{3734.368}{1000} \approx 3.7344 \ kJ \ mol^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $Statement-I$ गलत है। यदि अंतर-आणविक बल तापीय ऊर्जा से अधिक मजबूत होते हैं,तो पदार्थ ठोस या तरल अवस्था में रहना पसंद करता है,गैसीय अवस्था में नहीं।
$Statement-II$ गलत है। कमरे के तापमान पर $11$ तत्व गैसीय अवस्था में होते हैं $(H_2, He, N_2, O_2, F_2, Ne, Cl_2, Ar, Kr, Xe, Rn)$। इसलिए,$10$ की संख्या गलत है।
दोनों कथन गलत हैं।

(C) वान डर वाल्स समीकरण $(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ है।
$1 \ mol$ गैस के लिए,यह $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ हो जाता है।
उच्च तापमान पर,गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है,जिससे अंतर-आणविक आकर्षण बल (स्थिरांक $a$ द्वारा दर्शाया गया) नगण्य हो जाते हैं।
कम दबाव पर,आयतन $V$ बहुत बड़ा होता है,जिससे गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन (स्थिरांक $b$ द्वारा दर्शाया गया) कुल आयतन की तुलना में नगण्य हो जाता है।
इन स्थितियों के तहत,$(P + 0)(V - 0) = RT$,जो $PV = RT$ में सरल हो जाता है,जो कि आदर्श गैस समीकरण है।

(B) $CO_2$ का क्रांतिक तापमान $31.1^{\circ} C$ $(304.1 \ K)$ है,न कि $27.5^{\circ} C$। अतः,कथन $B$ गलत है।
बॉयल तापमान पर,आकर्षण और प्रतिकर्षण बल संतुलित हो जाते हैं,जिससे गैस दबाव की एक सीमा में आदर्श व्यवहार प्रदर्शित करती है।
क्रांतिक तापमान से ऊपर,गैसों को केवल दबाव द्वारा द्रवित नहीं किया जा सकता है,और तापमान बढ़ने पर वे आदर्श गैस के करीब व्यवहार करती हैं।
$H_2$ और $He$ के लिए,कमरे के तापमान पर संपीड्यता गुणांक $Z$ हमेशा $1$ से अधिक होता है क्योंकि उनके छोटे आकार के कारण प्रतिकर्षण बल प्रभावी होते हैं।

(A) $n$ मोल वास्तविक गैस के लिए वान डर वाल्स समीकरण $(p + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$ है।
$1 \text{ मोल}$ वास्तविक गैस के लिए,हम समीकरण में $n = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
इससे $(p + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$ प्राप्त होता है।

(D) आदर्श गैस के लिए,संपीड्यता कारक $Z$ को $Z = \frac{pV}{nRT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,$pV = nRT$,इसलिए दबाव $p$ के सभी मानों के लिए $Z = 1$ होता है।
अतः,आदर्श गैस के लिए $Z$ बनाम $p$ का ग्राफ $Z = 1.0$ पर एक क्षैतिज सीधी रेखा है।

(B) $I$. कांच को एक अतिशीतित द्रव या अत्यधिक श्यान द्रव माना जाता है,जो एक सही कथन है।
$II$. तापमान बढ़ने पर द्रवों का पृष्ठ तनाव कम हो जाता है क्योंकि अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे अंतराण्विक आकर्षण बल कमजोर हो जाते हैं। यह एक सही कथन है।
$III$. आदर्श गैस के लिए संपीड्यता गुणांक $(Z)$ को $Z = \frac{PV}{nRT} = 1$ के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,यह कथन कि यह शून्य है,गलत है।

(B) $I$) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था $(n=1)$ में ऊर्जा $E_n = -13.6 \ eV / n^2$ द्वारा दी जाती है। $n=1$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$ है। अतः,कथन $I$ सही है।
$II$) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = 52.9 \times n^2 / Z \ pm$ द्वारा दी जाती है। $H$ $(Z=1)$ और $n=3$ के लिए,$r_3 = 52.9 \times 3^2 / 1 = 476.1 \ pm$ है। अतः,कथन $II$ गलत है।
$III$) पहली कक्षा $(n=1)$ की त्रिज्या $r_1 = 52.9 \times (1^2 / Z) \ pm$ है। जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,$r_1$ घटता है। परमाणु क्रमांक $H(1), He^{+}(2), Li^{2+}(3), Be^{3+}(4)$ हैं। इसलिए,त्रिज्या का क्रम $H > He^{+} > Li^{2+} > Be^{3+}$ है। अतः,कथन $III$ सही है।
निष्कर्ष: $I$ और $III$ सही हैं।

(B) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या $(52.9 \text{ pm})$ है।
$H$ परमाणु के लिए $(Z=1)$: $x = r_3 - r_2 = a_0 \times (3^2 - 2^2) / 1 = a_0 \times (9 - 4) = 5a_0$.
$Li^{2+}$ आयन के लिए $(Z=3)$: $y = r_4 - r_3 = a_0 \times (4^2 - 3^2) / 3 = a_0 \times (16 - 9) / 3 = \frac{7}{3}a_0$.
अनुपात $y:x = (\frac{7}{3}a_0) : (5a_0) = \frac{7}{3} : 5 = 7 : 15$.

(C) $\text{हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज में कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: } r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A} \text{ है।}$
$\text{चूंकि } 1 \mathring{A}= 100 \ pm, \text{ इसलिए } pm \text{ में सूत्र } r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm \text{ होगा।}$
$He^{+}$ आयन $(Z = 2)$ के लिए, चौथी कक्षा $(n = 4)$ की त्रिज्या:
$R_1 = 52.9 \times \frac{4^2}{2} = 52.9 \times 8 = 423.2 \ pm$.
$Li^{2+}$ आयन $(Z = 3)$ के लिए, तीसरी कक्षा $(n = 3)$ की त्रिज्या:
$R_2 = 52.9 \times \frac{3^2}{3} = 52.9 \times 3 = 158.7 \ pm$.
$\text{अतः} (R_1 - R_2) = 423.2 - 158.7 = 264.5 \ pm$.

(A) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए,दूसरी कक्षा $(n=2)$ की ऊर्जा $E_2 = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -3.4 \ eV$ है।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z=2$ है।
हमें चौथी कक्षा $(n=4)$ की ऊर्जा ज्ञात करनी है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर: $E_4 = -13.6 \times \frac{2^2}{4^2} \ eV$.
$E_4 = -13.6 \times \frac{4}{16} \ eV$.
$E_4 = -13.6 \times \frac{1}{4} \ eV$.
$E_4 = -3.4 \ eV$.

(A) कथन $I$ गलत है क्योंकि किसी तत्व के समस्थानिकों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास समान होता है और इसलिए वे समान रासायनिक गुण प्रदर्शित करते हैं।
कथन $II$ सही है क्योंकि लाइमैन श्रेणी $n=1$ ऊर्जा स्तर पर इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण से संबंधित है,जो पराबैंगनी $(UV)$ क्षेत्र में ऊर्जा उत्सर्जित करती है।
कथन $III$ सही है क्योंकि मैक्सवेल के तरंग सिद्धांत के अनुसार,विद्युत चुम्बकीय विकिरण में दोलनशील विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र होते हैं जो एक दूसरे के और तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं।
अतः,कथन $II$ और $III$ सही हैं।

(B) तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र $\bar{\nu} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
$H$ $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$ की बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए: $\bar{\nu}_1 = R_H (1)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R_H (\frac{5}{36})$.
अतः,$R_H = \frac{36 \bar{\nu}_1}{5}$.
$He^{+}$ $(Z=2, n_1=2, n_2=4)$ की बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए: $\bar{\nu}_2 = R_H (2)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = R_H (4) (\frac{3}{16}) = R_H (\frac{3}{4})$.
$R_H = \frac{36 \bar{\nu}_1}{5}$ को $\bar{\nu}_2$ के समीकरण में रखने पर: $\bar{\nu}_2 = (\frac{36 \bar{\nu}_1}{5}) \times (\frac{3}{4}) = \frac{27 \bar{\nu}_1}{5}$.

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ पर समाप्त होता है,और $n_2 = n$ ($n > 2$ के लिए)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{R(n^2 - 4)}{n^2}$
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{n^2}{R(n^2 - 4)}$ या $\frac{n^2}{R(n-2)(n+2)}$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय विकिरण की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$a$ के लिए: $\nu_a = 3 \times 10^{15} \ Hz$.
$b$ के लिए: $\nu_b = 2 \times 10^{14} \ Hz$.
$c$ के लिए: $\lambda_c = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$. आवृत्ति $\nu_c = \frac{c}{\lambda_c} = 7.5 \times 10^{14} \ Hz$.
$d$ के लिए: $\lambda_d = 750 \ nm = 750 \times 10^{-9} \ m$. आवृत्ति $\nu_d = \frac{c}{\lambda_d} = 4 \times 10^{14} \ Hz$.
आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\nu_b < \nu_d < \nu_c < \nu_a$.
अतः,ऊर्जाओं का बढ़ता क्रम $b < d < c < a$ है।

(C) तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
समान संक्रमण के लिए,पद $(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ स्थिर रहता है।
इसलिए,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
$He^{+}$ के लिए,$Z = 2$,इसलिए $\lambda_{He^+} \propto \frac{1}{4}$.
$H$ के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\lambda_{H} \propto 1$.
अतः,$\frac{\lambda_{H}}{\lambda_{He^+}} = \frac{Z_{He^+}^2}{Z_{H}^2} = \frac{2^2}{1^2} = 4$.
दिया गया है कि $\lambda_{He^+} = 100 \ nm = 1000 \ \mathring{A}$.
इसलिए,$\lambda_{H} = 4 \times 1000 \ \mathring{A} = 4000 \ \mathring{A}$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K.E. = h\nu - h\nu_0$,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
प्रथम स्थिति के लिए: $z = hx - h\nu_0$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{z}{3} = hy - h\nu_0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $z = 3hy - 3h\nu_0$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ की तुलना करने पर: $hx - h\nu_0 = 3hy - 3h\nu_0$
$2h\nu_0 = 3hy - hx$
$2\nu_0 = 3y - x$
$\nu_0 = \frac{3y-x}{2}$

(C) $\text{हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार}$, $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
$\text{दिया गया है}$, $\Delta x = 100 \ pm = 100 \times 10^{-12} \ m = 10^{-10} \ m$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
$\text{मान रखने पर}$, $\Delta p \geq \frac{h}{4\pi \Delta x}$.
$\Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10}}$.
$\Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-10}}$.
$\Delta p \geq 0.527 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$.
$\text{अतः, सही विकल्प } C \text{ है.}$

(C) बोहर के क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके $2\pi r = n\lambda$ या $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ प्राप्त कर सकते हैं।
$H$-परमाणु के लिए, $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 \times a_0$ है, जहाँ $a_0 = 52.9 \ pm$ है।
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए, $r_3 = 3^2 \times 52.9 \ pm = 9 \times 52.9 \ pm$।
$n = 3$ और $r_3$ को तरंगदैर्ध्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{2\pi \times (9 \times 52.9 \ pm)}{3} = 6\pi \times 52.9 \ pm$।

(B) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है,$m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$,जिसका अर्थ है $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
दिया गया है $\lambda_X = 1 \ nm$,$\lambda_Y = 3 \ nm$,और $m_X = 9m_Y$।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_X}{K_Y} = \frac{h^2}{2m_X\lambda_X^2} \times \frac{2m_Y\lambda_Y^2}{h^2} = \frac{m_Y}{m_X} \times \left(\frac{\lambda_Y}{\lambda_X}\right)^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{K_X}{K_Y} = \frac{m_Y}{9m_Y} \times \left(\frac{3}{1}\right)^2 = \frac{1}{9} \times 9 = 1$।
अतः,अनुपात $1: 1$ है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,इसलिए $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \text{स्थिरांक}$.
अतः,$\Delta x \propto \frac{1}{m \cdot \Delta v}$.
दिया गया है $m_B = 4m_A$,$\Delta v_A = 0.03 \ m \ s^{-1}$,और $\Delta v_B = 0.01 \ m \ s^{-1}$.
स्थितियों में अनिश्चितता का अनुपात $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{m_B \cdot \Delta v_B}{m_A \cdot \Delta v_A}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{4m_A \cdot 0.01}{m_A \cdot 0.03} = \frac{4 \cdot 0.01}{0.03} = \frac{4}{3}$.

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ Js \times 3 \times 10^8 \ m/s}{300 \times 10^{-9} \ m} = 6.6 \times 10^{-19} \ J$.
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} = 4.125 \ eV$.
इलेक्ट्रॉन तब उत्सर्जित होते हैं जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
$4.125 \ eV$ की तुलना दिए गए कार्य फलनों से करने पर:
$Mg (3.7 \ eV) < 4.125 \ eV$ (उत्सर्जित होंगे)
$Cu (4.8 \ eV) > 4.125 \ eV$ (उत्सर्जित नहीं होंगे)
$Ag (4.3 \ eV) > 4.125 \ eV$ (उत्सर्जित नहीं होंगे)
$Na (2.3 \ eV) < 4.125 \ eV$ (उत्सर्जित होंगे)
अतः,$2$ धातुओं ($Mg$ और $Na$) से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होंगे।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J s \times 3 \times 10^8 \ m s^{-1}}{221 \times 10^{-9} \ m} = 9.00 \times 10^{-19} \ J$.
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
$KE = 9.00 \times 10^{-19} \ J - 7.68 \times 10^{-19} \ J = 1.32 \times 10^{-19} \ J$.

(C) किसी भी इलेक्ट्रॉन के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $n-1$ के बीच होना चाहिए।
विकल्प $C$ में,$n=3$ है,जिसका अर्थ है कि $l$ केवल $0, 1, \text{या } 2$ मान ले सकता है।
चूंकि यहाँ $l=3$ दिया गया है,इसलिए क्वांटम संख्याओं का यह सेट असंभव है क्योंकि $l$ का मान $n$ के बराबर या उससे अधिक नहीं हो सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक होता है। एक कक्षक में अधिकतम $2$ इलेक्ट्रॉन (विपरीत चक्रण के साथ) हो सकते हैं।
$1$. $3d$ कक्षक $(l=2)$ के लिए: $m_l$ के मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं। $m_l = -2$ संभव है। अधिकतम इलेक्ट्रॉन = $2$.
$2$. $6d$ कक्षक $(l=2)$ के लिए: $m_l$ के मान $-2, -1, 0, +1, +2$ हैं। $m_l = -2$ संभव है। अधिकतम इलेक्ट्रॉन = $2$.
$3$. $5s$ कक्षक $(l=0)$ के लिए: $m_l$ का मान $0$ है। $m_l = -2$ संभव नहीं है। अधिकतम इलेक्ट्रॉन = $0$.
$4$. $4f$ कक्षक $(l=3)$ के लिए: $m_l$ के मान $-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$ हैं। $m_l = -2$ संभव है। अधिकतम इलेक्ट्रॉन = $2$.
कुल इलेक्ट्रॉन = $2 + 2 + 0 + 2 = 6$.

(A) $Z=24$ (क्रोमियम) के लिए: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है।
$m_l=0$ वाले इलेक्ट्रॉन:
$1s^2$ $(2)$,$2s^2$ $(2)$,$2p^6$ $(2)$,$3s^2$ $(2)$,$3p^6$ $(2)$,$3d^5$ $(1)$,$4s^1$ $(1)$.
कुल = $12$।
$Z=29$ (कॉपर) के लिए: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ है।
$m_l=0$ वाले इलेक्ट्रॉन:
$1s^2$ $(2)$,$2s^2$ $(2)$,$2p^6$ $(2)$,$3s^2$ $(2)$,$3p^6$ $(2)$,$3d^{10}$ $(2)$,$4s^1$ $(1)$.
कुल = $13$।
अतः,मान $12$ और $13$ हैं।

(D) $25$ परमाणु क्रमांक $(Z)$ वाले तत्व का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^5$ है।
$(n+l) = 3$ के लिए:
- $2p$ कक्षक $(n=2, l=1)$: $(n+l) = 2+1 = 3$. इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $6$.
- $3s$ कक्षक $(n=3, l=0)$: $(n+l) = 3+0 = 3$. इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $2$.
अतः,$x = 6 + 2 = 8$.
$(n+l) = 4$ के लिए:
- $3p$ कक्षक $(n=3, l=1)$: $(n+l) = 3+1 = 4$. इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $6$.
- $4s$ कक्षक $(n=4, l=0)$: $(n+l) = 4+0 = 4$. इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $2$.
अतः,$y = 6 + 2 = 8$.
$(x+y)$ का मान = $8 + 8 = 16$.

(D) $I$) कार्य एक पथ फलन है क्योंकि यह प्रारंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर निर्भर करता है। यह कथन सही है।
$II$) एन्थैल्पी $(H)$ एक विस्तीर्ण गुण है क्योंकि यह निकाय में उपस्थित पदार्थ की मात्रा पर निर्भर करती है। यह कथन सही है।
$III$) आयनिक यौगिकों की जालक एन्थैल्पी की गणना बॉर्न-हेबर चक्र का उपयोग करके की जा सकती है,जो जालक एन्थैल्पी को आयनन ऊर्जा,इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी और ऊर्ध्वपातन ऊर्जा जैसे अन्य ऊष्मागतिक डेटा से जोड़ता है। यह कथन सही है।
अतः,सभी कथन $I, II,$ और $III$ सही हैं।

(C) फ्रीडल-क्राफ्ट्स एल्काइलेशन एक इलेक्ट्रोफिलिक एरोमैटिक प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।
यह अत्यधिक निष्क्रिय वलयों (जैसे बेंजोइक एसिड,जिसमें $-COOH$ समूह होता है) या उन यौगिकों के साथ नहीं होती है जो लुईस एसिड उत्प्रेरक के साथ कॉम्प्लेक्स बनाते हैं (जैसे एनिलीन,जिसमें $-NH_2$ समूह होता है जो $AlCl_3$ के साथ जुड़ जाता है)।
क्लोरोबेंजीन क्लोरीन परमाणु के $-I$ प्रभाव के कारण निष्क्रिय होता है,जिससे यह बहुत धीमी गति से अभिक्रिया करता है,लेकिन सामान्यतः यह इस अभिक्रिया को दे सकता है।
एनिसोल (मेथॉक्सीबेंजीन) $-OCH_3$ समूह के $+M$ प्रभाव के कारण एक सक्रिय वलय है और आसानी से फ्रीडल-क्राफ्ट्स एल्काइलेशन अभिक्रिया देता है।
अतः,$b$ (क्लोरोबेंजीन) और $d$ (एनिसोल) वे यौगिक हैं जो यह अभिक्रिया दे सकते हैं।

(D) जब फिनोल ब्रोमीन जल $(Br_2/H_2O)$ के साथ अभिक्रिया करता है,तो $-OH$ समूह के प्रबल सक्रियण प्रभाव के कारण यह सभी ऑर्थो और पैरा स्थितियों पर इलेक्ट्रोफिलिक प्रतिस्थापन से गुजरता है,जिसके परिणामस्वरूप $2,4,6$-ट्राइब्रोमोफिनोल $(X)$ का निर्माण होता है।
जब फिनोल सांद्र नाइट्रिक एसिड $(Conc. HNO_3)$ के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह नाइट्रीकरण के माध्यम से $2,4,6$-ट्राइनाइट्रोफिनोल बनाता है,जिसे आमतौर पर पिकरिक एसिड $(Y)$ के रूप में जाना जाता है।

(A) कथन-$I$: $Al_2O_3$ एक सुप्रसिद्ध उभयधर्मी ऑक्साइड है,जिसका अर्थ है कि यह अम्ल और क्षार दोनों के साथ अभिक्रिया करता है। यह कथन सही है।
कथन-$II$: जैसे-जैसे हम समूह $13$ (बोरॉन परिवार) में नीचे जाते हैं,धात्विक गुण बढ़ता है और ऑक्साइड की क्षारीय प्रकृति बढ़ती है। इसलिए,$Tl_2O_3$ (थैलियम ऑक्साइड),$Ga_2O_3$ (गैलियम ऑक्साइड) की तुलना में अधिक क्षारीय है। यह कथन भी सही है।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(A) सांद्र नाइट्रिक एसिड $(HNO_3)$ की $P_4O_{10}$ के साथ अभिक्रिया एसिड के निर्जलीकरण द्वारा डाईनाइट्रोजन पेंटोक्साइड $(N_2O_5)$ बनाती है:
$4HNO_3 + P_4O_{10} \rightarrow 2N_2O_5 + 4HPO_3$.
सांद्र नाइट्रिक एसिड की फास्फोरस $(P_4)$ के साथ अभिक्रिया में फास्फोरस का फास्फोरिक एसिड $(H_3PO_4)$ में ऑक्सीकरण होता है और नाइट्रिक एसिड का नाइट्रोजन डाइऑक्साइड $(NO_2)$ में अपचयन होता है:
$P_4 + 20HNO_3 \rightarrow 4H_3PO_4 + 20NO_2 + 4H_2O$.
अतः,प्राप्त ऑक्साइड क्रमशः $N_2O_5$ और $NO_2$ हैं.

(B) सोडियम नाइट्राइट $(NaNO_2)$ की हाइड्रोक्लोरिक एसिड $(HCl)$ के साथ अभिक्रिया इस प्रकार है:
$NaNO_2 + HCl \rightarrow NaCl + HNO_2$
$3HNO_2 \rightarrow HNO_3 + H_2O + 2NO$
इस अभिक्रिया में,नाइट्रोजन के ऑक्साइड $NO$ और $NO_2$ बनते हैं।
$NO$ एक उदासीन ऑक्साइड है।
$NO_2$ एक अम्लीय ऑक्साइड है।
अतः,एक ऑक्साइड अम्लीय और दूसरा उदासीन है।

(B) सफेद फास्फोरस $(P_4)$ की सांद्र $NaOH$ विलयन के साथ अभिक्रिया एक असमानुपातन (disproportionation) अभिक्रिया है:
$P_4 + 3NaOH + 3H_2O \rightarrow 3NaH_2PO_2 + PH_3$
यहाँ,लवण '$X$' सोडियम हाइपोफास्फाइट $(NaH_2PO_2)$ है और गैस '$Y$' फास्फीन $(PH_3)$ है।
$NaH_2PO_2$ में,$P$ की ऑक्सीकरण अवस्था: $1 + 2 + x + 2(-2) = 0 \Rightarrow x = +1$ है।
$PH_3$ में,$P$ की ऑक्सीकरण अवस्था: $x + 3(1) = 0 \Rightarrow x = -3$ है।
अतः,ऑक्सीकरण अवस्थाएँ क्रमशः $+1$ और $-3$ हैं।

(A) लाल $P_4$ की क्षार $(NaOH)$ के साथ अभिक्रिया से हाइपोफास्फाइट $(H_2PO_2^-)$ और फास्फीन $(PH_3)$ प्राप्त होता है। अम्लीकरण पर हाइपोफास्फोरस अम्ल $(H_3PO_2)$ प्राप्त होता है।
$H_4P_2O_6$ (हाइपोफास्फोरिक अम्ल) में $2$ $P=O$ बंध और $1$ $P-P$ बंध होता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) ऑर्थोफॉस्फोरस अम्ल $(H_3PO_3)$ की असमानुपातन अभिक्रिया इस प्रकार है:
$4H_3PO_3 \rightarrow PH_3 + 3H_3PO_4$
यहाँ,प्राप्त ऑक्सोअम्ल '$X$' ऑर्थोफॉस्फोरिक अम्ल $(H_3PO_4)$ है।
$H_3PO_4$ की संरचना में तीन $P-OH$ समूह होते हैं,जो आयनित हो सकते हैं।
अतः,$H_3PO_4$ की क्षारकता $3$ है।

(A) अभिक्रियाएं इस प्रकार हैं:
$1) P_4 + 8SOCl_2 \longrightarrow 4PCl_3 + 4SO_2 + 2S_2Cl_2$
$2) P_4 + 10SO_2Cl_2 \longrightarrow 4PCl_5 + 10SO_2$
दोनों अभिक्रियाओं में,सामान्य उत्पाद '$x$' सल्फर डाइऑक्साइड $(SO_2)$ है।
$SO_2$ में,केंद्रीय परमाणु सल्फर $(S)$ है।
सल्फर का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ne] 3s^2 3p^4$ है।
$SO_2$ में,सल्फर दो ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ दो द्वि-आबंध बनाता है।
सल्फर के पास $6$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं। यह ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ आबंध बनाने के लिए $4$ इलेक्ट्रॉनों का उपयोग करता है।
इसलिए,$6 - 4 = 2$ इलेक्ट्रॉन शेष रहते हैं,जो सल्फर परमाणु पर $1$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म बनाते हैं।
अतः,$SO_2$ के केंद्रीय परमाणु पर एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म की संख्या $1$ है।

(D) डेकोन प्रक्रिया का उपयोग क्लोरीन गैस $(Cl_2)$ के औद्योगिक निर्माण के लिए किया जाता है।
अतः,गैस $X$ $Cl_2$ है।
जब क्लोरीन आयोडीन और पानी के साथ अभिक्रिया करता है,तो यह एक ऑक्सीकरण एजेंट के रूप में कार्य करता है और आयोडीन को आयोडिक एसिड $(HIO_3)$ में ऑक्सीकृत कर देता है।
रासायनिक अभिक्रिया इस प्रकार है:
$I_2 + 5Cl_2 + 6H_2O \rightarrow 2HIO_3 + 10HCl$

(A) सही उत्तर $A$ है।
पोटेशियम परमैंगनेट $(KMnO_4)$ को गर्म करने पर पोटेशियम मैंगनेट $(K_2MnO_4)$,मैंगनीज डाइऑक्साइड $(MnO_2)$ और ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ प्राप्त होती है।
अभिक्रिया: $2KMnO_4 \xrightarrow{\Delta} K_2MnO_4 + MnO_2 + O_2$ है।
चूंकि विकल्प $A$ में कहा गया है कि यह केवल पोटेशियम मैंगनेट और मैंगनीज डाइऑक्साइड देता है,इसलिए यह कथन गलत है क्योंकि ऑक्सीजन भी उत्पन्न होती है।
फॉस्फीन $(PH_3)$ का उपयोग वास्तव में स्मोक स्क्रीन में किया जाता है।
क्लोरीन की विरंजन क्रिया नमी की उपस्थिति में ऑक्सीकरण के कारण होती है।
उत्कृष्ट गैसों में कमजोर वैन डेर वाल्स बल होते हैं,जिसके कारण उनके क्वथनांक बहुत कम होते हैं।

(D) $1$. समूह में नीचे जाने पर बंध वियोजन ऊर्जा कम होने के कारण तापीय स्थिरता घटती है: $H_2O > H_2S > H_2Se > H_2Te > H_2Po$। यह सही है।
$2$. समूह में नीचे जाने पर बंध वियोजन ऊर्जा कम होने के कारण अपचायक गुण बढ़ता है: $H_2S < H_2Se < H_2Te < H_2Po$। यह सही है।
$3$. क्वथनांक: हाइड्रोजन बंधन के कारण $H_2O$ का क्वथनांक सबसे अधिक होता है। बाकी के लिए,आणविक द्रव्यमान बढ़ने के साथ क्वथनांक बढ़ता है: $H_2S < H_2Se < H_2Te < H_2O$। यह सही है।
$4$. गलनांक: गलनांक का क्रम $H_2S < H_2Se < H_2O < H_2Te$ है। क्रिस्टल संरचना में अंतर के कारण $H_2Te$ की तुलना में $H_2O$ का गलनांक सबसे अधिक नहीं होता है। अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन गलत है।

(A) $XeF_6$ का पूर्ण जल-अपघटन निम्नलिखित रासायनिक समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:
$XeF_6 + 3H_2O \rightarrow XeO_3 + 6HF$
यहाँ,यौगिक $X$,$XeO_3$ है।
$XeO_3$ में,केंद्रीय परमाणु $Xe$ के पास $8$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
यह $3$ ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ $3$ द्वि-आबंध बनाता है,$6$ इलेक्ट्रॉनों का उपयोग करता है और इसमें $1$ एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) होता है।
कुल इलेक्ट्रॉन युग्म = $3$ (आबंध युग्म) + $1$ (एकाकी युग्म) = $4$ है।
अतः,$XeO_3$ में $Xe$ का संकरण $sp^3$ है।

(D) जिगलर-नाटा उत्प्रेरक,जो $TiCl_4$ और $(C_2H_5)_3Al$ का मिश्रण है,का उपयोग विशेष रूप से $High \ density \ polythene$ $(HDPE)$ के उत्पादन में किया जाता है।
यह उत्प्रेरक कम दबाव और तापमान पर एथीन के बहुलकीकरण की अनुमति देता है,जिसके परिणामस्वरूप उच्च घनत्व और मजबूती वाली रैखिक बहुलक श्रृंखला प्राप्त होती है।

(B) अभिक्रिया $nClCH=CH_2 \xrightarrow{X} Y$ विनाइल क्लोराइड का पॉलीविनाइल क्लोराइड $(PVC)$ में बहुलकीकरण दर्शाती है।
$X$ एक आरंभक (initiator) है,जो बेंज़ोयल पेरोक्साइड है,जिसे $(C_6H_5COO)_2$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$Y$ निर्मित बहुलक है,जो पॉलीविनाइल क्लोराइड $(PVC)$ है।
पॉलीविनाइल क्लोराइड एक थर्मोप्लास्टिक बहुलक है क्योंकि यह गर्म करने पर नरम हो जाता है और ठंडा करने पर कठोर हो जाता है।
अतः,सही युग्म $X = (C_6H_5COO)_2$ और $Y = \text{थर्मोप्लास्टिक बहुलक}$ है।

(D) कथन-$I$ गलत है क्योंकि नायलॉन $6$ एक संघनन होमोपॉलिमर है जो कैप्रोलैक्टम मोनोमर से बनता है,न कि को-पॉलिमर।
कथन-$II$ गलत है क्योंकि नायलॉन $6, 6$ एडिपिक एसिड और हेक्सामिथिलीन डायमाइन से बनता है,न कि टेट्रामिथिलीन डायमाइन से।
अतः,दोनों कथन गलत हैं।

(A) संख्या औसत आणविक द्रव्यमान $(\overline{M}_n)$ की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: $\overline{M}_n = \frac{\sum N_i M_i}{\sum N_i}$
यहाँ,$N_1 = 10$,$M_1 = 5,000$ और $N_2 = 5$,$M_2 = 50,000$ है।
$\sum N_i M_i = (10 \times 5,000) + (5 \times 50,000) = 50,000 + 250,000 = 300,000$।
$\sum N_i = 10 + 5 = 15$।
$\overline{M}_n = \frac{300,000}{15} = 20,000 = 2 \times 10^4$।

(D) $1$. रैखिक पॉलिमर: ये लंबी श्रृंखला वाले पॉलिमर होते हैं। दी गई सूची से उदाहरण हैं: नायलॉन $6,6$,$PVC$,और नोवोलेक (जो एक रैखिक पॉलिमर है)। अतः,$3$ रैखिक पॉलिमर हैं।
$2$. क्रॉसलिंक्ड पॉलिमर: ये वे पॉलिमर हैं जिनमें श्रृंखलाओं के बीच क्रॉसलिंक होते हैं। दी गई सूची से उदाहरण हैं: बैकेलाइट और मेलामाइन-फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन। अतः,$2$ क्रॉसलिंक्ड पॉलिमर हैं।
$3$. इसलिए,रैखिक और क्रॉसलिंक्ड पॉलिमर की संख्या क्रमशः $3$ और $2$ है।
सही विकल्प $D$ है।

(B) बेकेलाइट फिनोल और फॉर्मेल्डिहाइड $(HCHO)$ की अभिक्रिया से बनने वाला एक संघनन बहुलक है।
मेलामाइन-फॉर्मेल्डिहाइड बहुलक,मेलामाइन और फॉर्मेल्डिहाइड $(HCHO)$ के संघनन बहुलकीकरण द्वारा बनता है।
अतः,फॉर्मेल्डिहाइड $(HCHO)$ बेकेलाइट और मेलामाइन-फॉर्मेल्डिहाइड दोनों बहुलकों के लिए सामान्य एकलक है।

(A) नोवोलेक फिनोल और फॉर्मेल्डिहाइड का एक रैखिक बहुलक है।
इसे अम्ल या क्षार उत्प्रेरक की उपस्थिति में फिनोल और फॉर्मेल्डिहाइड के संघनन बहुलकीकरण द्वारा तैयार किया जाता है।
प्रारंभिक चरण में मोनोमर '$x$' के रूप में ऑर्थो- या पैरा-हाइड्रॉक्सीबेंज़िल अल्कोहल का निर्माण होता है।
विशेष रूप से,$o$-हाइड्रॉक्सीबेंज़िल अल्कोहल मुख्य मोनोमर है जो नोवोलेक बनाने के लिए रैखिक बहुलकीकरण से गुजरता है।

(B) $Y$ बनाने वाली अभिक्रिया में,ज़िग्लर-नाटा उत्प्रेरक ($(C_2H_5)_3Al$ और $TiCl_4$) का उपयोग कम दबाव और तापमान पर किया जाता है,जो हाई डेंसिटी पॉलीइथाइलीन $(HDP)$ उत्पन्न करता है।
$X$ बनाने वाली अभिक्रिया में,पेरोक्साइड $((C_6H_5COO)_2)$ का उपयोग उच्च दबाव और तापमान पर किया जाता है,जो लो डेंसिटी पॉलीइथाइलीन $(LDP)$ उत्पन्न करता है।
इसलिए,$X$,$LDP$ है और $Y$,$HDP$ है।
$LDP$ का उपयोग बिजली ले जाने वाले तारों के इन्सुलेशन और स्क्वीज़ बोतल बनाने में किया जाता है।
$HDP$ का उपयोग बाल्टी,डस्टबिन,बोतल और पाइप जैसे कंटेनर बनाने में किया जाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$A$. यूरिया-फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन का उपयोग लैमिनेटेड शीट $(III)$ बनाने में किया जाता है।
$B$. ग्लिप्टल का उपयोग पेंट $(V)$ बनाने में किया जाता है।
$C$. बैकेलाइट का उपयोग सुरक्षा हेलमेट $(I)$ बनाने में किया जाता है।
$D$. नायलॉन-$6,6$ का उपयोग व्यावसायिक फाइबर $(IV)$ बनाने में किया जाता है।
$E$. फिनोल-फॉर्मेल्डिहाइड का उपयोग गास्केट $(II)$ बनाने में किया जाता है।
अतः,सही क्रम $A-III, B-V, C-I, D-IV$ है।

(B) $3$-हाइड्रॉक्सीब्यूटेनॉइक अम्ल और $3$-हाइड्रॉक्सीपेंटेनॉइक अम्ल के बीच अभिक्रिया से सह-बहुलक $PHBV$ (poly-$\beta$-hydroxybutyrate-co-$\beta$-hydroxyvalerate) का निर्माण होता है।
$PHBV$ एक प्रसिद्ध जैव-अपघटनीय (biodegradable) बहुलक है।
अतः,यह कथन कि यह जैव-अनपघटनीय है,गलत है।
$PHBV$ एक संघनन बहुलक है और इसका उपयोग आर्थोपेडिक उपकरणों और नियंत्रित दवा रिलीज में किया जाता है।

(D) तनु $H_2SO_4$ की उपस्थिति में $KMnO_4$ और ऑक्सेलिक एसिड $(H_2C_2O_4)$ के बीच की अभिक्रिया का समीकरण इस प्रकार है:
$2KMnO_4 + 3H_2SO_4 + 5H_2C_2O_4 \rightarrow K_2SO_4 + 2MnSO_4 + 8H_2O + 10CO_2$.
इस अभिक्रिया में,$Mn^{2+}$ आयन उत्पाद के रूप में उत्पन्न होते हैं।
ये $Mn^{2+}$ आयन स्व-उत्प्रेरक के रूप में कार्य करते हैं,जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे अभिक्रिया आगे बढ़ती है,वे अभिक्रिया की दर को बढ़ाते हैं।
इसलिए,$MnSO_4$ (जो $Mn^{2+}$ आयन प्रदान करता है) स्व-उत्प्रेरक के रूप में कार्य करता है।

(B) आर्जेंटोमेट्रिक अनुमापन सिल्वर आयनों $(Ag^+)$ से संबंधित अवक्षेपण अनुमापन हैं।
फजन्स विधि में,जो आर्जेंटोमेट्रिक अनुमापन का एक प्रकार है,अंतिम बिंदु का पता लगाने के लिए इओसिन या फ्लोरोसिन जैसे अधिशोषण सूचकों का उपयोग किया जाता है।
अतः,इस संदर्भ में इओसिन रंजक सही सूचक है।

(C) $Cu^{2+}$ और $I^-$ के बीच की अभिक्रिया: $2Cu^{2+} + 4I^- \rightarrow 2CuI(s) + I_2$.
$Cu^{2+}$ के मोल = $0.1 \ L \times 0.05 \ M = 0.005 \ mol$.
उत्पन्न $I_2$ के मोल = $\frac{1}{2} \times Cu^{2+}$ के मोल = $0.0025 \ mol$.
अनुमापन अभिक्रिया: $I_2 + 2Na_2S_2O_3 \rightarrow 2NaI + Na_2S_4O_6$.
आवश्यक $Na_2S_2O_3$ के मोल = $2 \times I_2$ के मोल = $2 \times 0.0025 = 0.005 \ mol$.
$Na_2S_2O_3$ का आयतन = $\frac{\text{मोल}}{\text{मोलरता}} = \frac{0.005 \ mol}{0.01 \ M} = 0.5 \ L = 500 \ mL$.

(C) $bcc$ जालक के लिए,कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{3}a$ है,जिसका अर्थ है $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है $r = 2.598 \ \mathring{A} = 2.598 \times 10^{-8} \ cm$.
$r$ का मान रखने पर: $a = \frac{4 \times 2.598 \times 10^{-8}}{\sqrt{3}} = 6 \times 10^{-8} \ cm$.
इकाई सेल का आयतन $V = a^3 = (6 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 2.16 \times 10^{-22} \ cm^3$ है।

(C) सरल घनीय जालक में, परमाणु घन के कोनों पर स्थित होते हैं।
सरल घनीय इकाई सेल के लिए, किनारे की लंबाई $a$ और परमाणु की त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2r$ होता है।
दिया गया है कि धातु परमाणु की त्रिज्या $r = x \ pm$ है।
इसलिए, किनारे की लंबाई $a = 2 \times x = 2x \ pm$ होगी।
इकाई सेल का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ का मान रखने पर, हमें $V = (2x)^3 = 8x^3 \ pm^3$ प्राप्त होता है।

(C) $a \neq b \neq c$ और $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$ मापदंडों द्वारा परिभाषित क्रिस्टल प्रणाली विषमलंबाक्ष (Orthorhombic) प्रणाली है।
विषमलंबाक्ष क्रिस्टल प्रणाली में $4$ प्रकार के ब्रेवे जालक होते हैं: आद्य (Primitive),अंतःकेंद्रित (Body-centered),फलक-केंद्रित (Face-centered),और अंत्य-केंद्रित (End-centered)।
अतः,$x = \text{विषमलम्बाक्ष}$ और $y = 4$.

(B) $fcc$ जालक के लिए,कोर लंबाई $a = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
$1$. $fcc$ जालक में परमाणुओं के बीच की निकटतम दूरी $(x)$ $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ \mathring{A} \approx 2.828 \ \mathring{A}$.
$2$. घनत्व $(y)$ सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$fcc$ के लिए,$Z = 4$. दिया गया है $M = 197 \ g \ mol^{-1}$,$N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,और $a = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
$y = \frac{4 \times 197}{6 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3} = \frac{788}{6 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} = \frac{788}{38.4} \approx 20.52 \ g \ cm^{-3}$.
अतः,$x = 2\sqrt{2}$ और $y = 20.52$.

(D) $ccp$ जालक में,तत्व $B$ के परमाणुओं की संख्या $n$ है।
चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n$ के बराबर होती है।
चूंकि तत्व $A$ सभी चतुष्फलकीय रिक्तियों को भरता है,इसलिए $A$ के परमाणुओं की संख्या $2n$ है।
$A:B$ परमाणुओं का अनुपात $2n:n = 2:1$ है।
अतः,यौगिक का सूत्र $A_2 B$ है।

(C) सरल घनीय जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $1$ होती है।
घनत्व $(d)$ का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है,जहाँ $M$ परमाणु भार है,$N_A$ आवोगाद्रो संख्या है,और $a$ कोर की लंबाई है।
मान रखने पर: $7.2 = \frac{1 \times 250}{6.02 \times 10^{23} \times a^3}$.
$a^3 = \frac{250}{7.2 \times 6.02 \times 10^{23}} \approx 5.767 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$a = (57.67 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.86 \times 10^{-8} \ cm = 3.86 \ \mathring{A}$.
सरल घनीय जालक के लिए,त्रिज्या $(r)$ और कोर की लंबाई $(a)$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2}$ होता है।
$r = \frac{3.86}{2} = 1.93 \ \mathring{A}$.

(A) $1$. $BCC$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ है।
$2$. कोर की लंबाई $(a)$ $288 \ pm = 288 \times 10^{-10} \ cm$ है।
$3$. इकाई सेल का आयतन $(V)$ $a^3 = (288 \times 10^{-10} \ cm)^3 \approx 2.39 \times 10^{-23} \ cm^3$ है।
$4$. घनत्व $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
$5$. मोलर द्रव्यमान $(M)$ ज्ञात करने के लिए: $M = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{Z} = \frac{7.2 \times 6.022 \times 10^{23} \times 2.39 \times 10^{-23}}{2} \approx 51.8 \ g \ mol^{-1}$ है।
$6$. $208 \ g$ में मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{M} = \frac{208}{51.8} \approx 4.015 \ mol$ है।
$7$. परमाणुओं की संख्या $n \times N_A = 4.015 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 24.18 \times 10^{23} \approx 24.2 \times 10^{23}$ है।

(B) सरल घनीय जालक के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु की त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2r$ है।
इकाई सेल का आयतन $(V)$, $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V = 6.4 \times 10^7 \ pm^3$।
इसलिए, $a^3 = 6.4 \times 10^7 \ pm^3$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, $a = (64 \times 10^6)^{1/3} \ pm = 400 \ pm$।
चूंकि $a = 2r$, इसलिए $r = a / 2 = 400 / 2 = 200 \ pm$।

(C) जब $CdCl_2$ को $AgCl$ में मिलाया जाता है,तो विद्युत तटस्थता बनाए रखने के लिए प्रत्येक $Cd^{2+}$ आयन दो $Ag^+$ आयनों को प्रतिस्थापित करता है।
एक $Cd^{2+}$ आयन एक $Ag^+$ आयन के स्थान पर आ जाता है,जबकि दूसरा $Ag^+$ स्थान रिक्त रह जाता है।
अतः,उत्पन्न धनायन रिक्तियों की संख्या जोड़े गए $Cd^{2+}$ आयनों की संख्या के बराबर होती है।
दिया गया है कि $1 \times 10^{-4}$ मोल प्रतिशत $CdCl_2$ मिलाया गया है,जिसका अर्थ है कि $100 \text{ मोल } AgCl$ में $1 \times 10^{-4} \text{ मोल } CdCl_2$ मौजूद है।
इसलिए,$AgCl$ के प्रति मोल में $Cd^{2+}$ आयनों के मोल $\frac{1 \times 10^{-4}}{100} = 1 \times 10^{-6} \text{ mol}$ हैं।
प्रति मोल धनायन रिक्तियों की संख्या $1 \times 10^{-6} \times N_A$ है,जहाँ $N_A = 6.023 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ है।
रिक्तियों की संख्या $= 1 \times 10^{-6} \times 6.023 \times 10^{23} = 6.023 \times 10^{17} \text{ mol}^{-1}$।

(C) चरण $1$: एथिलीन ग्लाइकॉल $(C_2H_6O_2)$ का मोलर द्रव्यमान ज्ञात करें।
$M = (2 \times 12) + (6 \times 1) + (2 \times 16) = 24 + 6 + 32 = 62 \ g \ mol^{-1}$.
चरण $2$: एथिलीन ग्लाइकॉल के मोलों की संख्या ज्ञात करें।
$n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{248 \ g}{62 \ g \ mol^{-1}} = 4 \ mol$.
चरण $3$: विलयन की मोललता $(m)$ ज्ञात करें।
$m = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}} = \frac{4 \ mol}{0.2 \ kg} = 20 \ m$.

(C) किसी घटक का मोल अंश $x_i = \frac{n_i}{n_{total}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि कुल मोलों की संख्या $n_{total} = 1 \ mol$ है।
अतः,ग्लूकोज के मोल $(n_{glucose})$ = $0.0244 \ mol$ और जल के मोल $(n_{water})$ = $0.9756 \ mol$ हैं।
ग्लूकोज $(C_6H_{12}O_6)$ का मोलर द्रव्यमान $180 \ g/mol$ है और जल $(H_2O)$ का मोलर द्रव्यमान $18 \ g/mol$ है।
ग्लूकोज का द्रव्यमान = $0.0244 \ mol \times 180 \ g/mol = 4.392 \ g$ है।
जल का द्रव्यमान = $0.9756 \ mol \times 18 \ g/mol = 17.5608 \ g$ है।
विलयन का कुल द्रव्यमान = $4.392 \ g + 17.5608 \ g = 21.9528 \ g$ है।
ग्लूकोज का भार प्रतिशत $(w/w)$ = $\frac{\text{ग्लूकोज का द्रव्यमान}}{\text{विलयन का कुल द्रव्यमान}} \times 100 = \frac{4.392}{21.9528} \times 100 \approx 20\%$ है।

(C) माना $n_g$ ग्लूकोज के मोल हैं और $n_w$ जल के मोल हैं। दिया गया है कि जल का मोल अंश $(x_w)$,ग्लूकोज के मोल अंश $(x_g)$ का $40$ गुना है,इसलिए $x_w = 40 x_g$। चूंकि $x_w + x_g = 1$,हमें $40 x_g + x_g = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $41 x_g = 1$,इसलिए $x_g = 1/41$ और $x_w = 40/41$। मोलों का अनुपात $n_w / n_g = x_w / x_g = 40/1$ है। अतः,$n_w = 40 n_g$। ग्लूकोज का द्रव्यमान $(m_g)$ = $n_g \times 180 \ g/mol$ और जल का द्रव्यमान $(m_w)$ = $n_w \times 18 \ g/mol = 40 n_g \times 18 \ g/mol = 720 n_g \ g$। ग्लूकोज का भार प्रतिशत = $(m_g / (m_g + m_w)) \times 100 = (180 n_g / (180 n_g + 720 n_g)) \times 100 = (180 / 900) \times 100 = (1/5) \times 100 = 20\%$। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है,$10 \% (w/w)$ जलीय ग्लूकोज विलयन का अर्थ है कि $100 \ g$ विलयन में $10 \ g$ ग्लूकोज उपस्थित है।
विलेय (ग्लूकोज) का द्रव्यमान $= 10 \ g$.
विलायक (जल) का द्रव्यमान $= 100 \ g - 10 \ g = 90 \ g = 0.09 \ kg$.
ग्लूकोज का मोलर द्रव्यमान $= 180 \ g \ mol^{-1}$.
ग्लूकोज के मोलों की संख्या $= \frac{10 \ g}{180 \ g \ mol^{-1}} = 0.0556 \ mol$.
मोललता $(m) = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}} = \frac{0.0556 \ mol}{0.09 \ kg} \approx 0.617 \ m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान $0.62 \ m$ है।

(D) विलयन की मोललता $(m)$ को विलायक के प्रति किलोग्राम में विलेय के मोलों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
एथिलीन ग्लाइकॉल का द्रव्यमान $= 124 \ g$.
एथिलीन ग्लाइकॉल का मोलर द्रव्यमान $= 62 \ g \ mol^{-1}$.
एथिलीन ग्लाइकॉल के मोल $(n)$ $= \frac{124 \ g}{62 \ g \ mol^{-1}} = 2 \ mol$.
मोललता $(m)$ $= 10 \ mol \ kg^{-1}$.
सूत्र: $m = \frac{n_{\text{solute}}}{W_{\text{solvent (in kg)}}}$.
मान रखने पर: $10 = \frac{2}{W_{\text{solvent (in kg)}}}$.
$W_{\text{solvent (in kg)}} = \frac{2}{10} = 0.2 \ kg$.
चूंकि $1 \ kg = 1000 \ g$,इसलिए $W_{\text{solvent}} = 0.2 \times 1000 = 200 \ g$.
अतः,$x = 200$.

(A) आदर्श विलयन के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार,कुल वाष्प दाब $P_{total}$ इस प्रकार है:
$P_{total} = P_A^0 \cdot x_A + P_B^0 \cdot x_B$
दिया गया है:
$P_A^0 = 70 \ mm \ Hg$
$x_B = 0.2$
$x_A = 1 - x_B = 1 - 0.2 = 0.8$
$P_{total} = 84 \ mm \ Hg$
मान रखने पर:
$84 = (70 \times 0.8) + (P_B^0 \times 0.2)$
$84 = 56 + 0.2 \cdot P_B^0$
$84 - 56 = 0.2 \cdot P_B^0$
$28 = 0.2 \cdot P_B^0$
$P_B^0 = \frac{28}{0.2} = 140 \ mm \ Hg$
अतः,शुद्ध द्रव $B$ का वाष्प दाब $140 \ mm \ Hg$ है।

(B) अवाष्पशील विलेय युक्त विलयन के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार,वाष्प दाब में सापेक्ष अवनमन विलेय के मोल अंश के बराबर होता है:
$\frac{P^o - P_s}{P^o} = x_{solute}$
जहाँ:
$P^o$ = शुद्ध जल का वाष्प दाब
$P_s$ = विलयन का वाष्प दाब = $34.65 \ mm \ Hg$
$x_{solute}$ = विलेय का मोल अंश = $0.02$
मान रखने पर:
$\frac{P^o - 34.65}{P^o} = 0.02$
$1 - \frac{34.65}{P^o} = 0.02$
$1 - 0.02 = \frac{34.65}{P^o}$
$0.98 = \frac{34.65}{P^o}$
$P^o = \frac{34.65}{0.98} = 35.357 \ mm \ Hg \approx 35.36 \ mm \ Hg$
अतः,शुद्ध जल का वाष्प दाब $35.36 \ mm \ Hg$ है।

(D) दो वाष्पशील द्रवों के विलयन के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार,कुल वाष्प दाब $P_{total} = P_A^0 \chi_A + P_B^0 \chi_B$ है।
दिया गया है: $n_A = 0.714 \ mol$,$n_B = 5.555 \ mol$.
कुल मोल $n_{total} = 0.714 + 5.555 = 6.269 \ mol$.
मोल अंश: $\chi_A = \frac{0.714}{6.269} \approx 0.1139$ और $\chi_B = \frac{5.555}{6.269} \approx 0.8861$.
$P_{total} = 475 \ torr$ और $P_A^0 = 280.7 \ torr$.
मान रखने पर: $475 = (280.7 \times 0.1139) + (P_B^0 \times 0.8861)$.
$475 = 31.97 + (P_B^0 \times 0.8861)$.
$443.03 = P_B^0 \times 0.8861$.
$P_B^0 = \frac{443.03}{0.8861} \approx 499.98 \ torr \approx 500 \ torr$.

(A) $1$. घटकों के मोल की गणना:
$n_{\text{benzene}} = \frac{23.4 \ g}{78 \ g/mol} = 0.3 \ mol$
$n_{\text{toluene}} = \frac{64.4 \ g}{92 \ g/mol} = 0.7 \ mol$
$2$. द्रव प्रावस्था में मोल अंश $(x)$ की गणना:
$x_{\text{benzene}} = \frac{0.3}{0.3 + 0.7} = 0.3$
$x_{\text{toluene}} = \frac{0.7}{0.3 + 0.7} = 0.7$
$3$. राउल्ट के नियम का उपयोग करके आंशिक दाब की गणना:
$P_{\text{benzene}} = x_{\text{benzene}} \times P^0_{\text{benzene}} = 0.3 \times 75 = 22.5 \ mm \ Hg$
$P_{\text{toluene}} = x_{\text{toluene}} \times P^0_{\text{toluene}} = 0.7 \times 22 = 15.4 \ mm \ Hg$
$4$. कुल दाब $(P_{\text{total}})$ की गणना:
$P_{\text{total}} = 22.5 + 15.4 = 37.9 \ mm \ Hg$
$5$. वाष्प प्रावस्था में टोल्यूनि का मोल अंश $(y_{\text{toluene}})$ की गणना:
$y_{\text{toluene}} = \frac{P_{\text{toluene}}}{P_{\text{total}}} = \frac{15.4}{37.9} \approx 0.406$

(B) अवाष्पशील विलेय युक्त विलयन के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार,वाष्प दाब में सापेक्ष अवनमन: $\frac{P^o - P_s}{P^o} = \frac{n_2}{n_1 + n_2} \approx \frac{n_2}{n_1}$ (तनु विलयनों के लिए)।
यहाँ,$P^o = 12.3 \ kPa$,$P_s = 12.078 \ kPa$ है।
वाष्प दाब में अवनमन $\Delta P = P^o - P_s = 12.3 - 12.078 = 0.222 \ kPa$ है।
वाष्प दाब में सापेक्ष अवनमन = $\frac{0.222}{12.3} = 0.018048$ है।
जलीय विलयन के लिए,मोललता $x = \frac{n_2 \times 1000}{W_1 \ (g)}$,जहाँ $W_1$ जल का द्रव्यमान ग्राम में है।
हम जानते हैं कि $\frac{n_2}{n_1} = \frac{n_2 \times M_1}{W_1} = \frac{x \times M_1}{1000}$,जहाँ $M_1 = 18 \ g/mol$ (जल का मोलर द्रव्यमान) है।
अतः,$0.018048 = \frac{x \times 18}{1000}$ है।
$x = \frac{0.018048 \times 1000}{18} = \frac{18.048}{18} \approx 1.0026 \approx 1.018$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वाष्प दाब में आपेक्षिक अवनमन राउल्ट के नियम द्वारा दिया जाता है: $\frac{P^o - P_s}{P^o} = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$.
यहाँ,$P^o = x \ kPa$ और $P_s$ विलयन का वाष्प दाब है।
$1 \ m$ विलयन के लिए,$1000 \ g$ जल में $1 \ mol$ विलेय घुला हुआ है।
जल के मोल $(n_1)$ = $\frac{1000 \ g}{18 \ g/mol} = 55.55 \ mol$.
विलेय के मोल $(n_2)$ = $1 \ mol$.
मान रखने पर: $\frac{x - P_s}{x} = \frac{1}{55.55 + 1} = \frac{1}{56.55} \approx 0.01768$.
$1 - \frac{P_s}{x} = 0.01768$.
$\frac{P_s}{x} = 1 - 0.01768 = 0.98232$.
$P_s \approx 0.982 x \ kPa$.

(B) अवाष्पशील विलेय युक्त विलयन के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार,विलयन का वाष्प दाब $(P_{sol})$ विलायक के मोल अंश $(x_{solvent})$ के सीधे समानुपाती होता है:
$P_{sol} = P^0_{solvent} \times x_{solvent}$
अतः,$x$-अक्ष विलायक का मोल अंश और $y$-अक्ष विलयन का वाष्प दाब दर्शाता है।

(C) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = K_f \times m$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
चूँकि दोनों विलयनों का हिमांक समान है और विलायक की मात्रा ($1 \ kg$ जल) भी समान है,इसलिए उनकी मोललता समान होनी चाहिए।
मोललता $m = \frac{\text{विलेय के मोल}}{\text{विलायक का द्रव्यमान (kg में)}}$.
यूरिया के लिए: $\text{मोल} = \frac{7.5 \ g}{60 \ g \ mol^{-1}} = 0.125 \ mol$.
विलेय $X$ के लिए: $\text{मोल} = \frac{15 \ g}{M_X}$,जहाँ $M_X$ $X$ का मोलर द्रव्यमान है।
मोलों की तुलना करने पर: $0.125 = \frac{15}{M_X}$.
$M_X = \frac{15}{0.125} = 120 \ g \ mol^{-1}$.

(A) सेंटिमोलर विलयन के लिए,सांद्रता $C = 0.01 \ M = 10^{-2} \ mol \ L^{-1}$ है।
एसिटिक एसिड $(CH_3COOH)$ का वियोजन: $CH_3COOH \rightleftharpoons CH_3COO^- + H^+$.
वियोजन की मात्रा $\alpha = 0.5$.
वांट हॉफ गुणांक $i = 1 + \alpha(n-1)$,जहाँ $n=2$.
$i = 1 + 0.5(2-1) = 1.5$.
परासरण दाब $\pi = iCRT$.
यहाँ $T = 27 + 273 = 300 \ K$ और $R = 0.083 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$ है।
$\pi = 1.5 \times 0.01 \times 0.083 \times 300$.
$\pi = 1.5 \times 0.01 \times 24.9 = 0.3735 \ atm$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $0.37 \ atm$ है।

(B) हिमांक अवनमन का सूत्र $\Delta T_{f} = K_{f} \times m$ है,जहाँ $m$ विलयन की मोललता है।
मोललता $m = \frac{w_{solute} \times 1000}{M_{solute} \times w_{solvent(g)}}$.
दिया गया है: $\Delta T_{f} = 0.64 \ K$,$w_{solute} = 1.95 \ g$,$w_{solvent} = 100 \ g$,$K_{f} = 5.12 \ K \ kg \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $0.64 = 5.12 \times \frac{1.95 \times 1000}{M_{solute} \times 100}$.
$0.64 = 5.12 \times \frac{19.5}{M_{solute}}$.
$M_{solute} = \frac{5.12 \times 19.5}{0.64}$.
$M_{solute} = 8 \times 19.5 = 156 \ g \ mol^{-1}$.