मान लीजिए कि G दो धनात्मक संख्याओं a और b का | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $G$ $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = \sqrt{ab}.$$M$ $\frac{1}{a}$ और $\frac{1}{b}$ का समांतर माध्य है,इसलिए $M = \frac{\f

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$1:4$

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(A) दिया गया है कि $G$ $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = \sqrt{ab}.$$M$ $\frac{1}{a}$ और $\frac{1}{b}$ का समांतर माध्य है,इसलिए $M = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a+b}{2ab}.$अतः,$\frac{1}{M} = \frac{2ab}{a+b}.$अनुपात $\frac{1}{M}:G = 4:5$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2ab}{(a+b)\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}.$व्यंजक को सरल करने पर,$\frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{4}{5},$ जिसका अर्थ है कि $\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}.$योगान्तर अनुपात नियम (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर,$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{5+4}{5-4}.$इसे सरल करने पर $\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 9$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 3$ या $-3$ प्राप्त होता है।$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 3$ को हल करने पर $\sqrt{a}+\sqrt{b} = 3\sqrt{a}-3\sqrt{b}$ मिलता है,इसलिए $4\sqrt{b} = 2\sqrt{a},$ जिसका अर्थ है कि $2\sqrt{b} = \sqrt{a}.$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4b = a,$ इसलिए $\frac{a}{b} = 4,$ जो $a:b = 4:1$ देता है।यदि हम अनुपात $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = -3$ लेते हैं,तो $\sqrt{a}+\sqrt{b} = -3\sqrt{a}+3\sqrt{b}$ मिलता है,इसलिए $4\sqrt{a} = 2\sqrt{b},$ जिसका अर्थ है कि $2\sqrt{a} = \sqrt{b}.$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4a = b,$ इसलिए $\frac{a}{b} = \frac{1}{4},$ जो $a:b = 1:4$ देता है।अतः,$a:b$ का मान $1:4$ हो सकता है।

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