यदि sqrt{a^{frac{1}{a}} cdot (2a)^{frac{1}{2a | vedclass

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Question

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $P = \sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} =

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$\frac{1}{3}$

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(B) माना कि दिया गया व्यंजक $P = \sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} = \frac{8}{27}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$P^2 = a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdots = \left(\frac{8}{27}\right)^2 = \frac{64}{729}$ प्राप्त होता है।$a$ और $2$ की घातों के रूप में लिखने पर: $a^{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{4a} + \cdots \right)} \cdot 2^{\left(0 \cdot \frac{1}{a} + 1 \cdot \frac{1}{2a} + 2 \cdot \frac{1}{4a} + 3 \cdot \frac{1}{8a} + \cdots \right)} = \frac{64}{729}$।$a$ का घातांक $\frac{1}{a} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots) = \frac{1}{a} \left(\frac{1}{1 - 1/2}\right) = \frac{2}{a}$ है।$2$ का घातांक $\frac{1}{2a} + \frac{2}{4a} + \frac{3}{8a} + \cdots = \frac{1}{a} (\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots)$ है। यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी $(AGP)$ है,जिसका योग $S = 2$ है। अतः घातांक $\frac{2}{a}$ है।इस प्रकार,$a^{\frac{2}{a}} \cdot 2^{\frac{2}{a}} = (2a)^{\frac{2}{a}} = \frac{64}{729} = \left(\frac{8}{27}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^6$ प्राप्त होता है।तुलना करने पर,$\frac{2}{a} = 6$ जिससे $a = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

यदि $\sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} = \frac{8}{27}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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