यदि S_1, S_2, S_3, dots, S_m m समांतर श्रेणिय | vedclass

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Question

(A) समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।$k$-वीं समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_k = k$ और सार

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$\frac{1}{2}mn(mn + 1)$

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(A) समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।$k$-वीं समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_k = k$ और सार्व अंतर $d_k = 2k - 1$ है।अतः,$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n - 1)(2k - 1)] = \frac{n}{2}[2k + 2kn - n - 2k + 1] = \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$।अब,हमें योग $\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$ ज्ञात करना है।$= \frac{n}{2} [2n \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} (1 - n)]$।$= \frac{n}{2} [2n \frac{m(m+1)}{2} + m(1 - n)]$।$= \frac{n}{2} [nm(m+1) + m - mn] = \frac{n}{2} [nm^2 + nm + m - mn] = \frac{n}{2} [nm^2 + m] = \frac{mn(mn + 1)}{2}$।

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