यदि दो संख्याओं a और b,a b 0,का समांतर मा | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ का समांतर माध्य $(AM)$ उनके गुणोत्तर माध्य $(GM)$ का पाँच गुना है:$\frac{a + b}{2} = 5\sqrt{ab}$$\frac{a + b}{\sqrt{ab}}

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$\frac{5\sqrt{6}}{12}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ का समांतर माध्य $(AM)$ उनके गुणोत्तर माध्य $(GM)$ का पाँच गुना है:$\frac{a + b}{2} = 5\sqrt{ab}$$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 10$माना $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. तब $\frac{a+b}{\sqrt{ab}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} + \frac{b}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = x + \frac{1}{x} = 10$.$x^2 - 10x + 1 = 0$ को हल करने पर,हमें $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = 5 \pm \sqrt{24} = 5 \pm 2\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।चूँकि $a > b$,इसलिए $x > 1$,अतः $x = 5 + 2\sqrt{6}$.हमें $\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b} - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ ज्ञात करना है।चूँकि $x = 5 + 2\sqrt{6}$,तो $x^2 = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 25 + 24 + 20\sqrt{6} = 49 + 20\sqrt{6}$.$\frac{a+b}{a-b} = \frac{49 + 20\sqrt{6} + 1}{49 + 20\sqrt{6} - 1} = \frac{50 + 20\sqrt{6}}{48 + 20\sqrt{6}} = \frac{25 + 10\sqrt{6}}{24 + 10\sqrt{6}}$.हर का परिमेयकरण करने पर:$\frac{(25 + 10\sqrt{6})(24 - 10\sqrt{6})}{(24)^2 - (10\sqrt{6})^2} = \frac{600 - 250\sqrt{6} + 240\sqrt{6} - 600}{576 - 600} = \frac{-10\sqrt{6}}{-24} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$.

यदि दो संख्याओं $a$ और $b$,$a > b > 0$,का समांतर माध्य उनके गुणोत्तर माध्य का पाँच गुना है,तो $\frac{a + b}{a - b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $x = \sum_{n = 0}^\infty a^n$,$y = \sum_{n = 0}^\infty b^n$,और $z = \sum_{n = 0}^\infty (ab)^n$,जहाँ $a, b < 1$ है,तो:

तीन संख्याएँ $A.P.$ में हैं जिनका योग $33$ और गुणनफल $792$ है। इन संख्याओं में सबसे छोटी संख्या है:

$G.P. 1, -1, 1, -1, \ldots$ का $20$ वाँ पद ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो $\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ का मान क्या है?

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