Simplification Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $(a+\frac{1}{a})^{2}=3$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$a^{3}+\frac{1}{a^{3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x+y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x+y)$ का उपयोग करेंगे।
$x=a$ और $y=\frac{1}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a+\frac{1}{a})^{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} + 3(a)(\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(a+\frac{1}{a})^{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} + 3(a+\frac{1}{a})$ बन जाता है।
समीकरण में $a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}$ का मान रखने पर:
$(\sqrt{3})^{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} + 3(\sqrt{3})$.
$3\sqrt{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} + 3\sqrt{3}$.
दोनों पक्षों से $3\sqrt{3}$ घटाने पर,हमें $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $a = 7 - 4 \sqrt{3}$।
सबसे पहले,हर का परिमेयकरण करके $\frac{1}{a}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} \times \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{7 + 4 \sqrt{3}} = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{49 - 16(3)} = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4 \sqrt{3}$।
हमें $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करना है,जो कि $\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$ है।
माना $x = \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$।
तब $x^2 = (\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})^2 = a + \frac{1}{a} + 2$।
$a$ और $\frac{1}{a}$ के मान रखने पर:
$x^2 = (7 - 4 \sqrt{3}) + (7 + 4 \sqrt{3}) + 2 = 14 + 2 = 16$।
चूंकि $a > 0$,$\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = \sqrt{16} = 4$।

(B) अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को निकटतम पूर्णांकों में बदलते हैं:
$21 + 39 \times 2.9 + 8.99 \approx 21 + 39 \times 3 + 9$
संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का पालन करते हुए:
$= 21 + (39 \times 3) + 9$
$= 21 + 117 + 9$
$= 147$
निकटतम विकल्प को देखते हुए,मान लगभग $148$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $22.9889 \div ? = 23$
चूंकि $22.9889$ लगभग $23$ के बराबर है,हम लिख सकते हैं:
$23 \div ? = 23$
दोनों पक्षों को $23$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$? = \frac{23}{23} = 1$
अतः,प्रश्नवाचक चिन्ह के स्थान पर $1$ आएगा।

(B) दिया गया समीकरण: $10^{3} \times 100^{3} + 999999999 = 10^{?} + 10^{?}$
चरण $1$: बाएँ पक्ष को सरल करें।
$100^{3} = (10^{2})^{3} = 10^{6}$।
अतः,$10^{3} \times 10^{6} = 10^{3+6} = 10^{9}$।
चरण $2$: अचर संख्या का अनुमानित मान लें।
$999999999$ लगभग $1000000000$ है,जो $10^{9}$ के बराबर है।
चरण $3$: समीकरण में मान प्रतिस्थापित करें।
$10^{9} + 10^{9} = 10^{?} + 10^{?}$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $? = 9$ प्राप्त होता है।

(B) प्रत्येक पद का परिमेयकरण (Rationalization) करने पर:
$1$. $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{6-3} = \frac{3(\sqrt{12}+\sqrt{6})}{3} = 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}$
$2$. $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{18}+\sqrt{6})}{4} = 3 \sqrt{2}+\sqrt{6}$
$3$. $\frac{6}{\sqrt{8}+\sqrt{12}} = \frac{6(\sqrt{12}-\sqrt{8})}{12-8} = \frac{6(2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{4} = \frac{3(2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{2} = 3 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}$
इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 \sqrt{3}+\sqrt{6}) - (3 \sqrt{2}+\sqrt{6}) - (3 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})$
$= 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}$
$= (2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{6}) + (-3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2})$
$= -\sqrt{3}$

(D) हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करेंगे: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$.
सबसे पहले,हम $(x+y+z)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)$ सर्वसमिका का उपयोग करके $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ज्ञात करेंगे।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 2(-1) \Rightarrow 1 = x^{2}+y^{2}+z^{2} - 2 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2} = 3$.
अब,सभी मानों को मुख्य सर्वसमिका में रखने पर:
$x^{3}+y^{3}+z^{3} - 3(-1) = (1)(3 - (-1))$.
$x^{3}+y^{3}+z^{3} + 3 = 1(3+1) = 4$.
$x^{3}+y^{3}+z^{3} = 4 - 3 = 1$.

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz-2zx=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0$
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$x-y=0 \Rightarrow x=y$
$y-z=0 \Rightarrow y=z$
$z-x=0 \Rightarrow z=x$
अतः,$x=y=z$.
अब $y=x$ और $z=x$ को $\frac{4x+2y-3z}{2x}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4x+2(x)-3(x)}{2x} = \frac{4x+2x-3x}{2x} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $x(3 - \frac{2}{x}) = \frac{3}{x}$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $3x - 2 = \frac{3}{x}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x - \frac{3}{x} = 2$
दोनों पक्षों को $3$ से भाग देने पर: $x - \frac{1}{x} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - \frac{1}{x})^2 = (\frac{2}{3})^2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = \frac{4}{9}$
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर: $x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{4}{9} + 2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{4 + 18}{9} = \frac{22}{9}$
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $\frac{22}{9} = 2 \frac{4}{9}$

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=2(y-x)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^{2}+2x+y^{2}-2y+z^{2}+2=0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^{2}+2x+1)+(y^{2}-2y+1)+z^{2}=0$
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=0$
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$x+1=0 \Rightarrow x=-1$
$y-1=0 \Rightarrow y=1$
$z=0$
अतः,$x^{3}+y^{3}+z^{3} = (-1)^{3} + (1)^{3} + (0)^{3} = -1 + 1 + 0 = 0$.

(B) दिए गए समीकरण $a^{3} b = 180$ और $a b c = 180$ हैं।
चूंकि $a, b, c$ धनात्मक पूर्णांक हैं,हम दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं: $a^{3} b = a b c$।
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर ($a, b > 0$ होने के कारण),हमें $a^{2} = c$ प्राप्त होता है।
अब,$180$ का गुणनखंड करते हैं: $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 4 \times 9 \times 5$।
हमें $a$ का ऐसा मान ज्ञात करना है कि $a^{2}$,$180$ का एक गुणनखंड हो और $a^{3} b = 180$ हो।
यदि $a = 1$ है,तो $c = a^{2} = 1^{2} = 1$। तब $1^{3} \times b = 180$,जिससे $b = 180$ प्राप्त होता है। यह शर्त को पूरा करता है।
यदि $a = 2$ है,तो $c = a^{2} = 2^{2} = 4$। तब $2^{3} \times b = 180$,जिससे $8b = 180$ प्राप्त होता है,अतः $b = 22.5$ (जो पूर्णांक नहीं है)।
यदि $a = 3$ है,तो $c = a^{2} = 3^{2} = 9$। तब $3^{3} \times b = 180$,जिससे $27b = 180$ प्राप्त होता है,अतः $b = 20/3$ (जो पूर्णांक नहीं है)।
अतः,एकमात्र पूर्णांक समाधान $a = 1, b = 180, c = 1$ है।

(A) दिया गया है $(x+\frac{1}{x})^{2}=3$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $(x+\frac{1}{x})^{3}=(\sqrt{3})^{3}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर,$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(x+\frac{1}{x})=3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ रखने पर,$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=0$।
$x^{3}$ से गुणा करने पर,$x^{6}+1=0$ प्राप्त होता है,अतः $x^{6}=-1$।
अब,व्यंजक $(x^{72}+x^{66}+x^{54}+x^{36}+x^{24}+x^{6}+1)$ में $x^{6}=-1$ रखने पर:
$= (x^{6})^{12} + (x^{6})^{11} + (x^{6})^{9} + (x^{6})^{6} + (x^{6})^{4} + x^{6} + 1$
$= (-1)^{12} + (-1)^{11} + (-1)^{9} + (-1)^{6} + (-1)^{4} + (-1) + 1$
$= 1 - 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 1$।

(C) दिया गया है कि $a+b+c=0.$
$\Rightarrow b+c=-a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\Rightarrow (b+c)^{2}=(-a)^{2}$
$\Rightarrow b^{2}+c^{2}+2bc=a^{2}$
अब,अंश से मिलान करने के लिए दोनों पक्षों में $a^{2}$ जोड़ने पर:
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc=2a^{2}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2a^{2}-2bc$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a^{2}-bc)$
दोनों पक्षों को $(a^{2}-bc)$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}-bc}=2$

(B) दिया गया है $n = 7 + 4 \sqrt{3}$.
हम $n$ को $n = 4 + 3 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(2)(\sqrt{3})$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर,हमें $n = (2 + \sqrt{3})^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{n} = 2 + \sqrt{3}$।
अब,$\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ज्ञात करें।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$।
अंत में,$\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$।

(B) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $6^{2} = 14 + 2(ab+bc+ca)$.
$36 = 14 + 2(ab+bc+ca) \Rightarrow 2(ab+bc+ca) = 22 \Rightarrow ab+bc+ca = 11$.
अब,हम सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca))$ का उपयोग करते हैं।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $36 - 3abc = 6(14 - 11)$.
$36 - 3abc = 6(3) = 18$.
$3abc = 36 - 18 = 18$.
$abc = 6$.

(D) दिया गया समीकरण: $(a-1) \sqrt{2} + 3 = b \sqrt{2} + a$.
चूंकि $a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ हैं,हम समीकरण के दोनों पक्षों में परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना कर सकते हैं।
बाएँ पक्ष में परिमेय भाग $3$ है और दाएँ पक्ष में $a$ है। इसलिए,$a = 3$.
अपरिमेय भाग $\sqrt{2}$ का गुणांक बाएँ पक्ष में $(a-1)$ है और दाएँ पक्ष में $b$ है। इसलिए,$a - 1 = b$.
दूसरे समीकरण में $a = 3$ का मान रखने पर: $3 - 1 = b$,जिससे $b = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a+b) = 3 + 2 = 5$ होगा।

(A) दिया गया है कि $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=3$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3} = (\sqrt{3})^{3}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर,$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\left(x+\frac{1}{x}\right) = 3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ रखने पर,$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$ होता है।
अतः $x^{3}+\frac{1}{x^{3}} = 0$,जिसका अर्थ है कि $x^{6}+1 = 0$.
अब,दिया गया व्यंजक $x^{206}+x^{200}+x^{90}+x^{84}+x^{18}+x^{12}+x^{6}+1$ है।
पदों को समूहबद्ध करने पर,$x^{200}(x^{6}+1)+x^{84}(x^{6}+1)+x^{12}(x^{6}+1)+1(x^{6}+1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^{6}+1=0$,इसलिए पूरा व्यंजक $x^{200}(0)+x^{84}(0)+x^{12}(0)+1(0) = 0$ हो जाता है।

(D) दिया गया समीकरण: $4003 \times 77 - 21015 = ? \times 116$
चरण $1$: गुणनफल $4003 \times 77$ की गणना करें।
$4003 \times 77 = 308231$
चरण $2$: परिणाम से $21015$ घटाएं।
$308231 - 21015 = 287216$
चरण $3$: $?$ के लिए हल करें।
$? \times 116 = 287216$
$? = \frac{287216}{116}$
$? = 2476$

(B) व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद का भाग करेंगे:
$1. (4444 \div 40) = 111.1$
$2. (645 \div 25) = 25.8$
$3. (3991 \div 26) = 153.5$
अब, इन परिणामों को जोड़ें:
$? = 111.1 + 25.8 + 153.5$
$? = 290.4$

(B) सबसे पहले,मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
$5 \frac{17}{37} = \frac{202}{37}$
$4 \frac{51}{52} = \frac{259}{52}$
$11 \frac{1}{7} = \frac{78}{7}$
$2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखें:
$? = \frac{202}{37} \times \frac{259}{52} \times \frac{78}{7} + \frac{11}{4}$
गुणा का सरलीकरण करने पर:
$= \frac{202}{37} \times \frac{259}{7} \times \frac{78}{52} + \frac{11}{4}$
$= \frac{202}{37} \times 37 \times \frac{3}{2} + \frac{11}{4}$
$= 202 \times \frac{3}{2} + \frac{11}{4}$
$= 101 \times 3 + 2.75$
$= 303 + 2.75 = 305.75$

(C) व्यंजक $\frac{5}{8} \times 4011.33 + \frac{7}{10} \times 3411.22$ को हल करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
चरण $1$: $\frac{5}{8} \times 4011.33 = 0.625 \times 4011.33 = 2507.08125$ की गणना करें।
चरण $2$: $\frac{7}{10} \times 3411.22 = 0.7 \times 3411.22 = 2387.854$ की गणना करें।
चरण $3$: दोनों परिणामों को जोड़ें: $2507.08125 + 2387.854 = 4894.93525$।
निकटतम विकल्प के अनुसार राउंड ऑफ करने पर,हमें $4895 \approx 4890$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $335.01 \times 244.99 \div 55 = ?$
मानों को निकटतम पूर्णांकों में बदलने पर,हमें प्राप्त होता है:
$335 \times 245 \div 55 = ?$
संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का उपयोग करते हुए:
$= 335 \times (245 \div 55)$
$= 335 \times 4.4545...$
$= 1492.27...$
परिणाम को निकटतम विकल्प में बदलने पर,हमें $1490$ प्राप्त होता है।

(B) व्यंजक $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ को हल करने के लिए,हम प्रत्येक पद के हर का परिमेयकरण (rationalization) करेंगे।
पहला पद: $\frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})} = \frac{3 \sqrt{6}-3 \sqrt{12}}{3-6} = \frac{3 \sqrt{6}-6 \sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{6}+2 \sqrt{3}$.
दूसरा पद: $\frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4 \sqrt{18}-4 \sqrt{6}}{6-2} = \frac{12 \sqrt{2}-4 \sqrt{6}}{4} = 3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$.
तीसरा पद: $\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{3-2} = 3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}$.
इन पदों को जोड़ने पर: $(-\sqrt{6}+2 \sqrt{3}) - (3 \sqrt{2}-\sqrt{6}) + (3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})$.
$= -\sqrt{6}+2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}+\sqrt{6}+3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3} = 0$.

(A) सबसे पहले,अंश को सरल करें: $2 \frac{1}{3} - 1 \frac{2}{11} = \frac{7}{3} - \frac{13}{11} = \frac{77 - 39}{33} = \frac{38}{33}$।
इसके बाद,हर को सरल करें: $3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3}}} = 3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{\frac{10}{3}}} = 3 + \frac{1}{3 + \frac{3}{10}} = 3 + \frac{1}{\frac{33}{10}} = 3 + \frac{10}{33} = \frac{99 + 10}{33} = \frac{109}{33}$।
अंत में,अंश को हर से विभाजित करें: $\frac{38/33}{109/33} = \frac{38}{33} \times \frac{33}{109} = \frac{38}{109}$।

(B) दी गई व्यंजक: $3+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-3}$
अंतिम पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{1}{\sqrt{3}-3} = -\frac{1}{3-\sqrt{3}}$
अतः व्यंजक इस प्रकार होगा: $3+\frac{1}{\sqrt{3}}+\left(\frac{1}{3+\sqrt{3}}-\frac{1}{3-\sqrt{3}}\right)$
अब,कोष्ठक में दिए गए पद को सामान्य हर $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9-3 = 6$ लेकर सरल करने पर:
$\frac{(3-\sqrt{3}) - (3+\sqrt{3})}{6} = \frac{3-\sqrt{3}-3-\sqrt{3}}{6} = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$3 + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$

(A) दिया गया समीकरण: $x+\frac{2}{3+\frac{4}{5+\frac{7}{6}}}=10$
सबसे पहले,सबसे अंदर वाले भिन्न को सरल करें: $5+\frac{7}{6} = \frac{30+7}{6} = \frac{37}{6}$
इस मान को समीकरण में रखने पर: $x+\frac{2}{3+\frac{4}{\frac{37}{6}}} = 10$
जटिल भिन्न को सरल करने पर: $x+\frac{2}{3+\frac{4 \times 6}{37}} = 10$
$x+\frac{2}{3+\frac{24}{37}} = 10$
हर (denominator) को सरल करने पर: $3+\frac{24}{37} = \frac{111+24}{37} = \frac{135}{37}$
मान रखने पर: $x+\frac{2}{\frac{135}{37}} = 10$
$x+\frac{2 \times 37}{135} = 10$
$x+\frac{74}{135} = 10$
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 10 - \frac{74}{135}$
$x = \frac{1350 - 74}{135} = \frac{1276}{135}$

(B) $3+\frac{3}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3}}}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम नीचे से शुरुआत करेंगे।
चरण $1$: सबसे निचले भाग को सरल करें,$3+\frac{1}{3} = \frac{9+1}{3} = \frac{10}{3}$।
चरण $2$: इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $3+\frac{3}{3+\frac{1}{10/3}} = 3+\frac{3}{3+\frac{3}{10}}$।
चरण $3$: हर (denominator) को सरल करें $3+\frac{3}{10} = \frac{30+3}{10} = \frac{33}{10}$।
चरण $4$: इस मान को वापस रखने पर: $3+\frac{3}{33/10} = 3+3 \times \frac{10}{33} = 3+\frac{10}{11}$।
चरण $5$: अंतिम गणना: $3+\frac{10}{11} = \frac{33+10}{11} = \frac{43}{11}$।

(C) दिया गया है $x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}$.
वर्गमूल के अंदर हर का परिमेयकरण करने पर:
$x=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{5-1}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
अब,$x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ का मान $5x^{2}-5x-1$ में रखने पर:
$5\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{2} - 5\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) - 1$
$= 5\left(\frac{5+1+2\sqrt{5}}{4}\right) - \frac{5\sqrt{5}+5}{2} - 1$
$= 5\left(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\right) - \frac{5\sqrt{5}+5}{2} - 1$
$= 5\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) - \frac{5\sqrt{5}+5}{2} - 1$
$= \frac{15+5\sqrt{5}-5\sqrt{5}-5-2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

(C) व्यंजक $67.99 \%$ का $1401 - 13.99 \%$ का $1299$ को हल करने के लिए,हम गणना को आसान बनाने के लिए मानों का सन्निकटन (approximation) कर सकते हैं।
$67.99 \% \approx 68 \%$
$1401 \approx 1400$
$13.99 \% \approx 14 \%$
$1299 \approx 1300$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखें:
$? = (1400 \text{ का } 68 \%) - (1300 \text{ का } 14 \%)$
प्रत्येक भाग की गणना करें:
$1400 \text{ का } 68 \% = \frac{68}{100} \times 1400 = 68 \times 14 = 952$
$1300 \text{ का } 14 \% = \frac{14}{100} \times 1300 = 14 \times 13 = 182$
परिणामों को घटाएं:
$? = 952 - 182 = 770$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $? = \left(\frac{24}{9}\right)^{2} \times \frac{399}{39} \div \frac{41}{899}$
चरण $1$: भिन्न $\frac{24}{9}$ को सरल करके $\frac{8}{3}$ प्राप्त करें।
चरण $2$: वर्ग की गणना करें: $\left(\frac{8}{3}\right)^{2} = \frac{64}{9}$।
चरण $3$: $\frac{399}{39} \approx 10.23$ और $\frac{41}{899} \approx 0.0456$ को सरल करें।
चरण $4$: भाग को गुणा में बदलें: $? = \frac{64}{9} \times \frac{399}{39} \times \frac{899}{41}$।
चरण $5$: मानों की गणना करें: $\frac{64}{9} \approx 7.111$,$\frac{399}{39} \approx 10.2307$,$\frac{899}{41} \approx 21.9268$।
चरण $6$: इन मानों का गुणा करें: $7.111 \times 10.2307 \times 21.9268 \approx 1594.36$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान लगभग $1600$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $(15 \times 0.40)^{4} \div (1080 \div 30)^{4} \times (27 \times 8)^{4} = (3 \times 2)^{?+5}$
चरण $1$: कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें।
$(15 \times 0.40) = 6$
$(1080 \div 30) = 36$
$(27 \times 8) = 216$
चरण $2$: इन मानों को समीकरण में रखें।
$(6)^{4} \div (36)^{4} \times (216)^{4} = (6)^{?+5}$
चरण $3$: सभी आधारों को $6$ की घात के रूप में व्यक्त करें।
$36 = 6^{2}$ और $216 = 6^{3}$
अतः,$(6)^{4} \div (6^{2})^{4} \times (6^{3})^{4} = (6)^{?+5}$
$(6)^{4} \div (6)^{8} \times (6)^{12} = (6)^{?+5}$
चरण $4$: घातांक के नियमों $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ और $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करें।
$(6)^{4-8+12} = (6)^{?+5}$
$(6)^{8} = (6)^{?+5}$
चरण $5$: घातांकों की तुलना करें।
$8 = ? + 5$
$? = 8 - 5 = 3$

(D) माना कि लुप्त संख्या $x$ है। समीकरण $\frac{x^2}{10} + 1 \frac{5}{12} = 3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{2} - 1 \frac{5}{6}$ है।
मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलने पर:
$\frac{x^2}{10} + \frac{17}{12} = \frac{13}{4} + \frac{5}{2} - \frac{11}{6}$.
दाहिनी ओर के लिए सामान्य हर $(12)$ लेने पर:
$\frac{x^2}{10} + \frac{17}{12} = \frac{39}{12} + \frac{30}{12} - \frac{22}{12} = \frac{47}{12}$.
$x$ वाले पद को अलग करने पर:
$\frac{x^2}{10} = \frac{47}{12} - \frac{17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$.
$x^2$ के लिए हल करने पर:
$x^2 = \frac{5}{2} \times 10 = 25$.
अतः,$x = \sqrt{25} = 5$.

(C) दिया गया समीकरण: $(?)^{3} + \sqrt{49} = 92 \times 576 \div 2 \sqrt{1296}$
चरण $1$: वर्गमूल का सरलीकरण करें।
$\sqrt{1296} = 36$ और $\sqrt{49} = 7$ है।
चरण $2$: इन मानों को समीकरण में रखें।
$(?)^{3} + 7 = 92 \times 576 \div (2 \times 36)$
चरण $3$: भाग करें।
$(?)^{3} + 7 = 92 \times 576 \div 72$
$(?)^{3} + 7 = 92 \times 8$
चरण $4$: गुणा करें।
$(?)^{3} + 7 = 736$
चरण $5$: $(?)^{3}$ के लिए हल करें।
$(?)^{3} = 736 - 7 = 729$
चरण $6$: घनमूल ज्ञात करें।
$? = \sqrt[3]{729} = 9$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण है: $85 + x = \frac{1}{6} \times \frac{92}{100} \times \frac{24}{23} \times 650$
चरण $1$: भिन्न $1 \frac{1}{23}$ को $\frac{24}{23}$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: दाहिने पक्ष की गणना करें:
$\frac{1}{6} \times \frac{92}{100} \times \frac{24}{23} \times 650$
$= (\frac{1}{6} \times 24) \times (\frac{92}{23}) \times (\frac{650}{100})$
$= 4 \times 4 \times 6.5$
$= 16 \times 6.5 = 104$
चरण $3$: $x$ के लिए हल करें:
$85 + x = 104$
$x = 104 - 85$
$x = 19$

(C) एक पेन की कीमत $= Rs. 7$
मोम के रंग के एक पैकेट की कीमत $= Rs. 22$
एक कैलकुलेटर की कीमत $= Rs. 175$
एक पेंसिल बॉक्स की कीमत $= (7 + 22) + 14 = 29 + 14 = Rs. 43$
कुल भुगतान की गई राशि $= (20 \times 7) + (8 \times 22) + (6 \times 175) + (7 \times 43)$
कुल भुगतान की गई राशि $= 140 + 176 + 1050 + 301 = Rs. 1667$

(C) दिया गया व्यंजक $= \frac{(81)^{3.6} \times (9)^{2.7}}{(81)^{4.2} \times 3}$
सभी पदों को आधार $3$ में व्यक्त करने पर:
$= \frac{(3^4)^{3.6} \times (3^2)^{2.7}}{(3^4)^{4.2} \times 3^1}$
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{3^{14.4} \times 3^{5.4}}{3^{16.8} \times 3^1}$
नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{3^{14.4 + 5.4}}{3^{16.8 + 1}} = \frac{3^{19.8}}{3^{17.8}}$
नियम $a^m \div a^n = a^{m-n}$ का उपयोग करने पर:
$= 3^{19.8 - 17.8} = 3^2 = 9$

(C) मान लीजिए कि वस्तु का अंकित मूल्य $Rs. x$ है और क्रय मूल्य $(CP)$ $Rs. 100$ है।
प्रश्न के अनुसार,$40 \%$ की छूट के बाद विक्रय मूल्य $(SP)$:
$SP = x - 0.40x = 0.60x$
यह दिया गया है कि $30 \%$ की हानि होती है,इसलिए $SP$,क्रय मूल्य का $70 \%$ होगा:
$SP = 100 - 30 = 70$
$SP$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$0.60x = 70$
$x = \frac{70}{0.60} = \frac{700}{6} = \frac{350}{3}$
यदि वस्तु को अंकित मूल्य $(x)$ पर बेचा जाता है,तो लाभ:
$Profit = SP - CP = \frac{350}{3} - 100 = \frac{350 - 300}{3} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$
चूंकि क्रय मूल्य $100$ है,इसलिए लाभ प्रतिशत $16 \frac{2}{3} \%$ होगा।

(C) दिया गया समीकरण: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a-b-c)-3$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2a-2b-2c-3$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $a^{2}-2a+b^{2}+2b+c^{2}+2c+3=0$
$3$ को $1+1+1$ के रूप में लिखने पर: $(a^{2}-2a+1)+(b^{2}+2b+1)+(c^{2}+2c+1)=0$
पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $(a-1)^{2}+(b+1)^{2}+(c+1)^{2}=0$
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $a-1=0, b+1=0, c+1=0$
हल करने पर: $a=1, b=-1, c=-1$
$(a-b+c)$ का मान: $1-(-1)+(-1) = 1+1-1 = 1$

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2}+3x+1=0$
पूरे समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$x+3+\frac{1}{x}=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x+\frac{1}{x}=-3$
अब,समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}=(-3)^{3}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\left(x\cdot\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=-27$
$(x+\frac{1}{x})=-3$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(1)(-3)=-27$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}-9=-27$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=-27+9$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=-18$

(D) दिया गया समीकरण $x^{a} \cdot x^{b} \cdot x^{c} = 1$ है।
घातांक के नियमों का उपयोग करने पर, $x^{a+b+c} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1 = x^{0}$, इसलिए $x^{a+b+c} = x^{0}$ होगा।
घातांकों की तुलना करने पर, हमें $a + b + c = 0$ प्राप्त होता है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$।
इस सर्वसमिका में $a + b + c = 0$ रखने पर:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (0)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca) = 0$
अतः, $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण: $a+\frac{1}{a}+2=0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $a$ से गुणा करने पर:
$a^2 + 1 + 2a = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$a^2 + 2a + 1 = 0$
$(a+1)^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$a+1 = 0 \Rightarrow a = -1$
अब,$a = -1$ को व्यंजक $\left(a^{37}-\frac{1}{a^{100}}\right)$ में रखने पर:
$= (-1)^{37} - \frac{1}{(-1)^{100}}$
चूंकि $-1$ की विषम घात $-1$ होती है और $-1$ की सम घात $1$ होती है:
$= -1 - \frac{1}{1}$
$= -1 - 1 = -2$

(B) दिया गया है कि $a+b+c=0$.
इसका अर्थ है कि $(a+c) = -b$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(a+c)^{2} = (-b)^{2}$ प्राप्त होता है।
$a^{2} + c^{2} + 2ac = b^{2}$.
अतः,$a^{2} + c^{2} = b^{2} - 2ac$.
अब,इस मान को व्यंजक $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b^{2}-ca}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(a^{2}+c^{2}) + b^{2}}{b^{2}-ca} = \frac{(b^{2}-2ac) + b^{2}}{b^{2}-ca}$.
$= \frac{2b^{2}-2ac}{b^{2}-ca} = \frac{2(b^{2}-ac)}{b^{2}-ac}$.
चूंकि $b^{2} \neq ca$,हम $(b^{2}-ac)$ पद को काट सकते हैं,जिससे परिणाम $2$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4} = (a^{2}+a b+b^{2})(a^{2}-a b+b^{2})$ होती है।
दिया गया है कि $a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4} = 8$ और $a^{2}+a b+b^{2} = 4$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$8 = 4(a^{2}-a b+b^{2})$
$a^{2}-a b+b^{2} = 2$ ........$(1)$
हमें $a^{2}+a b+b^{2} = 4$ भी दिया गया है ........$(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a^{2}+a b+b^{2}) - (a^{2}-a b+b^{2}) = 4 - 2$
$a^{2}+a b+b^{2}-a^{2}+a b-b^{2} = 2$
$2ab = 2$
$ab = 1$.

(D) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ होती है।
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]}{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}} = \frac{1}{2}(a+b+c)$।
यहाँ $a=25, b=15, c=-10$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{1}{2}(25+15-10) = \frac{1}{2}(30) = 15$।

(A) दिया गया समीकरण: $3463 \times 295 - 18611 = ? + 5883$
चरण $1$: गुणनफल $3463 \times 295$ की गणना करें।
$3463 \times 295 = 1021585$
चरण $2$: इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
$1021585 - 18611 = ? + 5883$
चरण $3$: $1021585$ में से $18611$ घटाएं।
$1021585 - 18611 = 1002974$
चरण $4$: $?$ के लिए हल करें।
$? = 1002974 - 5883$
$? = 997091$

(C) सबसे पहले,दी गई संख्याओं के वर्गों की गणना करें:
$(23.1)^{2} = 533.61$
$(48.6)^{2} = 2361.96$
$(39.8)^{2} = 1584.04$
इन मानों को समीकरण में रखें:
$533.61 + 2361.96 - 1584.04 = ? + 1147.69$
बाएँ पक्ष को सरल करें:
$2895.57 - 1584.04 = ? + 1147.69$
$1311.53 = ? + 1147.69$
$?$ के लिए हल करें:
$? = 1311.53 - 1147.69$
$? = 163.84$

(D) व्यंजक $\frac{28}{65} \times \frac{195}{308} \div \frac{39}{44} + \frac{5}{26}$ को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का पालन करते हैं।
सबसे पहले,भाग को गुणा में बदलने के लिए भिन्न का व्युत्क्रम (reciprocal) लें: $\frac{28}{65} \times \frac{195}{308} \times \frac{44}{39} + \frac{5}{26}$।
पदों को सरल करने पर: $\frac{28}{308} = \frac{1}{11}$,$\frac{195}{65} = 3$,और $\frac{44}{39}$ शेष रहता है।
गुणनफल की गणना करने पर: $(\frac{1}{11} \times 3 \times \frac{44}{39}) = (3 \times \frac{4}{39}) = \frac{4}{13}$।
अब,शेष भिन्न को जोड़ें: $\frac{4}{13} + \frac{5}{26} = \frac{8}{26} + \frac{5}{26} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$।

(A) अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को उनके निकटतम पूर्णांकों में परिवर्तित करते हैं:
$43931.03 \approx 43931$
$2111.02 \approx 2111$
$401.04 \approx 401$
अब,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$43931 \div 2111 \times 401 = ?$
सबसे पहले,भाग करें:
$43931 \div 2111 \approx 20.81$
इसके बाद,$401$ से गुणा करें:
$20.81 \times 401 \approx 8344.81$
वैकल्पिक रूप से,त्वरित गणना के लिए अनुमानित मान का उपयोग करते हुए:
$44000 \div 2000 \times 400 = 22 \times 400 = 8800$
दिए गए विकल्पों के साथ परिणाम की तुलना करने पर,सबसे निकटतम मान $8800$ है।

(C) $59.88 \div 12.21 \times 6.35$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम त्वरित अनुमान लगाने हेतु मानों को निकटतम पूर्णांकों में बदल सकते हैं:
$59.88 \approx 60$
$12.21 \approx 12$
$6.35 \approx 6$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखें:
$60 \div 12 \times 6$
गणित के क्रम $(BODMAS)$ के अनुसार,पहले भाग करें:
$60 \div 12 = 5$
इसके बाद,गुणा करें:
$5 \times 6 = 30$
अतः,मान लगभग $30$ है।

(B) मान ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित प्रकार से गुणा करते हैं:
$\frac{1}{8} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times 1715$
सबसे पहले,भिन्नों को सरल करें:
$= \frac{1 \times 2 \times 3}{8 \times 3 \times 5} \times 1715$
$= \frac{6}{120} \times 1715$
$= \frac{1}{20} \times 1715$
$= \frac{1715}{20} = 85.75$
निकटतम पूर्णांक में राउंड ऑफ करने पर,हमें $85$ प्राप्त होता है।