'$JUDGE$' शब्द के अक्षरों को कितनी अलग-अलग तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है कि स्वर हमेशा एक साथ आएं?

$15$ क्रमिक क्रमांकित टिकटों में से $3$ बच्चे $10$ टिकटों को आपस में इस प्रकार वितरित करते हैं कि उन्हें $5, 3$ और $2$ टिकटों के क्रमिक ब्लॉक मिलते हैं,तो यह कितने तरीकों से संभव है?

यदि $n$ और $r$ दो धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $n \ge r,$ तो $^nC_{r-1} + ^nC_r = $

$5$ पुरुषों और $4$ महिलाओं में से $2$ पुरुषों और $1$ महिला वाली $3$ सदस्यों की समिति कितने तरीकों से चुनी जा सकती है?

मान लीजिए कि $A$ एक समुच्चय है जिसमें $10$ भिन्न अवयव हैं। तो $A$ से $A$ तक के कुल भिन्न फलनों की संख्या क्या है?

$CRICKET$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $7$ अक्षरों वाले शब्दों का एक शब्दकोश मुद्रित किया गया है। यदि शब्दों को सामान्य शब्दकोश की तरह वर्णानुक्रम में व्यवस्थित किया जाता है,तो $CRICKET$ शब्द से पहले आने वाले शब्दों की संख्या क्या होगी?