AIPMT 1996 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $p = mv = [M][L][T^{-1}] = [MLT^{-1}]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઘાત એ બળ અને સમયનો ગુણાકાર છે,$I = F \times \Delta t$.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે અને સમયનું $[T]$ છે.
તેથી,આઘાતનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$ થાય છે.
આમ,આઘાત અને વેગમાન બંનેના પારિમાણિક સૂત્રો $[MLT^{-1}]$ હોવાથી,તેઓ સમાન છે.

(C) પ્રથમ પદાર્થ માટે,ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપેલ છે કે $u = 0$,$v = 3 \ km/h$.
તેથી,$3^2 = 0^2 + 2gh \implies 2gh = 9 \ (km/h)^2$.
બીજા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક ઝડપ $u = 4 \ km/h$ છે અને તે સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી ફેંકવામાં આવે છે.
તે જ સમીકરણ $v'^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v'^2 = (4)^2 + 2gh$.
$2gh = 9$ કિંમત મૂકતા:
$v'^2 = 16 + 9 = 25$.
$v' = \sqrt{25} = 5 \ km/h$.
તેથી,અંતિમ વેગ $5 \ km/h$ છે.

(B) રેખીય વેગ $(v)$,ત્રિજ્યા $(r)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = r \times \omega$.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 20 \,cm = 0.2 \,m$.
કોણીય વેગ $\omega = 10 \,rad/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = 0.2 \,m \times 10 \,rad/s = 2 \,m/s$.
તેથી,રેખીય વેગ $2 \,m/s$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને ગોળી છોડ્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
શરૂઆતનું વેગમાન = $0$.
અંતિમ વેગમાન = $m_B v_B + m_G v_G = 0$.
અહીં,$m_B = 200 \,g = 0.2 \,kg$,$v_B = 5 \,m/s$,અને $m_G = 1 \,kg$ છે.
$0.2 \times 5 + 1 \times v_G = 0$.
$1 + v_G = 0$.
$v_G = -1 \,m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંદૂક ગોળીની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછળની તરફ ધકેલાય છે.
તેથી,બંદૂકના રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $1 \,m/s$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = $(m \times 3) + (2m \times 0) = 3m \, kg \cdot km/h$.
સંયુક્ત પદાર્થનું અંતિમ દળ = $m + 2m = 3m$.
ધારો કે સંયુક્ત દળનો અંતિમ વેગ $V$ છે.
અંતિમ વેગમાન = $(3m) \times V$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$3m = 3m \times V$
$V = \frac{3m}{3m} = 1 \, km/h$.
તેથી,સંયુક્ત વેગ $1 \, km/h$ છે.

(A) જ્યારે પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા અવકાશયાનમાંથી કોઈ વસ્તુ છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે મુક્ત થવાના સમયે અવકાશયાન જેટલો જ કક્ષીય વેગ ધરાવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ (જડત્વ) મુજબ,તે વસ્તુ અવકાશયાનની મૂળ ભ્રમણકક્ષામાં સમાન વેગ $v$ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
દડાની ગતિની સ્થિતિ બદલવા માટે તેના પર કોઈ બાહ્ય બળ કાર્ય કરતું ન હોવાથી,તે પૃથ્વી પર પડશે નહીં કે અવકાશમાં દૂર જશે નહીં; તે ફક્ત અવકાશયાનના માર્ગને જ અનુસરશે.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$T = 0 \; K$ તાપમાને,ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ થાય છે.
વર્ગ સરેરાશ વર્ગ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ હોવાથી,$T = 0 \; K$ તાપમાને $v_{rms} = 0$ થાય છે.
તેથી,નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને વાયુના અણુઓની ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = RT$ પરથી,આપણે $V = \frac{RT}{P}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \left( \frac{RT}{P} \right)^\gamma = \text{અચળ}$
$P \cdot \frac{T^\gamma}{P^\gamma} = \text{અચળ}$
$P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{અચળ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 18 + 273 = 291 \ K$,પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$,અંતિમ કદ $V_2 = V/8$,અને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma - 1}$.
$T_2 = 291 \times (V / (V/8))^{1.4 - 1} = 291 \times (8)^{0.4}$.
અહીં $8^{0.4} = (2^3)^{0.4} = 2^{1.2} \approx 2.297$.
$T_2 = 291 \times 2.297 \approx 668.4 \ K$.
આમ,સંકોચન પછીનું તાપમાન $668 \ K$ થશે.

(C) $S.H.M.$ માં કણની મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $y$ પર ઝડપ $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઝડપ મહત્તમ ઝડપ કરતા અડધી છે,તેથી $v = \frac{v_{\max}}{2} = \frac{\omega A}{2}$.
ઝડપ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\omega A}{2} = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{A^2}{4} = A^2 - y^2$
$y^2$ માટે ગોઠવતા:
$y^2 = A^2 - \frac{A^2}{4} = \frac{3A^2}{4}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \frac{\sqrt{3}A}{2}$

(D) ઓસિલેટરની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = 160 \, J$ આપેલ છે.
રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,હાર્મોનિક દોલન સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા (ગતિ ઊર્જાનો ભાગ) $E_{osc} = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E_{osc} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (0.01)^2 = 10^6 \times 10^{-4} = 100 \, J$.
આ $100 \, J$ એ ઓસિલેટરની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{max})$ દર્શાવે છે.
કુલ ઊર્જા $160 \, J$ હોવાથી અને દોલનનો ભાગ $100 \, J$ હોવાથી,ત્યાં વધારાની અચળ સ્થિતિ ઊર્જા $U_0 = 160 - 100 = 60 \, J$ હોવી જોઈએ.
સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = U_0 + \frac{1}{2} k x^2$ મુજબ બદલાય છે.
મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા અંતિમ સ્થાનો $(x = \pm A)$ પર મળે છે,જે $U_{max} = U_0 + \frac{1}{2} k A^2 = 60 + 100 = 160 \, J$ છે.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$.
અહીં આપેલ કળા તફાવત $\phi = 60^{\circ}$ છે.
કળા તફાવતને રેડિયનમાં ફેરવતા: $\phi = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$.
સૂત્રમાં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$.
તેથી,પથ તફાવત $\lambda / 6$ થાય છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (kx + \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.0015 \sin (62.4x + 316t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = 62.4 \, \text{rad/unit}$ મેળવીએ છીએ.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $62.4 = \frac{2 \times 3.14}{\lambda}$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ગણતરી કરતા: $\lambda = \frac{6.28}{62.4} \approx 0.1 \, \text{unit}$.

(C) આપેલ બળ સદિશ $\vec F = 6\hat i - 8\hat j + 10\hat k$ છે.
બળનું મૂલ્ય $|\vec F| = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt 2 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
આપેલ પ્રવેગ $a = 1\, m/s^2$ છે.
તેથી,$m = \frac{F}{a} = \frac{10\sqrt 2}{1} = 10\sqrt 2 \,kg$ થાય.

(A) પારિમાણિક સંગતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $(P + \frac{a}{V^2}) = \frac{b\theta}{l}$ માં,પદ $P$ ને $\frac{a}{V^2}$ માં ઉમેરવામાં આવે છે.
તેથી,$[P] = [\frac{a}{V^2}]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દબાણ $P$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે અને કદ $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
આમ,$[a] = [P] \times [V^2]$.
પરિમાણો મૂકતા: $[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2$.
$[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^6]$.
$[a] = [ML^5T^{-2}]$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ એ તેના દળ $m$ અને પ્રવેગ $a$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,જેનું સૂત્ર: $F = m \times a$ છે.
દળ $m$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ: $m = \frac{F}{a}$.
આપેલ કિંમતો છે: બળ $F = 10 \; N$ અને પ્રવેગ $a = 1 \; m/s^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $m = \frac{10 \; N}{1 \; m/s^2} = 10 \; kg$.
તેથી,પદાર્થનું દળ $10 \; kg$ છે.

(D) ઘન (cube) ની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{L^3}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ ઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ઘનતામાં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \frac{\Delta M}{M} \times 100 + 3 \times \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$
અહીં દળમાં મહત્તમ ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 3\%$ અને લંબાઈમાં મહત્તમ ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2\%$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\rho$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 3\% + 3 \times (2\%) = 3\% + 6\% = 9\%$.
તેથી,ઘનતાના માપનમાં મહત્તમ ત્રુટિ $9\%$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
દળ $M$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$M = \frac{gR^2}{G}$
આમ,સાચું સૂત્ર $g \frac{R^2}{G}$ છે.

(D) બે સદિશોના સરવાળાનું માન $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,બે સદિશોની બાદબાકીનું માન $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ થાય.
બંને બાજુથી સમાન પદો $|\vec{A}|^2$ અને $|\vec{B}|^2$ ને દૂર કરતા,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ મળે.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$|\vec{A}| \neq 0$ અને $|\vec{B}| \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા એ તેને ચાર્જ કરવા માટે કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
જો $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરને $V$ પોટેન્શિયલ સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે,તો વધારાનો $dq$ ચાર્જ લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $dW = V' dq$ છે,જ્યાં $V' = q/C$ છે.
આનું $0$ થી $Q$ (જ્યાં $Q = CV$) સુધી સંકલન કરતા:
$U = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} dq = \frac{1}{C} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_{0}^{Q} = \frac{Q^2}{2C}$.
$Q = CV$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{(CV)^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2$ મળે છે.

(C) બિંદુઓ $A$ અને $D$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટની રચનાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. સર્કિટ એક સીડી જેવું નેટવર્ક ધરાવે છે.
$1$. ટર્મિનલ $B$ અને $C$ સાથે જોડાયેલા અવરોધો $A$ અને $D$ વચ્ચેના માર્ગના સંદર્ભમાં ઓપન-સર્કિટ છે.
$2$. ખાસ કરીને,$B$ સાથે જોડાયેલ $10 \ \Omega$ નો અવરોધ કોઈની સાથે શ્રેણીમાં નથી,અને $C$ સાથે જોડાયેલ $10 \ \Omega$ નો અવરોધ પણ કોઈની સાથે શ્રેણીમાં નથી.
$3$. નેટવર્કને સરળ બનાવતા: $A$ થી $D$ સુધીના માર્ગમાં પ્રથમ $10 \ \Omega$ નો અવરોધ,અને ત્યારબાદ વચ્ચેના વર્ટિકલ $10 \ \Omega$ ના અવરોધ અને બાકીના નેટવર્કનું સમાંતર જોડાણ આવે છે.
$4$. શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા,$A$ અને $D$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $30 \ \Omega$ મળે છે.

(D) બાયો-સાવરના નિયમ મુજબ,$idl$ પ્રવાહ ખંડને લીધે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નું મૂલ્ય: $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{idl \sin \theta}{r^2}$ છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આને $d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \widehat{r})}{r^2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
એકમ સદિશ $\widehat{r} = \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકતા:
$d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{r^2 \cdot r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{r^3}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બંને તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે. લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખા $AB$ (જે અક્ષો સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે) પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષથી લંબ અંતર સમાન હોય છે,ધારો કે $r$.
$AB$ પરના બિંદુ $(x, y)$ પર $X$-અક્ષ પરના તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ હોય છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને),જ્યારે $Y$-અક્ષ પરના તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની બહારની તરફ હોય છે.
અંતર સમાન હોવાથી અને પ્રવાહ સમાન હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન છે: $B_X = B_Y = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.
દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,રેખા $AB$ પરના દરેક બિંદુએ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_X - B_Y = 0$ થશે.

(B) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,રીંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે છે.
જ્યારે ચુંબક રીંગમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર રીંગમાં emf અને પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ પ્રેરિત પ્રવાહ એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે ચુંબકના નજીક આવતા ધ્રુવ પર ઉપરની તરફ અપાકર્ષણ બળ અને દૂર જતા ધ્રુવ પર ઉપરની તરફ આકર્ષણ બળ લગાડે છે.
આ બંને બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે ચુંબક પર લાગતું ચોખ્ખું બળ તેના વજન કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,પડતા ચુંબકનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા ઓછો હોય છે.
નોંધ: જો રીંગ તૂટેલી હોય (બંધ લૂપ ન હોય),તો કોઈ પ્રેરિત પ્રવાહ વહેશે નહીં અને ચુંબક $a = g$ પ્રવેગ સાથે મુક્ત પતન કરશે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ એવા વિસ્તારમાંથી અચળ વેગ સાથે પસાર થાય છે જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ બંને હાજર હોય અને તે એકબીજાને તથા વેગ સદિશને લંબ હોય,ત્યારે કણ પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 20 \ V m^{-1}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \ T$ છે.
કણ અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટેની શરત વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળના સંતુલન દ્વારા મળે છે:
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{20}{0.5} = 40 \ m s^{-1}$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $40 \ m s^{-1}$ છે.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
વધુમાં,પ્રકાશની ઝડપ $c$,આવૃત્તિ $\nu$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \nu \lambda$ છે.
આ સૂત્રને તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\lambda = \frac{c}{\nu}$ મળે છે.

(D) $V$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ ઇલેક્ટ્રોન લક્ષ્ય (target) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે $X$-કિરણો ઉત્પન્ન કરે છે. ઉત્સર્જિત $X$-કિરણ ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ગતિ ઉર્જાને અનુરૂપ હોય છે,જે $E_{max} = h\nu_{max} = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ મળે છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ માટે પુનઃગોઠવણ કરતા,આપણને $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ મળે છે.
અહીં $h$,$c$,અને $e$ અચળાંકો હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $\lambda_{min} \propto \frac{1}{V}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $K_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0 = h\nu_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$y = K_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ),અને $c = -\phi_0$ (y-અંતઃખંડ).
જેহেতু ઢાળ $h$ ધન છે અને અંતઃખંડ $-\phi_0$ ઋણ છે,તેથી આલેખ એક સુરેખ રેખા છે જે x-અક્ષ પર થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ થી શરૂ થાય છે અને તેનો ઢાળ ધન છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં રેખા x-અક્ષને $\nu_0$ પર છેદે છે અને $\nu > \nu_0$ માટે રેખીય રીતે વધે છે.

(D) બોહરના હાઇડ્રોજન પરમાણુ મોડેલ મુજબ,$n$ મી સ્થિર કક્ષાની ત્રિજ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi Z m e^2}$
આ સમીકરણમાં,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
આ તમામ પરિમાણો આપેલ પરમાણુ માટે અચળ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$r \propto n^2$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,ક્વોન્ટમ નંબર $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા:
$E_2 = \frac{-13.6 \ eV}{2^2} = \frac{-13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયસનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી બે ભાગોના અંતિમ વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
આપેલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$ છે,તેથી $\frac{m_2}{m_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$.
ન્યુક્લિયર દ્રવ્યની ઘનતા $\rho$ અચળ હોવાથી,દળ $m$ એ કદ $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. તેથી,$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2^3}{r_1^3}$.
ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\frac{r_2^3}{r_1^3} = \frac{2}{1}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{r_2}{r_1} = 2^{1/3}$.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 1 : 2^{1/3}$ થશે.

(A) $NPN$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર $N-$પ્રકારનું,બેઝ $P-$પ્રકારનું અને કલેક્ટર $N-$પ્રકારનું હોય છે. જ્યારે તેનો ઉપયોગ એમ્પ્લીફાયર તરીકે થાય છે,ત્યારે એમિટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય છે. $N-$પ્રકારના એમિટરમાં ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોવાથી,તેઓ બેઝમાં દાખલ થાય છે. બેઝ વિસ્તાર પાતળો હોવાને કારણે,આમાંથી મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોન બેઝમાંથી પસાર થઈને કલેક્ટર દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવે છે. આમ,ઇલેક્ટ્રોન એમિટરથી બેઝ તરફ અને ત્યારબાદ બેઝથી કલેક્ટર તરફ ગતિ કરે છે.

(B) આપેલ ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=0$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
$NOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
દરેક કિસ્સા માટે ગણતરી કરતા:
$1$. $A=0, B=0$ માટે: $Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A=1, B=0$ માટે: $Y = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$.
$3$. $A=0, B=1$ માટે: $Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
$4$. $A=1, B=1$ માટે: $Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$.
આ આપેલ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

$(A)$ આપેલ સંજ્ઞા એક $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે જેમાં બે ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને જોડીને એક સિંગલ ઇનપુટ બનાવવામાં આવ્યું છે।
$NAND$ ગેટ માટે, આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે।
અહીં ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા હોવાથી, $A = B = X$ થાય।
તેથી, આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ બને છે।
આ $NOT$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે।
આમ, આ સંયોજન $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે।

(C) $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c / n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$t$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{સમય} = \text{અંતર} / \text{ઝડપ}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\text{સમય} = t / (c / n) = (nt) / c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\mu = \frac{c}{v}$.
આપેલ છે: $\mu = 1.33$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v = \frac{c}{\mu}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{3 \times 10^8}{1.33} \approx 2.25 \times 10^8 \ m/s$.
તેથી,પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ $2.25 \times 10^8 \ m/s$ છે.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તન કોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ પરસ્પર લંબ છે,તેથી પરાવર્તન કોણ $r$,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ})$ અને વક્રીભવન કોણ $r'$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
આમ,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,જે સૂચવે છે કે $r' = 90^{\circ} - r$. કારણ કે $i = r$,તેથી $r' = 90^{\circ} - i$.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા,પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin r'}{\sin i}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $C$ એ વક્રીભવનાંક સાથે $\sin C = \frac{1}{\mu}$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$\sin C = \frac{\sin i}{\sin r'} = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$.
આમ,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(\tan i)$ થશે.

(D) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $f$ મીટરમાં છે).
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = + 80 \; cm = + 0.8 \; m$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = - 50 \; cm = - 0.5 \; m$ છે.
સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{0.8} + \frac{1}{-0.5} = 1.25 - 2.0 = - 0.75 \; D$.

(B) કોઈપણ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક લાલ પ્રકાશ કરતા જાંબલી પ્રકાશ માટે વધુ હોય છે $(n_V > n_R)$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$. $n_V > n_R$ હોવાથી,જાંબલી પ્રકાશ માટે લેન્સનો પાવર વધુ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f_V$ એ $f_R$ કરતા નાની હોય છે $(f_V < f_R)$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે. કેન્દ્રલંબાઈનું મૂલ્ય $|F|$ બહિર્ગોળ લેન્સની જેમ જ વર્તે છે,જ્યાં $|F_V| < |F_R|$ થાય. બંને ઋણ હોવાથી,ઋણ સંખ્યામાં નાનું મૂલ્ય એ મોટી કિંમત દર્શાવે છે: $F_V > F_R$ (દા.ત.,$-2 > -5$).

(C) ફ્રેનલ બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં,બે વર્ચ્યુઅલ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું વાસ્તવિક અંતર $d$ એ સ્થાનાંતરની રીત દ્વારા મેળવેલા બે અંતરો $d_1$ અને $d_2$ ના ભૌમિતિક મધ્યક જેટલું હોય છે.
સૂત્ર $d = \sqrt{d_1 d_2}$ છે.
અહીં,$d_1 = 16 \; cm$ અને $d_2 = 9 \; cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12 \; cm$ મળે છે.
તેથી,સ્લિટ્સ વચ્ચેનું વાસ્તવિક અંતર $12 \; cm$ છે.

(B) અવરોધ $R$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-3} I^{-2}]$ છે.
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2} I^{-2}]$ છે.
કેપેસીટન્સ $C$ નું પરિમાણ $[M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$ છે.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા:
$\frac{L}{R} = \frac{[M L^2 T^{-2} I^{-2}]}{[M L^2 T^{-3} I^{-2}]} = [T^1] = T$.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા:
$\sqrt{LC} = \sqrt{[M L^2 T^{-2} I^{-2}] \cdot [M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]} = \sqrt{[T^2]} = [T^1] = T$.
આમ,$\frac{L}{R}$ અને $\sqrt{LC}$ બંને સમયના પરિમાણ ધરાવે છે.

(A) ફોટોન એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના ક્વોન્ટા છે.
શૂન્યાવકાશમાં,તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો,જેમાં ફોટોનનો પણ સમાવેશ થાય છે,તે પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ થી ગતિ કરે છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને તે વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ અથવા તરંગલંબાઇ $\lambda$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ફોટોનનો વેગ આવૃત્તિ $\nu$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = e V$.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતું હોવાથી,તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $0$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અંતિમ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ થાય.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2} m v^2 = e V$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{2 e V}{m}$.
તેથી,અંતિમ વેગ $v = \sqrt{\frac{2 e V}{m}}$ મળે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = 10 \; eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 1.6 \times 10^{-18} \; J$ છે.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-18}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx 1.876 \times 10^6 \; m/s$ મેળવીએ છીએ.
ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
તેથી, ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{(9.1 \times 10^{-31} \; kg) \times (1.876 \times 10^6 \; m/s)}{(1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (10^{-4} \; T)}$.
$r \approx 0.1067 \; m \approx 10.67 \; cm \approx 11 \; cm$.

(B) સિલિકોન $(Si)$ એ સમૂહ-$14$ નું તત્વ છે જેની પાસે $4$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે.
આર્સેનિક $(As)$ એ સમૂહ-$15$ નું તત્વ છે જેની પાસે $5$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે.
જ્યારે સિલિકોનમાં અશુદ્ધિ તરીકે આર્સેનિક ઉમેરવામાં આવે છે (ડોપિંગ),ત્યારે તેના $4$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન આસપાસના સિલિકોન પરમાણુઓ સાથે સહસંયોજક બંધ બનાવે છે.
$5$મો સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન મુક્ત રહે છે અને વિદ્યુતભાર વાહક તરીકે કાર્ય કરે છે.
મુખ્ય વિદ્યુતભાર વાહકો ઇલેક્ટ્રોન (ઋણ વિદ્યુતભાર) હોવાથી,મળતું દ્રવ્ય $n$-પ્રકારનો અર્ધવાહક છે.

(C) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34}\; Js$
$m = 9.1 \times 10^{-31}\; kg$
$E = 100\; eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19}\; J = 1.6 \times 10^{-17}\; J$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-17}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{29.12 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{5.396 \times 10^{-24}}$
$\lambda \approx 1.22 \times 10^{-10}\; m$.
કારણ કે $1\; \mathring{A} = 10^{-10}\; m$,તેથી તરંગલંબાઈ આશરે $1.2\; \mathring{A}$ મળે છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$.
આ પ્રશ્નમાં,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+q$ ને ઘનના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યો છે,જે એક બંધ સપાટી છે.
તેથી,ઘનમાંથી બહાર આવતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ થશે.