Simplification Questions in Hindi

(D) दी गई अभिव्यक्ति $198.995 \times 12.005 + 16.25 \times 6.95 = ?$ को हल करने के लिए,हम सन्निकटन (approximation) विधि का उपयोग कर सकते हैं।
सबसे पहले,दी गई संख्याओं को निकटतम पूर्णांकों में बदलें:
$198.995 \approx 199$
$12.005 \approx 12$
$16.25 \approx 16$
$6.95 \approx 7$
अब,इन मानों को अभिव्यक्ति में रखें:
$? = (199 \times 12) + (16 \times 7)$
गुणनफल की गणना करें:
$199 \times 12 = 2388$
$16 \times 7 = 112$
परिणामों को जोड़ें:
$? = 2388 + 112 = 2500$
अतः,सन्निकट मान $2500$ है।

(A) $1.2 \times 1.02 \times 1.002$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम चरण-दर-चरण गुणा करेंगे।
सबसे पहले,$1.2$ और $1.02$ का गुणा करें:
$1.2 \times 1.02 = 1.224$
इसके बाद,परिणाम को $1.002$ से गुणा करें:
$1.224 \times 1.002 = 1.226448$
अतः,अंतिम उत्तर $1.226448$ है।

(D) व्यंजक $6.4 - 1.6 \div 0.2$ को हल करने के लिए,हम संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का पालन करते हैं।
सबसे पहले,भाग करें: $1.6 \div 0.2 = 1.6 \times \frac{1}{0.2} = 1.6 \times 5 = 8$.
इसके बाद,घटाव करें: $6.4 - 8 = -1.6$.
अतः,सही उत्तर $-1.6$ है।

(D) $8.88 \times 88.8 \times 88$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम चरण-दर-चरण गुणा करेंगे।
सबसे पहले,$8.88$ को $88.8$ से गुणा करें:
$8.88 \times 88.8 = 788.544$
इसके बाद,प्राप्त परिणाम को $88$ से गुणा करें:
$788.544 \times 88 = 69391.872$
अतः,सही उत्तर $69391.872$ है।

(C) $989.001 + 1.00982 \times 76.792$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का पालन करते हैं।
सबसे पहले,गुणा करें: $1.00982 \times 76.792 \approx 1.01 \times 76.8 \approx 77.55$.
इसके बाद,योग करें: $989.001 + 77.55 = 1066.551$.
इस परिणाम की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $1065$ है।

(C) $3.75 + 2.832 - 1.001 + 1.803$ व्यंजक को हल करने के लिए,संक्रियाओं के क्रम (बाएं से दाएं) का पालन करें:
चरण $1$: $3.75$ और $2.832$ को जोड़ें: $3.750 + 2.832 = 6.582$।
चरण $2$: परिणाम से $1.001$ घटाएं: $6.582 - 1.001 = 5.581$।
चरण $3$: परिणाम में $1.803$ जोड़ें: $5.581 + 1.803 = 7.384$।
अतः,अंतिम उत्तर $7.384$ है।

(B) सबसे छोटा भिन्न ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए भिन्नों की तुलना करते हैं:
$1$. $\frac{6}{11}$ और $\frac{13}{17}$ की तुलना:
$6 \times 17 = 102$ और $11 \times 13 = 143$.
चूंकि $102 < 143$,इसलिए $\frac{6}{11} < \frac{13}{17}$.
$2$. $\frac{6}{11}$ और $\frac{19}{27}$ की तुलना:
$6 \times 27 = 162$ और $11 \times 19 = 209$.
चूंकि $162 < 209$,इसलिए $\frac{6}{11} < \frac{19}{27}$.
$3$. $\frac{6}{11}$ और $\frac{21}{23}$ की तुलना:
$6 \times 23 = 138$ और $11 \times 21 = 231$.
चूंकि $138 < 231$,इसलिए $\frac{6}{11} < \frac{21}{23}$.
$4$. $\frac{6}{11}$ और $\frac{5}{7}$ की तुलना:
$6 \times 7 = 42$ और $11 \times 5 = 55$.
चूंकि $42 < 55$,इसलिए $\frac{6}{11} < \frac{5}{7}$.
अतः,सबसे छोटा भिन्न $\frac{6}{11}$ है।

(C) सबसे पहले,दी गई अभिव्यक्ति का सरलीकरण करें: $\frac{2}{5} \times \frac{15}{21} \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{8}$.
$= \frac{2 \times 15 \times 7 \times 3}{5 \times 21 \times 10 \times 8} = \frac{630}{8400} = \frac{3}{40}$.
चूंकि $\frac{3}{40} < 1$ है,इसलिए अगली पूर्ण संख्या $(1)$ प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाने वाला सबसे छोटा भिन्न $1 - \frac{3}{40}$ होगा।
$= \frac{40 - 3}{40} = \frac{37}{40}$.

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ होती है।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण $\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}} = a-b$ होगा।
यहाँ,$a = 0.96$ और $b = 0.1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$a-b = 0.96 - 0.1 = 0.86$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई व्यंजक $\frac{(2.3)^{3}-0.027}{(2.3)^{2}+0.69+0.09}$ है।
हम $0.027$ को $(0.3)^{3}$ और $0.09$ को $(0.3)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं। साथ ही,$0.69 = (2.3)(0.3)$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{(2.3)^{3}-(0.3)^{3}}{(2.3)^{2}+(2.3)(0.3)+(0.3)^{2}}$ बन जाता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}} = a-b$.
यहाँ,$a = 2.3$ और $b = 0.3$ है।
इसलिए,$a-b = 2.3 - 0.3 = 2$.

(C) व्यंजक $\frac{0.2 \times 0.2 + 0.2 \times 0.02}{0.044}$ को सरल करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. अंश में दिए गए गुणनफलों की गणना करें:
$0.2 \times 0.2 = 0.04$
$0.2 \times 0.02 = 0.004$
$2$. अंश में प्राप्त परिणामों को जोड़ें:
$0.04 + 0.004 = 0.044$
$3$. अंश को हर से विभाजित करें:
$\frac{0.044}{0.044} = 1$

(B) दी गई व्यंजक $\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$.
यहाँ,$a = 2.39$ और $b = 1.61$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a + b = 2.39 + 1.61 = 4.00$.
अतः,व्यंजक का मान $4$ है।

(C) यह व्यंजक $\frac{a^2 - b^2}{a - b}$ के रूप में है,जहाँ $a = 2.644$ और $b = 2.356$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए,अंश को $(2.644 - 2.356)(2.644 + 2.356)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(2.644 - 2.356)(2.644 + 2.356)}{0.288}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $2.644 - 2.356 = 0.288$ है,इसलिए व्यंजक $\frac{0.288 \times (2.644 + 2.356)}{0.288}$ हो जाता है।
अंश और हर से $0.288$ को काटने पर,हमें $2.644 + 2.356 = 5$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक: $\frac{1.49 \times 14.9 - 0.51 \times 5.1}{14.9 - 5.1}$
पदों को सरल बनाने के लिए:
$14.9 = 1.49 \times 10$ और $5.1 = 0.51 \times 10$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1.49 \times (1.49 \times 10) - 0.51 \times (0.51 \times 10)}{14.9 - 5.1}$
$= \frac{10 \times (1.49^2 - 0.51^2)}{14.9 - 5.1}$
यहाँ $14.9 - 5.1 = 9.8$ और $1.49 - 0.51 = 0.98$ है। अतः,$14.9 - 5.1 = 10 \times (1.49 - 0.51)$.
$= \frac{10 \times (1.49 - 0.51)(1.49 + 0.51)}{10 \times (1.49 - 0.51)}$
$= 1.49 + 0.51 = 2.00$

(B) दी गई व्यंजक $\frac{4.2 \times 4.2 - 1.9 \times 1.9}{2.3 \times 6.1}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 4.2$ और $b = 1.9$ है:
अंश $= (4.2)^2 - (1.9)^2 = (4.2 - 1.9)(4.2 + 1.9) = (2.3)(6.1)$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2.3)(6.1)}{2.3 \times 6.1} = 1$.

(D) दी गई व्यंजक $(7.5 \times 7.5 + 37.5 + 2.5 \times 2.5)$ है।
हम $37.5$ को $2 \times 7.5 \times 2.5$ के रूप में लिख सकते हैं क्योंकि $2 \times 7.5 = 15$ और $15 \times 2.5 = 37.5$ होता है।
अतः,व्यंजक $(7.5)^2 + 2(7.5)(2.5) + (2.5)^2$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है।
यह बीजीय सर्वसमिका $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ के रूप में है,जहाँ $a = 7.5$ और $b = 2.5$ है।
मान रखने पर,हमें $(7.5 + 2.5)^2 = (10)^2 = 100$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} - ab + b^{2}}$ के रूप में है,जहाँ $a = 0.051$ और $b = 0.041$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})}{a^{2} - ab + b^{2}} = a + b$.
अब,$a$ और $b$ के मान रखने पर: $0.051 + 0.041 = 0.092$.
अतः,व्यंजक का मान $0.092$ है।

(C) दी गई व्यंजक $\frac{0.125+0.027}{0.5 \times 0.5+0.09-0.15}$ है।
अंश को $(0.5)^3 + (0.3)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है क्योंकि $0.5^3 = 0.125$ और $0.3^3 = 0.027$ होता है।
हर को $(0.5)^2 + (0.3)^2 - (0.5)(0.3)$ के रूप में लिखा जा सकता है क्योंकि $0.5^2 = 0.25$,$0.3^2 = 0.09$,और $(0.5)(0.3) = 0.15$ होता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + b^2 - ab)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 0.5$ और $b = 0.3$ है,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{(0.5+0.3)(0.5^2 + 0.3^2 - 0.5 \times 0.3)}{0.5^2 + 0.3^2 - 0.5 \times 0.3}$.
समान पद $(0.5^2 + 0.3^2 - 0.5 \times 0.3)$ को काटने पर,हमें $0.5 + 0.3 = 0.8$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई व्यंजक $\frac{8(3.75)^{3}+1}{(7.5)^{2}-6.5}$ है।
हम $8(3.75)^{3}$ को $(2 \times 3.75)^{3} = (7.5)^{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,व्यंजक $\frac{(7.5)^{3} + 1^{3}}{(7.5)^{2} - 6.5}$ हो जाता है।
यहाँ सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 7.5$ और $b = 1$:
अंश $= (7.5 + 1)((7.5)^{2} - (7.5)(1) + 1^{2}) = (8.5)((7.5)^{2} - 7.5 + 1)$.
हर $= (7.5)^{2} - 7.5 + 1 = 56.25 - 7.5 + 1 = 49.75$.
इस प्रकार,$\frac{(7.5+1)(7.5^{2} - 7.5 + 1)}{7.5^{2} - 7.5 + 1} = 7.5 + 1 = 8.5$।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$ के रूप में है,जहाँ $a = 10.3$ और $b = 1$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{(a^2 - ab + b^2)} = a + b$.
अब $a = 10.3$ और $b = 1$ का मान रखने पर:
$10.3 + 1 = 11.3$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $= \frac{5 \times 1.6 - 2 \times 1.4}{1.3}$
सबसे पहले,अंश में गुणा करें:
$5 \times 1.6 = 8.0$
$2 \times 1.4 = 2.8$
अब,इन मानों को अभिव्यक्ति में रखें:
$= \frac{8.0 - 2.8}{1.3}$
$= \frac{5.2}{1.3}$
$= 4$

(C) सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को उनके निकटतम सुविधाजनक मानों में बदलते हैं:
$3.157 \approx 3.2$
$3.198 \approx 3.2$
$63.972 \approx 64$
$2835.121 \approx 2835$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3.2 \times 4126 \times 3.2}{64 \times 2835} = \frac{10.24 \times 4126}{181440} \approx \frac{42250}{181440} \approx 0.2328$
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान लगभग $0.2$ है।

(A) $\frac{0.0203 \times 2.92}{0.0073 \times 14.5 \times 0.7}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम अंश और हर को $10$ की उपयुक्त घातों से गुणा करके दशमलव हटाते हैं।
अंश: $0.0203 \times 2.92 = \frac{203}{10000} \times \frac{292}{100} = \frac{203 \times 292}{10^6}$.
हर: $0.0073 \times 14.5 \times 0.7 = \frac{73}{10000} \times \frac{145}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{73 \times 145 \times 7}{10^6}$.
दोनों को विभाजित करने पर,$10^6$ पद कट जाते हैं:
$\frac{203 \times 292}{73 \times 145 \times 7}$.
भिन्नों को सरल करने पर:
$203 / 7 = 29$.
$292 / 73 = 4$.
अतः,व्यंजक $\frac{29 \times 4}{145}$ हो जाता है।
चूंकि $145 = 29 \times 5$,इसलिए $\frac{29 \times 4}{29 \times 5} = \frac{4}{5} = 0.8$.

(B) व्यंजक $\frac{3.6 \times 0.48 \times 2.50}{0.12 \times 0.09 \times 0.5}$ को हल करने के लिए,हम अंश और हर को $10$ की उपयुक्त घातों से गुणा करके दशमलव हटाते हैं।
अंश: $3.6 \times 0.48 \times 2.50 = \frac{36}{10} \times \frac{48}{100} \times \frac{250}{100} = \frac{36 \times 48 \times 250}{100000}$
हर: $0.12 \times 0.09 \times 0.5 = \frac{12}{100} \times \frac{9}{100} \times \frac{5}{10} = \frac{12 \times 9 \times 5}{100000}$
दोनों को विभाजित करने पर,$100000$ कट जाएंगे:
$\frac{36 \times 48 \times 250}{12 \times 9 \times 5} = \frac{36}{12} \times \frac{48}{9} \times \frac{250}{5} = 3 \times \frac{16}{3} \times 50 = 16 \times 50 = 800$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $= \frac{(0.1667)(0.8333)(0.3333)}{(0.2222)(0.6667)(0.1250)}$
दशमलव संख्याओं को उनके भिन्न रूप में बदलने पर:
$0.1667 \approx \frac{1}{6}$
$0.8333 \approx \frac{5}{6}$
$0.3333 \approx \frac{1}{3}$
$0.2222 \approx \frac{2}{9}$
$0.6667 \approx \frac{2}{3}$
$0.1250 = \frac{1}{8}$
इन मानों को अभिव्यक्ति में रखने पर:
$= \left( \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} \right) \div \left( \frac{2}{9} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{8} \right)$
$= \left( \frac{5}{108} \right) \div \left( \frac{4}{216} \right)$
$= \frac{5}{108} \times \frac{216}{4}$
$= \frac{5}{108} \times 54 = 5 \times 0.5 = 2.5$

(C) दिया गया है कि $1^{3}+2^{3}+\cdots+9^{3}=2025$ है।
हमें $(0.11)^{3}+(0.22)^{3}+\cdots+(0.99)^{3}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे $(0.11 \times 1)^{3} + (0.11 \times 2)^{3} + \cdots + (0.11 \times 9)^{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(0.11)^{3}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $(0.11)^{3} \times (1^{3} + 2^{3} + \cdots + 9^{3})$ प्राप्त होता है।
दिए गए योग को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(0.11)^{3} \times 2025$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(0.11)^{3} = 0.001331$ है,इसलिए व्यंजक $0.001331 \times 2025$ हो जाता है।
गुणनफल की गणना करने पर: $0.001331 \times 2025 = 2.695$।

(C) दिया गया है कि $\frac{1}{6.198} = 0.16134.$
हमें $\frac{1}{0.0006198}$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ $0.0006198 = \frac{6.198}{10000}$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{0.0006198} = \frac{1}{\frac{6.198}{10000}} = \frac{10000}{6.198}.$
इसे $10000 \times \frac{1}{6.198}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$10000 \times 0.16134 = 1613.4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\frac{2994}{14.5} = 172$ है।
$\frac{29.94}{1.45}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{29.94}{1.45} = \frac{2994 \div 100}{14.5 \div 10} = \frac{2994}{14.5} \times \frac{10}{100}$।
दिया गया मान रखने पर:
$= 172 \times \frac{1}{10} = 17.2$।

(A) $(0 . \overline{09} \times 7 . \overline{3})$ को हल करने के लिए,हम पहले आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलेंगे।
$1.$ $0 . \overline{09}$ को भिन्न में बदलें:
माना $x = 0 . \overline{09} = 0.090909...$
$100x = 9.090909...$
$100x - x = 9.090909... - 0.090909... = 9$
$99x = 9 \implies x = \frac{9}{99} = \frac{1}{11}$.
$2.$ $7 . \overline{3}$ को भिन्न में बदलें:
$7 . \overline{3} = 7 + 0 . \overline{3} = 7 + \frac{3}{9} = 7 + \frac{1}{3} = \frac{21+1}{3} = \frac{22}{3}$.
$3.$ भिन्नों का गुणा करें:
$\frac{1}{11} \times \frac{22}{3} = \frac{1 \times 22}{11 \times 3} = \frac{22}{33} = \frac{2}{3}$.
$4.$ $\frac{2}{3}$ को वापस दशमलव में बदलें:
$\frac{2}{3} = 0.666... = 0 . \overline{6}$.

(D) $3 . \overline{87} - 2 . \overline{59}$ को हल करने के लिए,हम आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलेंगे।
$3 . \overline{87} = 3 + \frac{87}{99} = \frac{3 \times 99 + 87}{99} = \frac{297 + 87}{99} = \frac{384}{99}$.
$2 . \overline{59} = 2 + \frac{59}{99} = \frac{2 \times 99 + 59}{99} = \frac{198 + 59}{99} = \frac{257}{99}$.
अब,दोनों भिन्नों को घटाएं:
$\frac{384}{99} - \frac{257}{99} = \frac{384 - 257}{99} = \frac{127}{99}$.
$\frac{127}{99}$ को वापस आवर्ती दशमलव में बदलने पर:
$\frac{127}{99} = 1 + \frac{28}{99} = 1 . \overline{28}$.

(C) माना $x = 2.1\overline{36}$ है।
इसे $x = 2 + 0.1\overline{36}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $y = 0.1\overline{36} = 0.1363636...$
$10$ से गुणा करने पर,हमें $10y = 1.363636...$ प्राप्त होता है।
$1000$ से गुणा करने पर,हमें $1000y = 136.363636...$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $1000y - 10y = 136.3636... - 1.3636...$
$990y = 135$
$y = \frac{135}{990} = \frac{27}{198} = \frac{3}{22}$.
अतः,$x = 2 + \frac{3}{22} = 2\frac{3}{22}$।

(D) माना कि $x = 6.\overline{46}$ है।
इसे $x = 6.464646...$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $100$ से गुणा करने पर: $100x = 646.464646...$
मूल समीकरण $x = 6.464646...$ को $100x = 646.464646...$ में से घटाने पर:
$100x - x = 646.464646... - 6.464646...$
$99x = 640$
$x = \frac{640}{99}$
वैकल्पिक रूप से,$6.\overline{46} = 6 + 0.\overline{46} = 6 + \frac{46}{99} = \frac{6 \times 99 + 46}{99} = \frac{594 + 46}{99} = \frac{640}{99}$.

(C) माना $x = 0.125125 \ldots$ (समीकरण $1$).
यहाँ $3$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 125.125125 \ldots$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 125.125125 \ldots - 0.125125 \ldots$
$999x = 125$
$x = \frac{125}{999}$
अतः,परिमेय संख्या $\frac{125}{999}$ है।

(C) माना $x = 0.232323 \ldots$ (समीकरण $1$)
चूंकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 23.232323 \ldots$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 23.232323 \ldots - 0.232323 \ldots$
$99x = 23$
$x = \frac{23}{99}$
अतः,$0.232323 \ldots = 0.\overline{23} = \frac{23}{99}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{144}{0.144} = \frac{14.4}{x}$
सबसे पहले,बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{144}{0.144} = \frac{144000}{144} = 1000$
अब,इस मान को समीकरण में रखने पर: $1000 = \frac{14.4}{x}$
$x$ का मान निकालने के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $x = \frac{14.4}{1000}$
$x = 0.0144$

(C) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $\frac{0.009}{x} = 0.01$.
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x = \frac{0.009}{0.01}$.
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को $100$ से गुणा करने पर:
$x = \frac{0.009 \times 100}{0.01 \times 100} = \frac{0.9}{1} = 0.9$.
अतः,लुप्त संख्या $0.9$ है।

(D) माना कि $x = 5 . \overline{45} = 5.454545...$
दशमलव बिंदु को पुनरावृत्ति भाग के बाद स्थानांतरित करने के लिए $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 545.454545...$
नए समीकरण से मूल समीकरण $x = 5.454545...$ को घटाने पर:
$100x - x = 545.454545... - 5.454545...$
$99x = 540$
अतः,$x = \frac{540}{99}$.

(A) चरण $1$: पहले भागफल का मान ज्ञात कीजिए: $\frac{368.39}{17} = 21.67$.
चरण $2$: दूसरे भागफल का मान ज्ञात कीजिए: $\frac{170.50}{62} = 2.75$.
चरण $3$: तीसरे भागफल का मान ज्ञात कीजिए: $\frac{875.65}{83} = 10.55$.
चरण $4$: मानों की तुलना कीजिए: $21.67 > 10.55 > 2.75$.
अतः,अवरोही क्रम $1, 3, 2$ है। सही विकल्प $(A)$ है।

(B) $0.04 \times 0.0162$ को हल करने के लिए,हम दशमलव संख्याओं को $10$ के घात के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:
$0.04 = 4 \times 10^{-2}$
$0.0162 = 162 \times 10^{-4}$
अब,इन मानों का गुणा करें:
$(4 \times 10^{-2}) \times (162 \times 10^{-4}) = (4 \times 162) \times (10^{-2} \times 10^{-4})$
$= 648 \times 10^{-6}$
इसे वैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त करने के लिए,दशमलव बिंदु को दो स्थान बाईं ओर ले जाएं:
$648 \times 10^{-6} = 6.48 \times 10^{2} \times 10^{-6} = 6.48 \times 10^{-4}$

(C) व्यंजक $40.83 \times 1.02 \times 1.2$ को हल करने के लिए,हम पहले संख्याओं का पूर्णांक मानकर गुणा करते हैं:
$4083 \times 102 \times 12 = 4997592$
इसके बाद,हम मूल व्यंजक में दशमलव के बाद के कुल अंकों की गणना करते हैं:
$40.83$ में $2$ दशमलव स्थान हैं।
$1.02$ में $2$ दशमलव स्थान हैं।
$1.2$ में $1$ दशमलव स्थान है।
कुल दशमलव स्थान = $2 + 2 + 1 = 5$।
अब,गुणनफल $4997592$ में दशमलव बिंदु को इस प्रकार रखें कि दशमलव के दाईं ओर $5$ अंक हों:
$49.97592$

(B) $16.02$ को $0.001$ से गुणा करने के लिए,हम $16.02$ में दशमलव बिंदु को तीन स्थान बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं।
$16.02$ से शुरू करते हुए,दशमलव बिंदु को तीन स्थान बाईं ओर ले जाने पर $0.01602$ प्राप्त होता है।
अतः,$16.02 \times 0.001 = 0.01602$ है।

(B) $0.002$ को $0.5$ से गुणा करने के लिए,हम शुरू में दशमलव बिंदुओं को अनदेखा कर सकते हैं और संख्याओं को पूर्णांक के रूप में गुणा कर सकते हैं:
$2 \times 5 = 10$
इसके बाद,मूल संख्याओं में दशमलव स्थानों की कुल संख्या गिनें:
$0.002$ में $3$ दशमलव स्थान हैं।
$0.5$ में $1$ दशमलव स्थान है।
कुल दशमलव स्थान $= 3 + 1 = 4$।
अब,परिणाम $(10)$ में दशमलव बिंदु को इस प्रकार रखें कि दशमलव के दाईं ओर $4$ अंक हों:
$0.0010$,जो $0.001$ के बराबर है।

(A) भिन्नों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के लिए,उन्हें दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{1}{3} \approx 0.333$
$\frac{2}{5} = 0.4$
$\frac{4}{7} \approx 0.571$
$\frac{3}{5} = 0.6$
$\frac{5}{6} \approx 0.833$
$\frac{6}{7} \approx 0.857$
दशमलव मानों की तुलना करने पर: $0.333 < 0.4 < 0.571 < 0.6 < 0.833 < 0.857$ प्राप्त होता है।
अतः,आरोही क्रम $\frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{4}{7}, \frac{3}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}$ है।

(A) सबसे बड़ी और सबसे छोटी भिन्न ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें दशमलव रूप में बदलते हैं:
$\frac{2}{3} \approx 0.666$
$\frac{3}{4} = 0.75$
$\frac{4}{5} = 0.8$
$\frac{5}{6} \approx 0.833$
सबसे बड़ी भिन्न $\frac{5}{6}$ है और सबसे छोटी भिन्न $\frac{2}{3}$ है।
अभीष्ट अंतर $\frac{5}{6} - \frac{2}{3}$ है।
$6$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $6$ लेने पर:
$\frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}$.

(D) अवरोही क्रम (descending order) निर्धारित करने के लिए,प्रत्येक भिन्न को उसके दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{5}{9} \approx 0.555$
$\frac{7}{11} \approx 0.636$
$\frac{8}{15} \approx 0.533$
$\frac{11}{17} \approx 0.647$
दशमलव मानों की तुलना करने पर:
$0.647 > 0.636 > 0.555 > 0.533$
अतः,अवरोही क्रम इस प्रकार है:
$\frac{11}{17} > \frac{7}{11} > \frac{5}{9} > \frac{8}{15}$

(D) दिया गया समीकरण: $832.58 - 242.31 = 779.84 - ?$
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की गणना करें: $832.58 - 242.31 = 590.27$
अब,समीकरण इस प्रकार होगा: $590.27 = 779.84 - ?$
$?$ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $? = 779.84 - 590.27$
घटाव करने पर: $779.84 - 590.27 = 189.57$
चूँकि $189.57$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $138.009 + 341.981 - 146.305 = 123.6 + ?$
सबसे पहले,पहले दो पदों का योग करें: $138.009 + 341.981 = 479.990$
इसके बाद,तीसरा पद घटाएं: $479.990 - 146.305 = 333.685$
अब,समीकरण इस प्रकार है: $333.685 = 123.6 + ?$
$?$ का मान ज्ञात करने के लिए,$333.685$ में से $123.6$ घटाएं: $? = 333.685 - 123.6 = 210.085$
चूंकि $210.085$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) $12.1212 + 17.0005 - 9.1102$ व्यंजक को हल करने के लिए,संक्रियाओं के क्रम (जोड़ और घटाव) का पालन करें।
सबसे पहले,धनात्मक संख्याओं को जोड़ें: $12.1212 + 17.0005 = 29.1217$.
इसके बाद,प्राप्त योग में से तीसरी संख्या को घटाएं: $29.1217 - 9.1102 = 20.0115$.
अतः,अंतिम परिणाम $20.0115$ है।

(D) $48.95$ में से $32.006$ को घटाने के लिए,हम पहले दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखते हैं:
$48.950 - 32.006$
घटाव करने पर:
$48.950 - 32.006 = 16.944$
अतः,सही उत्तर $16.944$ है।

(C) योग ज्ञात करने के लिए,सभी संख्याओं के दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखें:
$617.0000$
$6.0170$
$0.6170$
$6.0017$
----------
$629.6357$
अतः,योग $629.6357$ है।