'$EXPERTISE$' शब्द के अक्षरों का उपयोग करके $3$ अक्षरों वाले कितने शब्द बनाए जा सकते हैं,यदि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

$SATAYPAUL$ शब्द के अक्षरों के ऐसे विन्यास की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें कोई भी दो $A$ साथ न हों और बीच का अक्षर एक व्यंजन हो।

$^nC_r + ^{n-1}C_r + ...... + ^rC_r$ =

$n$ सफेद और $n$ काली गेंदें हैं जिन पर $1, 2, 3, ..., n$ अंकित है। इन गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि पड़ोसी गेंदें अलग-अलग रंगों की हों?

स्तंभ $A$ में $6$ वस्तुएं हैं और स्तंभ $B$ में $6$ वस्तुएं हैं। एक छात्र को स्तंभ $A$ की प्रत्येक वस्तु को स्तंभ $B$ की एक वस्तु के साथ मिलाने के लिए कहा जाता है। इस प्रश्न के कितने संभावित (सही या गलत) उत्तर हो सकते हैं?

$2, 3, 0, 3, 4, 2, 3$ अंकों का उपयोग करके एक मिलियन (दस लाख) से बड़ी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?