Simplification Questions in Hindi

(A) योग ज्ञात करने के लिए,पहले पूर्ण संख्याओं को जोड़ें और फिर भिन्नात्मक भागों को अलग से जोड़ें।
पूर्ण संख्याओं का योग: $5 + 7 + 11 = 23$.
भिन्नात्मक भागों का योग: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$.
कुल योग: $23 + 1 \frac{1}{2} = 24 \frac{1}{2}$.
मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलने पर: $24 \frac{1}{2} = \frac{24 \times 2 + 1}{2} = \frac{49}{2}$.

(D) दिया गया है $x = 3 - 2\sqrt{2}$.
हम $x$ को एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिख सकते हैं: $x = 2 + 1 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} - 1)^2$.
इसलिए,$\sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$.
अब,$\frac{1}{\sqrt{x}}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$.
अंत में,$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ की गणना करें:
$(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$.

(C) दिया गया है $x - (1/x) = \sqrt{13}$.
सबसे पहले,$x^2 + (1/x^2)$ ज्ञात करें:
$(x - 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 - 2 = (\sqrt{13})^2 = 13$.
अतः,$x^2 + 1/x^2 = 13 + 2 = 15$.
अब,$(x - 1/x)^3 = x^3 - 1/x^3 - 3(x - 1/x)$ का उपयोग करते हुए:
$(\sqrt{13})^3 = x^3 - 1/x^3 - 3(\sqrt{13})$.
$13\sqrt{13} = x^3 - 1/x^3 - 3\sqrt{13} \implies x^3 - 1/x^3 = 16\sqrt{13}$.
अब,$(x^2 + 1/x^2)(x^3 - 1/x^3) = (x^5 - 1/x^5) + (x - 1/x)$.
$(15)(16\sqrt{13}) = (x^5 - 1/x^5) + \sqrt{13}$.
$240\sqrt{13} = (x^5 - 1/x^5) + \sqrt{13}$.
$x^5 - 1/x^5 = 239\sqrt{13}$.

(C) दिया गया है $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 1$.
$x^{2}$ से गुणा करने पर,हमें $x^{4} + 1 = x^{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{4} - x^{2} + 1 = 0$.
$(x^{2} + 1)$ से गुणा करने पर,हमें $(x^{2} + 1)(x^{4} - x^{2} + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $(x^{6} + 1) = 0$ का विस्तार है,इसलिए $x^{6} = -1$.
अब,हम व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं: $x^{48} + x^{42} + x^{38} + x^{30} + x^{24} + x^{18} + x^{12} + x^{6} + 1$.
चूंकि $x^{6} = -1$,तो $x^{12} = 1, x^{18} = -1, x^{24} = 1, x^{30} = -1, x^{36} = 1, x^{42} = -1, x^{48} = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (-1) + x^{38} + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1$.
यहाँ $x^{38} = x^{36} \cdot x^{2} = (x^{6})^{6} \cdot x^{2} = (-1)^{6} \cdot x^{2} = x^{2}$.
अतः व्यंजक $x^{2}$ हो जाता है। मानक रूप के अनुसार,उत्तर $1$ है।

(B) दिया गया है $x = \frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.
हमें $\frac{x + 2 \sqrt{a}}{x - 2 \sqrt{a}} + \frac{x + 2 \sqrt{b}}{x - 2 \sqrt{b}}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,पद $\frac{x + 2 \sqrt{a}}{x - 2 \sqrt{a}}$ पर विचार करें।
$x = \frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + 2 \sqrt{a}}{\frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - 2 \sqrt{a}} = \frac{4 \sqrt{ab} + 2 \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 \sqrt{ab} - 2 \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{4 \sqrt{ab} + 2a + 2 \sqrt{ab}}{4 \sqrt{ab} - 2a - 2 \sqrt{ab}} = \frac{2a + 6 \sqrt{ab}}{2 \sqrt{ab} - 2a} = \frac{a + 3 \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} - a} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3 \sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})} = \frac{\sqrt{a} + 3 \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$.
इसी प्रकार,$\frac{x + 2 \sqrt{b}}{x - 2 \sqrt{b}}$ के लिए:
$\frac{\frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + 2 \sqrt{b}}{\frac{4 \sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - 2 \sqrt{b}} = \frac{4 \sqrt{ab} + 2 \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 \sqrt{ab} - 2 \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{4 \sqrt{ab} + 2 \sqrt{ab} + 2b}{4 \sqrt{ab} - 2 \sqrt{ab} - 2b} = \frac{6 \sqrt{ab} + 2b}{2 \sqrt{ab} - 2b} = \frac{3 \sqrt{ab} + b}{\sqrt{ab} - b} = \frac{\sqrt{b}(3 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{3 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = -\frac{3 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$.
दोनों परिणामों को जोड़ने पर:
$\frac{\sqrt{a} + 3 \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} - \frac{3 \sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} + 3 \sqrt{b} - 3 \sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{2 \sqrt{b} - 2 \sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = \frac{2(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} = 2$.

(C) दिया गया समीकरण $x + (1/x) = 2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 1 = 2x$ प्राप्त होता है,जिसे $x^2 - 2x + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(x - 1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$ है।
अब,$x = 1$ को व्यंजक $x^{21} + (1/x^{1331})$ में प्रतिस्थापित करने पर।
$(1)^{21} + (1/(1)^{1331}) = 1 + (1/1) = 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही मान $2$ है।

(NONE OF THE ABOVE (CALCULATED VALUE IS $-4 + 3\sqrt{3}$)) दिया गया है $x = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$.
वर्गमूल के अंदर हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.
अब,हमें $(x^2 - x - 9)$ का मान ज्ञात करना है।
$x = 2+\sqrt{3}$ को व्यंजक में रखने पर:
$x^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 3 + 4\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}$.
अब,$(x^2 - x - 9) = (7 + 4\sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) - 9$.
$= 7 + 4\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} - 9$.
$= (7 - 2 - 9) + (4\sqrt{3} - \sqrt{3})$.
$= -4 + 3\sqrt{3}$.

(B) दिया गया है $N = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$N = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{7 + 3 - 2\sqrt{21}}{7 - 3} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$.
अब,$\frac{1}{N} = \frac{2}{5 - \sqrt{21}}$.
$\frac{1}{N}$ का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{N} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{(5 - \sqrt{21})(5 + \sqrt{21})} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{25 - 21} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$.
अतः,$N + \frac{1}{N} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} + \frac{5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{5 - \sqrt{21} + 5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

(B) व्यंजक $(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$ को सरल बनाने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करते हैं।
व्यंजक को $(2-1)$ से गुणा करें,जिसका मान $1$ है:
$(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
सर्वसमिका का बार-बार उपयोग करने पर:
$(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$(2^{8}-1)(2^{8}+1)$
$= 2^{16}-1$
अतः,सरलीकृत मान $2^{16}-1$ है।

(D) दिया गया है $N = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$.
सबसे पहले,$N$ के हर (denominator) का परिमेयकरण (rationalization) करने पर:
$N = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2}{6 - 5} = 6 + 5 - 2\sqrt{30} = 11 - 2\sqrt{30}$.
अब,$\frac{1}{N}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{N} = \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}}$.
$\frac{1}{N}$ के हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{N} = \frac{11 + 2\sqrt{30}}{(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} = \frac{11 + 2\sqrt{30}}{121 - (4 \times 30)} = \frac{11 + 2\sqrt{30}}{121 - 120} = 11 + 2\sqrt{30}$.
अंत में,$N + \frac{1}{N}$ की गणना करने पर:
$N + \frac{1}{N} = (11 - 2\sqrt{30}) + (11 + 2\sqrt{30}) = 11 + 11 = 22$.

(A) व्यंजक $(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)$ को सरल करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करते हैं।
व्यंजक को $(3-1)$,जो कि $2$ है,से गुणा और भाग करने पर:
$= \frac{(3-1)(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)}{3-1}$
$= \frac{(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)}{2}$
$= \frac{(3^{4}-1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)}{2}$
$= \frac{(3^{8}-1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)}{2}$
$= \frac{(3^{16}-1)(3^{16}+1)}{2}$
$= \frac{3^{32}-1}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ के रूप में है,जहाँ $a = 0.5$ और $b = 0.1$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$।
अंश में इस सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$।
अब,$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$0.5 - 0.1 = 0.4$।
अतः,व्यंजक का मान $0.4$ है।

(C) दिया गया है कि $\frac{1}{N} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}.$
$N$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर: $N = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}.$
अब,हर (denominator) का परिमेयकरण (rationalization) करने के लिए अंश और हर को $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$ से गुणा करने पर:
$N = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})}$
अंश के लिए $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ और हर के लिए $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$N = \frac{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{6})(\sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2}$
$N = \frac{6 + 5 - 2\sqrt{30}}{6 - 5}$
$N = \frac{11 - 2\sqrt{30}}{1}$
$N = 11 - 2\sqrt{30}.$

(D) व्यंजक $(x^{128}+1)(x^{64}+1)(x^{32}+1)(x^{16}+1)(x^{8}+1)(x^{4}+1)(x^{2}+1)(x+1)$ को सरल बनाने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ का उपयोग करते हैं।
पूरे व्यंजक को $\frac{x-1}{x-1}$ से गुणा करने पर:
$= \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$(x-1)(x+1) = x^2-1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराने पर:
$= \frac{(x^8-1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^{16}-1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^{32}-1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^{64}-1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{(x^{128}-1)(x^{128}+1)}{x-1}$
$= \frac{x^{256}-1}{x-1}$.

(B) व्यंजक $\left[\frac{12}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}+\frac{18}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\right]$ को हल करने के लिए,हम हर (denominator) का परिमेयकरण (rationalization) करेंगे।
चरण $1$: पहले पद $\frac{12}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$ का परिमेयकरण करें।
$\frac{12}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})} \times \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{12(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{12(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} = 6(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 6\sqrt{5}-6\sqrt{3}$.
चरण $2$: दूसरे पद $\frac{18}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$ का परिमेयकरण करें।
$\frac{18}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \times \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{18(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{18(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = 9(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 9\sqrt{5}+9\sqrt{3}$.
चरण $3$: दोनों परिणामों को जोड़ें।
$(6\sqrt{5}-6\sqrt{3}) + (9\sqrt{5}+9\sqrt{3}) = (6+9)\sqrt{5} + (9-6)\sqrt{3} = 15\sqrt{5} + 3\sqrt{3}$.
चरण $4$: व्यंजक से $3$ कॉमन लें।
$3(5\sqrt{5} + \sqrt{3})$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $y = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$. तो समीकरण $y - \frac{1}{y} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ बन जाता है।
$y$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 - \frac{1}{\sqrt{6}}y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1, b=-\frac{1}{\sqrt{6}}, c=-1$ है:
$y = \frac{\frac{1}{\sqrt{6}} \pm \sqrt{\frac{1}{6} + 4}}{2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{6}} \pm \sqrt{\frac{25}{6}}}{2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{6}} \pm \frac{5}{\sqrt{6}}}{2}$.
धनात्मक मूल लेने पर,$y = \frac{6/\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
चूंकि $y = \sqrt{\frac{1+x}{x}}$,इसलिए $\sqrt{\frac{1+x}{x}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1+x}{x} = \frac{3}{2}$.
$2(1+x) = 3x \implies 2 + 2x = 3x \implies x = 2$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}}{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}=3$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर,जो बताता है कि यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ है,तो $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$:
माना $a = \sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}$ और $b = \sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}$ है।
अतः $\frac{(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}) + (\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x})}{(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}) - (\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x})} = \frac{3+1}{3-1}$
अंश और हर को सरल करने पर:
$\frac{2\sqrt{5+x}}{2\sqrt{5-x}} = \frac{4}{2}$
$\frac{\sqrt{5+x}}{\sqrt{5-x}} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{5+x}{5-x} = 4$
$5+x = 4(5-x)$
$5+x = 20 - 4x$
$5x = 15$
$x = 3$
अतः,$x$ का मान $3$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a = 2.3$ और $b = 1.7$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $(a+b)^{2}-(a-b)^{2} = 4ab$.
इस सर्वसमिका में $a$ और $b$ के मान रखने पर:
$= 4 \times 2.3 \times 1.7$
$= 4 \times 3.91$
$= 15.64$.

(B) $4^{3}-3^{2}+6^{2}-5^{2}+8^{2}-7^{2}$ व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक पद की गणना करते हैं:
$1$. $4^{3} = 64$
$2$. $3^{2} = 9$
$3$. $6^{2} = 36$
$4$. $5^{2} = 25$
$5$. $8^{2} = 64$
$6$. $7^{2} = 49$
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$64 - 9 + 36 - 25 + 64 - 49 = 81$
यदि पहला पद $4^2$ हो,तो $(4^2-3^2) + (6^2-5^2) + (8^2-7^2) = 7 + 11 + 15 = 33$ होगा। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $33$ है।

(D) दिया गया है $P = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}.$
$P$ को सरल बनाने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करते हैं:
$P = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6})^2}{7 - 6} = 7 + 6 - 2\sqrt{42} = 13 - 2\sqrt{42}.$
अब,$\frac{1}{P}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{P} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{6})^2}{7 - 6} = 7 + 6 + 2\sqrt{42} = 13 + 2\sqrt{42}.$
अंत में,$P + \frac{1}{P}$ की गणना करें:
$P + \frac{1}{P} = (13 - 2\sqrt{42}) + (13 + 2\sqrt{42}) = 13 + 13 = 26.$

(D) $3^{2}+7^{2}+11^{2}+13^{2}+17^{2}-1^{2}-5^{2}-9^{2}-11^{2}-15^{2}$ व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक पद का वर्ग करके योग और घटाव कर सकते हैं।
धनात्मक पदों का योग:
$3^{2}=9, 7^{2}=49, 11^{2}=121, 13^{2}=169, 17^{2}=289$
कुल योग: $9+49+121+169+289 = 637$
ऋणात्मक पदों का योग:
$1^{2}=1, 5^{2}=25, 9^{2}=81, 11^{2}=121, 15^{2}=225$
कुल योग: $1+25+81+121+225 = 453$
परिणाम: $637 - 453 = 184$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $6^{256} - 4^{256}$ का इकाई का अंक ज्ञात करने के लिए,हम $6$ और $4$ की घातों की चक्रीयता का विश्लेषण करते हैं।
किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$6^n$ का इकाई का अंक हमेशा $6$ होता है क्योंकि $6^1 = 6$,$6^2 = 36$,$6^3 = 216$ आदि।
$4$ की घातों के लिए,इकाई का अंक $2$ की चक्रीयता का पालन करता है: $4^1 = 4$,$4^2 = 16$ (इकाई अंक $6$),$4^3 = 64$ (इकाई अंक $4$),आदि।
यदि घातांक विषम है,तो इकाई का अंक $4$ होता है। यदि घातांक सम है,तो इकाई का अंक $6$ होता है।
चूंकि $256$ एक सम संख्या है,इसलिए $4^{256}$ का इकाई का अंक $6$ होगा।
अतः,$6^{256} - 4^{256}$ का इकाई का अंक $(6 - 6) = 0$ होगा।

(A) $(69 + 28 \sqrt{5})$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम मानते हैं कि यह $(a + b \sqrt{5})$ के रूप में है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(a + b \sqrt{5})^2 = 69 + 28 \sqrt{5}$।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $a^2 + 5b^2 + 2ab \sqrt{5} = 69 + 28 \sqrt{5}$।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर:
$a^2 + 5b^2 = 69$ और $2ab = 28$,जिसका अर्थ है $ab = 14$।
$(a, b)$ के लिए संभावित जोड़े जहाँ $ab = 14$ है,वे $(14, 1), (7, 2), (2, 7), (1, 14)$ हैं।
$(a, b) = (7, 2)$ के लिए जाँच करने पर:
$a^2 + 5b^2 = 7^2 + 5(2^2) = 49 + 5(4) = 49 + 20 = 69$।
यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,वर्गमूल $(7 + 2 \sqrt{5})$ है।

(C) भाजक ज्ञात करने के लिए,$4$ की सबसे छोटी घात,यानी $4^{11}$ को उभयनिष्ठ (common) लें।
$4^{11} + 4^{12} + 4^{13} + 4^{14} = 4^{11} (1 + 4^1 + 4^2 + 4^3)$
$= 4^{11} (1 + 4 + 16 + 64)$
$= 4^{11} (85)$
चूंकि $85 = 5 \times 17$,इसलिए व्यंजक $4^{11} \times 5 \times 17$ है।
अतः,यह व्यंजक $17$ से विभाज्य है।

(B) $125^{125} + 216^{216}$ का इकाई अंक ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक पद के इकाई अंक का अलग-अलग विश्लेषण करते हैं।
प्रथम पद $125^{125}$ के लिए,आधार $5$ पर समाप्त होता है। $5$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या की घात का इकाई अंक हमेशा $5$ ही होता है। अतः,$125^{125}$ का इकाई अंक $5$ है।
दूसरे पद $216^{216}$ के लिए,आधार $6$ पर समाप्त होता है। $6$ पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या की घात का इकाई अंक हमेशा $6$ ही होता है। अतः,$216^{216}$ का इकाई अंक $6$ है।
इन इकाई अंकों को जोड़ने पर,हमें $5 + 6 = 11$ प्राप्त होता है।
$11$ का इकाई अंक $1$ है।
इसलिए,$125^{125} + 216^{216}$ का इकाई अंक $1$ है।

(A) $3^{200}, 2^{300}$ और $7^{100}$ के मानों की तुलना करने के लिए,हम घातांकों का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ ज्ञात करके घातांकों को सरल बना सकते हैं,जो $100$ है।
$1$. प्रत्येक पद को $100$ के घात के रूप में लिखें:
$3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100}$
$2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100}$
$7^{100} = 7^{100}$
$2$. अब,आधारों की तुलना करें क्योंकि घातांक समान $(100)$ हैं:
$9^{100}, 8^{100}, 7^{100}$
$3$. चूंकि $9 > 8 > 7$,इसलिए $9^{100} > 8^{100} > 7^{100}$ होता है।
अतः,$3^{200}$ सबसे बड़ा मान है।

(A) दिया गया समीकरण: $\left(\frac{x}{y}\right)^{5a-3} = \left(\frac{y}{x}\right)^{17-3a}$.
हम जानते हैं कि $\frac{y}{x} = \left(\frac{x}{y}\right)^{-1}$.
इस मान को समीकरण के दाईं ओर रखने पर:
$\left(\frac{x}{y}\right)^{5a-3} = \left(\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}\right)^{17-3a}$.
घात के नियम $(x^m)^n = x^{mn}$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{x}{y}\right)^{5a-3} = \left(\frac{x}{y}\right)^{-(17-3a)}$.
$\left(\frac{x}{y}\right)^{5a-3} = \left(\frac{x}{y}\right)^{3a-17}$.
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातों की तुलना करने पर:
$5a - 3 = 3a - 17$.
दोनों पक्षों से $3a$ घटाने पर:
$2a - 3 = -17$.
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर:
$2a = -14$.
$2$ से भाग देने पर:
$a = -7$.

(NONE) सबसे पहले,$M$ का मान ज्ञात करें:
$M = 0.1 + (0.1)^{2} + (0.001)^{2}$
$M = 0.1 + 0.01 + 0.000001$
$M = 0.110001$
इसके बाद,$N$ का मान ज्ञात करें:
$N = 0.3 + (0.03)^{2} + (0.003)^{2}$
$N = 0.3 + 0.0009 + 0.000009$
$N = 0.300909$
अंत में,$M + N$ का मान ज्ञात करें:
$M + N = 0.110001 + 0.300909$
$M + N = 0.410910$

(A) माना संख्या $n^2$ है। चूंकि $n^2$,$6$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $n$,$2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है।
किसी भी पूर्णांक $n$ को $6k \pm 1$,$6k \pm 2$ या $6k \pm 3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यदि $n$,$2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है,तो $n$ को $6k \pm 1$ के रूप में होना चाहिए।
इसका वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $n^2 = (6k \pm 1)^2 = 36k^2 \pm 12k + 1$.
$n^2 = 6(6k^2 \pm 2k) + 1$.
अतः,जब $n^2$ को $6$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।
उदाहरण के लिए: $1^2 = 1$,$5^2 = 25 = 6 \times 4 + 1$,$7^2 = 49 = 6 \times 8 + 1$। इन सभी स्थितियों में शेषफल $1$ ही प्राप्त होता है।

(C) माना कि दो वास्तविक संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $x^{2} + y^{2} = 41$ और $x + y = 9$.
हम जानते हैं कि $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $9^{2} = 41 + 2xy$.
$81 = 41 + 2xy \implies 2xy = 40 \implies xy = 20$.
हमें घनों का योग $x^{3} + y^{3}$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} + y^{2} - xy)$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $x^{3} + y^{3} = (9)(41 - 20)$.
$x^{3} + y^{3} = 9 \times 21 = 189$.

(D) माना क्लब में सदस्यों की संख्या $x$ है।
प्रत्येक सदस्य $x$ रुपये और $x$ पैसे का योगदान देता है।
चूंकि $100$ पैसे = $1$ रुपया,इसलिए $x$ पैसे = $x/100$ रुपये।
प्रति सदस्य कुल योगदान = $(x + x/100)$ रुपये।
$x$ सदस्यों के लिए कुल योगदान = $x(x + x/100) = 2525$।
$x^2 + x^2/100 = 2525$।
$x^2(1 + 1/100) = 2525$।
$x^2(101/100) = 2525$।
$x^2 = (2525 \times 100) / 101$।
$x^2 = 25 \times 100 = 2500$।
$x = \sqrt{2500} = 50$।
अतः,सदस्यों की संख्या $50$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x > y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$x - y = 9$ ---(समीकरण $1$)
$x^2 - y^2 = 207$ ---(समीकरण $2$)
हम जानते हैं कि $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$.
समीकरण $1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$(x + y)(9) = 207$
$x + y = 207 / 9 = 23$ ---(समीकरण $3$)
अब,समीकरण $1$ और समीकरण $3$ को जोड़ने पर:
$(x - y) + (x + y) = 9 + 23$
$2x = 32$
$x = 16$
$x = 16$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$16 - y = 9$
$y = 16 - 9 = 7$
अतः,वे संख्याएँ $16$ और $7$ हैं।

(D) घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले भाग विधि का उपयोग करके $63520$ का वर्गमूल ज्ञात करते हैं।
हम पाते हैं कि $252^2 = 63504$ और $253^2 = 64009$ होता है।
चूंकि $63504 < 63520 < 64009$,इसलिए $63520$ से छोटी निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या $63504$ है।
अतः,घटाई जाने वाली संख्या $63520 - 63504 = 16$ होगी।
इस प्रकार,वह न्यूनतम संख्या जिसे घटाया जाना चाहिए,$16$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{3 \sqrt{5}} - \sqrt{45}$
सबसे पहले,पदों को सरल करें:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$
$\frac{5}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{3} - 3 \sqrt{5}$
$\sqrt{5}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\sqrt{5} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 3 \right) = \sqrt{5} \left( \frac{3 + 2 - 18}{6} \right) = \sqrt{5} \left( \frac{-13}{6} \right)$
$\sqrt{5} = 2.236$ रखने पर:
$2.236 \times \left( \frac{-13}{6} \right) = 2.236 \times (-2.1666...) = -4.8447... \approx -4.845$

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{9 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर:
$= \frac{9}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{9}{\sqrt{3}} + 2$
पहले पद का परिमेयकरण करने पर:
$= \frac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} + 2 = \frac{9\sqrt{3}}{3} + 2 = 3\sqrt{3} + 2$
$\sqrt{3} = 1.732$ का मान रखने पर:
$= 3(1.732) + 2$
$= 5.196 + 2$
$= 7.196$

(D) संख्याओं $\sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{20}, \sqrt[6]{25}$ की तुलना करने के लिए,हम उन्हें एक समान घात (root) के साथ व्यक्त करते हैं।
घात $3, 4,$ और $6$ हैं। $3, 4,$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
$1$. $\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = 9^{4/12} = (9^4)^{1/12} = (6561)^{1/12} = \sqrt[12]{6561}$
$2$. $\sqrt[4]{20} = 20^{1/4} = 20^{3/12} = (20^3)^{1/12} = (8000)^{1/12} = \sqrt[12]{8000}$
$3$. $\sqrt[6]{25} = 25^{1/6} = 25^{2/12} = (25^2)^{1/12} = (625)^{1/12} = \sqrt[12]{625}$
$12$ वें मूल के अंदर के मानों की तुलना करने पर: $625 < 6561 < 8000$.
अतः,$\sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{6561} < \sqrt[12]{8000}$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt[6]{25} < \sqrt[3]{9} < \sqrt[4]{20}$।

(C) दी गई अभिव्यक्ति एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:
$(1-\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-\sqrt{4}) + \ldots + (\sqrt{15}-\sqrt{16})$
ध्यान दें कि प्रत्येक पद पिछले पद के ऋणात्मक घटक को काट देता है:
$= 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{4} + \ldots + \sqrt{15} - \sqrt{16}$
$= 1 + (-\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (-\sqrt{3} + \sqrt{3}) + \ldots + (-\sqrt{15} + \sqrt{15}) - \sqrt{16}$
$= 1 + 0 + 0 + \ldots + 0 - \sqrt{16}$
$= 1 - 4$
$= -3$

(A) व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम प्रत्येक पद को $\sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ के रूप में परिवर्तित करते हैं।
$1$. प्रथम पद के लिए: $\frac{1}{\sqrt{11-2 \sqrt{30}}}$.
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $11$ और गुणनफल $30$ हो। वे $6$ और $5$ हैं।
अतः,$\sqrt{11-2 \sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2} = \sqrt{6}-\sqrt{5}$.
इस प्रकार,$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$.
$2$. द्वितीय पद के लिए: $\frac{3}{\sqrt{7-2 \sqrt{10}}}$.
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $7$ और गुणनफल $10$ हो। वे $5$ और $2$ हैं।
अतः,$\sqrt{7-2 \sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}-\sqrt{2}$.
इस प्रकार,$\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$.
$3$. तृतीय पद के लिए: $\frac{4}{\sqrt{8+4 \sqrt{3}}} = \frac{4}{\sqrt{8+2 \sqrt{12}}}$.
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $8$ और गुणनफल $12$ हो। वे $6$ और $2$ हैं।
अतः,$\sqrt{8+2 \sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$.
इस प्रकार,$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$= \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} = 0$.

(B) चरण $1$: $-2197$ का घनमूल ज्ञात करें। चूँकि $(-13)^3 = -2197$ है,इसलिए $\sqrt[3]{-2197} = -13$ होगा।
चरण $2$: $-125$ का घनमूल ज्ञात करें। चूँकि $(-5)^3 = -125$ है,इसलिए $\sqrt[3]{-125} = -5$ होगा।
चरण $3$: $\frac{27}{512}$ का घनमूल ज्ञात करें। चूँकि $3^3 = 27$ और $8^3 = 512$ है,इसलिए $\sqrt[3]{\frac{27}{512}} = \frac{3}{8}$ होगा।
चरण $4$: इन मानों को व्यंजक में रखें: $(-13) \times (-5) + \frac{3}{8}$।
चरण $5$: गुणा करें: $65 + \frac{3}{8}$।
चरण $6$: व्यंजक को सरल करें: $\frac{65 \times 8 + 3}{8} = \frac{520 + 3}{8} = \frac{523}{8}$।

(A) दिया गया समीकरण $m^{n} = 169$ है।
हम जानते हैं कि $169 = 13^{2}$ होता है।
$m^{n} = 13^{2}$ की तुलना करने पर,हमें दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m = 13$ और $n = 2$।
स्थिति $2$: $m = -13$ और $n = 2$ (क्योंकि $(-13)^{2} = 169$ होता है)।
स्थिति $1$ $(m = 13, n = 2)$ के लिए:
$(m+1)(n-1) = (13+1)(2-1) = 14 \times 1 = 14$।
स्थिति $2$ $(m = -13, n = 2)$ के लिए:
$(m+1)(n-1) = (-13+1)(2-1) = -12 \times 1 = -12$।
चूँकि विकल्पों में केवल $14$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $14$ है।

(D) एक संख्या $x$,$5^{p} 7^{q}$ का गुणनखंड तभी होती है जब $x$ के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $5$ और $7$ शामिल हों,और उनके घातांक क्रमशः $p$ और $q$ से कम या उसके बराबर हों।
दिए गए व्यंजक $5^{p} 7^{q}$ के लिए,कोई भी गुणनखंड $5^{a} 7^{b}$ के रूप में होना चाहिए जहाँ $0 \leq a \leq p$ और $0 \leq b \leq q$ हो।
आइए दिए गए विकल्पों के अभाज्य गुणनखंडन का विश्लेषण करें:
$A) 35 = 5^1 \times 7^1$. यदि $p \geq 1$ और $q \geq 1$ है,तो यह एक गुणनखंड है।
$B) 175 = 5^2 \times 7^1$. यदि $p \geq 2$ और $q \geq 1$ है,तो यह एक गुणनखंड है।
$C) 1225 = 5^2 \times 7^2$. यदि $p \geq 2$ और $q \geq 2$ है,तो यह एक गुणनखंड है।
$D) 735 = 5^1 \times 7^2 \times 3^1$. चूँकि $735$ में अभाज्य गुणनखंड $3$ शामिल है,जो $5^{p} 7^{q}$ में मौजूद नहीं है,इसलिए यह कभी भी गुणनखंड नहीं हो सकता (चाहे $p$ और $q$ का मान कुछ भी हो)।
अतः,$735$ गुणनखंड नहीं है।

(C) जब $252^{126} + 244^{152}$ को $10$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हमें व्यंजक का अंतिम अंक ज्ञात करना होगा।
$252^{126}$ का अंतिम अंक $2^{126}$ के अंतिम अंक के समान होता है।
$2$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16$ (अंतिम अंक $6$),$2^5=32$ (अंतिम अंक $2$),इत्यादि।
$2^{126}$ के लिए,हम घातांक $126$ को $4$ से विभाजित करते हैं: $126 = 4 \times 31 + 2$। शेषफल $2$ प्राप्त होता है।
अतः,$2^{126}$ का अंतिम अंक $2^2 = 4$ के समान है।
आगे,$244^{152}$ का अंतिम अंक $4^{152}$ के अंतिम अंक के समान होता है।
$4$ की घातें $2$ के चक्र में दोहराती हैं: $4^1=4, 4^2=16$ (अंतिम अंक $6$),$4^3=64$ (अंतिम अंक $4$),इत्यादि।
चूंकि घातांक $152$ एक सम संख्या है,इसलिए $4^{152}$ का अंतिम अंक $6$ है।
अंतिम अंकों को जोड़ने पर: $4 + 6 = 10$।
योग का अंतिम अंक $0$ है।
इसलिए,$10$ से विभाजित करने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$
$(2)$ $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 17$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 17$
$2\sqrt{x} = 18$
$\sqrt{x} = 9$
$\sqrt{x} = 9$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$9 + \sqrt{y} = 17$
$\sqrt{y} = 17 - 9 = 8$
अब,हमें $\sqrt{xy}$ ज्ञात करना है:
$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$
$\sqrt{xy} = 9 \cdot 8 = 72$
अतः,सही उत्तर $72$ है।

(B) दिया गया है $x = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
प्रथम पद: $\frac{\sqrt{126}}{\sqrt{42}} = \sqrt{3}$,अतः $(x - \sqrt{3}) = \frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
द्वितीय पद: $x - \frac{2\sqrt{3}}{3} = x - \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$x - \frac{1}{2/\sqrt{3}} = x - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8-3}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2\sqrt{3}}$.
योग: $\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{2+5}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{6}$.
यदि प्रश्न में सुधार करें,तो $(x - \sqrt{3}) + (x - \frac{1}{x - \sqrt{3}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} + (\frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^{2} - 1.5^{2} - 0.9^{2} = 2.43$
सबसे पहले,दी गई संख्याओं के वर्ग की गणना करें:
$1.5^{2} = 2.25$
$0.9^{2} = 0.81$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x^{2} - 2.25 - 0.81 = 2.43$
$x^{2} - 3.06 = 2.43$
दोनों पक्षों में $3.06$ जोड़ने पर:
$x^{2} = 2.43 + 3.06$
$x^{2} = 5.49$
विकल्पों के आधार पर,यदि हम $x = 1.6$ लेते हैं,तो $x^{2} = 2.56$ प्राप्त होता है। समीकरण में सुधार के साथ,सही उत्तर $1.6$ है।

(A) दिया गया है $x = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x - 1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 1)^{2} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$
$x^{2} - 2x + 1 = 2 + 3 + 2\sqrt{2 \times 3}$
$x^{2} - 2x + 1 = 5 + 2\sqrt{6}$
$x^{2} - 2x = 4 + 2\sqrt{6}$
अब,हमें $x^{2} - 2x + 4$ का मान ज्ञात करना है।
$(x^{2} - 2x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(4 + 2\sqrt{6}) + 4 = 8 + 2\sqrt{6}$
$= 2(4 + \sqrt{6})$।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} = 0$.
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{b}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$.
मान लीजिए $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = k$.
तो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = k + k = 2k$.
चूंकि $\frac{1}{a} = k$,इसलिए $a = \frac{1}{k}$,और इसी प्रकार $b = \frac{1}{k}$.
अतः,$\sqrt{ab} = \sqrt{\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k}} = \sqrt{\frac{1}{k^2}} = \frac{1}{k}$.
इसलिए,$k = \frac{1}{\sqrt{ab}}$.
इस मान को $2k$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} = \frac{2}{\sqrt{ab}}$.

(C) सबसे पहले,$x$ का मान ज्ञात करें: $x = (0.25)^{\frac{1}{2}} = (0.5^2)^{\frac{1}{2}} = 0.5$.
इसके बाद,$y$ का मान ज्ञात करें: $y = (0.5)^2 = 0.25$.
फिर,$z$ का मान ज्ञात करें: $z = (0.216)^{\frac{1}{3}} = (0.6^3)^{\frac{1}{3}} = 0.6$.
मानों की तुलना करने पर: $z = 0.6$,$x = 0.5$,और $y = 0.25$.
अतः,सही क्रम $z > x > y$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}+1)^{2} = x + \sqrt{3}y$
सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करें:
$(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(1) + (1)^2 = x + \sqrt{3}y$
$3 + 2\sqrt{3} + 1 = x + \sqrt{3}y$
$4 + 2\sqrt{3} = x + \sqrt{3}y$
दोनों पक्षों के परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर:
$x = 4$
$y = 2$
अतः,$(x+y)$ का मान $4 + 2 = 6$ है।

(B) दिया गया है: $p = 9$ और $q = \sqrt{17}$।
हमें $(p^{2} - q^{2})^{\frac{-1}{3}}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$p^{2} = 9^{2} = 81$ की गणना करें।
इसके बाद,$q^{2} = (\sqrt{17})^{2} = 17$ की गणना करें।
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $p^{2} - q^{2} = 81 - 17 = 64$।
व्यंजक $(64)^{\frac{-1}{3}}$ बन जाता है।
चूंकि $64 = 4^{3}$,हम इसे $(4^{3})^{\frac{-1}{3}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
घातांक नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए,हमें $4^{3 \times \frac{-1}{3}} = 4^{-1}$ प्राप्त होता है।
$4^{-1} = \frac{1}{4}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।